2021-2022學(xué)年北京市徐悲鴻中學(xué)九年級(jí)（上）期中數(shù)學(xué)試卷【含解析】

這是一份2021-2022學(xué)年北京市徐悲鴻中學(xué)九年級(jí)（上）期中數(shù)學(xué)試卷【含解析】，共26頁(yè)。試卷主要包含了填空題等內(nèi)容，歡迎下載使用。
1．（2分）拋物線y＝（x﹣1）2+2的頂點(diǎn)坐標(biāo)是（ ）
A．（1，2）B．（1，﹣2）C．（﹣1，2）D．（﹣1，﹣2）
2．（2分）下列圖形中，既是中心對(duì)稱，又是軸對(duì)稱的是（ ）
A．B．
C．D．
3．（2分）如圖，⊙O的直徑為10，AB為弦，OC⊥AB，垂足為C，若OC＝3，則弦AB的長(zhǎng)為（ ）
A．8B．6C．4D．10
4．（2分）如圖，AB是⊙O的直徑，CD是⊙O的弦，如果∠ACD＝34°，那么∠BAD等于（ ）
A．34°B．46°C．56°D．66°
5．（2分）拋物線y＝3x2向左平移1個(gè)單位，再向下平移2個(gè)單位，所得到的拋物線是（ ）
A．y＝3（x﹣1）2﹣2B．y＝3（x+1）2﹣2
C．y＝3（x+1）2+2D．y＝3（x﹣1）2+2
6．（2分）⊙O的半徑為5，圓心O到點(diǎn)P的距離為6，則點(diǎn)P與⊙O的位置關(guān)系是（ ）
A．點(diǎn)在圓外B．點(diǎn)在圓上C．點(diǎn)在圓內(nèi)D．無(wú)法確定
7．（2分）二次函數(shù)y＝kx2﹣6x+3的圖象與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)，則k的取值范圍是（ ）
A．k＜3B．k＜3且k≠0C．k≤3D．k≤3且k≠0
8．（2分）小軒從如圖所示的二次函數(shù)y＝ax2+bx+c（a≠0）的圖象中，觀察得出了下面五條信息：①abc＜0；②a+b+c＜0；③b+2c＞0；④4ac﹣b2＞0；⑤a＝b．你認(rèn)為其中正確信息的個(gè)數(shù)有（ ）
A．2B．3C．4D．5
二、填空題（本題共16分，每小題2分）
9．（2分）拋物線y＝2（x﹣3）2﹣1開(kāi)口向 ，有最 值為 ．
10．（2分）已知﹣1是關(guān)于x的一元二次方程x2+kx﹣3＝0的一個(gè)根，則k＝ ．
11．（2分）如圖，P是等邊△ABC內(nèi)一點(diǎn)，△BCM是由△BAP旋轉(zhuǎn)所得，則∠PBM＝ °．
12．（2分）寫(xiě)出一個(gè)開(kāi)口向上，經(jīng)過(guò)點(diǎn)（1，0）的二次函數(shù) ．
13．（2分）在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)P（2，﹣3）關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱點(diǎn)P′的坐標(biāo)是 ．
14．（2分）關(guān)于x的一元二次方程（a﹣5）x2﹣4x﹣1＝0有實(shí)數(shù)根，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是 ．
15．（2分）“圓材埋壁”是我國(guó)古代著名數(shù)學(xué)著作《九章算術(shù)》中的問(wèn)題：“今有圓材，埋在壁中，不知大小，以鋸鋸之，深一寸，鋸道長(zhǎng)一尺，問(wèn)徑幾何？”用數(shù)學(xué)語(yǔ)言可以表述為：“如圖，CD為⊙O的直徑，弦AB⊥CD于E，如果CE＝1，AB＝10，那么半徑OC的長(zhǎng)為 ．”
16．（2分）如圖，在同一平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y1＝ax2+bx+c與兩坐標(biāo)軸分別交于A（﹣1，0）、點(diǎn)B（3，0）和點(diǎn)C（0，﹣3），直線y2＝mx+n與拋物線交于B、C兩點(diǎn)．
（1）當(dāng)x滿足 時(shí)，y1＞y2；
（2）當(dāng)x滿足 時(shí)，y1?y2＞0．
三、解答題（本題共68分，第17～22題，每小題5分，第23-26題，每小題5分，第27，28題，每小題5分）解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，演算步驟或證明過(guò)程．
17．（5分）解方程：x2﹣2x﹣3＝0．
18．（5分）二次函數(shù)y＝x2+bx+3的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)（4，3）．
（1）求b的值；
（2）寫(xiě)出該二次函數(shù)圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)和對(duì)稱軸．
19．（5分）已知：二次函數(shù)y＝ax2+bx+c（a≠0）中的x和y滿足下表．
（1）這個(gè)二次函數(shù)的對(duì)稱軸是 ；
（2）可求得m的值為 ；
（3）求出這個(gè)二次函數(shù)的解析式．
20．（5分）已知：如圖，直線AC與圓O交于點(diǎn)B、C，直線AD過(guò)圓心O，若圓O的半徑是5，且∠DAC＝30°，AD＝13，OE⊥BC于點(diǎn)E，求弦BC的長(zhǎng)．
21．（5分）已知△ABC在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)，三個(gè)頂點(diǎn)坐標(biāo)為A（0，3），B（4，5），C（3，2）．（正方形網(wǎng)格中，每個(gè)小正方形邊長(zhǎng)都是1個(gè)單位長(zhǎng)度）．請(qǐng)畫(huà)出△ABC關(guān)于點(diǎn)O成中心對(duì)稱的△A'B'C'（請(qǐng)保留畫(huà)圖痕跡，不要求寫(xiě)出畫(huà)法）．
