2022-2023學(xué)年北京市西城區(qū)育才學(xué)校九年級（上）期中數(shù)學(xué)試卷（含答案解析)

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2022-2023學(xué)年北京市西城區(qū)育才學(xué)校九年級（上）期中數(shù)學(xué)試卷     一元二次方程的二次項系數(shù)、一次項系數(shù)、常數(shù)項分別是(    )A. 2，1，5 B. 2，1， C. 2，0， D. 2，0，5    下列四個圖形中，是中心對稱圖形的是(    )A.  B.
C.  D.     將拋物線向上平移3個單位后所得的解析式為(    )A.  B.  C.  D.     在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點關(guān)于原點對稱的點的坐標(biāo)是(    )A.  B.  C.  D.     用配方法解方程，變形后結(jié)果正確的是(    )A.  B.  C.  D.     二次函數(shù)的圖象如圖所示，，則下列四個選項正確的是(    )A. ，，
B. ，，
C. ，，
D. ，，    二次函數(shù)的最大值為(    )A.  B. 2 C. 5 D. 9    小高發(fā)現(xiàn)，用微波爐加工爆米花時，時間太短，一些顆粒沒有充分爆開，時間太長，就糊了．如果將爆開且不糊的粒數(shù)的百分比稱為“可食用率”．在特定條件下，可食用率p與加工時間單位：分鐘滿足的函數(shù)關(guān)系、b、c是常數(shù)，小高記錄了三次實驗的數(shù)據(jù)如圖根據(jù)上述函數(shù)模型和實驗數(shù)據(jù)，可以得到最佳加工時間為(    )
 A. 分鐘 B. 分鐘 C. 分鐘 D. 分鐘    拋物線的頂點坐標(biāo)是__________.若關(guān)于x的一元二次方程有一個根為，則m的值為______.請寫出一個開口向上，并且與y軸交于點的拋物線的表達(dá)式：__________.若二次函數(shù)的圖象上有兩個點、，則m______填“<”或“=”或“>”把二次函數(shù)配成的形式是______.如圖，將繞點A順時針旋轉(zhuǎn)得到，若，，則的度數(shù)為__________.
 拋物線的部分圖象如圖所示，則當(dāng)時，x的取值范圍是______ .
 在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點A的坐標(biāo)為是第一象限內(nèi)任意一點，連接PO，若，，則我們把叫做點P的“雙角坐標(biāo)”．
點的“雙角坐標(biāo)”為______；
若點P到x軸的距離為，則的最小值為______.解下列一元二次方程：
；
 在平面直角坐標(biāo)系xOy中，二次函數(shù)的圖象經(jīng)過點
求二次函數(shù)的表達(dá)式；
求二次函數(shù)圖象的對稱軸．已知二次函數(shù)的解析式是
與x軸的交點坐標(biāo)是______，頂點坐標(biāo)是______；
在坐標(biāo)系中利用描點法畫出此拋物線；x…     …y…     …結(jié)合圖象回答：當(dāng)時，函數(shù)值y的取值范圍是______.
如圖，在寬為20米，長為30米的矩形地面上修建兩條同樣寬的道路，余下部分作為耕地．若耕地面積需要551米，則修建的路寬應(yīng)為多少米？
 如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，的頂點坐標(biāo)分別為，，，將繞點O順時針旋轉(zhuǎn)得到，點A旋轉(zhuǎn)后的對應(yīng)點為
畫出旋轉(zhuǎn)后的；
寫出點的坐標(biāo)．
已知關(guān)于x的一元二次方程
求證：該方程總有兩個實數(shù)根；
若該方程有一個根小于2，求k的取值范圍．小聰是一名愛學(xué)習(xí)的孩子，他學(xué)習(xí)完二次函數(shù)后對函數(shù)的圖像和性質(zhì)進行了探究，探究過程如下，請補充完整．
自變量x的取值范圍是全體實數(shù)，x與y的幾組對應(yīng)數(shù)值如下表：x…12…y…m…其中______；
如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，描出了以表中各對對應(yīng)值為坐標(biāo)的點，根據(jù)描出的點，畫出該函數(shù)的圖像；

