2022-2023學(xué)年北京市石景山區(qū)京源學(xué)校九年級（上）期中數(shù)學(xué)試卷【含解析】

這是一份2022-2023學(xué)年北京市石景山區(qū)京源學(xué)校九年級（上）期中數(shù)學(xué)試卷【含解析】，共31頁。試卷主要包含了選擇題，填空題等內(nèi)容，歡迎下載使用。
1．（2分）二次函數(shù)y＝﹣3x2的圖象開口方向是（ ）
A．向上B．向下C．向左D．向右
2．（2分）如圖，在△ABC中，DE∥BC，若AD＝2，AB＝3，則等于（ ）
A．B．C．D．
3．（2分）二次函數(shù)y＝2（x﹣1）2﹣2的圖象是由二次函數(shù)y＝2x2的圖象平移得到的，下列平移方法正確的是（ ）
A．先向左平移1個(gè)單位，再向上平移2個(gè)單位
B．先向左平移1個(gè)單位，再向下平移2個(gè)單位
C．先向右平移1個(gè)單位，再向上平移2個(gè)單位
D．先向右平移1個(gè)單位，再向下平移2個(gè)單位
4．（2分）在Rt△ABC中，∠BAC＝∠ADC＝90°，AD＝3，BD＝2，則CD的長為（ ）
A．2B．3C．D．
5．（2分）如圖，在平行四邊形ABCD中，F(xiàn)為BC的中點(diǎn)，延長AD至點(diǎn)E，使DE：AD＝1：3，連接EF交DC于點(diǎn)G，則S△CFG：S△DEG等于（ ）
A．9：4B．2：3C．4：9D．3：2
6．（2分）若二次函數(shù)y＝ax2+bx+c（a≠0）的圖象如圖所示，則下列四個(gè)選項(xiàng)正確的是（ ）
A．b＞0，c＜0，Δ＞0B．b＜0，c＜0，Δ＞0
C．b＞0，c＞0，Δ＞0D．b＜0，c＞0，Δ＜0
7．（2分）如圖，在△ABC中，AM：MD＝3，BD：DC＝2：3，則AE：EC＝（ ）
A．8：5B．5：4C．6：5D．7：4
8．（2分）拋物線y＝ax2+bx+c的頂點(diǎn)為A（2，m），且經(jīng)過點(diǎn)B（5，0），其部分圖象如圖所示．對于此拋物線有如下四個(gè)結(jié)論：
①ac＜0；
②a﹣b+c＞0；
③m+9a＝0
④若此拋物線經(jīng)過點(diǎn)C（t，n），則4﹣t一定是方程ax2+bx+c＝n的一個(gè)根．
其中所有正確結(jié)論的序號是（ ）
A．①②B．①③④C．③④D．①④
二、填空題（共8小題，滿分16分，每小題2分）
9．（2分）請你寫出一個(gè)二次函數(shù)，其圖象滿足條件：①開口向下；②與y軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為（0，3）．此二次函數(shù)的解析式可以是 ．
10．（2分）如圖，△ABD∽△ECD，∠ABD＝30°，則∠ECD的度數(shù)為 ．
11．（2分）如圖，身高1.6米的小林從一盞路燈下B處向前走了8米到達(dá)點(diǎn)C處時(shí)，發(fā)現(xiàn)自己在地面上的影子CE長是2米，則路燈的高AB為 米．
12．（2分）若點(diǎn)A（﹣2，y1），B（1，y2），C（﹣4，y3）在拋物線y＝2（x+1）2上，請將y1，y2，y3按從小到大的順序用“＜”連接 ．
13．（2分）已知：如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)A在拋物線y＝x2﹣4x+6上運(yùn)動，過點(diǎn)A作AC⊥x軸于點(diǎn)C，以AC為對角線作正方形ABCD．則正方形的邊長AB的最小值是 ．
14．（2分）已知二次函數(shù)y1＝ax2+bx+c（a≠0）與一次函數(shù)y2＝kx+m（k≠0）的圖象相交于點(diǎn)A（﹣1，4），B（4，2）．如圖所示，則能使y1＞y2成立的x的取值范圍 ．
15．（2分）將三角形紙片（△ABC）按如圖所示的方式折疊，使點(diǎn)B落在邊AC上，記為點(diǎn)B′，折痕為EF．已知AB＝AC＝3，BC＝4，若以點(diǎn)B′、F、C為頂點(diǎn)的三角形與△ABC相似，那么BF的長度是 ．
16．（2分）若關(guān)于x的一元二次方程﹣x2+4x﹣t＝0（t為實(shí)數(shù)）在1＜x＜5的范圍內(nèi)有解，則t的取值范圍是 ．
三、解答題（共10小題，滿分68分，17題8分，19、22每小題8分，18、20-21、23-25每小題8分，26題6分.）解答應(yīng)寫出文字說明，演算步驟或證明過程.
