2021-2022學年北京市西城區(qū)月壇中學九年級（上）期中數(shù)學試卷【含解析】

這是一份2021-2022學年北京市西城區(qū)月壇中學九年級（上）期中數(shù)學試卷【含解析】，共25頁。試卷主要包含了2+2的最大值是 　 　等內(nèi)容，歡迎下載使用。
1．（3分）剪紙是我們國家特別悠久的民間藝術(shù)形式之一，它是人們用祥和的圖案企望吉祥、幸福的一種寄托．下列剪紙圖形中，既是軸對稱圖形又是中心對稱圖形的是（ ）
A．B．
C．D．
2．（3分）拋物線y＝（x﹣1）2+2的對稱軸為（ ）
A．直線x＝1B．直線x＝﹣1C．直線x＝2D．直線x＝﹣2
3．（3分）如圖，將△ABC繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)100°，得到△ADE．若點D在線段BC的延長線上，則∠B的大小為（ ）
A．30°B．40°C．50°D．60°
4．（3分）如圖，點A、B、C是⊙O上的點，∠AOB＝70°，則∠ACB的度數(shù)是（ ）
A．30°B．35°C．45°D．70°
5．（3分）如圖，已知AB是⊙O的直徑，＝＝．∠BOC＝40°，那么∠AOE＝（ ）
A．40°B．60°C．80°D．120°
6．（3分）風力發(fā)電機可以在風力作用下發(fā)電．如圖的轉(zhuǎn)子葉片圖案繞中心旋轉(zhuǎn)n°后能與原來的圖案重合，那么n的值可能是（ ）
A．45B．60C．90D．120
7．（3分）二次函數(shù)y＝ax2+bx+c（a≠0）的圖象如圖所示，那么下列說法正確的是（ ）
A．a(chǎn)＞0，b＞0，c＞0B．a(chǎn)＜0，b＞0，c＞0
C．a(chǎn)＜0，b＞0，c＜0D．a(chǎn)＜0，b＜0，c＞0
8．（3分）圖1是一個地鐵站入口的雙翼閘機．如圖2，它的雙翼展開時，雙翼邊緣的端點A與B之間的距離為10cm，雙翼的邊緣AC＝BD＝54cm，且與閘機側(cè)立面夾角∠PCA＝∠BDQ＝30°．當雙翼收起時，可以通過閘機的物體的最大寬度為（ ）
A．cmB．cm
C．64cmD．54cm
二.填空題（本題共16分，每小題2分）.
9．（2分）二次函數(shù)y＝﹣（x+1）2+2的最大值是 ．
10．（2分）點A（2，1）關(guān)于原點對稱的點B的坐標為 ．
11．（2分）寫出一個二次函數(shù)，其圖象滿足：（1）開口向下；（2）與y軸交于點（0，3），這個二次函數(shù)的解析式可以是 ．
12．（2分）關(guān)于x的方程x2+2x+k＝0有兩個相等的實數(shù)根，則k的值為 ．
13．（2分）點A（﹣3，y1），B（2，y2）在拋物線y＝x2﹣5x上，則y1 y2．（填“＞”，“＜”或“＝”）
14．（2分）將含有30°角的直角三角板OAB如圖放置在平面直角坐標系中，OB在x軸上，若OA＝2，將三角板繞原點O順時針旋轉(zhuǎn)90°，則點A的對應(yīng)點A′的坐標為 ．
15．（2分）如圖，直線y1＝kx+n（k≠0）與拋物線y2＝ax2+bx+c（a≠0）分別交于A（﹣1，0），B（2，﹣3）兩點，那么當y1＞y2時，x的取值范圍是 ．
16．（2分）如圖，舞臺地面上有一段以點O為圓心的，某同學要站在的中點C的位置上．于是他想：只要從點O出發(fā)，沿著與弦AB垂直的方向走到上，就能找到的中點C，老師肯定了他的想法．這位同學確定點C所用方法的依據(jù)是 ．
三.解答題（本題共60分）.
