福建省福州市鼓樓區(qū)延安中學(xué)2022-2023學(xué)年九年級（上）開門考數(shù)學(xué)試卷(解析版)

這是一份福建省福州市鼓樓區(qū)延安中學(xué)2022-2023學(xué)年九年級（上）開門考數(shù)學(xué)試卷(解析版)，共22頁。試卷主要包含了選擇題，填空題，解答題等內(nèi)容，歡迎下載使用。
2022-2023學(xué)年福建省福州市鼓樓區(qū)延安中學(xué)九年級（上）開門考數(shù)學(xué)試卷  第I卷（選擇題） 一、選擇題（本大題共10小題，共40分。在每小題列出的選項中，選出符合題目的一項）一次函數(shù)與軸的交點坐標是(    )A.  B.  C.  D. 已知的兩個根為、，則的值為(    )A.  B.  C.  D. 為了傳承傳統(tǒng)手工技藝，提高同學(xué)們的手工制作能力，某中學(xué)七年級一班的美術(shù)老師特地給學(xué)生們開了一節(jié)手工課，教同學(xué)們編織“中國結(jié)”，為了了解同學(xué)們的學(xué)習(xí)情況，便隨機抽取了名學(xué)生，對他們的編織數(shù)量進行統(tǒng)計，統(tǒng)計結(jié)果如表：編織數(shù)量個人數(shù)人請根據(jù)上表，判斷下列說法正確的是(    )A. 樣本為名學(xué)生 B. 眾數(shù)是個 C. 中位數(shù)是個 D. 平均數(shù)是個若關(guān)于的一元二次方程有兩個相等的實數(shù)根，則實數(shù)的值為(    )A.  B.  C.  D. 下面的三個問題中都有兩個變量：
汽車從地勻速行駛到地，汽車的剩余路程與行駛時間；
將水箱中的水勻速放出，直至放完，水箱中的剩余水量與放水時間；
用長度一定的繩子圍成一個矩形，矩形的面積與一邊長．
其中，變量與變量之間的函數(shù)關(guān)系可以用如圖所示的圖象表示的是(    )
A.  B.  C.  D. 如圖，、、、分別是正方形四條邊上的點，，則四邊形的形狀是(    )A. 平行四邊形
B. 矩形
C. 菱形
D. 正方形已知一元二次方程，若，則拋物線必過點(    )A.  B.  C.  D. 已知：點，分別是的邊，的中點，如圖所示．
求證：，且．
證明：延長到點，使，連接，，，又，則四邊形是平行四邊形，接著以下是排序錯誤的證明過程：
；
即；
四邊形是平行四邊形；
，且．
則正確的證明順序應(yīng)是：(    )A.  B.
C.  D. 三角形然幻方是鍛煉思維的有趣數(shù)學(xué)問題，例：把數(shù)字、、、、分別填入如圖所示的個圓圈內(nèi)，要求和的每條邊上三個圓圈內(nèi)數(shù)字之和都等于，則的和是(    )A.
B.
C.
D. 二次函數(shù)的最大值為，且，，，，中只有兩點不在該二次函數(shù)圖象上，下列關(guān)于這兩點的說法正確的是(    )A. 這兩點一定是和 B. 這兩點一定是和
C. 這兩點可能是和 D. 這兩點可能是和第II卷（非選擇題） 二、填空題（本大題共6小題，共24分）已知是方程的一個根，則的值為______．如圖，點是矩形內(nèi)任一點，若，則圖中陰影部分的面積為______．
 如圖，將?沿對角線翻折，點落在點處，交于點，若，，，，則?的周長為______ ．
 已知，，，，的平均數(shù)是，，，，，的平均數(shù)是，則，，，，的平均數(shù)是______．在四邊形中，，，，，則的長度為______．
在直角梯形中，為直角，，，，一條動直線交于，交于，且將梯形分為面積相等的兩部分，則點到動直線的距離的最大值為______ ． 三、解答題（本大題共9小題，共86分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟）本小題分
解下列方程：
；
．本小題分
如圖，中，，將繞點順時針旋轉(zhuǎn)得到，使得點的對應(yīng)點落在邊上點不與點重合，連接．
依題意補全圖形；
求證：四邊形是平行四邊形．
本小題分
某校舉辦“歌唱祖國”演唱比賽，十位評委對每位同學(xué)的演唱進行現(xiàn)場打分，對參加比賽的甲、乙、丙三位同學(xué)得分的數(shù)據(jù)進行整理、描述和分析．下面給出了部分信息．
甲、乙兩位同學(xué)得分的折線圖：

