2020-2021學(xué)年北京五中分校九年級（上）期中數(shù)學(xué)試卷 (原卷+解析)

這是一份2020-2021學(xué)年北京五中分校九年級（上）期中數(shù)學(xué)試卷 (原卷+解析)，共38頁。試卷主要包含了選擇題，四象限D(zhuǎn)．第二象限，解答題等內(nèi)容，歡迎下載使用。
1．（2分）下列圖案中，是中心對稱圖形的是（ ）
A．B．
C．D．
2．（2分）如圖，點(diǎn)A，B，C在⊙O上，若∠AOB＝70°，則∠ACB的度數(shù)為（ ）
A．35°B．40°C．50°D．70°
3．（2分）當(dāng)x＜0時(shí)，函數(shù)y＝的圖象位于（ ）
A．第三象限B．第一、二、三象限
C．第二、四象限D(zhuǎn)．第二象限
4．（2分）將拋物線y＝2x2向右平移1個(gè)單位，再向上平移3個(gè)單位，得到的拋物線是（ ）
A．y＝2（x+1）2+3B．y＝2（x﹣1）2+3
C．y＝2（x+1）2﹣3D．y＝2（x﹣1）2﹣3
5．（2分）如圖，⊙O的半徑為5，AB為弦，OC⊥AB，垂足為E，如果CE＝2，那么AB的長是（ ）
A．4B．8C．6D．10
6．（2分）如圖，PA、PB是⊙O的切線，A、B分別為切點(diǎn)，PO交圓于點(diǎn)C，若∠APB＝60°，PC＝6，則AC的長為（ ）
A．4B．C．D．
7．（2分）如圖，直線y1＝2x和拋物線y2＝﹣x2+4x，當(dāng)y1＞y2時(shí)，x的取值范圍是（ ）
A．0＜x＜2B．x＜0或x＞2C．x＜0或x＞4D．0＜x＜4
8．（2分）已知O⊙，如圖，
（1）作⊙O的直徑AB；
（2）以點(diǎn)A為圓心，AO長為半徑畫弧，交⊙O于C，D兩點(diǎn)；
（3）連接CD交AB于點(diǎn)E，連接AC，BC．
根據(jù)以上作圖過程及所作圖形，有下面三個(gè)推斷：
①CE＝DE；②BE＝3AE；⑧BC＝2CE．其中正確的推斷的個(gè)數(shù)是（ ）
A．0個(gè)B．1個(gè)C．2個(gè)D．3個(gè)
二、填空題（本題共16分，每小題2分）
9．（2分）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)（4，﹣5）關(guān)于原點(diǎn)的對稱點(diǎn)坐標(biāo)是 ．
10．（2分）已知在△ABC中，∠C＝90°，AB＝6，BC＝5，則sin∠A＝ ．
11．（2分）小云家開了一個(gè)小文具店，今年一月份的利潤是2250元，三月份的利潤是1000元，計(jì)算這個(gè)文具店這兩個(gè)月利潤的平均下降率．設(shè)這兩個(gè)月利潤的平均下降率為x，則可列方程得 ．
12．（2分）如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，將線段OA繞點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到線段OA'，其中A（﹣2，3），則A'的坐標(biāo)是 ．
13．（2分）如圖，⊙O的直徑AB＝4，點(diǎn)C在⊙O上，∠ABC＝30°，則AC的長是 ．
14．（2分）如圖，在△AOB中，∠AOB＝90°，∠B＝30°，△A'OB'是由△AOB繞點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)α（α＜180°）角度得到的，若點(diǎn)A'在AB上，則旋轉(zhuǎn)角α＝ ．
15．（2分）如圖，為了估算河的寬度，小明采用的辦法是：在河的對岸選取一點(diǎn)A，在近岸取點(diǎn)D，B，使得A，D，B在一條直線上，且與河的邊沿垂直，測得BD＝10m，然后又在垂直AB的直線上取點(diǎn)C，并量得BC＝30m．如果DE＝20m，則河寬AD為 m．
16．（2分）如圖是二次函數(shù)y＝ax2+bx+c（a≠0）圖象的一部分，有下列4個(gè)結(jié)論：①abc＞0；②b2﹣4ac＞0；③關(guān)于x的方程ax2+bx+c＝0的兩個(gè)根是x1＝﹣2，x2＝3；④關(guān)于x的不等式ax2+bx+c＞0的解集是x＞﹣2．其中正確的結(jié)論是 ．
三、解答題（本題共68分）
17．（5分）解方程：2x2﹣3x﹣2＝0．
18．（5分）如圖，AB是⊙O的直徑，弦CD⊥AB于點(diǎn)H，∠A＝30°，CD＝4，求⊙O的半徑的長．
19．（5分）如圖，正方形ABCD的邊長為4，E是CD中點(diǎn)，點(diǎn)P在射線AB上，過點(diǎn)P作線段AE的垂線段，垂足為F．
（1）求證：△PAF∽△AED；
（2）連接PE，若存在點(diǎn)P使△PEF與△AED相似，直接寫出PA的長 ．
20．（5分）二次函數(shù)y＝ax2+bx+c（a，b，c是常數(shù)，a≠0）的自變量x與函數(shù)值y的部分對應(yīng)值如下表：
根據(jù)以上列表，回答下列問題：
（1）直接寫出c，m的值；
（2）求此二次函數(shù)的解析式．
21．（5分）關(guān)于x的一元二次方程（k﹣2）x2﹣4x+2＝0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根．
（1）求k的取值范圍；
（2）如果符合條件的最大整數(shù)k是一元二次方程k2+mk+1＝0的根，求m的值．
22．（5分）如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，直線y＝x+3與函數(shù)y＝（x＞0）的圖象交于點(diǎn)A（1，m），與x軸交于點(diǎn)B．
（1）求m，k的值；
（2）過動點(diǎn)P（0，n）（n＞0）作平行于x軸的直線，交函數(shù)y＝（x＞0）的圖象于點(diǎn)C，交直線y＝x+3于點(diǎn)D．
①當(dāng)n＝2時(shí)，求線段CD的長；
②若CD≥OB，結(jié)合函數(shù)的圖象，直接寫出n的取值范圍．
23．（6分）如圖，在△ABC中，AB＝AC，以AC為直徑的⊙O與BC交于點(diǎn)D，DE⊥AB，垂足為E，ED的延長線與AC的延長線交于點(diǎn)F．
（1）求證：DE是⊙O的切線；
（2）若⊙O的半徑為2，BE＝1，求CF的長．
24．（6分）某超市銷售一款洗手液，這款洗手液成本價(jià)為每瓶16元，當(dāng)銷售單價(jià)定為每瓶20元時(shí)，每天可售出60瓶．市場調(diào)查反應(yīng)：銷售單價(jià)每上漲1元，則每天少售出5瓶．若設(shè)這款洗手液的銷售單價(jià)上漲x元，每天的銷售量利潤為y元．
（1）每天的銷售量為 瓶，每瓶洗手液的利潤是 元；（用含x的代數(shù)式表示）
