2021-2022學(xué)年北京市西城外國語學(xué)校九年級（上）期中數(shù)學(xué)試卷【含解析】

這是一份2021-2022學(xué)年北京市西城外國語學(xué)校九年級（上）期中數(shù)學(xué)試卷【含解析】，共37頁。試卷主要包含了選擇題，填空題，解答題等內(nèi)容，歡迎下載使用。
1．（2分）如圖，A、B、C是⊙O上的三點，若∠C＝40°，則∠AOB的度數(shù)是（ ）
A．40°B．50°C．55°D．80°
2．（2分）下列圖形中，既是中心對稱圖形，又是軸對稱圖形的是（ ）
A．B．
C．D．
3．（2分）將拋物線y＝﹣2x2先向右平移1個單位，再向上平移3個單位，得到的拋物線是（ ）
A．y＝﹣2（x+1）2+3B．y＝﹣2（x﹣1）2﹣3
C．y＝﹣2（x+1）2﹣3D．y＝﹣2（x﹣1）2+3
4．（2分）如圖，在△ABC中，以點C為中心，將△ABC順時針旋轉(zhuǎn)25°得到△DEC，邊DE，AC相交于點F，若∠A＝35°，則∠EFC的度數(shù)為（ ）
A．50°B．60°C．70°D．120°
5．（2分）下列關(guān)于二次函數(shù)y＝3x2的說法正確的是（ ）
A．它的圖象經(jīng)過點（﹣1，﹣3）
B．它的圖象的對稱軸是直線x＝3
C．當x＝0時，y有最大值為0
D．當x＜0時，y隨x的增大而減小
6．（2分）已知二次函數(shù)y＝ax2+bx+c的部分圖象如圖所示，則使得函數(shù)值y大于2的自變量x的取值可以是（ ）
A．﹣4B．﹣2C．0D．2
7．（2分）如圖，點O為線段AB的中點，點B，C，D到點O的距離相等，連接AC，BD．則下面結(jié)論不一定成立的是（ ）
A．∠ACB＝90°B．∠BDC＝∠BAC
C．AC平分∠BADD．∠BCD+∠BAD＝180°
8．（2分）如圖，點M坐標為（0，2），點A坐標為（2，0），以點M為圓心，MA為半徑作⊙M，與x軸的另一個交點為B，點C是⊙M上的一個動點，連接BC，AC，點D是AC的中點，連接OD，當線段OD取得最大值時，點D的坐標為（ ）
A．（0，）B．（1，）C．（2，2）D．（2，4）
二、填空題（本題共16分，每小題2分）
9．（2分）寫出一個二次函數(shù)，使得它有最大值，這個二次函數(shù)的解析式可以是 ．
10．（2分）二次函數(shù)y＝ax2+bx+c的圖象如圖所示，那么b 0，c 0（填“＞”，“＝”，或“＜”）．
11．（2分）如圖，將△ABC繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)90°得到△ADE，點C和點E是對應(yīng)點，若AB＝1，則BD＝ ．
12．（2分）如圖，正六邊形ABCDEF內(nèi)接于⊙O，⊙O的半徑為6，則的長為 ．
13．（2分）如圖，PA，PB是⊙O的切線，切點分別是點A和B，AC是⊙O的直徑．若∠P＝60°，PA＝6，則BC的長為 ．
14．（2分）點O是正五邊形ABCDE的中心，分別以各邊為直徑向正五邊形的外部作半圓，組成了一幅美麗的圖案（如圖）．這個圖案繞點O至少旋轉(zhuǎn) °后能與原來的圖案互相重合．
15．（2分）如圖，在平面直角坐標系xOy中，點A，B，C的坐標分別是（0，2），（2，0），（4，0），⊙M是△ABC的外接圓，則圓心M的坐標為 ，⊙M的半徑為 ．
16．（2分）二次函數(shù)y＝ax2+bx+c的圖象經(jīng)過A（0，y1），B（2，﹣1），C（4，y2）三點，其中y2＞y1＞﹣1．下面四個結(jié)論中：
①拋物線開口向下；
②當x＝2時，y取最小值﹣1；
③當m＞﹣1時，一元二次方程ax2+bx+c＝m必有兩個不相等的實數(shù)根；
④直線y＝kx+c（k≠0）經(jīng)過點A，C，當kx+c＜ax2+bx+c時，x的取值范圍是x＜0或x＞4．
正確的結(jié)論有 ．（填序號）
三、解答題（本題共68分，第17-22題，每小題5分，第23-26題，每小題5分，第27，28題，每小題5分）
17．（5分）下面是小華設(shè)計的“作∠AOB的角平分線”的尺規(guī)作圖過程，請幫助小華完成尺規(guī)作圖并填空（保留作圖痕跡）．
18．（5分）已知關(guān)于x的二次函數(shù)y＝2x2+bx+c，它的圖象經(jīng)過點（0，﹣3）和（2，﹣3）．
（1）求這個二次函數(shù)的表達式及頂點坐標；
（2）將這個二次函數(shù)的圖象沿x軸平移，使其頂點恰好落在y軸上，請直接寫出平移后的函數(shù)表達式．
19．（5分）如圖，AB是⊙O的一條弦，過點O作OC⊥AB于D，交⊙O于點C，點E在⊙O上，且∠AEC＝30°，連接OB．
（1）求∠BOC的度數(shù)；
（2）若CD＝4，求AB的長．
20．（5分）已知二次函數(shù)y＝x2﹣4x+3．
（1）將二次函數(shù)化成y＝a（x﹣h）2+k的形式；
（2）在平面直角坐標系中畫出y＝x2﹣4x+3的圖象．
（3）當1＜x＜4時，結(jié)合函數(shù)圖象，直接寫出y的取值范圍．
21．（5分）如圖，等腰三角形ABC中，BA＝BC，∠ABC＝α．作CD⊥AB于點D，將線段BD繞點B逆時針旋轉(zhuǎn)角α后得到線段BE，連接AE．求證：BE⊥AE．
22．（5分）如圖，△ABC的頂點坐標分別為A（﹣3，3），B（0，1），C（﹣1，﹣1）．
（1）請畫出△ABC關(guān)于點B成中心對稱的△A1BC1，并寫出點A1，C1的坐標；