22．（5分）如圖，AB是⊙O的直徑，點(diǎn)C在⊙O上，D是中點(diǎn)，若∠BAC＝70°，求∠C．
下面是小諾的解答過(guò)程，請(qǐng)幫她補(bǔ)充完整．
∵D是中點(diǎn)，
∴，
∴∠1＝∠2．
∵∠BAC＝70°，
∴∠2＝35°．
∵AB是⊙O的直徑，
∴∠ADB＝90°（ ）（填推理的依據(jù)）．
∴∠B＝90°﹣∠2＝55°．
∵A、B、C、D四個(gè)點(diǎn)都在⊙O上，
∴∠C+∠B＝180°（ ）（填推理的依據(jù)）．
∴∠C＝180°﹣∠B＝ （填計(jì)算結(jié)果）．
23．（6分）求證：無(wú)論k為何值時(shí)，二次函數(shù)y＝﹣x2+kx+2的圖象與x軸總有兩個(gè)交點(diǎn)．
24．（6分）如圖，已知⊙O為△ABC的外接圓，CE是⊙O的直徑，CD⊥AB，D為垂足，求證：∠ACD＝∠BCE．
25．（6分）一條單車道的拋物線形隧道如圖所示．隧道中公路的寬度AB＝8m，隧道的最高點(diǎn)C到公路的距離為6m．
（1）建立適當(dāng)?shù)钠矫嬷苯亲鴺?biāo)系，求拋物線的表達(dá)式；
（2）現(xiàn)有一輛貨車的高度是4.4m，貨車的寬度是2m，為了保證安全，車頂距離隧道頂部至少0.5m，通過(guò)計(jì)算說(shuō)明這輛貨車能否安全通過(guò)這條隧道．
26．（6分）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知二次函數(shù)y＝mx2+2mx+3的圖象與x軸交于點(diǎn)A（﹣3，0），與y軸交于點(diǎn)B，將其圖象在點(diǎn)A，B之間的部分（含A，B兩點(diǎn)）記為F．
（1）求點(diǎn)B的坐標(biāo)及該函數(shù)的表達(dá)式；
（2）若直線y＝a與F只有一個(gè)公共點(diǎn)，結(jié)合函數(shù)圖象，直接寫(xiě)出a的取值范圍．
27．（7分）正方形ABCD中，將邊AB所在直線繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)一個(gè)角度α得到直線AM，過(guò)點(diǎn)C作CE⊥AM，垂足為E，連接BE．
（1）當(dāng)0°＜α＜45°時(shí)，設(shè)AM交BC于點(diǎn)F，
①如圖1，若α＝35°，則∠BCE＝ °；
②如圖2，用等式表示線段AE，BE，CE之間的數(shù)量關(guān)系，并證明；
（2）當(dāng)45°＜α＜90°時(shí)（如圖3），請(qǐng)直接用等式表示線段AE，BE，CE之間的數(shù)量關(guān)系．
28．（7分）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，給出如下定義：若點(diǎn)P在圖形M上，點(diǎn)Q在圖形N上，如果PQ兩點(diǎn)間的距離有最小值，那么稱這個(gè)最小值為圖形M，N的“近距離”，記為d（M，N）．特別地，當(dāng)圖形M與圖形N有公共點(diǎn)時(shí)，d（M，N）＝0．已知A（﹣4，0），B（0，4），C（﹣2，0）．
（1）d（點(diǎn)A，點(diǎn)B）＝ ，d（點(diǎn)A，線段BC）＝ ；
（2）⊙O半徑為r，
①當(dāng)r＝1時(shí)，⊙O與線段AB的“近距離”d（⊙O，線段AB）＝ ；
②若d（⊙O，△ABC）＝1，則r＝ ．
2021-2022學(xué)年北京市徐悲鴻中學(xué)九年級(jí)（上）期中數(shù)學(xué)試卷
參考答案與試題解析
一、選擇題（本題共16分，每小題2分）下面各題均有四個(gè)選項(xiàng)，其中只有一個(gè)是符合題意的．
1．（2分）拋物線y＝（x﹣1）2+2的頂點(diǎn)坐標(biāo)是（ ）
A．（1，2）B．（1，﹣2）C．（﹣1，2）D．（﹣1，﹣2）
【分析】根據(jù)拋物線的頂點(diǎn)式解析式寫(xiě)出頂點(diǎn)坐標(biāo)即可．
【解答】解：y＝（x﹣1）2+2的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（1，2）．
故選：A．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，熟練掌握利用頂點(diǎn)式解析式寫(xiě)出頂點(diǎn)坐標(biāo)的方法是解題的關(guān)鍵．
2．（2分）下列圖形中，既是中心對(duì)稱，又是軸對(duì)稱的是（ ）
A．B．
C．D．
【分析】根據(jù)軸對(duì)稱圖形和中心對(duì)稱圖形的概念對(duì)各選項(xiàng)分析判斷即可得解．
【解答】解：A、不是中心對(duì)稱圖形，也不是軸對(duì)稱圖形，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；
B、既是中心對(duì)稱圖形又是軸對(duì)稱圖形，故本選項(xiàng)正確；
C、不是中心對(duì)稱圖形，是軸對(duì)稱圖形，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；
D、是中心對(duì)稱圖形，不是軸對(duì)稱圖形，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤．