（2）若這款洗手液的日銷售利潤y達(dá)到300元，則銷售單價(jià)應(yīng)上漲多少元？
（3）當(dāng)銷售單價(jià)上漲多少元時(shí)，這款洗手液每天的銷售利潤y最大，最大利潤為多少元？
25．（6分）有這樣一個(gè)問題：探究函數(shù)y＝x2﹣4|x|+3的圖象與性質(zhì)．
小麗根據(jù)學(xué)習(xí)函數(shù)的經(jīng)驗(yàn)，對函數(shù)y＝x2﹣4|x|+3的圖象與性質(zhì)進(jìn)行了探究．
下面是小麗的探究過程，請補(bǔ)充完整：
（1）函數(shù)y＝x2﹣4|x|+3的自變量x的取值范圍是 ．
（2）如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，畫出了函數(shù)y＝x2﹣4|x|+3的部分圖象，用描點(diǎn)法將這個(gè)函數(shù)的圖象補(bǔ)充完整：
（3）對于上面的函數(shù)y＝x2﹣4|x|+3，下列四個(gè)結(jié)論：
①函數(shù)圖象關(guān)于y軸對稱；
②函數(shù)既有最大值，也有最小值；
③當(dāng)x＞2時(shí)，y隨x的增大而增大，當(dāng)x＜﹣2時(shí)，y隨x的增大而減小；
④函數(shù)圖象與x軸有2個(gè)公共點(diǎn)．
所有正確結(jié)論的序號是 ．
（4）結(jié)合函數(shù)圖象，解決問題：
若關(guān)于x的方程x2﹣4|x|+3＝k有4個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，則k的取值范圍是 ．
26．（6分）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，拋物線y＝mx2+2mx﹣3與x軸交于A，B兩點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)B左側(cè)），與y軸交于點(diǎn)C，AB＝4．
（1）直接寫出拋物線的對稱軸為直線 ，點(diǎn)A的坐標(biāo)為 ；
（2）求拋物線的解析式（化為一般式）；
（3）若將拋物線y＝mx2+2mx﹣3沿x軸方向平移n（n＞0）個(gè)單位長度，使得平移后的拋物線與線段AC恰有一個(gè)公共點(diǎn)，結(jié)合函數(shù)圖象，回答下列問題：
①若向左平移，則n的取值范圍是 ．
②若向右平移，則n的取值范圍是 ．
27．（7分）如圖1，△ABC和△DEF都是等腰直角三角形，∠A＝90°，∠E＝90°，△DEF的頂點(diǎn)D恰好落在△ABC的斜邊BC中點(diǎn)，把△DEF繞點(diǎn)D旋轉(zhuǎn)，始終保持線段DE、DF分別與線段AB、AC交于M、N，連接MN．
在這個(gè)變化過程中，小明通過觀察、度量，發(fā)現(xiàn)了一些特殊的數(shù)量關(guān)系．
（1）于是他把△DEF旋轉(zhuǎn)到特殊位置，驗(yàn)證自己的猜想．如圖2，當(dāng)MN∥BC時(shí)，
①通過計(jì)算∠BMD和∠NMD的度數(shù)，得出∠BMD ∠NMD（填＞，＜或＝）；
②設(shè)BC＝2，通過計(jì)算AM，MN，NC的長度，其中NC＝ ，進(jìn)而得出AM、MN、NC之間的數(shù)量關(guān)系是 ．
（2）在特殊位置驗(yàn)證猜想還不夠，還需要在一般位置進(jìn)行證明．
請你對（1）中猜想的線段AM、MN、NC之間的數(shù)量關(guān)系進(jìn)行證明．
28．（7分）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，⊙O的半徑為1，對于⊙O和⊙O外的點(diǎn)P，給出如下的定義：若在⊙O上存在一點(diǎn)Q，使得P、Q兩點(diǎn)間的距離小于或等于1，則稱P為⊙O的近距點(diǎn)．
（1）在點(diǎn)P1（1，1），P2（﹣，），P3（0，﹣），P4（2，1）中，⊙O的近距點(diǎn)是 ；
（2）若直線l：y＝x+b上存在⊙O的近距點(diǎn)，求b的取值范圍；
（3）若點(diǎn)P在直線y＝x+1上，且點(diǎn)P是⊙O的近距點(diǎn)，求點(diǎn)P橫坐標(biāo)xP的取值范圍．
2020-2021學(xué)年北京五中分校九年級（上）期中數(shù)學(xué)試卷
參考答案與試題解析
一、選擇題（本題共16分，每小題2分）
1．（2分）下列圖案中，是中心對稱圖形的是（ ）
A．B．
C．D．
【分析】根據(jù)中心對稱圖形定義：把一個(gè)圖形繞某一點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180°，如果旋轉(zhuǎn)后的圖形能夠與原來的圖形重合，那么這個(gè)圖形就叫做中心對稱圖形，這個(gè)點(diǎn)叫做對稱中心進(jìn)行分析即可．
【解答】解：A、不是中心對稱圖形，故此選項(xiàng)不合題意；
B、不是中心對稱圖形，故此選項(xiàng)不合題意；
C、不是中心對稱圖形，故此選項(xiàng)不合題意；
D、是中心對稱圖形，故此選項(xiàng)符合題意；
故選：D．
【點(diǎn)評】此題主要考查了中心對稱圖形，中心對稱圖形是要尋找對稱中心，旋轉(zhuǎn)180度后與原圖重合．
2．（2分）如圖，點(diǎn)A，B，C在⊙O上，若∠AOB＝70°，則∠ACB的度數(shù)為（ ）
A．35°B．40°C．50°D．70°
【分析】直接根據(jù)圓周角定理即可得出結(jié)論．
【解答】解：∵∠AOB＝70°，
∴∠ACB＝∠AOB＝35°，
故選：A．
【點(diǎn)評】本題考查了圓周角定理，熟練掌握圓周角定理是解題的關(guān)鍵．
3．（2分）當(dāng)x＜0時(shí)，函數(shù)y＝的圖象位于（ ）
A．第三象限B．第一、二、三象限
C．第二、四象限D(zhuǎn)．第二象限
【分析】先根據(jù)反比例函數(shù)的性質(zhì)判斷出函數(shù)y＝的圖象所在的象限，再根據(jù)各象限內(nèi)點(diǎn)的坐標(biāo)特點(diǎn)判斷出x＜0時(shí)函數(shù)圖象所在的象限即可．
【解答】解：∵反比例函數(shù)y＝中k＝5＞0，
∴此函數(shù)的圖象位于一、三象限，
∴當(dāng)x＜0時(shí)函數(shù)的圖象在第三象限．
故選：A．
【點(diǎn)評】本題考查的是反比例函數(shù)的性質(zhì)及各象限內(nèi)點(diǎn)的坐標(biāo)特點(diǎn)，熟知反比例函數(shù)的圖象與系數(shù)的關(guān)系是解答此題的關(guān)鍵．