17．（8分）解下列方程．
（1）x2﹣2x﹣1＝0；
（2）x2+3x﹣4＝0．
18．（7分）如圖，在Rt△ABC和Rt△ACD中，∠B＝∠ACD＝90°，AC平分∠BAD．
（1）證明：△ABC∽△ACD；
（2）若AB＝4，AC＝5，求BC和CD的長．
19．（6分）已知二次函數(shù)y＝x2﹣2x﹣3．
（1）畫出它的圖象；
（2）該二次函數(shù)圖象的對稱軸為 ，頂點(diǎn)坐標(biāo)為 ；
（3）當(dāng)x 時(shí)，y的值隨x值的增大而減??；
（4）當(dāng)y＞0時(shí)，x的取值范圍是 ；
（5）當(dāng)0≤x≤4時(shí)，y的取值范圍是 ．
20．（7分）已知：如圖，在四邊形ABCD中，AC為對角線，AD∥BC，BC＝2AD，∠BAC＝90°，過點(diǎn)A作AE∥DC交BC于點(diǎn)E．
（1）求證：四邊形AECD為菱形；
（2）若AB＝AE＝2，求四邊形AECD的面積．
21．（7分）已知關(guān)于x的一元二次方程x2﹣（a+2）x+a+1＝0．
（1）求證：方程總有兩個(gè)實(shí)數(shù)根；
（2）若方程的兩個(gè)根都是正整數(shù)，求a的最小值．
22．（6分）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，一次函數(shù)y＝kx+b（k≠0）的圖象經(jīng)過點(diǎn)（﹣1，0），（0，2）．
（1）求這個(gè)一次函數(shù)的表達(dá)式；
（2）當(dāng)x＞﹣2時(shí)，對于x的每一個(gè)值，函數(shù)y＝mx（m≠0）的值小于一次函數(shù)y＝kx+b（k≠0）的值，直接寫出m的取值范圍．
23．（7分）如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，拋物線y＝ax2+bx﹣3與直線y＝﹣x﹣1交于點(diǎn)A（﹣1，0），B（m，﹣3），點(diǎn)P是線段AB上的動點(diǎn)．
（1）①m＝ ；
②求拋物線的解析式．
（2）過點(diǎn)P作直線l垂直于x軸，交拋物線y＝ax2+bx﹣3于點(diǎn)Q，求線段PQ的長最大時(shí)，點(diǎn)P的坐標(biāo)．
24．（7分）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，A（m﹣1，y1），B（3，y2）是拋物線y＝x2﹣2mx+m2﹣4上兩點(diǎn)．
（1）將y＝x2﹣2mx+m2﹣4寫成y＝a（x﹣h）2+k的形式；
（2）若m＝1，比較y1，y2的大小，并說明理由；
（3）若y1＜y2，直接寫出m的取值范圍．
25．（7分）在等腰直角△ABC中，AB＝AC，∠A＝90°，過點(diǎn)B作BC的垂線l．點(diǎn)P為直線AB上的一個(gè)動點(diǎn)（不與點(diǎn)A，B重合），將射線PC繞點(diǎn)P順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°交直線l于點(diǎn)D．
（1）如圖1，點(diǎn)P在線段AB上，依題意補(bǔ)全圖形．
①求證：∠BDP＝∠PCB；
②用等式表示線段BC，BD，BP之間的數(shù)量關(guān)系，并證明．
（2）點(diǎn)P在線段AB的延長線上，直接寫出線段BC，BD，BP之間的數(shù)量關(guān)系．
26．（6分）對某一個(gè)函數(shù)給出如下定義：如果存在實(shí)數(shù)M，對于任意的函數(shù)值y，都滿足y≤M，那么稱這個(gè)函數(shù)是有上界函數(shù)．在所有滿足條件的M中，其最小值稱為這個(gè)函數(shù)的上確界．例如，圖中的函數(shù)y＝﹣（x﹣3）2+2是有上界函數(shù)，其上確界是2．
（1）函數(shù)①y＝x2+2x+1和②y＝2x﹣3（x≤2）中是有上界函數(shù)的為 （只填序號即可），其上確界為 ；
（2）如果函數(shù)y＝﹣x+2（a≤x≤b，b＞a）的上確界是b，且這個(gè)函數(shù)的最小值不超過2a+1，求a的取值范圍；
（3）如果函數(shù)y＝x2﹣2ax+2（1≤x≤5）是以3為上確界的有上界函數(shù)，求實(shí)數(shù)a的值．
2022-2023學(xué)年北京市石景山區(qū)京源學(xué)校九年級（上）期中數(shù)學(xué)試卷
參考答案與試題解析
一、選擇題（共8小題，滿分16分，每小題2分）
1．（2分）二次函數(shù)y＝﹣3x2的圖象開口方向是（ ）
A．向上B．向下C．向左D．向右
【分析】根據(jù)二次項(xiàng)系數(shù)確定開口方向．
【解答】解：y＝﹣3x2，
∵a＝﹣3＜0，
∴拋物線圖象開口向下，
故選：B．
【點(diǎn)評】此題主要考查了二次函數(shù)的性質(zhì)即可解決問題．
2．（2分）如圖，在△ABC中，DE∥BC，若AD＝2，AB＝3，則等于（ ）
A．B．C．D．
【分析】直接利用平行線分線段成比例定理求解．
【解答】解：∵DE∥BC，
∴＝＝．
故選：D．
【點(diǎn)評】本題考查了平行線分線段成比例：三條平行線截兩條直線，所得的對應(yīng)線段成比例．
3．（2分）二次函數(shù)y＝2（x﹣1）2﹣2的圖象是由二次函數(shù)y＝2x2的圖象平移得到的，下列平移方法正確的是（ ）
A．先向左平移1個(gè)單位，再向上平移2個(gè)單位
B．先向左平移1個(gè)單位，再向下平移2個(gè)單位
C．先向右平移1個(gè)單位，再向上平移2個(gè)單位
D．先向右平移1個(gè)單位，再向下平移2個(gè)單位
【分析】根據(jù)平移前后兩個(gè)拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)的變化來判定平移方法．