（2）四邊形AC1A1C的面積為 ．
23．（6分）如圖，AB為⊙O的直徑，點C在AB的延長線上，CD與⊙O相切于D，過點B作BE∥CD交⊙O于點E，連接AD，AE，∠EAD＝22.5°．若BE＝4，求⊙O的半徑．
24．（6分）材料1：昌平南環(huán)大橋是經(jīng)典的懸索橋，當今大跨度橋梁大多采用此種結(jié)構(gòu)．此種橋梁各結(jié)構(gòu)的名稱如圖1所示，其建造原理是在兩邊高大的橋塔之間，懸掛著主索，再以相應(yīng)的間隔，從主索上設(shè)置豎直的吊索，與橋面垂直，并連接橋面，承接橋面的重量，主索的幾何形態(tài)近似符合拋物線．
材料2：如圖2，某一同類型懸索橋，兩橋塔AD＝BC＝10m，間距AB為32m，橋面AB水平，主索最低點為點P，點P距離橋面為2m．
（1）請你建立適當?shù)钠矫嬷苯亲鴺讼担蟪鲋魉鲯佄锞€的表達式；
（2）距離點P水平距離為4m和8m處的吊索共四條需要更換，求四條吊索的總長度．
25．（6分）如圖，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，點D為BC邊的中點，以AD為直徑作⊙O，分別與AB，AC交于點E，F(xiàn)，過點E作EG⊥BC于G．
（1）求證：EG是⊙O的切線；
（2）若AF＝6，⊙O的半徑為5，求BE的長．
26．（6分）在平面直角坐標系xOy中，已知拋物線y＝x2﹣2mx+m2﹣1．
（1）當m＝3時，求拋物線的頂點坐標；
（2）①求拋物線的對稱軸（用含m的式子表示）；
②若當1≤x≤2時，y的最小值是0，請直接寫出m的值；
（3）直線y＝x+b與x軸交于點A（﹣3，0），與y軸交于點B，過點B作垂直于y軸的直線l與拋物線y＝x2﹣2mx+m2﹣1有兩個交點，在拋物線對稱軸左側(cè)的點記為P，當△OAP為鈍角三角形時，求m的取值范圍．
27．（7分）已知∠MON＝90°，點A在邊OM上，點P是邊ON上一動點，∠OAP＝α，將線段AP繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)60°，得到線段AB，連接OB，再將線段OB繞點O順時針旋轉(zhuǎn)60°，得到線段OC，作CH⊥ON于點H．
（1）如圖1，α＝60°．
①依題意補全圖形；
②連接BP，求∠BPH的度數(shù)；
（2）如圖2，當點P在射線ON上運動時，用等式表示線段OA與CH之間的數(shù)量關(guān)系，并證明．
28．（7分）對于平面內(nèi)點P和⊙G，給出如下定義：T是⊙G上任意一點，點P繞點T旋轉(zhuǎn)180°后得到點P'，則稱點P'為點P關(guān)于⊙G的旋轉(zhuǎn)點．如圖為點P及其關(guān)于⊙G的旋轉(zhuǎn)點P'的示意圖．
在平面直角坐標系xOy中，⊙O的半徑為1，點P（0，﹣2）．
（1）在點A（﹣1，0），B（0，4），C（2，2）中，是點P關(guān)于⊙O的旋轉(zhuǎn)點的是 ；
（2）若在直線y＝x+b上存在點P關(guān)于⊙O的旋轉(zhuǎn)點，求b的取值范圍；
（3）若點D在⊙O上，⊙D的半徑為1，點P關(guān)于⊙D的旋轉(zhuǎn)點為點P'，請直接寫出點P'的橫坐標xP′的取值范圍．
2021-2022學(xué)年北京市西城外國語學(xué)校九年級（上）期中數(shù)學(xué)試卷
參考答案與試題解析
一、選擇題（本題共16分，每小題2分）
1．（2分）如圖，A、B、C是⊙O上的三點，若∠C＝40°，則∠AOB的度數(shù)是（ ）
A．40°B．50°C．55°D．80°
【分析】直接根據(jù)圓周角定理即可得出結(jié)論．
【解答】解：∵∠C與∠AOB是同弧所對的圓周角與圓心角，∠C＝40°，
∴∠AOB＝2∠C＝80°．
故選：D．
【點評】本題考查的是圓周角定理，熟知在同圓或等圓中，同弧或等弧所對的圓周角相等，都等于這條弧所對的圓心角的一半是解答此題的關(guān)鍵．
2．（2分）下列圖形中，既是中心對稱圖形，又是軸對稱圖形的是（ ）
A．B．
C．D．
【分析】根據(jù)軸對稱圖形與中心對稱圖形的概念求解．
【解答】解：A．既是中心對稱圖形，又是軸對稱圖形，故此選項符合題意；
B．是軸對稱圖形，不是中心對稱圖形，故此選項不合題意；
C．不是軸對稱圖形，是中心對稱圖形，故此選項不合題意；
D．是軸對稱圖形，不是中心對稱圖形，故此選項不合題意．
故選：A．
【點評】此題主要考查了中心對稱圖形與軸對稱圖形的概念：軸對稱圖形：如果一個圖形沿著一條直線對折后兩部分完全重合，這樣的圖形叫做軸對稱圖形；中心對稱圖形：在同一平面內(nèi)，如果把一個圖形繞某一點旋轉(zhuǎn)180°，旋轉(zhuǎn)后的圖形能和原圖形完全重合，那么這個圖形就叫做中心對稱圖形．
3．（2分）將拋物線y＝﹣2x2先向右平移1個單位，再向上平移3個單位，得到的拋物線是（ ）
A．y＝﹣2（x+1）2+3B．y＝﹣2（x﹣1）2﹣3
C．y＝﹣2（x+1）2﹣3D．y＝﹣2（x﹣1）2+3
【分析】由拋物線平移不改變二次項系數(shù)a的值，根據(jù)點的平移規(guī)律“左加右減，上加下減”可知移動后的頂點坐標，再由頂點式可求移動后的函數(shù)表達式．
【解答】解：原拋物線的頂點為（0，0），向右平移1個單位，再向上平移3個單位后，那么新拋物線的頂點為：（1，3）．
可設(shè)新拋物線的解析式為y＝﹣2（x﹣h）2+k，代入得y＝﹣2（x﹣1）2+3．
故選：D．