4．（2分）將拋物線y＝2x2向右平移1個(gè)單位，再向上平移3個(gè)單位，得到的拋物線是（ ）
A．y＝2（x+1）2+3B．y＝2（x﹣1）2+3
C．y＝2（x+1）2﹣3D．y＝2（x﹣1）2﹣3
【分析】易得原拋物線的頂點(diǎn)及平移后拋物線的頂點(diǎn)，根據(jù)平移不改變拋物線的二次項(xiàng)系數(shù)可得新的拋物線解析式．
【解答】解：由題意得原拋物線的頂點(diǎn)為（0，0），
∴平移后拋物線的頂點(diǎn)為（1，3），
∴新拋物線解析式為y＝2（x﹣1）2+3，
故選：B．
【點(diǎn)評】考查二次函數(shù)的幾何變換；用到的知識點(diǎn)為：二次函數(shù)的平移不改變二次項(xiàng)的系數(shù)；得多新拋物線的頂點(diǎn)是解決本題的突破點(diǎn)．
5．（2分）如圖，⊙O的半徑為5，AB為弦，OC⊥AB，垂足為E，如果CE＝2，那么AB的長是（ ）
A．4B．8C．6D．10
【分析】連接OA，由于半徑OC⊥AB，利用垂徑定理可知AB＝2AE，又CE＝2，OC＝5，易求OE，在Rt△AOE中利用勾股定理易求AE，進(jìn)而可求AB．
【解答】解：連接OA，
∵半徑OC⊥AB，
∴AE＝BE＝AB，
∵OC＝5，CE＝2，
∴OE＝3，
在Rt△AOE中，AE＝＝＝4，
∴AB＝2AE＝8，
故選：B．
【點(diǎn)評】本題考查的是垂徑定理，根據(jù)題意作出輔助線，構(gòu)造出直角三角形是解答此題的關(guān)鍵．
6．（2分）如圖，PA、PB是⊙O的切線，A、B分別為切點(diǎn)，PO交圓于點(diǎn)C，若∠APB＝60°，PC＝6，則AC的長為（ ）
A．4B．C．D．
【分析】如圖，設(shè)CP交⊙O于點(diǎn)D，連接AD．由切線的性質(zhì)易證△AOP是含30度角的直角三角形，所以該三角形的性質(zhì)求得半徑＝2；然后在等邊△AOD中得到AD＝OA＝2；最后通過解直角△ACD來求AC的長度．
【解答】解：如圖，設(shè)CP交⊙O于點(diǎn)D，連接AD．設(shè)⊙O的半徑為r．
∵PA、PB是⊙O的切線，∠APB＝60°，
∴OA⊥AP，∠APO＝∠APB＝30°．
∴OP＝2OA，∠AOP＝60°，
∴PC＝2OA+OC＝3r＝6，則r＝2，
易證△AOD是等邊三角形，則AD＝OA＝2，
又∵CD是直徑，
∴∠CAD＝90°，
∴∠ACD＝30°，
∴AC＝AD?ct30°＝2
故選：C．
【點(diǎn)評】本題考查了切線的性質(zhì)，圓周角定理．若出現(xiàn)圓的切線，必連過切點(diǎn)的半徑，構(gòu)造定理圖，得出垂直關(guān)系．簡記作：見切點(diǎn)，連半徑，見垂直．
7．（2分）如圖，直線y1＝2x和拋物線y2＝﹣x2+4x，當(dāng)y1＞y2時(shí)，x的取值范圍是（ ）
A．0＜x＜2B．x＜0或x＞2C．x＜0或x＞4D．0＜x＜4
【分析】聯(lián)立兩函數(shù)解析式求出交點(diǎn)坐標(biāo)，再根據(jù)函數(shù)圖象寫出拋物線在直線下方部分的x的取值范圍即可．
【解答】解：由，解得或，
∴兩函數(shù)圖象交點(diǎn)坐標(biāo)為（0，0），（2，4），
由圖可知，y1＞y2時(shí)，x的取值范圍是x＜0或x＞2．
故選：B．
【點(diǎn)評】本題考查了二次函數(shù)與不等式，此類題目利用數(shù)形結(jié)合的思想求解更加簡便．
8．（2分）已知O⊙，如圖，
（1）作⊙O的直徑AB；
（2）以點(diǎn)A為圓心，AO長為半徑畫弧，交⊙O于C，D兩點(diǎn)；
（3）連接CD交AB于點(diǎn)E，連接AC，BC．
根據(jù)以上作圖過程及所作圖形，有下面三個(gè)推斷：
①CE＝DE；②BE＝3AE；⑧BC＝2CE．其中正確的推斷的個(gè)數(shù)是（ ）
A．0個(gè)B．1個(gè)C．2個(gè)D．3個(gè)
【分析】①連接OC，根據(jù)作圖過程可得，再根據(jù)垂徑定理即可判斷；
②根據(jù)作圖過程可得AC＝OA＝OC，即△AOC是等邊三角形，再根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)即可判斷；
③可以根據(jù)直角三角形30度角所對直角邊等于斜邊的一半，也可以根據(jù)三角形相似對應(yīng)邊成比例得結(jié)論．
【解答】解：如圖，連接OC，
①∵AB是⊙O的直徑，
∴∠ACB＝90°，
∵以點(diǎn)A為圓心，AO長為半徑畫弧，交⊙O于C，D兩點(diǎn)，
∴＝，
根據(jù)垂徑定理，得
AB⊥CE，CE＝DE，
所以①正確；
②∵AC＝OA＝OC，
∴△AOC是等邊三角形，
∵AB⊥CE，
∴AE＝OE，
∴BE＝BO+OE＝3AE，
∴②正確；
③方法一：
∵∠CAO＝60°，∠ACB＝90°，∠CBE＝30°，
∴BC＝2CE．
所以③正確．
方法二：
由△ACE∽△CBE，
∴AC：AE＝BC：CE＝2：1，
∴BC＝2CE，
所以③正確，
故選：D．
【點(diǎn)評】本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)、垂徑定理、圓周角定理、作圖﹣復(fù)雜作圖，解決本題的關(guān)鍵是掌握基本作圖．
二、填空題（本題共16分，每小題2分）
9．（2分）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)（4，﹣5）關(guān)于原點(diǎn)的對稱點(diǎn)坐標(biāo)是 （﹣4，5） ．
【分析】利用關(guān)于原點(diǎn)對稱點(diǎn)的坐標(biāo)特點(diǎn)可得答案．
【解答】解：點(diǎn)（4，﹣5）關(guān)于原點(diǎn)的對稱點(diǎn)坐標(biāo)是（﹣4，5），
故答案為：（﹣4，5）．
【點(diǎn)評】此題主要考查了關(guān)于原點(diǎn)對稱點(diǎn)的坐標(biāo)，關(guān)鍵是掌握兩個(gè)點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)對稱時(shí)，它們的橫坐標(biāo)互為相反數(shù)、縱坐標(biāo)互為相反數(shù)．
10．（2分）已知在△ABC中，∠C＝90°，AB＝6，BC＝5，則sin∠A＝ ．
【分析】根據(jù)三角函數(shù)的定義解決問題即可．
【解答】解：如圖，
∵∠C＝90°，BC＝5，AB＝6，
∴sinA＝＝．
故答案為：．
【點(diǎn)評】本題考查解直角三角形，三角函數(shù)的定義等知識，解題的關(guān)鍵是熟練掌握基本知識，屬于中考?？碱}型．