【解答】解：拋物線y＝2x2的頂點(diǎn)坐標(biāo)是（0，0）．
拋物線y＝2（x﹣1）2﹣2的頂點(diǎn)坐標(biāo)是（1，﹣2）．
則由二次函數(shù)y＝2x2的圖象向右平移1個(gè)單位，向選平移2個(gè)單位即可得到二次函數(shù)y＝2（x﹣1）2﹣2的圖象．
故選：D．
【點(diǎn)評】本題考查了二次函數(shù)圖象與幾何變換．解決本題的關(guān)鍵是根據(jù)頂點(diǎn)式得到新拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)．
4．（2分）在Rt△ABC中，∠BAC＝∠ADC＝90°，AD＝3，BD＝2，則CD的長為（ ）
A．2B．3C．D．
【分析】先利用平角定義可得∠ADC＝∠ADB＝90°，再利用直角三角形的兩個(gè)銳角互余可得∠B+∠BAD＝90°，∠B+∠C＝90°，然后利用同角的余角相等可得∠C＝∠BAD，從而可得△DAC∽△DBA，最后利用相似三角形的性質(zhì)進(jìn)行計(jì)算即可解答．
【解答】解：∵∠ADC＝90°，
∴∠ADB＝180°﹣∠ADC＝90°，
∴∠B+∠BAD＝90°，
∵∠BAC＝90°，
∴∠B+∠C＝90°，
∴∠C＝∠BAD，
∵∠ADC＝∠ADB＝90°，
∴△DAC∽△DBA，
∴＝，
∴AD2＝BD?CD，
∵AD＝3，BD＝2，
∴32＝2CD，
∴CD＝，
故選：C．
【點(diǎn)評】本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，熟練掌握射影定理是解題的關(guān)鍵．
5．（2分）如圖，在平行四邊形ABCD中，F(xiàn)為BC的中點(diǎn)，延長AD至點(diǎn)E，使DE：AD＝1：3，連接EF交DC于點(diǎn)G，則S△CFG：S△DEG等于（ ）
A．9：4B．2：3C．4：9D．3：2
【分析】利用平行四邊形的性質(zhì)可得AD∥BC，AD＝BC，再根據(jù)線段中點(diǎn)的定義可得CF＝BC＝AD，然后證明8字模型相似三角形△EDG∽△FCG，利用相似三角形的性質(zhì)進(jìn)行計(jì)算即可解答．
【解答】解：∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴AD∥BC，AD＝BC，
∵F為BC的中點(diǎn)，
∴CF＝BC，
∴CF＝AD，
∵AE∥CF，
∴∠E＝∠GFC，∠EDG＝∠C，
∴△EDG∽△FCG，
∵DE：AD＝1：3，
∴DE＝AD，
∴S△CFG：S△DEG＝（）2＝（）2＝（）2＝，
故選：A．
【點(diǎn)評】本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，平行四邊形的性質(zhì)，熟練掌握8字模型相似三角形是解題的關(guān)鍵．
6．（2分）若二次函數(shù)y＝ax2+bx+c（a≠0）的圖象如圖所示，則下列四個(gè)選項(xiàng)正確的是（ ）
A．b＞0，c＜0，Δ＞0B．b＜0，c＜0，Δ＞0
C．b＞0，c＞0，Δ＞0D．b＜0，c＞0，Δ＜0
【分析】利用拋物線的開口方向先確定a的符合，再利用對稱軸的位置確定b的符合，接著利用拋物線與y軸的交點(diǎn)位置確定c的符合，然后根據(jù)拋物線與x軸個(gè)數(shù)確定△的符合，從而可對各選項(xiàng)進(jìn)行判斷．
【解答】解：∵拋物線開口向上，
∴a＞0，
∵拋物線的對稱軸在y軸的右側(cè)，
∴a、b異號，即b＜0，
∵拋物線與y軸的交點(diǎn)在x軸下方，
∴c＜0，
∵拋物線與x軸有2個(gè)交點(diǎn)，
∴Δ＞0．
故選：B．
【點(diǎn)評】本題考查了二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系：二次項(xiàng)系數(shù)a決定拋物線的開口方向和大小．當(dāng)a＞0時(shí)，拋物線向上開口；當(dāng)a＜0時(shí)，拋物線向下開口；一次項(xiàng)系數(shù)b和二次項(xiàng)系數(shù)a共同決定對稱軸的位置：當(dāng)a與b同號時(shí)，對稱軸在y軸左；當(dāng)a與b異號時(shí)，對稱軸在y軸右．常數(shù)項(xiàng)c決定拋物線與y軸交點(diǎn)：拋物線與y軸交于（0，c）．拋物線與x軸交點(diǎn)個(gè)數(shù)由判別式確定：Δ＝b2﹣4ac＞0時(shí)，拋物線與x軸有2個(gè)交點(diǎn)；Δ＝b2﹣4ac＝0時(shí)，拋物線與x軸有1個(gè)交點(diǎn)；Δ＝b2﹣4ac＜0時(shí)，拋物線與x軸沒有交點(diǎn)．
7．（2分）如圖，在△ABC中，AM：MD＝3，BD：DC＝2：3，則AE：EC＝（ ）
A．8：5B．5：4C．6：5D．7：4
【分析】過點(diǎn)D作DG∥AC交BE于點(diǎn)G，用平行線分線段成比例定理以及比例的性質(zhì)進(jìn)行變形即可得到答案．
【解答】解：如圖，過點(diǎn)D作DG∥AC交BE于點(diǎn)G．
∵AM：MD＝3，BD：DC＝2：3，
∴，，
∵DG∥AC，
∴，，
∴CE＝DG，AE＝3DG，
∴＝．
故選：C．
【點(diǎn)評】此題主要考查平行線分線段成比例定理，用到的知識點(diǎn)：平行于三角形的一邊，并且和其他兩邊（或兩邊的延長線）相交的直線，所截得的三角形的三邊與原三角形的三邊對應(yīng)成比例．準(zhǔn)確作出輔助線是解題的關(guān)鍵．
8．（2分）拋物線y＝ax2+bx+c的頂點(diǎn)為A（2，m），且經(jīng)過點(diǎn)B（5，0），其部分圖象如圖所示．對于此拋物線有如下四個(gè)結(jié)論：
