2021-2022學(xué)年北京市海淀區(qū)九年級（上）期中數(shù)學(xué)試卷【含解析】

這是一份2021-2022學(xué)年北京市海淀區(qū)九年級（上）期中數(shù)學(xué)試卷【含解析】，共33頁。試卷主要包含了填空題，解答題解答應(yīng)寫出文字說明等內(nèi)容，歡迎下載使用。
1．（2分）方程x2﹣6x﹣1＝0的二次項系數(shù)、一次項系數(shù)和常數(shù)項分別是（ ）
A．1，﹣6，﹣1B．1，6，1C．0，﹣6，1D．0，6，﹣1
2．（2分）中秋節(jié)是中國的傳統(tǒng)節(jié)日，有“團圓”、“豐收”的寓意．月餅是首選傳統(tǒng)食品，不僅美味，而且設(shè)計多樣．下列月餅圖案中，為中心對稱圖形的是（ ）
A．B．
C．D．
3．（2分）將拋物線y＝向下平移1個單位長度，得到的拋物線是（ ）
A．B．
C．D．
4．（2分）用配方法解方程x2+2x﹣3＝0，下列配方結(jié)果正確的是（ ）
A．（x﹣1）2＝2B．（x﹣1）2＝4C．（x+1）2＝2D．（x+1）2＝4
5．（2分）如圖，AB是半圓O的直徑，點C，D在半圓O上．若∠ABC＝50°，則∠BDC的度數(shù)為（ ）
A．90°B．100°C．130°D．140°
6．（2分）如圖，在正三角形網(wǎng)格中，以某點為中心，將△MNP旋轉(zhuǎn)，得到△M1N1P1，則旋轉(zhuǎn)中心是（ ）
A．點AB．點BC．點CD．點D
7．（2分）已知拋物線y＝ax2+bx+c，其中ab＜0，c＞0，下列說法正確的是（ ）
A．該拋物線經(jīng)過原點
B．該拋物線的對稱軸在y軸左側(cè)
C．該拋物線的頂點可能在第一象限
D．該拋物線與x軸必有公共點
8．（2分）如圖，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝5，BC＝10．動點M，N分別從A，C兩點同時出發(fā)，點M從點A開始沿邊AC向點C以每秒1個單位長度的速度移動，點N從點C開始沿CB向點B以每秒2個單位長度的速度移動．設(shè)運動時間為t，點M，C之間的距離為y，△MCN的面積為S，則y與t，S與t滿足的函數(shù)關(guān)系分別是（ ）
A．正比例函數(shù)關(guān)系，一次函數(shù)關(guān)系
B．正比例函數(shù)關(guān)系，二次函數(shù)關(guān)系
C．一次函數(shù)關(guān)系，正比例函數(shù)關(guān)系
D．一次函數(shù)關(guān)系，二次函數(shù)關(guān)系
二、填空題（本題共16分，每小題2分）
9．（2分）若點A（5，5）與點B關(guān)于原點對稱，則點B的坐標(biāo)為 ．
10．（2分）若點（0，a），（3，b）都在二次函數(shù)y＝（x﹣1）2的圖象上，則a與b的大小關(guān)系是：a b（填“＞”，“＜”或“＝”）．
11．（2分）如圖，矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4．以點A為中心，將矩形ABCD旋轉(zhuǎn)得到矩形AB'C'D'，使得點B'落在邊AD上，此時DB'的長為 ．
12．（2分）如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，拋物線y＝ax2+bx+c的對稱軸為直線x＝2，與x軸的一個交點為（1，0），則關(guān)于x的方程ax2+bx+c＝0的解為 ．
13．（2分）如圖，C，D為AB的三等分點，分別以C，D為圓心，CD長為半徑畫弧，兩弧交于點E，F(xiàn)，連接EF．若AB＝9，則EF的長為 ．
14．（2分）1275年，我國南宋數(shù)學(xué)家楊輝在《田畝比類乘除算法》中提出這樣一個問題：直田積八百六十四步，只云闊不及長一十二步．問闊及長各幾步．意思是：矩形面積864平方步，寬比長少12步，問寬和長各幾步．若設(shè)長為x步，則可列方程為 ．
15．（2分）數(shù)學(xué)活動課上，同學(xué)們想測出一個殘損輪子的半徑，小聰?shù)慕鉀Q方案如下：在輪子圓弧上任取兩點A，B，連接AB，再作出AB的垂直平分線，交AB于點C，交于點D，測出AB，CD的長度，即可計算得出輪子的半徑．現(xiàn)測出AB＝4cm，CD＝1cm，則輪子的半徑為 cm．
16．（2分）已知M（x1，y1），N（x2，y2）為拋物線y＝ax2（a≠0）上任意兩點，其中0≤x1＜x2．若對于x2﹣x1＝1，都有|y2﹣y1|≥1，則a的取值范圍是 ．
三、解答題（本題共68分，第17-21題，每小題5分，第22-23題，每小題5分，第24題5分，第25-26題，每小題5分，第27-28題，每小題5分）解答應(yīng)寫出文字說明、演算步驟或證明過程．
17．（5分）解方程：x2﹣8x＝9．
18．（5分）如圖，△ABC是等邊三角形，點D在邊AC上，以CD為邊作等邊△CDE，連接BD，AE．求證：BD＝AE．
19．（5分）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，二次函數(shù)y＝x2+px+q的圖象經(jīng)過點A（0，﹣2），B（2，0）．
（1）求這個二次函數(shù)的解析式；
（2）一次函數(shù)y＝kx+b（k≠0）的圖象也經(jīng)過點A，B，結(jié)合圖象，直接寫出不等式kx+b＞x2+px+q的解集．
