2021-2022學(xué)年北京市燕山區(qū)九年級（上）期中數(shù)學(xué)試卷【含解析】

這是一份2021-2022學(xué)年北京市燕山區(qū)九年級（上）期中數(shù)學(xué)試卷【含解析】，共24頁。試卷主要包含了填空題，解答題等內(nèi)容，歡迎下載使用。
1．（2分）一元二次方程x2﹣4＝0的解是（ ）
A．x＝2B．x＝﹣2
C．x1＝2，x2＝﹣2D．x1＝，x2＝﹣
2．（2分）二次函數(shù)y＝﹣2（x+1）2+3的圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)是（ ）
A．（1，3）B．（﹣1，3）C．（1，﹣3）D．（﹣1，﹣3）
3．（2分）下列圖形中，既是軸對稱圖形又是中心對稱圖形的是（ ）
A．B．
C．D．
4．（2分）二次函數(shù)y＝﹣（x+1）2﹣2的最大值是（ ）
A．﹣2B．﹣1C．1D．2
5．（2分）用配方法解方程x2+4x＝3，下列配方正確的是（ ）
A．（x﹣2）2＝1B．（x﹣2）2＝7C．（x+2）2＝7D．（x+2）2＝1
6．（2分）如圖，P是等邊△ABC內(nèi)部一點(diǎn)，把△ABP繞點(diǎn)A逆時針旋轉(zhuǎn)，使點(diǎn)B與點(diǎn)C重合，得到△ACQ，則旋轉(zhuǎn)角的度數(shù)是（ ）
A．70°B．80°C．60°D．50°
7．（2分）根據(jù)下列表格的對應(yīng)值，判斷方程ax2+bx+c＝0（a≠0，a、b、c為常數(shù)）一個解的范圍是（ ）
A．3＜x＜3.23B．3.23＜x＜3.24
C．3.24＜x＜3.25D．3.25＜x＜3.26
8．（2分）如圖，在等邊△ABC中，D是邊AC上一點(diǎn)，連接BD．將△BCD繞點(diǎn)B逆時針旋轉(zhuǎn)60°得到△BAE，連接ED．若BC＝6，BD＝5，則△AED的周長是（ ）
A．17B．16C．13D．11
二、填空題（本題共16分，每小題2分）
9．（2分）在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)P（5，﹣2）關(guān)于原點(diǎn)（0，0）的對稱點(diǎn)的坐標(biāo)是 ．
10．（2分）關(guān)于x的一元二次方程x2+kx﹣2＝0的一個根是1，則k的值為 ．
11．（2分）如果拋物線y＝（m﹣1）x2的開口向上，那么m的取值范圍是 ．
12．（2分）點(diǎn)A（2，y1）、B（3，y2）是二次函數(shù)y＝（x﹣1）2的圖象上兩點(diǎn)，則y1與y2的大小關(guān)系為y1 y2（填“＞”、“＜”、“＝”）．
13．（2分）關(guān)于x的一元二次方程ax2+bx+1＝0有兩個相等的實(shí)數(shù)根，寫出一組滿足條件的實(shí)數(shù)a、b的值：a＝ ，b＝ ．
14．（2分）“十一”黃金周，某商場以每件30元的價格購進(jìn)一種商品，試銷中發(fā)現(xiàn)，這種商品每天的銷售量m（件）與每件的銷售價x（元）滿足關(guān)系：m＝140﹣x．寫出商場賣這種商品每天的銷售利潤y與每件的售價x之間的函數(shù)關(guān)系式是 ．
15．（2分）如圖，正方形ABCD的邊長為3，E為CD邊上一點(diǎn)，DE＝1．△ADE繞著點(diǎn)A逆時針旋轉(zhuǎn)后與△ABF重合，連結(jié)EF，則EF＝ ．
16．（2分）如圖，一段拋物線：y＝﹣x2+x（0≤x≤1），記為C1，它與x軸的兩個交點(diǎn)分別為O，A1，頂點(diǎn)為P1；將C1繞點(diǎn)A1旋轉(zhuǎn)180°得C2，它與x軸的另一交點(diǎn)記為A2，頂點(diǎn)為P2；將C2繞點(diǎn)A2旋轉(zhuǎn)180°得C3，它與x軸的另一交點(diǎn)記為A3，頂點(diǎn)為P3，…，這樣一直進(jìn)行下去，得到拋物線段C1，C2，C3，…，?n，則點(diǎn)P2的坐標(biāo)為 ；若點(diǎn)M（，m）在第3段拋物線C3上，則m＝ ．
三、解答題（共68分，第17-20題，每題5分，第21-22題，每題6分，第23題5分，第24題6分，第25題5分，第26題6分，第27-28題，每題7分。解題應(yīng)寫出文字說明、演算步驟或證明過程。）
17．（5分）解方程：x2﹣3x＝0．
18．（5分）已知：如圖，△ABC中，∠ABC＝70°，點(diǎn)D，E分別在AB，AC上，BD＝BC，連接BE，將線段BE繞點(diǎn)B按逆時針方向旋轉(zhuǎn)70°得到線段BF，連接DF．
求證：△BCE≌△BDF．
19．（5分）已知拋物線的對稱軸為直線x＝2，且經(jīng)過點(diǎn)（0，1），求該拋物線的表達(dá)式．
20．（5分）給出一種運(yùn)算：對于函數(shù)y＝xn，規(guī)定y'＝nxn﹣1．例如：若函數(shù)，則有．若函數(shù)，求方程y2′＝12的解．
21．（6分）如圖，在一塊長為22米，寬為17米的矩形地面上，要修建同樣寬的兩條互相垂直的道路（兩條道路各與矩形的一條邊平行），剩余部分種上草坪，要使草坪面積為300平方米，道路寬應(yīng)為多少米？
22．（6分）已知：關(guān)于x的一元二次方程kx2+2x+2﹣k＝0（k≥1）．
（1）求證：方程總有兩個實(shí)數(shù)根；
（2）當(dāng)k取哪些整數(shù)時，方程的兩個實(shí)數(shù)根均為整數(shù)．
23．（5分）已知x＝1是方程x2﹣5ax+a2＝0的一個根，求代數(shù)式3a2﹣15a﹣7的值．
