2021-2022學年北京市西城區(qū)九年級（上）期中數(shù)學試卷

這是一份2021-2022學年北京市西城區(qū)九年級（上）期中數(shù)學試卷，共32頁。試卷主要包含了填空題，解答題等內(nèi)容，歡迎下載使用。
?2021-2022學年北京市西城區(qū)九年級（上）期中數(shù)學試卷
一、選擇題（本題共16分，每小題2分）下面各題均有四個選項，其中只有一個是符合題意的。
1．（2分）下列圖書館的標志中，是中心對稱圖形的是（　　）
A． B．
C． D．
2．（2分）二次函數(shù)y＝﹣（x+1）2﹣2的最大值是（　?。?br /> A．﹣2 B．﹣1 C．1 D．2
3．（2分）已知關于x的一元二次方程（k+1）x2﹣2x+1＝0有兩個不相等的實數(shù)根，則k的取值范圍為（　　）
A．k≥0 B．k≤0且k≠﹣1 C．k＜0且k≠﹣1 D．k≤0
4．（2分）如圖，將△ABC繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)100°，得到△ADE．若點D在線段BC的延長線上，則∠B的大小為（　?。?br />
A．30° B．40° C．50° D．60°
5．（2分）如表是二次函數(shù)y＝ax2+bx+c的幾組對應值：
x
6.17
6.18
6.19
6.20
y＝ax2+bx+c
﹣0.03
﹣0.01
0.02
0.04
根據(jù)表中數(shù)據(jù)判斷，方程ax2+bx+c＝0的一個解x的范圍是（　　）
A．6＜x＜6.17 B．6.17＜x＜6.18
C．6.18＜x＜6.19 D．6.19＜x＜6.20
6．（2分）如圖，在5×5正方形網(wǎng)格中，一條圓弧經(jīng)過A、B、C三點，那么所對的圓心角的大小是（　?。?br />
A．60° B．75° C．80° D．90°
7．（2分）如圖，拋物線y＝ax2+bx+c與x軸交于點（﹣1，0），對稱軸為直線x＝1，則下列結(jié)論中正確的是（　　）

A．a(chǎn)＞0
B．當x＞1時，y隨x的增大而增大
C．c＜0
D．x＝3是一元二次方程ax2+bx+c＝0的一個根
8．（2分）小明以二次函數(shù)y＝2x2﹣4x+8的圖象為靈感為“2017北京?房山國際葡萄酒大賽”設計了一款杯子，如圖為杯子的設計稿，若AB＝4，DE＝3，則杯子的高CE為（　?。?br />
A．14 B．11 C．6 D．3
二、填空題（本題共16分，每小題2分）
9．（2分）若x＝2是一元二次方程x2﹣mx﹣2＝0的一個根，則m＝　 ??；方程的另一根是 　 ?。?br /> 10．（2分）請寫出一個開口向下，且與y軸的交點坐標為（0，﹣3）的拋物線的解析式 　 　．
11．（2分）如圖，在平面直角坐標系xOy中，直線y1＝kx+m（k≠0）與拋物線y2＝ax2+bx+c（a≠0）交于點A（0，4），B（3，1），當y1≤y2時，x的取值范圍是 　 ?。?br />
12．（2分）二次函數(shù)y＝ax2+bx+c（a≠0）的圖象如圖所示，那么一元二次方程ax2+bx+c＝m（a≠0，m為常數(shù)且m≤4）的兩根之和為　 ?。?br />
13．（2分）如圖，在△ABC中，∠BAC＝65°，將△ABC繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)，得到△AB'C'，連接C'C．若C'C∥AB，則∠BAB'＝　 　°．

14．（2分）如圖，若AB是⊙O的直徑，CD是⊙O的弦，∠ABD＝58°，則∠BCD＝　 ?。?br />
15．（2分）如圖，⊙O的直徑AB垂直于弦CD，垂足為E．若∠B＝60°，CD＝6，則AC的長為　 ?。?br />
16．（2分）如下圖，正方形ABCD的邊AB在x軸上，A（﹣4，0），B（﹣2，0），定義：若某個拋物線上存在一點P，使得點P到正方形ABCD四個頂點的距離相等，則稱這個拋物線為正方形ABCD的“友好拋物線”．若拋物線y＝2x2﹣nx﹣n2﹣1是正方形ABCD的“友好拋物線”，則n的值為　 ?。?br />
三、解答題（本題共68分，17題每小題8分，18、21、22、23、24、25、28題每題5分，19題4分，20、26、27題各7分）
17．（8分）解方程：
（1）x2﹣3x+1＝0；
（2）（x+3）（x﹣1）＝5．
18．（5分）若關于x的一元二次方程x2﹣3x+a﹣2＝0有實數(shù)根．
（1）求a的取值范圍；
（2）當a為符合條件的最大整數(shù)，求此時方程的解．
19．（4分）如圖1是博物館展出的古代車輪實物，《周禮?考工記》記載：“…故兵車之輪六尺有六寸，田車之輪六尺有三寸…”據(jù)此，我們可以通過計算車輪的半徑來驗證車輪類型，請將以下推理過程補充完整．

