2021-2022學(xué)年北京市西城區(qū)北師大實(shí)驗(yàn)華夏女子中學(xué)九年級(jí)（上）期中數(shù)學(xué)試卷【含解析】

這是一份2021-2022學(xué)年北京市西城區(qū)北師大實(shí)驗(yàn)華夏女子中學(xué)九年級(jí)（上）期中數(shù)學(xué)試卷【含解析】，共30頁(yè)。試卷主要包含了選擇題，填空題．，解答題，解答題．等內(nèi)容，歡迎下載使用。
1．（2分）下面是利用圖形變化的知識(shí)設(shè)計(jì)的一些美麗的圖案，其中既是軸對(duì)稱圖形，又是中心對(duì)稱圖形的是（ ）
A．B．
C．D．
2．（2分）下列方程中是一元二次方程的是（ ）
A．xy+2＝1B．
C．x2＝0D．a(chǎn)x2+bx+c＝0
3．（2分）拋物線y＝﹣﹣3的頂點(diǎn)坐標(biāo)是（ ）
A．（，﹣3）B．（，﹣3）C．（，3）D．（，3）
4．（2分）如圖，在5×5正方形網(wǎng)格中，一條圓弧經(jīng)過(guò)A、B、C三點(diǎn)，那么這條圓弧所在的圓的圓心為圖中的（ ）
A．MB．PC．QD．R
5．（2分）將拋物線y＝﹣3x2向右平移2個(gè)單位，再向下平移1個(gè)單位，得到的拋物線的表達(dá)式為（ ）
A．y＝﹣3（x﹣2）2﹣1B．y＝﹣3（x+2）2+1
C．y＝﹣3（x+2）2﹣1D．y＝﹣3（x﹣2）2+1
6．（2分）從下列直角三角板與圓弧的位置關(guān)系中，可判斷圓弧為半圓的是（ ）
A．B．
C．D．
7．（2分）設(shè)A（﹣2，y1），B（1，y2），C（2，y3）是拋物線y＝﹣（x+1）2+3上的三點(diǎn)，則y1，y2，y3的大小關(guān)系為（ ）
A．y1＞y2＞y3B．y1＞y3＞y2C．y3＞y2＞y1D．y3＞y1＞y2
8．（2分）對(duì)稱軸為直線x＝1的拋物線y＝ax2+bx+c（a、b、c為常數(shù)，且a≠0）如圖所示，小明同學(xué)得出了以下結(jié)論：①abc＜0，②b2＞4ac，③4a+2b+c＞0，④3a+c＞0，⑤a+b≤m（am+b）（m為任意實(shí)數(shù)），⑥當(dāng)x＜﹣1時(shí)，y隨x的增大而增大．其中結(jié)論正確的個(gè)數(shù)為（ ）
A．3B．4C．5D．6
二、填空題（本大題共8小題．每題2分，共16分）．
9．（2分）一元二次方程x2＝2x的根是 ．
10．（2分）請(qǐng)寫(xiě)出一個(gè)開(kāi)口向上，并且與y軸交于點(diǎn)（0，1）的拋物線的解析式，y＝ ．
11．（2分）點(diǎn)P（2m+n，2）與點(diǎn)Q（1，n﹣m）關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，則m＝ ，n＝ ．
12．（2分）拋物線y＝﹣x2+bx+c的部分圖象如圖所示，若y＞0，則x的取值范圍是 ．
13．（2分）已知⊙O是△ABC的外接圓，連接AO，BO，∠AOB＝120°，則∠ACB＝ ．
14．（2分）已知關(guān)于x的方程（k﹣1）x2﹣2kx+k﹣3＝0有兩個(gè)相等的實(shí)根，則k的值是 ．
15．（2分）如圖，一下水管道橫截面為圓形，直徑為100cm，下雨前水面寬為60cm，一場(chǎng)大雨過(guò)后，水面寬為80cm，則水位上升 cm．
16．（2分）我們把橫、縱坐標(biāo)都為整數(shù)的點(diǎn)稱為格點(diǎn)．
（1）如圖，直線上的格點(diǎn)坐標(biāo)為 ；
（2）若拋物線與x軸所圍成的封閉圖形（不含邊界）中僅有一個(gè)格點(diǎn)，則c的取值范圍是 ．
三、解答題（本題共48分，第17、18題，每小題8分，第19題，每小題8分，第20-25題，每小題8分）
17．（8分）用適當(dāng)?shù)姆椒ń夥匠?br>（1）x2﹣3x＝1；
（2）4（x﹣5）2＝（x﹣5）（x+5）．
18．（4分）若m是方程x2+x﹣1＝0的一個(gè)根，求代數(shù)式m3+2m2+2021的值．
19．（6分）如圖，在4×4的方格紙中，△ABC的三個(gè)頂點(diǎn)都在格點(diǎn)上．
（1）在圖1中，畫(huà)出一個(gè)與△ABC成中心對(duì)稱的格點(diǎn)三角形；
（2）在圖2中，畫(huà)出一個(gè)與△ABC成軸對(duì)稱且與△ABC有公共邊的格點(diǎn)三角形；
（3）在圖3中，畫(huà)出△ABC繞著點(diǎn)C按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)90°后的三角形．
20．（5分）已知：關(guān)于x的方程mx2+（m﹣3）x﹣3＝0（m≠0）．
（1）求證：方程總有兩個(gè)實(shí)數(shù)根；
（2）如果m為正整數(shù)，且方程的兩個(gè)根均為整數(shù)，求m的值．
21．（5分）已知二次函數(shù)y＝﹣x2﹣2x+3．
（1）將y＝﹣x2﹣2x+3化成y＝a（x﹣h）2+k的形式；
（2）在所給坐標(biāo)系中畫(huà)出二次函數(shù)的圖象；
（3）當(dāng)﹣2≤x≤1時(shí)，利用圖象直接寫(xiě)出y的取值范圍．
22．（5分）已知：射線AB．
求作：△ACD，使得點(diǎn)C在射線AB上，∠D＝90°，∠A＝30°．
作法：如圖，
①在射線AB上取一點(diǎn)O，以O(shè)為圓心，OA長(zhǎng)為半徑作圓，與射線AB相交于點(diǎn)C；②以C為圓心，OC為半徑作弧，在射線AB上方交⊙O于點(diǎn)D；
③連接AD，CD．
則△ACD即為所求的三角形．
（1）使用直尺和圓規(guī)，依作法補(bǔ)全圖形（保留作圖痕跡）；
（2）完成下面的證明．
證明：連接OD．
∵AB為⊙O的直徑，
∴∠ADC＝ °．