17．解方程：
（1）x2﹣4x+3＝0．
（2）2x2﹣5x+1＝0．
18．如圖，將其補全，使其成為中心對稱圖形．
19．如圖，方格中每個小正方形的邊長都是單位1，△ABC在平面直角坐標系中的位置如圖．
（1）畫出將△ABC向右平移2個單位得到的△A1B1C1；
（2）畫出將△ABC繞點O順時針方向旋轉(zhuǎn)90°得到的△A2B2C2．
20．已知一元二次方程x2﹣（2m﹣1）x+m2﹣m＝0．
（1）求證：此方程有兩個不相等的實數(shù)根；
（2）若拋物線y＝x2﹣（2m﹣1）x+m2﹣m經(jīng)過原點，求m的值．
21．已知二次函數(shù)的解析式是y＝ax2+bx經(jīng)過點（2，0）和（1，﹣1），求a、b值，開口方向及二次函數(shù)解析式．
22．已知二次函數(shù)的解析式是y＝x2﹣2x﹣3．
（1）把其化成y＝a（x﹣h）2+k的形式 ；此函數(shù)圖象與x軸的交點坐標是 ．
（2）在坐標系中利用描點法畫出此拋物線；
（3）當x 時，y隨x的增大而增大．
23．已知，如圖，A、B、C、D是⊙O上的點，∠AOB＝∠COD．求證：AC＝BD．
24．如圖，⊙O的直徑AB垂直于弦CD，垂足是E，∠A＝22.5°，OC＝4，求CD的長．
25．如圖1是博物館展出的古代車輪實物，《周禮?考工記》記載：“…故兵車之輪六尺有六寸，田車之輪六尺有三寸…”據(jù)此，我們可以通過計算車輪的半徑來驗證車輪類型，請將以下推理過程補充完整．
如圖2所示，在車輪上取A、B兩點，設(shè)所在圓的圓心為O，半徑為r cm．
作弦AB的垂線OC，D為垂足，則D是AB的中點．其推理依據(jù)是： ．
經(jīng)測量：AB＝90cm，CD＝15cm，則AD＝ cm；
用含r的代數(shù)式表示OD，OD＝ cm．
在Rt△OAD中，由勾股定理可列出關(guān)于r的方程：
r2＝ ，
解得r＝75．
通過單位換算，得到車輪直徑約為六尺六寸，可驗證此車輪為兵車之輪．
26．跳臺滑雪是冬季奧運會比賽項目之一，運動員起跳后的飛行路線可以看作是拋物線的一部分．一名運動員起跳后，他的飛行路線如圖所示，當他的水平距離為15m時，達到飛行的最高點C處，此時的豎直高度為45m，他落地時的水平距離（即OA的長）為60m，求這名運動員起跳時的豎直高度（即OB的長）．
27．關(guān)于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a＞0）有兩個不相等且非零的實數(shù)根，探究a，b，c滿足的條件．
小華根據(jù)學習函數(shù)的經(jīng)驗，認為可以從二次函數(shù)的角度看一元二次方程，下面是小華的探究過程，第一步，設(shè)一元二次方程ax2+bx+c＝0（a＞0）對應(yīng)的二次函數(shù)為y＝ax2+bx+c（a＞0）；
第二步：借助二次函數(shù)圖象．可以得到相應(yīng)的一元二次方程中a，b，c滿足的條件，列表如下：
（1）請幫助小華將上述表格補充完整；
（2）參考小華的做法，解決問題：
若關(guān)于x的一元二次方程x2﹣（m+5）x﹣2m＝0有一個負實根和一個正實根，且負實根大于﹣1，求實數(shù)m的取值范圍．
28．如圖，在△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝90°，D是線段AC延長線上一點，連接BD，過點A作AE⊥BD于 E．
（1）求證：∠CAE＝∠CBD．
（2）將射線AE繞點A順時針旋轉(zhuǎn)45°后，所得的射線與線段BD的延長線交于點F，連接CE．
①依題意補全圖形；
②用等式表示線段EF，CE，BE之間的數(shù)量關(guān)系，并證明．
2021-2022學年北京市西城區(qū)月壇中學九年級（上）期中數(shù)學試卷
參考答案與試題解析
一.選擇題（本題共24分，每小題3分）下面各題均有四個選項，其中只有一個是符合題意的．
1．（3分）剪紙是我們國家特別悠久的民間藝術(shù)形式之一，它是人們用祥和的圖案企望吉祥、幸福的一種寄托．下列剪紙圖形中，既是軸對稱圖形又是中心對稱圖形的是（ ）
