2021-2022學年北京市西城區(qū)三帆中學九年級（上）期中數(shù)學試卷【含解析】

這是一份2021-2022學年北京市西城區(qū)三帆中學九年級（上）期中數(shù)學試卷【含解析】，共35頁。試卷主要包含了選擇題，填空題，解答題解答應寫出文字說明等內容，歡迎下載使用。
1．（2分）下列四個圖形中，不是中心對稱圖形的是（ ）
A．B．
C．D．
2．（2分）如圖，點A，B，C均在⊙O上，∠BOC＝100°，則∠BAC的度數(shù)為（ ）
A．70°B．60°C．50°D．40°
3．（2分）若方程（m﹣1）x|m|+1﹣2x＝3是關于x的一元二次方程，則m的值為（ ）
A．1B．﹣1C．±1D．不存在
4．（2分）方程x2﹣3x+1＝0的根的情況是（ ）
A．有兩個相等實數(shù)根B．有兩個不相等實數(shù)根
C．沒有實數(shù)根D．無法判斷
5．（2分）將拋物線y＝2x2向左平移1個單位，再向上平移3個單位得到的拋物線表達式是（ ）
A．y＝2（x﹣1）2﹣3B．y＝2（x+1）2+3
C．y＝2（x﹣1）2+3D．y＝2（x+1）2﹣3 5．
6．（2分）如圖，AB是⊙O的直徑，點C是⊙O上一點，若∠BAC＝30°，BC＝2，則AB的長為（ ）
A．2B．4C．6D．8
7．（2分）如圖，PA，PB分別與⊙O相切于A，B兩點，PA＝AB，則∠AOB＝（ ）
A．100°B．110°C．120°D．130°
8．（2分）如圖，已知直線y＝x﹣4與x軸、y軸分別交于A、B兩點，以C（0，1）為圓心，1為半徑的圓上找一動點P，連接PA、PB，則△PAB面積的最大值是（ ）
A．10B．9C．6+D．9
二、填空題（本題共16分，每小題2分）
9．（2分）二次函數(shù)y＝（x﹣1）2﹣2的最 值是 ．
10．（2分）將二次函數(shù)y＝x2﹣6x+8用配方法化成y＝（x﹣h）2+k的形式為y＝ ．
11．（2分）若x＝a是一元二次方程2x2﹣3x﹣5＝0的一個實數(shù)根，那么代數(shù)式3+2a2﹣3a＝ ．
12．（2分）如圖，⊙O的半徑為10，AB為弦，OC⊥AB，垂足為E，如果CE＝4，那么AB的長是 ．
13．（2分）點A（﹣3，y1），B（2，y2）在拋物線y＝x2﹣2x上，則y1 y2．（填“＞”“＜”或“＝”）
14．（2分）如圖，等腰直角三角形ABC繞點A逆時針旋轉60°，得到△ADE．連接BD，則∠CBD＝ ．
15．（2分）一個扇形的半徑為4，圓心角為90°，則此扇形的弧長為 ．
16．（2分）京劇作為一門中國文化的傳承藝術，深受外國友人青睞．如圖，在平面直角坐標系xOy中，某臉譜輪廓可以近似地看成是一個半圓與拋物線的一部分組合成的封閉圖形，記作圖形G．點A，B，C，D分別是圖形G與坐標軸的交點，已知點B的坐標為（0，﹣4），線段CD為半圓的直徑，且CD＝4，點M在半圓上，點N在拋物線上，N的縱坐標為﹣2，MN與y軸平行．下列關于圖形G的四個結論，其中正確的有 ．（填正確結論的序號）
①圖形G關于直線y＝0對稱；
②線段MN的長為2+；
③扇形OMA的面積S扇形OMA＝π；
④當﹣4＜a＜2時，直線y＝a與圖形G有兩個公共點．
三、解答題（本題共68分，第17題4分；第18-22題，每題5分；第23-25題，每題6分；第26-28題，每題7分）解答應寫出文字說明、演算步驟或證明過程。
17．（4分）解方程：x2﹣4x﹣2＝0．
18．（5分）已知二次函數(shù)y＝x2﹣4x+3．
（1）補全表格，在平面直角坐標系中用描點法畫出該二次函數(shù)的圖象；
（2）根據圖象回答：當0≤x＜3時，y的取值范圍是 ．
19．（5分）已知關于x的方程x2﹣2x+2k﹣1＝0有兩個實數(shù)根．
（1）求k的取值范圍；
（2）若k為正整數(shù)，求此時方程的解．
20．（5分）已知：在平面直角坐標系xOy中，二次函數(shù)y＝x2+bx+c的圖象與x軸，y軸的交點分別為A（1，0）和B（0，﹣5）．
（1）求此二次函數(shù)的表達式；
（2）若此拋物線的對稱軸交x軸于點C，求S△ABC．
21．（5分）已知：如圖，點A（﹣3，1），B（﹣1，4），C（﹣1，1）是平面直角坐標系中的三個點，將△ABC向右平移3個單位長度．
（1）請畫出平移后的圖形△A1B1C1；
（2）再將△A1B1C1繞原點O旋轉180°，請畫出旋轉后的圖形△A2B2C2，并寫出點B2的坐標為 ．
22．（5分）劉師傅開了一家商店，今年2月份盈利2500元．4月份的盈利達到3600元，且從2月到4月，每個月盈利的增長率相同．
（1）求每個月盈利的增長率；
（2）按照這個增長率，請你估計這家商店5月份的盈利將達到多少元？
23．（6分）下面是小海同學設計的“過圓外一點作圓的一條切線”的尺規(guī)作圖過程．
已知：如圖，已知⊙O及⊙O外一點A．
求作：過A點的⊙O的一條切線．