如圖2所示，在車輪上取A、B兩點，設所在圓的圓心為O，半徑為rcm．
作弦AB的垂線OC，D為垂足，則D是AB的中點．其推理依據(jù)是：　 　．
經(jīng)測量：AB＝90cm，CD＝15cm，則AD＝　 　cm；
用含r的代數(shù)式表示OD，OD＝　 　cm．
在Rt△OAD中，由勾股定理可列出關于r的方程：
r2＝　 　，
解得r＝75．
通過單位換算，得到車輪直徑約為六尺六寸，可驗證此車輪為兵車之輪．
20．（7分）對于拋物線y＝x2﹣2x﹣3．
（1）它與x軸交點的坐標為 　 　，與y軸交點的坐標為 　 　，頂點坐標為 　 ?。?br /> （2）在坐標系中利用描點法畫出此拋物線；

x
…
　 　
　 　
　 　
　 　
　 　
…
y
…
　 　
　 　
　 　
　 　
　 　
…
（3）利用以上信息解答下列問題：若關于x的一元二次方程x2﹣2x﹣3﹣t＝0（t為實數(shù)）在0＜x＜4的范圍內(nèi)有解，則t的取值范圍是 　 ?。?br />
21．（5分）如圖，D是等邊三角形ABC內(nèi)一點，將線段AD繞點A順時針旋轉(zhuǎn)60°，得到線段AE，連接CD，BE．
（1）求證：∠AEB＝∠ADC；
（2）連接DE，若∠ADC＝105°，求∠BED的度數(shù)．

22．（5分）學校要圍一個矩形花圃，花圃的一邊利用足夠長的墻，另三邊用總長為36米的籬笆恰好圍成（如圖所示）．設矩形的一邊AB的長為x米（要求AB＜AD），矩形ABCD的面積為S平方米．
（1）求S與x之間的函數(shù)關系式，并直接寫出自變量x的取值范圍；
（2）要想使花圃的面積最大，AB邊的長應為多少米？最大面積為多少平方米？

23．（5分）如圖，點O、B坐標分別為（0，0）、（3，0），將△OAB繞O點按逆時針方向旋轉(zhuǎn)90°到△OA'B'．
（1）畫出平面直角坐標系和△OA'B'；
（2）直接寫出點A'的坐標；
（3）求旋轉(zhuǎn)過程中點B走過的路徑長．

24．（5分）如圖，⊙O的半徑為2，四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，圓心O到AC的距離等于．
（1）求AC的長；
（2）求∠ADC的度數(shù)．

25．（5分）如圖，Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，AB＝4cm．動點D沿著A→C→B的方向從A點運動到B點．DE⊥AB，垂足為E．設AE長為xcm，BD長為ycm（當D與A重合時，y＝4；當D與B重合時y＝0）．
小云根據(jù)學習函數(shù)的經(jīng)驗，對函數(shù)y隨自變量x的變化而變化的規(guī)律進行了探究．
下面是小云的探究過程，請補充完整：
（1）通過取點、畫圖、測量，得到了x與y的幾組值，如下表：
x/cm
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
4
y/cm
4
3.5
3.2
t
2.8
2.1
1.4
0.7
0
補全上面表格，要求結(jié)果保留一位小數(shù)．則t≈　 　．
（2）在下面的網(wǎng)格中建立平面直角坐標系，描出以補全后的表中各對對應值為坐標的點，畫出該函數(shù)的圖象．
（3）結(jié)合畫出的函數(shù)圖象，解決問題：當DB＝AE時，AE的長度約為　 　cm．

26．（7分）在平面直角坐標系xOy中，直線y＝4x+4與x軸，y軸分別交于點A，B，拋物線y＝ax2+bx﹣3a經(jīng)過點A，將點B向右平移5個單位長度，得到點C．
（1）求點C的坐標；
（2）求拋物線的對稱軸；
（3）若拋物線與線段BC恰有一個公共點，結(jié)合函數(shù)圖象，求a的取值范圍．
27．（7分）在正方形ABCD中，M是BC邊上一點，且點M不與B、C重合，點P在射線AM上，將線段AP繞點A順時針旋轉(zhuǎn)90°得到線段AQ，連接BP，DQ．
（1）如圖1，當點P在線段AM上時，依題意補全圖1；
（2）在圖1的條件下，延長BP，QD交于點H，求證：∠H＝90°．
（3）在圖2中，當點P在線段AM的延長線上時，連接DP，若點P，Q，D恰好在同一條直線時，猜想DP，DQ，AB之間的數(shù)量關系，并證明．

28．（5分）在平面直角坐標系xOy中，對于點P（x，y）和Q（x，y'），給出如下定義：
若y′＝，則稱點Q為點P的“可控變點“
例如：點（1，2）的“可控變點”為點（1，2），點（﹣1，3）的”可控變點”為點（﹣1，﹣3）．
（1）點（﹣5，﹣2）的“可控變點”坐標為 　 ??；
（2）若點P在函數(shù)y＝﹣x2+16的圖象上，其“可控變點”Q的縱坐標y'是7，求“可控變點”Q的橫坐標：
（3）若點P在函數(shù)y＝﹣x2+16（﹣5≤x≤a）的圖象上，其“可控變點”Q的縱坐標y'的取值范圍是﹣16≤y'≤16，求a
的值．