∵OD＝OC＝CD，
∴△OCD等邊三角形．
∴∠DOC＝60°．
∵點(diǎn)A，D都在⊙O上，
∴∠DAC＝． （填推理的依據(jù)）
∴∠DAC＝30°．
△ACD即為所求的三角形．
23．（5分）如圖所示，已知AB為⊙O的直徑，CD是弦，且AB⊥CD于點(diǎn)E．連接AC、OC、BC．
（1）求證：∠ACO＝∠BCD；
（2）若EB＝8cm，CD＝24cm，求⊙O的直徑．
24．（5分）雜技團(tuán)進(jìn)行雜技表演，演員從蹺蹺板右端A處彈跳到人梯頂端椅子B處，其身體（看成一點(diǎn)）的路線是拋物線y＝﹣+3x+1的一部分，如圖
（1）求演員彈跳離地面的最大高度；
（2）已知人梯高BC＝3.4米，在一次表演中，人梯到起跳點(diǎn)A的水平距離是4米，問(wèn)這次表演是否成功？請(qǐng)說(shuō)明理由．
25．（5分）如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BD是角平分線，點(diǎn)O在AB上，以點(diǎn)O為圓心，OB為半徑的圓經(jīng)過(guò)點(diǎn)D，交BC于點(diǎn)E．
（1）求證：AC是⊙O的切線；
（2）若OB＝10，CD＝8，求BE的長(zhǎng)．
四、解答題（本大題共3小題．第26題6分，第27、28兩個(gè)題每題7分）．
26．（6分）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，拋物線y＝ax2﹣（a+1）x．
（1）若拋物線過(guò)點(diǎn)（2，0），求拋物線的對(duì)稱軸；
（2）若M（x1，y1），N（x2，y2）為拋物線上兩個(gè)不同的點(diǎn)．
①當(dāng)x1+x2＝﹣4時(shí)，y1＝y(tǒng)2，求a的值；
②若對(duì)于x1＞x2≥﹣2，都有y1＜y2，求a的取值范圍．
27．（7分）如圖，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝α，點(diǎn)D在BC上，以點(diǎn)A為中心，將線段AD順時(shí)針旋轉(zhuǎn)α得到線段AE，連接BE，DE．
（1）按要求作出圖形，∠BAE ∠CAD；
（2）若α＝90°，用等式表示線段DC，DB，DE大小關(guān)系，并證明；
（3）若α＝120°，AB＝，M為BC的中點(diǎn)，求ME的最小值．
28．（7分）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，⊙O的半徑為1．給出如下定義：記線段AB的中點(diǎn)為M，當(dāng)點(diǎn)M不在⊙O上時(shí)，平移線段AB，使點(diǎn)M落在⊙O上，得到線段A'B'（A'，B'分別為點(diǎn)A，B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)）．線段A'A長(zhǎng)度的最小值稱為線段AB到⊙O的“平移距離”．
（1）已知點(diǎn)A的坐標(biāo)為（﹣1，0），點(diǎn)B在x軸上．
①若點(diǎn)B與原點(diǎn)O重合，則線段AB到⊙O的“平移距離”為 ；
②若線段AB到⊙O的“平移距離”為2，則點(diǎn)B的坐標(biāo)為 ；
（2）若點(diǎn)A，B都在直線上，AB＝2，記線段AB到⊙O的“平移距離”為d1，求d1的最小值；
（3）若點(diǎn)A的坐標(biāo)為（﹣4，﹣2），AB＝2，記線段AB到⊙O的“平移距離”為d2，直接寫(xiě)出d2的取值范圍．
2021-2022學(xué)年北京市西城區(qū)北師大實(shí)驗(yàn)華夏女子中學(xué)九年級(jí)（上）期中數(shù)學(xué)試卷
參考答案與試題解析
一、選擇題：本大題共8小題．每題2分，共16分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)符合題目的要求．把正確答案填涂在答題卡上．
1．（2分）下面是利用圖形變化的知識(shí)設(shè)計(jì)的一些美麗的圖案，其中既是軸對(duì)稱圖形，又是中心對(duì)稱圖形的是（ ）
A．B．
C．D．
【分析】根據(jù)圖形的性質(zhì)和軸對(duì)稱圖形與中心對(duì)稱圖形的定義解答．
【解答】解：A、既是軸對(duì)稱圖形又是對(duì)稱圖形，故此選項(xiàng)符合題意；
B、不是軸對(duì)稱圖形，是中心對(duì)稱圖形，故此選項(xiàng)不合題意；
C、是軸對(duì)稱圖形，不是中心對(duì)稱圖形，故此選項(xiàng)不合題意；
D、是軸對(duì)稱圖形，不是中心對(duì)稱圖形，故此選項(xiàng)不合題意．
故選：A．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了中心對(duì)稱圖形和軸對(duì)稱圖形的定義，軸對(duì)稱圖形的關(guān)鍵是尋找對(duì)稱軸，圖形兩部分沿對(duì)稱軸折疊后可重合；中心對(duì)稱圖形是要尋找對(duì)稱中心，旋轉(zhuǎn)180度后與原圖重合．
2．（2分）下列方程中是一元二次方程的是（ ）
A．xy+2＝1B．
C．x2＝0D．a(chǎn)x2+bx+c＝0
【分析】根據(jù)一元二次方程的定義：含有一個(gè)未知數(shù)，并且所含未知數(shù)的項(xiàng)的最高次數(shù)是2的整式方程，即可判斷答案．
【解答】解：A、是二元二次方程，不是一元二次方程，故本選項(xiàng)不符合題意；
B、是分式方程，不是整式方程，不是一元二次方程，故本選項(xiàng)不符合題意；
C、是一元二次方程，故本選項(xiàng)符合題意；
D、當(dāng)a b c是常數(shù)，a≠0時(shí)，方程才是一元二次方程，故本選項(xiàng)不符合題意；