24．（6分）如圖，二次函數(shù)y＝x2﹣2x﹣3的圖象與x軸交于點(diǎn)A，B（A在B的左側(cè)），與一次函數(shù)y＝﹣x+b的圖象交于A，C兩點(diǎn)．
（1）求b的值；
（2）求△ABC的面積；
（3）根據(jù)圖象直接寫出當(dāng)x為何值時，一次函數(shù)的值大于二次函數(shù)的值．
25．（5分）如圖，在等邊△ABC中，點(diǎn)D是AB邊上一點(diǎn)，連接CD，將線段CD繞點(diǎn)C按順時針方向旋轉(zhuǎn)60°后得到CE，連接AE．求證：AE∥BC．
26．（6分）小華在研究函數(shù)y1＝x與y2＝2x圖象關(guān)系時發(fā)現(xiàn)：如圖所示，當(dāng)x＝1時，y1＝1，y2＝2；當(dāng)x＝2時，y1＝2，y2＝4；…；當(dāng)x＝a時，y1＝a，y2＝2a．他得出如果將函數(shù)y1＝x圖象上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)不變，縱坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼?倍，就可以得到函數(shù)y2＝2x的圖象．類比小華的研究方法，解決下列問題：
（1）如果函數(shù)y＝3x圖象上各點(diǎn)橫坐標(biāo)不變，縱坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼?倍，得到的函數(shù)圖象的表達(dá)式為 ；
（2）①將函數(shù)y＝x2圖象上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)不變，縱坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼? 倍，得到函數(shù)y＝4x2的圖象；
②將函數(shù)y＝x2圖象上各點(diǎn)的縱坐標(biāo)不變，橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼?倍，得到圖象的函數(shù)表達(dá)式為 ．
27．（7分）已知四邊形ABCD和四邊形CEFG都是正方形，且AB＞CE．
（1）如圖1，連接BG、DE．求證：BG＝DE；
（2）如圖2，將正方形CEFG繞著點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)到某一位置時恰好使得CG∥BD，BG＝BD，連接BE，求∠BED的度數(shù)．
28．（7分）定義：如果拋物線C1的頂點(diǎn)在拋物線C2上，同時，拋物線C2的頂點(diǎn)在拋物線C1上，則稱拋物線C1與C2關(guān)聯(lián)．例如，如圖，拋物線y＝x2的頂點(diǎn)（0，0）在拋物線y＝﹣x2+2x上，拋物線y＝﹣x2+2x的頂點(diǎn)（1，1）也在拋物線y＝x2上，所以拋物線y＝x2與y＝﹣x2+2x關(guān)聯(lián)．
（1）已知拋物線C1：y＝（x+1）2﹣2，分別判斷拋物線C2：y＝﹣x2+2x+1和拋物線C3：y＝2x2+2x+1與拋物線C1是否關(guān)聯(lián)；
（2）拋物線M1：的頂點(diǎn)為A，動點(diǎn)P的坐標(biāo)為（t，2），將拋物線M1繞點(diǎn)P（t，2）旋轉(zhuǎn)180°得到拋物線M2，若拋物線M1與M2關(guān)聯(lián)，求拋物線M2的解析式；
（3）拋物線M1：的頂點(diǎn)為A，點(diǎn)B是與M1關(guān)聯(lián)的拋物線的頂點(diǎn)，將線段AB繞點(diǎn)A按順時針方向旋轉(zhuǎn)90°得到線段AB1，若點(diǎn)B1恰好在y軸上，請直接寫出點(diǎn)B1的縱坐標(biāo)．
2021-2022學(xué)年北京市燕山區(qū)九年級（上）期中數(shù)學(xué)試卷
參考答案與試題解析
一、選擇題（本題共16分，每小題2分）下面各題均有四個選項(xiàng)，其中只有一個是符合題意的，請將符合題意的答案代號寫在答題紙的相應(yīng)位置上．
1．（2分）一元二次方程x2﹣4＝0的解是（ ）
A．x＝2B．x＝﹣2
C．x1＝2，x2＝﹣2D．x1＝，x2＝﹣
【分析】觀察發(fā)現(xiàn)方程的兩邊同時加4后，左邊是一個完全平方式，即x2＝4，即原題轉(zhuǎn)化為求4的平方根．
【解答】解：移項(xiàng)得：x2＝4，
∴x＝±2，即x1＝2，x2＝﹣2．
故選：C．
【點(diǎn)評】（1）用直接開方法求一元二次方程的解的類型有：x2＝a（a≥0）；ax2＝b（a，b同號且a≠0）；（x+a）2＝b（b≥0）；a（x+b）2＝c（a，c同號且a≠0）．法則：要把方程化為“左平方，右常數(shù)，先把系數(shù)化為1，再開平方取正負(fù)，分開求得方程解．
（2）用直接開方法求一元二次方程的解，要仔細(xì)觀察方程的特點(diǎn)．
2．（2分）二次函數(shù)y＝﹣2（x+1）2+3的圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)是（ ）
A．（1，3）B．（﹣1，3）C．（1，﹣3）D．（﹣1，﹣3）
【分析】由拋物線的解析式可求得答案．
【解答】解：
∵y＝﹣2（x+1）2+3，
∴拋物線頂點(diǎn)坐標(biāo)為（﹣1，3），
故選：B．
【點(diǎn)評】本題主要考查二次函數(shù)的性質(zhì)，掌握二次函數(shù)的頂點(diǎn)式是解題的關(guān)鍵，即在y＝a（x﹣h）2+k中，對稱軸為x＝h，頂點(diǎn)坐標(biāo)為（h，k）．
3．（2分）下列圖形中，既是軸對稱圖形又是中心對稱圖形的是（ ）
A．B．