【點評】本題考查了二次函數(shù)圖象與幾何變換．解決本題的關(guān)鍵是得到新拋物線的頂點坐標．
4．（2分）如圖，在△ABC中，以點C為中心，將△ABC順時針旋轉(zhuǎn)25°得到△DEC，邊DE，AC相交于點F，若∠A＝35°，則∠EFC的度數(shù)為（ ）
A．50°B．60°C．70°D．120°
【分析】由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得∠A＝∠D＝35°，∠ACD＝25°，由三角形外角的性質(zhì)可求解．
【解答】解：∵將△ABC順時針旋轉(zhuǎn)25°得到△DEC，
∴∠A＝∠D＝35°，∠ACD＝25°，
∴∠EFC＝∠D+∠ACD＝60°，
故選：B．
【點評】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，三角形外角的性質(zhì)，掌握旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
5．（2分）下列關(guān)于二次函數(shù)y＝3x2的說法正確的是（ ）
A．它的圖象經(jīng)過點（﹣1，﹣3）
B．它的圖象的對稱軸是直線x＝3
C．當x＝0時，y有最大值為0
D．當x＜0時，y隨x的增大而減小
【分析】根據(jù)題目中的函數(shù)解析式，可以求出當x＝﹣1時，y的值，從而可以判斷A；寫出該函數(shù)的對稱軸，即可判斷B；當x＝0時該函數(shù)取得最小值，即可判斷C；當x＜0時，y隨x的增大如何變化，即可判斷D．
【解答】解：∵二次函數(shù)y＝3x2，
∴當x＝﹣1時，y＝3，故選項A不符合題意；
它的圖象的對稱軸是直線x＝0，故選項B不符合題意；
當x＝0時，y有最小值為0，故選項C不符合題意；
當x＜0時，y隨x的增大而減小，故選項D符合題意；
故選：D．
【點評】本題考查二次函數(shù)的性質(zhì)、二次函數(shù)圖象上點的坐標特征、二次函數(shù)的最值，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，利用二次函數(shù)的性質(zhì)解答．
6．（2分）已知二次函數(shù)y＝ax2+bx+c的部分圖象如圖所示，則使得函數(shù)值y大于2的自變量x的取值可以是（ ）
A．﹣4B．﹣2C．0D．2
【分析】利用拋物線的對稱性確定（0，2）的對稱點，然后根據(jù)函數(shù)圖象寫出拋物線在直線y＝2上方所對應(yīng)的自變量的范圍即可．
【解答】解：∵拋物線的對稱軸為x＝﹣1.5，
∴點（0，2）關(guān)于直線x＝﹣1.5的對稱點為（﹣3，2），
當﹣3＜x＜0時，y＞2，
即當函數(shù)值y＞2時，自變量x的取值范圍是﹣3＜x＜0．
故選：B．
【點評】本題考查了二次函數(shù)圖象上點的坐標特征，二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，數(shù)形結(jié)合是解題的關(guān)鍵．
7．（2分）如圖，點O為線段AB的中點，點B，C，D到點O的距離相等，連接AC，BD．則下面結(jié)論不一定成立的是（ ）
A．∠ACB＝90°B．∠BDC＝∠BAC
C．AC平分∠BADD．∠BCD+∠BAD＝180°
【分析】先利用圓的定義可判斷點A、B、C、D在⊙O上，如圖，然后根據(jù)圓周角定理對各選項進行判斷．
【解答】解：∵點O為線段AB的中點，點B，C，D到點O的距離相等，
∴點A、B、C、D在⊙O上，如圖，
∵AB為直徑，
∴∠ACB＝90°，所以A選項的結(jié)論正確；
∵∠BDC和∠BAC都對，
∴∠BDC＝∠BAC，所以B選項的結(jié)論正確；
只有當CD＝CB時，∠BAC＝∠DAC，所以C選項的結(jié)論不正確；
∵四邊形ABCD為⊙O的內(nèi)接四邊形，
∴∠BCD+∠BAD＝180°，所以D選項的結(jié)論正確．
故選：C．
【點評】本題考查了圓周角定理：在同圓或等圓中，同弧或等弧所對的圓周角相等，都等于這條弧所對的圓心角的一半．半圓（或直徑）所對的圓周角是直角，90°的圓周角所對的弦是直徑．
8．（2分）如圖，點M坐標為（0，2），點A坐標為（2，0），以點M為圓心，MA為半徑作⊙M，與x軸的另一個交點為B，點C是⊙M上的一個動點，連接BC，AC，點D是AC的中點，連接OD，當線段OD取得最大值時，點D的坐標為（ ）
A．（0，）B．（1，）C．（2，2）D．（2，4）
【分析】根據(jù)垂徑定理得到OA＝OB，然后根據(jù)三角形中位線定理得到OD∥BC，OD＝BC，即當BC取得最大值時，線段OD取得最大值，根據(jù)圓周角定理得到CA⊥x軸，進而求得△OAD是等腰直角三角形，即可得到AD＝OA＝2，得到D的坐標為（2，2）．
【解答】解：∵OM⊥AB，
∴OA＝OB，
∵AD＝CD，
∴OD∥BC，OD＝BC，
∴當BC取得最大值時，線段OD取得最大值，如圖，
∵BC為直徑，
∴∠CAB＝90°，
∴CA⊥x軸，
∵OB＝OA＝OM，
∴∠ABC＝45°，
∵OD∥BC，
∴∠AOD＝45°，
∴△AOD是等腰直角三角形，
∴AD＝OA＝2，
∴D的坐標為（2，2），
故選：C．
【點評】本題考查了點和圓的位置關(guān)系，垂徑定理、圓周角定理以及三角形中位線定理，明確當BC為直徑時，線段OD取得最大值是解題的關(guān)鍵．
二、填空題（本題共16分，每小題2分）