11．（2分）小云家開了一個(gè)小文具店，今年一月份的利潤是2250元，三月份的利潤是1000元，計(jì)算這個(gè)文具店這兩個(gè)月利潤的平均下降率．設(shè)這兩個(gè)月利潤的平均下降率為x，則可列方程得 2250（1﹣x）2＝1000 ．
【分析】直接利用一元二次方程中下降率求法得出方程即可．
【解答】解：設(shè)這兩個(gè)月利潤的平均下降率為x，則可列方程得：
2250（1﹣x）2＝1000．
故答案為：2250（1﹣x）2＝1000．
【點(diǎn)評】本題考查數(shù)量平均變化率問題，解題的關(guān)鍵是正確列出一元二次方程．原來的數(shù)量為a，平均每次增長或降低的百分率為x的話，經(jīng)過第一次調(diào)整，就調(diào)整到a×（1±x），再經(jīng)過第二次調(diào)整就是a×（1±x）（1±x）＝a（1±x）2．增長用“+”，下降用“﹣”．
12．（2分）如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，將線段OA繞點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到線段OA'，其中A（﹣2，3），則A'的坐標(biāo)是 （3，2） ．
【分析】根據(jù)題意畫出圖形，即可解決問題．
【解答】解：如圖，觀察圖象可知，A′（3，2）．
故答案為（3，2）．
【點(diǎn)評】本題考查坐標(biāo)與圖形變化﹣旋轉(zhuǎn)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會利用圖象法解決問題，屬于中考常考題型．
13．（2分）如圖，⊙O的直徑AB＝4，點(diǎn)C在⊙O上，∠ABC＝30°，則AC的長是 2 ．
【分析】根據(jù)圓周角定理得出∠ACB＝90°，進(jìn)而利用直角三角形中30°所對直角邊等于斜邊一半，求出即可．
【解答】解：∵直徑AB＝4，
∠ACB＝90°，
∵點(diǎn)C在⊙O上，∠ABC＝30°，
∴AC＝AB＝2，
故答案為：2．
【點(diǎn)評】此題主要考查了圓周角定理，根據(jù)已知得出AC＝AB是解題關(guān)鍵．
14．（2分）如圖，在△AOB中，∠AOB＝90°，∠B＝30°，△A'OB'是由△AOB繞點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)α（α＜180°）角度得到的，若點(diǎn)A'在AB上，則旋轉(zhuǎn)角α＝ 60° ．
【分析】根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得出OA＝OA′，得出△OAA′是等邊三角形．則∠AOA′＝60°，則可得出答案．
【解答】解：∵∠AOB＝90°，∠B＝30°，
∴∠A＝60°．
∵△A′OB′是由△AOB繞點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)α角度得到的，
∴OA＝OA′．
∴△OAA′是等邊三角形．
∴∠AOA′＝60°，即旋轉(zhuǎn)角α的大小是60°．
故答案為：60°．
【點(diǎn)評】本題考查圖形旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)及等邊三角形的知識，熟練掌握旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
15．（2分）如圖，為了估算河的寬度，小明采用的辦法是：在河的對岸選取一點(diǎn)A，在近岸取點(diǎn)D，B，使得A，D，B在一條直線上，且與河的邊沿垂直，測得BD＝10m，然后又在垂直AB的直線上取點(diǎn)C，并量得BC＝30m．如果DE＝20m，則河寬AD為 20 m．
【分析】證出△ADE和△ABC相似，然后根據(jù)相似三角形對應(yīng)邊成比例列式求解即可．
【解答】解：∵AB⊥DE，BC⊥AB，
∴DE∥BC，
∴△ADE∽△ABC，
∴，即，
解得：AD＝20m．
故答案為：20．
【點(diǎn)評】本題考查了相似三角形的應(yīng)用，利用相似三角形對應(yīng)邊成比例列出比例式是解題的關(guān)鍵．
16．（2分）如圖是二次函數(shù)y＝ax2+bx+c（a≠0）圖象的一部分，有下列4個(gè)結(jié)論：①abc＞0；②b2﹣4ac＞0；③關(guān)于x的方程ax2+bx+c＝0的兩個(gè)根是x1＝﹣2，x2＝3；④關(guān)于x的不等式ax2+bx+c＞0的解集是x＞﹣2．其中正確的結(jié)論是 ②③ ．
【分析】根據(jù)拋物線開口方向，對稱軸的位置以及與y軸的交點(diǎn)可對①減小判斷；利用拋物線與x軸的交點(diǎn)個(gè)數(shù)可對②進(jìn)行判斷；根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)可對③進(jìn)行判斷；利用圖象則可對④進(jìn)行判斷．
【解答】解：∵拋物線開口向下，交y軸的正半軸，
∴a＜0，c＞0，
∵﹣＝，
∴b＝﹣a＞0，
∴abc＜0，所以①錯誤；
∵拋物線與x軸有2個(gè)交點(diǎn)，
∴△＝b2﹣4ac＞0，
即b2＞4ac，所以②正確；
∵拋物線y＝ax2+bx+c經(jīng)過點(diǎn)（﹣2，0），
而拋物線的對稱軸為直線x＝，
∴點(diǎn)（﹣2，0）關(guān)于直線x＝的對稱點(diǎn)（3，0）在拋物線上，
∴關(guān)于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0的兩根是x1＝﹣2，x2＝3，所以③正確．
由圖象可知當(dāng)﹣2＜x＜3時(shí)，y＞0，
∴不等式ax2+bx+c＞0的解集是﹣2＜x＜3，所以④錯誤；
故答案為②③．
【點(diǎn)評】本題考查了二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系：對于二次函數(shù)y＝ax2+bx+c（a≠0），二次項(xiàng)系數(shù)a決定拋物線的開口方向和大?。寒?dāng)a＞0時(shí)，拋物線向上開口；當(dāng)a＜0時(shí)，拋物線向下開口；一次項(xiàng)系數(shù)b和二次項(xiàng)系數(shù)a共同決定對稱軸的位置：當(dāng)a與b同號時(shí)（即ab＞0），對稱軸在y軸左； 當(dāng)a與b異號時(shí)（即ab＜0），對稱軸在y軸右；常數(shù)項(xiàng)c決定拋物線與y軸交點(diǎn)位置：拋物線與y軸交于（0，c）；拋物線與x軸交點(diǎn)個(gè)數(shù)由△決定：△＝b2﹣4ac＞0時(shí)，拋物線與x軸有2個(gè)交點(diǎn)；△＝b2﹣4ac＝0時(shí)，拋物線與x軸有1個(gè)交點(diǎn)；△＝b2﹣4ac＜0時(shí)，拋物線與x軸沒有交點(diǎn)．