20．（5分）如圖，A，B是⊙O上的兩點，C是的中點．求證：∠A＝∠B．
21．（5分）已知：A，B是直線l上的兩點．
求作：△ABC，使得點C在直線l上方，且∠ACB＝150°．
作法：
①分別以A，B為圓心，AB長為半徑畫弧，在直線l下方交于點O；
②以點O為圓心，OA長為半徑畫圓；
③在劣弧上任取一點C（不與A，B重合），連接AC，BC．△ABC就是所求作的三角形．
（1）使用直尺和圓規(guī)，依作法補全圖形（保留作圖痕跡）；
（2）完成下面的證明．
證明：在優(yōu)弧上任取一點M（不與A，B重合），連接AM，BM，OA，OB．
∵OA＝OB＝AB，
∴△OAB是等邊三角形．
∴∠AOB＝60°．
∵A，B，M在⊙O上，
∴∠AMB＝∠AOB（ ）（填推理的依據(jù)）．
∴∠AMB＝30°．
∵四邊形ACBM內(nèi)接于⊙O，
∴∠AMB+∠ACB＝180°（ ）（填推理的依據(jù)）．
∴∠ACB＝150°．
22．（6分）已知關(guān)于x的一元二次方程x2﹣2ax+a2﹣1＝0．
（1）求證：該方程總有兩個不相等的實數(shù)根；
（2）若該方程的兩個根均為負數(shù)，求a的取值范圍．
23．（6分）小明進行鉛球訓(xùn)練，他嘗試利用數(shù)學(xué)模型來研究鉛球的運動情況．他以水平方向為x軸方向，1m為單位長度，建立了如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，鉛球從y軸上的A點出手，運動路徑可看作拋物線，在B點處達到最高位置，落在x軸上的點C處．小明某次試投時的數(shù)據(jù)如圖所示．
（1）在圖中畫出鉛球運動路徑的示意圖；
（2）根據(jù)圖中信息，求出鉛球路徑所在拋物線的表達式；
（3）若鉛球投擲距離（鉛球落地點C與出手點A的水平距離OC的長度）不小于10m，成績?yōu)閮?yōu)秀．請通過計算，判斷小明此次試投的成績是否能達到優(yōu)秀．
24．（5分）關(guān)于x的一元二次方程x2+bx+c＝0經(jīng)過適當(dāng)變形，可以寫成（x﹣m）（x﹣n）＝p（m≤n）的形式．現(xiàn)列表探究x2﹣4x﹣3＝0的變形：
回答下列問題：
（1）表格中t的值為 ；
（2）觀察上述探究過程，表格中m與n滿足的等量關(guān)系為 ；
（3）記x2+bx+c＝0的兩個變形為（x﹣m1）（x﹣n1）＝p1和（x﹣m2）（x﹣n2）＝p2（p1≠p2），則的值為 ．
25．（6分）如圖，AB為⊙O的直徑，弦CD與AB交于點E，∠C＝75°，∠D＝45°．
（1）求∠AEC的度數(shù)；
（2）若AC＝12，求CD的長．
26．（6分）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，拋物線y＝ax2+bx+2（a≠0）經(jīng)過點A（1，﹣1），與y軸交于點B．
（1）直接寫出點B的坐標(biāo)；
（2）點P（m，n）是拋物線上一點，當(dāng)點P在拋物線上運動時，n存在最大值N．
①若N＝2，求拋物線的表達式；
②若﹣9＜a＜﹣2，結(jié)合函數(shù)圖象，直接寫出N的取值范圍．
27．（7分）如圖，已知∠MON＝α（0°＜α＜90°），OP是∠MON的平分線，A，B分別在OP，OM上，且AB∥ON．以點A為中心，將線段AO旋轉(zhuǎn)到AC處，使點O的對應(yīng)點C恰好在射線BM上，在射線ON上取一點D，使得∠BAD＝180°﹣α．
（1）①依題意補全圖；
②求證：OC＝OD+AD；
（2）連接CD，若CD＝OD，求α的度數(shù)，并直接寫出的值．
28．（7分）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，對于第一象限的P，Q兩點，給出如下定義：若y軸正半軸上存在點P'，x軸正半軸上存在點Q'，使PP'∥QQ'，且∠1＝∠2＝α（如圖1），則稱點P與點Q為α﹣關(guān)聯(lián)點．
（1）在點Q1（3，1），Q2（5，2）中，與（1，3）為45°﹣關(guān)聯(lián)點的是 ；
（2）如圖2，M（6，4），N（8，4），P（m，8）（m＞1）．若線段MN上存在點Q，使點P與點Q為45°﹣關(guān)聯(lián)點，結(jié)合圖象，求m的取值范圍；
（3）已知點A（1，8），B（n，6）（n＞1）．若線段AB上至少存在一對30°﹣關(guān)聯(lián)點，直接寫出n的取值范圍．
2021-2022學(xué)年北京市海淀區(qū)九年級（上）期中數(shù)學(xué)試卷
參考答案與試題解析
一、選擇題（本題共16分，每小題2分）第1-8題均有四個選項，符合題意的選項只有一個．
1．（2分）方程x2﹣6x﹣1＝0的二次項系數(shù)、一次項系數(shù)和常數(shù)項分別是（ ）
A．1，﹣6，﹣1B．1，6，1C．0，﹣6，1D．0，6，﹣1
【分析】根據(jù)一元二次方程的一般形式找出a，b，c的值即可．
【解答】解：方程x2﹣6x﹣1＝0，
∴二次項系數(shù)、一次項系數(shù)、常數(shù)項分別是1，﹣6，﹣1．
故選：A．
【點評】此題主要考查了一元二次方程的一般形式，關(guān)鍵是一元二次方程的一般形式是：ax2+bx+c＝0（a，b，c是常數(shù)且a≠0）特別要注意a≠0的條件．這是在做題過程中容易忽視的知識點．在一般形式中ax2叫二次項，bx叫一次項，c是常數(shù)項．其中a，b，c分別叫二次項系數(shù)，一次項系數(shù)，常數(shù)項．