觀察函數(shù)圖像，寫出一條該函數(shù)的性質(zhì)______；
進一步探究函數(shù)圖像發(fā)現(xiàn)：
函數(shù)圖像與x軸有交點，所以對應(yīng)的方程有______個互為不相等的實數(shù)根，請寫出其中一個根為______.某商店銷售一種進價為20元/雙的手套，經(jīng)調(diào)查發(fā)現(xiàn)，該種手套每天的銷售量雙與銷售單價元滿足，設(shè)銷售這種手套每天的利潤為元
求y與x之間的函數(shù)關(guān)系式；
當(dāng)銷售單價定為多少元時，每天的利潤最大？最大利潤是多少？體育課上，一名九年級學(xué)生測試扔實心球．已知實心球經(jīng)過的路線是某個二次函數(shù)圖像的一部分，如果球出手處A點距離地面的高度為2米，當(dāng)球運行的水平距離為4米時，到達(dá)最大高度為4米的B處如圖所示
以D為原點，CD所在直線為x軸建立平面直角坐標(biāo)系，在圖中畫出坐標(biāo)系，點B的坐標(biāo)為______；
請你計算該學(xué)生把實心球扔出多遠(yuǎn)？結(jié)果保留根號
在平面直角坐標(biāo)系xOy中，拋物線與平行于x軸的一條直線交于A，B兩點．
求拋物線的對稱軸；
如果點A的坐標(biāo)是，求點B的坐標(biāo)；
拋物線的對稱軸交直線AB于點C，如果直線AB與y軸交點的縱坐標(biāo)為，且拋物線頂點D到點C的距離大于2，求m的取值范圍．
已知：在中，斜邊，在射線AC上取一點D，使射線BC上取一點E，使，直線AE、BD交于點F，點E關(guān)于直線BF的對稱點為
如圖，當(dāng)時，請你直接寫出的度數(shù)______；

