2021-2022學(xué)年廣東省惠州市博羅實驗學(xué)校九年級（上）期中數(shù)學(xué)試卷（解析版）

這是一份2021-2022學(xué)年廣東省惠州市博羅實驗學(xué)校九年級（上）期中數(shù)學(xué)試卷（解析版），共21頁。試卷主要包含了選擇題，填空題，解答題等內(nèi)容，歡迎下載使用。
?2017-2018學(xué)年廣東省惠州市博羅實驗學(xué)校九年級（上）期中數(shù)學(xué)試卷
　
一、選擇題（本題10小題，每小題3分，共30分．）
1．（3分）方程x2﹣4=0的解是（　　）
A．4 B．±2 C．2 D．﹣2
2．（3分）在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)，點P（﹣2，3）關(guān)于原點的對稱點Q的坐標(biāo)為（　?。?br /> A．（2，﹣3） B．（2，3） C．（3，﹣2） D．（﹣2，﹣3）
3．（3分）下列圖形中，是中心對稱圖形但不是軸對稱圖形的是（　?。?br /> A． B． C． D．
4．（3分）用配方法解方程：x2﹣4x+2=0，下列配方正確的是（　?。?br /> A．（x﹣2）2=2 B．（x+2）2=2 C．（x﹣2）2=﹣2 D．（x﹣2）2=6
5．（3分）由二次函數(shù)y=2（x﹣3）2+1，可知（　?。?br /> A．其圖象的開口向下 B．其圖象的對稱軸為直線x=﹣3
C．其最小值為1 D．當(dāng)x＜3時，y隨x的增大而增大
6．（3分）如圖，線段AB是⊙O的直徑，弦CD丄AB，∠CAB=20°，則∠AOD等于（　?。?br />
A．160° B．150° C．140° D．120°
7．（3分）如圖，圓O是△ABC的外接圓，∠A=68°，則∠OBC的大小是（　?。?br />
A．22° B．26° C．32° D．68°
8．（3分）如圖，將△AOB繞點O按逆時針方向旋轉(zhuǎn)45°后得到△A′OB′，若∠AOB=15°，則∠AOB′的度數(shù)是（　?。?br />
A．25° B．30° C．35° D．40°
9．（3分）拋物線y=x2先向右平移1個單位，再向上平移3個單位，得到新的拋物線解析式是（　　）
A．y=（x+1）2+3 B．y=（x+1）2﹣3 C．y=（x﹣1）2﹣3 D．y=（x﹣1）2+3
10．（3分）如圖，已知正△ABC的邊長為2，E、F、G分別是AB、BC、CA上的點，且AE=BF=CG，設(shè)△EFG的面積為y，AE的長為x，則y關(guān)于x的函數(shù)圖象大致是（　?。?br />
A． B． C． D．
　
二、填空題（共6小題，每小題4分，滿分24分）
11．（4分）如圖， A、B、C三點在⊙O上，且∠AOB=70°，則∠C=　 　度．

12．（4分）圣誕節(jié)時，一個小組有x人，他們每兩人之間互送賀卡一張，已知全組共送賀卡132張，則可列方程為　 ?。?br /> 13．（4分）將一個正六邊形繞著其中心，至少旋轉(zhuǎn)　 　度可以和原來的圖形重合．
14．（4分）如圖，點A，B，C在⊙O上，CO的延長線交AB于點D，∠A=50°，∠B=30°，則∠ADC的度數(shù)為　 ?。?br />
15．（4分）如圖是拋物線y=ax2+bx+c的圖象的一部分，請你根據(jù)圖象寫出方程ax2+bx+c=0的兩根是　 　．