A．B．
C．D．
【分析】根據(jù)軸對稱圖形與中心對稱圖形的概念求解．
【解答】解：A、是軸對稱圖形，不是中心對稱圖形，故此選項不合題意；
B、不是軸對稱圖形，是中心對稱圖形，故此選項不合題意；
C、既是軸對稱圖形又是中心對稱圖形，故此選項符合題意；
D、不是軸對稱圖形，也不是中心對稱圖形，故此選項不合題意；
故選：C．
【點評】本題考查了中心對稱及軸對稱的知識，解題時掌握好中心對稱圖形與軸對稱圖形的概念．軸對稱圖形的關(guān)鍵是尋找對稱軸，圖形兩部分折疊后可重合，中心對稱圖形是要尋找對稱中心，旋轉(zhuǎn)180度后兩部分重合．
2．（3分）拋物線y＝（x﹣1）2+2的對稱軸為（ ）
A．直線x＝1B．直線x＝﹣1C．直線x＝2D．直線x＝﹣2
【分析】由拋物線解析式可求得答案．
【解答】解：
∵y＝（x﹣1）2+2，
∴對稱軸為直線x＝1，
故選：A．
【點評】本題主要考查二次函數(shù)的性質(zhì)，掌握二次函數(shù)的頂點式是解題的關(guān)鍵，即在y＝a（x﹣h）2+k中，對稱軸為x＝h，頂點坐標為（h，k）．
3．（3分）如圖，將△ABC繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)100°，得到△ADE．若點D在線段BC的延長線上，則∠B的大小為（ ）
A．30°B．40°C．50°D．60°
【分析】根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得出AB＝AD、∠BAD＝100°，再根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)可求出∠B的度數(shù)，此題得解．
【解答】解：根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，可得：AB＝AD，∠BAD＝100°，
∴∠B＝∠ADB＝×（180°﹣100°）＝40°．
故選：B．
【點評】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)以及等腰三角形的性質(zhì)，根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)結(jié)合等腰三角形的性質(zhì)求出∠B的度數(shù)是解題的關(guān)鍵．
4．（3分）如圖，點A、B、C是⊙O上的點，∠AOB＝70°，則∠ACB的度數(shù)是（ ）
A．30°B．35°C．45°D．70°
【分析】根據(jù)圓周角定理得到∠ACB＝∠AOB，即可計算出∠ACB．
【解答】解：∵∠AOB＝70°，
∴∠ACB＝∠AOB＝35°．
故選：B．
【點評】本題考查了圓周角定理：一條弧所對的圓周角是它所對的圓心角的一半．
5．（3分）如圖，已知AB是⊙O的直徑，＝＝．∠BOC＝40°，那么∠AOE＝（ ）
A．40°B．60°C．80°D．120°
【分析】根據(jù)圓心角與弦的關(guān)系可求得∠BOE的度數(shù)，從而即可求解．
【解答】解：∵＝＝，∠BOC＝40°
∴∠BOE＝3∠BOC＝120°
∴∠AOE＝180﹣∠BOE＝60°
故選：B．
【點評】本題主要考查圓心角、弧、弦的關(guān)系的掌握情況．
6．（3分）風力發(fā)電機可以在風力作用下發(fā)電．如圖的轉(zhuǎn)子葉片圖案繞中心旋轉(zhuǎn)n°后能與原來的圖案重合，那么n的值可能是（ ）
A．45B．60C．90D．120
【分析】該圖形被平分成三部分，因而每部分被分成的圓心角是120°，并且圓具有旋轉(zhuǎn)不變性，因而旋轉(zhuǎn)120度的整數(shù)倍，就可以與自身重合．
【解答】解：該圖形被平分成三部分，旋轉(zhuǎn)120°的整數(shù)倍，就可以與自身重合，
故n的最小值為120．
故選：D．