作法：①連接AO交⊙O于點D，并延長AO交⊙O于點E；
②以點A為圓心，AO的長為半徑畫弧，以點O為圓心，DE的長為半徑畫弧，兩弧交于點B；
③連接OB交⊙O于點C，作直線AC；
則直線AC是⊙O的一條切線．
請你根據小海同學的設計的尺規(guī)作圖過程．
（1）使用直尺和圓規(guī)，補全圖形；（保留作圖痕跡）
（2）完成證明：
∵OB＝DE＝2OD＝2OC，
∴點C為OB的中點．
∵AO＝AB，
∴AC⊥OB（ ）（填推理的依據）．
又∵OC是⊙O的半徑．
∴AC是⊙O的切線（ ）（填推理的依據）．
24．（6分）法國數(shù)學家韋達討論了方程根的各種有理變換，發(fā)現(xiàn)了一元二次方程的根與系數(shù)之間的關系：如果一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的兩個根是x1，x2，那么x1+x2＝﹣，x1?x2＝．
后來人們將這個一元二次方程根與系數(shù)的關系稱為“韋達定理”．這一結論同學們由求根公式也很容易得到．
請你根據“韋達定理”解決以下三個問題：
（1）已知x1，x2是方程2x2﹣7x+4＝0的兩根，則x1+x2＝ ，x1?x2＝ ；
（2）設x1，x2是方程2x2﹣6x+3＝0的兩個根，則x12+x22的值是 ；
A.15
B.12
C.6
D.3
（3）若x1，x2是兩個不相等的實數(shù)，且滿足x12﹣2x1＝5，x22﹣2x2＝5，那么x1?x2＝ ．
25．（6分）已知：如圖，AB是⊙O的直徑，點M為半徑OA的中點，弦CD⊥AB于點M，過點D作DE⊥CA交CA的延長線于點E．
（1）求證：DE是⊙O的切線；
（2）若點F在弧BD上，且∠DCF＝45°，CF交AB于點N．
①請補全圖形；
②若DE＝，求FN的長．
26．（7分）在平面直角坐標系中，已知拋物線y＝mx2﹣2mx+m+4．
（1）若拋物線經過點（3，0）；
①求該拋物線的表達式；
②將拋物線在第一象限的部分記為圖象G．如果經過點（﹣1，4）的直線y＝kx+t與圖象G有公共點，請在圖1中結合函數(shù)圖象，求t的取值范圍；
（2）橫、縱坐標都是整數(shù)的點叫整點．記拋物線與x軸的交點為A、B．若拋物線在點A、B之間的部分與線段AB所圍成的區(qū)域內（不包含邊界）恰有7個整點，請結合函數(shù)圖象，直接寫出m的取值范圍．
27．（7分）在△ABC中，AD為∠BAC的平分線，E為邊AC中點，線段EA繞點E旋轉得到線段EF（點F是點A的對應點），連接AF，直線EF交直線AB于點G．
（1）如圖1，當△ABC為等邊三角形且點G在邊AB上時，若∠FAD＝20°，則∠AGE＝ ；
（2）如圖2，點G在邊AB上，AD與EG交于點O，OG＝OA，AG＝AD，求證：GF＝FD．
（3）如圖3，若∠BAC＞60°，過點C作CM⊥直線AD于M，連接MF，當MF＝AE時，請直接寫出∠FAC與∠DAC的數(shù)量關系．
28．（7分）在∠MON的兩邊OM，ON上分別取點H，I，作弧HI（可以是優(yōu)弧，也可以是劣弧）．若弧HI上所有點都在∠MON內部或邊上，稱點H、I是∠MON的內嵌點，弧HI所在圓的半徑為∠MON的“角半徑”，記為R∠MON．
例如，圖1、圖2、圖3中的H、I都是∠MON的內嵌點．
已知∠MON＝60°，H、I是∠MON的內嵌點時，
（1）當OH＝OI＝2時，R∠MON的最小值是 ；
（2）當OH＝2，弧HI是半圓時，求線段OI長度的取值范圍；
（3）當OH≤OI，R∠MON＝3，l弧HI＝2π時，求線段OI長度的范圍．
2021-2022學年北京市西城區(qū)三帆中學九年級（上）期中數(shù)學試卷
參考答案與試題解析
一、選擇題（本題共16分，每小題2分）
1．（2分）下列四個圖形中，不是中心對稱圖形的是（ ）
A．B．
C．D．
【分析】把一個圖形繞某一點旋轉180°，如果旋轉后的圖形能夠與原來的圖形重合，那么這個圖形就叫做中心對稱圖形，根據中心對稱圖形的概念求解．
【解答】解：選項A不能找到這樣的一個點，使圖形繞某一點旋轉180°后與原來的圖形重合，所以不是中心對稱圖形，
選項B、C、D能找到這樣的一個點，使圖形繞某一點旋轉180°后與原來的圖形重合，所以是中心對稱圖形，
故選：A．
【點評】本題主要考查了中心對稱圖形，中心對稱圖形是要尋找對稱中心，旋轉180度后與原圖重合．
2．（2分）如圖，點A，B，C均在⊙O上，∠BOC＝100°，則∠BAC的度數(shù)為（ ）
A．70°B．60°C．50°D．40°
【分析】直接利用圓周角定理求解．
【解答】解：∵∠BAC為所對的圓周角，∠BOC為所對的圓心角，
∴∠BAC＝∠BOC＝×100°＝50°．
故選：C．
【點評】本題考查了圓周角定理：在同圓或等圓中，同弧或等弧所對的圓周角相等，都等于這條弧所對的圓心角的一半．
