2021-2022學(xué)年北京市西城區(qū)魯迅中學(xué)九年級(jí)（上）期中數(shù)學(xué)試卷【含解析】

這是一份2021-2022學(xué)年北京市西城區(qū)魯迅中學(xué)九年級(jí)（上）期中數(shù)學(xué)試卷【含解析】，共31頁(yè)。試卷主要包含了選擇題，解答題等內(nèi)容，歡迎下載使用。
1．（2分）下面四個(gè)圖案中，是中心對(duì)稱不是軸對(duì)稱圖形的是（ ）
A．B．
C．D．
2．（2分）已知⊙O的半徑為6，點(diǎn)A在⊙O內(nèi)部，則（ ）
A．OA＜6B．OA＞6C．OA＜3D．OA＞3
3．（2分）方程x2﹣3x﹣3＝0的根的情況是（ ）
A．無(wú)實(shí)根B．有兩個(gè)相等的實(shí)根
C．有兩個(gè)不相等的實(shí)根D．不確定
4．（2分）二次函數(shù)y＝（x﹣5）2+7的最小值是（ ）
A．﹣7B．7C．﹣5D．5
5．（2分）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝40°，以直角頂點(diǎn)C為旋轉(zhuǎn)中心，將△ABC旋轉(zhuǎn)到△A′B′C的位置，其中A′、B′分別是A、B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)，且點(diǎn)B在斜邊A′B′上，直角邊CA′交AB于D，則旋轉(zhuǎn)角等于（ ）
A．70°B．80°C．60°D．50°
6．（2分）在同一坐標(biāo)系內(nèi)，一次函數(shù)y＝ax+b與二次函數(shù)y＝ax2+8x+b的圖象可能是（ ）
A．B．
C．D．
7．（2分）已知二次函數(shù)y1＝ax2+bx+c（a≠0）和一次函數(shù)y2＝kx+n（k≠0）的圖象如圖所示，下面有四個(gè)推斷：
①二次函數(shù)y1有最大值；
②二次函數(shù)y1的圖象關(guān)于直線x＝﹣1對(duì)稱；
③當(dāng)x＝﹣2時(shí)，二次函數(shù)y1的值大于0；
④過(guò)動(dòng)點(diǎn)P（m，0）且垂直于x軸的直線與y1，y2的圖象的交點(diǎn)分別為C，D，當(dāng)點(diǎn)C位于點(diǎn)D上方時(shí)，m的取值范圍是m＜﹣3或m＞﹣1．
其中正確的是（ ）
A．①③B．①④C．②③D．②④
8．（2分）如圖，在Rt△ABC中，AB＝AC，D、E是斜邊BC上兩點(diǎn)，且∠DAE＝45°，將△ADC繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°后，得到△AFB，連接EF，下列結(jié)論：
（1）△AED≌△AEF；
（2）△ABE∽△ACD；
（3）BE+DC＝DE；
（4）BE2+DC2＝DE2．
其中正確的是（ ）
A．（2）（4）B．（1）（4）C．（2）（3）D．（1）（3）
二.填空題：本大題共8小題，每小題2分，共16分.
9．（2分）關(guān)于x的一元二次方程x2+x+a2﹣36＝0有一個(gè)根為5，則a＝ ．
10．（2分）將一元二次方程x2+4x+1＝0化成（x+a）2＝b的形式，其中a，b是常數(shù)，則a+b＝ ．
11．（2分）若關(guān)于x的一元二次方程mx2+2x+2＝0有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，則m的取值范圍是 ．
12．（2分）函數(shù)y＝x2﹣2x﹣2的圖象如圖所示，根據(jù)其中提供的信息，可求得使y≥1成立的x的取值范圍是 ．
13．（2分）將拋物線y＝x2+1的圖象繞原點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)180°，則旋轉(zhuǎn)后的拋物線解析式是 ．
14．（2分）如圖，A，B，C三點(diǎn)在已知的圓上，在△ABC中，∠ABC＝70°，∠ACB＝30°，D是弧BAC的中點(diǎn)，連接DB，DC，則∠DBC的度數(shù)為 度．
15．（2分）已知：在⊙O中，弦AB將圓周分為5：1兩段弧，則弦AB所對(duì)的圓周角為 °．
16．（2分）如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，P是直線y＝2上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，⊙P的半徑為1，直線OQ切⊙P于點(diǎn)Q，則線段OQ的最小值為 ．
三、解答題：本大題共12小題，第17題8分，第18--23每小題8分，第24--28每小題8分，共68分．
17．（8分）解下列方程：
（1）（x﹣3）2＝2x﹣6；
（2）x2﹣4x﹣1＝0．
18．（5分）已知關(guān)于x的一元二次方程x2﹣mx+m﹣1＝0．
（1）求證：方程總有兩個(gè)實(shí)數(shù)根；
（2）若方程有一個(gè)根為負(fù)數(shù)，求m的取值范圍．
19．（5分）已知：二次函數(shù)y＝ax2+bx+c（a≠0）中的x和y滿足下表：
（1）這個(gè)二次函數(shù)的對(duì)稱軸是直線 ；
（2）m的值為 ；
（3）求出這個(gè)二次函數(shù)的解析式；
（4）當(dāng)0＜x＜3時(shí)，則y的取值范圍為 ．
20．（5分）如圖，方格中，每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)都是單位1，△ABC的位置如圖．
（1）畫(huà)出將△ABC向右平移2個(gè)單位得到的△A1B1C1；
（2）畫(huà)出將△ABC繞點(diǎn)O順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)90°得到的△A2B2C2；