【點評】本題考查旋轉(zhuǎn)對稱圖形的概念：把一個圖形繞著一個定點旋轉(zhuǎn)一個角度后，與初始圖形重合，這種圖形叫做旋轉(zhuǎn)對稱圖形，這個定點叫做旋轉(zhuǎn)對稱中心，旋轉(zhuǎn)的角度叫做旋轉(zhuǎn)角．
7．（3分）二次函數(shù)y＝ax2+bx+c（a≠0）的圖象如圖所示，那么下列說法正確的是（ ）
A．a(chǎn)＞0，b＞0，c＞0B．a(chǎn)＜0，b＞0，c＞0
C．a(chǎn)＜0，b＞0，c＜0D．a(chǎn)＜0，b＜0，c＞0
【分析】利用拋物線開口方向確定a的符號，利用對稱軸方程可確定b的符號，利用拋物線與y軸的交點位置可確定c的符號．
【解答】解：∵拋物線開口向下，
∴a＜0，
∵拋物線的對稱軸在y軸的右側(cè)，
∴x＝﹣＞0，
∴b＞0，
∵拋物線與y軸的交點在x軸上方，
∴c＞0，
故選：B．
【點評】本題考查了二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系：對于二次函數(shù)y＝ax2+bx+c（a≠0），二次項系數(shù)a決定拋物線的開口方向和大小：當a＞0時，拋物線向上開口；當a＜0時，拋物線向下開口；一次項系數(shù)b和二次項系數(shù)a共同決定對稱軸的位置：當a與b同號時（即ab＞0），對稱軸在y軸左；當a與b異號時（即ab＜0），對稱軸在y軸右；常數(shù)項c決定拋物線與y軸交點位置：拋物線與y軸交于（0，c）；拋物線與x軸交點個數(shù)由△決定：Δ＝b2﹣4ac＞0時，拋物線與x軸有2個交點；Δ＝b2﹣4ac＝0時，拋物線與x軸有1個交點；Δ＝b2﹣4ac＜0時，拋物線與x軸沒有交點．
8．（3分）圖1是一個地鐵站入口的雙翼閘機．如圖2，它的雙翼展開時，雙翼邊緣的端點A與B之間的距離為10cm，雙翼的邊緣AC＝BD＝54cm，且與閘機側(cè)立面夾角∠PCA＝∠BDQ＝30°．當雙翼收起時，可以通過閘機的物體的最大寬度為（ ）
A．cmB．cm
C．64cmD．54cm
【分析】過A作AE⊥CP于E，過B作BF⊥DQ于F，則可得AE和BF的長，依據(jù)端點A與B之間的距離為10cm，即可得到可以通過閘機的物體的最大寬度．
【解答】解：如圖所示，過A作AE⊥CP于E，過B作BF⊥DQ于F，則
Rt△ACE中，AE＝AC＝×54＝27（cm），
同理可得，BF＝27cm，
又∵點A與B之間的距離為10cm，
∴通過閘機的物體的最大寬度為27+10+27＝64（cm），
故選：C．
【點評】本題主要考查了特殊角的三角函數(shù)值，特殊角的三角函數(shù)值應(yīng)用廣泛，一是它可以當作數(shù)進行運算，二是具有三角函數(shù)的特點，在解直角三角形中應(yīng)用較多．
二.填空題（本題共16分，每小題2分）.
9．（2分）二次函數(shù)y＝﹣（x+1）2+2的最大值是 2 ．
【分析】根據(jù)二次函數(shù)頂點特點可知，當x＝﹣1時，函數(shù)有最大值．
【解答】解：∵二次函數(shù)y＝﹣（x+1）2+2，
∴拋物線開口向下，頂點為（﹣1，2），
∴當x＝﹣1時，函數(shù)有最大值2，
故答案為：2．
【點評】本題考查二次函數(shù)的最值，熟練掌握由二次函數(shù)的頂點式求最值的方法是解題的關(guān)鍵．
10．（2分）點A（2，1）關(guān)于原點對稱的點B的坐標為 （﹣2，﹣1） ．
【分析】根據(jù)點A和點B關(guān)于原點對稱可知，B點的坐標與A點的坐標互為相反數(shù)．
【解答】解：∵點A（﹣2，﹣1）與B關(guān)于原點對稱，
∴點A和點B的橫、縱坐標分別互為相反數(shù)，
∴B點坐標為（﹣2，﹣1）．
故答案為（﹣2，﹣1）．
【點評】本題考查了平面直角坐標系中任意一點P（x，y）關(guān)于原點的對稱點是（﹣x，﹣y），即關(guān)于原點的對稱點，橫縱坐標都變成相反數(shù)．
11．（2分）寫出一個二次函數(shù)，其圖象滿足：（1）開口向下；（2）與y軸交于點（0，3），這個二次函數(shù)的解析式可以是 y＝﹣x2+3（答案不唯一） ．