2021-2022學年北京市西城區(qū)九年級（上）期中數(shù)學試卷
參考答案與試題解析
一、選擇題（本題共16分，每小題2分）下面各題均有四個選項，其中只有一個是符合題意的。
1．（2分）下列圖書館的標志中，是中心對稱圖形的是（　?。?br /> A． B．
C． D．
【分析】根據(jù)軸對稱圖形與中心對稱圖形的概念求解．
【解答】解：A、不是中心對稱圖形，故此選項錯誤；
B、不是中心對稱圖形，故此選項錯誤；
C、是中心對稱圖形，故此選項正確；
D、不是中心對稱圖形，故此選項錯誤；
故選：C．
2．（2分）二次函數(shù)y＝﹣（x+1）2﹣2的最大值是（　?。?br /> A．﹣2 B．﹣1 C．1 D．2
【分析】所給形式是二次函數(shù)的頂點式，易知其頂點坐標是（﹣1，﹣2），也就是當x＝﹣1，函數(shù)有最大值﹣2．
【解答】解：∵y＝﹣（x+1）2﹣2，
∴此函數(shù)的頂點坐標是（﹣1，﹣2），即當x＝﹣1函數(shù)有最大值﹣2
故選：A．
3．（2分）已知關于x的一元二次方程（k+1）x2﹣2x+1＝0有兩個不相等的實數(shù)根，則k的取值范圍為（　?。?br /> A．k≥0 B．k≤0且k≠﹣1 C．k＜0且k≠﹣1 D．k≤0
【分析】根據(jù)二次項系數(shù)非零及根的判別式Δ＞0，即可得出關于k的一元一次不等式組，解之即可得出k的取值范圍．
【解答】解：∵關于x的一元二次方程（k+1）x2﹣2x+1＝0有兩個不相等的實數(shù)根，
∴，
解得：k＜0且k≠﹣1．
故選：C．
4．（2分）如圖，將△ABC繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)100°，得到△ADE．若點D在線段BC的延長線上，則∠B的大小為（　　）

A．30° B．40° C．50° D．60°
【分析】根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得出AB＝AD、∠BAD＝100°，再根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)可求出∠B的度數(shù)，此題得解．
【解答】解：根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，可得：AB＝AD，∠BAD＝100°，
∴∠B＝∠ADB＝×（180°﹣100°）＝40°．
故選：B．
5．（2分）如表是二次函數(shù)y＝ax2+bx+c的幾組對應值：
x
6.17
6.18
6.19
6.20
y＝ax2+bx+c
﹣0.03
﹣0.01
0.02
0.04
根據(jù)表中數(shù)據(jù)判斷，方程ax2+bx+c＝0的一個解x的范圍是（　　）
A．6＜x＜6.17 B．6.17＜x＜6.18
C．6.18＜x＜6.19 D．6.19＜x＜6.20
【分析】利用二次函數(shù)和一元二次方程的性質(zhì)進行解答即可．
【解答】解：由表可以看出，當x取6.18與6.19之間的某個數(shù)時，y＝0，即這個數(shù)是ax2+bx+c＝0的一個根．
ax2+bx+c＝0的一個解x的取值范圍為6.18＜x＜6.19．
故選：C．
6．（2分）如圖，在5×5正方形網(wǎng)格中，一條圓弧經(jīng)過A、B、C三點，那么所對的圓心角的大小是（　　）