（3）寫(xiě)出C2點(diǎn)的坐標(biāo)．
21．（5分）已知：如圖，直線AC與圓O交于點(diǎn)B、C，直線AD過(guò)圓心O，若圓O的半徑是5，且∠DAC＝30°，AD＝13，求弦BC的長(zhǎng)．
22．（5分）閱讀下面材料：
在數(shù)學(xué)課上，老師提出如下問(wèn)題：
尺規(guī)作圖：過(guò)圓外一點(diǎn)作圓的切線．
已知：如圖，⊙O和點(diǎn)P．
求作：過(guò)點(diǎn)P的⊙O的切線．
小明的主要作法如下：
如圖：（1）連接OP，作線段OP的垂直平分線，交OP于點(diǎn)A；
（2）以A為圓心，OA長(zhǎng)為半徑作圓，交⊙O于點(diǎn)B，C；
（3）作直線PB和PC；
所以PB和PC就是所求的切線．
老師說(shuō)：“小明的作法正確．”
根據(jù)小明設(shè)計(jì)的尺規(guī)作圖過(guò)程，
（1）使用直尺和圓規(guī)，補(bǔ)全圖形；（保留作圖痕跡）
（2）完成下面的證明：
證明：∵OP是⊙A的直徑，
∴∠PBO＝90°，∠PCO＝90°； （填推理的依據(jù)）
∴OB⊥PB，OC⊥PC，
又∵OB，OC是⊙O的半徑，
∴PB，PC是⊙O的切線． （填推理的依據(jù)）
23．（5分）閱讀下面材料：
上課時(shí)李老師提出這樣一個(gè)問(wèn)題：對(duì)于任意實(shí)數(shù)x，關(guān)于x的不等式x2﹣2x﹣1﹣a＞0恒成立，求a的取值范圍．
小捷的思路是：原不等式等價(jià)于x2﹣2x﹣1＞a，設(shè)函數(shù)，y2＝a，畫(huà)出兩個(gè)函數(shù)的圖象的示意圖，于是原問(wèn)題轉(zhuǎn)化為函數(shù)y1的圖象在y2的圖象上方時(shí)a的取值范圍．
請(qǐng)結(jié)合小捷的思路回答：
對(duì)于任意實(shí)數(shù)x，關(guān)于x的不等式x2﹣2x﹣1﹣a＞0恒成立，則a的取值范圍是 ．
參考小捷思考問(wèn)題的方法，解決問(wèn)題：
關(guān)于x的方程x2﹣4x＝a在0＜x＜4范圍內(nèi)有兩個(gè)解，求a的取值范圍．
（1）設(shè)函數(shù)，y2＝a，畫(huà)出y1的圖象的示意圖．
（2）關(guān)于x的方程x2﹣4x＝a在0＜x＜4范圍內(nèi)有兩個(gè)解，則a的取值范圍是 ．
24．（6分）某水果店出售一種進(jìn)價(jià)為每千克10元的熱帶水果，原售價(jià)為每千克20元．
（1）連續(xù)兩次降價(jià)后，每千克售價(jià)16.2元，若每次下降的百分率相同，求每次下降的百分率．
（2）這種水果每月的銷(xiāo)售量y（千克）與銷(xiāo)售單價(jià)x（元）之間存在著一次函數(shù)關(guān)系：y＝﹣10x+200．當(dāng)銷(xiāo)售單價(jià)為多少元時(shí)，每月可獲得最大利潤(rùn)？
25．（6分）如圖，在△ABC中，AB＝AC，以AC為直徑作⊙O交BC于點(diǎn)D，過(guò)點(diǎn)D作⊙O的切線，交AB于點(diǎn)E，交CA的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F．
（1）求證：EF⊥AB；
（2）若∠C＝30°，EF＝，求EB的長(zhǎng)．
26．（6分）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知拋物線G：y＝4x2﹣8ax+4a2﹣4，A（﹣1，0），N（n，0）．
（1）當(dāng)a＝1時(shí)，
①求拋物線G與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)；
②若拋物線G與線段AN只有一個(gè)交點(diǎn)，求n的取值范圍；
（2）若存在實(shí)數(shù)a，使得拋物線G與線段AN有兩個(gè)交點(diǎn)，結(jié)合圖象，直接寫(xiě)出n的取值范圍．
27．（6分）正方形ABCD中，將邊AB所在直線繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)一個(gè)角度α得到直線AM，過(guò)點(diǎn)C作CE⊥AM，垂足為E，連接BE．
（1）當(dāng)0°＜α＜45°時(shí)，設(shè)AM交BC于點(diǎn)F，
①如圖1，若α＝35°，則∠BCE＝ °；
②如圖2，用等式表示線段AE，BE，CE之間的數(shù)量關(guān)系，并證明；
（2）當(dāng)45°＜α＜90°時(shí)（如圖3），請(qǐng)直接用等式表示線段AE，BE，CE之間的數(shù)量關(guān)系．
28．（6分）在平面直角坐標(biāo)系中，如果點(diǎn)P的橫坐標(biāo)和縱坐標(biāo)相等，則稱點(diǎn)P為和諧點(diǎn)．
例如點(diǎn)（1，1），（，），（，），…，都是和諧點(diǎn)．
（1）判斷函數(shù)y＝﹣2x+1的圖象上是否存在和諧點(diǎn)，若存在，求出其和諧點(diǎn)的坐標(biāo)；
（2）若二次函數(shù)y＝ax2+4x+c（a≠0）的圖象上有且只有一個(gè)和諧點(diǎn)（，）．
①求a，c的值．
②當(dāng)0≤x≤m時(shí)，函數(shù)的最小值為﹣3，最大值為1，直接寫(xiě)出m的取值范圍．
2021-2022學(xué)年北京市西城區(qū)魯迅中學(xué)九年級(jí)（上）期中數(shù)學(xué)試卷
參考答案與試題解析
一、選擇題：本大題共8小題，每小題2分，共16分.在每小題的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.