【分析】根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)可得出a＜0，利用二次函數(shù)圖象上點的坐標特征可得出c＝3，取a＝﹣1，b＝0即可得出結(jié)論．
【解答】解：設(shè)二次函數(shù)的解析式為y＝ax2+bx+c．
∵拋物線開口向下，
∴a＜0．
∵拋物線與y軸的交點坐標為（0，3），
∴c＝3．
取a＝﹣1，b＝0時，二次函數(shù)的解析式為y＝﹣x2+3．
故答案為：y＝﹣x2+3（答案不唯一）．
【點評】本題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)以及二次函數(shù)圖象上點的坐標特征，利用二次函數(shù)的性質(zhì)及二次函數(shù)圖象上點的坐標特征，找出a＜0，c＝3是解題的關(guān)鍵．
12．（2分）關(guān)于x的方程x2+2x+k＝0有兩個相等的實數(shù)根，則k的值為 1 ．
【分析】根據(jù)根的判別式Δ＝0，即可得出關(guān)于k的一元一次方程，解之即可得出k值．
【解答】解：∵關(guān)于x的方程x2+2x+k＝0有兩個相等的實數(shù)根，
∴Δ＝22﹣4×1×k＝0，
解得：k＝1．
故答案為：1．
【點評】本題考查了根的判別式，牢記“當Δ＝0時，方程有兩個相等的實數(shù)根”是解題的關(guān)鍵．
13．（2分）點A（﹣3，y1），B（2，y2）在拋物線y＝x2﹣5x上，則y1 ＞ y2．（填“＞”，“＜”或“＝”）
【分析】分別計算自變量為﹣3、2時的函數(shù)值，然后比較函數(shù)值的大小即可．
【解答】解：當x＝﹣3時，y1＝x2﹣5x＝24；
當x＝2時，y2＝x2﹣5x＝﹣6；
∵24＞﹣6，
∴y1＞y2．
故答案為：＞．
【點評】本題考查了二次函數(shù)圖象上點的坐標特征：二次函數(shù)圖象上點的坐標滿足其解析式．也考查了二次函數(shù)的性質(zhì)．
14．（2分）將含有30°角的直角三角板OAB如圖放置在平面直角坐標系中，OB在x軸上，若OA＝2，將三角板繞原點O順時針旋轉(zhuǎn)90°，則點A的對應(yīng)點A′的坐標為 （1，﹣） ．
【分析】如圖，過點A′作A′H⊥OB于點H．解直角三角形求出OH，A′H可得結(jié)論．
【解答】解：如圖，過點A′作A′H⊥OB于點H．
在Rt△OA′H中，∠OHA′＝90°，OA＝2，∠A′OH＝60°，
∴OH＝OA′?cs60°＝1，A′H＝，
∴A′（1，﹣），
故答案為：（1，﹣）．
【點評】本題考查旋轉(zhuǎn)變換，解直角三角形等知識，解題的關(guān)鍵是學會添加常用輔助線，構(gòu)造直角三角形解決問題．
15．（2分）如圖，直線y1＝kx+n（k≠0）與拋物線y2＝ax2+bx+c（a≠0）分別交于A（﹣1，0），B（2，﹣3）兩點，那么當y1＞y2時，x的取值范圍是 ﹣1＜x＜2 ．
【分析】根據(jù)圖象得出取值范圍即可．
【解答】解：因為直線y1＝kx+n（k≠0）與拋物線y2＝ax2+bx+c（a≠0）分別交于A（﹣1，0），B（2，﹣3）兩點，
所以當y1＞y2時，﹣1＜x＜2，
故答案為：﹣1＜x＜2
【點評】此題考查二次函數(shù)與不等式，關(guān)鍵是根據(jù)圖象得出取值范圍．
16．（2分）如圖，舞臺地面上有一段以點O為圓心的，某同學要站在的中點C的位置上．于是他想：只要從點O出發(fā)，沿著與弦AB垂直的方向走到上，就能找到的中點C，老師肯定了他的想法．這位同學確定點C所用方法的依據(jù)是 垂徑定理 ．
【分析】由垂徑定理：垂直于弦的直徑平分弦，并且平分弦所對的兩條?。纯傻贸鼋Y(jié)論．
【解答】解：這位同學確定點C所用方法的依據(jù)是：垂徑定理，
即垂直于弦的直徑平分弦，并且平分弦所對的兩條弧，
故答案為：垂徑定理．
【點評】本題考查了垂徑定理，熟練掌握垂徑定理是解題的關(guān)鍵．
三.解答題（本題共60分）.
