



2021-2022學(xué)年北京五十四中九年級(jí)(上)期中數(shù)學(xué)試卷 解析版
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這是一份2021-2022學(xué)年北京五十四中九年級(jí)(上)期中數(shù)學(xué)試卷 解析版,共30頁(yè)。試卷主要包含了選擇題,填空題,解答題解答應(yīng)寫出文字說明等內(nèi)容,歡迎下載使用。
?2021-2022學(xué)年北京五十四中九年級(jí)(上)期中數(shù)學(xué)試卷
一、選擇題(本題共16分,每小題3分)
1.(3分)下面是利用圖形變化的知識(shí)設(shè)計(jì)的一些美麗的圖案,其中既是軸對(duì)稱圖形,又是中心對(duì)稱圖形的是( ?。?br />
A. B.
C. D.
2.(3分)若關(guān)于x的方程ax2﹣2ax+1=0的一個(gè)根是﹣1,則a的值是( ?。?br />
A.1 B.﹣1 C.﹣ D.﹣3
3.(3分)拋物線y=﹣x2+4x﹣4的對(duì)稱軸是( )
A.x=﹣2 B.x=2 C.x=4 D.x=﹣4
4.(3分)將拋物線y=x2先向右平移5個(gè)單位長(zhǎng)度,再向上平移3個(gè)單位長(zhǎng)度,所得到的拋物線的解析式為( ?。?br />
A.y=(x+3)2+5 B.y=(x﹣3)2+5 C.y=(x+5)2+3 D.y=(x﹣5)2+3
5.(3分)如圖,AB是⊙O的直徑,CD是弦,若∠CDB=32°,則∠ABC等于( ?。?br />
A.68° B.64° C.58° D.32°
6.(3分)如圖,在△ABC中,∠CAB=65°,將△ABC在平面內(nèi)繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)到△AB′C′的位置,使CC′∥AB,則旋轉(zhuǎn)角的度數(shù)為( ?。?br />
A.35° B.40° C.50° D.65°
7.(3分)近年來我國(guó)無(wú)人機(jī)產(chǎn)業(yè)迅猛發(fā)展,無(wú)人機(jī)駕駛員已正式成為國(guó)家認(rèn)可的新職業(yè),中國(guó)民用航空局的現(xiàn)有統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)顯示,從2017年底至2019年底,全國(guó)擁有民航局頒發(fā)的民用無(wú)人機(jī)駕駛執(zhí)照的人數(shù)已由約2.44萬(wàn)人增加到約6.72萬(wàn)人.若設(shè)2017年底至2019年底,全國(guó)擁有民用無(wú)人機(jī)駕駛執(zhí)照人數(shù)的年平均增長(zhǎng)率為x,則可列出關(guān)于x的方程為( ?。?br />
A.2.44(1+x)=6.72 B.2.44(1+2x)=6.72
C.2.44(1+x)2=6.72 D.2.44(1﹣x)2=6.72
8.(3分)如圖所示,在矩形紙片上剪下一個(gè)扇形和一個(gè)圓形,使之恰好能圍成一個(gè)圓錐模型.若扇形的半徑為R,圓的半徑為r,則R與r滿足的數(shù)量關(guān)系是( ?。?br />
A.R=r B.R=2r C.R=3r D.R=4r
二、填空題(本題共16分,每小題3分)
9.(3分)已知二次函數(shù)y=﹣x2+bx+3圖象的對(duì)稱軸為x=2,則b= ;頂點(diǎn)坐標(biāo)是 ?。?br />
10.(3分)寫出一個(gè)二次函數(shù),使其滿足:①圖象開口向下;②當(dāng)x>0時(shí),y隨著x的增大而減小,這個(gè)二次函數(shù)的解析式可以是 ?。?br />
11.(3分)已知二次函數(shù)y=﹣x2+2x+m的部分圖象如圖所示,則關(guān)于x的方程﹣x2+2x+m=0的解為 ?。?br />
12.(3分)如圖,點(diǎn)A在⊙O上,弦BC垂直平分OA,垂足為D.若OA=4,則BC的長(zhǎng)為 ?。?br />
13.(3分)如圖,PA,PB是⊙O的兩條切線,A,B為切點(diǎn),若OA=2,∠APB=60°,則PB= ?。?br />
14.(3分)草坪上的自動(dòng)噴水裝置的旋轉(zhuǎn)角為200°,且它的噴灌區(qū)域是一個(gè)扇形.若它能噴灌的扇形草坪面積為5π平方米,則這個(gè)扇形的半徑是 米.
15.(3分)如圖,直線AB與x軸、y軸分別相交于A、B兩點(diǎn),點(diǎn)A(﹣3,0),點(diǎn)B(0,),圓心P的坐標(biāo)為(1,0),圓P與y軸相切與點(diǎn)O.若將圓P沿x軸向左移動(dòng),當(dāng)圓P與該直線相交時(shí),令圓心P的橫坐標(biāo)為m,則m的取值范圍是 ?。?br />
16.(3分)如圖1,在△ABC中,AB>AC,D是邊BC上一動(dòng)點(diǎn),設(shè)B,D兩點(diǎn)之間的距離為x,A,D兩點(diǎn)之間的距離為y,表示y與x的函數(shù)關(guān)系的圖象如圖2所示.則線段AC的長(zhǎng)為 ,線段AB的長(zhǎng)為 ?。?br />
三、解答題(本題共68分,第17-22題,每小題5分,第23-26題,每小題5分,第27-28題,每小題5分)解答應(yīng)寫出文字說明、演算步驟或證明過程.