故選：C．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了一元二次方程的定義，關(guān)鍵是知道一元二次方程含有3個(gè)條件：①整式方程，②含有一個(gè)未知數(shù)，③所含未知數(shù)的項(xiàng)的最高次數(shù)是2次．
3．（2分）拋物線y＝﹣﹣3的頂點(diǎn)坐標(biāo)是（ ）
A．（，﹣3）B．（，﹣3）C．（，3）D．（，3）
【分析】根據(jù)二次函數(shù)y＝a（x﹣h）2+k（a≠0），頂點(diǎn)為（h，k）即可解決問(wèn)題．
【解答】解：由拋物線y＝﹣﹣3可知頂點(diǎn)為（﹣，﹣3）．
故選：B．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，熟練掌握利用頂點(diǎn)式解析式求頂點(diǎn)坐標(biāo)的方法是解題的關(guān)鍵．
4．（2分）如圖，在5×5正方形網(wǎng)格中，一條圓弧經(jīng)過(guò)A、B、C三點(diǎn)，那么這條圓弧所在的圓的圓心為圖中的（ ）
A．MB．PC．QD．R
【分析】根據(jù)垂徑定理的推論：弦的垂直平分線必過(guò)圓心，分別作AB，BC的垂直平分線即可得到答案．
【解答】解：作AB的垂直平分線，作BC的垂直平分線，如圖，
它們都經(jīng)過(guò)Q所以點(diǎn)Q為這條圓弧所在圓的圓心．
故選：C．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了垂徑定理的推論：弦的垂直平分線必過(guò)圓心．這也常用來(lái)確定圓心的方法．
5．（2分）將拋物線y＝﹣3x2向右平移2個(gè)單位，再向下平移1個(gè)單位，得到的拋物線的表達(dá)式為（ ）
A．y＝﹣3（x﹣2）2﹣1B．y＝﹣3（x+2）2+1
C．y＝﹣3（x+2）2﹣1D．y＝﹣3（x﹣2）2+1
【分析】先確定拋物線y＝﹣3x2的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（0，0），再利用點(diǎn)平移的坐標(biāo)規(guī)律得到點(diǎn)（0，0）平移后所得對(duì)應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)為（2，﹣1），然后根據(jù)頂點(diǎn)式寫(xiě)出平移得到的拋物線的解析式．
【解答】解：拋物線y＝﹣3x2的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（0，0），點(diǎn)（0，0）向右平移2個(gè)單位，再向下平移1個(gè)單位所得對(duì)應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)為（2，﹣1），所以平移得到的拋物線的表達(dá)式為y＝﹣3（x﹣2）2﹣1．
故選：A．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了二次函數(shù)與幾何變換：由于拋物線平移后的形狀不變，故a不變，所以求平移后的拋物線解析式通?？衫脙煞N方法：一是求出原拋物線上任意兩點(diǎn)平移后的坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法求出解析式；二是只考慮平移后的頂點(diǎn)坐標(biāo)，即可求出解析式．
6．（2分）從下列直角三角板與圓弧的位置關(guān)系中，可判斷圓弧為半圓的是（ ）
A．B．
C．D．
【分析】根據(jù)圓周角定理（直徑所對(duì)的圓周角是直角）求解，即可求得答案．
【解答】解：∵直徑所對(duì)的圓周角等于直角，
∴從下列直角三角板與圓弧的位置關(guān)系中，可判斷圓弧為半圓的是B．
故選：B．
【點(diǎn)評(píng)】此題考查了圓周角定理．此題比較簡(jiǎn)單，注意掌握數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．
7．（2分）設(shè)A（﹣2，y1），B（1，y2），C（2，y3）是拋物線y＝﹣（x+1）2+3上的三點(diǎn)，則y1，y2，y3的大小關(guān)系為（ ）
A．y1＞y2＞y3B．y1＞y3＞y2C．y3＞y2＞y1D．y3＞y1＞y2
【分析】根據(jù)二次函數(shù)的對(duì)稱性，可利用對(duì)稱性，找出點(diǎn)A的對(duì)稱點(diǎn)A′，再利用二次函數(shù)的增減性可判斷y值的大?。?br>【解答】解：∵函數(shù)的解析式是y＝﹣（x+1）2+3，如圖，
∴對(duì)稱軸是直線x＝﹣1，
∴點(diǎn)A關(guān)于對(duì)稱軸的點(diǎn)A′是（0，y1），
那么點(diǎn)A′、B、C都在對(duì)稱軸的右邊，而對(duì)稱軸右邊y隨x的增大而減小，
于是y1＞y2＞y3．
故選：A．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)的特征，解題的關(guān)鍵是能畫(huà)出二次函數(shù)的大致圖象，據(jù)圖判斷．
8．（2分）對(duì)稱軸為直線x＝1的拋物線y＝ax2+bx+c（a、b、c為常數(shù)，且a≠0）如圖所示，小明同學(xué)得出了以下結(jié)論：①abc＜0，②b2＞4ac，③4a+2b+c＞0，④3a+c＞0，⑤a+b≤m（am+b）（m為任意實(shí)數(shù)），⑥當(dāng)x＜﹣1時(shí)，y隨x的增大而增大．其中結(jié)論正確的個(gè)數(shù)為（ ）
A．3B．4C．5D．6