三、解答題（本題共68分）
17．（5分）解方程：2x2﹣3x﹣2＝0．
【分析】利用因式分解法把原方程化為x﹣2＝0或2x+1＝0，然后解兩個(gè)一次方程即可．
【解答】解：（x﹣2）（2x+1）＝0，
x﹣2＝0或2x+1＝0，
所以x1＝2，x2＝﹣．
【點(diǎn)評】本題考查了解一元二次方程﹣因式分解法：先把方程的右邊化為0，再把左邊通過因式分解化為兩個(gè)一次因式的積的形式，那么這兩個(gè)因式的值就都有可能為0，這就能得到兩個(gè)一元一次方程的解，這樣也就把原方程進(jìn)行了降次，把解一元二次方程轉(zhuǎn)化為解一元一次方程的問題了（數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想）．
18．（5分）如圖，AB是⊙O的直徑，弦CD⊥AB于點(diǎn)H，∠A＝30°，CD＝4，求⊙O的半徑的長．
【分析】連接BC，由圓周角定理和垂徑定理得出∠ACB＝90°，CH＝DH＝CD＝2，由直角三角形的性質(zhì)得出AC＝2CH＝4，AC＝BC＝4，AB＝2BC，得出BC＝4，AB＝8，求出OA＝4即可．
【解答】解：連接BC，如圖所示：
∵AB是⊙O的直徑，弦CD⊥AB于H，
∴∠ACB＝90°，CH＝DH＝CD＝2，∠AHC＝90°，
∵∠A＝30°，
∴AC＝2CH＝4，
在Rt△ABC中，∠A＝30°，
∴AC＝BC＝4，AB＝2BC，
∴BC＝4，AB＝8，
∴OA＝4，
即⊙O的半徑長是4．
【點(diǎn)評】本題考查的是垂徑定理、圓周角定理、含30°角的直角三角形的性質(zhì)、勾股定理等知識；熟練掌握圓周角定理和垂徑定理是解題的關(guān)鍵．
19．（5分）如圖，正方形ABCD的邊長為4，E是CD中點(diǎn)，點(diǎn)P在射線AB上，過點(diǎn)P作線段AE的垂線段，垂足為F．
（1）求證：△PAF∽△AED；
（2）連接PE，若存在點(diǎn)P使△PEF與△AED相似，直接寫出PA的長 2或5 ．
【分析】（1）根據(jù)兩角對應(yīng)相等兩三角形相似證明即可．
（2）分兩種情形：當(dāng)PA＝PB＝2時(shí)，易知PE∥AD，此時(shí)∠DAE＝∠PEF，∠D＝∠PFE＝90°，可得△PEF∽△EAD．當(dāng)∠AED＝∠PEF，∠D＝∠PFE時(shí)，△ADE∽△PFE，分別求解即可．
【解答】（1）證明：在正方形ABCD中，∠D＝90°，CD∥AB，
∴∠AED＝∠PAF，
∵PF⊥AE，
∴∠D＝∠PFA＝90°，
∴△PAF∽△AED．
（2）解：當(dāng)PA＝PB＝2時(shí)，∵DE＝EC，AP＝PB，
∴PE∥AD，此時(shí)∠DAE＝∠PEF，∠D＝∠PFE＝90°，可得△PEF∽△EAD．
當(dāng)∠AED＝∠PEF，∠D＝∠PFE時(shí)，△ADE∽△PFE，
∵CD∥AB，
∴∠AED＝∠EAP＝∠AEP，
∴PA＝PE，
∵PF⊥AE，
∴AF＝FE，
∵AD＝4，DE＝EC＝2，∠D＝90°，
∴AE＝＝＝2，
∴AF＝，
∵△PAF∽△AED，
∴＝，
∴＝，
∴PA＝5，
綜上所述，滿足條件的PA的值為2或5．
【點(diǎn)評】本題考查相似三角形的判定和性質(zhì)，正方形的性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是理解題意，學(xué)會用分類討論的思想思考問題，屬于中考?？碱}型．
20．（5分）二次函數(shù)y＝ax2+bx+c（a，b，c是常數(shù)，a≠0）的自變量x與函數(shù)值y的部分對應(yīng)值如下表：
根據(jù)以上列表，回答下列問題：
（1）直接寫出c，m的值；
（2）求此二次函數(shù)的解析式．
【分析】（1）根據(jù)表格中對應(yīng)值可知對稱軸的值和拋物線與y軸的交點(diǎn)，即可求得c的值，根據(jù)拋物線的對稱性即可求得m的值；
（2）直接利用待定系數(shù)法求出二次函數(shù)解析式即可．
【解答】解：（1）根據(jù)圖表可知：
二次函數(shù)y＝ax2+bx+c的圖象過點(diǎn)（0，4），（﹣2，4），
∴對稱軸為直線x＝＝﹣1，c＝4，
∵（﹣3，）的對稱點(diǎn)為（1，），
∴m＝；
（2）∵對稱軸是直線x＝﹣1，
∴頂點(diǎn)為（﹣1，），
設(shè)y＝a（x+1）2+，
將（0，4）代入y＝a（x+1）2+得，
a+＝4，
解得a＝﹣，
∴這個(gè)二次函數(shù)的解析式為y＝﹣（x+1）2+．
【點(diǎn)評】本題考查的是二次函數(shù)的性質(zhì)，二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式，能熟練求解函數(shù)對稱軸是解題的關(guān)鍵．
21．（5分）關(guān)于x的一元二次方程（k﹣2）x2﹣4x+2＝0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根．
（1）求k的取值范圍；
（2）如果符合條件的最大整數(shù)k是一元二次方程k2+mk+1＝0的根，求m的值．
【分析】（1）根據(jù)一元二次方程的定義和判別式的意義得到k﹣2≠0且△＝（﹣4）2﹣4（k﹣2）×2＞0，然后求出兩不等式的公共部分即可；
（2）滿足條件的k的值為3，然后把k＝3代入k2+mk+1＝0得9+3m+1＝0，然后解關(guān)于m的方程即可．
【解答】解：（1）根據(jù)題意得k﹣2≠0且△＝（﹣4）2﹣4（k﹣2）×2＞0，
解得k＜4且k≠2；
（2）符合條件的最大整數(shù)k＝3，
把k＝3代入k2+mk+1＝0得9+3m+1＝0，解得m＝﹣．
【點(diǎn)評】本題考查了根的判別式：一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根與△＝b2﹣4ac有如下關(guān)系：當(dāng)△＞0時(shí)，方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；當(dāng)△＝0時(shí)，方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根；當(dāng)△＜0時(shí)，方程無實(shí)數(shù)根．