17.(5分)解方程:2x2﹣3x+1=0.
18.(5分)已知:如圖,線段AB.
求作:以AB為斜邊的直角△ABC,使得一個(gè)內(nèi)角等于30°.
作法:①作線段AB的垂直平分線交AB于點(diǎn)O;
②以點(diǎn)O為圓心,OA長(zhǎng)為半徑畫圓;
③以點(diǎn)B為圓心,OB長(zhǎng)為半徑畫弧,與⊙O相交,記其中一個(gè)交點(diǎn)為C;
④分別連接AC,BC.
△ABC就是所求作的直角三角形.
(1)使用直尺和圓規(guī),依作法補(bǔ)全圖形(保留作圖痕跡);
(2)完成下面的證明.
證明:連接OC,
∵AB是⊙O的直徑,
∴∠ACB= °( ?。ㄌ钔评淼囊罁?jù)).
∴△ABC是以AB為斜邊的直角三角形.
∵OC=OB=BC,
∴△OBC是等邊三角形.
∴∠COB=60°.
∴∠A= °.
19.(5分)如圖,正方形網(wǎng)格中的每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)都是1,每個(gè)小正方形的頂點(diǎn)叫做格點(diǎn).△ABC的三個(gè)頂點(diǎn)A、B、C都在格點(diǎn)上,將△ABC繞點(diǎn)A順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)90°得到△AB′C′.
(1)在正方形網(wǎng)格中,畫出△AB′C′;
(2)計(jì)算線段AB在變換到AB′的過程中,B點(diǎn)走過的路程.
20.(5分)關(guān)于x的一元二次方程x2+mx+n=0.
(1)若方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根,用含m的代數(shù)式表示n;
(2)若方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根,且m=﹣4.
①求n的取值范圍;
②寫出一個(gè)滿足條件的n的值,并求此時(shí)方程的根.
21.(5分)下表是二次函數(shù)y1=ax2+bx+c的部分x,y的對(duì)應(yīng)值:
x
…
﹣1
﹣
0
1
2
3
…
y
…
m
﹣1
﹣
﹣2
﹣
﹣1
2
…
(1)二次函數(shù)圖象頂點(diǎn)坐標(biāo)是 ,m的值為 ??;
(2)求此拋物線的解析式.
22.(5分)已知:如圖,AB是⊙O的直徑,CD是⊙O的弦,且AB⊥CD,垂足為E.
(1)求證:BC=BD;
(2)若BC=15,AD=20,求AB和CD的長(zhǎng).
23.(6分)二次函數(shù)y=ax2+bx+c(a≠0)的圖象經(jīng)過(3,0)點(diǎn),當(dāng)x=1時(shí),函數(shù)的最小值為﹣4.
(1)求該二次函數(shù)的解析式并畫出它的圖象;
(2)當(dāng)0<x<4時(shí),結(jié)合函數(shù)圖象,直接寫出y的取值范圍;
(3)直線x=m與拋物線y=ax2+bx+c(a≠0)和直線y=x﹣3的交點(diǎn)分別為點(diǎn)C,點(diǎn)D,點(diǎn)C位于點(diǎn)D的上方,結(jié)合函數(shù)的圖象直接寫出m的取值范圍.
24.(6分)如圖,以40m/s的速度將小球沿與地面成30°角的方向擊出時(shí),小球的飛行路線是一條拋物線.如果不考慮空氣阻力,小球的飛行高度h(單位:m)與飛行時(shí)間t(單位:s)之間具有函數(shù)關(guān)系h=20t﹣5t2.
(1)小球飛行時(shí)間是多少時(shí),小球最高?最大高度是多少?
(2)小球飛行時(shí)間t在什么范圍時(shí),飛行高度不低于15m?
25.(6分)如圖,AB為⊙O的直徑,C為⊙O上一點(diǎn),D是的中點(diǎn),過點(diǎn)D作AC的垂線,交AC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E,連接AD.
(1)求證:DE是⊙O的切線;
(2)連接CD,若∠CDA=30°,AC=2,求CE的長(zhǎng).
26.(6分)在平面直角坐標(biāo)系xOy中,拋物線y=ax2+bx(a≠0)過點(diǎn)(4,0).
(1)用含a的代數(shù)式表示b;
(2)已知點(diǎn)A(0,a),將點(diǎn)A繞原點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到點(diǎn)B,再將點(diǎn)B向右平移2個(gè)單位長(zhǎng)度得到點(diǎn)C,求點(diǎn)C的坐標(biāo)(用含a的代數(shù)式表示);
(3)在(2)的條件下,若線段AC與拋物線有公共點(diǎn),求a的取值范圍.
27.(7分)在△ABC中,∠C=90°,AC=BC,點(diǎn)D在射線BC上(不與點(diǎn)B、C重合),連接AD,將AD繞點(diǎn)D順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到DE,連接BE.
(1)如圖1,點(diǎn)D在BC邊上.
①依題意補(bǔ)全圖1;
②作DF⊥BC交AB于點(diǎn)F,若AC=8,DF=3,求BE的長(zhǎng);
(2)如圖2,點(diǎn)D在BC邊的延長(zhǎng)線上,用等式表示線段AB、BD、BE之間的數(shù)量關(guān)系(直接寫出結(jié)論).
28.(7分)在平面直角坐標(biāo)系xOy中,⊙O的半徑為1.給出如下定義:記線段AB的中點(diǎn)為M,當(dāng)點(diǎn)M不在⊙O上時(shí),平移線段AB,使點(diǎn)M落在⊙O上,得到線段A'B'(A',B'分別為點(diǎn)A,B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)).線段AA'長(zhǎng)度的最小值稱為線段AB到⊙O的“平移距離”.