2．（2分）中秋節(jié)是中國的傳統(tǒng)節(jié)日，有“團圓”、“豐收”的寓意．月餅是首選傳統(tǒng)食品，不僅美味，而且設(shè)計多樣．下列月餅圖案中，為中心對稱圖形的是（ ）
A．B．
C．D．
【分析】一個圖形繞某一點旋轉(zhuǎn)180°，如果旋轉(zhuǎn)后的圖形能夠與原來的圖形重合，那么這個圖形就叫做中心對稱圖形．根據(jù)中心對稱圖形的概念對各選項分析判斷即可得解．
【解答】解：選項A、C、D不能找到這樣的一個點，使圖形繞某一點旋轉(zhuǎn)180°后與原圖重合，所以不是中心對稱圖形；
選項C能找到這樣的一個點，使圖形繞某一點旋轉(zhuǎn)180°后與原圖重合，所以是中心對稱圖形；
故選：B．
【點評】本題考查了中心對稱圖形的概念，中心對稱圖形是要尋找對稱中心，旋轉(zhuǎn)180度后與原圖重合．
3．（2分）將拋物線y＝向下平移1個單位長度，得到的拋物線是（ ）
A．B．
C．D．
【分析】根據(jù)“上加下減”的規(guī)律進行解答即可．
【解答】解：將拋物線y＝向下平移1個單位長度，得到的拋物線是：y＝x2﹣1，
故選：A．
【點評】本題考查了二次函數(shù)圖象與幾何變換，熟練掌握平移的規(guī)律：左加右減，上加下減是解題的關(guān)鍵．
4．（2分）用配方法解方程x2+2x﹣3＝0，下列配方結(jié)果正確的是（ ）
A．（x﹣1）2＝2B．（x﹣1）2＝4C．（x+1）2＝2D．（x+1）2＝4
【分析】配方法的一般步驟：
（1）把常數(shù)項移到等號的右邊；
（2）把二次項的系數(shù)化為1；
（3）等式兩邊同時加上一次項系數(shù)一半的平方．
【解答】解：∵x2+2x﹣3＝0
∴x2+2x＝3
∴x2+2x+1＝1+3
∴（x+1）2＝4
故選：D．
【點評】此題考查了配方法解一元二次方程，解題時要注意解題步驟的準(zhǔn)確應(yīng)用．選擇用配方法解一元二次方程時，最好使方程的二次項的系數(shù)為1，一次項的系數(shù)是2的倍數(shù)．
5．（2分）如圖，AB是半圓O的直徑，點C，D在半圓O上．若∠ABC＝50°，則∠BDC的度數(shù)為（ ）
A．90°B．100°C．130°D．140°
【分析】根據(jù)直徑所對的圓周角是直角求得∠ACB＝90°，再根據(jù)直角三角形的兩個銳角互余即可求解∠A，再根據(jù)圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)即可得解．
【解答】解：∵AB是半圓O的直徑，
∴∠ACB＝90°．
又∠ABC＝50°，
∴∠A＝40°，
∵四邊形ABDC為圓O的內(nèi)接四邊形，
∴∠A+∠BDC＝180°，
∴∠BDC＝140°，
故選：D．
【點評】此題考查了圓周角定理、圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)，熟記圓周角定理及圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
6．（2分）如圖，在正三角形網(wǎng)格中，以某點為中心，將△MNP旋轉(zhuǎn)，得到△M1N1P1，則旋轉(zhuǎn)中心是（ ）
A．點AB．點BC．點CD．點D
【分析】根據(jù)對應(yīng)點連線段的垂直平分線的交點即為旋轉(zhuǎn)中心，可得結(jié)論．
【解答】解：線段NN1，線段PP1的垂直平分線的交點為點B，故點B為旋轉(zhuǎn)中心．
故選：B．
【點評】本題考查旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是理解對應(yīng)點連線段的垂直平分線的交點即為旋轉(zhuǎn)中心．
7．（2分）已知拋物線y＝ax2+bx+c，其中ab＜0，c＞0，下列說法正確的是（ ）
A．該拋物線經(jīng)過原點
B．該拋物線的對稱軸在y軸左側(cè)
C．該拋物線的頂點可能在第一象限
D．該拋物線與x軸必有公共點
【分析】根據(jù)拋物線的系數(shù)與圖象的關(guān)系即可求出答案．
【解答】解：拋物線y＝ax2+bx+c，
∵c＞0，
∴拋物線不會經(jīng)過原點，故A錯誤；
∵ab＜0，
∴a、b異號，
∴拋物線在y軸的右側(cè)，故B錯誤；
∴頂點可能在第一象限，也可能在第四象限，故C正確；
當(dāng)a＞0，b＜0時，
∵c＞0，
∴頂點在第一象限，此時拋物線與x軸沒有交點，故D錯誤；
故選：C．
【點評】本題考查二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟練運用二次函數(shù)的圖象與系數(shù)的關(guān)系，本題屬于中等題型．
8．（2分）如圖，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝5，BC＝10．動點M，N分別從A，C兩點同時出發(fā)，點M從點A開始沿邊AC向點C以每秒1個單位長度的速度移動，點N從點C開始沿CB向點B以每秒2個單位長度的速度移動．設(shè)運動時間為t，點M，C之間的距離為y，△MCN的面積為S，則y與t，S與t滿足的函數(shù)關(guān)系分別是（ ）
A．正比例函數(shù)關(guān)系，一次函數(shù)關(guān)系
B．正比例函數(shù)關(guān)系，二次函數(shù)關(guān)系