16．（4分）如圖，一條公路的轉(zhuǎn)彎處是一段圓?。▓D中的），點O是這段弧的圓心，C是上一點，OC⊥AB，垂足為D，AB=300m，CD=50m，則這段彎路的半徑是　 　m．
[來源:學(xué)科網(wǎng)ZXXK]
　
三、解答題（本大題3小題，每小題6分，共18分）
17．（6分）解方程：x2﹣x﹣12=0．
18．（6分）如圖，在⊙O中，弦AB的長為8cm，圓心O到AB的距離為3cm，求⊙O的半徑．

19．（6分）如圖，已知點A、B、C的坐標(biāo)分別為（0，0），（4，0），（5，2）將△ABC繞點A按逆時針方向旋轉(zhuǎn)90°得到△AB′C′．
（1）畫出△AB′C′；
（2）求點C′的坐標(biāo)．

　
四、解答題（本大題3小題，每小題7分，共21分）
20．（7分）現(xiàn)有一塊長20cm，寬10cm的長方形鐵皮，在它的四個角分別剪去一個大小完全相同的小正方形，用剩余的部分做成一個底面積為56cm2的無蓋長方體盒子，請求出剪去的小正方形的邊長．
[來源:學(xué)#科#網(wǎng)Z#X#X#K]
21．（7分）將兩塊大小相同的含30°角的直角三角板（∠BAC=∠B1A1C=30°）按圖1的方式放置，固定三角板A1B1C，然后將三角板ABC繞直角頂點C順時針方向旋轉(zhuǎn)（旋轉(zhuǎn)角小于90°）至圖2所示的位置，AB與A1C交于點E，AC與A1B1交于點F，AB與A1B1交于點O．
（1）求證：△BCE≌△B1CF；
（2）當(dāng)旋轉(zhuǎn)角等于30°時，AB與A1B1垂直嗎？請說明理由．

22．（7分）如圖，圓柱形水管內(nèi)原有積水的水平面寬CD=20cm，水深GF=2cm．若水面上升2cm（EG=2cm），則此時水面寬AB為多少？

　
五、解答題（本大題3小題，每小題9分，共27分）
23．（9分）已知，如圖，拋物線y=ax2+2ax+c（a＞0）與y軸交于點C，與x軸交于A，B兩點，點A在點B左側(cè)．點B的坐標(biāo)為（1，0），OC=3OB．
（1）求拋物線的解析式；
（2）若點D是線段AC下方拋物線上的動點，求四邊形ABCD面積的最大值；
（3）若點E在x軸上，點P在拋物線上．是否存在以A，C，E，P為頂點且以AC為一邊的平行四邊形？若存在，直接寫出點P的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．

24．（9分）如圖，某農(nóng)場要建一個長方形的養(yǎng)雞場，雞場的一邊靠墻，墻長25m，另外三邊用木欄圍著，木欄長40m．[來源:Z,xx,k.Com]
（1）若養(yǎng)雞場面積為200m2，求雞場平行于墻的一邊長．
（2）養(yǎng)雞場面積能達(dá)到250m2嗎？如果能，請給出設(shè)計方案，如果不能，請說明理由．

25．（9分）如圖，P是正三角形ABC內(nèi)的一點，且PA=6，PB=8，PC=10，若將△PAC繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)后得到△P′AB．
（1）求點P與點P′之間的距離；
（2）求∠APB的大小．

　