如圖，當(dāng)時，請你直接寫出的長度______；

在圖中，探索EF與BD的數(shù)量關(guān)系，并對你的結(jié)論進行證明．
 在平面直角坐標(biāo)系xOy中，對于點和，給出如下定義：若，則稱點Q為點P的“可控變點”．
例如：點的“可控變點”為點，點的“可控變點”為點
點的“可控變點”坐標(biāo)為______；
若點P在函數(shù)的圖象上，其“可控變點”Q的縱坐標(biāo)是7，求“可控變點”Q的橫坐標(biāo)；
若點P在函數(shù)的圖象上，其“可控變點”Q的縱坐標(biāo)的取值范圍是，求實數(shù)a的取值范圍．
答案和解析 1.【答案】B 【解析】解：一元二次方程的二次項系數(shù)，一次項系數(shù)，常數(shù)項分別是2，1，，
故選：
根據(jù)二次項系數(shù)、一次項系數(shù)、常數(shù)項的定義即可得出結(jié)果.
本題考查了一元二次方程的一般形式，一元二次方程的一般形式是：是常數(shù)且，在一般形式中叫二次項，bx叫一次項，c是常數(shù)項.其中a，b，c分別叫二次項系數(shù)，一次項系數(shù)，常數(shù)項.
 2.【答案】C 【解析】解：不是中心對稱圖形，故本選項不合題意；
B.不是中心對稱圖形，故本選項不合題意；
C.是中心對稱圖形，故本選項符合題意；
D.不是中心對稱圖形，故本選項不合題意．
故選：
根據(jù)中心對稱圖形的概念對各選項分析判斷即可得解．把一個圖形繞某一點旋轉(zhuǎn)，如果旋轉(zhuǎn)后的圖形能夠與原來的圖形重合，那么這個圖形就叫做中心對稱圖形，這個點叫做對稱中心．
本題考查了中心對稱圖形的概念，中心對稱圖形是要尋找對稱中心，繞對稱中心旋轉(zhuǎn)180度后與原圖重合．
 3.【答案】A 【解析】解：拋物線向上平移3個單位，
平移后的解析式為：，
故選：
根據(jù)二次函數(shù)圖象變化規(guī)律：左加右減，上加下減，進而得出變化后解析式．
此題考查了拋物線圖象的平移規(guī)律，熟練記憶二次函數(shù)圖象平移規(guī)律是解題關(guān)鍵．
 4.【答案】D 【解析】解：點，
點關(guān)于原點對稱的點為，
故選：
兩個點關(guān)于原點對稱時，它們的橫縱坐標(biāo)互為相反數(shù)，由此可求點A關(guān)于原點對稱的點的坐標(biāo)．
本題考查關(guān)于原點對稱的點的坐標(biāo)特點，熟練掌握關(guān)于原點對稱的點的坐標(biāo)特點是解題的關(guān)鍵．
 5.【答案】A 【解析】解：原方程兩邊同時加上4，
得，
即，
故選：
根據(jù)配方法，方程兩邊都加上一次項系數(shù)一半的平方配成完全平方式后即可得出答案．
本題主要考查解一元二次方程的方法--配方法，掌握配方法是解本題的關(guān)鍵．
 6.【答案】A 【解析】解：拋物線的開口向上，
，
拋物線的對稱軸在y軸的右側(cè)，
，
，
拋物線與y軸的交點在x軸的下方，
，
拋物線與x軸有兩個交點，
，
故選：
根據(jù)拋物線的開口方向和對稱軸的位置確定b的符號，由拋物線與x軸的交點個數(shù)確定的符號，由拋物線與y軸的交點位置確定c的符號，即可得出答案．
本題主要考查二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，關(guān)鍵是要牢記圖象與系數(shù)的關(guān)系，牢記拋物線的對稱軸公式．
 7.【答案】C 【解析】解：化成頂點式，
拋物線開口向下，頂點為，
函數(shù)的最大值為5，
故選：
將化成頂點式，確定最值即可．
本題考查了二次函數(shù)化成頂點式，熟練掌握配方法化二次函數(shù)的一般式為頂點式是解題的關(guān)鍵．
 8.【答案】B 【解析】解：由題意函數(shù)關(guān)系是常數(shù)經(jīng)過點，，，
代入得：，
解得：，
，
得到最佳加工時間為分鐘．
故選：
由題意函數(shù)關(guān)系是常數(shù)經(jīng)過點，，，列出方程組，推導(dǎo)出，由此能得到最佳加工時間．
本題主要考查二次函數(shù)的應(yīng)用，熟練掌握待定系數(shù)法求函數(shù)解析式及利用二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)求最值問題是解題的關(guān)鍵．
 9.【答案】 【解析】解：是拋物線的頂點式解析式，
頂點坐標(biāo)為
故答案為；
直接根據(jù)頂點式解析式的特點求頂點坐標(biāo)．
本題主要考查二次函數(shù)的性質(zhì)，掌握二次函數(shù)的頂點式解析式是解題的關(guān)鍵，即在中，對稱軸為直線，頂點坐標(biāo)為
 10.【答案】1 【解析】解：把代入方程得，
解得
故答案為：
把代入方程得，然后解關(guān)于m的方程即可．
本題考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右兩邊相等的未知數(shù)的值是一元二次方程的解．
 11.【答案】答案不唯一 【解析】解：拋物線的開口向上，
，
又拋物線與y軸交于點，
，
所以拋物線的表達(dá)式為，
故答案為：答案不唯一
根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)，所寫出的函數(shù)解析式a是正數(shù)，即可．
本題主要考查二次函數(shù)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)．
 12.【答案】> 【解析】解：
、在函數(shù)的圖象上，
，，
，
故答案為：
把點的坐標(biāo)代入函數(shù)解析式可求得m、n的值，再進行比例大小即可．
本題主要考查二次函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特征，掌握函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)滿足函數(shù)解析式是解題的關(guān)鍵．
 13.【答案】 【解析】解：二次函數(shù)配成頂點式為，
故答案是：
用配方法二次函數(shù)可化為，即
考查了二次函數(shù)的解析式有三種形式：
一般式：、b、c為常數(shù)；
頂點式：；
交點式與x軸：
 14.【答案】 【解析】解：將繞點A順時針旋轉(zhuǎn)得到，
，
在中，，，

       
       ，
故答案為：
由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得，由三角形的內(nèi)角和定理即可求解．
本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理等知識，靈活運用這些性質(zhì)解決問題是本題的關(guān)鍵．
 15.【答案】或 【解析】解：拋物線與x軸的一個交點坐標(biāo)是，對稱軸是直線，
拋物線與x軸另一交點的坐標(biāo)是，
當(dāng)時，或
故答案為：或
先求出拋物線與x軸另一交點的坐標(biāo)，再利用函數(shù)圖象即可而出結(jié)論．
本題考查的是二次函數(shù)與不等式，能根據(jù)題意利用數(shù)形結(jié)合求出x的取值范圍是解答此題的關(guān)鍵．
 16.【答案】 【解析】解：如圖，設(shè)為定點P，
則軸，，

所以，，
點的“雙角坐標(biāo)”為，
故答案為：
根據(jù)題意，最小時，
所以的度數(shù)最大，以AO為直徑作圓，與直線切于點P，
此時的值最大，
設(shè)是直線的異于點P的任意一點，
連接，交圓于點B，
連接AB，