9．（2分）寫出一個二次函數(shù)，使得它有最大值，這個二次函數(shù)的解析式可以是 y＝﹣x2（答案不唯一）． ．
【分析】根據(jù)二次函數(shù)有最大值，即可得出a＜0，據(jù)此寫出一個二次函數(shù)即可．
【解答】解：∵二次函數(shù)有最大值，
∴a＜0，
∴這個二次函數(shù)的解析式可以是y＝﹣x2，
故答案為：y＝﹣x2（答案不唯一）．
【點評】本題主要考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，熟練運用性質(zhì)是解此題的關(guān)鍵．此題是一道開放型的題目
10．（2分）二次函數(shù)y＝ax2+bx+c的圖象如圖所示，那么b ＜ 0，c ＜ 0（填“＞”，“＝”，或“＜”）．
【分析】拋物線開口方向，對稱軸，與y軸交點的位置確定a、b、c的符號，從而做出判斷．
【解答】解：∵拋物線開口向下，
∴a＜0，
∵對稱軸在y軸左側(cè)，
∴﹣＜0，
∴b＜0，
∵拋物線與y軸交在負半軸，
∴c＜0，
故答案為：＜，＜．
【點評】考查二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，通過拋物線的開口方向、對稱軸、與y軸交點確定a、b、c的值，是二次函數(shù)性質(zhì)的集中體現(xiàn)．
11．（2分）如圖，將△ABC繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)90°得到△ADE，點C和點E是對應(yīng)點，若AB＝1，則BD＝ ．
【分析】由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得AB＝AD＝1，∠DAB＝90°，由勾股定理可求BD的長．
【解答】解：∵將△ABC繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)90°得到△ADE，
∴AB＝AD＝1，∠DAB＝90°，
∴BD＝＝
故答案為：
【點評】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，勾股定理，熟練掌握旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)是本題的關(guān)鍵．
12．（2分）如圖，正六邊形ABCDEF內(nèi)接于⊙O，⊙O的半徑為6，則的長為 2π ．
【分析】如圖，連接OA，OB．利用弧長公式計算即可．
【解答】解：如圖，連接OA，OB．
由題意OA＝B＝6，∠AOB＝60°，
∴的長＝＝2π．
故答案為：2π．
【點評】本題考查正多邊形與圓，弧長公式等知識，解題的關(guān)鍵是熟練掌握基本知識，屬于中考?？碱}型．
13．（2分）如圖，PA，PB是⊙O的切線，切點分別是點A和B，AC是⊙O的直徑．若∠P＝60°，PA＝6，則BC的長為 2 ．
【分析】連接AB，根據(jù)切線長定理得到PA＝PB，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)得到AB＝PA＝6，∠PAB＝60°，根據(jù)切線的性質(zhì)得到∠PAC＝90°，根據(jù)正切的定義計算即可．
【解答】解：連接AB，
∵PA，PB是⊙O的切線，
∴PA＝PB，
∵∠P＝60°，
∴△PAB為等邊三角形，
∴AB＝PA＝6，∠PAB＝60°，
∵PA是⊙O的切線，
∴∠PAC＝90°，
∴∠CAB＝30°，
∵AC是⊙O的直徑，
∴∠ABC＝90°，
在Rt△ABC中，BC＝AB?tan∠CAB＝6×＝2，
故答案為：2．
【點評】本題考查的是切線的性質(zhì)、直角三角形的性質(zhì)，掌握圓的切線垂直于經(jīng)過切點的半徑是解題的關(guān)鍵．
14．（2分）點O是正五邊形ABCDE的中心，分別以各邊為直徑向正五邊形的外部作半圓，組成了一幅美麗的圖案（如圖）．這個圖案繞點O至少旋轉(zhuǎn) 72 °后能與原來的圖案互相重合．
【分析】直接利用旋轉(zhuǎn)圖形的性質(zhì)進而得出旋轉(zhuǎn)角．
【解答】解：連接OA，OE，則這個圖形至少旋轉(zhuǎn)∠AOE才能與原圖象重合，
∠AOE＝＝72°．
故答案為：72．
【點評】此題主要考查了旋轉(zhuǎn)圖形，正確掌握旋轉(zhuǎn)圖形的性質(zhì)是解題關(guān)鍵．
15．（2分）如圖，在平面直角坐標系xOy中，點A，B，C的坐標分別是（0，2），（2，0），（4，0），⊙M是△ABC的外接圓，則圓心M的坐標為 （3，3） ，⊙M的半徑為 ．
【分析】M點為BC和AB的垂直平分線的交點，利用點A、B、C坐標易得BC的垂直平分線為直線x＝3，AB的垂直平分線為直線y＝x，從而得到M點的坐標，然后計算MB得到⊙M的半徑．
【解答】解：∵點A，B，C的坐標分別是（0，2），（2，0），（4，0），
∴BC的垂直平分線為直線x＝3，
∵OA＝OB，
∴△OAB為等腰直角三角形，
∴AB的垂直平分線為第一、三象限的角平分線，即直線y＝x，
∵直線x＝3與直線y＝x的交點為M點，
∴M點的坐標為（3，3），
∵MB＝＝，
∴⊙M的半徑為．
故答案為（3，3），．
【點評】本題考查了三角形的外接圓與外心：三角形外接圓的圓心是三角形三條邊垂直平分線的交點，叫做三角形的外心．也考查了坐標與圖形的性質(zhì)．
16．（2分）二次函數(shù)y＝ax2+bx+c的圖象經(jīng)過A（0，y1），B（2，﹣1），C（4，y2）三點，其中y2＞y1＞﹣1．下面四個結(jié)論中：