故選：B．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了中心對(duì)稱圖形與軸對(duì)稱圖形的概念．軸對(duì)稱圖形的關(guān)鍵是尋找對(duì)稱軸，圖形兩部分折疊后可重合，中心對(duì)稱圖形是要尋找對(duì)稱中心，旋轉(zhuǎn)180度后兩部分重合．
3．（2分）如圖，⊙O的直徑為10，AB為弦，OC⊥AB，垂足為C，若OC＝3，則弦AB的長(zhǎng)為（ ）
A．8B．6C．4D．10
【分析】先連接OA，根據(jù)勾股定理求出AC的長(zhǎng)，由垂徑定理可知，AB＝2AC，進(jìn)而可得出結(jié)論．
【解答】解：連接OA，
∵OA＝5，OC＝3，OC⊥AB，
∴AC＝＝＝4，
∵OC⊥AB，
∴AB＝2AC＝2×4＝8．
故選：A．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是垂徑定理及勾股定理，根據(jù)題意作出輔助線，構(gòu)造出直角三角形是解答此題的關(guān)鍵．
4．（2分）如圖，AB是⊙O的直徑，CD是⊙O的弦，如果∠ACD＝34°，那么∠BAD等于（ ）
A．34°B．46°C．56°D．66°
【分析】由AB是⊙O的直徑，根據(jù)直徑所對(duì)的圓周角是直角，可求得∠ADB＝90°，又由∠ACD＝34°，可求得∠ABD的度數(shù)，再根據(jù)直角三角形的性質(zhì)求出答案．
【解答】解：∵AB是⊙O的直徑，
∴∠ADB＝90°，
∵∠ACD＝34°，
∴∠ABD＝34°
∴∠BAD＝90°﹣∠ABD＝56°，
故選：C．
【點(diǎn)評(píng)】此題考查了圓周角定理以及直角三角形的性質(zhì)．此題比較簡(jiǎn)單，注意掌握數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．
5．（2分）拋物線y＝3x2向左平移1個(gè)單位，再向下平移2個(gè)單位，所得到的拋物線是（ ）
A．y＝3（x﹣1）2﹣2B．y＝3（x+1）2﹣2
C．y＝3（x+1）2+2D．y＝3（x﹣1）2+2
【分析】直接根據(jù)“上加下減，左加右減”的原則進(jìn)行解答即可．
【解答】解：由“左加右減”的原則可知，將拋物線y＝3x2向左平移1個(gè)單位所得的拋物線的表達(dá)式是y＝3（x+1）2；
由“上加下減”的原則可知，將拋物線y＝3（x+1）2向下平移2個(gè)單位所得的拋物線的表達(dá)式是y＝3（x+1）2﹣2．
故選：B．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是二次函數(shù)的圖象與幾何變換，熟知函數(shù)圖象平移的法則是解答此題的關(guān)鍵．
6．（2分）⊙O的半徑為5，圓心O到點(diǎn)P的距離為6，則點(diǎn)P與⊙O的位置關(guān)系是（ ）
A．點(diǎn)在圓外B．點(diǎn)在圓上C．點(diǎn)在圓內(nèi)D．無(wú)法確定
【分析】直接根據(jù)點(diǎn)與圓的位置關(guān)系的判斷方法求解．
【解答】解：∵⊙O的半徑為5，圓心O到點(diǎn)P的距離為6，
∴圓心O到點(diǎn)P的距離大于圓的半徑，
∴點(diǎn)P在⊙O外．
故選：A．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了點(diǎn)與圓的位置關(guān)系：點(diǎn)與圓的位置關(guān)系有3種．設(shè)⊙O的半徑為r，點(diǎn)P到圓心的距離OP＝d，則有：點(diǎn)P在圓外?d＞r；點(diǎn)P在圓上?d＝r；點(diǎn)P在圓內(nèi)?d＜r．
7．（2分）二次函數(shù)y＝kx2﹣6x+3的圖象與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)，則k的取值范圍是（ ）
A．k＜3B．k＜3且k≠0C．k≤3D．k≤3且k≠0
【分析】根據(jù)根的判別式與二次函數(shù)的定義列出關(guān)于k的不等式組，求出k的取值范圍即可．
【解答】解：∵二次函數(shù)y＝kx2﹣6x+3的圖象與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)，
∴，即，
解得k＜3且k≠0．
故選：B．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是拋物線與x軸的交點(diǎn)，熟知拋物線與x軸的交點(diǎn)與△的關(guān)系是解答此題的關(guān)鍵．
8．（2分）小軒從如圖所示的二次函數(shù)y＝ax2+bx+c（a≠0）的圖象中，觀察得出了下面五條信息：①abc＜0；②a+b+c＜0；③b+2c＞0；④4ac﹣b2＞0；⑤a＝b．你認(rèn)為其中正確信息的個(gè)數(shù)有（ ）
A．2B．3C．4D．5
【分析】利用函數(shù)圖象分別求出a，b，c的符號(hào)，進(jìn)而得出x＝1或﹣1時(shí)y的符號(hào)，進(jìn)而判斷得出答案．
【解答】解：∵圖象開(kāi)口向下，
∴a＜0，
∵對(duì)稱軸x＝﹣＝﹣，
∴3b＝2a，則a＝b，
∴b＜0，
∵圖象與x軸交于y軸正半軸，
∴c＞0，
∴abc＞0，故選項(xiàng)①錯(cuò)誤；選項(xiàng)⑤正確；
②由圖象可得出：當(dāng)x＝1時(shí)，y＜0，
∴a+b+c＜0，故選項(xiàng)②正確；
③當(dāng)x＝﹣1時(shí)，y＝a﹣b+c＞0，
∴b﹣b+c＞0，
∴b+2c＞0，故選項(xiàng)③正確；
④拋物線與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)，則b2﹣4ac＞0，則4ac﹣b2＜0，