①ac＜0；
②a﹣b+c＞0；
③m+9a＝0
④若此拋物線經(jīng)過點(diǎn)C（t，n），則4﹣t一定是方程ax2+bx+c＝n的一個(gè)根．
其中所有正確結(jié)論的序號是（ ）
A．①②B．①③④C．③④D．①④
【分析】由拋物線開口和拋物線與y軸交點(diǎn)判斷①，由拋物線的對稱性及經(jīng)過點(diǎn)（5，0）可判斷②，由拋物線對稱軸為直線x＝2可得b＝﹣4a，由a﹣b+c＝0可得c＝﹣5a，從而判斷③，點(diǎn)C對稱點(diǎn)橫坐標(biāo)為4﹣t可判斷④．
【解答】解：∵拋物線開口向下，
∴a＜0，
∵拋物線與y軸交點(diǎn)在x軸上方，
∴c＞0，
∴ac＜0，①正確．
∵拋物線頂點(diǎn)為A（2，m），
∴拋物線對稱軸為直線x＝2，
∵拋物線過點(diǎn)（5，0），
∴由對稱性可得拋物線經(jīng)過點(diǎn)（﹣1，0），
∴a﹣b+c＝0，②錯誤，
∵﹣＝2，
∴b＝﹣4a，
∴5a+c＝0，
∴c＝﹣5a，
∵（2，m）為拋物線頂點(diǎn)，
∴4a+2b+c＝m，
∴4a﹣8a﹣5a＝m，即9a+m＝0，③正確，
∵拋物線經(jīng)過點(diǎn)C（t，n），
∴點(diǎn)C關(guān)于對稱軸對稱點(diǎn)（4﹣t，n）在拋物線上，
∴4﹣t為ax2+bx+c＝n的一個(gè)根，④正確．
故選：B．
【點(diǎn)評】本題考查二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系，解題關(guān)鍵是掌握二次函數(shù)的性質(zhì)、二次函數(shù)與方程及不等式的關(guān)系．
二、填空題（共8小題，滿分16分，每小題2分）
9．（2分）請你寫出一個(gè)二次函數(shù)，其圖象滿足條件：①開口向下；②與y軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為（0，3）．此二次函數(shù)的解析式可以是 y＝﹣x2+3（答案不唯一） ．
【分析】根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)可得出a＜0，利用二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征可得出c＝3，取a＝﹣1，b＝0即可得出結(jié)論．
【解答】解：設(shè)二次函數(shù)的解析式為y＝ax2+bx+c．
∵拋物線開口向下，
∴a＜0．
∵拋物線與y軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為（0，3），
∴c＝3．
取a＝﹣1，b＝0時(shí)，二次函數(shù)的解析式為y＝﹣x2+3．
故答案為：y＝﹣x2+3（答案不唯一）．
【點(diǎn)評】本題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)以及二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，利用二次函數(shù)的性質(zhì)及二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，找出a＜0，c＝3是解題的關(guān)鍵．
10．（2分）如圖，△ABD∽△ECD，∠ABD＝30°，則∠ECD的度數(shù)為 30° ．
【分析】根據(jù)相似三角形的對應(yīng)角相等得到答案即可．
【解答】解：∵△ABD∽△ECD，∠ABD＝30°，
∴∠ECD＝∠ABD＝30°，
故答案為：30°．
【點(diǎn)評】本題考查了相似三角形的性質(zhì)，了解相似三角形的對應(yīng)角相等是解答本題的關(guān)鍵，難度不大．
11．（2分）如圖，身高1.6米的小林從一盞路燈下B處向前走了8米到達(dá)點(diǎn)C處時(shí)，發(fā)現(xiàn)自己在地面上的影子CE長是2米，則路燈的高AB為 8 米．
【分析】根據(jù)CD∥AB，得出△ECD∽△EBA，進(jìn)而得出比例式求出即可．
【解答】解：由題意知，CE＝2米，CD＝1.6米，BC＝8米，CD∥AB，
則BE＝BC+CE＝10米，
∵CD∥AB，
∴△ECD∽△EBA
∴，即，
解得AB＝8（米），
即路燈的高AB為8米；
故答案為：8米．
【點(diǎn)評】此題主要考查了相似三角形的應(yīng)用，得出△ECD∽△EBA是解決問題的關(guān)鍵．
12．（2分）若點(diǎn)A（﹣2，y1），B（1，y2），C（﹣4，y3）在拋物線y＝2（x+1）2上，請將y1，y2，y3按從小到大的順序用“＜”連接 y1＜y2＜y3 ．
【分析】根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)得到拋物線y＝2（x+1）2的開口向上，對稱軸為直線x＝﹣1，然后根據(jù)三個(gè)點(diǎn)離對稱軸的遠(yuǎn)近判斷函數(shù)值的大?。?br>【解答】解：∵拋物線y＝2（x+1）2的開口向上，對稱軸為直線x＝﹣1，
而C（﹣4，y3）離直線x＝﹣1的距離最遠(yuǎn)，A（﹣2，y1）點(diǎn)離直線x＝﹣1最近，
∴y1＜y2＜y3．
故答案為：y1＜y2＜y3．
【點(diǎn)評】本題考查了二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征：二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)滿足其解析式．也考查了二次函數(shù)的性質(zhì)．