A．60° B．75° C．80° D．90°
【分析】根據(jù)垂徑定理的推論：弦的垂直平分線必過圓心，分別作AB，BC的垂直平分線即可得到圓心，進而解答即可．
【解答】解：作AB的垂直平分線，作BC的垂直平分線，如圖，
它們都經(jīng)過Q，所以點Q為這條圓弧所在圓的圓心．
連接AQ，CQ，
在△APQ與△CQN中
，
∴△APQ≌△CQN（SAS），
∴∠AQP＝∠CQN，∠PAQ＝∠CQN
∵∠AQP+∠PAQ＝90°，
∴∠AQP+∠CQN＝90°，
∴∠AQC＝90°，
即所對的圓心角的大小是90°，
故選：D．
7．（2分）如圖，拋物線y＝ax2+bx+c與x軸交于點（﹣1，0），對稱軸為直線x＝1，則下列結(jié)論中正確的是（　?。?br />
A．a(chǎn)＞0
B．當x＞1時，y隨x的增大而增大
C．c＜0
D．x＝3是一元二次方程ax2+bx+c＝0的一個根
【分析】根據(jù)二次函數(shù)圖象的開口方向向下可得a是負數(shù)，與y軸的交點在正半軸可得c是正數(shù)，根據(jù)二次函數(shù)的增減性可得B選項錯誤，根據(jù)拋物線的對稱軸結(jié)合與x軸的一個交點的坐標可以求出與x軸的另一交點坐標，也就是一元二次方程ax2+bx+c＝0的根，從而得解．
【解答】解：A、根據(jù)圖象，二次函數(shù)開口方向向下，∴a＜0，故本選項錯誤；
B、當x＞1時，y隨x的增大而減小，故本選項錯誤；
C、根據(jù)圖象，拋物線與y軸的交點在正半軸，∴c＞0，故本選項錯誤；
D、∵拋物線與x軸的一個交點坐標是（﹣1，0），對稱軸是直線x＝1，
設另一交點為（x，0），
﹣1+x＝2×1，
x＝3，
∴另一交點坐標是（3，0），
∴x＝3是一元二次方程ax2+bx+c＝0的一個根，
故本選項正確．
故選：D．
8．（2分）小明以二次函數(shù)y＝2x2﹣4x+8的圖象為靈感為“2017北京?房山國際葡萄酒大賽”設計了一款杯子，如圖為杯子的設計稿，若AB＝4，DE＝3，則杯子的高CE為（　?。?br />
A．14 B．11 C．6 D．3
【分析】首先由y＝2x2﹣4x+8求出D點的坐標為（1，6），然后根據(jù)AB＝4，可知B點的橫坐標為x＝3，代入y＝2x2﹣4x+8，得到y(tǒng)＝14，所以CD＝14﹣6＝8，又DE＝3，所以可知杯子高度．
【解答】解：∵y＝2x2﹣4x+8＝2（x﹣1）2+6，
∴拋物線頂點D的坐標為（1，6），
∵AB＝4，
∴B點的橫坐標為x＝3，
把x＝3代入y＝2x2﹣4x+8，得到y(tǒng)＝14，
∴CD＝14﹣6＝8，
∴CE＝CD+DE＝8+3＝11．
故選：B．
二、填空題（本題共16分，每小題2分）
9．（2分）若x＝2是一元二次方程x2﹣mx﹣2＝0的一個根，則m＝　1?。环匠痰牧硪桓?　﹣1?。?br /> 【分析】利用根與系數(shù)的關系，得到兩根之積，先求出另外一根，再利用兩根之和求出m的值，還可以直接將x＝2代入到方程中，直接求出m和另外一根的值．
【解答】解：設方程的另外一根為a，
則2a＝﹣2，2+a＝m，
∴a＝﹣1，m＝1，
故答案為：1；﹣1．
10．（2分）請寫出一個開口向下，且與y軸的交點坐標為（0，﹣3）的拋物線的解析式 　y＝﹣x2﹣3（答案不唯一）　．
【分析】設二次函數(shù)的解析式為y＝ax2+bx+c（a≠0），根據(jù)二次函數(shù)圖象的開口方向及與y軸的交點坐標，可得出a＜0，c＝﹣3，取a＝﹣1，b＝0即可得出結(jié)論（答案不唯一）．
【解答】解：設二次函數(shù)的解析式為y＝ax2+bx+c（a≠0）．
∵二次函數(shù)的圖象開口向下，與y軸的交點坐標為（0，﹣3），
∴a＜0，c＝﹣3，
∴二次函數(shù)的解析式可以為y＝﹣x2﹣3．
故答案為：y＝﹣x2﹣3（答案不唯一）．
11．（2分）如圖，在平面直角坐標系xOy中，直線y1＝kx+m（k≠0）與拋物線y2＝ax2+bx+c（a≠0）交于點A（0，4），B（3，1），當y1≤y2時，x的取值范圍是 　0≤x≤3?。?br />
【分析】根據(jù)函數(shù)圖象以及點A、B的坐標，寫出拋物線在直線上方部分的x的取值范圍即可．
【解答】解：∵兩函數(shù)圖象交于點A（0，4），B（3，1），
∴當 y1≤y2時，x的取值范圍是0≤x≤3．
故答案為：0≤x≤3．

12．（2分）二次函數(shù)y＝ax2+bx+c（a≠0）的圖象如圖所示，那么一元二次方程ax2+bx+c＝m（a≠0，m為常數(shù)且m≤4）的兩根之和為　﹣2?。?br />
【分析】利用函數(shù)圖象得到拋物線與x軸的兩交點坐標為（﹣3，0），（1，0），根據(jù)拋物線與x軸的交點問題得到ax2+bx+c＝0的兩根分別為x1＝﹣3，x2＝1，則根據(jù)根與系數(shù)的關系得到＝2，然后求一元二次方程ax2+bx+c﹣m＝0的兩根之和．
【解答】解：∵拋物線與x軸的兩交點坐標為（﹣3，0），（1，0），
∴一元二次方程ax2+bx+c＝0的兩根分別為x1＝﹣3，x2＝1，
∴﹣3+1＝﹣，即＝2，
∴一元二次方程ax2+bx+c﹣m＝0的兩根之和＝﹣＝﹣2．
故答案為﹣2．
13．（2分）如圖，在△ABC中，∠BAC＝65°，將△ABC繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)，得到△AB'C'，連接C'C．若C'C∥AB，則∠BAB'＝　50　°．

【分析】根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得AC′＝AC，∠B′AB＝∠C′AC，再根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得∠AC′C＝∠ACC′，然后根據(jù)平行線的性質(zhì)由CC′∥AB得∠ACC′＝∠CAB＝65°，則∠AC′C＝∠ACC′＝65°，再根據(jù)三角形內(nèi)角和計算出∠CAC′＝50°，所以∠B′AB＝50°．
【解答】解：∵△ABC繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)到△AB′C′的位置，
∴AC′＝AC，∠B′AB＝∠C′AC，
∴∠AC′C＝∠ACC′，
∵CC′∥AB，
∴∠ACC′＝∠CAB＝65°，
∴∠AC′C＝∠ACC′＝65°，
∴∠CAC′＝180°﹣2×65°＝50°，
∴∠B′AB＝50°，
故答案為50．
14．（2分）如圖，若AB是⊙O的直徑，CD是⊙O的弦，∠ABD＝58°，則∠BCD＝　32°?。?br />
【分析】根據(jù)圓周角定理求得∠AOD＝2∠ABD＝116°（同弧所對的圓周角是所對的圓心角的一半）、∠BOD＝2∠BCD（同弧所對的圓周角是所對的圓心角的一半）；根據(jù)平角是180°知∠BOD＝180°﹣∠AOD，故∠BCD＝32°．
【解答】解：連接OD．
∵AB是⊙0的直徑，CD是⊙O的弦，∠ABD＝58°，
∴∠AOD＝2∠ABD＝116°（同弧所對的圓周角是所對的圓心角的一半）；
又∵∠BOD＝180°﹣∠AOD，∠BOD＝2∠BCD（同弧所對的圓周角是所對的圓心角的一半）；
∴∠BCD＝32°；
另法：∵AB為直徑，
∴∠ADB＝90°，
∵∠ABD＝58°，
∴∠A＝90°﹣58°＝32°，
∵∠BCD和∠A都是BD所對圓周角，
∴∠BCD＝32°．
故答案為：32°．