1．（2分）下面四個(gè)圖案中，是中心對(duì)稱不是軸對(duì)稱圖形的是（ ）
A．B．
C．D．
【分析】根據(jù)軸對(duì)稱圖形與中心對(duì)稱圖形的概念求解．
【解答】解：A．是中心對(duì)稱不是軸對(duì)稱圖形，故本選項(xiàng)符合題意；
B．是軸對(duì)稱圖形，也是中心對(duì)稱圖形，故本選項(xiàng)不符合題意；
C．是軸對(duì)稱圖形，不是中心對(duì)稱圖形，故本選項(xiàng)不符合題意；
D．不是中心對(duì)稱圖形，也不是軸對(duì)稱圖形，故本選項(xiàng)不符合題意；
故選：A．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了中心對(duì)稱圖形與軸對(duì)稱圖形的概念：軸對(duì)稱圖形的關(guān)鍵是尋找對(duì)稱軸，圖形兩部分沿對(duì)稱軸折疊后可重合；中心對(duì)稱圖形是要尋找對(duì)稱中心，旋轉(zhuǎn)180度后與原圖重合．
2．（2分）已知⊙O的半徑為6，點(diǎn)A在⊙O內(nèi)部，則（ ）
A．OA＜6B．OA＞6C．OA＜3D．OA＞3
【分析】根據(jù)點(diǎn)P在圓內(nèi)?d＜r．進(jìn)行判斷．
【解答】解：∵⊙O的半徑為6，點(diǎn)A在⊙O內(nèi)部，
∴OA＜6．
故選：A．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了點(diǎn)與圓的位置關(guān)系：點(diǎn)與圓的位置關(guān)系有3種．設(shè)⊙O的半徑為r，點(diǎn)P到圓心的距離OP＝d，則有：點(diǎn)P在圓外?d＞r；點(diǎn)P在圓上?d＝r；點(diǎn)P在圓內(nèi)?d＜r．
3．（2分）方程x2﹣3x﹣3＝0的根的情況是（ ）
A．無(wú)實(shí)根B．有兩個(gè)相等的實(shí)根
C．有兩個(gè)不相等的實(shí)根D．不確定
【分析】先計(jì)算判別式的值，然后根據(jù)判別式的意義判斷方程根的情況．
【解答】解：∵Δ＝（﹣3）2﹣4×1×（﹣3）＝21＞0，
∴方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根．
故選：C．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了根的判別式：一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根與△＝b2﹣4ac有如下關(guān)系：當(dāng)Δ＞0時(shí)，方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；當(dāng)Δ＝0時(shí)，方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根；當(dāng)Δ＜0時(shí)，方程無(wú)實(shí)數(shù)根．
4．（2分）二次函數(shù)y＝（x﹣5）2+7的最小值是（ ）
A．﹣7B．7C．﹣5D．5
【分析】根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)求解．
【解答】解：∵y＝（x﹣5）2+7
∴當(dāng)x＝5時(shí)，y有最小值7．
故選：B．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了二次函數(shù)的最值：當(dāng)a＞0時(shí)，拋物線在對(duì)稱軸左側(cè)，y隨x的增大而減少；在對(duì)稱軸右側(cè)，y隨x的增大而增大，因?yàn)閳D象有最低點(diǎn)，所以函數(shù)有最小值，當(dāng)x＝﹣，函數(shù)最小值y＝；當(dāng)a＜0時(shí)，拋物線在對(duì)稱軸左側(cè)，y隨x的增大而增大；在對(duì)稱軸右側(cè)，y隨x的增大而減少，因?yàn)閳D象有最高點(diǎn)，所以函數(shù)有最大值，當(dāng)x＝﹣，函數(shù)最大值y＝．
5．（2分）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝40°，以直角頂點(diǎn)C為旋轉(zhuǎn)中心，將△ABC旋轉(zhuǎn)到△A′B′C的位置，其中A′、B′分別是A、B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)，且點(diǎn)B在斜邊A′B′上，直角邊CA′交AB于D，則旋轉(zhuǎn)角等于（ ）
A．70°B．80°C．60°D．50°
【分析】先由∠ACB＝90°、∠A＝40°得∠ABC＝50°，再由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得∠B′＝∠ABC＝50°，CB＝CB′，繼而可得答案．
【解答】解：∵∠ACB＝90°，∠A＝40°，
∴∠ABC＝50°，
又△ABC≌△AB′C′，
∴∠B′＝∠ABC＝50°，CB＝CB′，
∴∠BCB′＝80°，
故選：B．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)：旋轉(zhuǎn)前后兩圖形全等，即對(duì)應(yīng)線段相等，對(duì)應(yīng)角相等，對(duì)應(yīng)點(diǎn)與旋轉(zhuǎn)中心的連線段的夾角等于旋轉(zhuǎn)角．
6．（2分）在同一坐標(biāo)系內(nèi)，一次函數(shù)y＝ax+b與二次函數(shù)y＝ax2+8x+b的圖象可能是（ ）
A．B．
C．D．
【分析】令x＝0，求出兩個(gè)函數(shù)圖象在y軸上相交于同一點(diǎn)，再根據(jù)拋物線開(kāi)口方向向上確定出a＞0，然后確定出一次函數(shù)圖象經(jīng)過(guò)第一三象限，從而得解．
【解答】解：x＝0時(shí)，兩個(gè)函數(shù)的函數(shù)值y＝b，
所以，兩個(gè)函數(shù)圖象與y軸相交于同一點(diǎn)，故B、D選項(xiàng)錯(cuò)誤；
由A、C選項(xiàng)可知，拋物線開(kāi)口方向向上，
所以，a＞0，
所以，一次函數(shù)y＝ax+b經(jīng)過(guò)第一三象限，
所以，A選項(xiàng)錯(cuò)誤，C選項(xiàng)正確．
故選：C．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了二次函數(shù)圖象，一次函數(shù)的圖象，應(yīng)該熟記一次函數(shù)y＝kx+b在不同情況下所在的象限，以及熟練掌握二次函數(shù)的有關(guān)性質(zhì)：開(kāi)口方向、對(duì)稱軸、頂點(diǎn)坐標(biāo)等．
7．（2分）已知二次函數(shù)y1＝ax2+bx+c（a≠0）和一次函數(shù)y2＝kx+n（k≠0）的圖象如圖所示，下面有四個(gè)推斷：
①二次函數(shù)y1有最大值；
②二次函數(shù)y1的圖象關(guān)于直線x＝﹣1對(duì)稱；
③當(dāng)x＝﹣2時(shí)，二次函數(shù)y1的值大于0；
④過(guò)動(dòng)點(diǎn)P（m，0）且垂直于x軸的直線與y1，y2的圖象的交點(diǎn)分別為C，D，當(dāng)點(diǎn)C位于點(diǎn)D上方時(shí)，m的取值范圍是m＜﹣3或m＞﹣1．
其中正確的是（ ）
A．①③B．①④C．②③D．②④
【分析】根據(jù)函數(shù)的圖象即可得到結(jié)論．
【解答】解：∵二次函數(shù)y1＝ax2+bx+c（a≠0）的圖象的開(kāi)口向上，
∴二次函數(shù)y1有最小值，故①錯(cuò)誤；
觀察函數(shù)圖象可知二次函數(shù)y1的圖象關(guān)于直線x＝﹣1對(duì)稱，故②正確；
當(dāng)x＝﹣2時(shí)，二次函數(shù)y1的值小于0，故③錯(cuò)誤；
當(dāng)x＜﹣3或x＞﹣1時(shí)，拋物線在直線的上方，
∴m的取值范圍為：m＜﹣3或m＞﹣1，故④正確．
故選：D．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征以及函數(shù)圖象，熟練運(yùn)用二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征求出二次函數(shù)解析式是解題的關(guān)鍵．
8．（2分）如圖，在Rt△ABC中，AB＝AC，D、E是斜邊BC上兩點(diǎn)，且∠DAE＝45°，將△ADC繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°后，得到△AFB，連接EF，下列結(jié)論：
（1）△AED≌△AEF；
（2）△ABE∽△ACD；
（3）BE+DC＝DE；
（4）BE2+DC2＝DE2．
其中正確的是（ ）
A．（2）（4）B．（1）（4）C．（2）（3）D．（1）（3）
【分析】由△ADC繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得△AFB，可知△ADC≌△AFB，∠FAD＝90°，由∠DAE＝45°可判斷∠FAE＝∠DAE，可證①△AED≌△AEF．由已知條件可證△BEF為直角三角形，則有④BE2+DC2＝DE2是正確的．
【解答】解：∵△ADC繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得△AFB，
∴△ADC≌△AFB，∠FAD＝90°，
∴AD＝AF，
∵∠DAE＝45°，
∴∠FAE＝90°﹣∠DAE＝45°，
∴∠DAE＝∠FAE，
∵在△AED與△AEF中，
，
∴△AED≌△AEF（SAS），故①正確；
∵∠BAE與∠CAD的大小無(wú)法確定，
∴△ABE與△ACD是否相似無(wú)法確定，故②錯(cuò)誤；
同理，DE與BE+DC的大小也無(wú)法確定，故③錯(cuò)誤；
∵△AED≌△AEF，
∴ED＝FE，∠ACB＝∠ABF，
在Rt△ABC中，
∵∠ABC+∠ACB＝90°，
∴∠ABC+∠ABF＝90°即∠FBE＝90°，
∴BE2+BF2＝FE2，即BE2+DC2＝DE2，故④正確．
故選：B．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是相似三角形的判定與性質(zhì)，涉及到全都三角形的判定與性質(zhì)、圖形旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)等知識(shí)，難度適中．
二.填空題：本大題共8小題，每小題2分，共16分.