3．（2分）若方程（m﹣1）x|m|+1﹣2x＝3是關于x的一元二次方程，則m的值為（ ）
A．1B．﹣1C．±1D．不存在
【分析】根據“未知數(shù)的最高次數(shù)是2”；“二次項的系數(shù)不等于0”可得：|m|+1＝2，且m﹣1≠0，再解即可．
【解答】解：由題意得：|m|+1＝2，且m﹣1≠0，
解得：m＝﹣1，
故選：B．
【點評】此題主要考查了一元二次方程的定義，判斷一個方程是否是一元二次方程應注意抓住5個方面：“化簡后”；“一個未知數(shù)”；“未知數(shù)的最高次數(shù)是2”；“二次項的系數(shù)不等于0”；“整式方程”．
4．（2分）方程x2﹣3x+1＝0的根的情況是（ ）
A．有兩個相等實數(shù)根B．有兩個不相等實數(shù)根
C．沒有實數(shù)根D．無法判斷
【分析】把a＝1，b＝﹣3，c＝1代入Δ＝b2﹣4ac進行計算，然后根據計算結果判斷方程根的情況．
【解答】解：∵a＝1，b＝﹣3，c＝1，
∴Δ＝b2﹣4ac＝（﹣3）2﹣4×1×1＝5＞0，
所以方程有兩個不相等的實數(shù)根．
故選：B．
【點評】本題考查了一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0，a，b，c為常數(shù)）的根的判別式Δ＝b2﹣4ac．當Δ＞0時，方程有兩個不相等的實數(shù)根；當Δ＝0時，方程有兩個相等的實數(shù)根；當Δ＜0時，方程沒有實數(shù)根．
5．（2分）將拋物線y＝2x2向左平移1個單位，再向上平移3個單位得到的拋物線表達式是（ ）
A．y＝2（x﹣1）2﹣3B．y＝2（x+1）2+3
C．y＝2（x﹣1）2+3D．y＝2（x+1）2﹣3 5．
【分析】根據題意得新拋物線的頂點（﹣2，3），根據頂點式及平移前后二次項的系數(shù)不變可設新拋物線的解析式為：y＝3（x﹣h）2+k，再把（﹣2，3）點代入即可得新拋物線的解析式．
【解答】解：原拋物線的頂點為（0，0），向左平移1個單位，再向上平移3個單位，那么新拋物線的頂點為（﹣1，3），
可得新拋物線的解析式為：y＝2（x+1）2+3，
故選：B．
【點評】此題主要考查了二次函數(shù)圖象與幾何變換，解決本題的關鍵是得到新拋物線的頂點坐標．
6．（2分）如圖，AB是⊙O的直徑，點C是⊙O上一點，若∠BAC＝30°，BC＝2，則AB的長為（ ）
A．2B．4C．6D．8
【分析】先根據圓周角定理得到∠ACB＝90°，然后利用含30度的直角三角形三邊的關系求AB的長．
【解答】解：∵AB是⊙O的直徑，
∴∠ACB＝90°，
∵∠BAC＝30°，
∴AB＝2BC＝2×2＝4．
故選：B．
【點評】本題考查了圓周角定理：在同圓或等圓中，同弧或等弧所對的圓周角相等，都等于這條弧所對的圓心角的一半．半圓（或直徑）所對的圓周角是直角，90°的圓周角所對的弦是直徑．
7．（2分）如圖，PA，PB分別與⊙O相切于A，B兩點，PA＝AB，則∠AOB＝（ ）
A．100°B．110°C．120°D．130°
【分析】根據切線的性質得到PA＝PB，OA⊥AP，OB⊥PB，求得∠OAP＝∠OBP＝90°，推出△APB是等邊三角形，得到∠P＝60°，于是得到結論．
【解答】解：∵PA，PB分別與⊙O相切于A，B兩點，
∴PA＝PB，OA⊥AP，OB⊥PB，
∴∠OAP＝∠OBP＝90°，
∵PA＝AB，
∴△APB是等邊三角形，
∴∠P＝60°，
∴∠AOB＝360°﹣∠OAP﹣∠OBP﹣∠P＝120°，
故選：C．
【點評】本題考查了切線的性質：圓的切線垂直于經過切點的半徑，掌握相關性質定理正確推理論證是解題關鍵．
8．（2分）如圖，已知直線y＝x﹣4與x軸、y軸分別交于A、B兩點，以C（0，1）為圓心，1為半徑的圓上找一動點P，連接PA、PB，則△PAB面積的最大值是（ ）
A．10B．9C．6+D．9
【分析】如圖過點C作CH⊥AB于H，延長HC交⊙C于P′．點P與P′重合時，△PAB的面積最大，求出P′H、AB的值即可解決問題．
【解答】解：如圖過點C作CH⊥AB于H，延長HC交⊙C于P′．
∵直線AB的解析式為y＝x﹣4，
∴直線CH的解析式為y＝﹣x+1，
由解得，
∴H（，﹣），
∴CH＝＝3，P′H＝3+1＝4，
∵A（5，0），B（0，﹣4），
∴AB＝5，
∵點P與P′重合時，△PAB的面積最大，
∴△PAB面積的最大值為×5×4＝10，
故選：A．
【點評】本題考查一次函數(shù)圖象上點的特征、點與圓的位置關系等知識，解題的關鍵是學會添加常用輔助線，正確尋找點P的位置確定最大值，屬于中考?？碱}型．
二、填空題（本題共16分，每小題2分）
9．（2分）二次函數(shù)y＝（x﹣1）2﹣2的最 小 值是 ﹣2 ．
【分析】根據二次函數(shù)的性質即可求出答案．
【解答】解：由題意可知：二次函數(shù)y＝（x﹣1）2﹣2的開口向上，