15．（2分）如圖，⊙O的直徑AB垂直于弦CD，垂足為E．若∠B＝60°，CD＝6，則AC的長為　6　．

【分析】先由圓周角定理得∠ACB＝90°，則∠A＝30°，再由垂徑定理得CE＝DE＝CD＝3，然后由含30°角的直角三角形的性質(zhì)即可得出答案．
【解答】解：∵AB為⊙O的直徑，
∴∠ACB＝90°，
∴∠A＝90°﹣∠B＝90°﹣60°＝30°，
∵AB⊥CD，
∴∠AEC＝90°，CE＝DE＝CD＝3，
∴AC＝2CE＝6，
故答案為：6．
16．（2分）如下圖，正方形ABCD的邊AB在x軸上，A（﹣4，0），B（﹣2，0），定義：若某個拋物線上存在一點P，使得點P到正方形ABCD四個頂點的距離相等，則稱這個拋物線為正方形ABCD的“友好拋物線”．若拋物線y＝2x2﹣nx﹣n2﹣1是正方形ABCD的“友好拋物線”，則n的值為　﹣3或6　．

【分析】根據(jù)正方形的性質(zhì)得出另外兩個頂點C、D的坐標，繼而得出對角線的交點P的坐標，代入解析式求解可得．
【解答】解：∵點A（﹣4，0）、B（﹣2，0），
∴點C（﹣4，﹣2）、D（﹣2，﹣2），
則對角線AC、BD交點P的坐標為（﹣3，﹣1），
根據(jù)題意，將點P（﹣3，﹣1）代入解析式y(tǒng)＝2x2﹣nx﹣n2﹣1，
得：18+3n﹣n2﹣1＝﹣1，
整理，得：n2﹣3n﹣18＝0，
解得：n＝﹣3或n＝6，
故答案為：﹣3或6．
三、解答題（本題共68分，17題每小題8分，18、21、22、23、24、25、28題每題5分，19題4分，20、26、27題各7分）
17．（8分）解方程：
（1）x2﹣3x+1＝0；
（2）（x+3）（x﹣1）＝5．
【分析】（1）利用公式法解一元二次方程即可；
（2）利用因式分解法解一元二次方程即可．
【解答】解：（1）x2﹣3x+1＝0，
∵△＝b2﹣4ac＝9﹣4＝5，
∴x＝，
＝，
∴x1＝，x2＝；
（2）（x+3）（x﹣1）＝5，
方程整理得，x2+2x﹣8＝0，
（x﹣2）（x+4）＝0，
x﹣2＝0或x+4＝0，
解得x1＝2，x2＝﹣4．
18．（5分）若關于x的一元二次方程x2﹣3x+a﹣2＝0有實數(shù)根．
（1）求a的取值范圍；
（2）當a為符合條件的最大整數(shù)，求此時方程的解．
【分析】（1）由方程有實數(shù)根，根據(jù)根的判別式可得到關于a的不等式，則可求得a的取值范圍；
（2）由（1）中所求a的取值范圍可求得a的最大整數(shù)值，代入方程求解即可．
【解答】解：
（1）∵關于x的一元二次方程x2﹣3x+a﹣2＝0有實數(shù)根，
∴△≥0，即（﹣3）2﹣4（a﹣2）≥0，解得a≤；
（2）由（1）可知a≤，
∴a的最大整數(shù)值為4，
此時方程為x2﹣3x+2＝0，
解得x＝1或x＝2．
19．（4分）如圖1是博物館展出的古代車輪實物，《周禮?考工記》記載：“…故兵車之輪六尺有六寸，田車之輪六尺有三寸…”據(jù)此，我們可以通過計算車輪的半徑來驗證車輪類型，請將以下推理過程補充完整．