(1)已知點(diǎn)A的坐標(biāo)為(﹣1,0),點(diǎn)B在x軸上.
①若點(diǎn)B與原點(diǎn)O重合,則線段AB到⊙O的“平移距離”為 ;
②若線段AB到⊙O的“平移距離”為2,則點(diǎn)B的坐標(biāo)為 ??;
(2)若點(diǎn)A,B都在直線y=x+4上,AB=2,記線段AB到⊙O的“平移距離”為d1,3求d1的最小值;
(3)若點(diǎn)A的坐標(biāo)為(3,4),AB=2,記線段AB到⊙O的“平移距離”為d2,直接寫出d2的取值范圍.
2021-2022學(xué)年北京五十四中九年級(jí)(上)期中數(shù)學(xué)試卷
參考答案與試題解析
一、選擇題(本題共16分,每小題3分)
1.(3分)下面是利用圖形變化的知識(shí)設(shè)計(jì)的一些美麗的圖案,其中既是軸對(duì)稱圖形,又是中心對(duì)稱圖形的是( ?。?br />
A. B.
C. D.
【分析】根據(jù)圖形的性質(zhì)和軸對(duì)稱圖形與中心對(duì)稱圖形的定義解答.
【解答】解:A、既是軸對(duì)稱圖形又是對(duì)稱圖形,故此選項(xiàng)符合題意;
B、不是軸對(duì)稱圖形,是中心對(duì)稱圖形,故此選項(xiàng)不合題意;
C、是軸對(duì)稱圖形,不是中心對(duì)稱圖形,故此選項(xiàng)不合題意;
D、是軸對(duì)稱圖形,不是中心對(duì)稱圖形,故此選項(xiàng)不合題意.
故選:A.
2.(3分)若關(guān)于x的方程ax2﹣2ax+1=0的一個(gè)根是﹣1,則a的值是( ?。?br />
A.1 B.﹣1 C.﹣ D.﹣3
【分析】根據(jù)關(guān)于x的方程ax2﹣2ax+1=0的一個(gè)根是﹣1,可以得到a+2a+1=0,然后即可得到a的值.
【解答】解:∵關(guān)于x的方程ax2﹣2ax+1=0的一個(gè)根是﹣1,
∴a+2a+1=0,
∴3a+1=0,
解得a=﹣,
故選:C.
3.(3分)拋物線y=﹣x2+4x﹣4的對(duì)稱軸是( ?。?br />
A.x=﹣2 B.x=2 C.x=4 D.x=﹣4
【分析】先根據(jù)拋物線的解析式得出a、b的值,再根據(jù)二次函數(shù)的對(duì)稱軸方程即可得出結(jié)論.
【解答】解:∵拋物線的解析式為y=﹣x2+4x﹣4,
∴a=﹣1,b=4,
∴其對(duì)稱軸是直線x=﹣=﹣=2.
故選:B.
4.(3分)將拋物線y=x2先向右平移5個(gè)單位長(zhǎng)度,再向上平移3個(gè)單位長(zhǎng)度,所得到的拋物線的解析式為( ?。?br />
A.y=(x+3)2+5 B.y=(x﹣3)2+5 C.y=(x+5)2+3 D.y=(x﹣5)2+3
【分析】根據(jù)二次函數(shù)圖象左加右減,上加下減的平移規(guī)律進(jìn)行求解.
【解答】解:將拋物線y=x2先向右平移5個(gè)單位長(zhǎng)度,得:y=(x﹣5)2;
再向上平移3個(gè)單位長(zhǎng)度,得:y=(x﹣5)2+3,
故選:D.
5.(3分)如圖,AB是⊙O的直徑,CD是弦,若∠CDB=32°,則∠ABC等于( )
A.68° B.64° C.58° D.32°
【分析】先由圓周角定理可知∠ACB=90°,再求出∠ADC=58°,然后由圓周角定理求解即可.
【解答】解:∵AB是⊙O的直徑,
∴∠ADB=90°,
∴∠ADC+∠CDB=90°,
∴∠ADC=90°﹣∠CDB=90°﹣32°=58°,
∵∠ABC=∠ADC,
∴∠ABC=58°,
故選:C.
6.(3分)如圖,在△ABC中,∠CAB=65°,將△ABC在平面內(nèi)繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)到△AB′C′的位置,使CC′∥AB,則旋轉(zhuǎn)角的度數(shù)為( )
A.35° B.40° C.50° D.65°
【分析】根據(jù)兩直線平行,內(nèi)錯(cuò)角相等可得∠ACC′=∠CAB,根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得AC=AC′,然后利用等腰三角形兩底角相等求∠CAC′,再根據(jù)∠CAC′、∠BAB′都是旋轉(zhuǎn)角解答.
【解答】解:∵CC′∥AB,
∴∠ACC′=∠CAB=65°,
∵△ABC繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)得到△AB′C′,
∴AC=AC′,
∴∠CAC′=180°﹣2∠ACC′=180°﹣2×65°=50°,
∴∠CAC′=∠BAB′=50°.
故選:C.