則當x＝1時，最小值為﹣2，
故答案為：小，﹣2．
【點評】本題考查了二次函數(shù)的最值，二次函數(shù)的性質，解題的關鍵是熟練運用二次函數(shù)的性質，本題屬于基礎題型．
10．（2分）將二次函數(shù)y＝x2﹣6x+8用配方法化成y＝（x﹣h）2+k的形式為y＝ （x﹣3）2﹣1 ．
【分析】運用配方法把一般式化為頂點式即可．
【解答】解：y＝x2﹣6x+8＝x2﹣6x+9﹣1＝（x﹣3）2﹣1，
故答案為：（x﹣3）2﹣1．
【點評】本題考查的是二次函數(shù)的三種形式，正確運用配方法把一般式化為頂點式是解題的關鍵．
11．（2分）若x＝a是一元二次方程2x2﹣3x﹣5＝0的一個實數(shù)根，那么代數(shù)式3+2a2﹣3a＝ 8 ．
【分析】把x＝a代入方程2x2﹣3x﹣5＝0得到2a2﹣3a﹣5＝0，進一步得到2a2﹣3a＝5，然后整體代入即可求解．
【解答】解：∵x＝a是一元二次方程2x2﹣3x﹣5＝0的一個實數(shù)根，
∴2a2﹣3a﹣5＝0，
∴2a2﹣3a＝5，
∴3+2a2﹣3a＝3+5＝8，
故答案為：8．
【點評】本題考查了一元二次方程的解的定義，解題關鍵在于能夠整體代入，也是本題容易出錯的地方．
12．（2分）如圖，⊙O的半徑為10，AB為弦，OC⊥AB，垂足為E，如果CE＝4，那么AB的長是 16 ．
【分析】連接OA，由垂徑定理可知AB＝2AE，再求出OE＝6，然后在Rt△AOE中利用勾股定理求出AE＝8，進而可求AB．
【解答】解：連接OA，
∵半徑OC⊥AB，
∴AE＝BE＝AB，
∵OC＝10，CE＝4，
∴OE＝OC﹣CE＝6，
在Rt△AOE中，AE＝＝＝8，
∴AB＝2AE＝16，
故答案為：16．
【點評】本題考查的是垂徑定理好勾股定理，正確作出輔助線，構造出直角三角形是解答此題的關鍵．
13．（2分）點A（﹣3，y1），B（2，y2）在拋物線y＝x2﹣2x上，則y1 ＞ y2．（填“＞”“＜”或“＝”）
【分析】分別計算x＝﹣3和x＝2對應的函數(shù)值可判斷y1 與y2的大?。?br>【解答】解：當x＝﹣3時，y1＝x2﹣2x＝（﹣3）2﹣2×（﹣3）＝9+6＝15；
當x＝2時，y2＝x2﹣2x＝22﹣2×2＝0，
所以y1＞y2．
故選＞．
【點評】本題考查了二次函數(shù)圖象上點的坐標特征：二次函數(shù)圖象上的點的坐標滿足其解析式．
14．（2分）如圖，等腰直角三角形ABC繞點A逆時針旋轉60°，得到△ADE．連接BD，則∠CBD＝ 15° ．
【分析】由旋轉的性質可得三角形ABD是等邊三角形，從而知∠ABD＝60，再由△ABC是等腰直角三角形即可得出結果．
【解答】解：∵等腰直角三角形ABC繞點A逆時針旋轉60°，得到△ADE，
∴AB＝AD，∠BAD＝60°，
∴△ABD是等邊三角形，
∴∠ABD＝60°，
∵△ABC是等腰直角三角形，
∴∠ABC＝45°，
∴∠CBD＝∠ABD﹣∠ABC
＝60°﹣45°
＝15°，
故答案為：15°．
【點評】本題考查了旋轉的性質，等邊三角形的判定與性質，等腰直角三角形的性質，明確旋轉前后對應邊相等解題的關鍵．
15．（2分）一個扇形的半徑為4，圓心角為90°，則此扇形的弧長為 2π ．
【分析】根據弧長的計算公式直接解答即可．
【解答】解：扇形弧長為：＝2π，
故答案為：2π．
【點評】本題考查了弧長的計算，熟記弧長的計算公式即可．
16．（2分）京劇作為一門中國文化的傳承藝術，深受外國友人青睞．如圖，在平面直角坐標系xOy中，某臉譜輪廓可以近似地看成是一個半圓與拋物線的一部分組合成的封閉圖形，記作圖形G．點A，B，C，D分別是圖形G與坐標軸的交點，已知點B的坐標為（0，﹣4），線段CD為半圓的直徑，且CD＝4，點M在半圓上，點N在拋物線上，N的縱坐標為﹣2，MN與y軸平行．下列關于圖形G的四個結論，其中正確的有 ②④ ．（填正確結論的序號）
①圖形G關于直線y＝0對稱；
②線段MN的長為2+；
③扇形OMA的面積S扇形OMA＝π；
④當﹣4＜a＜2時，直線y＝a與圖形G有兩個公共點．
【分析】由圖象可知圖形G關于直線x＝0對稱，則①不正確；根據點N的縱坐標可以得出NE＝2，再根據已知求出拋物線解析式，求出N的橫坐標，再求出OE＝ME＝，從而可判斷②；G根據OE＝ME，可得∠MOE＝∠MOA＝45°，根據扇形的面積公式可以判斷③；由圖象可知當﹣4＜a＜2時，直線y＝a與圖形G有兩個公共點，則可判斷④．
【解答】解：由圖象可知圖形G關于y軸對稱，即關于直線x＝0對稱，故①錯誤；
如圖所示：MN和x軸相交于E，
∵線段CD為半圓的直徑，且CD＝4，
∴點C（﹣2，0），點D（2，0），
∵點B的坐標為（0，﹣4），
∴設拋物線解析式為y＝mx2﹣4，
把點C（﹣2，0）代入解析式得：4m﹣4＝0，
解得：m＝1，
∴拋物線解析式為y＝x2﹣4，