2017-2018學(xué)年廣東省惠州市博羅實驗學(xué)校九年級（上）期中數(shù)學(xué)試卷
參考答案與試題解析
　
一、選擇題（本題10小題，每小題3分，共30分．）
1．（3分）方程x2﹣4=0的解是（　?。?br /> A．4 B．±2 C．2 D．﹣2
【解答】解：x2﹣4=0，
∴x2=4，
開平方得：x=±2．
故選：B．
　
2．（3分）在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)，點P（﹣2，3）關(guān)于原點的對稱點Q的坐標(biāo)為（　?。?br /> A．（2，﹣3） B．（2，3） C．（3，﹣2） D．（﹣2，﹣3）
【解答】解：根據(jù)中心對稱的性質(zhì)，得點P（﹣2，3）關(guān)于原點對稱點P′的坐標(biāo)是（2，﹣3）．
故選：A．
　
3．（3分）下列圖形中，是中心對稱圖形但不是軸對稱圖形的是（　?。?br /> A． B． C． D．
【解答】解：A、不是中心對稱圖形，是軸對稱圖形；
B、是中心對稱圖形，不是軸對稱圖形；
C、是中心對稱圖形，也是軸對稱圖形；
D、是中心對稱圖形，也是軸對稱圖形．
故選：B．
　
4．（3分）用配方法解方程：x2﹣4x+2=0，下列配方正確的是（　?。?br /> A．（x﹣2）2=2 B．（x+2）2=2 C．（x﹣2）2=﹣2 D．（x﹣2）2=6
【解答】解：把方程x2﹣4x+2=0的常數(shù)項移到等號的右邊，得到x2﹣4x=﹣2，
方程兩邊同時加上一次項系數(shù)一半的平方，得到x2﹣4x+4=﹣2+4，
配方得（x﹣2）2=2．
故選：A．
　
5．（3分）由二次函數(shù)y=2（x﹣3）2+1，可知（　?。?br /> A．其圖象的開口向下 B．其圖象的對稱軸為直線x=﹣3
C．其最小值為1 D．當(dāng)x＜3時，y隨x的增大而增大
【解答】解：由二次函數(shù)y=2（x﹣3）2+1，可知：
A：∵a＞0，其圖象的開口向上，故此選項錯誤；
B．∵其圖象的對稱軸為直線x=3，故此選項錯誤；
C．其最小值為1，故此選項正確；
D．當(dāng)x＜3時，y隨x的增大而減小，故此選項錯誤．
故選：C．
　
6．（3分）如圖，線段AB是⊙O的直徑，弦CD丄AB，∠CAB=20°，則∠AOD等于（　?。?br />
A．160° B．150° C．140° D．120°
【解答】解：∵線段AB是⊙O的直徑，弦CD丄AB，
∴=，
∵∠CAB=20°，
∴∠BOD=40°，
∴∠AOD=140°．
故選：C．
　
7．（3分）如圖，圓O是△ABC的外接圓，∠A=68°，則∠OBC的大小是（　?。?br />
A．22° B．26° C．32° D．68°
【解答】解：∵∠A與∠BOC是同弧所對的圓周角與圓心角，∠A=68°，
∴∠BOC=2∠A=136°．
∵OB=OC，
∴∠OBC==22°．
故選：A．
　
8．（3分）如圖，將△AOB繞點O按逆時針方向旋轉(zhuǎn)45°后得到△A′OB′，若∠AOB=15°，則∠AOB′的度數(shù)是（　　）

A．25° B．30° C．35° D．40°
【解答】解：∵將△AOB繞點O按逆時針方向旋轉(zhuǎn)45°后得到△A′OB′，
∴∠A′OA=45°，∠AOB=∠A′OB′=15°，
∴∠AOB′=∠A′OA﹣∠A′OB′=45°﹣15°=30°，
故選：B．
　
9．（3分）拋物線y=x2先向右平移1個單位，再向上平移3個單位，得到新的拋物線解析式是（　?。?br /> A．y=（x+1）2+3 B．y=（x+1）2﹣3 C．y=（x﹣1）2﹣3 D．y=（x﹣1）2+3
【解答】解：由“左加右減”的原則可知，拋物線y=x2向右平移1個單位所得拋物線的解析式為：y=（x﹣1）2；
由“上加下減”的原則可知，拋物線y=（x﹣1）2向上平移3個單位所得拋物線的解析式為：y=（x﹣1）2+3．
故選：D．
　
10．（3分）如圖，已知正△ABC的邊長為2，E、F、G分別是AB、BC、CA上的點，且AE=BF=CG，設(shè)△EFG的面積為y，AE的長為x，則y關(guān)于x的函數(shù)圖象大致是（　?。?br />
A． B． C． D．
【解答】解：根據(jù)題意，有AE=BF=CG，且正三角形ABC的邊長為2，
故BE=CF=AG=2﹣x；
故△AEG、△BEF、△CFG三個三角形全等．
在△AEG中，AE=x，AG=2﹣x．
則S△AEG=AE×AG×sinA=x（2﹣x）；
故y=S△ABC﹣3S△AEG
=﹣3×x（2﹣x）=（3x2﹣6x+4）．
故可得其大致圖象應(yīng)類似于拋物線，且拋物線開口方向向上；
故選：D．
　
二、填空題（共6小題，每小題4分，滿分24分）
11．（4分）如圖，A、B、C三點在⊙O上，且∠AOB=70°，則∠C=　35　度．