22．（5分）如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，直線y＝x+3與函數(shù)y＝（x＞0）的圖象交于點(diǎn)A（1，m），與x軸交于點(diǎn)B．
（1）求m，k的值；
（2）過動點(diǎn)P（0，n）（n＞0）作平行于x軸的直線，交函數(shù)y＝（x＞0）的圖象于點(diǎn)C，交直線y＝x+3于點(diǎn)D．
①當(dāng)n＝2時(shí)，求線段CD的長；
②若CD≥OB，結(jié)合函數(shù)的圖象，直接寫出n的取值范圍．
【分析】（1）先利用一次函數(shù)解析式確定m的值得到A點(diǎn)坐標(biāo)，然后把A點(diǎn)坐標(biāo)代入y＝得到k的值；
（2）①利用C、D的縱坐標(biāo)都為2得到C點(diǎn)和D點(diǎn)的橫坐標(biāo)，然后求兩橫坐標(biāo)之差得到線段CD的長；
②先確定（﹣3，0），由于C、D的縱坐標(biāo)都為n，根據(jù)一次函數(shù)和反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征可表示出C（，n），D（n﹣3，n），討論：當(dāng)點(diǎn)C在點(diǎn)D的右側(cè)時(shí)，先利用CD＝OB得到﹣（n﹣3）＝3，解得n1＝2，n2＝﹣2（舍去），再結(jié)合圖象可判斷當(dāng)0＜n≤2時(shí)，CD≥OB；當(dāng)點(diǎn)C在點(diǎn)D的左側(cè)時(shí)，先利用CD＝OB得到n﹣3﹣＝3，解得n1＝3+，n2＝3﹣（舍去），再結(jié)合圖象可判斷當(dāng)n≥3+時(shí)，CD≥OB．
【解答】解：（1）∵直線y＝x+3經(jīng)過點(diǎn)A（1，m），
∴m＝1+3＝4，
∵反比例函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)A（1，4），
∴k＝1×4＝4；
（2）①當(dāng)n＝2時(shí)，點(diǎn)P的坐標(biāo)為（0，2），
當(dāng)y＝2時(shí)，2＝，解得x＝2，
∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為（2，2），
當(dāng)y＝2時(shí)，x+3＝2，解得x＝﹣1，
∴點(diǎn)D的坐標(biāo)為（﹣1，2），
∴CD＝2﹣（﹣1）＝3；
②當(dāng)y＝0時(shí)，x+3＝0，解得x＝﹣3，則B（﹣3，0）
當(dāng)y＝n時(shí)，n＝，解得x＝，
∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為（，n），
當(dāng)y＝n時(shí)，x+3＝n，解得x＝n﹣3，
∴點(diǎn)D的坐標(biāo)為（n﹣3，n），
當(dāng)點(diǎn)C在點(diǎn)D的右側(cè)時(shí)，
若CD＝OB，即﹣（n﹣3）＝3，解得n1＝2，n2＝﹣2（舍去），
∴當(dāng)0＜n≤2時(shí)，CD≥OB；
當(dāng)點(diǎn)C在點(diǎn)D的左側(cè)時(shí)，
若CD＝OB，即n﹣3﹣＝3，解得n1＝3+，n2＝3﹣（舍去），
∴當(dāng)n≥3+時(shí)，CD≥OB，
綜上所述，n的取值范圍為0＜n≤2或n≥3+．
【點(diǎn)評】本題考查了反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點(diǎn)問題：求反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點(diǎn)坐標(biāo)，把兩個(gè)函數(shù)關(guān)系式聯(lián)立成方程組求解，若方程組有解則兩者有交點(diǎn)，方程組無解，則兩者無交點(diǎn)．也考查了待定系數(shù)法求函數(shù)解析式．
23．（6分）如圖，在△ABC中，AB＝AC，以AC為直徑的⊙O與BC交于點(diǎn)D，DE⊥AB，垂足為E，ED的延長線與AC的延長線交于點(diǎn)F．
（1）求證：DE是⊙O的切線；
（2）若⊙O的半徑為2，BE＝1，求CF的長．
【分析】（1）如圖，連接OD，欲證DE是⊙O的切線，只需證得OD⊥ED；
（2）求出AE，證△AED∽△DEB，求出DE，證△FOD∽△FAE，求得FD，由勾股定理求得FO，根據(jù)線段和差可求得CF．
【解答】（1）證明：如圖，連接OD，AD，
∵AC是直徑，
∴AD⊥BC，
又∵在△ABC中，AB＝AC，
∴BD＝CD，
∵AO＝OC，
∴OD∥AB，
又∵DE⊥AB，
∴DE⊥OD，
∵OD為⊙O半徑，
∴DE是⊙O的切線；
（2）解：∵⊙O的半徑為2，AB＝AC，
∴AC＝AB＝2+2＝4，
∵BE＝1，
∴AE＝4﹣1＝3，
過O作OH⊥AB于H，
則四邊形ODEH是矩形，
∴EH＝OD＝2，
∴AH＝1，
∴AH＝AO，
∴∠AOH＝30°，
∴∠BAC＝60°，
∴AF＝2AE＝6，
∴CF＝AF﹣AC＝2．
∵DE⊥AB，AD⊥BC，
∴∠AED＝∠BED＝∠ADB＝90°，
∴∠DAE+∠ADE＝90°，∠ADE+∠BDE＝90°，
∴∠DAE＝∠BDE，
∴△AED∽△DEB，
∴＝，
∴＝，
解得：DE＝，
∵OD∥AB，
∴△FOD∽△FAE，
∴＝，
∴＝，
解得：FD＝2，
在Rt△FOD中，F(xiàn)O＝＝＝4，
∴CF＝FO﹣OC＝4﹣2＝2．
【點(diǎn)評】本題主要考查了圓的切線的判定，等腰三角形的性質(zhì)，勾股定理，相似三角形的性質(zhì)和判定，正確作出輔助線是解決問題的關(guān)鍵．
24．（6分）某超市銷售一款洗手液，這款洗手液成本價(jià)為每瓶16元，當(dāng)銷售單價(jià)定為每瓶20元時(shí)，每天可售出60瓶．市場調(diào)查反應(yīng)：銷售單價(jià)每上漲1元，則每天少售出5瓶．若設(shè)這款洗手液的銷售單價(jià)上漲x元，每天的銷售量利潤為y元．
（1）每天的銷售量為 （60﹣5x） 瓶，每瓶洗手液的利潤是 （4+x） 元；（用含x的代數(shù)式表示）
（2）若這款洗手液的日銷售利潤y達(dá)到300元，則銷售單價(jià)應(yīng)上漲多少元？
（3）當(dāng)銷售單價(jià)上漲多少元時(shí)，這款洗手液每天的銷售利潤y最大，最大利潤為多少元？
【分析】（1）根據(jù)題意列代數(shù)式即可得到結(jié)論；
（2）根據(jù)題意列方程，解方程即可得到結(jié)論；