9．（2分）關(guān)于x的一元二次方程x2+x+a2﹣36＝0有一個(gè)根為5，則a＝ ± ．
【分析】把x＝5代入已知方程后，列出關(guān)于a的新方程，通過(guò)解新方程求得a的值即可．
【解答】解：根據(jù)題意，得52+5+a2﹣36＝0．
解得a＝±．
故答案為：±．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了一元二次方程的解（根）的意義：能使一元二次方程左右兩邊相等的未知數(shù)的值是一元二次方程的解．又因?yàn)橹缓幸粋€(gè)未知數(shù)的方程的解也叫做這個(gè)方程的根，所以，一元二次方程的解也稱為一元二次方程的根．也考查了解一元一次方程．
10．（2分）將一元二次方程x2+4x+1＝0化成（x+a）2＝b的形式，其中a，b是常數(shù)，則a+b＝ 5 ．
【分析】方程配方得到結(jié)果，確定出a與b的值，即可求出a+b的值．
【解答】解：方程x2+4x+1＝0，
移項(xiàng)得：x2+4x＝﹣1，
配方得：x2+4x+4＝3，即（x+2）2＝3，
∴a＝2，b＝3，
則a+b＝5，
故答案為：5
【點(diǎn)評(píng)】此題考查了解一元二次方程﹣配方法，熟練掌握完全平方公式是解本題的關(guān)鍵．
11．（2分）若關(guān)于x的一元二次方程mx2+2x+2＝0有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，則m的取值范圍是 m≤且m≠0 ．
【分析】根據(jù)判別式的意義得到m≠0，b2﹣4ac＝22﹣4×2m≥0，然后解不等式即可；
【解答】解：∵關(guān)于x的一元二次方程mx2+2x+2＝0有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，
∴m≠0
Δ＝22﹣4×2m≥0且m≠0，
解得：m≤且m≠0，
故答案為：m≤且m≠0．
【點(diǎn)評(píng)】此題考查了根的判別式，一元二次方程根的情況與判別式△的關(guān)系：（1）Δ＞0?方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；（2）Δ＝0?方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根；（3）Δ＜0?方程沒(méi)有實(shí)數(shù)根．
12．（2分）函數(shù)y＝x2﹣2x﹣2的圖象如圖所示，根據(jù)其中提供的信息，可求得使y≥1成立的x的取值范圍是 x≤﹣1或x≥3 ．
【分析】令函數(shù)的值等于1，求出x的值，然后從函數(shù)圖象即可觀察出當(dāng)y≥1成立的x的取值范圍．
【解答】解：當(dāng)y＝1時(shí)，x2﹣2x﹣2＝1，
解得（x+1）（x﹣3）＝0，
x1＝﹣1，x2＝3．
由圖可知，x≤﹣1或x≥3時(shí)y≥1．
故答案為x≤﹣1或x≥3．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了二次函數(shù)與不等式（組）及二次函數(shù)的圖象，體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合在解題時(shí)的重要作用．
13．（2分）將拋物線y＝x2+1的圖象繞原點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)180°，則旋轉(zhuǎn)后的拋物線解析式是 y＝﹣x2﹣1 ．
【分析】根據(jù)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)縱坐標(biāo)都互為相反數(shù)求則可．
【解答】解：根據(jù)題意，﹣y＝（﹣x）2+1，得到y(tǒng)＝﹣x2﹣1．故旋轉(zhuǎn)后的拋物線解析式是y＝﹣x2﹣1．
【點(diǎn)評(píng)】考查根據(jù)二次函數(shù)的圖象的變換求拋物線的解析式．
14．（2分）如圖，A，B，C三點(diǎn)在已知的圓上，在△ABC中，∠ABC＝70°，∠ACB＝30°，D是弧BAC的中點(diǎn)，連接DB，DC，則∠DBC的度數(shù)為 50 度．
【分析】利用三角形內(nèi)角和定理求出∠BAC，再利用等腰三角形的性質(zhì)求解即可．
【解答】解：∵∠BAC＝180°﹣∠ABC﹣∠ACB＝180°﹣70°﹣30°＝80°，
∴∠BDC＝∠BAC＝80°，
∵＝，
∴∠DBC＝∠DCB＝（180°﹣∠BDC）＝50°，
故答案為：50．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查圓周角定理，三角形內(nèi)角和定理等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是掌握?qǐng)A周角定理，屬于中考?？碱}型．
15．（2分）已知：在⊙O中，弦AB將圓周分為5：1兩段弧，則弦AB所對(duì)的圓周角為 30或150 °．
【分析】求出∠AOB＝60°，再利用圓周角定理，圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)解決問(wèn)題即可．
【解答】解：如圖，∵弦AB將圓周分為5：1兩段弧，
∴∠AOB＝60°，
在優(yōu)弧AB上取一點(diǎn)C，連接AC，BC，在劣弧AB上取一點(diǎn)D，連接AD，BD，
∵∠ACB＝∠AOB，∠ACB+∠ADB＝180°，
∴∠ACB＝30°，∠ADB＝150°，
故答案為：30或150．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查圓周角定理，圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是掌握?qǐng)A周角定理，屬于中考常考題型．
16．（2分）如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，P是直線y＝2上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，⊙P的半徑為1，直線OQ切⊙P于點(diǎn)Q，則線段OQ的最小值為 ．