17．解方程：
（1）x2﹣4x+3＝0．
（2）2x2﹣5x+1＝0．
【分析】（1）利用十字相乘法將方程的左邊因式分解后求解可得；
（2）利用公式法求解即可．
【解答】解：（1）∵x2﹣4x+3＝0，
∴（x﹣1）（x﹣3）＝0，
∴x﹣1＝0或x﹣3＝0，
則x1＝1，x2＝3；
（2）∵a＝2，b＝﹣5，c＝1，
∴Δ＝（﹣5）2﹣4×2×1＝17＞0，
∴x＝＝，
則x1＝，x2＝．
【點評】本題主要考查解一元二次方程的能力，熟練掌握解一元二次方程的幾種常用方法：直接開平方法、因式分解法、公式法、配方法，結(jié)合方程的特點選擇合適、簡便的方法是解題的關(guān)鍵．
18．如圖，將其補全，使其成為中心對稱圖形．
【分析】根據(jù)中心對稱圖形的性質(zhì)把原圖補充完整即可．
【解答】解：如圖所示：就是中心對稱圖形．
【點評】本題考查的是利用旋轉(zhuǎn)設(shè)計圖案，熟知中心對稱圖形旋轉(zhuǎn)180°后所得圖形與原圖形完全重合是解答此題的關(guān)鍵．
19．如圖，方格中每個小正方形的邊長都是單位1，△ABC在平面直角坐標系中的位置如圖．
（1）畫出將△ABC向右平移2個單位得到的△A1B1C1；
（2）畫出將△ABC繞點O順時針方向旋轉(zhuǎn)90°得到的△A2B2C2．
【分析】（1）根據(jù)平移的性質(zhì)，畫出對應(yīng)點的位置即可；
（2）根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，畫出對應(yīng)點的位置即可．
【解答】解：（1）如圖所示，即為所求，
（2）如圖所示，即為所求，
【點評】本題主要考查了作圖﹣平移變換，旋轉(zhuǎn)變換，熟練掌握平移和旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵，屬于?？碱}．
20．已知一元二次方程x2﹣（2m﹣1）x+m2﹣m＝0．
（1）求證：此方程有兩個不相等的實數(shù)根；
（2）若拋物線y＝x2﹣（2m﹣1）x+m2﹣m經(jīng)過原點，求m的值．
【分析】（1）根據(jù)二次函數(shù)的根的判別式Δ＝b2﹣4ac的符號來判斷方程的根的情況；
（2）拋物線過原點，則m2﹣m＝0，即可求解．
【解答】解：（1）由題意有Δ＝[﹣（2m﹣1）]2﹣4（m2﹣m）＝1＞0．
∴不論m取何值時，方程總有兩個不相等的實數(shù)根；
（2）拋物線過原點，則m2﹣m＝0，解得m＝0或1．
【點評】本題考查了拋物線和x軸的交點、根與系數(shù)的關(guān)系等，熟練掌握根的判別式是解題的關(guān)鍵．
21．已知二次函數(shù)的解析式是y＝ax2+bx經(jīng)過點（2，0）和（1，﹣1），求a、b值，開口方向及二次函數(shù)解析式．
【分析】將點（2，0）、（1，﹣1）代入二次函數(shù)的解析式，利用待定系數(shù)法法求該二次函數(shù)的解析式即可．
【解答】解：根據(jù)題意，得，
解得，；
∴該二次函數(shù)的解析式為：y＝x2﹣2x，開口向上．
【點評】本題主要考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式．解題時，借用了二次函數(shù)圖象上點的坐標特征：經(jīng)過圖象上的點一定在函數(shù)圖象上，且圖象上的每一個點均滿足該函數(shù)的解析式．
22．已知二次函數(shù)的解析式是y＝x2﹣2x﹣3．
（1）把其化成y＝a（x﹣h）2+k的形式 y＝（x﹣1）2﹣4 ；此函數(shù)圖象與x軸的交點坐標是 （﹣1，0），（3，0） ．
（2）在坐標系中利用描點法畫出此拋物線；
（3）當x ＞1 時，y隨x的增大而增大．
【分析】（1）用配方法把二次函數(shù)解析式的一般式化為頂點式即可；令y＝0，解關(guān)于x的一元二次方程即可求出拋物線與x軸的交點；
（2）用五點法做函數(shù)圖象即可；
（3）結(jié)合函數(shù)圖象直接得出結(jié)論．
【解答】解：（1）y＝x2﹣2x﹣3
＝x2﹣2x+1﹣1﹣3
＝（x﹣1）2﹣4，
令y＝0，則x2﹣2x﹣3＝0，
解得：x1＝﹣1，x2＝3，
∴函數(shù)圖象與x軸的交點坐標是（﹣1，0）和（3，0），
故答案為：y＝（x﹣1）2﹣4，（﹣1，0），（3，0）；
（2）列表：
描點、連線畫出函數(shù)圖象
（3）由圖象可知，當x＞1時，y隨x的增大而增大；
故答案為：＞1．