C．一次函數(shù)關(guān)系，正比例函數(shù)關(guān)系
D．一次函數(shù)關(guān)系，二次函數(shù)關(guān)系
【分析】求出y與t，S與t滿足的函數(shù)關(guān)系式，再根據(jù)函數(shù)的類型進行判斷即可．
【解答】解：由題意得，AM＝t，CN＝2t，
∴MC＝AC﹣AM＝5﹣t，
即y＝5﹣t，
∴S＝MC?CN＝5t﹣t2，
因此y是t的一次函數(shù)，S是t的二次函數(shù)，
故選：D．
【點評】本題考查一次函數(shù)、二次函數(shù)，理解一次函數(shù)、二次函數(shù)的意義是正確解答的前提，求出y與t，S與t的函數(shù)關(guān)系式是正確判斷的關(guān)鍵．
二、填空題（本題共16分，每小題2分）
9．（2分）若點A（5，5）與點B關(guān)于原點對稱，則點B的坐標(biāo)為 （﹣5，﹣5） ．
【分析】根據(jù)兩個點關(guān)于原點對稱時，它們的坐標(biāo)符號相反，即點P（x，y）關(guān)于原點O的對稱點是P′（﹣x，﹣y），進而得出答案．
【解答】解：若點A（5，5）與點B關(guān)于原點對稱，則點B的坐標(biāo)為（﹣5，﹣5）．
故答案為：（﹣5，﹣5）．
【點評】此題主要考查了關(guān)于原點對稱點的性質(zhì)，正確記憶關(guān)于原點對稱點的性質(zhì)是解題關(guān)鍵．
10．（2分）若點（0，a），（3，b）都在二次函數(shù)y＝（x﹣1）2的圖象上，則a與b的大小關(guān)系是：a ＜ b（填“＞”，“＜”或“＝”）．
【分析】先根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)得到拋物線的對稱軸為直線x＝1，然后比較兩個點離直線x＝1的遠近得到a、b的大小關(guān)系．
【解答】解：∵y＝（x﹣1）2，
∴拋物線開口向上，對稱軸是直線x＝1，
∴點（3，b）離直線x＝1遠，點點（0，a）離直線x＝1較近，
∴a＜b，
故答案為：＜．
【點評】本題考查了二次函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特征，熟練掌握二次函數(shù)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
11．（2分）如圖，矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4．以點A為中心，將矩形ABCD旋轉(zhuǎn)得到矩形AB'C'D'，使得點B'落在邊AD上，此時DB'的長為 1 ．
【分析】根據(jù)DB′＝AD﹣AB′，可得結(jié)論．
【解答】解：∵四邊形ABCD是矩形，
∴∠BAD＝90°，AD＝BC＝4，
由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知，AB＝AB′＝3，
∴DB′＝AD﹣AB′＝4﹣3＝1，
故答案為：1．
【點評】本題考查旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，矩形的性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是掌握旋轉(zhuǎn)變換的性質(zhì)，屬于中考常考題型．
12．（2分）如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，拋物線y＝ax2+bx+c的對稱軸為直線x＝2，與x軸的一個交點為（1，0），則關(guān)于x的方程ax2+bx+c＝0的解為 x＝1或x＝3 ．
【分析】根據(jù)拋物線的軸對稱性質(zhì)得到拋物線與x軸的另一個交點坐標(biāo)，由此求得關(guān)于x的方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的兩根．
【解答】解：∵拋物線y＝ax2+bx+c的對稱軸為直線x＝2，與x軸的一個交點為（1，0），
∴拋物線與x軸的另一個交點坐標(biāo)為（3，0），
∴關(guān)于x的方程ax2+bx+c＝0的解為x＝1或x＝3，
故答案為：x＝1或x＝3．
【點評】本題主要考查了拋物線與x軸的交點，二次函數(shù)的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是求得拋物線與x軸的兩個交點坐標(biāo)．
13．（2分）如圖，C，D為AB的三等分點，分別以C，D為圓心，CD長為半徑畫弧，兩弧交于點E，F(xiàn)，連接EF．若AB＝9，則EF的長為 3 ．
【分析】連接CE、ED、DF、FC，根據(jù)菱形的判定與性質(zhì)可得CO＝，然后根據(jù)勾股定理及菱形的性質(zhì)可得答案．
【解答】解：連接CE、ED、DF、FC，
∵C，D為AB的三等分點，AB＝9，
∴AC＝CD＝DB＝3，
∴四邊形ECFD是菱形，
∴CD、EF互相垂直平分，設(shè)CD、EF的交點為O，
∴CO＝，
∵∠COF＝90°，
∴OF＝＝＝，
∴EF＝2OF＝3．
故答案為：3．
【點評】此題考查的是線段的垂直平分線的性質(zhì)、菱形的判定與性質(zhì)、勾股定理等知識，正確作出輔助線是解決此題關(guān)鍵．