【分析】連接PQ、OP，如圖，根據(jù)切線的性質(zhì)得PQ⊥OQ，再利用勾股定理得到OQ＝，利用垂線段最短，當(dāng)OP最小時(shí)，OQ最小，然后求出OP的最小值，從而得到OQ的最小值．
【解答】解：連接PQ、OP，如圖，
∵直線OQ切⊙P于點(diǎn)Q，
∴PQ⊥OQ，
在Rt△OPQ中，OQ＝＝，
當(dāng)OP最小時(shí)，OQ最小，
當(dāng)OP⊥直線y＝2時(shí)，OP有最小值2，
∴OQ的最小值為＝．
故答案為．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了切線的性質(zhì)：圓的切線垂直于經(jīng)過(guò)切點(diǎn)的半徑．也考查了勾股定理．
三、解答題：本大題共12小題，第17題8分，第18--23每小題8分，第24--28每小題8分，共68分．
17．（8分）解下列方程：
（1）（x﹣3）2＝2x﹣6；
（2）x2﹣4x﹣1＝0．
【分析】（1）先移項(xiàng)，再提取公因式，再利用因式分解法求解可得；
（2）利用配方法得到（x﹣2）2＝3，然后利用直接開(kāi)平方法解方程．
【解答】解：（1）（x﹣3）2＝2x﹣6，
（x﹣3）2﹣2（x﹣3）＝0，
（x﹣3）（x﹣3﹣2）＝0，
x﹣3＝0或x﹣5＝0，
∴x1＝3，x2＝5；
（2）x2﹣4x＝1，
x2﹣4x+4＝5，
（x﹣2）2＝5，
x﹣2＝±，
所以x1＝2+，x2＝2﹣．
【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查解一元二次方程的能力，熟練掌握解一元二次方程的幾種常用方法：直接開(kāi)平方法、因式分解法、公式法、配方法，結(jié)合方程的特點(diǎn)選擇合適、簡(jiǎn)便的方法是解題的關(guān)鍵．
18．（5分）已知關(guān)于x的一元二次方程x2﹣mx+m﹣1＝0．
（1）求證：方程總有兩個(gè)實(shí)數(shù)根；
（2）若方程有一個(gè)根為負(fù)數(shù)，求m的取值范圍．
【分析】（1）根據(jù)根的判別式即可求出答案．
（2）根據(jù)因式分解法求出兩根，然后列出不等式即可求出答案．
【解答】解：（1）由題意可知：Δ＝（﹣m）2﹣4（m﹣1）＝（m﹣2）2
∵（m﹣2）2≥0，
∴方程總有兩個(gè)實(shí)數(shù)根．
（2）由題意可知：x＝m﹣1或x＝1
∵方程有一個(gè)根為負(fù)數(shù)，
∴m﹣1＜0．
∴m＜1．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查一元二次方程，解題的關(guān)鍵是熟練運(yùn)用一元二次方程的解法，本題屬于基礎(chǔ)題型．
19．（5分）已知：二次函數(shù)y＝ax2+bx+c（a≠0）中的x和y滿足下表：
（1）這個(gè)二次函數(shù)的對(duì)稱軸是直線 x＝2 ；
（2）m的值為 3 ；
（3）求出這個(gè)二次函數(shù)的解析式；
（4）當(dāng)0＜x＜3時(shí)，則y的取值范圍為 ﹣1≤y＜3 ．
【分析】（1）根據(jù)表中x、y的對(duì)應(yīng)值可知，當(dāng)x＝1與x＝3時(shí)y的值相等，所以此兩點(diǎn)關(guān)于拋物線的對(duì)稱軸對(duì)稱，由中點(diǎn)坐標(biāo)公式即可得出對(duì)稱軸的直線方程；
（2）根據(jù)拋物線的對(duì)稱性求得即可；
（3）利用待定系數(shù)法求得即可．
【解答】解：（1）∵由表中x、y的對(duì)應(yīng)值可知，當(dāng)x＝1與x＝3時(shí)y的值相等，
∴對(duì)稱軸是直線x＝＝2，
故答案為直線x＝2；
（2）∵點(diǎn)（0，3）關(guān)于直線x＝2的對(duì)稱點(diǎn)為（4，3），
∴m＝3，
故答案為3；
（3）∵二次函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)（1，0），（3，0），
∴設(shè)二次函數(shù)的解析式為y＝a（x﹣1）（x﹣3），
∵圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)（0，3），
∴a＝1，
∴這個(gè)二次函數(shù)的解析式為y＝x2﹣4x+3；
（4）由表格數(shù)據(jù)可知，當(dāng)0＜x＜3時(shí)，則y的取值范圍為﹣1≤y＜3，
故答案為：﹣1≤y＜3．
【點(diǎn)評(píng)】此題考查待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，二次函數(shù)的性質(zhì)，掌握待定系數(shù)法求函數(shù)解析式的方法與步驟是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．
20．（5分）如圖，方格中，每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)都是單位1，△ABC的位置如圖．
（1）畫(huà)出將△ABC向右平移2個(gè)單位得到的△A1B1C1；
（2）畫(huà)出將△ABC繞點(diǎn)O順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)90°得到的△A2B2C2；
（3）寫(xiě)出C2點(diǎn)的坐標(biāo)．
【分析】（1）平移平移變換的性質(zhì)分別作出A，B，C 的對(duì)應(yīng)點(diǎn)A1，B1，C1即可；
（2）利用旋轉(zhuǎn)變換的性質(zhì)分別作出A，B，C的對(duì)應(yīng)點(diǎn)A2，B2，C2即可；
（3）根據(jù)C2的位置寫(xiě)出坐標(biāo)即可．
【解答】解：（1）如圖，△A1B1C1即為所求；
（2）如圖，△A2B2C2即為所求；