如圖2所示，在車輪上取A、B兩點，設所在圓的圓心為O，半徑為rcm．
作弦AB的垂線OC，D為垂足，則D是AB的中點．其推理依據(jù)是：　垂直弦的直徑平分弦　．
經(jīng)測量：AB＝90cm，CD＝15cm，則AD＝　45　cm；
用含r的代數(shù)式表示OD，OD＝?。╮﹣15）　cm．
在Rt△OAD中，由勾股定理可列出關于r的方程：
r2＝　452+（r﹣15）2　，
解得r＝75．
通過單位換算，得到車輪直徑約為六尺六寸，可驗證此車輪為兵車之輪．
【分析】根據(jù)垂徑定理，利用勾股定理構(gòu)建方程求解即可．
【解答】解：如圖2所示，在車輪上取A、B兩點，設所在圓的圓心為O，半徑為rcm．
作弦AB的垂線OC，D為垂足，則D是AB的中點．其推理依據(jù)是：垂直弦的直徑平分弦．
經(jīng)測量：AB＝90cm，CD＝15cm，則AD＝45cm；
用含r的代數(shù)式表示OD，OD＝（r﹣15）cm．
在Rt△OAD中，由勾股定理可列出關于r的方程：
r2＝452+（r﹣15）2，
解得r＝75．
通過單位換算，得到車輪直徑約為六尺六寸，可驗證此車輪為兵車之輪．
故答案為：垂直弦的直徑平分弦，45，（r﹣15），452+（r﹣15）2．
20．（7分）對于拋物線y＝x2﹣2x﹣3．
（1）它與x軸交點的坐標為 　（3，0）（﹣1，0）　，與y軸交點的坐標為 　（0，﹣3）　，頂點坐標為 ?。?，﹣4）?。?br /> （2）在坐標系中利用描點法畫出此拋物線；

x
…
　﹣1　
　0　
　1　
　3　
　4　
…
y
…
　0　
　﹣3　
　﹣4　
　0　
　5　
…
（3）利用以上信息解答下列問題：若關于x的一元二次方程x2﹣2x﹣3﹣t＝0（t為實數(shù)）在0＜x＜4的范圍內(nèi)有解，則t的取值范圍是 　﹣4≤t＜5?。?br />
【分析】（1）令y＝0，求出拋物線與x軸交點的坐標；
（2）圖象如圖所示，把表格中的值分別代入y＝x2﹣2x﹣3求出對應的數(shù)值；
（3）根據(jù)關于x的一元二次方程x2﹣2x﹣3﹣t＝0（t為實數(shù)）在0＜x＜4的范圍內(nèi)有解，得b2﹣4ac≥0，求出t取值范圍，再把x＝0、x＝4分別代入x2﹣2x﹣3﹣t＝0，求出t的值，進而求出t的取值范圍．
【解答】解：（1）令y＝0，0＝x2﹣2x﹣3．
解得，x1＝3，x2＝﹣1，
∴它與x軸交點的坐標為（3，0）（﹣1，0），
令x＝0，y＝﹣3，
∴與y軸交點的坐標為（0，﹣3），
頂點（1，﹣4）；
故答案為：（3，0）（﹣1，0），（0，﹣3），（1，﹣4）；
（2）
（3）∵關于x的一元二次方程x2﹣2x﹣3﹣t＝0（t為實數(shù)）在0＜x＜4的范圍內(nèi)有解，
∴b2﹣4ac≥0，
∴4﹣4×1×（﹣3﹣t）≥0，
解得，t≥﹣4，
把x＝0代入x2﹣2x﹣3﹣t＝0，
得t＝4，
把x＝4代入x2﹣2x﹣3﹣t＝0，
得t＝5，
∴t的取值范圍是﹣4≤t＜5．
故答案為：﹣4≤t＜5．

21．（5分）如圖，D是等邊三角形ABC內(nèi)一點，將線段AD繞點A順時針旋轉(zhuǎn)60°，得到線段AE，連接CD，BE．
（1）求證：∠AEB＝∠ADC；
（2）連接DE，若∠ADC＝105°，求∠BED的度數(shù)．

【分析】（1）根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)得出∠BAC＝60°，AB＝AC，根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得出∠DAE＝60°，AE＝AD．求出∠EAB＝∠DAC，證△EAB≌△DAC即可；
（2）求出∠AEB＝105°，求出∠AED，即可得出答案．
【解答】解：（1）∵△ABC是等邊三角形，
∴∠BAC＝60°，AB＝AC，
∵線段AD繞點A順時針旋轉(zhuǎn)60°，得到線段AE，
∴∠DAE＝60°，AE＝AD．
∴∠BAD+∠EAB＝∠BAD+∠DAC．
∴∠EAB＝∠DAC．
在△EAB和△DAC中，
∵，
∴△EAB≌△DAC，
∴∠AEB＝∠ADC；

（2）如圖，
∵∠DAE＝60°，AE＝AD，
∴△EAD為等邊三角形，
∴∠AED＝60°，
又∵∠AEB＝∠ADC＝105°，
∴∠BED＝105°﹣60°＝45°．
22．（5分）學校要圍一個矩形花圃，花圃的一邊利用足夠長的墻，另三邊用總長為36米的籬笆恰好圍成（如圖所示）．設矩形的一邊AB的長為x米（要求AB＜AD），矩形ABCD的面積為S平方米．
（1）求S與x之間的函數(shù)關系式，并直接寫出自變量x的取值范圍；
（2）要想使花圃的面積最大，AB邊的長應為多少米？最大面積為多少平方米？