13．（2分）已知：如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)A在拋物線y＝x2﹣4x+6上運(yùn)動，過點(diǎn)A作AC⊥x軸于點(diǎn)C，以AC為對角線作正方形ABCD．則正方形的邊長AB的最小值是 ．
【分析】根據(jù)正方形的性質(zhì)得到AB＝AC，再將拋物線解析式整理成頂點(diǎn)式形式，當(dāng)正方形的邊長AB的最小時(shí)，即AC的值最?。?br>【解答】解：∵四邊形ABCD是正方形，
∴AB＝AC，
∵y＝x2﹣4x+6
＝（x﹣2）2+2，
∴當(dāng)x＝2時(shí)，AC有最小值2，
即正方形的邊長AB的最小值是．
故答案為：．
【點(diǎn)評】本題考查了二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，正方形的性質(zhì)，將拋物線解析式整理成頂點(diǎn)式形式求解更簡便．
14．（2分）已知二次函數(shù)y1＝ax2+bx+c（a≠0）與一次函數(shù)y2＝kx+m（k≠0）的圖象相交于點(diǎn)A（﹣1，4），B（4，2）．如圖所示，則能使y1＞y2成立的x的取值范圍 x＜﹣1或x＞4 ．
【分析】根據(jù)函數(shù)圖象寫出二次函數(shù)圖象在一次函數(shù)圖象上方部分的x的取值范圍即可．
【解答】解：∵兩函數(shù)圖象的交點(diǎn)坐標(biāo)為A（﹣1，4），B（4，2），
∴使y1＞y2成立的x的取值范圍是x＜﹣1或x＞4．
故答案為：x＜﹣1或x＞4．
【點(diǎn)評】本題考查了二次函數(shù)與不等式，此類題目，利用數(shù)形結(jié)合的思想求解更加簡便．
15．（2分）將三角形紙片（△ABC）按如圖所示的方式折疊，使點(diǎn)B落在邊AC上，記為點(diǎn)B′，折痕為EF．已知AB＝AC＝3，BC＝4，若以點(diǎn)B′、F、C為頂點(diǎn)的三角形與△ABC相似，那么BF的長度是 或2 ．
【分析】由于折疊前后的圖形不變，要考慮△B′FC與△ABC相似時(shí)的對應(yīng)情況，分兩種情況討論．
【解答】解：根據(jù)△B′FC與△ABC相似時(shí)的對應(yīng)關(guān)系，有兩種情況：
①△B′FC∽△ABC時(shí)，＝，
又∵AB＝AC＝3，BC＝4，B′F＝BF，
∴＝，
解得BF＝；
②△B′CF∽△BCA時(shí)，＝，
AB＝AC＝3，BC＝4，B′F＝CF，BF＝B′F，
而BF+FC＝4，即2BF＝4，
解得BF＝2．
故BF的長度是或2．
故答案為：或2．
【點(diǎn)評】本題考查對相似三角形性質(zhì)的理解：
（1）相似三角形周長的比等于相似比；
（2）相似三角形面積的比等于相似比的平方；
（3）相似三角形對應(yīng)高的比、對應(yīng)中線的比、對應(yīng)角平分線的比都等于相似比．
16．（2分）若關(guān)于x的一元二次方程﹣x2+4x﹣t＝0（t為實(shí)數(shù)）在1＜x＜5的范圍內(nèi)有解，則t的取值范圍是 ﹣5＜t≤4 ．
【分析】先根據(jù)根的判別式得到t≤4，再利用二次函數(shù)的性質(zhì)當(dāng)x＝5，52﹣20+t＞0時(shí)，方程在1＜x＜5的范圍內(nèi)有解，即t＞﹣5，從而得到t的范圍．
【解答】解：方程變形為x2﹣4x+t＝0，
根據(jù)題意得Δ＝42﹣4×1×t≥0，
解得t≤4，
當(dāng)x＝5，52﹣20+t＞0時(shí)，方程在1＜x＜5的范圍內(nèi)有解，即t＞﹣5，
所以t的取值范圍為﹣5＜t≤4．
故答案為：﹣5＜t≤4．
【點(diǎn)評】本題考查了根的判別式：一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根與Δ＝b2﹣4ac有如下關(guān)系：當(dāng)Δ＞0時(shí)，方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；當(dāng)Δ＝0時(shí)，方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根；當(dāng)Δ＜0時(shí)，方程無實(shí)數(shù)根．
三、解答題（共10小題，滿分68分，17題8分，19、22每小題8分，18、20-21、23-25每小題8分，26題6分.）解答應(yīng)寫出文字說明，演算步驟或證明過程.
17．（8分）解下列方程．
（1）x2﹣2x﹣1＝0；
（2）x2+3x﹣4＝0．
【分析】（1）利用配方法得到（x﹣1）2＝2，然后利用直接開平方法解方程；
（2）利用因式分解法把方程轉(zhuǎn)化為x+4＝0或x﹣1＝0，然后解一次方程即可．
【解答】解：（1）x2﹣2x﹣1＝0，
x2﹣2x+1＝2，
（x﹣1）2＝2，
x﹣1＝±，
所以x1＝1+，x2＝1﹣；
（2）x2+3x﹣4＝0，
（x+4）（x﹣1）＝0，
x+4＝0或x﹣1＝0，
所以x1＝﹣4，x2＝1．
【點(diǎn)評】本題考查了解一元二次方程﹣因式分解法：因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，這種方法簡便易用，是解一元二次方程最常用的方法．也考查了配方法．
18．（7分）如圖，在Rt△ABC和Rt△ACD中，∠B＝∠ACD＝90°，AC平分∠BAD．
（1）證明：△ABC∽△ACD；
（2）若AB＝4，AC＝5，求BC和CD的長．
【分析】（1）由角平分線定義得∠BAC＝∠CAD，再由∠B＝∠ACD＝90°，即可得出結(jié)論；
（2）先由勾股定理求出BC＝3，再由相似三角形的性質(zhì)求出CD即可．
【解答】（1）證明：∵AC平分∠BAD，
∴∠BAC＝∠CAD，
又∵∠B＝∠ACD＝90°，
∴△ABC∽△ACD；