（3）C2點(diǎn)的坐標(biāo)（2，3）．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查作圖﹣旋轉(zhuǎn)變換，平移變換等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是掌握平移變換，旋轉(zhuǎn)變換的性質(zhì)，屬于中考?？碱}型．
21．（5分）已知：如圖，直線AC與圓O交于點(diǎn)B、C，直線AD過(guò)圓心O，若圓O的半徑是5，且∠DAC＝30°，AD＝13，求弦BC的長(zhǎng)．
【分析】已知AD的長(zhǎng)及⊙O的半徑，即可求出OA的長(zhǎng)；過(guò)O作BC的垂線，設(shè)垂足為M，在Rt△OAM中，由OA的長(zhǎng)和∠A的度數(shù)，可求出OM的值；進(jìn)而可在Rt△OCM中，用勾股定理求出CM的長(zhǎng)．根據(jù)垂徑定理知BC＝2CM，由此可求出BC的長(zhǎng)．
【解答】解：作OM⊥BC于點(diǎn)M．
∵AD＝13，OD＝5，
∴AO＝8
∵∠DAC＝30°，
∴OM＝4．
在Rt△OCM中，OM＝4，OC＝5，
∴MC＝3
∴BC＝2MC＝6．
【點(diǎn)評(píng)】此題考查的是直角三角形的性質(zhì)、勾股定理及垂徑定理的綜合應(yīng)用．
22．（5分）閱讀下面材料：
在數(shù)學(xué)課上，老師提出如下問(wèn)題：
尺規(guī)作圖：過(guò)圓外一點(diǎn)作圓的切線．
已知：如圖，⊙O和點(diǎn)P．
求作：過(guò)點(diǎn)P的⊙O的切線．
小明的主要作法如下：
如圖：（1）連接OP，作線段OP的垂直平分線，交OP于點(diǎn)A；
（2）以A為圓心，OA長(zhǎng)為半徑作圓，交⊙O于點(diǎn)B，C；
（3）作直線PB和PC；
所以PB和PC就是所求的切線．
老師說(shuō)：“小明的作法正確．”
根據(jù)小明設(shè)計(jì)的尺規(guī)作圖過(guò)程，
（1）使用直尺和圓規(guī)，補(bǔ)全圖形；（保留作圖痕跡）
（2）完成下面的證明：
證明：∵OP是⊙A的直徑，
∴∠PBO＝90°，∠PCO＝90°； 直徑所對(duì)的圓周角是直角 （填推理的依據(jù)）
∴OB⊥PB，OC⊥PC，
又∵OB，OC是⊙O的半徑，
∴PB，PC是⊙O的切線． 經(jīng)過(guò)半徑的外端，且垂直于半徑的直線是圓的切線 （填推理的依據(jù)）
【分析】（1）根據(jù)題意補(bǔ)全圖形即可；
（2）根據(jù)圓周角定理得到∠PBO＝90°，∠PCO＝90°，根據(jù)垂直的定義得到OB⊥PB，OC⊥PC，根據(jù)切線的判定定理即可得到結(jié)論．
【解答】（1）解：補(bǔ)全圖形如圖所示；
（2）證明：∵OP是⊙A的直徑，
∴∠PBO＝90°，∠PCO＝90°（直徑所對(duì)的圓周角是直角）（填推理的依據(jù)），
∴OB⊥PB，OC⊥PC，
又∵OB，OC是⊙O的半徑，
∴PB，PC是⊙O的切線（經(jīng)過(guò)半徑的外端，且垂直于半徑的直線是圓的切線）（填推理的依據(jù)）．
故答案為：直徑所對(duì)的圓周角是直角；經(jīng)過(guò)半徑的外端，且垂直于半徑的直線是圓的切線．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了切線的判定，圓周角定理，正確的作出圖形是解題的關(guān)鍵．
23．（5分）閱讀下面材料：
上課時(shí)李老師提出這樣一個(gè)問(wèn)題：對(duì)于任意實(shí)數(shù)x，關(guān)于x的不等式x2﹣2x﹣1﹣a＞0恒成立，求a的取值范圍．
小捷的思路是：原不等式等價(jià)于x2﹣2x﹣1＞a，設(shè)函數(shù)，y2＝a，畫(huà)出兩個(gè)函數(shù)的圖象的示意圖，于是原問(wèn)題轉(zhuǎn)化為函數(shù)y1的圖象在y2的圖象上方時(shí)a的取值范圍．
請(qǐng)結(jié)合小捷的思路回答：
對(duì)于任意實(shí)數(shù)x，關(guān)于x的不等式x2﹣2x﹣1﹣a＞0恒成立，則a的取值范圍是 a＜﹣2 ．
參考小捷思考問(wèn)題的方法，解決問(wèn)題：
關(guān)于x的方程x2﹣4x＝a在0＜x＜4范圍內(nèi)有兩個(gè)解，求a的取值范圍．
（1）設(shè)函數(shù)，y2＝a，畫(huà)出y1的圖象的示意圖．
（2）關(guān)于x的方程x2﹣4x＝a在0＜x＜4范圍內(nèi)有兩個(gè)解，則a的取值范圍是 ﹣4≤a＜0 ．
【分析】請(qǐng)結(jié)合小捷的思路回答：直接根據(jù)函數(shù)的頂點(diǎn)坐標(biāo)可得出a的取值范圍；
解決問(wèn)題：（1）根據(jù)函數(shù)解析式畫(huà)出函數(shù)圖象；
（2）把關(guān)于x的方程x2﹣4x＝a在0＜x＜4范圍內(nèi)有兩個(gè)解，可轉(zhuǎn)化為函數(shù)，y2＝a在0＜x＜4范圍內(nèi)有兩個(gè)交點(diǎn)，結(jié)合圖形即可得出結(jié)論．
【解答】解：請(qǐng)結(jié)合小捷的思路回答：
由函數(shù)圖象可知，a＜﹣2時(shí)，關(guān)于x的不等式x2﹣2x﹣1﹣a＞0恒成立，
故答案為：a＜﹣2；
解決問(wèn)題：（1）y1＝x2﹣4x＝（x﹣2）2﹣4，
對(duì)稱軸為x＝2，頂點(diǎn)坐標(biāo)為（2，4），
當(dāng)y＝0時(shí)，x2﹣4x＝0，
解得：x1＝0，x2＝4，
∴圖象過(guò)（0，0）和（4，0），
如圖所示：
（2）關(guān)于x的方程x2﹣4x＝a在0＜x＜4范圍內(nèi)有兩個(gè)解，
可轉(zhuǎn)化為函數(shù)，y2＝a在0＜x＜4范圍內(nèi)有兩個(gè)交點(diǎn)，
∴結(jié)合圖象可知，a的取值范圍是﹣4≤a＜0．
故答案為：﹣4≤a＜0．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是二次函數(shù)與不等式（組），根據(jù)題意畫(huà)出函數(shù)圖象，利用數(shù)形結(jié)合求解是解答此題的關(guān)鍵．
24．（6分）某水果店出售一種進(jìn)價(jià)為每千克10元的熱帶水果，原售價(jià)為每千克20元．