∵點N在拋物線上，N的縱坐標為﹣2，
∴x2﹣4＝﹣2，
解得：x＝±，
∴點N的橫坐標為﹣，
則點E（﹣，0），即OE＝，
∵OM＝OD＝OC＝2，
∴ME＝＝＝，
∴MN＝ME+NE＝+2，
故②正確；
∵OE＝ME，
∴∠MOE＝∠MOA＝45°，
∴S扇形OMA＝＝＝π，
故③錯誤；
由圖形可知，當﹣4＜a＜2時，直線y＝a與圖形G有兩個公共點，
故④正確．
故答案為：②④．
【點評】本題考查了二次函數(shù)在幾何圖形問題中的應用、圓的定義及勾股定理等知識點，數(shù)形結合、熟練掌握相關性質及定理是解題的關鍵．
三、解答題（本題共68分，第17題4分；第18-22題，每題5分；第23-25題，每題6分；第26-28題，每題7分）解答應寫出文字說明、演算步驟或證明過程。
17．（4分）解方程：x2﹣4x﹣2＝0．
【分析】先計算出△＝（﹣4）2﹣4×1×（﹣2）＝4×6，然后代入一元二次方程的求根公式進行求解．
【解答】解：∵a＝1，b＝﹣4，c＝﹣2，
∴△＝（﹣4）2﹣4×1×（﹣2）＝4×6＞0，
∴x＝＝＝2±，
∴x1＝2+，x2＝2﹣．
【點評】本題解一元二次方程﹣公式法：一元二次方程ax2+bx+c＝0（a、b、c為常數(shù)，a≠0）的求根公式為x＝（b2﹣4ac≥0）．
18．（5分）已知二次函數(shù)y＝x2﹣4x+3．
（1）補全表格，在平面直角坐標系中用描點法畫出該二次函數(shù)的圖象；
（2）根據圖象回答：當0≤x＜3時，y的取值范圍是 ﹣1≤y≤3 ．
【分析】（1）根據題目中的函數(shù)解析式可以將表格中補充完整，然后描點、連線作出圖象即可；
（2）根據函數(shù)圖象寫出y的取值范圍即可．
【解答】解：（1）列表：
描點、連線畫出函數(shù)圖象如圖：
；
（2）0≤x＜3時，y的取值范圍是﹣1≤y≤3．
故答案為：﹣1≤y≤3．
【點評】本題考查了二次函數(shù)與不等式的關系，二次函數(shù)的性質，熟練掌握二次函數(shù)的性質以及函數(shù)圖象的作法是解題的關鍵．
19．（5分）已知關于x的方程x2﹣2x+2k﹣1＝0有兩個實數(shù)根．
（1）求k的取值范圍；
（2）若k為正整數(shù)，求此時方程的解．
【分析】（1）由方程有兩個實數(shù)根可得（﹣2）2﹣4×1?（2k﹣1）≥0，解不等式即可求出k的取值范圍；
（2）由k為正整數(shù)和k≤1可得k＝1，從而可得原方程為x2﹣2x+1＝0，解方程即可求出方程的解．
【解答】解：（1）∵x2﹣2x+2k﹣1＝0有兩個實數(shù)根，
∴Δ≥0，
∴（﹣2）2﹣4×1?（2k﹣1）≥0，
解得k≤1；
（2）由（1）知k≤1，
∵k為正整數(shù)，
∴k＝1，
∴原方程為：x2﹣2x+1＝0，
∴（x﹣1）2＝0，
∴x1＝x2＝1．
【點評】此題考查了根的判別式和一元二次方程的解法，熟練掌握一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根與Δ＝b2﹣4ac的關系：當Δ＞0時，方程有兩個不相等的實數(shù)根；當Δ＝0時，方程有兩個相等的實數(shù)根；當Δ＜0時，方程無實數(shù)根是解本題的關鍵．
20．（5分）已知：在平面直角坐標系xOy中，二次函數(shù)y＝x2+bx+c的圖象與x軸，y軸的交點分別為A（1，0）和B（0，﹣5）．
（1）求此二次函數(shù)的表達式；
（2）若此拋物線的對稱軸交x軸于點C，求S△ABC．
【分析】（1）把（1，0）和（0，﹣5）代入y＝x2+bx+c得到關于b、c的方程組，然后解方程組即可得到拋物線解析式；
（2）求得對稱軸，得到C的坐標，然后根據三角形面積公式求得即可．
【解答】解：（1）∵拋物線y＝x2+bx+c與x軸、y軸的交點分別為（1，0）和（0，﹣5），
∴，解得：．
∴拋物線的表達式為：y＝x2+4x﹣5．
（2）∵y＝x2+4x﹣5＝（x+2）2﹣9，
∴對稱軸為直線x＝﹣2，
∴C（﹣2，0），
∵A（1，0），B（0，﹣5），
∴AC＝3，
∴S△ABC＝＝．
【點評】本題考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式，二次函數(shù)圖象上點的坐標特征，三角形的面積，熟練掌握待定系數(shù)法是解題的關鍵．
21．（5分）已知：如圖，點A（﹣3，1），B（﹣1，4），C（﹣1，1）是平面直角坐標系中的三個點，將△ABC向右平移3個單位長度．
（1）請畫出平移后的圖形△A1B1C1；
（2）再將△A1B1C1繞原點O旋轉180°，請畫出旋轉后的圖形△A2B2C2，并寫出點B2的坐標為 （﹣2，﹣4） ．
【分析】（1）根據平移的性質分別作出A，B，C的對應點A1，B1，C1即可；
（2）根據旋轉的性質分別作出A，B，C的對應點A2，B2，C2即可．
