2021-2022學(xué)年福建省福州市鼓樓區(qū)九年級(jí)（上）期末數(shù)學(xué)試卷 word，解析版

這是一份2021-2022學(xué)年福建省福州市鼓樓區(qū)九年級(jí)（上）期末數(shù)學(xué)試卷 word，解析版，共24頁。
A．B．
C．D．
2．（4分）在一個(gè)布袋中裝有紅、白兩種顏色的小球，它們除顏色外沒有任何其他區(qū)別．其中紅球若干，白球5個(gè)，袋中的球已攪勻．若從袋中隨機(jī)取出1個(gè)球，取出紅球的可能性大，則紅球的個(gè)數(shù)是（ ）
A．4個(gè)B．5個(gè)
C．不足4個(gè)D．6個(gè)或6個(gè)以上
3．（4分）拋物線y＝﹣（x+1）2+2的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（ ）
A．（﹣1，2）B．（﹣1，﹣2）C．（1，2）D．（1，﹣2）
4．（4分）已知x＝1是方程x2﹣2x+c＝0的一個(gè)根，則實(shí)數(shù)c的值是（ ）
A．﹣1B．0C．1D．2
5．（4分）在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y＝x2經(jīng)變換后得到拋物線y＝x2+2，則這個(gè)變換可以（ ）
A．向左平移2個(gè)單位B．向上平移2個(gè)單位
C．向下平移2個(gè)單位D．向右平移2個(gè)單位
6．（4分）下列說法正確的是（ ）
A．概率很小的事件不可能發(fā)生
B．拋一枚硬幣，第一次正面朝上，則正面朝上的概率為1
C．必然事件發(fā)生的概率是1
D．某種彩票中獎(jiǎng)的概率是，買1000張這種彩票一定會(huì)中獎(jiǎng)
7．（4分）受新冠肺炎疫情影響，某企業(yè)生產(chǎn)總值從元月份的300萬元，連續(xù)兩個(gè)月降至260萬元，設(shè)平均降低率為x，則可列方程（ ）
A．300（1+x）2＝260B．300（1﹣x2）＝260
C．300（1﹣2x）＝260D．300（1﹣x）2＝260
8．（4分）如圖，AD、BC相交于點(diǎn)O，由下列條件不能判定△AOB與△DOC相似的是（ ）
A．AB∥CDB．∠A＝∠DC．D．
9．（4分）往直徑為52cm的圓柱形容器內(nèi)裝入一些水以后，截面如圖所示，若水面寬AB＝48cm，則水的最大深度為（ ）
A．8cmB．10cmC．16cmD．20cm
10．（4分）關(guān)于x的一元二次方程ax2+bx+＝0有一個(gè)根是﹣1，若二次函數(shù)y＝ax2+bx+的圖象的頂點(diǎn)在第一象限，設(shè)t＝2a+b，則t的取值范圍是（ ）
A．＜t＜B．﹣1＜t≤C．﹣≤t＜D．﹣1＜t＜
二．填空題（共6小題，每題4分）
11．（4分）小強(qiáng)同學(xué)從﹣1，0，1，2，3，4這六個(gè)數(shù)中任選一個(gè)數(shù)，滿足不等式x+1＜2的概率是 ．
12．（4分）若點(diǎn)P（m，5）與點(diǎn)Q（3，﹣5）關(guān)于原點(diǎn)成中心對(duì)稱，則m的值是 ．
13．（4分）已知一個(gè)扇形的圓心角為100°，半徑為4，則此扇形的弧長是 ．
14．（4分）如圖，?ABCD的對(duì)角線AC在y軸上，原點(diǎn)O為AC的中點(diǎn)，點(diǎn)D在第一象限內(nèi)，AD∥x軸，當(dāng)雙曲線y＝經(jīng)過點(diǎn)D時(shí)，則?ABCD面積為 ．
15．（4分）已知⊙O的內(nèi)接正六邊形的邊心距為2．則該圓的的半徑為 ．
16．（4分）如圖，平面直角坐標(biāo)系中，已知O（0，0），A（﹣3，4），B（3，4），將△OAB與正方形ABCD組成的圖形繞點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，每次旋轉(zhuǎn)90°，則第70次旋轉(zhuǎn)結(jié)束時(shí)，點(diǎn)D的坐標(biāo)為 ．
三．解答題（共9小題）
17．（8分）解方程：x2﹣2x﹣5＝0．