【分析】由拋物線的開(kāi)口方向判斷a的符號(hào)，由拋物線與y軸的交點(diǎn)判斷c的符號(hào)，然后根據(jù)對(duì)稱軸及拋物線與x軸交點(diǎn)情況進(jìn)行推理，進(jìn)而對(duì)所得結(jié)論進(jìn)行判斷．
【解答】解：①由圖象可知：a＞0，c＜0，
∵﹣＝1，
∴b＝﹣2a＜0，
∴abc＞0，故①錯(cuò)誤；
②∵拋物線與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)，
∴b2﹣4ac＞0，
∴b2＞4ac，故②正確；
③當(dāng)x＝2時(shí)，y＝4a+2b+c＜0，故③錯(cuò)誤；
④當(dāng)x＝﹣1時(shí)，y＝a﹣b+c＝a﹣（﹣2a）+c＞0，
∴3a+c＞0，故④正確；
⑤當(dāng)x＝1時(shí)，y取到值最小，此時(shí)，y＝a+b+c，
而當(dāng)x＝m時(shí)，y＝am2+bm+c，
所以a+b+c≤am2+bm+c，
故a+b≤am2+bm，即a+b≤m（am+b），故⑤正確，
⑥當(dāng)x＜﹣1時(shí)，y隨x的增大而減小，故⑥錯(cuò)誤，
故選：A．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系，二次函數(shù)y＝ax2+bx+c系數(shù)符號(hào)由拋物線開(kāi)口方向、對(duì)稱軸和拋物線與y軸的交點(diǎn)確定．
二、填空題（本大題共8小題．每題2分，共16分）．
9．（2分）一元二次方程x2＝2x的根是 x1＝0，x2＝2 ．
【分析】先移項(xiàng)，再提公因式，使每一個(gè)因式為0，從而得出答案．
【解答】解：移項(xiàng)，得x2﹣2x＝0，
提公因式得，x（x﹣2）＝0，
x＝0或x﹣2＝0，
∴x1＝0，x2＝2．
故答案為：x1＝0，x2＝2．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了一元二次方程的解法：解一元二次方程常用的方法有直接開(kāi)平方法，配方法，公式法，因式分解法，要根據(jù)方程的特點(diǎn)靈活選用合適的方法．
10．（2分）請(qǐng)寫(xiě)出一個(gè)開(kāi)口向上，并且與y軸交于點(diǎn)（0，1）的拋物線的解析式，y＝ x2+1（答案不唯一） ．
【分析】根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)，開(kāi)口向上，要求a值大于0即可．
【解答】解：拋物線y＝x2+1開(kāi)口向上，且與y軸的交點(diǎn)為（0，1）．
故答案為：x2+1（答案不唯一）．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，開(kāi)放型題目，答案不唯一，所寫(xiě)拋物線的a值必須大于0．
11．（2分）點(diǎn)P（2m+n，2）與點(diǎn)Q（1，n﹣m）關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，則m＝ ，n＝ ﹣ ．
【分析】根據(jù)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的點(diǎn)的橫坐標(biāo)，縱坐標(biāo)都互為相反數(shù)求出m、n的值即可．
【解答】解：∵P（2m+n，2）與點(diǎn)Q（1，n﹣m）關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，
∴，
∴解得：．
故答案為：，﹣．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)，是基礎(chǔ)題，求出m、n的值是解題的關(guān)鍵．
12．（2分）拋物線y＝﹣x2+bx+c的部分圖象如圖所示，若y＞0，則x的取值范圍是 ﹣3＜x＜1 ．
【分析】根據(jù)拋物線的對(duì)稱軸為x＝﹣1，一個(gè)交點(diǎn)為（1，0），可推出另一交點(diǎn)為（﹣3，0），結(jié)合圖象求出y＞0時(shí)，x的范圍．
【解答】解：根據(jù)拋物線的圖象可知：
拋物線的對(duì)稱軸為x＝﹣1，已知一個(gè)交點(diǎn)為（1，0），
根據(jù)對(duì)稱性，則另一交點(diǎn)為（﹣3，0），
所以y＞0時(shí)，x的取值范圍是﹣3＜x＜1．
故答案為：﹣3＜x＜1．
【點(diǎn)評(píng)】此題的關(guān)鍵是根據(jù)二次函數(shù)的對(duì)稱軸與對(duì)稱性，找出拋物線y＝﹣x2+bx+c的完整圖象．
13．（2分）已知⊙O是△ABC的外接圓，連接AO，BO，∠AOB＝120°，則∠ACB＝ 60°或120° ．
【分析】根據(jù)圓周角定理和圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)即可解決問(wèn)題．
【解答】解：當(dāng)C1在上時(shí)，
∵∠AC1B＝∠AOB，∠AOB＝120°，
∴∠AC1B＝60°，
當(dāng)C2在上時(shí)，
∵A，C1，B，C2都在⊙O上，
∴∠AC2B＝180°﹣∠AC1B＝120°，
故答案為：60°或120°．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查三角形的外接圓與外心、圓周角定理等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握基本知識(shí)，屬于中考常考題型．
14．（2分）已知關(guān)于x的方程（k﹣1）x2﹣2kx+k﹣3＝0有兩個(gè)相等的實(shí)根，則k的值是 ．
【分析】根據(jù)二次項(xiàng)系數(shù)非零及根的判別式Δ＝0，即可得出關(guān)于k的一元一次不等式及一元一次方程，解之即可得出k的值．