故選項(xiàng)④錯(cuò)誤．
故正確的有3個(gè)．
故選：B．
【點(diǎn)評(píng)】主要考查圖象與二次函數(shù)系數(shù)之間的關(guān)系，會(huì)利用對(duì)稱軸的范圍求2a與b的關(guān)系，以及二次函數(shù)與方程之間的轉(zhuǎn)換，根的判別式的熟練運(yùn)用．
二、填空題（本題共16分，每小題2分）
9．（2分）拋物線y＝2（x﹣3）2﹣1開(kāi)口向 上 ，有最 小 值為 ﹣1 ．
【分析】根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)即可得出答案．
【解答】解：∵二次項(xiàng)的系數(shù)大于0，
∴拋物線的開(kāi)口向上，
由拋物線的解析式可得頂點(diǎn)為（3，﹣1），
∴函數(shù)有最小值為﹣1，
故答案為：上，小，﹣1．
【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查二次函數(shù)的性質(zhì)，關(guān)鍵是要牢記二次函數(shù)的頂點(diǎn)式的意義．
10．（2分）已知﹣1是關(guān)于x的一元二次方程x2+kx﹣3＝0的一個(gè)根，則k＝ ﹣2 ．
【分析】把x＝﹣1代入方程x2+kx﹣3＝0得1﹣k﹣3＝0，然后解關(guān)于k的方程．
【解答】解：把x＝﹣1代入方程x2+kx﹣3＝0得1﹣k﹣3＝0，解得k＝﹣2．
故答案為﹣2．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右兩邊相等的未知數(shù)的值是一元二次方程的解．
11．（2分）如圖，P是等邊△ABC內(nèi)一點(diǎn)，△BCM是由△BAP旋轉(zhuǎn)所得，則∠PBM＝ 60 °．
【分析】連接PM，根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知∠MBC＝∠PBA，再根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)可證∠MBC+∠CBP＝∠PBA+∠CBP＝∠ABC＝60°．
【解答】解：如圖，連接PM，
根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得：∠MBC＝∠PBA，
∵△ABC是等邊三角形，
∴∠ABC＝60°，
∴∠MBC+∠CBP＝∠PBA+∠CBP＝∠ABC＝60°，
即∠PBM＝60°．
故答案為：60．
【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)等知識(shí)，明確旋轉(zhuǎn)前后對(duì)應(yīng)角相等是解題的關(guān)鍵．
12．（2分）寫(xiě)出一個(gè)開(kāi)口向上，經(jīng)過(guò)點(diǎn)（1，0）的二次函數(shù) y＝x2﹣1（答案不唯一） ．
【分析】根據(jù)題意和二次函數(shù)的性質(zhì)，可以寫(xiě)出相應(yīng)的函數(shù)解析式，注意本題答案不唯一．
【解答】解：∵二次函數(shù)的圖象開(kāi)口向上，且經(jīng)過(guò)點(diǎn)（1，0），
∴a＞0，
∴該函數(shù)圖象可以是y＝x2﹣1，
故答案為：y＝x2﹣1（答案不唯一）．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查二次函數(shù)的性質(zhì)、二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，利用二次函數(shù)的性質(zhì)解答．
13．（2分）在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)P（2，﹣3）關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱點(diǎn)P′的坐標(biāo)是 （﹣2，3） ．
【分析】平面直角坐標(biāo)系中任意一點(diǎn)P（x，y），關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)是（﹣x，﹣y）．
【解答】解：根據(jù)中心對(duì)稱的性質(zhì)，得點(diǎn)P（2，﹣3）關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)P′的坐標(biāo)是（﹣2，3）．
故答案為：（﹣2，3）．
【點(diǎn)評(píng)】關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的點(diǎn)坐標(biāo)的關(guān)系，是需要識(shí)記的基本問(wèn)題．記憶方法是結(jié)合平面直角坐標(biāo)系的圖形記憶．
14．（2分）關(guān)于x的一元二次方程（a﹣5）x2﹣4x﹣1＝0有實(shí)數(shù)根，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是 a≥1且a≠5 ．
【分析】在與一元二次方程有關(guān)的求值問(wèn)題中，必須滿足下列條件：
（1）二次項(xiàng)系數(shù)不為零；
（2）在有實(shí)數(shù)根下必須滿足Δ＝b2﹣4ac≥0．
【解答】解：因?yàn)殛P(guān)于x的一元二次方程有實(shí)根，
所以Δ＝b2﹣4ac＝16+4（a﹣5）≥0，
解之得a≥1．
∵a﹣5≠0
∴a≠5
∴實(shí)數(shù)a的取值范圍是a≥1且a≠5