因為AO為直徑，
所以，
因為是的外角，
所以，
故的值最大，
所以最小，且最小為
故答案為：
設(shè)為定點P，則軸，，從而，，根據(jù)定義解答即可．
根據(jù)題意，最小時，就是的度數(shù)最大，以AO為直徑作圓，與直線切于點P，此時的值最大，結(jié)合AO為直徑，得到為直角，計算即可．
本題考查了圓的基本性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)，反證法，熟練掌握定義，靈活運用所學(xué)知識是解題的關(guān)鍵．
 17.【答案】解：，
，
或，
所以，；
，
，
，
，
，
所以， 【解析】利用因式分解法把方程轉(zhuǎn)化為或，然后解一次方程即可；
利用配方法得到，然后利用直接開平方法解方程．
本題考查了解一元二次方程-因式分解法：因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，這種方法簡便易用，是解一元二次方程最常用的方法．也考查了配方法．
 18.【答案】解：二次函數(shù)的圖象經(jīng)過點，
把點代入二次函數(shù)，得，
解得：
二次函數(shù)的表達(dá)式為；
在二次函數(shù)中，
，，
，
二次函數(shù)圖象的對稱軸為直線 【解析】本題考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式，二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，二次函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特征，準(zhǔn)確熟練地進行計算是解題的關(guān)鍵．
把點代入函數(shù)關(guān)系式進行計算即可；
根據(jù)對稱軸公式進行計算即可．
 19.【答案】，當(dāng)時，；當(dāng)時， 【解析】解：令，則
解得，
拋物線與x軸交點的坐標(biāo)為，
，
所以它的頂點坐標(biāo)為；
列表：x…0123…y…00…圖象如圖所示：
；
當(dāng)時，；
當(dāng)時，
根據(jù)拋物線，可以求得拋物線與x軸和y軸的交點；
根據(jù)第一問中的三個坐標(biāo)和二次函數(shù)圖象具有對稱性，在表格中填入合適的數(shù)據(jù)，然后再描點作圖即可；
根據(jù)第二問中的函數(shù)圖象結(jié)合對稱軸可以直接寫出答案．
本題考查二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，二次函數(shù)與x軸、y軸的交點、求頂點坐標(biāo)，畫二次函數(shù)的圖象，關(guān)鍵是可以根據(jù)圖象得出所求問題的答案．
 20.【答案】解：設(shè)修建的路寬為x米．
則列方程為，
解得舍去，
答：修建的道路寬為1米． 【解析】本題涉及一元二次方程的應(yīng)用，難度中等．設(shè)路寬為x米，則道路面積為，所以耕地面積為，解方程即可．
 21.【答案】解：如圖，即為所求．

由圖可得，點的坐標(biāo)為 【解析】根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)作圖即可．
由圖可得答案．
本題考查作圖-旋轉(zhuǎn)變換，熟練掌握旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)是解答本題的關(guān)鍵．
 22.【答案】證明：


，
無論k為任何實數(shù)時，此方程總有兩個實數(shù)根；
解：，
                  ，
                           ，
方程有一根小于2，
，
的取值范圍為 【解析】本題考查了根的判別式、因式分解法解一元二次方程以及解一元一次不等式，解題的關(guān)鍵是：牢記“當(dāng)時，方程有兩個實數(shù)根”；利用因式分解法解一元二次方程結(jié)合方程一根小于2，找出關(guān)于k的一元一次不等式．
根據(jù)根的判別式：，即可得到結(jié)論；
利用分解因式法解一元二次方程，可得出、，根據(jù)方程有一根小于2，即可得出關(guān)于k的一元一次不等式，解之即可得出k的取值范圍．
 23.【答案】當(dāng)或時，y隨x的增大而增大；當(dāng)時，y隨x的增大而減小  2 0或3 【解析】解：當(dāng)時，

故答案為：
根據(jù)列表，描點，畫圖像如下：

觀察函數(shù)圖像，當(dāng)或時，y隨x的增大而增大；
當(dāng)時，y隨x的增大而減小，
故答案為：當(dāng)或時，y隨x的增大而增大；當(dāng)時，y隨x的增大而減小，
因為，
所以或，
解得或，
故有2個不同的實數(shù)根，分別為0或3，
故答案為：2；0或
求當(dāng)時的函數(shù)值即可；
按照自變量從小到大的順序用平滑的曲線依次連接起來即可；
結(jié)合函數(shù)的圖像，根據(jù)自變量的屬性，分段描述性質(zhì)即可；
求得與x軸的交點的橫坐標(biāo)即可．
本題考查了函數(shù)值的計算，描點法畫函數(shù)圖像，圖像的性質(zhì)，圖像與x軸的交點，熟練掌握所學(xué)相關(guān)知識是解題的關(guān)鍵．
 24.【答案】解：