18．（8分）如圖，△ABC中，點(diǎn)E在BC邊上，AE＝AB，將線段AC繞A點(diǎn)旋轉(zhuǎn)到AF的位置，使得∠CAF＝∠BAE，連接EF，EF與AC交于點(diǎn)G．
（1）求證：EF＝BC；
（2）若∠ABC＝65°，∠ACB＝28°，求∠FGC的度數(shù)．
19．（8分）如圖，直線l1∥l2∥l3，點(diǎn)A，C分別在直線l1，l3上，連接AC交直線l2于E點(diǎn)，AE＝EC．
（1）尺規(guī)作圖：在直線l2上從左到右依次確定B，D兩點(diǎn)，使得四邊形ABCD是矩形（保留作圖痕跡，不必寫作法及證明）；
（2）在（1）的情況下，若AE＝4，∠AEB＝60°，求矩形ABCD的周長．
20．（8分）已知關(guān)于x的一元二次方程x2﹣2（a﹣1）x+a2﹣a﹣2＝0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根x1，x2．
（1）若a為正整數(shù)，求a的值；
（2）若x1，x2滿足x12+x22﹣x1x2＝16，求a的值．
21．（8分）如圖，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，直角頂點(diǎn)B位于x軸的負(fù)半軸，點(diǎn)A（0，﹣2），斜邊AC交x軸于點(diǎn)D，且D（1，0），BC與y軸交于點(diǎn)E，y軸平分∠BAC，反比例函數(shù)y＝（x＞0）的圖象經(jīng)過點(diǎn)C．
（1）直接寫出點(diǎn)B的坐標(biāo)；
（2）求y＝（x＞0）的函數(shù)表達(dá)式．
22．（10分）生活在數(shù)字時(shí)代的我們，很多場合用二維碼（如圖①）來表示不同的信息，類似地，可通過在矩形網(wǎng)格中，對(duì)每一個(gè)小方格涂色或不涂色所得的圖形來表示不同的信息，例如：網(wǎng)格中只有一個(gè)小方格，如圖②，通過涂色或不涂色可表示兩個(gè)不同的信息．
（1）用樹狀圖或列表格的方法，求圖③可表示不同信息的總個(gè)數(shù)；（圖中標(biāo)號(hào)1、2表示兩個(gè)不同位置的小方格，下同）
（2）圖④為2×2的網(wǎng)格圖，它可表示不同信息的總個(gè)數(shù)為 ；
（3）某校需要給每位師生制作一張“校園出入證”，準(zhǔn)備在證件的右下角采用n×n的網(wǎng)格圖來表示個(gè)人身份信息，若該校師生共492人，則n的最小值為 ．
23．（10分）“互聯(lián)網(wǎng)+”時(shí)代，網(wǎng)上購物備受消費(fèi)者青睞．某網(wǎng)店專售一款休閑褲，其成本為每條40元，當(dāng)售價(jià)為每條80元時(shí)，每月可銷售100條．為了吸引更多顧客，該網(wǎng)店采取降價(jià)措施．據(jù)市場調(diào)查反映：每條褲子每降價(jià)1元，則每月可多銷售5條．設(shè)每條褲子的售價(jià)為x元（x為正整數(shù)），每月的銷售量為y條．
（1）求出y與x之間的函數(shù)關(guān)系式（不用寫自變量的取值范圍）；
（2）設(shè)該網(wǎng)店每月獲得的利潤為w元，當(dāng)每條褲子的售價(jià)降價(jià)多少元時(shí)，每月獲得的利潤最大，最大利潤是多少？
24．（12分）如圖，⊙O與等邊△ABC的邊AC，AB分別交于點(diǎn)D，E，AE是直徑，過點(diǎn)D作DF⊥BC于點(diǎn)F．
（1）求證：DF是⊙O的切線；
（2）連接EF，當(dāng)EF是⊙O的切線時(shí)，求⊙O的半徑r與等邊△ABC的邊長a之間的數(shù)量關(guān)系．
25．（14分）如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線與x軸分別交于A、B兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C（0，6），拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為E（2，8），連結(jié)BC、BE、CE．
（1）求拋物線的表達(dá)式；
（2）判斷△BCE的形狀，并說明理由；