7.(3分)近年來我國(guó)無(wú)人機(jī)產(chǎn)業(yè)迅猛發(fā)展,無(wú)人機(jī)駕駛員已正式成為國(guó)家認(rèn)可的新職業(yè),中國(guó)民用航空局的現(xiàn)有統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)顯示,從2017年底至2019年底,全國(guó)擁有民航局頒發(fā)的民用無(wú)人機(jī)駕駛執(zhí)照的人數(shù)已由約2.44萬(wàn)人增加到約6.72萬(wàn)人.若設(shè)2017年底至2019年底,全國(guó)擁有民用無(wú)人機(jī)駕駛執(zhí)照人數(shù)的年平均增長(zhǎng)率為x,則可列出關(guān)于x的方程為( ?。?br />
A.2.44(1+x)=6.72 B.2.44(1+2x)=6.72
C.2.44(1+x)2=6.72 D.2.44(1﹣x)2=6.72
【分析】設(shè)年平均增長(zhǎng)率為x,根據(jù)2017年及2019年的全國(guó)擁有民航局頒發(fā)的民用無(wú)人機(jī)駕駛執(zhí)照的人數(shù),即可得出關(guān)于x的一元二次方程,此題得解.
【解答】解:設(shè)2017年底至2019年底,全國(guó)擁有民用無(wú)人機(jī)駕駛執(zhí)照人數(shù)的年平均增長(zhǎng)率為x,
則可列出關(guān)于x的方程為2.44(1+x)2=6.72,
故選:C.
8.(3分)如圖所示,在矩形紙片上剪下一個(gè)扇形和一個(gè)圓形,使之恰好能圍成一個(gè)圓錐模型.若扇形的半徑為R,圓的半徑為r,則R與r滿足的數(shù)量關(guān)系是( ?。?br />
A.R=r B.R=2r C.R=3r D.R=4r
【分析】利用圓錐的底面周長(zhǎng)等于側(cè)面展開圖的扇形弧長(zhǎng),根據(jù)弧長(zhǎng)公式計(jì)算.
【解答】解:扇形的弧長(zhǎng)是:=,
圓的半徑為r,則底面圓的周長(zhǎng)是2πr,
圓錐的底面周長(zhǎng)等于側(cè)面展開圖的扇形弧長(zhǎng)則得到:=2πr,
即:R=4r,
R與r之間的關(guān)系是R=4r.
故選:D.
二、填空題(本題共16分,每小題3分)
9.(3分)已知二次函數(shù)y=﹣x2+bx+3圖象的對(duì)稱軸為x=2,則b= 4?。豁旤c(diǎn)坐標(biāo)是 ?。?,7)?。?br />
【分析】由對(duì)稱軸公式即可求得b,把解析式化成頂點(diǎn)式即可求得頂點(diǎn)坐標(biāo).
【解答】解:∵二次函數(shù)y=﹣x2+bx+3圖象的對(duì)稱軸為x=2,
∴﹣=2,
∴b=4,
∴二次函數(shù)y=﹣x2+4x+3,
∵y=﹣x2+4x+3=﹣(x﹣2)2+7,
∴頂點(diǎn)坐標(biāo)是(2,7),
故答案為:4,(2,7).
10.(3分)寫出一個(gè)二次函數(shù),使其滿足:①圖象開口向下;②當(dāng)x>0時(shí),y隨著x的增大而減小,這個(gè)二次函數(shù)的解析式可以是 y=﹣x2﹣2x﹣1?。?br />
【分析】首先由①得到a<0;由②得到﹣≤0;只要舉出滿足以上兩個(gè)條件的a、b、c的值即可得出所填答案.
【解答】解:二次函數(shù)y=ax2+bx+c,
①開口向下,
∴a<0;
②當(dāng)x>0時(shí),y隨著x的增大而減小,﹣≤0,即b<0;
∴只要滿足以上兩個(gè)條件就行,
如a=﹣1,b=﹣2,c=﹣1時(shí),二次函數(shù)的解析式是y=﹣x2﹣2x﹣1.
故答案為:y=﹣x2﹣2x﹣1.
11.(3分)已知二次函數(shù)y=﹣x2+2x+m的部分圖象如圖所示,則關(guān)于x的方程﹣x2+2x+m=0的解為 x1=3,x2=﹣1?。?br />
【分析】根據(jù)函數(shù)圖象可以得到該函數(shù)的對(duì)稱軸,該函數(shù)與x軸的一個(gè)交點(diǎn),然后根據(jù)二次函數(shù)的對(duì)稱性即可得到另一個(gè)交點(diǎn),從而可以得到關(guān)于x的一元二次方程﹣x2+2x+m=0的解,本題得以解決.
【解答】解:由圖象可知,該函數(shù)的對(duì)稱軸是直線x=1,與x的軸的一個(gè)交點(diǎn)是(3,0),則該函數(shù)與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)是(﹣1,0),
即當(dāng)y=0時(shí),0=﹣x2+2x+m,此時(shí)x1=3,x2=﹣1,
故關(guān)于x的一元二次方程﹣x2+2x+m=0的解為x1=3,x2=﹣1,
故答案是:x1=3,x2=﹣1.
12.(3分)如圖,點(diǎn)A在⊙O上,弦BC垂直平分OA,垂足為D.若OA=4,則BC的長(zhǎng)為 4?。?br />
【分析】連接OC,根據(jù)垂徑定理和勾股定理即可求出答案.
【解答】解:連接OC,
∵BC⊥OA,
∴∠ODC=90°,BD=CD,
∵OD=AD,
∴OD=OA==2,
∴CD===2,
∴BC=2CD=4,
故答案為4.
13.(3分)如圖,PA,PB是⊙O的兩條切線,A,B為切點(diǎn),若OA=2,∠APB=60°,則PB= 2?。?br />
【分析】由題意可得:∠APO=∠BPO=∠APB=30°,AO⊥AP,PA=PB,即可求PB的長(zhǎng)度.