（1）連續(xù)兩次降價(jià)后，每千克售價(jià)16.2元，若每次下降的百分率相同，求每次下降的百分率．
（2）這種水果每月的銷(xiāo)售量y（千克）與銷(xiāo)售單價(jià)x（元）之間存在著一次函數(shù)關(guān)系：y＝﹣10x+200．當(dāng)銷(xiāo)售單價(jià)為多少元時(shí)，每月可獲得最大利潤(rùn)？
【分析】（1）設(shè)每次下降的百分率為a，根據(jù)連續(xù)兩次降價(jià)后，每千克售價(jià)16.2元列出方程，解方程即可；
（2）根據(jù)題意可得利潤(rùn)＝（定價(jià)﹣進(jìn)價(jià)）×銷(xiāo)售量，從而列出關(guān)系式，然后根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)求最值即可．
【解答】解（1）設(shè)每次下降的百分率為a，
由題意得：20（1﹣a）2＝16.2，
解得：a1＝0.1＝10%，a2＝1.9（舍去），
∴每次下降的百分率為10%；
（2）設(shè)每月可獲得的利潤(rùn)為w元，由題意得：
w＝（x﹣10）（﹣10x+200）
＝﹣10x2+300x﹣2000
＝﹣10（x﹣15）2+250，
∵﹣10＜0，
∴當(dāng)x＝15時(shí)，w有最大值，最大值為250，
∴當(dāng)銷(xiāo)售單價(jià)為15元時(shí)，每月可獲得最大利潤(rùn)250元．
【點(diǎn)評(píng)】此題考查二次函數(shù)以及一元二次方程的應(yīng)用，關(guān)鍵是根據(jù)等量關(guān)系列出方程和函數(shù)解析式．
25．（6分）如圖，在△ABC中，AB＝AC，以AC為直徑作⊙O交BC于點(diǎn)D，過(guò)點(diǎn)D作⊙O的切線，交AB于點(diǎn)E，交CA的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F．
（1）求證：EF⊥AB；
（2）若∠C＝30°，EF＝，求EB的長(zhǎng)．
【分析】（1）連接AD、OD，根據(jù)直徑所對(duì)的圓周角是直角求出∠ADC＝90°，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)證明D是BC的中點(diǎn)，得到OD是△ABC的中位線，根據(jù)切線的性質(zhì)證明結(jié)論；
（2）根據(jù)三角形的內(nèi)角和得到∠AOD＝60°，∠F＝30°，根據(jù)直角三角形的性質(zhì)得到OA＝OD＝OF，求得AE＝根據(jù)平行線等分線段定理得到OD＝2AE＝2，AB＝2OD＝4，由線段的和差即可得到結(jié)論．
【解答】（1）證明：連接AD、OD，
∵AC為⊙O的直徑，
∴∠ADC＝90°，
又∵AB＝AC，
∴CD＝DB，又CO＝AO，
∴OD∥AB，
∵FD是⊙O的切線，
∴OD⊥EF，
∴FE⊥AB；
（2）∵∠C＝30°，
∴∠AOD＝60°，
∴∠F＝30°，
∴OA＝OD＝OF，
∵∠AEF＝90°，EF＝，
∴AE＝，
∵OD∥AB，OA＝OC＝AF，
∴OD＝2AE＝2，AB＝2OD＝4，
∴EB＝3．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是切線的性質(zhì)和平行線分線段成比例定理，掌握?qǐng)A的切線垂直于過(guò)切點(diǎn)的半徑和等腰三角形的三線合一是解題的關(guān)鍵．
26．（6分）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知拋物線G：y＝4x2﹣8ax+4a2﹣4，A（﹣1，0），N（n，0）．
（1）當(dāng)a＝1時(shí)，
①求拋物線G與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)；
②若拋物線G與線段AN只有一個(gè)交點(diǎn)，求n的取值范圍；
（2）若存在實(shí)數(shù)a，使得拋物線G與線段AN有兩個(gè)交點(diǎn)，結(jié)合圖象，直接寫(xiě)出n的取值范圍．
【分析】（1）①把a(bǔ)＝1代入二次函數(shù)表達(dá)式得：y＝4x2﹣8x，令y＝0，即可求解；
②拋物線G與線段AN只有一個(gè)交點(diǎn)，則x＝﹣1時(shí)，y≥0（已經(jīng)成立），x＝n時(shí)，y＜0，且n＞﹣1，即可求解；
（2）由②知，拋物線G與線段AN有兩個(gè)交點(diǎn)，則x＝﹣1時(shí)，y≥0，x＝n時(shí)，y≥0，即可求解．
【解答】解：（1）①把a(bǔ)＝1代入二次函數(shù)表達(dá)式得：y＝4x2﹣8x，
令y＝0，即4x2﹣8x＝0，解得：x＝0或2，
即拋物線G與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為：（2，0）、（0，0）；
②拋物線G與線段AN只有一個(gè)交點(diǎn)，
則x＝﹣1時(shí)，y≥0（已經(jīng)成立），x＝n時(shí)，y≤0，且n＞﹣1，
4n2﹣8n≤0，解得：0≤n＜2，
故：0≤n＜2；
（2）由②知，拋物線G與線段AN有兩個(gè)交點(diǎn)，
則x＝﹣1時(shí)，y≥0，x＝n時(shí)，y≥0，
即：，解得：，
即：n的取值范圍為：n≤﹣3或n≥1．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是二次函數(shù)的綜合運(yùn)用，其核心是利用二次函數(shù)解不等式，本題難度較大．
27．（6分）正方形ABCD中，將邊AB所在直線繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)一個(gè)角度α得到直線AM，過(guò)點(diǎn)C作CE⊥AM，垂足為E，連接BE．
（1）當(dāng)0°＜α＜45°時(shí)，設(shè)AM交BC于點(diǎn)F，
①如圖1，若α＝35°，則∠BCE＝ 35 °；
②如圖2，用等式表示線段AE，BE，CE之間的數(shù)量關(guān)系，并證明；