（3）如圖2，以C為圓心，為半徑作⊙C，在⊙C上是否存在點(diǎn)P，使得BP+EP的值最小，若存在，請(qǐng)求出最小值；若不存在，請(qǐng)說明理由．
2021-2022學(xué)年福建省福州市鼓樓區(qū)九年級(jí)（上）期末數(shù)學(xué)試卷
參考答案與試題解析
一．選擇題（共10小題，每題4分）
1．（4分）下列汽車標(biāo)志中，可以看作是中心對(duì)稱圖形的是（ ）
A．B．
C．D．
【分析】根據(jù)中心對(duì)稱圖形的性質(zhì)得出圖形旋轉(zhuǎn)180°，與原圖形能夠完全重合的圖形是中心對(duì)稱圖形，分別判斷得出即可．
【解答】解：A．旋轉(zhuǎn)180°，與原圖形能夠完全重合是中心對(duì)稱圖形；故此選項(xiàng)正確；
B．旋轉(zhuǎn)180°，不能與原圖形能夠完全重合不是中心對(duì)稱圖形；故此選項(xiàng)錯(cuò)誤；
C．旋轉(zhuǎn)180°，不能與原圖形能夠完全重合不是中心對(duì)稱圖形；故此選項(xiàng)錯(cuò)誤；
D．旋轉(zhuǎn)180°，不能與原圖形能夠完全重合不是中心對(duì)稱圖形；故此選項(xiàng)錯(cuò)誤；
故選：A．
2．（4分）在一個(gè)布袋中裝有紅、白兩種顏色的小球，它們除顏色外沒有任何其他區(qū)別．其中紅球若干，白球5個(gè)，袋中的球已攪勻．若從袋中隨機(jī)取出1個(gè)球，取出紅球的可能性大，則紅球的個(gè)數(shù)是（ ）
A．4個(gè)B．5個(gè)
C．不足4個(gè)D．6個(gè)或6個(gè)以上
【分析】由取出紅球的可能性大知紅球的個(gè)數(shù)比白球個(gè)數(shù)多，據(jù)此可得答案．
【解答】解：∵袋子中白球有5個(gè)，且從袋中隨機(jī)取出1個(gè)球，取出紅球的可能性大，
∴紅球的個(gè)數(shù)比白球個(gè)數(shù)多，
∴紅球個(gè)數(shù)滿足6個(gè)或6個(gè)以上，
故選：D．
3．（4分）拋物線y＝﹣（x+1）2+2的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（ ）
A．（﹣1，2）B．（﹣1，﹣2）C．（1，2）D．（1，﹣2）
【分析】直接由拋物線的頂點(diǎn)式即可求得答案．
【解答】解：∵y＝﹣（x+1）2+2，
∴拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（﹣1，2），
故選：A．
4．（4分）已知x＝1是方程x2﹣2x+c＝0的一個(gè)根，則實(shí)數(shù)c的值是（ ）
A．﹣1B．0C．1D．2
【分析】將x＝1代入x2﹣2x+c＝0得到關(guān)于c的方程，解之可得．
【解答】解：根據(jù)題意，將x＝1代入x2﹣2x+c＝0，得：1﹣2+c＝0，
解得：c＝1，
故選：C．
5．（4分）在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y＝x2經(jīng)變換后得到拋物線y＝x2+2，則這個(gè)變換可以（ ）
A．向左平移2個(gè)單位B．向上平移2個(gè)單位
C．向下平移2個(gè)單位D．向右平移2個(gè)單位
【分析】根據(jù)變換前后的兩拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)找變換規(guī)律．
【解答】解：y＝x2的頂點(diǎn)坐標(biāo)是（0，0）．
y＝x2+2的頂點(diǎn)坐標(biāo)是（0，2）．
所以將拋物線y＝x2向上平移2個(gè)單位長度得到拋物線y＝x2+2，
故選：B．
6．（4分）下列說法正確的是（ ）
A．概率很小的事件不可能發(fā)生
B．拋一枚硬幣，第一次正面朝上，則正面朝上的概率為1
C．必然事件發(fā)生的概率是1
D．某種彩票中獎(jiǎng)的概率是，買1000張這種彩票一定會(huì)中獎(jiǎng)
【分析】根據(jù)概率的意義，概率公式，隨機(jī)事件，必然事件，不可能事件的特點(diǎn)逐一判斷即可
【解答】解：A．概率很小的事件也可能發(fā)生，故A不符合題意；
B．拋一枚硬幣，第一次正面朝上，則正面朝上的概率為，故B不符合題意；