14．（2分）1275年，我國南宋數(shù)學(xué)家楊輝在《田畝比類乘除算法》中提出這樣一個問題：直田積八百六十四步，只云闊不及長一十二步．問闊及長各幾步．意思是：矩形面積864平方步，寬比長少12步，問寬和長各幾步．若設(shè)長為x步，則可列方程為 x（x﹣12）＝864 ．
【分析】由長和寬之間的關(guān)系可得出寬為（x﹣12）步，根據(jù)矩形的面積為864平方步，即可得出關(guān)于x的一元二次方程，此題得解．
【解答】解：∵長為x步，寬比長少12步，
∴寬為（x﹣12）步．
依題意，得：x（x﹣12）＝864．
【點評】本題考查了由實際問題抽象出一元二次方程以及數(shù)學(xué)常識，找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出一元二次方程是解題的關(guān)鍵．
15．（2分）數(shù)學(xué)活動課上，同學(xué)們想測出一個殘損輪子的半徑，小聰?shù)慕鉀Q方案如下：在輪子圓弧上任取兩點A，B，連接AB，再作出AB的垂直平分線，交AB于點C，交于點D，測出AB，CD的長度，即可計算得出輪子的半徑．現(xiàn)測出AB＝4cm，CD＝1cm，則輪子的半徑為 cm．
【分析】由垂徑定理，可得出BC的長；連接OB，在Rt△OBC中，可用半徑OB表示出OC的長，進而可根據(jù)勾股定理求出得出輪子的半徑，即可得出輪子的直徑長．
【解答】解：設(shè)圓心為O，連接OB．
Rt△OBC中，BC＝AB＝2cm，
根據(jù)勾股定理得：
OC2+BC2＝OB2，即：
（OB﹣1）2+22＝OB2，
解得：OB＝2.5；
故輪子的半徑為cm．
故答案為：．
【點評】本題考查垂徑定理，勾股定理等知識，解題的關(guān)鍵是學(xué)會添加常用輔助線，構(gòu)造直角三角形解決問題．
16．（2分）已知M（x1，y1），N（x2，y2）為拋物線y＝ax2（a≠0）上任意兩點，其中0≤x1＜x2．若對于x2﹣x1＝1，都有|y2﹣y1|≥1，則a的取值范圍是 a≥1或a≤﹣1 ．
【分析】由點M、N是拋物線上的點得到y(tǒng)1＝ax12、y2＝ax22，然后代入|y2﹣y1|≥1中，結(jié)合x2﹣x1＝1和0≤x1＜x2求出a的取值范圍．
【解答】解：由題意得，y1＝ax12、y2＝ax22，
∴|y2﹣y1|＝|ax12﹣ax22|＝|a（x1+x2）|，
∵|y2﹣y1|≥1，x2﹣x1＝1，
∴|a|≥恒成立，
∴|a|≥最大值，
∵0≤x1，
∴2x1+1≥1，
∴≤1，
∴|a|≥1，
∴a≥1或 a≤﹣1，
故答案為：a≥1或 a≤﹣1．
【點評】本題考查了二次函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特征，解題的關(guān)鍵是通過二次函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特征代入|y2﹣y1|≥1求得關(guān)于a與x的不等式．
三、解答題（本題共68分，第17-21題，每小題5分，第22-23題，每小題5分，第24題5分，第25-26題，每小題5分，第27-28題，每小題5分）解答應(yīng)寫出文字說明、演算步驟或證明過程．
17．（5分）解方程：x2﹣8x＝9．
【分析】利用配方法求解即可．
【解答】解：∵x2﹣8x＝9，
∴x2﹣8x+16＝25，
∴（x﹣4）2＝5，
則x﹣4＝±5，
∴x1＝9，x2＝﹣1．
【點評】本題主要考查解一元二次方程的能力，熟練掌握解一元二次方程的幾種常用方法：直接開平方法、因式分解法、公式法、配方法，結(jié)合方程的特點選擇合適、簡便的方法是解題的關(guān)鍵．
18．（5分）如圖，△ABC是等邊三角形，點D在邊AC上，以CD為邊作等邊△CDE，連接BD，AE．求證：BD＝AE．
【分析】根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)和SAS證明△BCD與△ACE全等，進而利用全等三角形的性質(zhì)解答即可．
【解答】證明：∵△ABC，△CDE均為等邊三角形，
∴AC＝BC，CD＝CE，∠ACB＝∠ACE＝60°．
在△BCD與△ACE中，
，
∴△BCD≌△ACE（SAS），
∴BD＝AE．
【點評】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)．證明三角形全等是解題的關(guān)鍵．
19．（5分）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，二次函數(shù)y＝x2+px+q的圖象經(jīng)過點A（0，﹣2），B（2，0）．
（1）求這個二次函數(shù)的解析式；
（2）一次函數(shù)y＝kx+b（k≠0）的圖象也經(jīng)過點A，B，結(jié)合圖象，直接寫出不等式kx+b＞x2+px+q的解集．
【分析】（1）把A、B的坐標(biāo)代入y＝x2+px+q，根據(jù)待定系數(shù)法求得即可；
（2）根據(jù)圖象即可求得一次函數(shù)圖象在二次函數(shù)圖象上方的x的取值范圍．
【解答】解：（1）∵二次函數(shù)y＝x2+px+q的圖象經(jīng)過點A（0，﹣2），B（2，0），
∴，
解得，
∴二次函數(shù)的解析式為y＝x2﹣x﹣2．
（2）由圖象可知，不等式kx+b＞x2+px+q的解集為0＜x＜2．
【點評】本題考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式，二次函數(shù)與不等式組，數(shù)形結(jié)合是解題的關(guān)鍵．