故答案為a≥1且a≠5．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0，a，b，c為常數(shù)）根的判別式．當(dāng)Δ＞0，方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；當(dāng)Δ＝0，方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根；當(dāng)Δ＜0，方程沒(méi)有實(shí)數(shù)根．
15．（2分）“圓材埋壁”是我國(guó)古代著名數(shù)學(xué)著作《九章算術(shù)》中的問(wèn)題：“今有圓材，埋在壁中，不知大小，以鋸鋸之，深一寸，鋸道長(zhǎng)一尺，問(wèn)徑幾何？”用數(shù)學(xué)語(yǔ)言可以表述為：“如圖，CD為⊙O的直徑，弦AB⊥CD于E，如果CE＝1，AB＝10，那么半徑OC的長(zhǎng)為 13 ．”
【分析】連接OA，設(shè)OA＝r，則OE＝r﹣1，再根據(jù)AB＝10，AB⊥CD得出AE＝5，在Rt△AOE中根據(jù)勾股定理可得出r的值即可．
【解答】解：連接OA，設(shè)OA＝r，則OE＝r﹣1，
∵弦AB⊥CD于E，AB＝10，
∴AE＝5，
在Rt△AOE中，OA＝r，AE＝5，OE＝r﹣1，
∴52+（r﹣1）2＝r2，解得r＝13，
故答案為：13．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是垂徑定理，根據(jù)題意作出輔助線，構(gòu)造出直角三角形是解答此題的關(guān)鍵．
16．（2分）如圖，在同一平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y1＝ax2+bx+c與兩坐標(biāo)軸分別交于A（﹣1，0）、點(diǎn)B（3，0）和點(diǎn)C（0，﹣3），直線y2＝mx+n與拋物線交于B、C兩點(diǎn)．
（1）當(dāng)x滿足 x＜0或x＞3 時(shí)，y1＞y2；
（2）當(dāng)x滿足 x＞﹣1且x≠3 時(shí)，y1?y2＞0．
【分析】（1）根據(jù)圖象拋物線在直線上方的部分確定x的取值范圍．
（2）根據(jù)拋物線與直線圖象同時(shí)滿足在x軸下方或x軸上方確定x的取值范圍．
【解答】解：（1）由圖象得x＜0或x＞3時(shí)，拋物線在直線上方，
故答案為：x＜0或x＞3．
（2）由圖象得﹣1＜x＜3時(shí)，y1＜0，y2＜0，
x＞3時(shí)，y1＞0，y2＞0，
故答案為：x＞﹣1且x≠3．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查二次函數(shù)與不等式的關(guān)系，解題關(guān)鍵是掌握二次函數(shù)與方程及不等式的關(guān)系，根據(jù)圖象求解．
三、解答題（本題共68分，第17～22題，每小題5分，第23-26題，每小題5分，第27，28題，每小題5分）解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，演算步驟或證明過(guò)程．
17．（5分）解方程：x2﹣2x﹣3＝0．
【分析】通過(guò)觀察方程形式，本題可用因式分解法進(jìn)行解答．
【解答】解：原方程可以變形為（x﹣3）（x+1）＝0
x﹣3＝0或x+1＝0
∴x1＝3，x2＝﹣1．
【點(diǎn)評(píng)】熟練運(yùn)用因式分解法解一元二次方程．注意：常數(shù)項(xiàng)應(yīng)分解成兩個(gè)數(shù)的積，且這兩個(gè)的和應(yīng)等于一次項(xiàng)系數(shù)．
18．（5分）二次函數(shù)y＝x2+bx+3的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)（4，3）．
（1）求b的值；
（2）寫(xiě)出該二次函數(shù)圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)和對(duì)稱軸．
【分析】（1）利用待定系數(shù)法轉(zhuǎn)化為方程組即可解決問(wèn)題；
（2）利用配方法即可解決問(wèn)題．
【解答】解：（1）∵二次函數(shù)y＝x2+bx+3的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)（4，3），
∴16+4b+3＝3，
解得b＝﹣4．
（2）∵y＝x2﹣4x+3＝（x﹣2）2﹣1，
∴拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（2，﹣1），對(duì)稱軸x＝2．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查二次函數(shù)的性質(zhì)、二次函數(shù)的圖象上的點(diǎn)的特征、待定系數(shù)法、配方法等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握基本知識(shí)，屬于中考?？碱}型．
19．（5分）已知：二次函數(shù)y＝ax2+bx+c（a≠0）中的x和y滿足下表．
（1）這個(gè)二次函數(shù)的對(duì)稱軸是 直線x＝2 ；
（2）可求得m的值為 3 ；
（3）求出這個(gè)二次函數(shù)的解析式．
【分析】（1）根據(jù)表中x、y的對(duì)應(yīng)值可知，當(dāng)x＝1與x＝3時(shí)y的值相等，所以此兩點(diǎn)關(guān)于拋物線的對(duì)稱軸對(duì)稱，由中點(diǎn)坐標(biāo)公式即可得出對(duì)稱軸的直線方程；