【點評】本題考查二次函數(shù)與x軸的交點，二次函數(shù)的性質(zhì)，五點法作二次函數(shù)的圖象，數(shù)形結(jié)合等知識，關(guān)鍵是對二次函數(shù)性質(zhì)的綜合運用．
23．已知，如圖，A、B、C、D是⊙O上的點，∠AOB＝∠COD．求證：AC＝BD．
【分析】根據(jù)圓心角、弧、弦之間的關(guān)系定理得到∠AOC＝∠BOD，進而證明結(jié)論．
【解答】證明：∵∠AOB＝∠COD，
∴∠AOB+∠BOC＝∠COD+∠BOC，
∴∠AOC＝∠BOD，
∴AC＝BD．
【點評】本題考查的是圓心角、弧、弦之間的關(guān)系定理，在同圓或等圓中，如果兩個圓心角、兩條弧、兩條弦中有一組量相等，那么它們所對應(yīng)的其余各組量都分別相等．
24．如圖，⊙O的直徑AB垂直于弦CD，垂足是E，∠A＝22.5°，OC＝4，求CD的長．
【分析】證明△EOC是等腰直角三角形，求出EC，再利用垂徑定理解決問題即可．
【解答】解：∵∠A＝22.5°，
∴∠BOC＝2∠A＝45°，
∵圓O的直徑AB垂直于弦，
∴CE＝ED＝，
∴Rt△CEO中，OC＝4，
∴CE＝EO＝OC＝2，
∴CD＝4．
【點評】本題考查圓周角定理，垂徑定理，等腰直角三角形的判定和性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是證明△OCE是等腰直角三角形．
25．如圖1是博物館展出的古代車輪實物，《周禮?考工記》記載：“…故兵車之輪六尺有六寸，田車之輪六尺有三寸…”據(jù)此，我們可以通過計算車輪的半徑來驗證車輪類型，請將以下推理過程補充完整．
如圖2所示，在車輪上取A、B兩點，設(shè)所在圓的圓心為O，半徑為r cm．
作弦AB的垂線OC，D為垂足，則D是AB的中點．其推理依據(jù)是： 垂直弦的直徑平分弦 ．
經(jīng)測量：AB＝90cm，CD＝15cm，則AD＝ 45 cm；
用含r的代數(shù)式表示OD，OD＝ （r﹣15） cm．
在Rt△OAD中，由勾股定理可列出關(guān)于r的方程：
r2＝ 452+（r﹣15）2 ，
解得r＝75．
通過單位換算，得到車輪直徑約為六尺六寸，可驗證此車輪為兵車之輪．
【分析】根據(jù)垂徑定理，利用勾股定理構(gòu)建方程求解即可．
【解答】解：如圖2所示，在車輪上取A、B兩點，設(shè)所在圓的圓心為O，半徑為r cm．
作弦AB的垂線OC，D為垂足，則D是AB的中點．其推理依據(jù)是：垂直弦的直徑平分弦．
經(jīng)測量：AB＝90cm，CD＝15cm，則AD＝45cm；
用含r的代數(shù)式表示OD，OD＝（r﹣15）cm．
在Rt△OAD中，由勾股定理可列出關(guān)于r的方程：
r2＝452+（r﹣15）2，
解得r＝75．
通過單位換算，得到車輪直徑約為六尺六寸，可驗證此車輪為兵車之輪．
故答案為：垂直弦的直徑平分弦，45，（r﹣15），452+（r﹣15）2．
【點評】本題考查垂徑定理，勾股定理等知識，解題的關(guān)鍵是學會利用參數(shù)構(gòu)建方程解決問題，屬于中考?？碱}型．
26．跳臺滑雪是冬季奧運會比賽項目之一，運動員起跳后的飛行路線可以看作是拋物線的一部分．一名運動員起跳后，他的飛行路線如圖所示，當他的水平距離為15m時，達到飛行的最高點C處，此時的豎直高度為45m，他落地時的水平距離（即OA的長）為60m，求這名運動員起跳時的豎直高度（即OB的長）．
【分析】利用待定系數(shù)法確定拋物線的解析式后求得與y軸的交點即可確定本題的答案．
【解答】解：設(shè)拋物線的解析式為y＝a（x﹣h）2+k，
根據(jù)題意得：拋物線的頂點坐標為（15，45），
∴y＝a（x﹣15）2+45，
∵與x軸交于點A（60，0），
∴0＝a（60﹣15）2+45，
解得：a＝﹣，
∴解析式為y＝﹣（x﹣15）2+45，
令x＝0得：y＝﹣（0﹣15）2+45＝40，
∴點B的坐標為（0，40），
∴這名運動員起跳時的豎直高度為40米．
【點評】此題考查了二次函數(shù)的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是將實際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學問題，難度中等．
27．關(guān)于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a＞0）有兩個不相等且非零的實數(shù)根，探究a，b，c滿足的條件．