【解答】解：∵∠AOB=70°，
∴∠C=∠AOB=35°．
故答案為：35．
　
12．（4分）圣誕節(jié)時，一個小組有x人，他們每兩人之間互送賀卡一張，已知全組共送賀卡132張，則可列方程為　x（x﹣1）=132?。?br /> 【解答】解：設(shè)這個小組有x人，則每人應(yīng)送出x﹣1張賀卡，由題意得：
x（x﹣1）=132，
故答案為：x（x﹣1）=132．
　
13．（4分）將一個正六邊形繞著其中心，至少旋轉(zhuǎn)　60　度可以和原來的圖形重合．
【解答】解：∵正六邊形的中心角==60°，
∴一個正六邊形繞著其中心，至少旋轉(zhuǎn)60°可以和原來的圖形重合．
故答案60．
　
14．（4分）如圖，點A，B，C在⊙O上，CO的延長線交AB于點D，∠A=50°，∠B=30°，則∠ADC的度數(shù)為　110°?。?br />
【解答】解：∵∠A=50°，
∴∠BOC=2∠A=100°，
∵∠B=30°，∠BOC=∠B+∠BDC，
∴∠BDC=∠BOC﹣∠B=100°﹣30°=70°，
∴∠ADC=180°﹣∠BDC=110°，
故答案為110°．
　
15．（4分）如圖是拋物線y=ax2+bx+c的圖象的一部分，請你根據(jù)圖象寫出方程ax2+bx+c=0的兩根是　x1=﹣3，x2=1　．

【解答】解：∵由圖可知，拋物線與x軸的一個交點坐標(biāo)為（﹣3，0），對稱軸為直線x=﹣1，[來源:學(xué)科網(wǎng)ZXXK]
∴設(shè)拋物線與x軸的另一交點為（x，0），則=﹣1，解得x=1，
∴方程ax2+bx+c=0的兩根是x1=﹣3，x2=1．
故答案為：x1=﹣3，x2=1．
　
16．（4分）如圖，一條公路的轉(zhuǎn)彎處是一段圓?。▓D中的），點O是這段弧的圓心，C是上一點，OC⊥AB，垂足為D，AB=300m，CD=50m，則這段彎路的半徑是　250　m．

【解答】解：設(shè)半徑為r，
則OD=r﹣CD=r﹣50，
∵OC⊥AB，
∴AD=BD=AB，
在直角三角形AOD中，AO2=AD2+OD2，
即r2=（×300）2+（r﹣50）2=22500+r2+2500﹣100r，
r=250m．
答：這段彎路的半徑是250m．
　
三、解答題（本大題3小題，每小題6分，共18分）
17．（6分）解方程：x2﹣x﹣12=0．
【解答】解：分解因式得：（x+3）（x﹣4）=0，
可得x+3=0或x﹣4=0，
解得：x1=﹣3，x2=4．
　
18．（6分）如圖，在⊙O中，弦AB的長為8cm，圓心O到AB的距離為3cm，求⊙O的半徑．