【解答】解：（1）如圖，△A1B1C1即為所求；
（2）如圖，△A2B2C2即為所求；點B2的坐標為（﹣2，﹣4）．
故答案為：（﹣2，﹣4）．
【點評】本題考查作圖﹣旋轉變換，平移變換等知識，解題的關鍵是熟練掌握基本知識，屬于中考?？碱}型．
22．（5分）劉師傅開了一家商店，今年2月份盈利2500元．4月份的盈利達到3600元，且從2月到4月，每個月盈利的增長率相同．
（1）求每個月盈利的增長率；
（2）按照這個增長率，請你估計這家商店5月份的盈利將達到多少元？
【分析】（1）設每個月盈利的增長率為x，利用4月份的盈利金額＝2月份的盈利金額×（1+增長率）2，即可得出關于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出每個月盈利的增長率為20%；
（2）利用這家商店5月份的盈利金額＝這家商店4月份的盈利金額×（1+增長率），即可估計出這家商店5月份的盈利將達到4320元．
【解答】解：（1）設每個月盈利的增長率為x，
依題意得：2500（1+x）2＝3600，
解得：x1＝0.2＝20%，x2＝﹣2.2（不合題意，舍去）．
答：每個月盈利的增長率為20%．
（2）3600×（1+20%）
＝3600×1.2
＝4320（元）．
答：按照這個增長率，估計這家商店5月份的盈利將達到4320元．
【點評】本題考查了一元二次方程的應用，找準等量關系，正確列出一元二次方程是解題的關鍵．
23．（6分）下面是小海同學設計的“過圓外一點作圓的一條切線”的尺規(guī)作圖過程．
已知：如圖，已知⊙O及⊙O外一點A．
求作：過A點的⊙O的一條切線．
作法：①連接AO交⊙O于點D，并延長AO交⊙O于點E；
②以點A為圓心，AO的長為半徑畫弧，以點O為圓心，DE的長為半徑畫弧，兩弧交于點B；
③連接OB交⊙O于點C，作直線AC；
則直線AC是⊙O的一條切線．
請你根據小海同學的設計的尺規(guī)作圖過程．
（1）使用直尺和圓規(guī)，補全圖形；（保留作圖痕跡）
（2）完成證明：
∵OB＝DE＝2OD＝2OC，
∴點C為OB的中點．
∵AO＝AB，
∴AC⊥OB（ 等腰三角形底邊上的中線垂直于底邊 ）（填推理的依據）．
又∵OC是⊙O的半徑．
∴AC是⊙O的切線（ 經過半徑的外端且垂直于這條半徑的直線是圓的切線 ）（填推理的依據）．
【分析】（1）根據作法完成畫圖即可；
（2）根據等腰三角形的性質和切線的判定定理即可完成證明．
【解答】解：（1）補全圖形如圖所示；
（2）證明：∵OB＝DE＝2OD＝2OC，
∴點C為OB的中點．
∵AO＝AB，
∴AC⊥OB（等腰三角形底邊上的中線垂直于底邊），
又∵OC是⊙O的半徑．
∴AC是⊙O的切線（經過半徑的外端且垂直于這條半徑的直線是圓的切線）．
故答案為：等腰三角形底邊上的中線垂直于底邊，經過半徑的外端且垂直于這條半徑的直線是圓的切線．
【點評】本題考查了作圖﹣復雜作圖：復雜作圖是在五種基本作圖的基礎上進行作圖，一般是結合了幾何圖形的性質和基本作圖方法．解決此類題目的關鍵是熟悉基本幾何圖形的性質，結合幾何圖形的基本性質把復雜作圖拆解成基本作圖，逐步操作．
24．（6分）法國數(shù)學家韋達討論了方程根的各種有理變換，發(fā)現(xiàn)了一元二次方程的根與系數(shù)之間的關系：如果一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的兩個根是x1，x2，那么x1+x2＝﹣，x1?x2＝．
后來人們將這個一元二次方程根與系數(shù)的關系稱為“韋達定理”．這一結論同學們由求根公式也很容易得到．
請你根據“韋達定理”解決以下三個問題：
（1）已知x1，x2是方程2x2﹣7x+4＝0的兩根，則x1+x2＝ ，x1?x2＝ 2 ；
（2）設x1，x2是方程2x2﹣6x+3＝0的兩個根，則x12+x22的值是 C ；
A.15
B.12
C.6
D.3
（3）若x1，x2是兩個不相等的實數(shù)，且滿足x12﹣2x1＝5，x22﹣2x2＝5，那么x1?x2＝ ﹣5 ．
【分析】（1）直接利用根與系數(shù)的關系求解；
（2）先根據根與系數(shù)的關系得到x1+x2＝3，x1?x2＝，再利用完全平方公式變形得到x12+x22＝（x1+x2）2﹣2x1?x2，然后利用整體代入的方法計算；
（3）根據已知條件，可把x1，x2可看作方程x2﹣2x﹣5＝0，然后根據根與系數(shù)的關系求解．
【解答】解：（1）x1+x2＝，x1?x2＝2；
故答案為；2；
（2）根據根與系數(shù)的關系得x1+x2＝3，x1?x2＝，
所以x12+x22＝（x1+x2）2﹣2x1?x2＝32﹣2×＝6；
故選：C．
（3）∵x1，x2是兩個不相等的實數(shù)，且滿足x12﹣2x1＝5，x22﹣2x2＝5，
∴x1，x2可看作方程x2﹣2x﹣5＝0，
∴x1?x2＝﹣5．