（3）根據(jù)題意列函數(shù)解析式，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)即可得到結(jié)論．
【解答】解：（1）每天的銷售量為（60﹣5x）瓶，每瓶洗手液的利潤是（4+x）元；
故答案為：（60﹣5x）；（4+x）；
（2）根據(jù)題意得，（60﹣5x）（4+x）＝300，
解得：x1＝6，x2＝2，
答：銷售單價(jià)應(yīng)上漲2元或6元；
（3）根據(jù)題意得，y＝（60﹣5x）（4+x）＝﹣5（x﹣12）（x+4）＝﹣5（x﹣4）2+320，
答：當(dāng)銷售單價(jià)上漲4元時(shí)，這款洗手液每天的銷售利潤y最大，最大利潤為320元．
【點(diǎn)評】本題考查了二次函數(shù)在實(shí)際問題中的應(yīng)用，一元二次方程的應(yīng)用，理清題中的數(shù)量關(guān)系并明確二次函數(shù)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
25．（6分）有這樣一個(gè)問題：探究函數(shù)y＝x2﹣4|x|+3的圖象與性質(zhì)．
小麗根據(jù)學(xué)習(xí)函數(shù)的經(jīng)驗(yàn)，對函數(shù)y＝x2﹣4|x|+3的圖象與性質(zhì)進(jìn)行了探究．
下面是小麗的探究過程，請補(bǔ)充完整：
（1）函數(shù)y＝x2﹣4|x|+3的自變量x的取值范圍是 任意實(shí)數(shù) ．
（2）如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，畫出了函數(shù)y＝x2﹣4|x|+3的部分圖象，用描點(diǎn)法將這個(gè)函數(shù)的圖象補(bǔ)充完整：
（3）對于上面的函數(shù)y＝x2﹣4|x|+3，下列四個(gè)結(jié)論：
①函數(shù)圖象關(guān)于y軸對稱；
②函數(shù)既有最大值，也有最小值；
③當(dāng)x＞2時(shí)，y隨x的增大而增大，當(dāng)x＜﹣2時(shí)，y隨x的增大而減??；
④函數(shù)圖象與x軸有2個(gè)公共點(diǎn)．
所有正確結(jié)論的序號是 ①③ ．
（4）結(jié)合函數(shù)圖象，解決問題：
若關(guān)于x的方程x2﹣4|x|+3＝k有4個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，則k的取值范圍是 ﹣1＜k＜3 ．
【分析】（1）根據(jù)函數(shù)解析式可以寫出x的取值范圍；
（2）根據(jù)函數(shù)圖象的特點(diǎn)，可以得到該函數(shù)關(guān)于y軸對稱，從而可以畫出函數(shù)的完整圖象；
（3）根據(jù)函數(shù)圖象可以判斷各個(gè)小題中的結(jié)論是否成立；
（4）根據(jù)函數(shù)圖象，可以寫出關(guān)于x的方程x2﹣4|x|+3＝k有4個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根時(shí)，k的取值范圍．
【解答】解：（1）∵函數(shù)y＝x2﹣4|x|+3，
∴x的取值范圍為任意實(shí)數(shù)，
故答案為：任意實(shí)數(shù)；
（2）由函數(shù)y＝x2﹣4|x|+3可知，x＞0和x＜0時(shí)的函數(shù)圖象關(guān)于y軸對稱，函數(shù)圖象如右圖所示；
（3）由圖象可得，
函數(shù)圖象關(guān)于y軸對稱，故①正確；
函數(shù)有最小值，但沒有最大值，故②錯誤；
當(dāng)x＞2時(shí)，y隨x的增大而增大，當(dāng)x＜﹣2時(shí)，y隨x的增大而減小，故③正確；
函數(shù)圖象與x軸有4個(gè)公共點(diǎn)，故④錯誤；
故答案為：①③；
（4）由圖象可得，
關(guān)于x的方程x2﹣4|x|+3＝k有4個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，則k的取值范圍是﹣1＜k＜3，
故答案為：﹣1＜k＜3．
【點(diǎn)評】本題考查拋物線與x軸的交點(diǎn)、二次函數(shù)的性質(zhì)、二次函數(shù)的最值，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，利用數(shù)形結(jié)合的思想解答．
26．（6分）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，拋物線y＝mx2+2mx﹣3與x軸交于A，B兩點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)B左側(cè)），與y軸交于點(diǎn)C，AB＝4．
（1）直接寫出拋物線的對稱軸為直線 x＝﹣1 ，點(diǎn)A的坐標(biāo)為 （﹣3，0） ；
（2）求拋物線的解析式（化為一般式）；
（3）若將拋物線y＝mx2+2mx﹣3沿x軸方向平移n（n＞0）個(gè)單位長度，使得平移后的拋物線與線段AC恰有一個(gè)公共點(diǎn)，結(jié)合函數(shù)圖象，回答下列問題：
①若向左平移，則n的取值范圍是 0＜n≤4 ．
②若向右平移，則n的取值范圍是 0＜n≤2 ．
【分析】（1）由對稱軸為直線x＝﹣，可求解；
（2）將點(diǎn)B坐標(biāo)代入可求解；
（3）設(shè)向左平移后的解析式為：y＝（x+1+n）2﹣4，設(shè)向右平移后的解析式為：y＝（x+1﹣n）2﹣4，利用特殊點(diǎn)代入可求解．
【解答】解：（1）∵拋物線y＝mx2+2mx﹣3的對稱軸為直線x＝＝﹣1，AB＝4，
∴點(diǎn)A（﹣3，0），點(diǎn)B（1，0），
故答案為：x＝﹣1，（﹣3，0）；
（2）∵拋物線y＝mx2+2mx﹣3過點(diǎn)B（1，0），
∴0＝m+2m﹣3，
∴m＝1，
∴拋物線的解析式：y＝x2+2x﹣3，
（3）如圖，
∵y＝x2+2x﹣3＝（x+1）2﹣4，
∴設(shè)向左平移后的解析式為：y＝（x+1+n）2﹣4，
把x＝﹣3，y＝0代入解析式可得：0＝（﹣3+1+n）2﹣4，
∴n＝0（舍去），n＝4，
∴向左平移，則n的取值范圍是0＜n≤4；
設(shè)向右平移后的解析式為：y＝（x+1﹣n）2﹣4，
把x＝0，y＝﹣3代入解析式可得：﹣3＝（1﹣n）2﹣4，
∴n＝0（舍去），n＝2，
∴向右平移，則n的取值范圍是0＜n≤2，
故答案為：0＜n≤4；0＜n≤2．
【點(diǎn)評】本題是二次函數(shù)綜合題，考查了待定系數(shù)法求解析式，二次函數(shù)的性質(zhì)，平移的性質(zhì)等知識，靈活運(yùn)用這些性質(zhì)解決問題是本題的關(guān)鍵．