（2）當(dāng)45°＜α＜90°時(shí)（如圖3），請(qǐng)直接用等式表示線段AE，BE，CE之間的數(shù)量關(guān)系．
【分析】（1）①利用正方形的性質(zhì)得出∠ABC＝90°，進(jìn)而求出∠AFB＝90°﹣∠BAF＝55°，再利用對(duì)頂角相等得出∠CFE＝∠AFB＝55°，即可得出結(jié)論；
②先利用等式的性質(zhì)得出∠ABG＝∠CBE，再同①的方法得出∠α＝∠BCE，進(jìn)而判斷出△ABG≌△CBE（ASA），得出AG＝CE，BG＝BE，即可得出結(jié)論；
（2）先判斷出∠ABG＝∠CBE，進(jìn)而用同①的方法判斷出∠DAH＝∠DCE，即可得出∠BAG＝∠BCE，判斷出△ABG≌△CBE（ASA），得出AG＝CE，BG＝BE，即可得出結(jié)論．
【解答】（1）①∵四邊形ABCD是正方形，∴∠ABC＝90°，
∵∠BAF＝35°，
∴∠AFB＝90°﹣∠BAF＝55°，
∴∠CFE＝∠AFB＝55°，
∵CE⊥AM，
∴∠CEF＝90°，
∴∠ECF＝90°﹣∠CFE＝35°，
即：∠BCE＝35°，
故答案為：35；
②AE＝CE+BE．
證明：如圖2，過(guò)點(diǎn)B作BG⊥BE，交AM于點(diǎn)G，
∴∠GBE＝∠GBC+∠CBE＝90°．
∵四邊形ABCD為正方形，
∴AB＝BC，∠ABC＝∠ABG+∠GBC＝90°，
∴∠ABG＝∠CBE．
∵∠ABC＝90°，
∴∠α+∠AFB＝90°，
∵∠CFE＝∠AFB，
∴∠α+∠CFE＝90°，
∵∠CEF＝90°，
∴∠BCE+∠CFE＝90°，
∴∠α＝∠BCE．
在△ABG和△CBE中，
∠ABG＝∠CBE，AB＝BC，∠α＝∠BCE，
∴△ABG≌△CBE（ASA），
∴AG＝CE，BG＝BE．
∵在Rt△BEG中，BG＝BE，
∴GE＝BE，
∴AE＝AG+GE＝CE+BE．
（2）AE+CE＝BE．
理由：如圖3，過(guò)點(diǎn)B作BG⊥BE，交AM于點(diǎn)G，
∴∠GBE＝∠GBA+∠ABE＝90°．
∵四邊形ABCD為正方形，
∴AB＝BC，∠D＝∠ABC＝∠ABE+∠EBC＝90°，
∴∠ABG＝∠CBE．
∵∠D＝90°，
∴∠DAH+∠AHD＝90°，
∵∠AHD＝∠CHE，
∴∠DAH+∠CHE＝90°，
∵∠CEA＝90°，
∴∠DCE+∠CHE＝90°，
∴∠DAH＝∠DCE．
延長(zhǎng)DA交BG于N，
∵∠NAG＝∠DAH，∴∠NAG＝∠DCE，
∴∠NAG+90°＝∠DCE+90°，
∴∠BAG＝∠BCE
在△ABG和△CBE中，
∠ABG＝∠CBE，AB＝BC，∠BAG＝∠BCE，
∴△ABG≌△CBE（ASA），
∴AG＝CE，BG＝BE．
∵在Rt△BEG中，BG＝BE，
∴GE＝BE，
∴AE＝GE﹣AG＝BE﹣CE．
即：AE+CE＝BE．
【點(diǎn)評(píng)】此題是四邊形綜合題，主要考查了正方形的性質(zhì)，直角三角形的兩銳角互余，對(duì)頂角相等，全等三角形的判定和性質(zhì)，等腰直角三角形的判定和性質(zhì)，構(gòu)造全等三角形是解本題的關(guān)鍵．
28．（6分）在平面直角坐標(biāo)系中，如果點(diǎn)P的橫坐標(biāo)和縱坐標(biāo)相等，則稱點(diǎn)P為和諧點(diǎn)．
例如點(diǎn)（1，1），（，），（，），…，都是和諧點(diǎn)．
（1）判斷函數(shù)y＝﹣2x+1的圖象上是否存在和諧點(diǎn)，若存在，求出其和諧點(diǎn)的坐標(biāo)；
（2）若二次函數(shù)y＝ax2+4x+c（a≠0）的圖象上有且只有一個(gè)和諧點(diǎn)（，）．
①求a，c的值．
②當(dāng)0≤x≤m時(shí)，函數(shù)的最小值為﹣3，最大值為1，直接寫(xiě)出m的取值范圍．
【分析】（1）根據(jù)和諧點(diǎn)的橫坐標(biāo)與縱坐標(biāo)相同，可得方程，根據(jù)解方程，可得答案；
（2）根據(jù)和諧點(diǎn)的概念令ax2+4x+c＝x，即ax2+3x+c＝0，由題意，△＝32﹣4ac＝0，即4ac＝9，方程的根為，從而求得a＝﹣1，；
（3）函數(shù)y＝ax2+4x+c﹣＝﹣x2+4x﹣3，根據(jù)函數(shù)解析式求得頂點(diǎn)坐標(biāo)與縱坐標(biāo)的交點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)y的取值，即可確定x的取值范圍．
【解答】解：（1）令﹣2x+1＝x，解得，
∴函數(shù)y＝﹣2x+1的圖象上有一個(gè)和諧點(diǎn)（，）；
（2）①令ax2+4x+c＝x，即ax2+3x+c＝0，
由題意，Δ＝32﹣4ac＝0，即4ac＝9，
又方程的根為，
解得a＝﹣1，；
②函數(shù)，即y＝﹣x2+4x﹣3，該函數(shù)圖象頂點(diǎn)為（2，1），與y軸交點(diǎn)為（0，﹣3），由對(duì)稱性可知該函數(shù)圖象也經(jīng)過(guò)點(diǎn)（4，﹣3），
如圖1，由于函數(shù)圖象在對(duì)稱軸直線x＝2左側(cè)y隨x的增大而增大，在對(duì)稱軸右側(cè)y隨x的增大而減小，且當(dāng)0≤x≤m時(shí)，函數(shù)y＝﹣x2+4x﹣3的最小值為﹣3，最大值為1，
∴2≤m≤4．
【點(diǎn)評(píng)】本題是二次函數(shù)的新定義綜合題，考查了二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，二次函數(shù)的性質(zhì)以及根的判別式等知識(shí)，準(zhǔn)確理解和諧點(diǎn)的含義以及熟練應(yīng)用二次函數(shù)的性質(zhì)數(shù)形結(jié)合是解題關(guān)鍵．
聲明：試題解析著作權(quán)屬菁優(yōu)網(wǎng)所有，未經(jīng)書(shū)面同意，不得復(fù)制發(fā)布日期：2024/7/21 21:50:41；用戶：菁優(yōu)校本題庫(kù)；郵箱：2471@xyh.cm；學(xué)號(hào)：56380052x
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