①拋物線開口向下；
②當x＝2時，y取最小值﹣1；
③當m＞﹣1時，一元二次方程ax2+bx+c＝m必有兩個不相等的實數(shù)根；
④直線y＝kx+c（k≠0）經(jīng)過點A，C，當kx+c＜ax2+bx+c時，x的取值范圍是x＜0或x＞4．
正確的結(jié)論有 ③④ ．（填序號）
【分析】根據(jù)題意，畫出函數(shù)圖象，進而求解．
【解答】解：①∵二次函數(shù)y＝ax2+bx+c的圖象經(jīng)過A（0，y1），B（2，﹣1），C（4，y2）三點，其中y2＞y1＞﹣1．
∴拋物線開口向上，故錯誤；
②由題意可知x＝﹣＜2時，
∴函數(shù)的最小值小于﹣1，故錯誤；
③由B知，函數(shù)的最小值為小于﹣1，
故m＞﹣1時，直線y＝m和y＝ax2+bx+c有兩個交點，
故一元二次方程ax2+bx+c＝m必有兩個不相等實根，故正確；
④觀察函數(shù)圖象，直線y＝kx+c（k≠0）經(jīng)過點A，C，
當kx+c＜ax2+bx+c時，x的取值范圍是x＜0或x＞4，故正確；
故答案為：③④．
【點評】本題考查的是二次函數(shù)與不等式（組）和待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式，解題的關(guān)鍵是確定函數(shù)圖象的交點，根據(jù)交點處圖象之間的位置關(guān)系，確定不等式的解．
三、解答題（本題共68分，第17-22題，每小題5分，第23-26題，每小題5分，第27，28題，每小題5分）
17．（5分）下面是小華設(shè)計的“作∠AOB的角平分線”的尺規(guī)作圖過程，請幫助小華完成尺規(guī)作圖并填空（保留作圖痕跡）．
【分析】利用圓周角定理，垂徑定理可得結(jié)論．
【解答】解：如圖，射線OD即為所求．
∵OQ是直徑，
∴∠OPQ＝90°（直徑所對的圓周角是直角）．
∵CD⊥PQ，
∴＝（垂徑定理），
∴∠AOD＝∠BOD．
故答案為：90°，直徑所對的圓周角是直角，垂徑定理．
【點評】本題考查作圖﹣復(fù)雜作圖，圓周角定理，垂徑定理等知識，解題的關(guān)鍵是靈活運用所學(xué)知識解決問題，屬于中考?？碱}型．
18．（5分）已知關(guān)于x的二次函數(shù)y＝2x2+bx+c，它的圖象經(jīng)過點（0，﹣3）和（2，﹣3）．
（1）求這個二次函數(shù)的表達式及頂點坐標；
（2）將這個二次函數(shù)的圖象沿x軸平移，使其頂點恰好落在y軸上，請直接寫出平移后的函數(shù)表達式．
【分析】（1）把（0，﹣3）和（2，﹣3）代入y＝2x2+bx+c，解方程即可得到答案；
（2）根據(jù)頂點恰好落在y軸上，于是得到該函數(shù)圖象的頂點坐標為（0，﹣）．即可得到結(jié)論．
【解答】解：（1）∵二次函數(shù)y＝2x2+bx+c，它的圖象經(jīng)過點（0，﹣3）和（2，﹣3）．
∴﹣3＝2×22+2b﹣3，
解得b＝﹣4．
∴二次函數(shù)的表達式為y＝2x2﹣4x﹣3．
∵y＝2x2﹣4x﹣3＝2（x﹣1）2﹣5，
∴二次函數(shù)頂點坐標為（1，﹣5）；
（2）∵y＝2（x﹣1）2﹣5，
∴二次函數(shù)頂點坐標為（1，﹣5）；
∵頂點恰好落在y軸上，
∴該函數(shù)圖象的頂點坐標為（0，﹣5）．
∴平移后的函數(shù)表達式為y＝2x2﹣5．
【點評】本題考查了二次函數(shù)圖象與幾何變換，待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式，二次函數(shù)的性質(zhì)，正確的求出二次函數(shù)的解析式是解題的關(guān)鍵．
19．（5分）如圖，AB是⊙O的一條弦，過點O作OC⊥AB于D，交⊙O于點C，點E在⊙O上，且∠AEC＝30°，連接OB．
（1）求∠BOC的度數(shù)；
（2）若CD＝4，求AB的長．
【分析】（1）根據(jù)垂徑定理得到＝，根據(jù)圓周角定理即可得到答案；
（2）根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理得到∠OBD＝30°，根據(jù)直角三角形的性質(zhì)得到OB＝OC＝2OD，根據(jù)勾股定理即可得到答案．
【解答】解：（1）∵OC⊥AB，
∴＝，
∵∠AEC＝30°，
∴∠BOC＝2∠AEC＝60°；
（2）∵OC⊥AB，
∴∠BDO＝90°，
∵∠BOC＝60°，
∴∠OBD＝30°，
∴OB＝OC＝2OD，
∴OD＝CD＝4，
∴OB＝8，
∴BD＝＝＝4，
∴AB＝ABD＝8．
【點評】本題考查了圓周角定理，垂徑定理，解直角三角形，熟練掌握圓周角定理是解題的關(guān)鍵．
20．（5分）已知二次函數(shù)y＝x2﹣4x+3．
（1）將二次函數(shù)化成y＝a（x﹣h）2+k的形式；
（2）在平面直角坐標系中畫出y＝x2﹣4x+3的圖象．
（3）當1＜x＜4時，結(jié)合函數(shù)圖象，直接寫出y的取值范圍．
【分析】（1）用配方法把二次函數(shù)化為頂點式，從而可得出答案；
（2）根據(jù)題意畫出圖象即可；
（3）由圖象可得出答案．
【解答】解：（1）y＝x2﹣4x+3＝x2﹣4x+4﹣1＝（x﹣2）2﹣1；
（2）令y＝0，則x2﹣4x+3＝0，
解得：x1＝1，x2＝3，
∴拋物線與x軸的交點為（1，0）和（3，0），
令x＝0，則y＝3，
∴拋物線與y軸的交點為（0，3），