C．必然事件發(fā)生的概率是1，故C符合題意；
D．某種彩票中獎(jiǎng)的概率是，買1000張這種彩票不一定會(huì)中獎(jiǎng)，故D不符合題意；
故選：C．
7．（4分）受新冠肺炎疫情影響，某企業(yè)生產(chǎn)總值從元月份的300萬元，連續(xù)兩個(gè)月降至260萬元，設(shè)平均降低率為x，則可列方程（ ）
A．300（1+x）2＝260B．300（1﹣x2）＝260
C．300（1﹣2x）＝260D．300（1﹣x）2＝260
【分析】根據(jù)該企業(yè)元月份及經(jīng)過兩個(gè)月降低后的生產(chǎn)總值，即可得出關(guān)于x的一元二次方程，此題得解．
【解答】解：依題意，得：300（1﹣x）2＝260．
故選：D．
8．（4分）如圖，AD、BC相交于點(diǎn)O，由下列條件不能判定△AOB與△DOC相似的是（ ）
A．AB∥CDB．∠A＝∠DC．D．
【分析】本題中已知∠AOB＝∠DOC是對(duì)頂角，應(yīng)用兩三角形相似的判定定理，即可作出判斷．
【解答】解：A、由AB∥CD能判定△AOB∽△DOC，故本選項(xiàng)不符合題意．
B、由∠AOB＝∠DOC、∠A＝∠D能判定△AOB∽△DOC，故本選項(xiàng)不符合題意．
C、由、∠AOB＝∠DOC能判定△AOB∽△DOC，故本選項(xiàng)不符合題意．
D、已知兩組對(duì)應(yīng)邊的比相等：，但其夾角不一定對(duì)應(yīng)相等，不能判定△AOB與△DOC相似，故本選項(xiàng)符合題意．
故選：D．
9．（4分）往直徑為52cm的圓柱形容器內(nèi)裝入一些水以后，截面如圖所示，若水面寬AB＝48cm，則水的最大深度為（ ）
A．8cmB．10cmC．16cmD．20cm
【分析】連接OB，過點(diǎn)O作OC⊥AB于點(diǎn)D，交⊙O于點(diǎn)C，先由垂徑定理求出BD的長，再根據(jù)勾股定理求出OD的長，進(jìn)而可得出CD的長．
【解答】解：連接OB，過點(diǎn)O作OC⊥AB于點(diǎn)D，交⊙O于點(diǎn)C，如圖所示：
∵AB＝48cm，
∴BD＝AB＝×48＝24（cm），
∵⊙O的直徑為52cm，
∴OB＝OC＝26cm，
在Rt△OBD中，OD＝＝＝10（cm），
∴CD＝OC﹣OD＝26﹣10＝16（cm），
故選：C．
10．（4分）關(guān)于x的一元二次方程ax2+bx+＝0有一個(gè)根是﹣1，若二次函數(shù)y＝ax2+bx+的圖象的頂點(diǎn)在第一象限，設(shè)t＝2a+b，則t的取值范圍是（ ）
A．＜t＜B．﹣1＜t≤C．﹣≤t＜D．﹣1＜t＜
【分析】二次函數(shù)的圖象過點(diǎn)（﹣1，0），則a﹣b+＝0，而t＝2a+b，則a＝，b＝，二次函數(shù)的圖象的頂點(diǎn)在第一象限，則﹣＞0，﹣＞0，即可求解．
【解答】解：∵關(guān)于x的一元二次方程ax2+bx+＝0有一個(gè)根是﹣1，
∴二次函數(shù)y＝ax2+bx+的圖象過點(diǎn)（﹣1，0），
∴a﹣b+＝0，
∴b＝a+，
而t＝2a+b，
則a＝，b＝，
∵二次函數(shù)y＝ax2+bx+的圖象的頂點(diǎn)在第一象限，
∴﹣＞0，﹣＞0，
將a＝，b＝代入上式得：
﹣＞0，解得：﹣1＜t＜，
﹣＞0，解得：t≠，
故：﹣1＜t＜，
故選：D．
二．填空題（共6小題，每題4分）
11．（4分）小強(qiáng)同學(xué)從﹣1，0，1，2，3，4這六個(gè)數(shù)中任選一個(gè)數(shù)，滿足不等式x+1＜2的概率是 ．
【分析】找到滿足不等式x+1＜2的結(jié)果數(shù)，再根據(jù)概率公式計(jì)算可得．
【解答】解：在﹣1，0，1，2，3，4這六個(gè)數(shù)中，滿足不等式x+1＜2的有﹣1、0這兩個(gè)，
所以滿足不等式x+1＜2的概率是＝，
故答案為：．
12．（4分）若點(diǎn)P（m，5）與點(diǎn)Q（3，﹣5）關(guān)于原點(diǎn)成中心對(duì)稱，則m的值是 ﹣3 ．
【分析】直接利用關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱點(diǎn)的性質(zhì)得出m的值．