（2）解：∵∠B＝90°，AB＝4，AC＝5，
∴BC＝＝＝3，
由（1）得：△ABC∽△ACD，
∴＝，
即＝，
解得：CD＝．
【點(diǎn)評】本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)以及勾股定理等知識；熟練掌握勾股定理，證明三角形相似是解題的關(guān)鍵．
19．（6分）已知二次函數(shù)y＝x2﹣2x﹣3．
（1）畫出它的圖象；
（2）該二次函數(shù)圖象的對稱軸為 x＝1 ，頂點(diǎn)坐標(biāo)為 （1，﹣4） ；
（3）當(dāng)x ＜1 時(shí)，y的值隨x值的增大而減小；
（4）當(dāng)y＞0時(shí)，x的取值范圍是 x＞3或x＜﹣1 ；
（5）當(dāng)0≤x≤4時(shí)，y的取值范圍是 ﹣4≤y≤5 ．
【分析】（1）根據(jù)函數(shù)解析式求出拋物線的對稱軸，頂點(diǎn)坐標(biāo)，拋物線與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)，然后根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)用五點(diǎn)法作出函數(shù)圖象；
（2）根據(jù)函數(shù)圖象即可得出結(jié)論；
（3）根據(jù)函數(shù)圖象即可得出結(jié)論；
（4）根據(jù)函數(shù)圖象即可得出結(jié)論；
【解答】解：（1）y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4，
∴對稱軸為x＝1，頂點(diǎn)坐標(biāo)為（1，﹣4）；
令y＝x2﹣2x﹣3＝0，解得：x＝﹣1或3，
∴拋物線與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為（﹣1，0）和（3，0）；
令x＝0，則y＝﹣3，
∴拋物線與y軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為（0，﹣3），
圖象如圖所示：
（2）二次函數(shù)圖象的對稱軸為x＝1，頂點(diǎn)坐標(biāo)為（1，﹣4），
故答案為：x＝1，（1，﹣4）；
（3）由圖象得，當(dāng)x＜1時(shí)，y的值隨x值的增大而減小，
故答案為：＜1；
（3）當(dāng)y＞0時(shí)，x的取值范圍是x＞3或x＜﹣1，
故答案為：x＞3或x＜﹣1；
（4）當(dāng)x＝0時(shí)，y＝﹣3；當(dāng)x＝4時(shí)，y＝5，
∴當(dāng)0≤x≤4時(shí)，y的取值范圍是﹣4≤y≤5，
故答案為：﹣4≤y≤5．
【點(diǎn)評】本題考查拋物線與x軸的交點(diǎn)以及二次函數(shù)的性質(zhì)，關(guān)鍵是掌握二次函數(shù)的性質(zhì)．
20．（7分）已知：如圖，在四邊形ABCD中，AC為對角線，AD∥BC，BC＝2AD，∠BAC＝90°，過點(diǎn)A作AE∥DC交BC于點(diǎn)E．
（1）求證：四邊形AECD為菱形；
（2）若AB＝AE＝2，求四邊形AECD的面積．
【分析】（1）先證明四邊形AECD為平行四邊形，再由直角三角形的性質(zhì)求得AE＝EC，進(jìn)而由菱形的判定定理得結(jié)論；
（2）連接DE，證明△ABE是等邊三角形，進(jìn)而求得AC，再證明四邊形ABED是平行四邊形，便可求得DE，最后根據(jù)菱形的面積公式得結(jié)果．
【解答】解：（1）∵AD∥BC，AE∥DC，
∴四邊形AECD為平行四邊形，
∴AD＝EC，
∵BC＝2AD，
∴BC＝2EC．
∴E為BC的中點(diǎn)
∵∠BAC＝90°，
∴BC＝2AE
∴AE＝EC，
∵四邊形AECD為平行四邊形，
∴四邊形AECD為菱形；
（2）解：連接DE，
∵AB＝AE＝2，AE＝BE，
∴AB＝AE＝BE＝2，
∴△ABE是等邊三角形．
∴∠B＝60°．
∵AD＝BE，AD∥BC，
∴四邊形ABED為平行四邊形．
∴DE＝AB＝2，
∵∠B＝60°，∠BAC＝90°，AB＝2，
∴BC＝4．
∴．
∴SAECD＝＝2．
【點(diǎn)評】本題主要考查了菱形的性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)與判定，平行四邊形的判定與性質(zhì)，關(guān)鍵是熟悉這些性質(zhì)和定理．
21．（7分）已知關(guān)于x的一元二次方程x2﹣（a+2）x+a+1＝0．
（1）求證：方程總有兩個(gè)實(shí)數(shù)根；
（2）若方程的兩個(gè)根都是正整數(shù)，求a的最小值．
【分析】（1）根據(jù)方程的系數(shù)結(jié)合根的判別式Δ＝b2﹣4ac，可得出Δ＝a2，由偶次方的非負(fù)性可得出a2≥0，即Δ≥0，進(jìn)而可證出方程總有兩個(gè)實(shí)數(shù)根；
（2）利用因式分解法解一元二次方程，可得出x1＝1，x2＝a+1，結(jié)合方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根都是正整數(shù)，即可得出a的取值范圍，取其中的最小整數(shù)即可得出結(jié)論．
【解答】（1）證明：依題意，得Δ＝[﹣（a+2）]2﹣4（a+1）
＝a2+4a+4﹣4a﹣4
＝a2．
∵a2≥0，
∴△≥0．
∴方程總有兩個(gè)實(shí)數(shù)根．
（2）解：解方程x2﹣（a+2）x+a+1＝0，
得x1＝1，x2＝a+1，
∵方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根都是正整數(shù)，
∴a+1≥1．
∴a≥0．
∴a的最小值為0．