C．D．
【分析】根據(jù)軸對稱圖形和中心對稱圖形的概念，對各選項(xiàng)分析判斷即可得解．
【解答】解：A．是軸對稱圖形，不是中心對稱圖形，故本選項(xiàng)不符合題意；
B．不是軸對稱圖形，也不是中心對稱圖形，故本選項(xiàng)不符合題意；
C．不是軸對稱圖形，是中心對稱圖形，故本選項(xiàng)不符合題意；
D．既是軸對稱圖形，又是中心對稱圖形，故本選項(xiàng)符合題意．
故選：D．
【點(diǎn)評】本題考查了中心對稱圖形與軸對稱圖形的概念，軸對稱圖形的關(guān)鍵是尋找對稱軸，圖形兩部分折疊后可重合，中心對稱圖形是要尋找對稱中心，旋轉(zhuǎn)180度后與原圖重合．
4．（2分）二次函數(shù)y＝﹣（x+1）2﹣2的最大值是（ ）
A．﹣2B．﹣1C．1D．2
【分析】所給形式是二次函數(shù)的頂點(diǎn)式，易知其頂點(diǎn)坐標(biāo)是（﹣1，﹣2），也就是當(dāng)x＝﹣1，函數(shù)有最大值﹣2．
【解答】解：∵y＝﹣（x+1）2﹣2，
∴此函數(shù)的頂點(diǎn)坐標(biāo)是（﹣1，﹣2），即當(dāng)x＝﹣1函數(shù)有最大值﹣2
故選：A．
【點(diǎn)評】本題考查了二次函數(shù)的最值，解題關(guān)鍵是掌握二次函數(shù)頂點(diǎn)式，并會根據(jù)頂點(diǎn)式求最值．
5．（2分）用配方法解方程x2+4x＝3，下列配方正確的是（ ）
A．（x﹣2）2＝1B．（x﹣2）2＝7C．（x+2）2＝7D．（x+2）2＝1
【分析】把方程兩邊都加上4，方程左邊可寫成完全平方式．
【解答】解：x2+4x+4＝7，
（x+2）2＝7．
故選：C．
【點(diǎn)評】本題考查了解一元二次方程﹣配方法：將一元二次方程配成（x+m）2＝n的形式，再利用直接開平方法求解，這種解一元二次方程的方法叫配方法．
6．（2分）如圖，P是等邊△ABC內(nèi)部一點(diǎn)，把△ABP繞點(diǎn)A逆時針旋轉(zhuǎn)，使點(diǎn)B與點(diǎn)C重合，得到△ACQ，則旋轉(zhuǎn)角的度數(shù)是（ ）
A．70°B．80°C．60°D．50°
【分析】先根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)得AB＝AC，∠BAC＝60°，然后根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得到∠BAC為旋轉(zhuǎn)角，從而得到旋轉(zhuǎn)角的度數(shù)．
【解答】解：∴△ABC為等邊三角形，
∴AB＝AC，∠BAC＝60°，
∵△ABP繞點(diǎn)A逆時針旋轉(zhuǎn)，使點(diǎn)B與點(diǎn)C重合，得到△ACQ，
∴∠BAC為旋轉(zhuǎn)角，即旋轉(zhuǎn)角的度數(shù)為60°．
故選：C．
【點(diǎn)評】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)：對應(yīng)點(diǎn)到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等；對應(yīng)點(diǎn)與旋轉(zhuǎn)中心所連線段的夾角等于旋轉(zhuǎn)角；旋轉(zhuǎn)前、后的圖形全等．也考查了等邊三角形的性質(zhì)．
7．（2分）根據(jù)下列表格的對應(yīng)值，判斷方程ax2+bx+c＝0（a≠0，a、b、c為常數(shù)）一個解的范圍是（ ）
A．3＜x＜3.23B．3.23＜x＜3.24
C．3.24＜x＜3.25D．3.25＜x＜3.26
【分析】根據(jù)函數(shù)y＝ax2+bx+c的圖象與x軸的交點(diǎn)就是方程ax2+bx+c＝0的根，再根據(jù)函數(shù)的增減性即可判斷方程ax2+bx+c＝0一個解的范圍．
【解答】解：函數(shù)y＝ax2+bx+c的圖象與x軸的交點(diǎn)就是方程ax2+bx+c＝0的根，
函數(shù)y＝ax2+bx+c的圖象與x軸的交點(diǎn)的縱坐標(biāo)為0；
由表中數(shù)據(jù)可知：y＝0在y＝﹣0.02與y＝0.03之間，
∴對應(yīng)的x的值在3.24與3.25之間，即3.24＜x＜3.25．
故選：C．
【點(diǎn)評】掌握函數(shù)y＝ax2+bx+c（a≠0，a、b、c為常數(shù)）的圖象與x軸的交點(diǎn)與方程ax2+bx+c＝0的根的關(guān)系是解決此題的關(guān)鍵所在．
8．（2分）如圖，在等邊△ABC中，D是邊AC上一點(diǎn)，連接BD．將△BCD繞點(diǎn)B逆時針旋轉(zhuǎn)60°得到△BAE，連接ED．若BC＝6，BD＝5，則△AED的周長是（ ）
A．17B．16C．13D．11
【分析】先根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得BE＝BD，AE＝CD，∠DBE＝60°，于是可判斷△BDE為等邊三角形，則有DE＝BD＝5，所以△AED的周長＝DE+AC，再利用等邊三角形的性質(zhì)得AC＝BC＝6，即可求得△AED的周長．
【解答】解：∵△BCD繞點(diǎn)B逆時針旋轉(zhuǎn)60°得到△BAE，
∴BE＝BD，AE＝CD，∠DBE＝60°，
∴△BDE為等邊三角形，
∴DE＝BD＝5，
∴△AED的周長＝DE+AE+AD＝DE+CD+AD＝DE+AC，
∵△ABC為等邊三角形，
∴AC＝BC＝6，
∴△AED的周長＝DE+AC＝5+6＝11，
故選：D．