20．（5分）如圖，A，B是⊙O上的兩點，C是的中點．求證：∠A＝∠B．
【分析】連接OC．證明△AOC≌△BOC（SAS），可得結(jié)論．
【解答】證明：連接OC．
∵C是的中點，
∴，
∴∠AOC＝∠BOC，
在△AOC和△BOC中，
，
∴△AOC≌△BOC（SAS），
∴∠A＝∠B．
【點評】本題考查圓周角定理，全等三角形的判定和性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是利用全等三角形的性質(zhì)解決問題，屬于中考?？碱}型．
21．（5分）已知：A，B是直線l上的兩點．
求作：△ABC，使得點C在直線l上方，且∠ACB＝150°．
作法：
①分別以A，B為圓心，AB長為半徑畫弧，在直線l下方交于點O；
②以點O為圓心，OA長為半徑畫圓；
③在劣弧上任取一點C（不與A，B重合），連接AC，BC．△ABC就是所求作的三角形．
（1）使用直尺和圓規(guī)，依作法補全圖形（保留作圖痕跡）；
（2）完成下面的證明．
證明：在優(yōu)弧上任取一點M（不與A，B重合），連接AM，BM，OA，OB．
∵OA＝OB＝AB，
∴△OAB是等邊三角形．
∴∠AOB＝60°．
∵A，B，M在⊙O上，
∴∠AMB＝∠AOB（ 在同圓中，一條弧所對的圓周角等于它所對的圓心角的一半 ）（填推理的依據(jù)）．
∴∠AMB＝30°．
∵四邊形ACBM內(nèi)接于⊙O，
∴∠AMB+∠ACB＝180°（ 圓內(nèi)接四邊形對角互補 ）（填推理的依據(jù)）．
∴∠ACB＝150°．
【分析】（1）根據(jù)題意補全圖形；
（2）根據(jù)畫圖過程得出△OAB是等邊三角形，則∠AOB＝60°，根據(jù)圓周角定理得出∠AMB＝30°，再根據(jù)圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)即可得解．
【解答】解：（1）如圖即為所求，
（2）證明：在優(yōu)弧上任取一點M（不與A，B重合），連接AM，BM，OA，OB，
∵OA＝OB＝AB，
∴△OAB是等邊三角形，
∴∠AOB＝60°，
∵A，B，M在⊙O上，
∴∠AMB＝∠AOB（在同圓中，一條弧所對的圓周角等于它所對的圓心角的一半），
∴∠AMB＝30°，
∵四邊形ACBM內(nèi)接于⊙O，
∴∠AMB+∠ACB＝180°（圓內(nèi)接四邊形對角互補），
∴∠ACB＝150°．
故答案為：在同圓中，一條弧所對的圓周角等于它所對的圓心角的一半；圓內(nèi)接四邊形對角互補．
【點評】此題是圓的綜合題，考查了圓周角定理、圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)等知識，熟練掌握圓周角定理、圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
22．（6分）已知關(guān)于x的一元二次方程x2﹣2ax+a2﹣1＝0．
（1）求證：該方程總有兩個不相等的實數(shù)根；
（2）若該方程的兩個根均為負數(shù)，求a的取值范圍．
【分析】（1）求出方程的判別式Δ的值，利用配方法得出Δ≥0，根據(jù)判別式的意義即可證明；
（2）根據(jù)題意得不等式組，解不等式組求得a的取值范圍即可．
【解答】（1）證明：依題意，得Δ＝（﹣2a）2﹣4（a2﹣1）＝4a2﹣4a2+4＝4，
∵Δ＞0，
∴該方程總有兩個不相等的實數(shù)根；
（2）解：解方程x2﹣2ax+a2﹣1＝0，得x1＝a﹣1，x2＝a+1，
∵方程的兩個根均為負數(shù)，
∴
解得a＜﹣1．
∴a的取值范圍為a＜﹣1．
【點評】本題考查了一元二次方程ax2+bx+c＝0根的判別式，用到的知識點：（1）Δ＞0?方程有兩個不相等的實數(shù)根；（2）Δ＝0?方程有兩個相等的實數(shù)根；（3）Δ＜0?方程沒有實數(shù)根．
23．（6分）小明進行鉛球訓(xùn)練，他嘗試利用數(shù)學(xué)模型來研究鉛球的運動情況．他以水平方向為x軸方向，1m為單位長度，建立了如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，鉛球從y軸上的A點出手，運動路徑可看作拋物線，在B點處達到最高位置，落在x軸上的點C處．小明某次試投時的數(shù)據(jù)如圖所示．
（1）在圖中畫出鉛球運動路徑的示意圖；
（2）根據(jù)圖中信息，求出鉛球路徑所在拋物線的表達式；
（3）若鉛球投擲距離（鉛球落地點C與出手點A的水平距離OC的長度）不小于10m，成績?yōu)閮?yōu)秀．請通過計算，判斷小明此次試投的成績是否能達到優(yōu)秀．
【分析】（1）根據(jù)題意畫出圖象即可；
（2）設(shè)該拋物線的表達式為y＝a（x﹣4）2+3，由拋物線過點A得到16a+3＝2．求得，于是得到結(jié)論；
（3）根據(jù)題意解方程即可得到結(jié)論．
【解答】解：（1）如圖所示．
（2）解：依題意，拋物線的頂點B的坐標(biāo)為（4，3），點A的坐標(biāo)為（0，2）．
設(shè)該拋物線的表達式為y＝a（x﹣4）2+3，
由拋物線過點A，有16a+3＝2．
解得，
∴該拋物線的表達式為；
（3）解：令y＝0，得．
解得，（C在x軸正半軸，故舍去）．
∴點C的坐標(biāo)為（，0）．
∴．
由，可得．
∴小明此次試投的成績達到優(yōu)秀．