【分析】（1）因為AB＝x米，所以BC為（36﹣2x）米，由長方形的面積列式即可；
（2）將（1）中的二次函數(shù)進行配方即可化為頂點式．y＝a（x﹣h）2+k，因為a＝﹣2＜0拋物線開口向下，函數(shù)有最大值，即當x＝h時，取得最大值．
【解答】解：（1）∵四邊形ABCD是矩形，AB的長為x米，
∴CD＝AB＝x（米）．
∵矩形除AD邊外的三邊總長為36米，
∴BC＝36﹣2x（米），
∴S＝x（36﹣2x）＝﹣2x2+36x，
∵0＜x＜36﹣2x，
∴0＜x＜12，
∴S與x之間的函數(shù)關系式為S＝﹣2x2+36x（0＜x＜12）；
（2）∵S＝﹣2x2+36x＝﹣2（x﹣9）2+162，0＜x＜12，
∴當x＝9時，S取最大值，最大值＝162（平方米），
∴AB邊的長為9米時，花圃的面積最大，最大值為162平方米．
23．（5分）如圖，點O、B坐標分別為（0，0）、（3，0），將△OAB繞O點按逆時針方向旋轉(zhuǎn)90°到△OA'B'．
（1）畫出平面直角坐標系和△OA'B'；
（2）直接寫出點A'的坐標；
（3）求旋轉(zhuǎn)過程中點B走過的路徑長．

【分析】（1）分別作出A，B，的對應點A′，B′即可．
（2）根據(jù)點A′的位置寫出坐標即可．
（3）利用弧長公式計算即可．
【解答】解：（1）如圖，△OA'B'即為所求．


（2）A′（﹣2，4）．

（3）旋轉(zhuǎn)過程中點B走過的路徑長＝＝．
24．（5分）如圖，⊙O的半徑為2，四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，圓心O到AC的距離等于．
（1）求AC的長；
（2）求∠ADC的度數(shù)．

【分析】（1）過O作OE⊥AC于E，連接OA、OC，根據(jù)勾股定理求出AE，根據(jù)垂徑定理求出AE＝CE，再求出AC即可；
（2）根據(jù)直角三角形的性質(zhì)求出∠AOE＝30°，求出∠AOC＝60°，根據(jù)圓周角定理求出∠ABC，根據(jù)圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)求出∠ADC+∠ABC＝180°，再求出答案即可．
【解答】解：（1）過O作OE⊥AC于E，連接OA、OC，則∠AEO＝90°，

∵圓心O到AC的距離等于，
∴OE＝，
由勾股定理得：AE＝＝＝1，
∵OE⊥AC，OE過圓心O，
∴AE＝CE＝1，
∴AC＝AE+CE＝1+1＝2；

（2）∵OA＝2，AE＝1，∠AEO＝90°，
∴AE＝OA，
∵∠AEO＝90°，
∴∠AOE＝30°，
同理∠COE＝30°，
∴∠AOC＝30°+30°＝60°，
∴∠ABC＝AOC＝30°，
∵四邊形ADCB是⊙O的內(nèi)接四邊形，
∴∠ADC+∠ABC＝180°，
∴∠ADC＝180°﹣30°＝150°．
25．（5分）如圖，Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，AB＝4cm．動點D沿著A→C→B的方向從A點運動到B點．DE⊥AB，垂足為E．設AE長為xcm，BD長為ycm（當D與A重合時，y＝4；當D與B重合時y＝0）．
小云根據(jù)學習函數(shù)的經(jīng)驗，對函數(shù)y隨自變量x的變化而變化的規(guī)律進行了探究．
下面是小云的探究過程，請補充完整：
（1）通過取點、畫圖、測量，得到了x與y的幾組值，如下表：
x/cm
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
4
y/cm
4
3.5
3.2
t
2.8
2.1
1.4
0.7
0
補全上面表格，要求結(jié)果保留一位小數(shù)．則t≈　2.9?。?br /> （2）在下面的網(wǎng)格中建立平面直角坐標系，描出以補全后的表中各對對應值為坐標的點，畫出該函數(shù)的圖象．
（3）結(jié)合畫出的函數(shù)圖象，解決問題：當DB＝AE時，AE的長度約為　2.3　cm．

【分析】（1）按題意，認真測量即可；
（2）利用數(shù)據(jù)描點、連線；
（3）當DB＝AE時，y＝x，畫圖形測量交點橫坐標即可．
【解答】解：（1）根據(jù)題意量取數(shù)據(jù)為2.9
故答案為：2.9
（2）根據(jù)已知數(shù)據(jù)描點連線得：

（3）當DB＝AE時，y與x滿足y＝x，在（2）圖中，畫y＝x圖象，測量交點橫坐標為2.3．
故答案為：2.3
26．（7分）在平面直角坐標系xOy中，直線y＝4x+4與x軸，y軸分別交于點A，B，拋物線y＝ax2+bx﹣3a經(jīng)過點A，將點B向右平移5個單位長度，得到點C．
（1）求點C的坐標；
（2）求拋物線的對稱軸；
（3）若拋物線與線段BC恰有一個公共點，結(jié)合函數(shù)圖象，求a的取值范圍．
【分析】（1）根據(jù)坐標軸上點的坐標特征可求點B的坐標，根據(jù)平移的性質(zhì)可求點C的坐標；
（2）根據(jù)坐標軸上點的坐標特征可求點A的坐標，進一步求得拋物線的對稱軸；
（3）結(jié)合圖形，分三種情況：①a＞0；②a＜0，③拋物線的頂點在線段BC上；進行討論即可求解．
【解答】解：（1）與y軸交點：令x＝0代入直線y＝4x+4得y＝4，
∴B（0，4），
∵點B向右平移5個單位長度，得到點C，
∴C（5，4）；
（2）與x軸交點：令y＝0代入直線y＝4x+4得x＝﹣1，
∴A（﹣1，0），
將點A（﹣1，0）代入拋物線y＝ax2+bx﹣3a中得0＝a﹣b﹣3a，即b＝﹣2a，
∴拋物線的對稱軸x＝﹣＝﹣＝1；
（3）∵拋物線y＝ax2+bx﹣3a經(jīng)過點A（﹣1，0）且對稱軸x＝1，
由拋物線的對稱性可知拋物線也一定過A的對稱點（3，0），
①a＞0時，如圖1，
將x＝0代入拋物線得y＝﹣3a，
∵拋物線與線段BC恰有一個公共點，
∴﹣3a＜4，
a＞﹣，
將x＝5代入拋物線得y＝12a，
∴12a≥4，
解得a≥；
②a＜0時，如圖2，
將x＝0代入拋物線得y＝﹣3a，
∵拋物線與線段BC恰有一個公共點，
∴﹣3a＞4，
解得a＜﹣；
③當拋物線的頂點在線段BC上時，則頂點為（1，4），如圖3，
將點（1，4）代入拋物線得4＝a﹣2a﹣3a，
解得a＝﹣1．
綜上所述，a≥或a＜﹣或a＝﹣1．