對稱軸為x＝2，頂點坐標為（2，﹣1），
圖象如圖所示：
（3）有圖象可得：當1＜x＜4時，y的取值范圍為﹣1≤y＜3．
【點評】本題考查二次函數(shù)的性質(zhì)，拋物線與x國的交點，配方法，熟練掌握二次函數(shù)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
21．（5分）如圖，等腰三角形ABC中，BA＝BC，∠ABC＝α．作CD⊥AB于點D，將線段BD繞點B逆時針旋轉(zhuǎn)角α后得到線段BE，連接AE．求證：BE⊥AE．
【分析】由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得BE＝BD，∠ABE＝α＝∠ABC，由“SAS”可證△ABE≌△CBD，可得結(jié)論．
【解答】證明：∵將線段BD繞點B逆時針旋轉(zhuǎn)角α后得到線段BE，
∴BE＝BD，∠ABE＝α，
∴∠ABC＝∠ABE，
在△ABE和△CBD中，
，
∴△ABE≌△CBD（SAS），
∴∠CDB＝∠AEB＝90°，
∴AE⊥BE．
【點評】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，證明三角形全等是解題的關(guān)鍵．
22．（5分）如圖，△ABC的頂點坐標分別為A（﹣3，3），B（0，1），C（﹣1，﹣1）．
（1）請畫出△ABC關(guān)于點B成中心對稱的△A1BC1，并寫出點A1，C1的坐標；
（2）四邊形AC1A1C的面積為 16 ．
【分析】（1）延長AB到A1使BA1＝AB，延長CB到C1，使BC1＝BC；
（2）利用平行四邊形的面積公式．
【解答】解：（1）如圖，△A1BC1為所作，點A1，C1的坐標分別為（3，﹣1），（1，3）；
（2）∵AB＝A1B，CB＝C1B，
∴四邊形AC1A1C為平行四邊形，
∴四邊形AC1A1C的面積＝4×4＝16．
故答案為16．
【點評】本題考查了作圖﹣旋轉(zhuǎn)變換：根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知，對應(yīng)角都相等都等于旋轉(zhuǎn)角，對應(yīng)線段也相等，由此可以通過作相等的角，在角的邊上截取相等的線段的方法，找到對應(yīng)點，順次連接得出旋轉(zhuǎn)后的圖形．
23．（6分）如圖，AB為⊙O的直徑，點C在AB的延長線上，CD與⊙O相切于D，過點B作BE∥CD交⊙O于點E，連接AD，AE，∠EAD＝22.5°．若BE＝4，求⊙O的半徑．
【分析】連接OD，交BE于點F，利用切線的性質(zhì)和垂徑定理求得＝，進而可求出∠EAB的度數(shù)，利用條件易證△ABE為等腰直角三角形，根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)即可得到結(jié)論．
【解答】解：連接OD，交BE于點F，如圖，
∵CD與⊙O相切于點D，
∴OD⊥CD，
∴∠ODC＝90°，
∵BE∥CD，
∴∠OFB＝90°，
∴OD⊥BE，
∴＝，
∴∠EAD＝∠DAB，
∵∠EAD＝22.5°，
∴∠EAB＝∠EAD+∠DAB＝45°；
∵AB是直徑，
∴∠AEB＝90°，
∵∠EAB＝45°，
∴∠ABE＝∠EAB＝45°，
∴△ABE是等腰直角三角形，
∵BE＝4，
∴AB＝BE＝4，
∴⊙O的半徑為2．
【點評】本題考查了切線的性質(zhì)，平行線的性質(zhì)圓周角定理，垂徑定理，等腰直角三角形的判定和性質(zhì)，正確的作出輔助線是解題的關(guān)鍵．
24．（6分）材料1：昌平南環(huán)大橋是經(jīng)典的懸索橋，當今大跨度橋梁大多采用此種結(jié)構(gòu)．此種橋梁各結(jié)構(gòu)的名稱如圖1所示，其建造原理是在兩邊高大的橋塔之間，懸掛著主索，再以相應(yīng)的間隔，從主索上設(shè)置豎直的吊索，與橋面垂直，并連接橋面，承接橋面的重量，主索的幾何形態(tài)近似符合拋物線．
材料2：如圖2，某一同類型懸索橋，兩橋塔AD＝BC＝10m，間距AB為32m，橋面AB水平，主索最低點為點P，點P距離橋面為2m．
（1）請你建立適當?shù)钠矫嬷苯亲鴺讼?，求出主索拋物線的表達式；
（2）距離點P水平距離為4m和8m處的吊索共四條需要更換，求四條吊索的總長度．
【分析】（1）建立適當?shù)钠矫嬷苯亲鴺讼担梢灾苯訉懗鳇cC的坐標，然后設(shè)出主索拋物線的表達式，再根據(jù)點C和點P都在拋物線上，即可求得主索拋物線的表達式；
（2）根據(jù)求出的拋物線解析式，將x＝4和8代入解析式中，即可求得四根吊索的長度，從而可以求得四根吊索總長度為多少米．
【解答】解：以DC中點為原點，DC所在直線為x軸，建立平面直角坐標系，
如圖所示：
由圖可知，點C的坐標為（16，0），
設(shè)拋物線的表達式為y＝ax2+c（a≠0），
由題意可知，C點坐標為（16，0），P點坐標為（0，﹣8），
則，
解得：，
∴主索拋物線的表達式為y＝x2﹣8；
（2）x＝4時，y＝×42﹣8＝，此時吊索的長度為10﹣＝（m），
由拋物線的對稱性可得，x＝﹣4時，此時吊索的長度也為m，
同理，x＝8時，y＝×82﹣8＝﹣6，此時吊索的長度為10﹣6＝4（m），
x＝﹣8時，此時吊索的長度也為4m，
∵++4+4＝13（米），
∴四根吊索的總長度為13米．