【點評】本題考查了二次函數(shù)在實際問題中的應(yīng)用，正確建立平面直角坐標(biāo)系、熟練掌握待定系數(shù)法及二次函數(shù)與一元二次方程的關(guān)系是解題的關(guān)鍵．
24．（5分）關(guān)于x的一元二次方程x2+bx+c＝0經(jīng)過適當(dāng)變形，可以寫成（x﹣m）（x﹣n）＝p（m≤n）的形式．現(xiàn)列表探究x2﹣4x﹣3＝0的變形：
回答下列問題：
（1）表格中t的值為 3 ；
（2）觀察上述探究過程，表格中m與n滿足的等量關(guān)系為 m+n＝4 ；
（3）記x2+bx+c＝0的兩個變形為（x﹣m1）（x﹣n1）＝p1和（x﹣m2）（x﹣n2）＝p2（p1≠p2），則的值為 ﹣1 ．
【分析】（1）先把方程兩邊加上6，然后把方程左邊因式分解，從而得到t的值；
（2）利用表中數(shù)據(jù)得到m與n的和為一次項系數(shù)的相反數(shù)；
（3）由（2）的結(jié)論得到m1+n1＝﹣b，m2+n2＝﹣b，則m1+n1＝m2+n2，從而得到的值．
【解答】解：（1）x2﹣4x﹣3+6＝6，
x2﹣4x+3＝6，
（x﹣1）（x﹣3）＝6，
所以t＝3；
故答案為3；
（2）﹣1+5＝4，
0+4＝4，
1+3＝4，
2+2＝4，
所以m+n為一次項系數(shù)的相反數(shù)，
即m+n＝4；
故答案為m+n＝4；
（3）由（2）的結(jié)論得到m1+n1＝﹣b，m2+n2＝﹣b，
所以m1+n1＝m2+n2，
即n1﹣n2＝﹣（m1﹣m2），
∴＝﹣1．
故答案為﹣1．
【點評】本題考查了解一元二次方程，熟練掌握利用公式法、因式分解法和配方法解一元二次方程．
25．（6分）如圖，AB為⊙O的直徑，弦CD與AB交于點E，∠C＝75°，∠D＝45°．
（1）求∠AEC的度數(shù)；
（2）若AC＝12，求CD的長．
【分析】（1）根據(jù)圓周角定理得到∠A＝∠D＝45°，再根據(jù)三角形內(nèi)角和定理即可得解；
（2）連接OC，過O作OH⊥CD于H，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)推出∠AOC＝90°，根據(jù)勾股定理求出OC＝6，根據(jù)含30°的直角三角形的性質(zhì)得出OH＝3，進而得到CH＝3，再根據(jù)垂徑定理即可得解．
【解答】（1）解：∵A，D在⊙O上，∠D＝45°，
∴∠A＝∠D＝45°，
∵∠C＝75°，
∴在△ACE中，∠AEC＝180°﹣∠A﹣∠C＝60°；
（2）解：連接OC，過O作OH⊥CD于H，
∵OA＝OC，∠A＝45°，
∴∠ACO＝∠A＝45°，
∴∠AOC＝180°﹣45°﹣45°＝90°，
Rt△AOC中，AO2+OC2＝AC2，AC＝12，
∴，
∵∠ACD＝75°，
∴∠OCD＝∠ACD﹣∠ACO＝30°，
∴，
∴，
∵OH⊥CD于H，
∴．
【點評】此題考查了圓周角定理、垂徑定理，熟記圓周角定理、垂徑定理并作出合理的輔助線是解題的關(guān)鍵．
26．（6分）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，拋物線y＝ax2+bx+2（a≠0）經(jīng)過點A（1，﹣1），與y軸交于點B．
（1）直接寫出點B的坐標(biāo)；
（2）點P（m，n）是拋物線上一點，當(dāng)點P在拋物線上運動時，n存在最大值N．
①若N＝2，求拋物線的表達式；
②若﹣9＜a＜﹣2，結(jié)合函數(shù)圖象，直接寫出N的取值范圍．
【分析】（1）根據(jù)y軸上點的坐標(biāo)特征求得即可；
（2）①由題意得拋物線的頂點為（0，2），把A（1，﹣1）代入即可求出a的值，繼而求出拋物線的表達式；
②把點A（1，﹣1）代入y＝ax2+bx+2得出a與b的關(guān)系，再把a＝﹣9和a＝﹣3代入求出對應(yīng)b的值，從而求出拋物線解析式，利用解析式求出最大值，即可得到N的取值范圍．
【解答】解：（1）把x＝0代入y＝ax2+bx+2得，y＝2，
∴B（0，2）；
（2）①依題意，當(dāng)N＝2時，該拋物線的頂點為（0，2），
設(shè)拋物線的解析式為y＝ax2+2，
由拋物線過A（1，﹣1），得a+2＝﹣1，
解得a＝﹣3，
∴拋物線的表達式為y＝﹣3x2+2；
②∵拋物線y＝ax2+bx+2（a≠0）經(jīng)過點A（1，﹣1），
∴﹣1＝a+b+2，
∴b＝﹣3﹣a，
當(dāng)a＝﹣9時，b＝﹣3﹣a＝6，則y＝﹣9x2+6x+2，
此時，函數(shù)有最大值＝＝3，
當(dāng)a＝﹣2時，b＝﹣3﹣a，則y＝﹣2x2﹣x+2，
此時，函數(shù)有最大值為，
∵y＝＝2﹣，在a＝﹣3時，乘積會有最小值，最小值為0，
因此，這個代數(shù)式的最小值應(yīng)該是2﹣0＝2，
∴2≤N＜3．
【點評】本題考查了二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，用待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式，掌握二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)及最值的求法是解決問題的關(guān)鍵．