【點(diǎn)評】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)：對應(yīng)點(diǎn)到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等；對應(yīng)點(diǎn)與旋轉(zhuǎn)中心所連線段的夾角等于旋轉(zhuǎn)角；旋轉(zhuǎn)前、后的圖形全等．也考查了等邊三角形的判定與性質(zhì)．
二、填空題（本題共16分，每小題2分）
9．（2分）在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)P（5，﹣2）關(guān)于原點(diǎn)（0，0）的對稱點(diǎn)的坐標(biāo)是 （﹣5，2） ．
【分析】根據(jù)兩個點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)對稱時，它們的坐標(biāo)符號相反可得答案．
【解答】解：點(diǎn)P（5，﹣2）關(guān)于原點(diǎn)的對稱點(diǎn)的坐標(biāo)是（﹣5，2），
故答案為：（﹣5，2）．
【點(diǎn)評】此題主要考查了關(guān)于原點(diǎn)對稱的點(diǎn)的坐標(biāo)特點(diǎn)，關(guān)鍵是掌握點(diǎn)的坐標(biāo)的變化規(guī)律．
10．（2分）關(guān)于x的一元二次方程x2+kx﹣2＝0的一個根是1，則k的值為 1 ．
【分析】先把x＝1代入方程x2+kx﹣2＝0得1+k﹣2＝0，然后解關(guān)于k的方程即可．
【解答】解：把x＝1代入方程x2+kx﹣2＝0得1+k﹣2＝0，
解得k＝1．
故答案為：1．
【點(diǎn)評】本題考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右兩邊相等的未知數(shù)的值是一元二次方程的解．
11．（2分）如果拋物線y＝（m﹣1）x2的開口向上，那么m的取值范圍是 m＞1 ．
【分析】根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)可知，當(dāng)拋物線開口向上時，二次項(xiàng)系數(shù)m﹣1＞0．
【解答】解：因?yàn)閽佄锞€y＝（m﹣1）x2的開口向上，
所以m﹣1＞0，即m＞1，故m的取值范圍是m＞1．
【點(diǎn)評】解答此題要掌握二次函數(shù)圖象的特點(diǎn)．
12．（2分）點(diǎn)A（2，y1）、B（3，y2）是二次函數(shù)y＝（x﹣1）2的圖象上兩點(diǎn)，則y1與y2的大小關(guān)系為y1 ＜ y2（填“＞”、“＜”、“＝”）．
【分析】先根據(jù)函數(shù)解析式確定出對稱軸為直線x＝1，再根據(jù)二次函數(shù)的增減性，x＜1時，y隨x的增大而減小解答．
【解答】解：∵y＝（x﹣1）2，
∴二次函數(shù)圖象的對稱軸為直線x＝1，
∵x2＞x1＞1，
∴y1＜y2．
故答案為：＜
【點(diǎn)評】本題考查了二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，主要利用了二次函數(shù)的增減性，求出對稱軸解析式是解題的關(guān)鍵．
13．（2分）關(guān)于x的一元二次方程ax2+bx+1＝0有兩個相等的實(shí)數(shù)根，寫出一組滿足條件的實(shí)數(shù)a、b的值：a＝ 1 ，b＝ 2 ．
【分析】利用一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根與Δ＝b2﹣4ac有如下關(guān)系：①當(dāng)Δ＞0時，方程有兩個不相等的兩個實(shí)數(shù)根；②當(dāng)Δ＝0時，方程有兩個相等的兩個實(shí)數(shù)根；③當(dāng)Δ＜0時，方程無實(shí)數(shù)根；進(jìn)而得出答案．
【解答】解：∵關(guān)于x的一元二次方程ax2+bx+1＝0有兩個相等的實(shí)數(shù)根，
∴Δ＝b2﹣4ac＝b2﹣4a＝0，
符合一組滿足條件的實(shí)數(shù)a、b的值：a＝1，b＝2．
故答案為：1，2．
【點(diǎn)評】此題主要考查了根的判別式，正確求出a，b之間的關(guān)系是解題關(guān)鍵．
14．（2分）“十一”黃金周，某商場以每件30元的價格購進(jìn)一種商品，試銷中發(fā)現(xiàn)，這種商品每天的銷售量m（件）與每件的銷售價x（元）滿足關(guān)系：m＝140﹣x．寫出商場賣這種商品每天的銷售利潤y與每件的售價x之間的函數(shù)關(guān)系式是 y＝﹣x2+170x﹣4200（30≤x≤140） ．
【分析】按等量關(guān)系“每天的銷售利潤＝（銷售價﹣進(jìn)價）×每天的銷售量”列出函數(shù)關(guān)系式，并由售價大于進(jìn)價，且銷售量大于零求得自變量的取值范圍．
【解答】解：由題意得，每件商品的銷售利潤為（x﹣30）元，那么m件的銷售利潤為y＝m（x﹣30），
又∵m＝140﹣x，
∴y＝（x﹣30）（140﹣x），
即y＝﹣x2+170x﹣4200，
∵x﹣30≥0，
∴x≥30．
又∵m≥0，
∴140﹣x≥0，即x≤140．
∴30≤x≤140．
∴所求關(guān)系式為y＝﹣x2+170x﹣4200（30≤x≤140）．
【點(diǎn)評】本題考查了二次函數(shù)在實(shí)際生活中的應(yīng)用，解答本題的關(guān)鍵是根據(jù)等量關(guān)系：“每天的銷售利潤＝（銷售價﹣進(jìn)價）×每天的銷售量”列出函數(shù)關(guān)系式．