【解答】解:∵PA、PB是⊙O的兩條切線,∠APB=60°,OA=OB=2,
∴∠BPO=∠APB=30°,BO⊥PB.
∴PO=2AO=4,
∴PB===2.
故答案是:2.
14.(3分)草坪上的自動(dòng)噴水裝置的旋轉(zhuǎn)角為200°,且它的噴灌區(qū)域是一個(gè)扇形.若它能噴灌的扇形草坪面積為5π平方米,則這個(gè)扇形的半徑是 3 米.
【分析】根據(jù)已知得出自動(dòng)噴水裝置它能噴灌的草坪是扇形,面積為5π平方米,圓心角為200°,利用扇形面積公式S扇形=求出即可.
【解答】解:∵草坪上的自動(dòng)噴水裝置它能噴灌的草坪是扇形,面積為5π平方米,圓心角為200°,
∴它能噴灌的草坪的面積為:=5πm2.
解得:R=3
故答案為:3.
15.(3分)如圖,直線AB與x軸、y軸分別相交于A、B兩點(diǎn),點(diǎn)A(﹣3,0),點(diǎn)B(0,),圓心P的坐標(biāo)為(1,0),圓P與y軸相切與點(diǎn)O.若將圓P沿x軸向左移動(dòng),當(dāng)圓P與該直線相交時(shí),令圓心P的橫坐標(biāo)為m,則m的取值范圍是 ﹣5<m<﹣1?。?br />
【分析】求出函數(shù)與x軸、y軸的交點(diǎn)坐標(biāo),求出函數(shù)與x軸的夾角,計(jì)算出當(dāng)⊙P與AB線切時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo),判斷出P的橫坐標(biāo)的取值范圍.
【解答】解:∵點(diǎn)A(﹣3,0),點(diǎn)B(0,),
∴OA=3,OB=,
∴tan∠BAO==,
∴∠BAO=30°,
作⊙P′與⊙P″切AB于D、E,
連接P′D、P″E,則P′D⊥AB、P″E⊥AB,
在Rt△ADP′中,AP′=2×DP′=2,
同理可得,AP″=2,
則P′橫坐標(biāo)為﹣3+2=﹣1,P″橫坐標(biāo)為﹣1﹣4=﹣5,
故P橫坐標(biāo)m的取值范圍為:﹣5<m<﹣1,
故答案為:﹣5<m<﹣1.
16.(3分)如圖1,在△ABC中,AB>AC,D是邊BC上一動(dòng)點(diǎn),設(shè)B,D兩點(diǎn)之間的距離為x,A,D兩點(diǎn)之間的距離為y,表示y與x的函數(shù)關(guān)系的圖象如圖2所示.則線段AC的長(zhǎng)為 ,線段AB的長(zhǎng)為 2 .
【分析】從圖象看,當(dāng)x=1時(shí),y=,即BD=1時(shí),AD=,當(dāng)x=7時(shí),y=,即BD=7時(shí),C、D重合,此時(shí)y=AD=AC=,則CD=6,即當(dāng)BD=1時(shí),△ADC為以點(diǎn)A為頂點(diǎn)腰長(zhǎng)為的等腰三角形,進(jìn)而求解.
【解答】解:從圖象看,當(dāng)x=1時(shí),y=,即BD=1時(shí),AD=,
當(dāng)x=7時(shí),y=,即BD=7時(shí),C、D重合,此時(shí)y=AD=AC=,則CD=6,
即當(dāng)BD=1時(shí),△ADC為以點(diǎn)A為頂點(diǎn)腰長(zhǎng)為的等腰三角形,如下圖:
過點(diǎn)A作AH⊥BC于點(diǎn)H,
在Rt△ACH中,AC=,CH=DH=CD=3,則AH===2,
在Rt△ABH中,AB===2,
故答案為:,2.
三、解答題(本題共68分,第17-22題,每小題5分,第23-26題,每小題5分,第27-28題,每小題5分)解答應(yīng)寫出文字說明、演算步驟或證明過程.
17.(5分)解方程:2x2﹣3x+1=0.
【分析】方程左邊利用十字相乘法分解因式后,利用兩數(shù)相乘積為0兩因式中至少有一個(gè)為0轉(zhuǎn)化為兩個(gè)一元一次方程來求解.
【解答】解:方程分解因式得:(2x﹣1)(x﹣1)=0,
可得2x﹣1=0或x﹣1=0,
解得:x1=,x2=1.
18.(5分)已知:如圖,線段AB.
求作:以AB為斜邊的直角△ABC,使得一個(gè)內(nèi)角等于30°.
作法:①作線段AB的垂直平分線交AB于點(diǎn)O;
②以點(diǎn)O為圓心,OA長(zhǎng)為半徑畫圓;
③以點(diǎn)B為圓心,OB長(zhǎng)為半徑畫弧,與⊙O相交,記其中一個(gè)交點(diǎn)為C;
④分別連接AC,BC.
△ABC就是所求作的直角三角形.
(1)使用直尺和圓規(guī),依作法補(bǔ)全圖形(保留作圖痕跡);
(2)完成下面的證明.
證明:連接OC,
∵AB是⊙O的直徑,
∴∠ACB= 90 °( 直徑所對(duì)的圓周角是直角?。ㄌ钔评淼囊罁?jù)).
∴△ABC是以AB為斜邊的直角三角形.
∵OC=OB=BC,
∴△OBC是等邊三角形.