【解答】解：∵關(guān)于x的方程（k﹣1）x2﹣2kx+k﹣3＝0有兩個(gè)相等的實(shí)根，
∴，
解得：k＝．
故答案為：．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了根的判別式以及一元二次方程的定義，牢記“當(dāng)Δ＝0時(shí)，方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根”是解題的關(guān)鍵．
15．（2分）如圖，一下水管道橫截面為圓形，直徑為100cm，下雨前水面寬為60cm，一場(chǎng)大雨過(guò)后，水面寬為80cm，則水位上升 10或70 cm．
【分析】分兩種情形分別求解即可解決問(wèn)題；
【解答】解：作半徑OD⊥AB于C，連接OB，
由垂徑定理得：BC＝AB＝30cm，
在Rt△OBC中，OC＝＝40cm，
當(dāng)水位上升到圓心以下 水面寬80cm時(shí)，
則OC′＝＝30cm，
水面上升的高度為：40﹣30＝10cm；
當(dāng)水位上升到圓心以上時(shí)，水面上升的高度為：40+30＝70cm，
綜上可得，水面上升的高度為10cm或70cm．
故答案為10或70．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是垂徑定理的應(yīng)用，掌握垂徑定理、靈活運(yùn)用分情況討論思想是解題的關(guān)鍵．
16．（2分）我們把橫、縱坐標(biāo)都為整數(shù)的點(diǎn)稱為格點(diǎn)．
（1）如圖，直線上的格點(diǎn)坐標(biāo)為 （0，2） ；
（2）若拋物線與x軸所圍成的封閉圖形（不含邊界）中僅有一個(gè)格點(diǎn)，則c的取值范圍是 ﹣≤c≤﹣1． ．
【分析】（1）直接根據(jù)格點(diǎn)的概念解答即可；
（2）分兩種情況畫(huà)出圖象，然后根據(jù)圖象可得答案．
【解答】解：（1）∵橫、縱坐標(biāo)都為整數(shù)的點(diǎn)稱為格點(diǎn)．
由圖可知，當(dāng)x＝0時(shí)，y＝2，
∴直線上的格點(diǎn)坐標(biāo)為（0，2），
故答案為：（0，2）；
（2）若拋物線與x軸所圍成的封閉圖形（不含邊界）中僅有一個(gè)格點(diǎn)，
∴由圖象可知臨界值的兩種情況為：
∴當(dāng)x＝0時(shí)，y＜﹣1，即c＜﹣1，
∵當(dāng)x＝﹣1時(shí)，
∴y＝×（﹣1）2+c＝﹣1，
∴+c＝﹣1，
∴c＝﹣，
∴c的取值范圍是：﹣≤c≤﹣1．
故答案為：﹣≤c≤﹣1．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了拋物線與x軸的交點(diǎn)，熟練運(yùn)用二次函數(shù)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
三、解答題（本題共48分，第17、18題，每小題8分，第19題，每小題8分，第20-25題，每小題8分）
17．（8分）用適當(dāng)?shù)姆椒ń夥匠?br>（1）x2﹣3x＝1；
（2）4（x﹣5）2＝（x﹣5）（x+5）．
【分析】（1）移項(xiàng)，求出b2﹣4ac的值，代入公式求出即可．
（2）先移項(xiàng)，再分解因式，即可得出兩個(gè)一元一次方程，求出即可．
【解答】解：（1）x2﹣3x＝1，
x2﹣3x﹣1＝0，
b2﹣4ac＝（﹣3）2﹣4×1×（﹣1）＝13，
x＝，
x1＝，x2＝；
（2）4（x﹣5）2＝（x﹣5）（x+5），
4（x﹣5）2﹣（x﹣5）（x+5）＝0，
（x﹣5）（4x﹣20﹣x﹣5）＝0，
（x﹣5）（3x﹣25）＝0，
x﹣5＝0，3x﹣25＝0，
x1＝5，x2＝．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了解一元二次方程的應(yīng)用，主要考查學(xué)生的計(jì)算能力．
18．（4分）若m是方程x2+x﹣1＝0的一個(gè)根，求代數(shù)式m3+2m2+2021的值．
【分析】將m代入原方程即可求m2+m的值，然后整體代入即可．
【解答】解：根據(jù)題意，得m2+m﹣1＝0，
則m2+m＝1，
即m（m+1）＝1，
則m3+2m2+2021
＝m（m2+m+m）+2021
＝m（m+1）+2021
＝1+2021
＝2022．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右兩邊相等的未知數(shù)的值是一元二次方程的解．
19．（6分）如圖，在4×4的方格紙中，△ABC的三個(gè)頂點(diǎn)都在格點(diǎn)上．
（1）在圖1中，畫(huà)出一個(gè)與△ABC成中心對(duì)稱的格點(diǎn)三角形；
（2）在圖2中，畫(huà)出一個(gè)與△ABC成軸對(duì)稱且與△ABC有公共邊的格點(diǎn)三角形；
（3）在圖3中，畫(huà)出△ABC繞著點(diǎn)C按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)90°后的三角形．
【分析】（1）根據(jù)中心對(duì)稱的性質(zhì)即可作出圖形；
（2）根據(jù)軸對(duì)稱的性質(zhì)即可作出圖形；
（3）根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)即可求出圖形．
【解答】解：（1）如圖所示，
△DCE為所求，
（2）如圖所示，
△ACD為所求
（3）如圖所示
△ECD為所求．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查圖形變換，解題的關(guān)鍵是正確理解圖形變換的性質(zhì)，本題屬于基礎(chǔ)題型．