故答案為﹣5．
【點評】本題考查了根與系數(shù)之間的關系：如果一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的兩個根是x1，x2，那么x1+x2＝﹣，x1?x2＝．
25．（6分）已知：如圖，AB是⊙O的直徑，點M為半徑OA的中點，弦CD⊥AB于點M，過點D作DE⊥CA交CA的延長線于點E．
（1）求證：DE是⊙O的切線；
（2）若點F在弧BD上，且∠DCF＝45°，CF交AB于點N．
①請補全圖形；
②若DE＝，求FN的長．
【分析】（1）先證明△OMD≌△AMC，證明∠ODM＝∠ACM，得OD∥AC，則∠ODE＝180°﹣∠90°＝90°，再根據切線的判定定理證明DE是⊙O的切線；
（2）①補全圖形中的字母N即可；
②連接OC，作FG⊥AB于點G，先證明△AOC是等邊三角形，得∠ACO＝∠MOC＝60°，則∠OCM＝∠ACM＝∠ACO＝30°，求出半徑OC的長，再根據圓周角定理得∠DOF＝2∠DCF＝90°，OD∥AC得∠DOM＝∠CAM＝60°，可求得∠FOG＝180°﹣60°﹣90°＝30°，可求出FG和FN的長．
【解答】（1）證明：如圖，在⊙O中，
∵CD⊥AB于點M，
∴DM＝CM，
∵∠OMD＝∠AMC＝90°，OM＝AM，
∴△OMD≌△AMC（SAS），
∴∠ODM＝∠ACM，
∴OD∥AC，
∵DE⊥CA，
∴∠E＝90°，
∴∠ODE＝180°﹣∠90°＝90°，
∵OD是⊙O的半徑，且DE⊥OD，
∴DE是⊙O的切線．
（2）①補全圖形如圖所示．
②如圖，連接OC，作FG⊥AB于點G，則∠OGF＝90°，
∵CD垂直平分OA，
∴AC＝OC＝OA，
∴△AOC是等邊三角形，
∴∠ACO＝∠MOC＝60°，
∴∠OCM＝∠ACM＝∠ACO＝30°，
∴DE＝CD，
∵CM＝CD，
∴CM＝DE＝，
∵∠OMC＝90°，
∴OM＝OC，
∵OM2+CM2＝OC2，
∴（OC）2+（）2＝OC2，
解得OC＝2或OC＝﹣2（不符合題意，舍去），
∴OF＝OC＝2，
∵∠DCF＝45°，
∴∠DOF＝2∠DCF＝90°，
∵∠DOM＝∠CAM＝60°，
∴∠FOG＝180°﹣60°﹣90°＝30°，
∴FG＝OF＝1，
∵∠MNC＝∠MCN＝45°，
∴∠GNF＝∠MNC＝45°，
∴∠GFN＝∠GNF＝45°，
∴NG＝FG＝1，
∴FN＝＝．
【點評】此題考查圓的切線的判定、全等三角形的判定與性質、等邊三角形的判定與性質、直角三角形中30°角所對的直角邊等于斜邊的一半、勾股定理等知識，解題的關鍵是正確地作出所需要的輔助線．
26．（7分）在平面直角坐標系中，已知拋物線y＝mx2﹣2mx+m+4．
（1）若拋物線經過點（3，0）；
①求該拋物線的表達式；
②將拋物線在第一象限的部分記為圖象G．如果經過點（﹣1，4）的直線y＝kx+t與圖象G有公共點，請在圖1中結合函數(shù)圖象，求t的取值范圍；
（2）橫、縱坐標都是整數(shù)的點叫整點．記拋物線與x軸的交點為A、B．若拋物線在點A、B之間的部分與線段AB所圍成的區(qū)域內（不包含邊界）恰有7個整點，請結合函數(shù)圖象，直接寫出m的取值范圍．
【分析】（1）①將（3，0）函數(shù)解析式求解．
②把（﹣1，4）代入y＝kx+t得y＝（t﹣4）x+4，然后由二次函數(shù)解析式可得拋物線頂點（1，4），經過點（0，3），（3，0），將坐標分別代入直線解析式求解．
（2）根據拋物線對稱軸為直線x＝1，通過數(shù)形結合可得區(qū)域內有七個整點分別為（0，1），（1，1），（2，1），（0，2），（1，2），（2，2），（1，3），進而求解．
【解答】解：（1）①將（3，0）代入y＝mx2﹣2mx+m+4得0＝9m﹣6m+m+4，
解得m＝﹣1，
∴y＝﹣x2+2x+3．
②把（﹣1，4）代入y＝kx+t得4＝﹣k+t，
整理得k＝t﹣4，
∴y＝（t﹣4）x+4，
∵拋物線解析式為y＝﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1）2+4，
∴拋物線頂點坐標為（1，4），
把x＝0代入y＝﹣x2+2x+3得y＝3，
∴拋物線與y軸交點為（0，3），
將（1，4）代入y＝（t﹣4）x+t得4＝2t﹣4，
解得t＝4，
將（0，3）代入y＝（t﹣4）x+t得3＝t，
將（3，0）代入y＝（t﹣4）x+t得3（t﹣4）+t＝0，
解得t＝3，
∴3＜t≤4滿足題意．
（2）∵y＝mx2﹣2mx+m+4＝m（x﹣1）2+4，
∴拋物線頂點坐標為（1，4），
m＞0時，拋物線開口向上，與x軸無交點，不符合題意．
m＜0時，拋物線開口向下，
如圖，
當區(qū)域內包含整點（0，1），（1，1），（2，1），（0，2），（1，2），（2，2），（1，3）時滿足題意，
拋物線與y軸交點（0，m+4）在直線y＝2與y＝3之間，