【解答】解：過點O作OC⊥AB于點C，連接OB，則
AC=BC=AB
∵AB=8cm，OC=3cm
∴BC=4cm
在Rt△BOC中，OB==5cm
即⊙O的半徑是5cm．

　
19．（6分）如圖，已知點A、B、C的坐標(biāo)分別為（0，0），（4，0），（5，2）將△ABC繞點A按逆時針方向旋轉(zhuǎn)90°得到△AB′C′．
（1）畫出△AB′C′；
（2）求點C′的坐標(biāo)．

【解答】解：（1）如圖所示，△AB′C′即為所求；


（2）由（1）可知，點C′的坐標(biāo)為（﹣2，5）．
　
四、解答題（本大題3小題，每小題7分，共21分）
20．（7分）現(xiàn)有一塊長20cm，寬10cm的長方形鐵皮，在它的四個角分別剪去一個大小完全相同的小正方形，用剩余的部分做成一個底面積為56cm2的無蓋長方體盒子，請求出剪去的小正方形的邊長．

【解答】解：設(shè)剪去的小正方形的邊長為xcm，
根據(jù)題意得：（20﹣2x）（10﹣2x）=56，
整理得：（x﹣3）（x﹣12）=0，
解得：x=3或x=12，
經(jīng)檢驗x=12不合題意，舍去，
∴x=3，
則剪去小正方形的邊長為3cm．
　
21．（7分）將兩塊大小相同的含30°角的直角三角板（∠BAC=∠B1A1C=30°）按圖1的方式放置，固定三角板A1B1C，然后將三角板ABC繞直角頂點C順時針方向旋轉(zhuǎn)（旋轉(zhuǎn)角小于90°）至圖2所示的位置，AB與A1C交于點E，AC與A1B1交于點F，AB與A1B1交于點O．
（1）求證：△BCE≌△B1CF；
（2）當(dāng)旋轉(zhuǎn)角等于30°時，AB與A1B1垂直嗎？請說明理由．

【解答】（1）證明：由題意得，BC=B1C，∠B=∠B1=60°，
又∵∠BCE+∠ECF=90°，
∠B1CF+∠ECF=90°，
∴∠BCE=∠B1CF，
在△BCE和△B1CF中，
，
∴△BCE≌△B1CF（ASA）；
（2）當(dāng)旋轉(zhuǎn)角等于30°時，AB與A1B1垂直．理由如下：
證明：∵∠ECF=30°，
∴∠BCE=60°，[來源:Zxxk.Com]
∴△BCE是等邊三角形，
∴∠BEC=60°，得∠A1EO=60°，
又∵∠A1=30°，
∴∠A1EO=60°，
即AB與A1B1垂直．
　
22．（7分）如圖，圓柱形水管內(nèi)原有積水的水平面寬CD=20cm，水深GF=2cm．若水面上升2cm（EG=2cm），則此時水面寬AB為多少？

【解答】解：連接OA、OC，

∵由題意知：AB∥CD，OE⊥AB，OF⊥CD，CD=20cm，
∴CG=CD=10cm，
在Rt△OGC中，由勾股定理得：OC2=CG2+OG2，
OC2=102+（OC﹣2）2，
解得：OC=26（cm），
則OE=26cm﹣2cm﹣2cm=22cm，
∵在Rt△OEA中，由勾股定理得：OA2=OE2+AE2，
∴262=222+AE2，
∴AE=8，
∵OE⊥AB，OE過O，
∴AB=2AE=16cm．
　
五、解答題（本大題3小題，每小題9分，共27分）
23．（9分）已知，如圖，拋物線y=ax2+2ax+c（a＞0）與y軸交于點C，與x軸交于A，B兩點，點A在點B左側(cè)．點B的坐標(biāo)為（1，0），OC=3OB．
（1）求拋物線的解析式；
（2）若點D是線段AC下方拋物線上的動點，求四邊形ABCD面積的最大值；
（3）若點E在x軸上，點P在拋物線上．是否存在以A，C，E，P為頂點且以AC為一邊的平行四邊形？若存在，直接寫出點P的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．