20．（5分）已知：關(guān)于x的方程mx2+（m﹣3）x﹣3＝0（m≠0）．
（1）求證：方程總有兩個(gè)實(shí)數(shù)根；
（2）如果m為正整數(shù)，且方程的兩個(gè)根均為整數(shù)，求m的值．
【分析】（1）先計(jì)算判別式得到Δ＝（m﹣3）2﹣4m?（﹣3）＝（m+3）2，利用非負(fù)數(shù)的性質(zhì)得到△≥0，然后根據(jù)判別式的意義即可得到結(jié)論；
（2）利用公式法可求出x1＝，x2＝﹣1，然后利用整除性即可得到m的值．
【解答】（1）證明：∵m≠0，
∴方程mx2+（m﹣3）x﹣3＝0（m≠0）是關(guān)于x的一元二次方程，
∴Δ＝（m﹣3）2﹣4m?（﹣3）
＝（m+3）2，
∵（m+3）2≥0，即△≥0，
∴方程總有兩個(gè)實(shí)數(shù)根；
（2）解：∵x＝，
∴x1＝，x2＝﹣1，
∵m為正整數(shù)，且方程的兩個(gè)根均為整數(shù)，
∴m＝1或3．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根的判別式Δ＝b2﹣4ac：當(dāng)Δ＞0，方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；當(dāng)Δ＝0，方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根；當(dāng)Δ＜0，方程沒(méi)有實(shí)數(shù)根．也考查了解一元二次方程．
21．（5分）已知二次函數(shù)y＝﹣x2﹣2x+3．
（1）將y＝﹣x2﹣2x+3化成y＝a（x﹣h）2+k的形式；
（2）在所給坐標(biāo)系中畫(huà)出二次函數(shù)的圖象；
（3）當(dāng)﹣2≤x≤1時(shí)，利用圖象直接寫(xiě)出y的取值范圍．
【分析】（1）由完全平方公式化為頂點(diǎn)式；
（2）由頂點(diǎn)式得到頂點(diǎn)坐標(biāo)，再畫(huà)出幾個(gè)點(diǎn)，然后用平滑的曲線連接，從而得到二次函數(shù)的圖象；
（3）結(jié)合函數(shù)圖象求出y的取值范圍．
【解答】解：（1）y＝﹣x2﹣2x+3＝﹣（x+1）2+4；
（2）由y＝﹣（x+1）2+4得頂點(diǎn)坐標(biāo)為（﹣1，4），開(kāi)口向下，
當(dāng)x＝0時(shí)，y＝3，當(dāng)x＝﹣3或1時(shí)，y＝0，
作出函數(shù)圖象如圖所示，
（3）由圖象可知，當(dāng)x＝﹣1時(shí)，y最大值＝4；當(dāng)x＝1時(shí)，y最小值＝0，
∴當(dāng)﹣2≤x≤1時(shí)，y的取值范圍為0≤y≤4．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了二次函數(shù)的頂點(diǎn)式、二次函數(shù)的圖象和二次函數(shù)的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是準(zhǔn)確畫(huà)出二次函數(shù)的圖象．
22．（5分）已知：射線AB．
求作：△ACD，使得點(diǎn)C在射線AB上，∠D＝90°，∠A＝30°．
作法：如圖，
①在射線AB上取一點(diǎn)O，以O(shè)為圓心，OA長(zhǎng)為半徑作圓，與射線AB相交于點(diǎn)C；②以C為圓心，OC為半徑作弧，在射線AB上方交⊙O于點(diǎn)D；
③連接AD，CD．
則△ACD即為所求的三角形．
（1）使用直尺和圓規(guī)，依作法補(bǔ)全圖形（保留作圖痕跡）；
（2）完成下面的證明．
證明：連接OD．
∵AB為⊙O的直徑，
∴∠ADC＝ 90 °．
∵OD＝OC＝CD，
∴△OCD等邊三角形．
∴∠DOC＝60°．
∵點(diǎn)A，D都在⊙O上，
∴∠DAC＝． （一條弧所對(duì)的圓周角等于它所對(duì)圓心角的一半） （填推理的依據(jù)）
∴∠DAC＝30°．
△ACD即為所求的三角形．
【分析】（1）根據(jù)要求作出圖形即可．
（2）連接OD，證明△ODC是等邊三角形可得結(jié)論．
【解答】解：（1）補(bǔ)全的圖形如圖所示：
（2）連接OD．
∵AB為⊙O的直徑，
∴∠ADC＝90°．
∵OD＝OC＝CD，
∴△OCD等邊三角形．
∴∠DOC＝60°．
∵點(diǎn)A，D都在⊙O上，
∴∠DAC＝∠DOC（一條弧所對(duì)的圓周角等于它所對(duì)圓心角的一半），
∴∠DAC＝30°．
△ACD即為所求的三角形．
故答案為：90，（一條弧所對(duì)的圓周角等于它所對(duì)圓心角的一半）．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查作圖﹣復(fù)雜作圖，等邊三角形的判定和性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，圓周角定理等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是理解題意，靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決問(wèn)題．
23．（5分）如圖所示，已知AB為⊙O的直徑，CD是弦，且AB⊥CD于點(diǎn)E．連接AC、OC、BC．
（1）求證：∠ACO＝∠BCD；
（2）若EB＝8cm，CD＝24cm，求⊙O的直徑．
【分析】（1）根據(jù)垂徑定理和圓的性質(zhì)，同弧的圓周角相等，又因?yàn)椤鰽OC是等腰三角形，即可求證．
（2）根據(jù)勾股定理，求出各邊之間的關(guān)系，即可確定半徑．
【解答】（1）證明：連接OC，
∵AB為⊙O的直徑，
∴∠ACB＝90°，∠BCD與∠ACE互余；又∠ACE與∠CAE互余
∴∠BCD＝∠BAC．（3分）
∵OA＝OC，∴∠OAC＝∠OCA．