27．（7分）如圖，已知∠MON＝α（0°＜α＜90°），OP是∠MON的平分線，A，B分別在OP，OM上，且AB∥ON．以點A為中心，將線段AO旋轉(zhuǎn)到AC處，使點O的對應(yīng)點C恰好在射線BM上，在射線ON上取一點D，使得∠BAD＝180°﹣α．
（1）①依題意補全圖；
②求證：OC＝OD+AD；
（2）連接CD，若CD＝OD，求α的度數(shù)，并直接寫出的值．
【分析】（1）①根據(jù)要求作出圖形．
②證明△ABC≌△ADO（ASA），可得結(jié)論．
（2）證明△ADC≌△ADO（SSS），推出∠DCA＝∠DOA＝，再利用三角形內(nèi)角和定理，構(gòu)建方程求解即可．
【解答】（1）解：①補全圖形，如圖．
②證明：
∵OP平分∠MON，∠MON＝α，
∴∠AOC＝∠AON＝＝，
∵AB∥ON，
∴∠BAO＝∠AON，
∴∠BAO＝∠AOC，
∴AB＝BO，
∵由旋轉(zhuǎn)，AO＝AC，
∴∠AOC＝∠ACO＝，
∴∠ACO＝∠AON，
∠OAC＝180°﹣α，
∵∠BAD＝180°﹣α，
∴∠OAC＝∠BAD，
∴∠BAC＝∠DAO，
∴△ABC≌△ADO（ASA），
∴AB＝AD，CB＝OD，
∴BO＝AD，
∵OC＝CB+BO，
∴OC＝OD+AD．
（2）如圖所示，
∵AB∥ON，
∴∠BAD+∠ADO＝180°，
∵∠BAD＝180°﹣α，
∴∠ADO＝α，
∵AC＝AO，CD＝OD，AD＝AD，
∴△ADC≌△ADO（SSS），
∴∠DCA＝∠DOA＝，
∠CDA＝∠ODA＝α，
在△CDO中，∠OCD+∠CDO+∠DOC＝180°，
∴4α＝180°，
∴α＝45°，
此時，的值為．
【點評】本題屬于幾何變換綜合題，考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)變換等知識，解題的關(guān)鍵是正確尋找全等三角形解決問題，屬于中考壓軸題．
28．（7分）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，對于第一象限的P，Q兩點，給出如下定義：若y軸正半軸上存在點P'，x軸正半軸上存在點Q'，使PP'∥QQ'，且∠1＝∠2＝α（如圖1），則稱點P與點Q為α﹣關(guān)聯(lián)點．
（1）在點Q1（3，1），Q2（5，2）中，與（1，3）為45°﹣關(guān)聯(lián)點的是 Q1 ；
（2）如圖2，M（6，4），N（8，4），P（m，8）（m＞1）．若線段MN上存在點Q，使點P與點Q為45°﹣關(guān)聯(lián)點，結(jié)合圖象，求m的取值范圍；
（3）已知點A（1，8），B（n，6）（n＞1）．若線段AB上至少存在一對30°﹣關(guān)聯(lián)點，直接寫出n的取值范圍．
【分析】（1）過點P作PA⊥y軸于點A，過點Q作QB⊥x軸于點B，由P點的坐標(biāo)得出△APP'和△P'Q'O都是等腰直角三角形，得出△Q'BQ是等腰直角三角形，則可得出答案；
（2）由點P與點Q為45°﹣關(guān)聯(lián)可知點P'為（0，8﹣m），Q'為（8﹣m，0），求出關(guān)聯(lián)點所在直線表達式，將y＝4代入求出橫坐標(biāo)，根據(jù)點Q在線段MN上可表示出橫坐標(biāo)的取值范圍，即可得出答案；
（3）由題意畫出圖形，由直角三角形的性質(zhì)可得出答案．
【解答】解：（1）過點P作PA⊥y軸于點A，過點Q作QB⊥x軸于點B，
∵P（1，3），α＝45°，
∴∠1＝∠2＝45°，
∴∠PP'Q'＝90°，∠P'Q'O＝45°，
∴△APP'和△P'Q'O都是等腰直角三角形，
∴AP'＝AP＝1，
∴OQ'＝OP'＝AO﹣AP'＝3﹣1＝2，
∵PP'∥QQ'，
∴∠P'Q'Q＝90°，
∴∠QQ'B＝45°，
∴△Q'BQ是等腰直角三角形，
∴當(dāng)Q'B＝BQ＝1時，點Q的坐標(biāo)為（3，1），
∴與（1，3）為45°﹣關(guān)聯(lián)點的是Q1（3，1）．
故答案為Q1；
（2）如圖所示，
對點P（m，8）（m＞1）而言，依定義，要使∠1＝∠2＝α＝45°，
則有：P'為（0，8﹣m），Q'為（8﹣m，0），
于是函數(shù)y＝x﹣（8﹣m）（x＞8﹣m）上的點Q即為點P的45°﹣關(guān)聯(lián)點．
若當(dāng)點Q在線段MN上時，yQ＝4，則有xQ＝12﹣m．
由6≤xQ≤8，得6≤12﹣m≤8，
解得4≤m≤6．
（3）．
∵點Q和點P在線段AB上，
當(dāng)點P離B越近時，點Q的橫坐標(biāo)越小，
∴當(dāng)點P，Q，B三點重合時，點P'，點Q'和點O重合，
過點P作PM⊥y軸于點M，
∵α＝30°，
∴∠BOM＝30°，
∵B（n，6），
∴OM＝6，
∴n＝BM＝OM?tan30°＝6×，
∴當(dāng)線段AB上至少存在一對30°﹣關(guān)聯(lián)點時，n＞2．
∴n的取值范圍是n＞2．
【點評】本題考查一次函數(shù)綜合題，考查了等腰直角三角形的性質(zhì)，點P與點Q為α﹣關(guān)聯(lián)點的新定義等知識，解題的關(guān)鍵是理解題意，學(xué)會利用特殊位置解決問題，屬于中考壓軸題．
聲明：試題解析著作權(quán)屬菁優(yōu)網(wǎng)所有，未經(jīng)書面同意，不得復(fù)制發(fā)布日期：2024/7/22 19:16:58；用戶：菁優(yōu)校本題庫；郵箱：2471@xyh.cm；學(xué)號：56380052變形
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