∴∠COB=60°.
∴∠A= 30 °.
【分析】(1)根據(jù)要求作出圖形即可.
(2)證明△BOC是等邊三角形,∠ACB=90°即可解決問題.
【解答】解:(1)如圖,△ABC即為所求作.
(2)連接OC,
∵AB是⊙O的直徑,
∴∠ACB=90°(直徑所對(duì)的圓周角是直角)(填推理的依據(jù)).
∴△ABC是以AB為斜邊的直角三角形.
∵OC=OB=BC,
∴△OBC是等邊三角形.
∴∠COB=60°.
∴∠A=30°.
故答案為:90,直徑所對(duì)的圓周角是直角,30.
19.(5分)如圖,正方形網(wǎng)格中的每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)都是1,每個(gè)小正方形的頂點(diǎn)叫做格點(diǎn).△ABC的三個(gè)頂點(diǎn)A、B、C都在格點(diǎn)上,將△ABC繞點(diǎn)A順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)90°得到△AB′C′.
(1)在正方形網(wǎng)格中,畫出△AB′C′;
(2)計(jì)算線段AB在變換到AB′的過程中,B點(diǎn)走過的路程.
【分析】(1)利用網(wǎng)格特點(diǎn)和旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)畫出點(diǎn)B、C的對(duì)應(yīng)點(diǎn)B′、C′即可得到△AB′C′;
(2)由于線段AB在變換到AB′的過程中,B點(diǎn)走過的路程為以A為圓心,AB為半徑,圓心角為90度的弧,于是利用弧長(zhǎng)公式可計(jì)算出B點(diǎn)走過的路程長(zhǎng).
【解答】解:(1)如圖,△AB′C′為所作;
(2)AB==5,
所以線段AB在變換到AB′的過程中,B點(diǎn)走過的路程長(zhǎng)==π.
20.(5分)關(guān)于x的一元二次方程x2+mx+n=0.
(1)若方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根,用含m的代數(shù)式表示n;
(2)若方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根,且m=﹣4.
①求n的取值范圍;
②寫出一個(gè)滿足條件的n的值,并求此時(shí)方程的根.
【分析】(1)根據(jù)方程得出Δ=m2﹣4n=0,變形即可;
(2)①根據(jù)方程得到Δ=(﹣4)2﹣4n>0,解得即可;
②在n的取值范圍內(nèi)取n=3,然后解方程即可.
【解答】解:(1)∵關(guān)于x的一元二次方程x2+mx+n=0有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根,
∴Δ=m2﹣4n=0,
∴n=m2;
(2)①∵方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根,且m=﹣4.
∴Δ=(﹣4)2﹣4n>0,
解得n<4;
②∵n<4,
∴n可以是3,
此時(shí)方程為x2﹣4x+3=0,
(x﹣3)(x﹣1)=0,
解得x1=3,x2=1.
21.(5分)下表是二次函數(shù)y1=ax2+bx+c的部分x,y的對(duì)應(yīng)值:
x
…
﹣1
﹣
0
1
2
3
…
y
…
m
﹣1
﹣
﹣2
﹣
﹣1
2
…
(1)二次函數(shù)圖象頂點(diǎn)坐標(biāo)是 (1,﹣2) ,m的值為 2??;
(2)求此拋物線的解析式.
【分析】(1)直接根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)可得答案;
(2)先設(shè)出二次函數(shù)的頂點(diǎn)式,再利用待定系數(shù)法可得問題的答案.
【解答】解:(1)∵x=0和2時(shí)的函數(shù)值都是﹣1相等,
∴二次函數(shù)的對(duì)稱軸為直線x==1,
∴二次函數(shù)的頂點(diǎn)坐標(biāo)為(1,﹣2),
∴點(diǎn)(﹣1,m)與點(diǎn)(3,2)是對(duì)稱點(diǎn),
∴m=2,
故答案為:(1,﹣2),2;
(2)設(shè)二次函數(shù)的解析式為y=a(x﹣1)2﹣2
把點(diǎn)(0,﹣1)代入二次函數(shù)解析式得,
﹣1=﹣a﹣2,
∴a=1,
∴二次函數(shù)的解析式為:y=(x﹣1)2﹣2=x2﹣2x﹣1.
22.(5分)已知:如圖,AB是⊙O的直徑,CD是⊙O的弦,且AB⊥CD,垂足為E.
(1)求證:BC=BD;
(2)若BC=15,AD=20,求AB和CD的長(zhǎng).
【分析】(1)直接根據(jù)垂徑定理即可得出結(jié)論;
(2)先根據(jù)垂徑定理判斷出△ABD是直角三角形,再根據(jù)勾股定理求出AB的長(zhǎng),由AB?DE=AD?BD即可求出DE的長(zhǎng),再由CD=2DE即可得出結(jié)論.
【解答】(1)證明:∵AB為⊙O的直徑,AB⊥CD,
∴,
∴BC=BD;
(2)解:∵AB為⊙O的直徑,
∴∠ADB=90°,
∴AB===25,
∵AB?DE=AD?BD,
∴×25×DE=×20×15.
∴DE=12.
∵AB為⊙O的直徑,AB⊥CD,
∴CD=2DE=2×12=24.
23.(6分)二次函數(shù)y=ax2+bx+c(a≠0)的圖象經(jīng)過(3,0)點(diǎn),當(dāng)x=1時(shí),函數(shù)的最小值為﹣4.