27．（7分）如圖1，△ABC和△DEF都是等腰直角三角形，∠A＝90°，∠E＝90°，△DEF的頂點(diǎn)D恰好落在△ABC的斜邊BC中點(diǎn)，把△DEF繞點(diǎn)D旋轉(zhuǎn)，始終保持線段DE、DF分別與線段AB、AC交于M、N，連接MN．
在這個(gè)變化過程中，小明通過觀察、度量，發(fā)現(xiàn)了一些特殊的數(shù)量關(guān)系．
（1）于是他把△DEF旋轉(zhuǎn)到特殊位置，驗(yàn)證自己的猜想．如圖2，當(dāng)MN∥BC時(shí)，
①通過計(jì)算∠BMD和∠NMD的度數(shù)，得出∠BMD ＝ ∠NMD（填＞，＜或＝）；
②設(shè)BC＝2，通過計(jì)算AM，MN，NC的長度，其中NC＝ ，進(jìn)而得出AM、MN、NC之間的數(shù)量關(guān)系是 AM+MN＝CN ．
（2）在特殊位置驗(yàn)證猜想還不夠，還需要在一般位置進(jìn)行證明．
請你對（1）中猜想的線段AM、MN、NC之間的數(shù)量關(guān)系進(jìn)行證明．
【分析】（1）①由“SAS”可證∴△BMD≌△CND，可得∠BMD＝∠DNC，由外角的性質(zhì)和平行線的性質(zhì)可證∠BMD＝∠CND＝∠BDM＝∠CMN；
②由等腰三角形的性質(zhì)可求BM＝BD＝＝NC，再求出AM＝2﹣，MN＝AM＝2﹣2，即可得結(jié)論；
（2）在CN上截取CH＝AM，連接AD，DH，由“SAS”可證△AMD≌△CHD，可得MD＝DH，∠ADM＝∠CDH，再由“SAS”可證△MDN≌△HDN，可得MN＝HN，可得結(jié)論．
【解答】解：（1）①∵△ABC和△DEF都是等腰直角三角形，∠A＝90°，∠E＝90°，
∴∠B＝∠C＝∠EDF＝45°，AB＝AC，BC＝AB，
∵M(jìn)N∥BC，
∴∠AMN＝∠B＝45°＝∠ANM＝∠C，∠DMN＝∠BDM，
∴AM＝AN，
∴BM＝CN，
∵點(diǎn)D是BC中點(diǎn)，
∴BD＝CD，
在△BMD和△CND中，
，
∴△BMD≌△CND（SAS），
∴∠BMD＝∠DNC，
∵∠MDB＝∠C+∠DNC＝∠MDN+∠BDM，
∴∠BDM＝∠CND，
∴∠BMD＝∠CND＝∠BDM＝∠CMN，
故答案為：＝；
②∵BC＝2，BC＝AB，
∴AB＝AC＝2，
∵∠BMD＝∠CND＝∠BDM，
∴BD＝BM＝BC＝，
∴NC＝，
∴AM＝2﹣，
∵AM＝AN，∠A＝90°，
∴MN＝AM＝2﹣2，
∴AM+MN＝2﹣+2﹣2＝＝NC，
故答案為：；AM+MN＝NC；
（2）如圖1，在CN上截取CH＝AM，連接AD，DH，
∵△ABC是等腰直角三角形，點(diǎn)D是BC中點(diǎn)，
∴AD＝CD，∠BAD＝∠ACD＝45°，AD⊥BC，
又∵AM＝CH，
∴△AMD≌△CHD（SAS），
∴MD＝DH，∠ADM＝∠CDH，
∵∠ADM+∠ADN＝∠MDN＝45°，
∴∠ADN+∠CDH＝45°，
∴∠HDN＝45°＝∠MDN，
在△MDN和△HDN中，
，
∴△MDN≌△HDN（SAS），
∴MN＝HN，
∴NC＝CH+NH＝AM+MN．
【點(diǎn)評】本題是幾何變換綜合題，考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)，外角的性質(zhì)等知識，添加恰當(dāng)輔助線構(gòu)造全等三角形是本題的關(guān)鍵．
28．（7分）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，⊙O的半徑為1，對于⊙O和⊙O外的點(diǎn)P，給出如下的定義：若在⊙O上存在一點(diǎn)Q，使得P、Q兩點(diǎn)間的距離小于或等于1，則稱P為⊙O的近距點(diǎn)．
（1）在點(diǎn)P1（1，1），P2（﹣，），P3（0，﹣），P4（2，1）中，⊙O的近距點(diǎn)是 P1 ；
（2）若直線l：y＝x+b上存在⊙O的近距點(diǎn)，求b的取值范圍；
（3）若點(diǎn)P在直線y＝x+1上，且點(diǎn)P是⊙O的近距點(diǎn)，求點(diǎn)P橫坐標(biāo)xP的取值范圍．
【分析】（1）按照新定義，利用構(gòu)成三角形三邊的關(guān)系，逐個(gè)驗(yàn)證即可求解；
（2）如圖1，平移直線l至圖示與半徑為2的圓相切的位置，即l和l′的位置，當(dāng)直線l位于圖示l和l′之間的位置時(shí)，直線l：y＝x+b上存在⊙O的近距點(diǎn)，進(jìn)而求解；
（3）直線y＝x+1與半徑為1的圓交于點(diǎn)E、F，則點(diǎn)P點(diǎn)在BE和CF之間的位置時(shí)，符合題意，進(jìn)而求解．
【解答】解：（1）由題意得：OQ＝1，
P1（1，1），P2（﹣，），P3（0，﹣），P4（2，1）的坐標(biāo)知，點(diǎn)P2、P3都不在圓O外，故不符合題意；
對于P1，OP1＝＝，則OP1﹣OQ＜P1Q＜OP1+OQ，即﹣1＜P1Q＜+1，
故存在P1Q≤1，故點(diǎn)P1符合題意；
同理可得OP4＝，則﹣1＜P4Q＜+1，
故不存在P4Q≤1，故點(diǎn)P4符合題意；
故答案為P1；
（2）如圖1，平移直線l至圖示與半徑為2的圓相切的位置，即l和l′的位置，
當(dāng)直線l位于圖示l和l′之間的位置時(shí)，直線l：y＝x+b上存在⊙O的近距點(diǎn)，
設(shè)直線l與圓切于點(diǎn)A，則△OAB為等腰直角三角形，則OB＝OA＝2＝b，
同理當(dāng)直線l處于l′的位置時(shí)，b＝﹣2，
故b的取值范圍為﹣2≤b≤2；
（3）如圖2，作半徑為2的同心圓O，與直線y＝x+1交于點(diǎn)B、C，
設(shè)直線y＝x+1與半徑為1的圓交于點(diǎn)E、F，則點(diǎn)P點(diǎn)在BE和CF之間的位置時(shí)，符合題意，
設(shè)點(diǎn)B的坐標(biāo)為（x，x+1），
過點(diǎn)B作BH⊥y軸于點(diǎn)H，連接OB、OC，
在Rt△OBH中，OB2＝BH2+OH2，即（x+1）2+x2＝22，解得x＝（舍去負(fù)值），
故x＝＝xB，
同理可得，xC＝﹣，
故0＜xP≤或﹣≤xP＜﹣1．
【點(diǎn)評】本題是圓的綜合題，主要考查了一次函數(shù)的性質(zhì)、新定義、勾股定理的運(yùn)用等，這種新定義的題目，通常按照題設(shè)的順序逐次求解，一般容易解答．
x
…
﹣3
﹣2
﹣1
0
1
…
y＝ax2+bx+c
…
4
4
m
…
x
…
﹣3
﹣2
﹣1
0
1
…
y＝ax2+bx+c
…
4
4
m
…