15．（2分）如圖，正方形ABCD的邊長為3，E為CD邊上一點(diǎn)，DE＝1．△ADE繞著點(diǎn)A逆時針旋轉(zhuǎn)后與△ABF重合，連結(jié)EF，則EF＝ 2 ．
【分析】首先勾股定理得出AE的長，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)知△AEF等腰直角三角形，從而得出EF的長．
【解答】解：在Rt△AED中，由勾股定理得，
AE＝＝，
∵△ADE繞著點(diǎn)A逆時針旋轉(zhuǎn)后與△ABF重合，
∴∠DAE＝∠BAF，AE＝AF，
∴∠EAF＝90°，
∴△AEF等腰直角三角形，
∴EF＝AE＝×＝2，
故答案為：2．
【點(diǎn)評】本題主要考查了正方形的性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，等腰直角三角形的判定等知識，證明△AEF等腰直角三角形是解題的關(guān)鍵．
16．（2分）如圖，一段拋物線：y＝﹣x2+x（0≤x≤1），記為C1，它與x軸的兩個交點(diǎn)分別為O，A1，頂點(diǎn)為P1；將C1繞點(diǎn)A1旋轉(zhuǎn)180°得C2，它與x軸的另一交點(diǎn)記為A2，頂點(diǎn)為P2；將C2繞點(diǎn)A2旋轉(zhuǎn)180°得C3，它與x軸的另一交點(diǎn)記為A3，頂點(diǎn)為P3，…，這樣一直進(jìn)行下去，得到拋物線段C1，C2，C3，…，?n，則點(diǎn)P2的坐標(biāo)為 （，﹣）， ；若點(diǎn)M（，m）在第3段拋物線C3上，則m＝ ．
【分析】由旋轉(zhuǎn)可知拋物線C2與拋物線C1關(guān)于點(diǎn)A1成中心對稱，拋物線C3與拋物線C2關(guān)于點(diǎn)A2成中心對稱，先求出點(diǎn)A1的坐標(biāo)，再將拋物線C1的解析式配成頂點(diǎn)式，求出拋物線C1的頂點(diǎn)坐標(biāo)，然后可依次求出P2、P3的坐標(biāo)，再求出拋物線C3的解析式，進(jìn)而求出m的值，得到問題的答案．
【解答】解：如圖，拋物線y＝﹣x2+x，當(dāng)y＝0時，則﹣x2+x＝0，
解得x1＝0，x2＝1，
∴A1（1，0），
∵y＝﹣x2+x＝﹣（x﹣）2+，
∴C1的頂點(diǎn)為P1（，），
∵C2與C1關(guān)于點(diǎn)A1成中心對稱，
∴P2（，﹣），A2（2，0），
∵C3與C2關(guān)于點(diǎn)A2成中心對稱，
∴P3（，），
∴C3的解析式為y＝﹣（x﹣）2+，
將M（，m）代入y＝﹣（x﹣）2+，
得m＝﹣（﹣）2+＝，
∴m的值為，
故答案為：（，﹣）；．
【點(diǎn)評】此題考查二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)、中心對稱的性質(zhì)等知識，將y＝﹣x2+x配成頂點(diǎn)式，求出拋物線C1的頂點(diǎn)坐標(biāo)及點(diǎn)A1的坐標(biāo)是解題的關(guān)鍵．
三、解答題（共68分，第17-20題，每題5分，第21-22題，每題6分，第23題5分，第24題6分，第25題5分，第26題6分，第27-28題，每題7分。解題應(yīng)寫出文字說明、演算步驟或證明過程。）
17．（5分）解方程：x2﹣3x＝0．
【分析】將方程左邊的多項(xiàng)式提取公因式x，分解因式后利用兩數(shù)相乘積為0，兩因式中至少有一個為0轉(zhuǎn)化為兩個一元一次方程，求出一次方程的解即可得到原方程的解．
【解答】解：x2﹣3x＝0，
分解因式得：x（x﹣3）＝0，
可得：x＝0或x﹣3＝0，
解得：x1＝0，x2＝3．
【點(diǎn)評】此題考查了解一元二次方程﹣因式分解法，利用因式分解法解方程時，首先將方程右邊化為0，左邊化為積的形式，然后利用兩數(shù)相乘積為0，兩因式中至少有一個為0轉(zhuǎn)化為兩個一元一次方程來求解．
18．（5分）已知：如圖，△ABC中，∠ABC＝70°，點(diǎn)D，E分別在AB，AC上，BD＝BC，連接BE，將線段BE繞點(diǎn)B按逆時針方向旋轉(zhuǎn)70°得到線段BF，連接DF．
求證：△BCE≌△BDF．
【分析】由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)知BE＝BF，∠EBF＝70°，再利用SAS即可證明結(jié)論．
【解答】證明：∵將線段BE繞點(diǎn)B按逆時針方向旋轉(zhuǎn)70°得到線段BF，
∴BE＝BF，∠EBF＝70°，
∵∠ABC＝70°，
∴∠EBF＝∠ABC，
∴∠DBF＝70°﹣∠ABE＝∠CBE，
在△BCE與△BDF中，
，
∴△BCE≌△BDF（SAS）．
【點(diǎn)評】本題主要考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，熟練掌握旋轉(zhuǎn)前面對應(yīng)邊相等是解題的關(guān)鍵．
19．（5分）已知拋物線的對稱軸為直線x＝2，且經(jīng)過點(diǎn)（0，1），求該拋物線的表達(dá)式．
【分析】根據(jù)待定系數(shù)法即可求得拋物線的解析式．
【解答】解：∵拋物線的對稱軸為直線x＝2，且經(jīng)過點(diǎn)（0，1），
∴，解得，
∴拋物線的表達(dá)式為y＝x2﹣x+1．
【點(diǎn)評】本題考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式，二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，熟練掌握待定系數(shù)法是解題的關(guān)鍵．