27．（7分）在正方形ABCD中，M是BC邊上一點，且點M不與B、C重合，點P在射線AM上，將線段AP繞點A順時針旋轉(zhuǎn)90°得到線段AQ，連接BP，DQ．
（1）如圖1，當點P在線段AM上時，依題意補全圖1；
（2）在圖1的條件下，延長BP，QD交于點H，求證：∠H＝90°．
（3）在圖2中，當點P在線段AM的延長線上時，連接DP，若點P，Q，D恰好在同一條直線時，猜想DP，DQ，AB之間的數(shù)量關系，并證明．

【分析】（1）根據(jù)要求畫出圖形，即可得出結(jié)論；
（2）由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得AQ＝AP，∠QAP＝∠DAB＝90°，由“SAS”可證△AQD≌△APB，可得PB＝QD，∠AQD＝∠APB，由平角的性質(zhì)和四邊形內(nèi)角和定理可得∠QHP＝90°，即可得出結(jié)論；
（3）連接BD，如圖2，只要證明△ADQ≌△ABP，∠DPB＝90°，即可解決問題．
【解答】解：（1）補全圖形如圖1：


（2）如圖1，延長BP，QD交于點H，
∵四邊形ABCD是正方形，
∴AD＝AB，∠DAB＝90°，
∵將線段AP繞點A順時針旋轉(zhuǎn)90°得到線段AQ，
∴AQ＝AP，∠QAP＝∠DAB＝90°，
∴∠QAD＝∠BAP，
∴△AQD≌△APB（SAS），
∴PB＝QD，∠AQD＝∠APB，
∵∠APB+∠APH＝180°，
∴∠AQD+∠APH＝180°，
∵∠QAP+∠APH+∠AQD+∠H＝360°，
∴∠H＝90°；

（3）DP2+DQ2＝2AB2．
證明：連接BD，如圖2，
∵線段AP繞點A順時針旋轉(zhuǎn)90°得到線段AQ，
∴AQ＝AP，∠QAP＝90°，
∵四邊形ABCD是正方形，
∴AD＝AB，∠DAB＝90°，
∴∠1＝∠2．
∴△ADQ≌△ABP（SAS），
∴DQ＝BP，∠Q＝∠3，
∵在Rt△QAP中，∠Q+∠QPA＝90°，
∴∠BPD＝∠3+∠QPA＝90°，
在Rt△BPD中，DP2+BP2＝BD2，
又∵DQ＝BP，BD2＝2AB2，
∴DP2+DQ2＝2AB2．


28．（5分）在平面直角坐標系xOy中，對于點P（x，y）和Q（x，y'），給出如下定義：
若y′＝，則稱點Q為點P的“可控變點“
例如：點（1，2）的“可控變點”為點（1，2），點（﹣1，3）的”可控變點”為點（﹣1，﹣3）．
（1）點（﹣5，﹣2）的“可控變點”坐標為 ?。ī?，2）?。?br /> （2）若點P在函數(shù)y＝﹣x2+16的圖象上，其“可控變點”Q的縱坐標y'是7，求“可控變點”Q的橫坐標：
（3）若點P在函數(shù)y＝﹣x2+16（﹣5≤x≤a）的圖象上，其“可控變點”Q的縱坐標y'的取值范圍是﹣16≤y'≤16，求a
的值．
【分析】（1）根據(jù)可控變點的定義，可得答案
（2）根據(jù)可控變點的定義，可得函數(shù)解析式，根據(jù)自變量與函數(shù)值的對應關系，可得答案
（3）根據(jù)可控變點的定義，可得函數(shù)解析式，根據(jù)自變量與函數(shù)值的對應關系，可得答案
【解答】解（1）∵﹣5＜0
∴y'＝﹣y＝2
即點（﹣5，﹣2）的“可控變點”坐標為（﹣5，2）
（2）由題意得y＝﹣x2+16的圖象上的點P的“可控變點”必在函數(shù)
y′＝的圖象上，
∵“可控變點”Q的縱坐標y′的是7
∴當﹣x2+16＝7時，解得x＝3，
當x2﹣16＝7時，解得x＝﹣
故答案為：3或﹣
（3）由題意得∵﹣16≤y′≤16，
∴﹣16＝﹣x2+16
∴x＝4，

觀察圖象可知，實數(shù)a＝4．