（2）根據(jù)拋物線的對(duì)稱性求得即可；
（3）利用待定系數(shù)法求得即可．
【解答】解：（1）∵由表中x、y的對(duì)應(yīng)值可知，當(dāng)x＝1與x＝3時(shí)y的值相等，
∴對(duì)稱軸是直線x＝＝2，
故答案為直線x＝2；
（2）∵點(diǎn)（0，3）關(guān)于直線x＝2的對(duì)稱點(diǎn)為（4，3），
∴m＝3，
故答案為3；
（3）∵拋物線的頂點(diǎn)為（2，﹣1），
∴設(shè)解析式為y＝a（x﹣2）2﹣1，
代入點(diǎn)（0，3）得，3＝4a﹣1，
解得a＝1，
∴二次函數(shù)的解析式為y＝x2﹣4x+3．
【點(diǎn)評(píng)】此題考查待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，二次函數(shù)的性質(zhì)，掌握待定系數(shù)法求函數(shù)解析式的方法與步驟是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．
20．（5分）已知：如圖，直線AC與圓O交于點(diǎn)B、C，直線AD過(guò)圓心O，若圓O的半徑是5，且∠DAC＝30°，AD＝13，OE⊥BC于點(diǎn)E，求弦BC的長(zhǎng)．
【分析】連接OB，由垂徑定理可得CB＝2BE，由勾股定理求出BE的長(zhǎng)度，即可求出BC的長(zhǎng)度．
【解答】解：如圖，連接OB，
∵圓O的半徑是5，AD＝13，
∴OA＝8，
∵∠DAC＝30°，OE⊥BC于點(diǎn)E，
∴OE＝OA＝×8＝4，BC＝2BE，
在Rt△OBE中，
BE＝＝＝3，
∴BC＝2BE＝2×3＝6．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了垂徑定理及勾股定理，熟練運(yùn)用垂徑定理是解題的關(guān)鍵．
21．（5分）已知△ABC在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)，三個(gè)頂點(diǎn)坐標(biāo)為A（0，3），B（4，5），C（3，2）．（正方形網(wǎng)格中，每個(gè)小正方形邊長(zhǎng)都是1個(gè)單位長(zhǎng)度）．請(qǐng)畫(huà)出△ABC關(guān)于點(diǎn)O成中心對(duì)稱的△A'B'C'（請(qǐng)保留畫(huà)圖痕跡，不要求寫(xiě)出畫(huà)法）．
【分析】利用中心對(duì)稱的性質(zhì)分別作出A，B，C的對(duì)應(yīng)點(diǎn)A′，B′，C′即可．
【解答】解：如圖，△A′B′C′即為所求．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查旋轉(zhuǎn)變換，解題的關(guān)鍵是掌握旋轉(zhuǎn)變換的性質(zhì)，屬于中考?？碱}型．
22．（5分）如圖，AB是⊙O的直徑，點(diǎn)C在⊙O上，D是中點(diǎn)，若∠BAC＝70°，求∠C．
下面是小諾的解答過(guò)程，請(qǐng)幫她補(bǔ)充完整．
∵D是中點(diǎn)，
∴，
∴∠1＝∠2．
∵∠BAC＝70°，
∴∠2＝35°．
∵AB是⊙O的直徑，
∴∠ADB＝90°（ 直徑所對(duì)的圓周角是直角 ）（填推理的依據(jù)）．
∴∠B＝90°﹣∠2＝55°．
∵A、B、C、D四個(gè)點(diǎn)都在⊙O上，
∴∠C+∠B＝180°（ 圓內(nèi)接四邊形對(duì)角互補(bǔ) ）（填推理的依據(jù)）．
∴∠C＝180°﹣∠B＝ 125° （填計(jì)算結(jié)果）．
【分析】根據(jù)圓周角定理，圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)，求出∠B即可解決問(wèn)題．
【解答】解：∵D是中點(diǎn)，
∴，
∴∠1＝∠2．
∵∠BAC＝70°，
∴∠2＝35°．
∵AB是⊙O的直徑，
∴∠ADB＝90°（直徑所對(duì)的圓周角是直角）（填推理的依據(jù)）．
∴∠B＝90°﹣∠2＝55°．
∵A、B、C、D四個(gè)點(diǎn)都在⊙O上，
∴∠C+∠B＝180°（圓內(nèi)接四邊形對(duì)角互補(bǔ)）（填推理的依據(jù)）．
∴∠C＝180°﹣∠B＝125° （填計(jì)算結(jié)果）．
故答案為：直徑所對(duì)的圓周角是直角；圓內(nèi)接四邊形對(duì)角互補(bǔ)；125°．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查圓周角定理，圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握基本知識(shí)，屬于中考常考題型．
23．（6分）求證：無(wú)論k為何值時(shí)，二次函數(shù)y＝﹣x2+kx+2的圖象與x軸總有兩個(gè)交點(diǎn)．
【分析】求出方程的判別式Δ的值，根據(jù)判別式的意義即可證明．
【解答】證明：∵二次函數(shù)y＝﹣x2+kx+2，
∴Δ＝k2﹣4×（﹣1）×2＝k2+8＞0，
∴無(wú)論k為何值，方程總有兩個(gè)不相等實(shí)數(shù)根．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了拋物線與x軸的交點(diǎn)、二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，解題關(guān)鍵是掌握拋物線與x軸交點(diǎn)與判別式的關(guān)系，