【解答】解：若點(diǎn)P（m，5）與點(diǎn)Q（3，﹣5）關(guān)于原點(diǎn)成中心對(duì)稱，則m的值是﹣3．
故答案為：﹣3．
13．（4分）已知一個(gè)扇形的圓心角為100°，半徑為4，則此扇形的弧長是 ．
【分析】根據(jù)弧長公式計(jì)算即可．
【解答】解：此扇形的弧長＝＝，
故答案為．
14．（4分）如圖，?ABCD的對(duì)角線AC在y軸上，原點(diǎn)O為AC的中點(diǎn)，點(diǎn)D在第一象限內(nèi)，AD∥x軸，當(dāng)雙曲線y＝經(jīng)過點(diǎn)D時(shí)，則?ABCD面積為 8 ．
【分析】設(shè)點(diǎn)D的坐標(biāo)為（a，b），即可得到ab＝4，再根據(jù)AD＝a，AO＝b，即可得到?ABCD面積．
【解答】解：設(shè)點(diǎn)D的坐標(biāo)為（a，b），
∵雙曲線y＝經(jīng)過點(diǎn)D，
∴ab＝4，
∵AD∥x軸，
∴AD＝a，AO＝b，
又∵點(diǎn)O為AC的中點(diǎn)，
∴AC＝2AO＝2b，
∴?ABCD面積＝2×AD×AC＝a×2b＝2ab＝8，
故答案為：8．
15．（4分）已知⊙O的內(nèi)接正六邊形的邊心距為2．則該圓的的半徑為 4 ．
【分析】連接OA、OB，證出△AOB是等邊三角形，根據(jù)銳角三角函數(shù)的定義即可求得半徑．
【解答】解：如圖所示，連接OA、OB，
∵多邊形ABCDEF是正六邊形，
∴∠AOB＝60°，
∵OA＝OB，
∴△AOB是等邊三角形，
∴∠OAM＝60°，
∴OM＝OA?sin∠OAM，
∴OA＝＝＝4，
∴該圓的半徑為4．
故答案為：4．
16．（4分）如圖，平面直角坐標(biāo)系中，已知O（0，0），A（﹣3，4），B（3，4），將△OAB與正方形ABCD組成的圖形繞點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，每次旋轉(zhuǎn)90°，則第70次旋轉(zhuǎn)結(jié)束時(shí)，點(diǎn)D的坐標(biāo)為 （3，﹣10） ．
【分析】先求出AB＝6，再利用正方形的性質(zhì)確定D（﹣3，10），由于70＝4×17+2，所以第70次旋轉(zhuǎn)結(jié)束時(shí)，相當(dāng)于△OAB與正方形ABCD組成的圖形繞點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)2次，每次旋轉(zhuǎn)90°，此時(shí)旋轉(zhuǎn)前后的點(diǎn)D關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，于是利用關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)特征可出旋轉(zhuǎn)后的點(diǎn)D的坐標(biāo)．
【解答】解：∵A（﹣3，4），B（3，4），
∴AB＝3+3＝6，
∵四邊形ABCD為正方形，
∴AD＝AB＝6，
∴D（﹣3，10），
∵70＝4×17+2，
∴每4次一個(gè)循環(huán)，第70次旋轉(zhuǎn)結(jié)束時(shí)，相當(dāng)于△OAB與正方形ABCD組成的圖形繞點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)2次，每次旋轉(zhuǎn)90°，
∴點(diǎn)D的坐標(biāo)為（3，﹣10）．
故答案為：（3，﹣10）．
三．解答題（共9小題）
17．（8分）解方程：x2﹣2x﹣5＝0．
【分析】先利用配方法得到（x﹣1）2＝6，然后利用直接開平方法解方程．
【解答】解：x2﹣2x＝5，
x2﹣2x+1＝6，
（x﹣1）2＝6，
x﹣1＝±，
所以x1＝1+，x2＝1﹣．
18．（8分）如圖，△ABC中，點(diǎn)E在BC邊上，AE＝AB，將線段AC繞A點(diǎn)旋轉(zhuǎn)到AF的位置，使得∠CAF＝∠BAE，連接EF，EF與AC交于點(diǎn)G．
（1）求證：EF＝BC；
（2）若∠ABC＝65°，∠ACB＝28°，求∠FGC的度數(shù)．