；

，，
當(dāng)時，
答：當(dāng)銷售單價定為每雙30元時，每天的利潤最大，最大利潤為200元． 【解析】本題考查的是二次函數(shù)的應(yīng)用，根據(jù)題意得到二次函數(shù)．利用二次函數(shù)的性質(zhì)求出最大值．由二次函數(shù)的值求出x的值．
用每雙手套的利潤乘以銷售量得到每天的利潤；
由得到的是一個二次函數(shù)，利用二次函數(shù)的性質(zhì)，可以求出最大利潤以及銷售單價．
 25.【答案】 【解析】解：以D為原點，以DC所在直線為x軸，過點D作垂線為y軸，建立平面直角坐標(biāo)系，如下圖所示，

，
故答案為：
設(shè)拋物線解析式為，
在拋物線上，
，
解得，，
，
將代入，得，
解得，舍去或，

答：該同學(xué)把實心球扔出米．
建立坐標(biāo)系，畫出函數(shù)圖象，由題意得出B的坐標(biāo)；
用待定系數(shù)法求出函數(shù)解析式，并令，解方程即可．
本題考查了二次函數(shù)的應(yīng)用，熟練掌握用待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式是解此題的關(guān)鍵．
 26.【答案】解：拋物線，
對稱軸為；
拋物線是軸對稱圖形，
點A點B關(guān)于軸對稱，
，

拋物線，
頂點
直線AB與y軸交點的縱坐標(biāo)為，

頂點D到點C的距離大于2，
或，
或 【解析】化成頂點式即可求得；
根據(jù)軸對稱的特點求得即可；
求得頂點坐標(biāo)，根據(jù)題意求得C的坐標(biāo)，分兩種情況表示出頂點D到點C的距離，列出不等式，解不等式即可求得．
本題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)以及二次函數(shù)圖象上點點坐標(biāo)特征，把解析式化成頂點式式解題的關(guān)鍵．
 27.【答案】 【解析】解：如圖，

，，
，
，
，
，
，
，
，
故答案為：；
如圖，

，
，
，
是等邊三角形，
，
，
點E關(guān)于直線BF的對稱點為
，
，
，
是等邊三角形，
，
故答案為：10；
與BD的數(shù)量關(guān)系是：，理由如下：
設(shè)，，
則；
，
，
，
，

取AE的中點N，連接BN，

，
，
直線BN是線段AE的垂直平分線，
過點D作，交BN于點M，
，，
是等腰直角三角形，
，，
連接MA，ME，
則，
，
≌，
，
同理可證，≌，
，
，
，
，
，
四邊形FDME是平行四邊形，
，

根據(jù)等腰三角形的兩個底角相等，結(jié)合，得到，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理計算即可；
根據(jù)，得到，根據(jù)，得到是等邊三角形，得到，根據(jù)對稱，得到得到，結(jié)合，得到是等邊三角形，從而得到；
設(shè)，，得證，取AE的中點E，連接BN，則BN滿足等腰三角形的三線合一性質(zhì)，過點D作，得證是等腰直角三角形，可證≌，得證，得證，從而證明，得到平行四邊形FDME，得證，根據(jù)，代換得證．
本題是幾何變換綜合題，考查了等腰直角三角形的性質(zhì)，等邊三角形的判定和性質(zhì)，三角形全等的判定和性質(zhì)，平行四邊形的判定和性質(zhì)，勾股定理，等喲三角形的性質(zhì)，熟練掌握上述各性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
 28.【答案】 【解析】解：，
，
點的“可控變點”坐標(biāo)為，
故答案為：；
依題意，圖象上的點P的“可控變點”必在函數(shù)的圖象上．

“可控變點”Q的縱坐標(biāo)是7，
當(dāng)時，解得；
當(dāng)，解得；
綜上所述“可控變點”Q的橫坐標(biāo)為或3；
依題意，圖象上的點P的“可控變點”必在函數(shù)的圖象上，

，
，
，
當(dāng)時，，
當(dāng)時，，
的取值范圍是
根據(jù)定義直接解答即可；
根據(jù)定義，可得函數(shù)解析式，根據(jù)自變量與函數(shù)值的對應(yīng)關(guān)系，可得答案；
根據(jù)定義，可得函數(shù)解析式，根據(jù)自變量與函數(shù)值的對應(yīng)關(guān)系，可得答案．
本題考查的是新定義題型，根據(jù)可控變點的定義，可得函數(shù)解析式，根據(jù)自變量與函數(shù)值的對應(yīng)關(guān)系，可得答案．