【點評】本題考查二次函數(shù)的應(yīng)用，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，利用二次函數(shù)的性質(zhì)和數(shù)形結(jié)合的思想解答．
25．（6分）如圖，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，點D為BC邊的中點，以AD為直徑作⊙O，分別與AB，AC交于點E，F(xiàn)，過點E作EG⊥BC于G．
（1）求證：EG是⊙O的切線；
（2）若AF＝6，⊙O的半徑為5，求BE的長．
【分析】（1）先判斷出EF是⊙O的直徑，進而判斷出OE∥BC，即可得出結(jié)論；
（2）先根據(jù)勾股定理求出AE，再判斷出BE＝AE，即可得出結(jié)論．
【解答】（1）證明：如圖，連接EF，
∵∠BAC＝90°，
∴EF是⊙O的直徑，
∴OA＝OE，
∴∠BAD＝∠AEO，
∵點D是Rt△ABC的斜邊BC的中點，
∴AD＝BD，
∴∠B＝∠BAD，
∴∠AEO＝∠B，
∴OE∥BC，
∵EG⊥BC，
∴OE⊥EG，
∵點E在⊙O上，
∴EG是⊙O的切線；
（2）∵⊙O的半徑為5，
∴EF＝2OE＝10，
在Rt△AEF中，AF＝6，
根據(jù)勾股定理得，AE＝＝8，
由（1）知OE∥BC，
∵OA＝OD，
∴BE＝AE＝8．
【點評】此題主要考查了圓的有關(guān)性質(zhì)，切線的判定，直角三角形斜邊的中線是斜邊的一半，勾股定理，判斷出EF∥BC是解本題的關(guān)鍵．
26．（6分）在平面直角坐標系xOy中，已知拋物線y＝x2﹣2mx+m2﹣1．
（1）當m＝3時，求拋物線的頂點坐標；
（2）①求拋物線的對稱軸（用含m的式子表示）；
②若當1≤x≤2時，y的最小值是0，請直接寫出m的值；
（3）直線y＝x+b與x軸交于點A（﹣3，0），與y軸交于點B，過點B作垂直于y軸的直線l與拋物線y＝x2﹣2mx+m2﹣1有兩個交點，在拋物線對稱軸左側(cè)的點記為P，當△OAP為鈍角三角形時，求m的取值范圍．
【分析】（1）解析式化成頂點式即可求得；
（2）①由拋物線的解析式可得出答案；
②分三種情況，m≤1，1≤m≤2或m≥2．由二次函數(shù)的性質(zhì)分別列方程求解即可．
（3）當△OAP為鈍角三角形時，則0＜m﹣2＜m或m﹣2＞﹣3，分別求解即可．
【解答】解：（1）當m＝3時，拋物線的解析式為：y＝x2﹣6x+8＝（x﹣3）2﹣1，
∴頂點坐標為（3，﹣1）；
（2）①∵拋物線y＝x2﹣2mx+m2﹣1＝（x﹣m）2﹣1，
∴拋物線的對稱軸為直線x＝m；
②∵拋物線y＝x2﹣2mx+m2﹣1＝（x﹣m）2﹣1，
∴拋物線頂點坐標為（m，﹣1），
∴m的取值范圍應(yīng)分三種情況，m≤1，1≤m≤2或m≥2．
若m≤1，x＝1時函數(shù)取得最小值，
∴（1﹣m）2﹣1＝0，
解得m＝0或m＝2（舍去），
若1≤m≤2，x＝m函數(shù)取得最小值為﹣1，不合題意．
若m≥2，x＝2函數(shù)取得最小值，
∴（2﹣m）2﹣1＝0，
解得m＝3或m＝1（舍去），
綜上所述，m的值為0或3．
（3）把點A（﹣3，0）代入y＝x+b的表達式并解得：b＝3，
則B（0，3），直線AB的表達式為：y＝x+3，
如圖，
在直線y＝3上，當∠AOP＝90°時，點P與B重合，
當y＝3時，y＝x2﹣2mx+m2﹣1＝3，
則x＝m±2，
∵點P在對稱軸的左側(cè)，
∴x＝m+2＞m不符合題意，舍去，
則點P（m﹣2，3），
當△OAP為鈍角三角形時，
則0＜m﹣2＜m或m﹣2＜﹣3，
解得：m＞2或m＜﹣1，
∴m的取值范圍是：m＞2或m＜﹣1．
【點評】本題考查的是二次函數(shù)綜合運用，涉及到一次函數(shù)，解不等式，一元二次方程根的判別式，鈍角三角形判斷的方法等知識點，第三問有難度，確定∠AOP為直角時點P的位置最關(guān)鍵．
27．（7分）已知∠MON＝90°，點A在邊OM上，點P是邊ON上一動點，∠OAP＝α，將線段AP繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)60°，得到線段AB，連接OB，再將線段OB繞點O順時針旋轉(zhuǎn)60°，得到線段OC，作CH⊥ON于點H．
（1）如圖1，α＝60°．
①依題意補全圖形；
②連接BP，求∠BPH的度數(shù)；
（2）如圖2，當點P在射線ON上運動時，用等式表示線段OA與CH之間的數(shù)量關(guān)系，并證明．
【分析】（1）①根據(jù)要求畫出圖形即可．
②證明△APB是等邊三角形，推出∠APB＝60°，再證明∠APO＝30°，可得結(jié)論．
（2）結(jié)論：OA＝2CH．連接BP，BC，PC．利用全等三角形的性質(zhì)證明OA＝PC，再證明∠CPH＝30°可得結(jié)論．
【解答】解：（1）①下圖即為所求：
②∵線段AP繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)60°得到AB，
∴AB＝AP，且∠PAB＝60°．
∴△ABP是等邊三角形，
∴∠BPA＝60°，
∵∠OAP＝60°，
∴∠APO＝30°，
∴∠BPO＝∠BPA+∠APO＝90°，
∴∠BPH＝90°．
（2）結(jié)論：OA＝2CH．
理由：如圖2中，連接BP，BC，PC．
由（2）可知，△ABP是等邊三角形，
∴BA＝BP，∠ABP＝∠BPA＝60°．
∵線段OB繞點O順時針旋轉(zhuǎn)60°得到OC，
∴OB＝OC，∠BOC＝60°，
∴△BOC是等邊三角形，