24．（6分）如圖，已知⊙O為△ABC的外接圓，CE是⊙O的直徑，CD⊥AB，D為垂足，求證：∠ACD＝∠BCE．
【分析】首先連接BE，再根據(jù)直角三角形的性質(zhì)可得∠A+∠ACD＝90°，根據(jù)圓周角定理可得∠E+∠ECB＝90°，∠A＝∠E，進(jìn)而可證明∠ACD＝∠BCE．
【解答】證明：連接EB，
∵CD⊥AB，
∴∠ADC＝90°，
∴∠A+∠ACD＝90°，
∵CE是⊙O的直徑，
∴∠CBE＝90°，
∴∠E+∠ECB＝90°，
∵∠A＝∠E，
∴∠ACD＝∠BCE．
【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了圓周角定理，關(guān)鍵是掌握?qǐng)A周角定理：在同圓或等圓中，同弧或等弧所對(duì)的圓周角相等，都等于這條弧所對(duì)的圓心角的一半．
推論：半圓（或直徑）所對(duì)的圓周角是直角，90°的圓周角所對(duì)的弦是直徑．
25．（6分）一條單車道的拋物線形隧道如圖所示．隧道中公路的寬度AB＝8m，隧道的最高點(diǎn)C到公路的距離為6m．
（1）建立適當(dāng)?shù)钠矫嬷苯亲鴺?biāo)系，求拋物線的表達(dá)式；
（2）現(xiàn)有一輛貨車的高度是4.4m，貨車的寬度是2m，為了保證安全，車頂距離隧道頂部至少0.5m，通過(guò)計(jì)算說(shuō)明這輛貨車能否安全通過(guò)這條隧道．
【分析】（1）以AB所在直線為x軸，以拋物線的對(duì)稱軸為y軸建立平面直角坐標(biāo)系xOy，如圖所示，利用待定系數(shù)法即可解決問(wèn)題．
（1）求出x＝1時(shí)的y的值，與4.4+0.5比較即可解決問(wèn)題．
【解答】解：（1）本題答案不唯一，如：
以AB所在直線為x軸，以拋物線的對(duì)稱軸為y軸建立平面直角坐標(biāo)系xOy，如圖所示．
∴A（﹣4，0），B（4，0），C（0，6）．
設(shè)這條拋物線的表達(dá)式為y＝a（x﹣4）（x+4）．
∵拋物線經(jīng)過(guò)點(diǎn)C，
∴﹣16a＝6．
∴a＝﹣
∴拋物線的表達(dá)式為y＝﹣x2+6，（﹣4≤x≤4）．
（2）當(dāng)x＝1時(shí)，y＝，
∵4.4+0.5＝4.9＜，
∴這輛貨車能安全通過(guò)這條隧道．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查二次函數(shù)的應(yīng)用、平面直角坐標(biāo)系等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)構(gòu)建平面直角坐標(biāo)系，掌握待定系數(shù)法解決問(wèn)題，屬于中考常考題型．
26．（6分）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知二次函數(shù)y＝mx2+2mx+3的圖象與x軸交于點(diǎn)A（﹣3，0），與y軸交于點(diǎn)B，將其圖象在點(diǎn)A，B之間的部分（含A，B兩點(diǎn)）記為F．
（1）求點(diǎn)B的坐標(biāo)及該函數(shù)的表達(dá)式；
（2）若直線y＝a與F只有一個(gè)公共點(diǎn)，結(jié)合函數(shù)圖象，直接寫(xiě)出a的取值范圍．
【分析】（1）令x＝0，解得y＝3，即可求得B的坐標(biāo)，然后根據(jù)待定系數(shù)法即可求得解析式；
（2）畫(huà)出函數(shù)y＝﹣x2﹣2x+3的圖象，根據(jù)圖象即可求得．
【解答】解：（1）∵二次函數(shù)y＝mx2+2mx+3的圖象與x軸交于點(diǎn)A（﹣3，0），與y軸交于點(diǎn)B，
∴令x＝0，則y＝3，
∴B（0，3），
把A（﹣3，0）代入y＝mx2+2mx+3得0＝9m﹣6m+3
解得m＝﹣1，
∴函數(shù)的表達(dá)式為y＝﹣x2﹣2x+3；
（2）畫(huà)出函數(shù)y＝﹣x2﹣2x+3的圖象如圖所示：
由圖象可知，函數(shù)y＝a的圖象與F只有一個(gè)公共點(diǎn)，a的取值范圍為0≤a＜3或a＝4．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式，二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，數(shù)形結(jié)合是解題的關(guān)鍵．
27．（7分）正方形ABCD中，將邊AB所在直線繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)一個(gè)角度α得到直線AM，過(guò)點(diǎn)C作CE⊥AM，垂足為E，連接BE．
（1）當(dāng)0°＜α＜45°時(shí)，設(shè)AM交BC于點(diǎn)F，
①如圖1，若α＝35°，則∠BCE＝ 35 °；
②如圖2，用等式表示線段AE，BE，CE之間的數(shù)量關(guān)系，并證明；
（2）當(dāng)45°＜α＜90°時(shí)（如圖3），請(qǐng)直接用等式表示線段AE，BE，CE之間的數(shù)量關(guān)系．
【分析】（1）①利用正方形的性質(zhì)得出∠ABC＝90°，進(jìn)而求出∠AFB＝90°﹣∠BAF＝55°，再利用對(duì)頂角相等得出∠CFE＝∠AFB＝55°，即可得出結(jié)論；
②先利用等式的性質(zhì)得出∠ABG＝∠CBE，再同①的方法得出∠α＝∠BCE，進(jìn)而判斷出△ABG≌△CBE（ASA），得出AG＝CE，BG＝BE，即可得出結(jié)論；