20．（5分）給出一種運(yùn)算：對于函數(shù)y＝xn，規(guī)定y'＝nxn﹣1．例如：若函數(shù)，則有．若函數(shù)，求方程y2′＝12的解．
【分析】根據(jù)新定義的規(guī)定先計(jì)算y2′，再解方程．
【解答】解：∵y2′＝3x2，
又∵y2′＝12，
∴3x2＝12．
∴x2＝4．
∴x1＝2，x2＝﹣2．
【點(diǎn)評】本題考查了解一元二次方程的直接開平方法．掌握新定義規(guī)定的運(yùn)算和一元二次方程的解法是解決本題的關(guān)鍵．
21．（6分）如圖，在一塊長為22米，寬為17米的矩形地面上，要修建同樣寬的兩條互相垂直的道路（兩條道路各與矩形的一條邊平行），剩余部分種上草坪，要使草坪面積為300平方米，道路寬應(yīng)為多少米？
【分析】設(shè)道路寬為x米，則剩余部分可合成長（22﹣x）米，寬（17﹣x）米的矩形，根據(jù)草坪面積為300平方米，即可得出關(guān)于x的一元二次方程，解之即可得出x的值，再結(jié)合17﹣x＞0，即可得出道路寬應(yīng)為2米．
【解答】解：設(shè)道路寬為x米，則剩余部分可合成長（22﹣x）米，寬（17﹣x）米的矩形，
依題意得：（22﹣x）（17﹣x）＝300，
整理得：x2﹣39x+74＝0，
解得：x1＝2，x2＝37．
又∵17﹣x＞0，
∴x＜17，
∴x＝2．
答：道路寬應(yīng)為2米．
【點(diǎn)評】本題考查了一元二次方程的應(yīng)用，找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出一元二次方程是解題的關(guān)鍵．
22．（6分）已知：關(guān)于x的一元二次方程kx2+2x+2﹣k＝0（k≥1）．
（1）求證：方程總有兩個實(shí)數(shù)根；
（2）當(dāng)k取哪些整數(shù)時，方程的兩個實(shí)數(shù)根均為整數(shù)．
【分析】（1）先由k≠0，確定此方程為一元二次方程．要證明方程總有兩個實(shí)數(shù)根，只有證明△≥0，通過代數(shù)式變形即可證明；
（2）先利用求根公式求出兩根，x1＝﹣1，，只要2被k整除，并且有k≥1的整數(shù)，即可得到k的值．
【解答】證明：（1）∵k≥1，
∴k≠0，此方程為一元二次方程，
∵Δ＝4﹣4k（2﹣k）＝4﹣8k+4k2＝4（k﹣1）2，
而4（k﹣1）2≥0，
∴△≥0，
∴方程恒有兩個實(shí)數(shù)根．
（2）解：方程的根為，
∵k≥1，∴．
∴x1＝﹣1，，
∵k≥1，若k為整數(shù)，
∴當(dāng)k＝1或k＝2時，方程的兩個實(shí)數(shù)根均為整數(shù)．
【點(diǎn)評】本題考查了一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0，a，b，c為常數(shù)）根的判別式Δ＝b2﹣4ac．當(dāng)Δ＞0，方程有兩個不相等的實(shí)數(shù)根；當(dāng)Δ＝0，方程有兩個相等的實(shí)數(shù)根；當(dāng)Δ＜0，方程沒有實(shí)數(shù)根．同時考查了解方程的方法和整數(shù)的整除性質(zhì)．
23．（5分）已知x＝1是方程x2﹣5ax+a2＝0的一個根，求代數(shù)式3a2﹣15a﹣7的值．
【分析】把x＝1代入已知方程求得a2﹣5a＝﹣1，然后整體代入所求的代數(shù)式中進(jìn)行求解．
【解答】解：∵x＝1是方程x2﹣5ax+a2＝0的一個根，
∴1﹣5a+a2＝0．
∴a2﹣5a＝﹣1，
∴3a2﹣15a﹣7＝3（a2﹣5a）﹣7＝3×（﹣1）﹣7＝﹣10，即3a2﹣15a﹣7＝﹣10．
【點(diǎn)評】此題主要考查的是一元二次方程解的定義，注意整體代入思想在代數(shù)求值中的應(yīng)用．
24．（6分）如圖，二次函數(shù)y＝x2﹣2x﹣3的圖象與x軸交于點(diǎn)A，B（A在B的左側(cè)），與一次函數(shù)y＝﹣x+b的圖象交于A，C兩點(diǎn)．
（1）求b的值；
（2）求△ABC的面積；
（3）根據(jù)圖象直接寫出當(dāng)x為何值時，一次函數(shù)的值大于二次函數(shù)的值．
【分析】（1）令y＝0，y＝x2﹣2x﹣3＝0，解得：x＝3或﹣1，得點(diǎn)A坐標(biāo)為（﹣1，0），B（3，0），將點(diǎn)A（﹣1，0）代入y＝﹣x+b，即可求解；
（2）方程組，解得：或，得點(diǎn)C坐標(biāo)為（2，﹣3），根據(jù)面積公式即可求解；
（3）根據(jù)圖象可知，﹣1＜x＜2時，一次函數(shù)值大于二次函數(shù)值．
【解答】解：（1）∵令y＝0，y＝x2﹣2x﹣3＝0，
解得：x＝3或﹣1，
∴點(diǎn)A坐標(biāo)為（﹣1，0），B（3，0），
將點(diǎn)A（﹣1，0）代入y＝﹣x+b，
1+b＝0，解得b＝﹣1；
（2）方程組，
解得：或，
∴點(diǎn)C坐標(biāo)為（2，﹣3），
∴△ABC的面積＝×4×3＝6；
（3）根據(jù)圖象可知，﹣1＜x＜2時，一次函數(shù)值大于二次函數(shù)值．
【點(diǎn)評】本題考查了一次函數(shù)和二次函數(shù)的交點(diǎn)問題，待定系數(shù)法求一次函數(shù)的解析式，三角形的面積，求得交點(diǎn)坐標(biāo)是解題的關(guān)鍵．
25．（5分）如圖，在等邊△ABC中，點(diǎn)D是AB邊上一點(diǎn)，連接CD，將線段CD繞點(diǎn)C按順時針方向旋轉(zhuǎn)60°后得到CE，連接AE．求證：AE∥BC．