【解答】解：（1）∵OC=3OB，B（1，0），
∴C（0，﹣3）．
把點B，C的坐標(biāo)代入y=ax2+2ax+c，得a=1，c=﹣3，
∴拋物線的解析式y(tǒng)=x2+2x﹣3．

（2）由A（﹣3，0），C（0，﹣3）得直線AC的解析式為y=﹣x﹣3，
如圖1，過點D作DM∥y軸分別交線段AC和x軸于點M，N．
設(shè)M（m，﹣m﹣3）則D（m，m2+2m﹣3），
DM=﹣m﹣3﹣（m2+2m﹣3）=﹣m2﹣3m=﹣（m+）2+，
∴﹣1＜0，
∴當(dāng)x=時，DM有最大值，
∴S四邊形ABCD=S△ABC+S△ACD=×4×3+×3×DM，此時四邊形ABCD面積有最大值為6+×=．

（3）存在．
討論：①如圖2，過點C作CP1∥x軸交拋物線于點P1，過點P1作P1E1∥AC交x軸于點E1，
此時四邊形ACP1E1為平行四邊形．
∵C（0，﹣3），令﹣3=x2+2x﹣3
∴x1=0，x2=﹣2．
∴P1（﹣2，﹣3）．
②平移直線AC交x軸于點E，交x軸上方的拋物線于點P，當(dāng)AC=PE時，四邊形ACEP為平行四邊形，
∵C（0，﹣3），
∴可令P（x，3），3=x2+2x﹣3，得x2+2x﹣6=0
解得x1=﹣1+，x2=﹣1﹣，
此時存在點P2（﹣1+，3），P3（﹣1﹣，3），
綜上所述，存在3個點符合題意，坐標(biāo)分別是：
P1（﹣2，﹣3），P2（﹣1+，3），P3（﹣1﹣，3）．


　
24．（9分）如圖，某農(nóng)場要建一個長方形的養(yǎng)雞場，雞場的一邊靠墻，墻長25m，另外三邊用木欄圍著，木欄長40m．
（1）若養(yǎng)雞場面積為200m2，求雞場平行于墻的一邊長．
（2）養(yǎng)雞場面積能達(dá)到250m2嗎？如果能，請給出設(shè)計方案，如果不能，請說明理由．

【解答】解：（1）設(shè)雞場垂直于墻的一邊長為xm，則雞場平行于墻的一邊長為（40﹣2x）m，
根據(jù)題意得：x（40﹣2x）=200，
解得：x1=x2=10，
∴40﹣2x=20．
答：雞場平行于墻的一邊長為20m．
（2）假設(shè)能，設(shè)雞場垂直于墻的一邊長為ym，則雞場平行于墻的一邊長為（40﹣2y）m，
根據(jù)題意得：y（40﹣2y）=250，
整理得：y2﹣20y+125=0．
∵△=（﹣20）2﹣4×1×125=﹣100＜0，
∴該方程無解，
∴假設(shè)不成立，即養(yǎng)雞場面積不能達(dá)到250m2．
　
25．（9分）如圖，P是正三角形ABC內(nèi)的一點，且PA=6，PB=8，PC=10，若將△PAC繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)后得到△P′AB．
（1）求點P與點P′之間的距離；
（2）求∠APB的大?。?br />
【解答】解：（1）由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)知AP′=AP=6，∠P′AB=∠PAC，
∴∠P′AP=∠BAC=60°，
∴△P′AP是等邊三角形，
∴PP′=6；
（2）∵P′B=PC=10，PB=8，
∴P′B2=P′P2+PB2，
∴△P′PB為直角三角形，且∠P′PB=90°，
∴∠APB=∠P′PB+∠P′PA=90°+60°=150°．