∴BO＝BC，∠OBC＝60°，
∴∠ABO＝60°﹣∠OBP＝∠PBC，
∴△ABO≌△PBC（SAS），
∴AO＝PC，∠BPC＝∠BAO，
∵∠OAP＝α，
∴∠BAO＝∠BAP+∠OAP＝60°+α，
∴∠BPC＝60°+α，
∵∠BPN＝180°﹣∠APO﹣∠BPA＝120°﹣（90°﹣α）＝30°+α，
∴∠HPC＝∠BPC﹣∠BPN＝30°，
∵CH⊥ON，
∴∠CHO＝90°，
∴在Rt△CHP中，PC＝2CH，
∴OA＝2CH．
【點評】本題屬于幾何變換綜合題，考查了等邊三角形的判定和性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，直角三角形30度角的性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是正確尋找全等三角形解決問題，屬于中考壓軸題．
28．（7分）對于平面內(nèi)點P和⊙G，給出如下定義：T是⊙G上任意一點，點P繞點T旋轉(zhuǎn)180°后得到點P'，則稱點P'為點P關(guān)于⊙G的旋轉(zhuǎn)點．如圖為點P及其關(guān)于⊙G的旋轉(zhuǎn)點P'的示意圖．
在平面直角坐標系xOy中，⊙O的半徑為1，點P（0，﹣2）．
（1）在點A（﹣1，0），B（0，4），C（2，2）中，是點P關(guān)于⊙O的旋轉(zhuǎn)點的是 B、C ；
（2）若在直線y＝x+b上存在點P關(guān)于⊙O的旋轉(zhuǎn)點，求b的取值范圍；
（3）若點D在⊙O上，⊙D的半徑為1，點P關(guān)于⊙D的旋轉(zhuǎn)點為點P'，請直接寫出點P'的橫坐標xP′的取值范圍．
【分析】（1）連接AP、BP、CP，分別取AP、BP、CP的中點為D、E、F，求出D、E、F的坐標和到圓心的距離，從而根據(jù)旋轉(zhuǎn)點定義即可得到答案；
（2）設(shè)直線y＝x+b上點M是P關(guān)于⊙O的旋轉(zhuǎn)點，連接PM，作PM中點N，設(shè)M（x，x+b），根據(jù)ON＝1列方程，由在直線y＝x+b上存在點P關(guān)于⊙O的旋轉(zhuǎn)點，則方程有實數(shù)解，由△≥0可得答案；
（3）當D運動到（﹣1，0）時，xP'有最小值，連接PP'，作PP'中點H，設(shè)P'（m，n），根據(jù)旋轉(zhuǎn)點定義，HD＝1可列方程，而關(guān)于n的方程n2﹣4n+m2+4m+4＝0有實數(shù)解，即可得此時m的范圍，當D運動到（1，0）時，xP'有最大值，同理可得m范圍，從而可得答案．
【解答】解：（1）連接AP、BP、CP，分別取AP、BP、CP的中點為D、E、F，如圖：
∵P（0，﹣2），A（﹣1，0），B（0，4），C（2，2），
∴D（，﹣1）、E（0，1）、F（1，0），
∴OD＝，OE＝1，OF＝1，
∴D不在⊙O上，而E、F在⊙O上，
∵D、E、F分別是AP、BP、CP的中點，
∴點P繞點D旋轉(zhuǎn)180°后得到點A，點P繞點E旋轉(zhuǎn)180°后得到點B，點P繞點F旋轉(zhuǎn)180°后得到點C，
根據(jù)旋轉(zhuǎn)點的定義，P關(guān)于⊙O的旋轉(zhuǎn)點為B、C；
故答案為：B、C．
（2）設(shè)直線y＝x+b上點M是P關(guān)于⊙O的旋轉(zhuǎn)點，連接PM，作PM中點N，如圖：
設(shè)M（x，x+b），則N（，），
根據(jù)旋轉(zhuǎn)點定義，N在⊙O上，即ON＝1，
∴＝1，
∴+＝1，方程變形為：2x2+2（b﹣2）x+b2﹣4b＝0，
∵在直線y＝x+b上存在點P關(guān)于⊙O的旋轉(zhuǎn)點，
∴2x2+2（b﹣2）x+b2﹣4b＝0總有實數(shù)解，
∴△≥0，即4（b﹣2）2﹣8（b2﹣4b）≥0，
解得2﹣2≤b≤2+2；
（3）當D運動到（﹣1，0）時，xP'有最小值，連接PP'，作PP'中點H，如圖：
設(shè)P'（m，n），則H（，），
根據(jù)旋轉(zhuǎn)點定義，HD＝1，
∴＝1，
∴+m+1+﹣n+1＝1，變形為n2﹣4n+m2+4m+4＝0，
∵P'是P關(guān)于⊙D的旋轉(zhuǎn)點，
∴關(guān)于n的方程n2﹣4n+m2+4m+4＝0有實數(shù)解，
∴△≥0，即（﹣4）2﹣4（m2+4m+4）≥0，
解得﹣4≤m≤0，即﹣4≤xP'≤0，
當D運動到（1，0）時，xP'有最大值，如圖：
同理可得0≤xP'≤4，
綜上所述，點P關(guān)于⊙D的旋轉(zhuǎn)點為點P'，則點P'的橫坐標xP'的取值范圍是﹣4≤xP'≤4．
【點評】本題考查了圓與一次函數(shù)圖象的知識，解題的關(guān)鍵是用判別式列不等式．
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推斷
第一步
在OB上任取一點C，以點C為圓心，OC為半徑作半圓，分別交射線OA，OB于點P，點Q，連接PQ．
∠OPQ＝ °，理由是
．
第二步
過點C作PQ的垂線，交于點D．
＝，理由是
．
第三步
作射線OD．
射線OD平分∠AOB．
射線OD為所求作．
步驟
作法
推斷
第一步
在OB上任取一點C，以點C為圓心，OC為半徑作半圓，分別交射線OA，OB于點P，點Q，連接PQ．
∠OPQ＝ 90 °，理由是
直徑所對的圓周角是直角 ．
第二步
過點C作PQ的垂線，交于點D．
＝，理由是
垂徑定理 ．
第三步
作射線OD．
射線OD平分∠AOB．
射線OD為所求作．