【分析】（1）由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得AC＝AF，利用SAS證明△ABC≌△AEF，根據(jù)全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等即可得出EF＝BC；
（2）根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)以及三角形內(nèi)角和定理求出∠BAE＝180°﹣65°×2＝50°，那么∠FAG＝50°．由△ABC≌△AEF，得出∠F＝∠C＝28°，再根據(jù)三角形外角的性質(zhì)即可求出∠FGC＝∠FAG+∠F＝78°．
【解答】（1）證明：∵∠CAF＝∠BAE，
∴∠BAC＝∠EAF．
∵將線段AC繞A點(diǎn)旋轉(zhuǎn)到AF的位置，
∴AC＝AF．
在△ABC與△AEF中，
，
∴△ABC≌△AEF（SAS），
∴EF＝BC；
（2）解：∵AB＝AE，∠ABC＝65°，
∴∠BAE＝180°﹣65°×2＝50°，
∴∠FAG＝∠BAE＝50°．
∵△ABC≌△AEF，
∴∠F＝∠C＝28°，
∴∠FGC＝∠FAG+∠F＝50°+28°＝78°．
19．（8分）如圖，直線l1∥l2∥l3，點(diǎn)A，C分別在直線l1，l3上，連接AC交直線l2于E點(diǎn)，AE＝EC．
（1）尺規(guī)作圖：在直線l2上從左到右依次確定B，D兩點(diǎn)，使得四邊形ABCD是矩形（保留作圖痕跡，不必寫作法及證明）；
（2）在（1）的情況下，若AE＝4，∠AEB＝60°，求矩形ABCD的周長．
【分析】（1）以AC為直徑作圓交直線l2于B，D，四邊形ABCD即為所求．
（2）證明△ABE是等邊三角形，利用勾股定理求出AD即可解決問題．
【解答】解：（1）如圖，所作的四邊形ABCD是矩形．
（2）∵AE＝BE，∠AEB＝60°，
∴△ABE是等邊三角形，
∴AB＝AE＝4，
又∵∠BAD＝90°，
∴AD＝＝＝4，
所以，矩形ABCD的周長為：2（AB+AD）＝8+8．
20．（8分）已知關(guān)于x的一元二次方程x2﹣2（a﹣1）x+a2﹣a﹣2＝0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根x1，x2．
（1）若a為正整數(shù)，求a的值；
（2）若x1，x2滿足x12+x22﹣x1x2＝16，求a的值．
【分析】（1）根據(jù)關(guān)于x的一元二次方程x2﹣2（a﹣1）x+a2﹣a﹣2＝0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，得到Δ＝[﹣2（a﹣1）]2﹣4（a2﹣a﹣2）＞0，于是得到結(jié)論；
（2）根據(jù)x1+x2＝2（a﹣1），x1x2＝a2﹣a﹣2，代入x12+x22﹣x1x2＝16，解方程即可得到結(jié)論．
【解答】解：（1）∵關(guān)于x的一元二次方程x2﹣2（a﹣1）x+a2﹣a﹣2＝0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，
∴Δ＝[﹣2（a﹣1）]2﹣4（a2﹣a﹣2）＞0，
解得：a＜3，
∵a為正整數(shù)，
∴a＝1，2；
（2）∵x1+x2＝2（a﹣1），x1x2＝a2﹣a﹣2，
∵x12+x22﹣x1x2＝16，
∴（x1+x2）2﹣3x1x2＝16，
∴[2（a﹣1）]2﹣3（a2﹣a﹣2）＝16，
解得：a1＝﹣1，a2＝6，
∵a＜3，
∴a＝﹣1．
21．（8分）如圖，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，直角頂點(diǎn)B位于x軸的負(fù)半軸，點(diǎn)A（0，﹣2），斜邊AC交x軸于點(diǎn)D，且D（1，0），BC與y軸交于點(diǎn)E，y軸平分∠BAC，反比例函數(shù)y＝（x＞0）的圖象經(jīng)過點(diǎn)C．
（1）直接寫出點(diǎn)B的坐標(biāo)；
（2）求y＝（x＞0）的函數(shù)表達(dá)式．
【分析】（1）根據(jù)已知條件得到OD＝1，根據(jù)角平分線的定義得到∠BAO＝∠DAO，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)即可得到結(jié)論；