【點(diǎn)評】本題考查的是根的判別式及一元二次方程的解法，在解答（2）時(shí)得到方程的兩個(gè)根是解題的關(guān)鍵．
22．（6分）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，一次函數(shù)y＝kx+b（k≠0）的圖象經(jīng)過點(diǎn)（﹣1，0），（0，2）．
（1）求這個(gè)一次函數(shù)的表達(dá)式；
（2）當(dāng)x＞﹣2時(shí)，對于x的每一個(gè)值，函數(shù)y＝mx（m≠0）的值小于一次函數(shù)y＝kx+b（k≠0）的值，直接寫出m的取值范圍．
【分析】（1）待定系數(shù)法求解析式；
（2）當(dāng)x＝﹣2時(shí)，求出y＝2x+2的值，然后根據(jù)題意，得不等式，即可求出m的取值范圍．
【解答】解：（1）將點(diǎn)（﹣1，0），（0，2）代入一次函數(shù)y＝kx+b，
得，
解得，
∴一次函數(shù)解析式：y＝2x+2；
（2）當(dāng)x＝﹣2時(shí)，y＝2x+2＝﹣2，
根據(jù)題意，可知當(dāng)x＝﹣2時(shí)，﹣2m≤﹣2，
解得m≥1，
∴m的取值范圍是1≤m≤2．
【點(diǎn)評】本題考查了一次函數(shù)解析式與圖象，熟練掌握待定系數(shù)法與函數(shù)圖象是解題的關(guān)鍵．
23．（7分）如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，拋物線y＝ax2+bx﹣3與直線y＝﹣x﹣1交于點(diǎn)A（﹣1，0），B（m，﹣3），點(diǎn)P是線段AB上的動點(diǎn)．
（1）①m＝ 2 ；
②求拋物線的解析式．
（2）過點(diǎn)P作直線l垂直于x軸，交拋物線y＝ax2+bx﹣3于點(diǎn)Q，求線段PQ的長最大時(shí)，點(diǎn)P的坐標(biāo)．
【分析】（1）①將點(diǎn)B（m，﹣3）代入直線y＝﹣x﹣1，即可得m的值；②由①知點(diǎn)B（2，﹣3），根據(jù)點(diǎn)A（﹣1，0），B（2，﹣3）在拋物線y＝ax2+bx﹣3上，即可求出拋物線的解析式；
（2）設(shè)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為x，其中﹣1≤x≤2，可得點(diǎn)P（x，﹣x﹣1），點(diǎn)Q（x，x2﹣2x﹣3），得PQ＝﹣x2+x+2，進(jìn)而可得點(diǎn)P的坐標(biāo)．
【解答】解：（1）①∵拋物線y＝ax2+bx﹣3與直線y＝﹣x﹣1交于點(diǎn)A（﹣1，0），B（m，﹣3），
∴將點(diǎn)B（m，﹣3）代入直線y＝﹣x﹣1，得﹣m﹣1＝﹣3，
解得m＝2，
故答案為：2；
②由①知：B（2，﹣3），
∵點(diǎn)A（﹣1，0），B（2，﹣3）在拋物線y＝ax2+bx﹣3上，
∴，
解得，
∴拋物線的解析式為y＝x2﹣2x﹣3；
（2）設(shè)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為x，其中﹣1≤x≤2，
∴點(diǎn)P（x，﹣x﹣1），點(diǎn)Q（x，x2﹣2x﹣3），
∴PQ＝﹣x2+x+2，
∴當(dāng)x＝時(shí)，PQ最大，
此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（，﹣）．
【點(diǎn)評】本題考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式，一次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，二次函數(shù)的性質(zhì)，二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，二次函數(shù)的最值，解決本題的關(guān)鍵是綜合掌握二次函數(shù)的相關(guān)知識．
24．（7分）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，A（m﹣1，y1），B（3，y2）是拋物線y＝x2﹣2mx+m2﹣4上兩點(diǎn)．
（1）將y＝x2﹣2mx+m2﹣4寫成y＝a（x﹣h）2+k的形式；
（2）若m＝1，比較y1，y2的大小，并說明理由；
（3）若y1＜y2，直接寫出m的取值范圍．
【分析】（1）利用配方法化簡即可；
（2）根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)即可判斷；
（3）根據(jù)題意得到|m﹣1﹣m|＜|3﹣m|，解不等式即可求得．
【解答】解：（1）y＝x2﹣2mx+m2﹣4＝（x﹣m）2﹣4；
（2）y1＜y2，理由如下：
若m＝1時(shí)，拋物線對稱軸是直線x＝1，
∵A（0，y1），B（3，y2），
∴B到y(tǒng)軸的距離大于A到y(tǒng)軸的距離，
∵a＞0，
∴y1＜y2；
（3）∵拋物線開口向上，對稱軸為直線x＝m，
∴若y1＜y2，則|m﹣1﹣m|＜|3﹣m|，
解得m＜2或m＞4．
【點(diǎn)評】本題考查了二次函數(shù)與系數(shù)的關(guān)系，二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，熟知二次函數(shù)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
25．（7分）在等腰直角△ABC中，AB＝AC，∠A＝90°，過點(diǎn)B作BC的垂線l．點(diǎn)P為直線AB上的一個(gè)動點(diǎn)（不與點(diǎn)A，B重合），將射線PC繞點(diǎn)P順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°交直線l于點(diǎn)D．