小華根據(jù)學習函數(shù)的經(jīng)驗，認為可以從二次函數(shù)的角度看一元二次方程，下面是小華的探究過程，第一步，設(shè)一元二次方程ax2+bx+c＝0（a＞0）對應(yīng)的二次函數(shù)為y＝ax2+bx+c（a＞0）；
第二步：借助二次函數(shù)圖象．可以得到相應(yīng)的一元二次方程中a，b，c滿足的條件，列表如下：
（1）請幫助小華將上述表格補充完整；
（2）參考小華的做法，解決問題：
若關(guān)于x的一元二次方程x2﹣（m+5）x﹣2m＝0有一個負實根和一個正實根，且負實根大于﹣1，求實數(shù)m的取值范圍．
【分析】（1）有題意即可求解；
（2）由討論中的第二種情況，可得：c＞0，且x＝﹣1時，y＞0，即可求解．
【解答】解：（1）有題意得：①答案為：方程有兩個異號的實數(shù)根；
②答案如圖所示；
③答案為：a＞0，Δ＞0，﹣＞0，c＞0；
（2）由討論中的第二種情況，可得：c＜0，且x＝﹣1時，y＞0，
即﹣2m＜0且y＝1+（m+5）﹣2m＞0，
解得：0＜m＜6．
【點評】本題考查的是二次函數(shù)綜合運用，主要考查的是函數(shù)的基本性質(zhì)，關(guān)鍵在于理解題意，按照題設(shè)的思路和邏輯求解即可．
28．如圖，在△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝90°，D是線段AC延長線上一點，連接BD，過點A作AE⊥BD于 E．
（1）求證：∠CAE＝∠CBD．
（2）將射線AE繞點A順時針旋轉(zhuǎn)45°后，所得的射線與線段BD的延長線交于點F，連接CE．
①依題意補全圖形；
②用等式表示線段EF，CE，BE之間的數(shù)量關(guān)系，并證明．
【分析】（1）利用同角的余角即可得出結(jié)論；
（2）①根據(jù)題意補全圖形；
②過點C作CG⊥CE角AE于G，進而判斷出∠CAE＝∠CBD，即可判斷出△ACG≌△BCE（ASA），得出AG＝BE，CG＝CE，
進而判斷出EG＝CE，得出AE＝BE+CE，再判斷出EF＝AE，即可得出結(jié)論．
【解答】解：（1）∵∠ACB＝90°，
∴∠BCD＝90°，
∴∠CBD+∠BDC＝90°，
∵AE⊥BD，
∴∠AED＝90°，
∴∠CAE+∠BDC＝90°，
∴∠CAE＝∠CBD；
（2）①由題意補全圖形如圖所示：
②過點C作CG⊥CE交AE于G，
∴∠BCG+∠BCE＝90°，
∵∠ACB＝90°，
∴∠ACG+∠BCG＝90°，
∴∠ACG＝∠BCE，
由（1）知，∠CAE＝∠CBD，
在△ACG和△BCE中，，
∴△ACG≌△BCE（ASA），
∴AG＝BE，CG＝CE，
在Rt△ECG中，CG＝CE，
∴EG＝CE，
∴AE＝AG+EG＝BE+CE，
由旋轉(zhuǎn)知，∠EAF＝45°，
∵∠AEF＝90°，
∴∠F＝90°﹣∠EAF＝45°＝∠EAF，
∴EF＝AE，
∴EF＝BE+CE．
【點評】此題是幾何變換綜合題，主要考查了同角的余角相等，等腰直角三角形的判定和性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理，構(gòu)造出全等三角形是解本題的關(guān)鍵．
聲明：試題解析著作權(quán)屬菁優(yōu)網(wǎng)所有，未經(jīng)書面同意，不得復(fù)制發(fā)布日期：2024/7/21 21:50:21；用戶：菁優(yōu)校本題庫；郵箱：2471@xyh.cm；學號：56380052x
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y
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方程兩根的情況
對應(yīng)的二次函數(shù)的大致圖象
a，b，c滿足的條件
方程有兩個不相等的負實根

①

方程有兩個不相等的正實根
②
③
x
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y
…
…
x
…
﹣1
0
1
2
3
…
y
…
0
﹣3
﹣4
﹣3
0
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方程兩根的情況
對應(yīng)的二次函數(shù)的大致圖象
a，b，c滿足的條件
方程有兩個不相等的負實根

① 方程有兩個異號的實數(shù)根

方程有兩個不相等的正實根
②
③