(1)求該二次函數(shù)的解析式并畫出它的圖象;
(2)當(dāng)0<x<4時(shí),結(jié)合函數(shù)圖象,直接寫出y的取值范圍;
(3)直線x=m與拋物線y=ax2+bx+c(a≠0)和直線y=x﹣3的交點(diǎn)分別為點(diǎn)C,點(diǎn)D,點(diǎn)C位于點(diǎn)D的上方,結(jié)合函數(shù)的圖象直接寫出m的取值范圍.
【分析】(1)設(shè)頂點(diǎn)式y(tǒng)=a(x﹣1)2﹣4(a≠0),再把(3,0)代入求出a得到拋物線解析式,然后利用描點(diǎn)法畫出二次函數(shù)圖象;
(2)根據(jù)圖象可得答案;
(3)先畫出直線y=x﹣3,則可得到直線y=x﹣3與拋物線的交點(diǎn)坐標(biāo)為(0,﹣3),(3,0),然后寫出拋物線在直線y=x﹣3上方所對(duì)應(yīng)的自變量的范圍即可.
【解答】解:(1)∵當(dāng)x=1時(shí),二次函數(shù)y=ax2+bx+c(a≠0)的最小值為﹣4,
∴二次函數(shù)的圖象的頂點(diǎn)為(1,﹣4),
∴二次函數(shù)的解析式可設(shè)為y=a(x﹣1)2﹣4(a≠0),
∵二次函數(shù)的圖象經(jīng)過(3,0)點(diǎn),
∴a(3﹣1)2﹣4=0.
解得a=1.
∴該二次函數(shù)的解析式為y=(x﹣1)2﹣4;
如圖,
(2)當(dāng)x=4時(shí),y=5;當(dāng)x=0時(shí),y=﹣3,
∴當(dāng)0<x<4時(shí),﹣3<y<5;
(3)由圖象可得m<0或m>3.
24.(6分)如圖,以40m/s的速度將小球沿與地面成30°角的方向擊出時(shí),小球的飛行路線是一條拋物線.如果不考慮空氣阻力,小球的飛行高度h(單位:m)與飛行時(shí)間t(單位:s)之間具有函數(shù)關(guān)系h=20t﹣5t2.
(1)小球飛行時(shí)間是多少時(shí),小球最高?最大高度是多少?
(2)小球飛行時(shí)間t在什么范圍時(shí),飛行高度不低于15m?
【分析】(1)將函數(shù)解析式配方成頂點(diǎn)式可得最值;
(2)畫圖象可得t的取值.
【解答】解:(1)∵h(yuǎn)=﹣5t2+20t=﹣5(t﹣2)2+20,
∴當(dāng)t=2時(shí),h取得最大值20米;
答:小球飛行時(shí)間是2s時(shí),小球最高為20m;
(2)由題意得:15=20t﹣5t2,
解得:t1=1,t2=3,
由圖象得:當(dāng)1≤t≤3時(shí),h≥15,
則小球飛行時(shí)間1≤t≤3時(shí),飛行高度不低于15m.
25.(6分)如圖,AB為⊙O的直徑,C為⊙O上一點(diǎn),D是的中點(diǎn),過點(diǎn)D作AC的垂線,交AC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E,連接AD.
(1)求證:DE是⊙O的切線;
(2)連接CD,若∠CDA=30°,AC=2,求CE的長(zhǎng).
【分析】(1)連接OD,根據(jù)圓周角定理得到∠BAD=∠CAD,根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到∠BAD=∠ODA,求得∠CAD=∠ODA,得到OD∥AE,根據(jù)平行線的性質(zhì)得到DE⊥OD,根據(jù)切線的判定定理得到DE是⊙O的切線;
(2)連接OC,CD,根據(jù)圓周角定理得到∠AOC=2∠CDA=60°,求得△AOC是等邊三角形,推出四邊形ACDO是菱形,得到CD=AC=2,∠CDE=30°,根據(jù)直角三角形的性質(zhì)得到CE=1.
【解答】(1)證明:連接OD,
∵D是的中點(diǎn),
∴∠BAD=∠CAD,
∵OA=OD,
∴∠BAD=∠ODA,
∴∠CAD=∠ODA,
∴OD∥AE,
∵DE⊥AC,
∴DE⊥OD,
∴DE是⊙O的切線;
(2)解:連接OC,CD,
∵∠CDA=30°,
∴∠AOC=2∠CDA=60°,
∴△AOC是等邊三角形,
∴由(1)可得,四邊形ACDO是菱形,
∴CD=AC=2,∠CDE=30°,
∴CE=1.
26.(6分)在平面直角坐標(biāo)系xOy中,拋物線y=ax2+bx(a≠0)過點(diǎn)(4,0).
(1)用含a的代數(shù)式表示b;
(2)已知點(diǎn)A(0,a),將點(diǎn)A繞原點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到點(diǎn)B,再將點(diǎn)B向右平移2個(gè)單位長(zhǎng)度得到點(diǎn)C,求點(diǎn)C的坐標(biāo)(用含a的代數(shù)式表示);
(3)在(2)的條件下,若線段AC與拋物線有公共點(diǎn),求a的取值范圍.
【分析】(1)將(4,0)代入即可得答案,
(2)y軸上的點(diǎn)繞原點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°到x軸,向右平移則橫坐標(biāo)加2即可求出B的坐標(biāo),
(3)根據(jù)圖形列出不等式可得a的范圍;
【解答】解:(1)∵拋物線y=ax2+bx過點(diǎn)(4,0),
∴0=16a+4b,
∴b=﹣4a.