（2）過C作CH⊥x軸于H，得到∠CHD＝90°，根據(jù)余角的性質(zhì)得到∠DCH＝∠CBH，根據(jù)三角函數(shù)的定義得到＝＝，設(shè)DH＝x，則CH＝2x，BH＝4x，列方程即可得到結(jié)論．
【解答】解：（1）∵點(diǎn)A（0，﹣2），
∴OA＝2，
∵D（1，0），
∴OD＝1，
∵y軸平分∠BAC，
∴∠BAO＝∠DAO，
∵∠AOD＝∠AOB＝90°，AO＝AO，
∴△AOB≌△AOD（ASA），
∴OB＝OD＝1，
∴點(diǎn)B坐標(biāo)為（﹣1，0）；
（2）過C作CH⊥x軸于H，
∴∠CHD＝90°，
∵∠ABC＝90°，
∴∠ABO+∠CBO＝∠ABO+∠BAO＝90°，
∴∠BAO＝∠DAO＝∠CBD，
∵∠ADO＝∠CDH，
∴∠DCH＝∠DAO，
∴∠DCH＝∠CBH，
∴tan∠CBH＝tan∠DCH＝，
∴＝＝，
設(shè)DH＝x，則CH＝2x，BH＝4x，
∴2+x＝4x，
∴x＝，
∴OH＝，CH＝，
∴C（，），
∴k＝×＝，
∴y＝（x＞0）的函數(shù)表達(dá)式為y＝．
22．（10分）生活在數(shù)字時(shí)代的我們，很多場合用二維碼（如圖①）來表示不同的信息，類似地，可通過在矩形網(wǎng)格中，對(duì)每一個(gè)小方格涂色或不涂色所得的圖形來表示不同的信息，例如：網(wǎng)格中只有一個(gè)小方格，如圖②，通過涂色或不涂色可表示兩個(gè)不同的信息．
（1）用樹狀圖或列表格的方法，求圖③可表示不同信息的總個(gè)數(shù)；（圖中標(biāo)號(hào)1、2表示兩個(gè)不同位置的小方格，下同）
（2）圖④為2×2的網(wǎng)格圖，它可表示不同信息的總個(gè)數(shù)為 16 ；
（3）某校需要給每位師生制作一張“校園出入證”，準(zhǔn)備在證件的右下角采用n×n的網(wǎng)格圖來表示個(gè)人身份信息，若該校師生共492人，則n的最小值為 3 ．
【分析】（1）畫出樹狀圖，即可得出答案；
（2）畫出樹狀圖，即可得出答案；
（3）由題意得出規(guī)律，即可得出答案．
【解答】解：（1）畫樹狀圖如下：
共有4種等可能結(jié)果，
∴圖③可表示不同信息的總個(gè)數(shù)為4；
（2）畫樹狀圖如下：
共有16種等可能結(jié)果，
故答案為：16；
（3）由圖②得：當(dāng)n＝1時(shí)，21＝2，
由圖④得：當(dāng)n＝2時(shí)，22×22＝16，
∴n＝3時(shí)，23×23×23＝512，
∵16＜492＜512，
∴n的最小值為3，
故答案為：3．
23．（10分）“互聯(lián)網(wǎng)+”時(shí)代，網(wǎng)上購物備受消費(fèi)者青睞．某網(wǎng)店專售一款休閑褲，其成本為每條40元，當(dāng)售價(jià)為每條80元時(shí)，每月可銷售100條．為了吸引更多顧客，該網(wǎng)店采取降價(jià)措施．據(jù)市場調(diào)查反映：每條褲子每降價(jià)1元，則每月可多銷售5條．設(shè)每條褲子的售價(jià)為x元（x為正整數(shù)），每月的銷售量為y條．
（1）求出y與x之間的函數(shù)關(guān)系式（不用寫自變量的取值范圍）；
（2）設(shè)該網(wǎng)店每月獲得的利潤為w元，當(dāng)每條褲子的售價(jià)降價(jià)多少元時(shí)，每月獲得的利潤最大，最大利潤是多少？
【分析】（1）根據(jù)銷售單價(jià)每降1元，則每月可多銷售5條，寫出y與x的函數(shù)關(guān)系式；
（2）該網(wǎng)店每月獲得的利潤w元等于每件的利潤乘以銷售量，由此列出函數(shù)關(guān)系式，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)求解即可；
【解答】解：（1）由題意可得：y＝100+5（80﹣x）＝﹣5x+500，
∴y與x的函數(shù)關(guān)系式為y＝﹣5x+500；
（2）由題意得：
w＝（x﹣40）（﹣5x+500）
＝﹣5x2+700x﹣20000
＝﹣5（x﹣70）2+4500，