∴∠ACO＝∠BCD．（5分）
（2）解：設(shè)⊙O的半徑為Rcm，則OE＝OB﹣EB＝（R﹣8）cm，
CE＝CD＝×24＝12cm，（6分）
在Rt△CEO中，由勾股定理可得
OC2＝OE2+CE2，即R2＝（R﹣8）2+122（8分）
解得R＝13，∴2R＝2×13＝26cm．
答：⊙O的直徑為26cm．（10分）
【點(diǎn)評(píng)】本題考查垂弦定理、圓心角、圓周角的應(yīng)用能力．
24．（5分）雜技團(tuán)進(jìn)行雜技表演，演員從蹺蹺板右端A處彈跳到人梯頂端椅子B處，其身體（看成一點(diǎn)）的路線是拋物線y＝﹣+3x+1的一部分，如圖
（1）求演員彈跳離地面的最大高度；
（2）已知人梯高BC＝3.4米，在一次表演中，人梯到起跳點(diǎn)A的水平距離是4米，問(wèn)這次表演是否成功？請(qǐng)說(shuō)明理由．
【分析】（1）將二次函數(shù)化簡(jiǎn)為y＝﹣（x﹣）2+，即可解出y最大的值．
（2）當(dāng)x＝4時(shí)代入二次函數(shù)可得點(diǎn)B的坐標(biāo)在拋物線上．
【解答】解：（1）將二次函數(shù)y＝﹣x2+3x+1化成y＝﹣（x﹣）2+，
當(dāng)x＝時(shí)，y有最大值，y最大值＝，
因此，演員彈跳離地面的最大高度是4.75米．
（2）能成功表演．理由是：
當(dāng)x＝4時(shí)，y＝﹣×42+3×4+1＝3.4．
即點(diǎn)B（4，3.4）在拋物線y＝﹣x2+3x+1上，
因此，能表演成功．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了二次函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用．此題為數(shù)學(xué)建模題，借助二次函數(shù)解決實(shí)際問(wèn)題．
25．（5分）如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BD是角平分線，點(diǎn)O在AB上，以點(diǎn)O為圓心，OB為半徑的圓經(jīng)過(guò)點(diǎn)D，交BC于點(diǎn)E．
（1）求證：AC是⊙O的切線；
（2）若OB＝10，CD＝8，求BE的長(zhǎng)．
【分析】（1）連接OD，由BD為角平分線得到一對(duì)角相等，根據(jù)OB＝OD，等邊對(duì)等角得到一對(duì)角相等，等量代換得到一對(duì)內(nèi)錯(cuò)角相等，進(jìn)而確定出OD與BC平行，利用兩直線平行同位角相等得到∠ODA為直徑，即可得證；
（2）過(guò)O作OG垂直于BE，可得出四邊形ODCG為矩形，在直角三角形OBG中，利用勾股定理求出BG的長(zhǎng)，由垂徑定理可得BE＝2BG．
【解答】（1）證明：連接OD，
∵BD為∠ABC平分線，
∴∠1＝∠2，
∵OB＝OD，
∴∠1＝∠3，
∴∠2＝∠3，
∴OD∥BC，
∵∠C＝90°，
∴∠ODA＝90°，
則AC為圓O的切線；
（2）解：過(guò)O作OG⊥BC，連接OE，
∴四邊形ODCG為矩形，
∴GC＝OD＝OB＝10，OG＝CD＝8，
在Rt△OBG中，利用勾股定理得：BG＝6，
∵OG⊥BE，OB＝OE，
∴BE＝2BG＝12．
【點(diǎn)評(píng)】此題考查了切線的判定，相似三角形的判定與性質(zhì)，平行線的判定與性質(zhì)，以及等腰三角形的性質(zhì)，熟練掌握切線的判定方法是解本題的關(guān)鍵．
四、解答題（本大題共3小題．第26題6分，第27、28兩個(gè)題每題7分）．
26．（6分）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，拋物線y＝ax2﹣（a+1）x．
（1）若拋物線過(guò)點(diǎn)（2，0），求拋物線的對(duì)稱軸；
（2）若M（x1，y1），N（x2，y2）為拋物線上兩個(gè)不同的點(diǎn)．
①當(dāng)x1+x2＝﹣4時(shí)，y1＝y(tǒng)2，求a的值；
②若對(duì)于x1＞x2≥﹣2，都有y1＜y2，求a的取值范圍．
【分析】（1）把點(diǎn)（2，0）代入拋物線y＝ax2﹣（a+1）x，求出解析式，再利用對(duì)稱軸公式計(jì)算即可；
（2）當(dāng)x1+x2＝﹣4時(shí)，y1＝y(tǒng)2，說(shuō)明M（x1，y1）與N（x2，y2）對(duì)稱，根據(jù)對(duì)稱軸公式計(jì)算a即可；
（3）利用二次函數(shù)的性質(zhì)，即可求得．
【解答】解：（1）∵函數(shù)圖象過(guò)點(diǎn)（2，0），
∴0＝4a﹣2（a+1），
∴a＝1，
∴y＝x2﹣2x，
對(duì)稱軸x＝﹣＝﹣＝1，
∴二次函數(shù)的對(duì)稱軸為直線x＝1．
（2）①∵x1+x2＝﹣4時(shí)，y1＝y(tǒng)2，
二次函數(shù)的對(duì)稱軸為直線x＝﹣2，
∴，
∴．
②由題意可知，對(duì)于任意的x≥﹣2，y隨x的增大而減小，從而：，
解得：．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，掌握性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
27．（7分）如圖，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝α，點(diǎn)D在BC上，以點(diǎn)A為中心，將線段AD順時(shí)針旋轉(zhuǎn)α得到線段AE，連接BE，DE．
（1）按要求作出圖形，∠BAE ＝ ∠CAD；
（2）若α＝90°，用等式表示線段DC，DB，DE大小關(guān)系，并證明；
（3）若α＝120°，AB＝，M為BC的中點(diǎn)，求ME的最小值．