（2）先判斷出∠ABG＝∠CBE，進(jìn)而用同①的方法判斷出∠DAH＝∠DCE，即可得出∠BAG＝∠BCE，判斷出△ABG≌△CBE（ASA），得出AG＝CE，BG＝BE，即可得出結(jié)論．
【解答】（1）①∵四邊形ABCD是正方形，∴∠ABC＝90°，
∵∠BAF＝35°，
∴∠AFB＝90°﹣∠BAF＝55°，
∴∠CFE＝∠AFB＝55°，
∵CE⊥AM，
∴∠CEF＝90°，
∴∠ECF＝90°﹣∠CFE＝35°，
即：∠BCE＝35°，
故答案為：35；
②AE＝CE+BE．
證明：如圖2，過(guò)點(diǎn)B作BG⊥BE，交AM于點(diǎn)G，
∴∠GBE＝∠GBC+∠CBE＝90°．
∵四邊形ABCD為正方形，
∴AB＝BC，∠ABC＝∠ABG+∠GBC＝90°，
∴∠ABG＝∠CBE．
∵∠ABC＝90°，
∴∠α+∠AFB＝90°，
∵∠CFE＝∠AFB，
∴∠α+∠CFE＝90°，
∵∠CEF＝90°，
∴∠BCE+∠CFE＝90°，
∴∠α＝∠BCE．
在△ABG和△CBE中，
∠ABG＝∠CBE，AB＝BC，∠α＝∠BCE，
∴△ABG≌△CBE（ASA），
∴AG＝CE，BG＝BE．
∵在Rt△BEG中，BG＝BE，
∴GE＝BE，
∴AE＝AG+GE＝CE+BE．
（2）AE+CE＝BE．
理由：如圖3，過(guò)點(diǎn)B作BG⊥BE，交AM于點(diǎn)G，
∴∠GBE＝∠GBA+∠ABE＝90°．
∵四邊形ABCD為正方形，
∴AB＝BC，∠D＝∠ABC＝∠ABE+∠EBC＝90°，
∴∠ABG＝∠CBE．
∵∠D＝90°，
∴∠DAH+∠AHD＝90°，
∵∠AHD＝∠CHE，
∴∠DAH+∠CHE＝90°，
∵∠CEA＝90°，
∴∠DCE+∠CHE＝90°，
∴∠DAH＝∠DCE．
延長(zhǎng)DA交BG于N，
∵∠NAG＝∠DAH，∴∠NAG＝∠DCE，
∴∠NAG+90°＝∠DCE+90°，
∴∠BAG＝∠BCE
在△ABG和△CBE中，
∠ABG＝∠CBE，AB＝BC，∠BAG＝∠BCE，
∴△ABG≌△CBE（ASA），
∴AG＝CE，BG＝BE．
∵在Rt△BEG中，BG＝BE，
∴GE＝BE，
∴AE＝GE﹣AG＝BE﹣CE．
即：AE+CE＝BE．
【點(diǎn)評(píng)】此題是四邊形綜合題，主要考查了正方形的性質(zhì)，直角三角形的兩銳角互余，對(duì)頂角相等，全等三角形的判定和性質(zhì)，等腰直角三角形的判定和性質(zhì)，構(gòu)造全等三角形是解本題的關(guān)鍵．
28．（7分）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，給出如下定義：若點(diǎn)P在圖形M上，點(diǎn)Q在圖形N上，如果PQ兩點(diǎn)間的距離有最小值，那么稱這個(gè)最小值為圖形M，N的“近距離”，記為d（M，N）．特別地，當(dāng)圖形M與圖形N有公共點(diǎn)時(shí)，d（M，N）＝0．已知A（﹣4，0），B（0，4），C（﹣2，0）．
（1）d（點(diǎn)A，點(diǎn)B）＝ 4 ，d（點(diǎn)A，線段BC）＝ 2 ；
（2）⊙O半徑為r，
①當(dāng)r＝1時(shí)，⊙O與線段AB的“近距離”d（⊙O，線段AB）＝ 2﹣1 ；
②若d（⊙O，△ABC）＝1，則r＝ ﹣1或5 ．
【分析】（1）圖形M，N的“近距離”的定義可求解；
（2）①過(guò)點(diǎn)O作EO⊥AB于點(diǎn)E，由三角形面積公式可求OE的長(zhǎng)，即可求解；
②分△ABC在⊙O外，△ABC在⊙O內(nèi)兩種情況討論，當(dāng)△ABC在⊙O外時(shí)，由三角形面積公式可求OF的長(zhǎng)，由d（⊙O，△ABC）＝1的值，可求r的值，△ABC在⊙O內(nèi)時(shí)，d（⊙O，△ABC）＝1＝BM，可求r的值．
【解答】解：（1）∵A（﹣4，0），B（0，4），
∴d（點(diǎn)A，點(diǎn)B）＝＝4，
∴d（點(diǎn)A，線段BC）＝2，
故答案為：4，2；
（2）①如圖，過(guò)點(diǎn)O作EO⊥AB于點(diǎn)E，
∵A（﹣4，0），B（0，4），
∴AO＝BO＝4，
∴AB＝4，
∵S△ABO＝AB?OE＝AO?BO，
∴OE＝2，
∴d（⊙O，線段AB）＝2﹣1，
故答案為：2﹣1；
②∵d（⊙O，△ABC）＝1，
∴⊙O與△ABC各邊都不相交，
若△ABC在⊙O外，如圖，過(guò)點(diǎn)O作OF⊥BC于點(diǎn)F，
∵B（0，4），C（﹣2，0），
∴OB＝4，OC＝2，
∴BC＝＝2，
∵S△BOC＝BC?OF＝CO?BO，
∴OF＝，
∵d（⊙O，△ABC）＝1，
∴OF﹣r＝1，
∴r＝﹣1，
若△ABC在⊙O內(nèi)，
∵d（⊙O，△ABC）＝1，
∴BM＝1，
∴r＝BO+BM＝5，
故答案為：﹣1或5．
【點(diǎn)評(píng)】本題屬于圓的綜合題，考查了點(diǎn)與圓的位置關(guān)系，直線與圓的位置關(guān)系，一次函數(shù)的應(yīng)用，圖形M，N間的“近距離”的定義等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是理解題意，學(xué)會(huì)利用特殊位置解決問(wèn)題，屬于中考?jí)狠S題．
聲明：試題解析著作權(quán)屬菁優(yōu)網(wǎng)所有，未經(jīng)書(shū)面同意，不得復(fù)制發(fā)布日期：2024/7/21 21:51:19；用戶：菁優(yōu)校本題庫(kù)；郵箱：2471@xyh.cm；學(xué)號(hào)：56380052x
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