（1）如圖1，點(diǎn)P在線段AB上，依題意補(bǔ)全圖形．
①求證：∠BDP＝∠PCB；
②用等式表示線段BC，BD，BP之間的數(shù)量關(guān)系，并證明．
（2）點(diǎn)P在線段AB的延長線上，直接寫出線段BC，BD，BP之間的數(shù)量關(guān)系．
【分析】（1）①根據(jù)題意補(bǔ)全圖形，由直角三角形的性質(zhì)可得出答案；
②過點(diǎn)P作PF⊥BP交BC于點(diǎn)F，證明△BPD≌△FPC（AAS），由全等三角形的性質(zhì)得出BD＝FC，由等腰直角三角形的性質(zhì)可得出結(jié)論；
（2）過點(diǎn)P作PM⊥PB交BD于點(diǎn)M，證明△PMD≌△PBC（AAS），由全等三角形的性質(zhì)可得出DM＝BC，則可得出結(jié)論．
【解答】解：（1）①補(bǔ)全圖形如圖1，
證明：如圖1，設(shè)PD與BC的交點(diǎn)為點(diǎn)E，
根據(jù)題意可知，∠CPD＝90°，
∵BC⊥l，
∴∠DBC＝90°，
∴∠BDP+∠BED＝∠PCB+∠PEC＝90°，
∴∠BDP＝∠PCB；
②BC﹣BD＝BP．
證明：如圖2，過點(diǎn)P作PF⊥BP交BC于點(diǎn)F，
∵AB＝AC，∠A＝90°，
∴∠ABC＝45°，
∴BP＝BF，∠PFB＝45°，
∴∠PBD＝∠PFC＝135°，
又∵∠BDP＝∠PCF，
∴△BPD≌△FPC（AAS），
∴BD＝FC，
在等腰直角△BPF中，BF＝BP，
∴BC﹣BD＝BP．
（2）BD﹣BC＝BP．
證明：如圖3，過點(diǎn)P作PM⊥PB交BD于點(diǎn)M，
由（1）可知∠ABC＝∠PBM＝45°，
∴∠PBM＝∠PMB＝45°，
∴PB＝PM，∠PBC＝∠PCB＝135°，
同（1）可得∠PDB＝∠PCB，
∴△PMD≌△PBC（AAS），
∴DM＝BC，
∵PB＝PM，∠BPM＝90°，
∴BM＝PB，
∴BD﹣DM＝BM＝BD﹣BC＝PB．
【點(diǎn)評】此題是三角形綜合題，主要考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，等腰直角三角形的判定和性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，熟練掌握等腰直角三角形的性質(zhì)及全等三角形的判定與性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵．
26．（6分）對某一個(gè)函數(shù)給出如下定義：如果存在實(shí)數(shù)M，對于任意的函數(shù)值y，都滿足y≤M，那么稱這個(gè)函數(shù)是有上界函數(shù)．在所有滿足條件的M中，其最小值稱為這個(gè)函數(shù)的上確界．例如，圖中的函數(shù)y＝﹣（x﹣3）2+2是有上界函數(shù)，其上確界是2．
（1）函數(shù)①y＝x2+2x+1和②y＝2x﹣3（x≤2）中是有上界函數(shù)的為 ② （只填序號即可），其上確界為 1 ；
（2）如果函數(shù)y＝﹣x+2（a≤x≤b，b＞a）的上確界是b，且這個(gè)函數(shù)的最小值不超過2a+1，求a的取值范圍；
（3）如果函數(shù)y＝x2﹣2ax+2（1≤x≤5）是以3為上確界的有上界函數(shù)，求實(shí)數(shù)a的值．
【分析】（1）分別求出兩個(gè)函數(shù)的最大值即可求解；
（2）由題意可知：﹣b+2≤y≤﹣a+2，再由﹣a+2＝b，﹣b+2≤2a+1，b＞a，即可求a的取值范圍；
（3）當(dāng)a≤1時(shí)，27﹣10a＝3，可得a＝2.4（舍）；當(dāng)a≥5時(shí)，3﹣2a＝3，可得a＝0（舍）；當(dāng)1＜a≤3時(shí)，27﹣10a＝3，可得a＝2.4；當(dāng)3＜a＜5時(shí)，3﹣2a＝3，可得a＝0．
【解答】解：（1）①y＝x2+2x+1＝（x+1）2≥0，
∴①無上確界；
②y＝2x﹣3（x≤2），
∴y≤1，
∴②有上確界，且上確界為1，
故答案為：②，1；
（2）∵y＝﹣x+2，y隨x值的增大而減小，
∴當(dāng)a≤x≤b時(shí)，﹣b+2≤y≤﹣a+2，
∵上確界是b，
∴﹣a+2＝b，
∵函數(shù)的最小值不超過2a+1，
∴﹣b+2≤2a+1，
∴a≥﹣1，
∵b＞a，
∴﹣a+2＞a，
∴a＜1，
∴a的取值范圍為：﹣1≤a＜1；
（3）y＝x2﹣2ax+2的對稱軸為直線x＝a，
當(dāng)a≤1時(shí)，y的最大值為25﹣10a+2＝27﹣10a，
∵3為上確界，
∴27﹣10a＝3，
∴a＝2.4（舍）；
當(dāng)a≥5時(shí)，y的最大值為1﹣2a+2＝3﹣2a，
∵3為上確界，
∴3﹣2a＝3，
∴a＝0（舍）；
當(dāng)1＜a≤3時(shí)，y的最大值為25﹣10a+2＝27﹣10a，
∵3為上確界，
∴27﹣10a＝3，
∴a＝2.4；
當(dāng)3＜a＜5時(shí)，y的最大值為1﹣2a+2＝3﹣2a，
∵3為上確界，
∴3﹣2a＝3，
∴a＝0，
綜上所述：a的值為2.4．
【點(diǎn)評】本題是二次函數(shù)的綜合題，熟練掌握二次函數(shù)的圖象及性質(zhì)，根據(jù)所給范圍分類討論求二次函數(shù)的最大值是解題的關(guān)鍵．
聲明：試題解析著作權(quán)屬菁優(yōu)網(wǎng)所有，未經(jīng)書面同意，不得復(fù)制發(fā)布日期：2023/7/11 11:37:52；用戶：笑涵數(shù)學(xué)；郵箱：15699920825；學(xué)號：36906111