∵a＝﹣5＜0，拋物線開口向下，
∴w有最大值，即當(dāng)x＝70時(shí)，w最大值＝4500，
∴降價(jià)為80﹣70＝10（元），
每條褲子的售價(jià)降價(jià)10元時(shí)，每月獲得的利潤最大，最大利潤是4500元．
24．（12分）如圖，⊙O與等邊△ABC的邊AC，AB分別交于點(diǎn)D，E，AE是直徑，過點(diǎn)D作DF⊥BC于點(diǎn)F．
（1）求證：DF是⊙O的切線；
（2）連接EF，當(dāng)EF是⊙O的切線時(shí)，求⊙O的半徑r與等邊△ABC的邊長a之間的數(shù)量關(guān)系．
【分析】（1）連結(jié)OD，根據(jù)已知條件可推出△DOA是等邊三角形，利用∠ODA＝∠C即可證明OD∥BC，進(jìn)而即可知∠DFC＝∠ODF＝90°，即可求證；
（2）用含有a和r的式子分別表示出BE和BF的長，根據(jù)BF＝2BE列出等式即可找到r與a的數(shù)量關(guān)系．
【解答】（1）證明：連結(jié)OD，如圖所示：
∵∠DAO＝60°，OD＝OA，
∴△DOA是等邊三角形，
∴∠ODA＝∠C＝60°，
∴OD∥BC，
又∵∠DFC＝90°，
∴∠ODF＝90°，
∴OD⊥DF，
即DF是⊙O的切線；
（2）設(shè)半徑為r，等邊△ABC的邊長為a，
由（1）可知：AD＝r，則CD＝a﹣r，BE＝a﹣2r
在Rt△CFD中，∠C＝60°，CD＝a﹣r，
∴CF＝，
∴BF＝a﹣，
又∵EF是⊙O的切線，
∴△FEB是直角三角形，且∠B＝60°，∠EFB＝30°，
∴BF＝2BE，
∴a﹣（a﹣r）＝2（a﹣2r），
解得：a＝3r，
即r＝，
∴⊙O的半徑r與等邊△ABC的邊長a之間的數(shù)量關(guān)系為：r＝．
25．（14分）如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線與x軸分別交于A、B兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C（0，6），拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為E（2，8），連結(jié)BC、BE、CE．
（1）求拋物線的表達(dá)式；
（2）判斷△BCE的形狀，并說明理由；
（3）如圖2，以C為圓心，為半徑作⊙C，在⊙C上是否存在點(diǎn)P，使得BP+EP的值最小，若存在，請(qǐng)求出最小值；若不存在，請(qǐng)說明理由．
【分析】（1）運(yùn)用待定系數(shù)法即可求得答案；
（2）△BCE是直角三角形．運(yùn)用勾股定理逆定理即可證明；
（3）如圖，在CE上截取CF＝（即CF等于半徑的一半），連結(jié)BF交⊙C于點(diǎn)P，連結(jié)EP，則BF的長即為所求．
【解答】解：（1）∵拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為E（2，8），
∴設(shè)該拋物線的表達(dá)式為y＝a（x﹣2）2+8，
∵與y軸交于點(diǎn)C（0，6），
∴把點(diǎn)C（0，6）代入得：a＝﹣，
∴該拋物線的表達(dá)式為y＝x2+2x+6；
（2）△BCE是直角三角形．理由如下：
∵拋物線與x軸分別交于A、B兩點(diǎn)，
∴令y＝0，則﹣（x﹣2）2+8＝0，
解得：x1＝﹣2，x2＝6，
∴A（﹣2，0），B（6，0），
∴BC2＝62+62＝72，CE2＝（8﹣6）2+22＝8，BE2＝（6﹣2）2+82＝80，
∴BE2＝BC2+CE2，
∴∠BCE＝90°，
∴△BCE是直角三角形；
（3）⊙C上存在點(diǎn)P，使得BP+EP的值最小且這個(gè)最小值為．理由如下：
如圖，在CE上截取CF＝（即CF等于半徑的一半），連結(jié)BF交⊙C于點(diǎn)P，連結(jié)EP，
則BF的長即為所求．理由如下：
連結(jié)CP，∵CP為半徑，
∴＝＝，
又∵∠FCP＝∠PCE，
∴△FCP∽△PCE，
∴＝＝，即FP＝EP，
∴BF＝BP+EP，
由“兩點(diǎn)之間，線段最短”可得：
BF的長即BP+EP為最小值．
∵CF＝CE，E（2，8），
∴由比例性質(zhì)，易得F（，），
∴BF＝＝．