【分析】利用等邊三角形的性質(zhì)得AC＝BC，∠B＝∠ACB＝60°，再根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得CD＝CE，∠DCE＝60°，則∠DCE＝∠ACB，所以∠BCD＝∠ACE，接著證明△BCD≌△ACE得到∠EAC＝∠B＝60°，從而得到∠EAC＝∠ACB，然后根據(jù)平行線的判定方法得到結(jié)論．
【解答】解：∵△ABC是等邊三角形，
∴AC＝BC，∠B＝∠ACB＝60°，
∵線段CD繞點(diǎn)C順時針旋轉(zhuǎn)60°得到CE，
∴CD＝CE，∠DCE＝60°，
∴∠DCE＝∠ACB，
即∠BCD+∠DCA＝∠DCA+∠ACE，
∴∠BCD＝∠ACE，
在△BCD與△ACE中，
，
∴△BCD≌△ACE，
∴∠EAC＝∠B＝60°，
∴∠EAC＝∠ACB，
∴AE∥BC．
【點(diǎn)評】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)：對應(yīng)點(diǎn)到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等；對應(yīng)點(diǎn)與旋轉(zhuǎn)中心所連線段的夾角等于旋轉(zhuǎn)角；旋轉(zhuǎn)前、后的圖形全等．也考查了等邊三角形的性質(zhì)和全等三角形的判定與性質(zhì)．
26．（6分）小華在研究函數(shù)y1＝x與y2＝2x圖象關(guān)系時發(fā)現(xiàn)：如圖所示，當(dāng)x＝1時，y1＝1，y2＝2；當(dāng)x＝2時，y1＝2，y2＝4；…；當(dāng)x＝a時，y1＝a，y2＝2a．他得出如果將函數(shù)y1＝x圖象上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)不變，縱坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼?倍，就可以得到函數(shù)y2＝2x的圖象．類比小華的研究方法，解決下列問題：
（1）如果函數(shù)y＝3x圖象上各點(diǎn)橫坐標(biāo)不變，縱坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼?倍，得到的函數(shù)圖象的表達(dá)式為 y＝9x ；
（2）①將函數(shù)y＝x2圖象上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)不變，縱坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼?4 倍，得到函數(shù)y＝4x2的圖象；
②將函數(shù)y＝x2圖象上各點(diǎn)的縱坐標(biāo)不變，橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼?倍，得到圖象的函數(shù)表達(dá)式為 y＝x2 ．
【分析】（1）設(shè)變換后直線解析式為y1＝kx，根據(jù)題意得出當(dāng)x＝1時，y1＝3×3＝9，代入求得k即可；
（2）①求得x＝1時y＝x2＝1，y＝4x2＝4，即可得出答案；
②設(shè)所得函數(shù)圖象的解析式為y2＝ax2，根據(jù)題意得出x＝2時，y2＝1，代入求得a的值即可．
【解答】解：（1）設(shè)變換后直線解析式為y1＝kx，
∵當(dāng)x＝1時，y＝3x＝3，
∴y1＝3×3＝9，即k＝9，
∴得到的函數(shù)圖象的表達(dá)式為y＝9x，
故答案為：y＝9x；
（2）①當(dāng)x＝1時，y＝x2＝1，y＝4x2＝4，
∴縱坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼?倍，得到函數(shù)y＝4x2的圖象，
故答案為：4；
②設(shè)所得函數(shù)圖象的解析式為y2＝ax2，
由題意知當(dāng)x＝1時，y＝x2＝1，
則x＝2時，y2＝1，即1＝4a，解得：a＝，
即得到圖象的函數(shù)表達(dá)式為y＝x2，
故答案為：y＝x2．
【點(diǎn)評】本題主要考查二次函數(shù)圖象與一次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征及待定系數(shù)法求函數(shù)解析式和平移變換，根據(jù)題意得出平移變換后對應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)是解題的關(guān)鍵．
27．（7分）已知四邊形ABCD和四邊形CEFG都是正方形，且AB＞CE．
（1）如圖1，連接BG、DE．求證：BG＝DE；
（2）如圖2，將正方形CEFG繞著點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)到某一位置時恰好使得CG∥BD，BG＝BD，連接BE，求∠BED的度數(shù)．
【分析】（1）先證∠BCG＝∠DCE，再證明△BCG≌△DCE，即可得出結(jié)論；
（2）先證明∠BCG＝∠BCE，再證明△BCG≌△BCE，得出BG＝BE，證出△BDE為等邊三角形，即可得出結(jié)果．
【解答】（1）證明：∵四邊形ABCD和CEFG為正方形，
∴BC＝DC，CG＝CE，∠BCD＝∠GCE＝90°，
∴∠BCD+∠DCG＝∠GCE+∠DCG，
即：∠BCG＝∠DCE，
在△BCG和△DCE中，，
∴△BCG≌△DCE（SAS），
∴BG＝DE；
（2）解：由（1）可知：BG＝DE．
∵CG∥BD，
∴∠DCG＝∠BDC＝45°，
∴∠BCG＝∠BCD+∠GCD＝90°+45°＝135°，
∵∠GCE＝90°，