(2)∵點(diǎn)A(0,a)繞原點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到點(diǎn)B,
∴點(diǎn)B的坐標(biāo)為(a,0),
∵點(diǎn)B向右平移2個(gè)單位長(zhǎng)度得到點(diǎn)C,
∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為(a+2,0).
(3)(i)當(dāng)a>0時(shí),
拋物線y=ax2﹣4ax開口向上,與x軸交于兩點(diǎn)(0,0),(4,0).
若線段AC與拋物線有公共點(diǎn)(如答圖1),只需滿足:,解得:a≥2;
(ii)當(dāng)a<0時(shí),
拋物線y=ax2﹣4ax開口向下,與x軸交于兩點(diǎn)(0,0),(4,0),
若線段AC與拋物線有公共點(diǎn)(如答圖2),只需滿足:,解得:a≤﹣2;
綜上所述,a的取值范圍為a≥2或a≤﹣2.
27.(7分)在△ABC中,∠C=90°,AC=BC,點(diǎn)D在射線BC上(不與點(diǎn)B、C重合),連接AD,將AD繞點(diǎn)D順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到DE,連接BE.
(1)如圖1,點(diǎn)D在BC邊上.
①依題意補(bǔ)全圖1;
②作DF⊥BC交AB于點(diǎn)F,若AC=8,DF=3,求BE的長(zhǎng);
(2)如圖2,點(diǎn)D在BC邊的延長(zhǎng)線上,用等式表示線段AB、BD、BE之間的數(shù)量關(guān)系(直接寫出結(jié)論).
【分析】(1)①根據(jù)題意畫出圖形即可;
②根據(jù)SAS證明△ADF≌△EDB,根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到AF=EB.在△ABC和△DFB中,根據(jù)勾股定理得到AB=,BF=.再根據(jù)線段的和差關(guān)系得到AF=AB﹣BF=,即BE=.
(2)根據(jù)AAS證明△ACD≌△DFE,根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到EF=DC.再根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)得到EF=BE,BC=AB,根據(jù)等量關(guān)系即可得到BD=BE+AB.
【解答】解:(1)①補(bǔ)全圖形,如圖1所示.
②如圖1②,
由題意可知AD=DE,∠ADE=90°.
∵DF⊥BC,
∴∠FDB=90°.
∴∠ADF=∠EDB.
∵∠C=90°,AC=BC,
∴∠ABC=∠DFB=45°.
∴DB=DF.
∴△ADF≌△EDB.
∴AF=EB.
在△ABC和△DFB中,
∵AC=8,DF=3,
∴AB=,BF=.
AF=AB﹣BF=
即BE=.
(2)如圖2,
BD=BE+AB.
28.(7分)在平面直角坐標(biāo)系xOy中,⊙O的半徑為1.給出如下定義:記線段AB的中點(diǎn)為M,當(dāng)點(diǎn)M不在⊙O上時(shí),平移線段AB,使點(diǎn)M落在⊙O上,得到線段A'B'(A',B'分別為點(diǎn)A,B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)).線段AA'長(zhǎng)度的最小值稱為線段AB到⊙O的“平移距離”.
(1)已知點(diǎn)A的坐標(biāo)為(﹣1,0),點(diǎn)B在x軸上.
①若點(diǎn)B與原點(diǎn)O重合,則線段AB到⊙O的“平移距離”為 ??;
②若線段AB到⊙O的“平移距離”為2,則點(diǎn)B的坐標(biāo)為 ?。ī?,0)或(7,0)?。?br />
(2)若點(diǎn)A,B都在直線y=x+4上,AB=2,記線段AB到⊙O的“平移距離”為d1,3求d1的最小值;
(3)若點(diǎn)A的坐標(biāo)為(3,4),AB=2,記線段AB到⊙O的“平移距離”為d2,直接寫出d2的取值范圍.
【分析】(1)①求出點(diǎn)M的坐標(biāo),即可得出結(jié)論.
②因?yàn)榫€段AB到⊙O的“平移距離”為2,所以M(﹣3,0)或(3,0),由此即可解決問題.
(2)如圖1中,設(shè)直線y=x+4交x軸于F,交y軸于E,則E(0,4),F(xiàn)(﹣3,0).過點(diǎn)O作OH⊥EF于H,交⊙O于K.利用面積法求出OH的長(zhǎng),可得結(jié)論.
(3)求出d2的最大值與最小值,可得結(jié)論.
【解答】解:(1)①∵A(﹣1,0),B(0,0),AM=BM,
∴M(﹣,0),
∴線段AB到⊙O的“平移距離”=線段AM的長(zhǎng)=,
故答案為:.
②∵線段AB到⊙O的“平移距離”為2,
∴M(﹣3,0)或(3,0),
∵M(jìn)A=MB,
∴B(﹣5,0)或(7,0).
故答案為:B(﹣5,0)或(7,0).
(2)如圖1中,設(shè)直線y=x+4交x軸于F,交y軸于E,則E(0,4),F(xiàn)(﹣3,0).過點(diǎn)O作OH⊥EF于H,交⊙O于K.
∵OE=4,OF=3,
∴EF===5,
∵S△OEF=×OE×OF=×EF×OH,
∴OH=,
觀察圖象可知,當(dāng)AB的中點(diǎn)M與H重合時(shí),線段AB到⊙O的“平移距離”最小,
最小值=OH﹣OK=.即d1=.
(3)如圖2中,由題意,AB的中點(diǎn)M的運(yùn)動(dòng)軌跡是A為圓心1為半徑是圓,
d2的最小值=PQ=5﹣2=3,d2的最大值=PR=5,
∴3≤d2≤5.
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