拋物線與直線x＝﹣1交點（﹣1，4m+4）在直線y＝1下方，
即，
解得﹣2＜m≤﹣1．
【點評】本題考查二次函數(shù)的綜合應用，解題關鍵是掌握二次函數(shù)的性質，通過數(shù)形結合求解．
27．（7分）在△ABC中，AD為∠BAC的平分線，E為邊AC中點，線段EA繞點E旋轉得到線段EF（點F是點A的對應點），連接AF，直線EF交直線AB于點G．
（1）如圖1，當△ABC為等邊三角形且點G在邊AB上時，若∠FAD＝20°，則∠AGE＝ 40° ；
（2）如圖2，點G在邊AB上，AD與EG交于點O，OG＝OA，AG＝AD，求證：GF＝FD．
（3）如圖3，若∠BAC＞60°，過點C作CM⊥直線AD于M，連接MF，當MF＝AE時，請直接寫出∠FAC與∠DAC的數(shù)量關系．
【分析】（1）利用等邊三角形的性質分別求出∠GAF，∠AFE，可得結論；
（2）證明△GAF≌△DAF（SAS），可得結論；
（3）如圖3中，結論：∠FAC﹣∠DAC＝30°．證明A，F(xiàn)，M，C四點共圓，△EFM是等邊三角形，利用圓周角定理．即可解決問題．
【解答】（1）解：如圖1中，
∵△ABC是等邊三角形，AD是角平分線，
∴∠BAD＝∠CAD＝30°，
∵∠FAD＝20°，
∴∠EAF＝∠FAD+∠CAD＝50°，∠FAG∠BAD﹣∠DAF＝10°，
∵EA＝EF，
∴∠EAF＝∠EFA＝50°，
∵∠AFE＝∠AGF+∠GAF，
∴∠AGF＝50°﹣10°＝40°．
（2）證明：如圖2中，
∵AD平分∠BAC，OA＝OG，
∴∠OAG＝∠OAE＝∠OGA，
設∠OAG＝∠OAE＝∠OGA＝x，∠GAF＝y(tǒng)，則∠FAD＝x﹣y，∠EAF＝x+x﹣y＝2x﹣y，
∵EA＝EF，
∴∠EAF＝∠EFA，
∵∠EFA＝∠AGF+∠GAF＝x+y，
∴x+y＝2x﹣y，
∴x＝2y，
∴∠FAD＝x﹣y＝y(tǒng)，
∴∠FAD＝∠FAG，
∵AG＝AD，AF＝AF，
∴△GAF≌△DAF（SAS），
∴FG＝FD．
（3）解：如圖3中，結論：∠FAC﹣∠DAC＝30°．
理由：連接EM．
∵CM⊥AM，
∴∠AMC＝90°，
∵AE＝EC，
∴EM＝EC＝EA＝EF，
∴A，F(xiàn)，M，C四點共圓，
∵FE＝FM，EF＝EM，
∴EF＝EM＝FM，
∴△EFM是等邊三角形，
∴∠MEF＝60°，
∵∠FAM＝∠FEM＝30°，
∴∠FAC﹣∠DAC＝30°．
【點評】本題屬于幾何變換綜合題，考查了等邊三角形的判定和性質，全等三角形的判定和性質，三角形內角和定理等知識，解題的關鍵是正確尋找全等三角形解決問題，學會利用輔助圓解決問題，屬于中考壓軸題．
28．（7分）在∠MON的兩邊OM，ON上分別取點H，I，作弧HI（可以是優(yōu)弧，也可以是劣?。艋I上所有點都在∠MON內部或邊上，稱點H、I是∠MON的內嵌點，弧HI所在圓的半徑為∠MON的“角半徑”，記為R∠MON．
例如，圖1、圖2、圖3中的H、I都是∠MON的內嵌點．
已知∠MON＝60°，H、I是∠MON的內嵌點時，
（1）當OH＝OI＝2時，R∠MON的最小值是 2 ；
（2）當OH＝2，弧HI是半圓時，求線段OI長度的取值范圍；
（3）當OH≤OI，R∠MON＝3，l弧HI＝2π時，求線段OI長度的范圍．
【分析】（1）先計算HI＝2，當HI為半徑時，R∠MON最?。?；
（2）求得當HI⊥ON時和HI⊥OM時，OI的值，從而確定范圍；
（3）先求出所對的圓心角，再求出圓心角所對的弦長，當OI＝OH時，求得OI最小值，當HI⊥OM時，求得最大值，從而求得范圍．
【解答】解：（1）∵OH＝OI，∠MON＝60°，
∴△HOI是等邊三角形，
∴HI＝OH＝2，
當HI是圓的直徑時，R∠MON最?。?，
故答案是1；
解：（2）如圖1，
作HI⊥ON于I，
∴OI＝OH?cs∠MON＝2?cs60°＝1，
如圖2，
作HI′⊥OM交ON于I′，
OI′＝＝＝＝4，
∴1≤OI≤4；
（3）如圖3，
圓心記作A，作AB⊥HI于B，
由＝l得，
＝2π，
∴n＝120°，
∴∠HAB＝∠HAI＝60°，
∴HI＝2HB＝2?AH?sin60°＝3，
當OH＝OI時，
∵∠MON＝60°，
∴△HOI是等邊三角形，
∴OI＝HI＝3，
當HI⊥OM時，OI最大，
OI＝＝＝6，
∴3≤OI≤6．
【點評】本題考查了圓的有關性質，圓的有關計算等知識，解決問題的關鍵是正確理解題意，轉化為有關圓的計算．
聲明：試題解析著作權屬菁優(yōu)網所有，未經書面同意，不得復制發(fā)布日期：2024/7/21 21:52:11；用戶：菁優(yōu)校本題庫；郵箱：2471@xyh.cm；學號：56380052x
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