【分析】（1）由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得∠DAE＝∠BAC，即可得出∠BAE＝∠CAD；
（2）利用SAS證明△AEB≌△ADC，得∠EBA＝∠C＝45°，EB＝DC，則∠EBC＝90°，利用勾股定理即可解決問(wèn)題；
（3）利用SAS證明△AEB≌△ADC，得∠EBA＝∠C＝30°，則∠EBC＝∠EBA+∠ABC＝60°，可知點(diǎn)E在射線BE上運(yùn)動(dòng)，根據(jù)垂線段最短即可得出答案．
【解答】解：（1）如圖，∵將線段AD順時(shí)針旋轉(zhuǎn)α得到線段AE，
∴∠DAE＝∠BAC，
∴∠BAC﹣∠BAD＝∠DAE﹣∠BAD，
∴∠BAE＝∠CAD，
故答案為：＝；
（2）DC2+DB2＝DE2，理由如下：
∵∠CAB＝∠DAE＝90°，
∴∠BAE＝∠CAD，
∵DA＝EA，CA＝BA，
∴∠C＝∠ABC＝45°，
∴△AEB≌△ADC（SAS），
∴∠EBA＝∠C＝45°，EB＝DC，
∴∠EBC＝∠EBA+∠ABC＝90°，
∴EB2+DB2＝DE2，
∴DC2+DB2＝DE2；
（3）∵∠CAB＝∠DAE＝120°，，
∴∠BAE＝∠CAD，BC＝6，
∵DA＝EA，CA＝BA，
∴∠C＝∠ABC＝30°，
∴△AEB≌△ADC（SAS），
∴∠EBA＝∠C＝30°，
∴∠EBC＝∠EBA+∠ABC＝60°，
∴點(diǎn)E在射線BE上運(yùn)動(dòng)，
∵M(jìn)為BC中點(diǎn)，BM＝3，
作MH⊥BE于H，
∴，
即當(dāng)ME⊥BE時(shí)，ME最小為．
【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了等腰三角形的性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)的相似，全等三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理等知識(shí)，證明△AEB?△ADC是解題的關(guān)鍵．
28．（7分）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，⊙O的半徑為1．給出如下定義：記線段AB的中點(diǎn)為M，當(dāng)點(diǎn)M不在⊙O上時(shí)，平移線段AB，使點(diǎn)M落在⊙O上，得到線段A'B'（A'，B'分別為點(diǎn)A，B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)）．線段A'A長(zhǎng)度的最小值稱為線段AB到⊙O的“平移距離”．
（1）已知點(diǎn)A的坐標(biāo)為（﹣1，0），點(diǎn)B在x軸上．
①若點(diǎn)B與原點(diǎn)O重合，則線段AB到⊙O的“平移距離”為 ；
②若線段AB到⊙O的“平移距離”為2，則點(diǎn)B的坐標(biāo)為 （﹣5，0）或（7，0） ；
（2）若點(diǎn)A，B都在直線上，AB＝2，記線段AB到⊙O的“平移距離”為d1，求d1的最小值；
（3）若點(diǎn)A的坐標(biāo)為（﹣4，﹣2），AB＝2，記線段AB到⊙O的“平移距離”為d2，直接寫(xiě)出d2的取值范圍．
【分析】（1）①求出點(diǎn)M的坐標(biāo)，即可得出結(jié)論．
②因?yàn)榫€段AB到⊙O的“平移距離”為2，所以M（﹣3，0）或（3，0），由此即可解決問(wèn)題．
（2）如圖1中，設(shè)直線交x軸于C，交y軸于D，則點(diǎn)C（4，0），D（0，3），過(guò)點(diǎn)O作ON⊥直線CD于點(diǎn)N，交⊙O于點(diǎn)N'．利用面積法求出ON的長(zhǎng)，可得結(jié)論．
（3）求出d2的最大值與最小值，可得結(jié)論．
【解答】解：（1）①∵A（﹣1，0），B（0，0），AM＝BM，
∴M（﹣，0），
∴線段AB到⊙O的“平移距離”＝線段AM的長(zhǎng)＝，
故答案為：．
②∵線段AB到⊙O的“平移距離”為2，
∴M（﹣3，0）或（3，0），
∵M(jìn)A＝MB，
∴B（﹣5，0）或（7，0）．
故答案為：（﹣5，0）或（7，0）．
（2）如圖1，取AB的中點(diǎn)M，連接OM交⊙O于點(diǎn)M'，以M'為中點(diǎn)作線段A'B'，使得A'B'∥AB且A'B'＝AB＝2，則四邊形AA'BB'為平行四邊形．
∴M'M＝AA'，
由題意可知，AA'＝d1，
設(shè)直線y＝﹣x+3交x軸于點(diǎn)C，交y軸于點(diǎn)D，
∴點(diǎn)C（4，0），D（0，3），
∴CD＝5，
過(guò)點(diǎn)O作ON⊥直線CD于點(diǎn)N，交⊙O于點(diǎn)N'．
在Rt△COD中，可得ON＝．
∴NN'＝ON﹣ON'＝﹣1＝，
∵M(jìn)M'≥NN'，
∴MM'≥．
∴AA'≥．
∴d1的最小值是（當(dāng)點(diǎn)M與點(diǎn)N重合時(shí)取得）；
（3）如圖2中，由題意，AB的中點(diǎn)M的運(yùn)動(dòng)軌跡是A為圓心1為半徑是圓，
d2的最小值＝PQ＝2﹣2，d2的最大值＝PR＝2，
∴2﹣2≤d2≤2．
【點(diǎn)評(píng)】本題屬于圓綜合題，考查了線段AB到⊙O的“平移距離”的定義，一次函數(shù)的性質(zhì)，三角形的面積，軌跡等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是理解題意，靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決問(wèn)題，屬于中考?jí)狠S題．
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