∴∠BCE＝360°﹣∠BCG﹣∠GCE＝360°﹣135°﹣90°＝135°，
∴∠BCG＝∠BCE，
在△BCG和△BCE中，，
∴△BCG≌△BCE（SAS），
∴BG＝BE，
∵BG＝BD＝DE，
∴BD＝BE＝DE，
∴△BDE為等邊三角形，
∴∠BED＝60°．
【點(diǎn)評】本題考查了正方形的性質(zhì)、等邊三角形的判定與性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)；證明三角形全等是解決問題的關(guān)鍵．
28．（7分）定義：如果拋物線C1的頂點(diǎn)在拋物線C2上，同時，拋物線C2的頂點(diǎn)在拋物線C1上，則稱拋物線C1與C2關(guān)聯(lián)．例如，如圖，拋物線y＝x2的頂點(diǎn)（0，0）在拋物線y＝﹣x2+2x上，拋物線y＝﹣x2+2x的頂點(diǎn)（1，1）也在拋物線y＝x2上，所以拋物線y＝x2與y＝﹣x2+2x關(guān)聯(lián)．
（1）已知拋物線C1：y＝（x+1）2﹣2，分別判斷拋物線C2：y＝﹣x2+2x+1和拋物線C3：y＝2x2+2x+1與拋物線C1是否關(guān)聯(lián)；
（2）拋物線M1：的頂點(diǎn)為A，動點(diǎn)P的坐標(biāo)為（t，2），將拋物線M1繞點(diǎn)P（t，2）旋轉(zhuǎn)180°得到拋物線M2，若拋物線M1與M2關(guān)聯(lián)，求拋物線M2的解析式；
（3）拋物線M1：的頂點(diǎn)為A，點(diǎn)B是與M1關(guān)聯(lián)的拋物線的頂點(diǎn)，將線段AB繞點(diǎn)A按順時針方向旋轉(zhuǎn)90°得到線段AB1，若點(diǎn)B1恰好在y軸上，請直接寫出點(diǎn)B1的縱坐標(biāo)．
【分析】（1）首先求得拋物線①的頂點(diǎn)坐標(biāo)，然后檢驗(yàn)是否此點(diǎn)在拋物線②與③上，再求得拋物線②的頂點(diǎn)坐標(biāo)，檢驗(yàn)是否在拋物線①上即可求得答案；
（2）首先求得拋物線M1的頂點(diǎn)坐標(biāo)，則可得：點(diǎn)P在直線y＝2上，則可作輔助線：作M關(guān)于P的對稱點(diǎn)N，分別過點(diǎn)M、N作直線y＝2的垂線，垂足為E，F(xiàn)，則可求得：點(diǎn)N的坐標(biāo)，利用頂點(diǎn)式即可求得結(jié)果；
（3）根據(jù)全等三角形的知識，即可求得點(diǎn)B的坐標(biāo)，從而求得B1點(diǎn)的坐標(biāo)．
【解答】解：（1）∵拋物線C1：y＝（x+1）2﹣2的頂點(diǎn)坐標(biāo)為M（﹣1，﹣2），
∴當(dāng)x＝﹣1時，y＝﹣x2+2x+1＝﹣1﹣2+1＝﹣2，
∴C1的頂點(diǎn)在拋物線C2上；
∵拋物線C2：y＝﹣x2+2x+1＝﹣（x﹣1）2+2，其頂點(diǎn)坐標(biāo)為（1，2），
當(dāng)x＝1時，y＝（x+1）2﹣2＝22﹣2＝2，
∴C2的頂點(diǎn)在拋物線C1上；
∴拋物線C1、C2是關(guān)聯(lián)的；
∵拋物線C3：y＝2x2+2x+1的頂點(diǎn)坐標(biāo)為M（﹣，），
∴當(dāng)x＝﹣時，y＝（x+1）2﹣2＝﹣2＝﹣，
∴拋物線C1與C3不關(guān)聯(lián)；
綜上，拋物線C1、C2是關(guān)聯(lián)的；拋物線C1與C3不關(guān)聯(lián)；
（2）拋物線M1：y＝（x+1）2﹣2的頂點(diǎn)M的坐標(biāo)為（﹣1，﹣2），
∵動點(diǎn)P的坐標(biāo)為（t，2），
∴點(diǎn)P在直線y＝2上，
作M關(guān)于P的對稱點(diǎn)N，分別過點(diǎn)M、N作直線y＝2的垂線，垂足為E，F(xiàn)，則ME＝NF＝4，
∴點(diǎn)N的縱坐標(biāo)為6，
當(dāng)y＝6時，（x+1）2﹣2＝6，
解得：x1＝7，x2＝﹣9，
①設(shè)拋物M2的解析式為：y＝a（x﹣7）2+6，
∵點(diǎn)M（﹣1，﹣2）在拋物線M2上，
∴﹣2＝a（﹣1﹣7）2+6，
∴a＝﹣．
∴拋物線M2的解析式為：y＝﹣（x﹣7）2+6；
②設(shè)拋物M2的解析式為：y＝a（x+9）2+6，
∵點(diǎn)M（﹣1，﹣2）在拋物線M2上，
∴﹣2＝a（﹣1+9）2+6，
∴a＝﹣．
∴拋物線M2的解析式為：y＝﹣（x+9）2+6；
（3）若A為拋物線M1：y＝（x+1）2﹣2的頂點(diǎn)，
∴A（﹣1，﹣2），
當(dāng)點(diǎn)B1恰好在y軸上，過A作x軸的平行線AN交y軸于N，過B作BM⊥AN于M，如圖，
∴AN＝1，
∵BA⊥B1A，
∴∠BAM+∠B1AN＝90°，
∵∠BAM+∠ABM＝90°，
∴∠ABM＝∠B′AN，
∵AB＝AB′，
∴△ABM≌△B1AN（AAS），
∴BM＝AN＝1，AM＝B1N，
∴B點(diǎn)的縱坐標(biāo)為﹣1，
把y＝﹣1代入y＝（x+1）2﹣2
解得：x＝﹣1+2或x＝﹣1﹣2，
∴B1（0，2﹣2）或（0，﹣2﹣2），
∴點(diǎn)B1的縱坐標(biāo)是（0，2﹣2）或（0，﹣2﹣2）．
【點(diǎn)評】本題是二次函數(shù)綜合題，考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式以及二次函數(shù)的頂點(diǎn)坐標(biāo)的求解方法，全等三角形的性質(zhì)等知識．此題綜合性很強(qiáng)，難度較大，注意數(shù)形結(jié)合思想與分類討論思想的應(yīng)用．
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