丙同學(xué)得分：
，，，，，，，，，
甲、乙、丙三位同學(xué)得分的平均數(shù)：同學(xué)甲乙丙平均數(shù)根據(jù)以上信息，回答下列問題：
求表中的值；
在參加比賽的同學(xué)中，如果某同學(xué)得分的個數(shù)據(jù)的方差越小，則認為評委對該同學(xué)演唱的評價越一致．據(jù)此推斷：在甲、乙兩位同學(xué)中，評委對______的評價更一致填“甲”或“乙”；
如果每位同學(xué)的最后得分為去掉十位評委打分中的一個最高分和一個最低分后的平均分，最后得分越高，則認為該同學(xué)表現(xiàn)越優(yōu)秀．據(jù)此推斷：在甲、乙、丙三位同學(xué)中，表現(xiàn)最優(yōu)秀的是______填“甲”“乙”或“丙”．本小題分
如圖，在?中，，交于點，點，在上，．
求證：四邊形是平行四邊形；
若，求證：四邊形是菱形．
本小題分
我們知道，三角形具有性質(zhì)：三邊的垂直平分線相交于同一點，三條角平分線相交于一點，三條中線相交于一點．事實上，三角形還具有性質(zhì)：三條高所在直線相交于一點．

請運用上述性質(zhì)，只用直尺不帶刻度作圖．
如圖，在?中，為的中點，作的中點．
如圖，在由小正方形組成的的網(wǎng)格中，的頂點都在小正方形的頂點上，作的高．本小題分
在平面直角坐標系中，點，在拋物線上，設(shè)拋物線的對稱軸為．
當，時，求拋物線與軸交點的坐標及的值；
點在拋物線上．若，求的取值范圍及的取值范圍．本小題分
在“鄉(xiāng)村振興”行動中，某村辦企業(yè)以，兩種農(nóng)作物為原料開發(fā)了一種有機產(chǎn)品原料的單價是原料單價的倍，若用元收購原料會比用元收購原料少生產(chǎn)該產(chǎn)品每盒需要原料和原料，每盒還需其他成本元市場調(diào)查發(fā)現(xiàn)：該產(chǎn)品每盒的售價是元時，每天可以銷售盒；每漲價元，每天少銷售盒．
求每盒產(chǎn)品的成本成本原料費其他成本；
設(shè)每盒產(chǎn)品的售價是元是整數(shù)，每天的利潤是元，求關(guān)于的函數(shù)解析式不需要寫出自變量的取值范圍；
若每盒產(chǎn)品的售價不超過元是大于的常數(shù)，且是整數(shù)，直接寫出每天的最大利潤．本小題分
如圖，在四邊形中，為直角，，點是的中點，于，且，連接交于．
求證：；
若，，求的長．
本小題分
已知二次函數(shù)的圖象上恰好只有三個點到軸的距離為．
求，應(yīng)滿足的數(shù)量關(guān)系．
當該二次函數(shù)圖象經(jīng)過點時，對于實數(shù)，，其中，，，當時，的取值范圍恰好是．
若，求，的值．
若存在這樣的實數(shù)，，求的取值范圍．
答案和解析 1.【答案】 【解析】解：當時，，
，
即直線與軸的交點坐標為，
故選：．
把代入即可求出直線與軸的交點坐標．
本題考查了一次函數(shù)圖象上點的坐標特征，利用了直線與軸的交點的縱坐標為求解．
 2.【答案】 【解析】解：的兩個根為、，
．
故選：．
根據(jù)一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系為：即可求解．
本題考查了根與系數(shù)的關(guān)系，一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系為：，．
 3.【答案】 【解析】解：樣本為名學(xué)生的編織數(shù)量，此選項錯誤，不符合題意；
B.眾數(shù)是，此選項錯誤，不符合題意；
C.共個數(shù)據(jù)，從小到大排列后位于第個和第個的數(shù)據(jù)分別是和，
中位數(shù)為，此選項錯誤，不符合題意；
D.平均數(shù)為個，此選項正確，符合題意；
故選：．
根據(jù)樣本的概念、眾數(shù)、中位數(shù)及加權(quán)平均數(shù)的定義分別求解即可．
本題主要考查眾數(shù)、中位數(shù)、加權(quán)平均數(shù)，解題的關(guān)鍵是掌握眾數(shù)、中位數(shù)及加權(quán)平均數(shù)的定義．
 4.【答案】 【解析】解：根據(jù)題意得，
解得．
故選：．
根據(jù)根的判別式的意義得到，然后解一次方程即可．
本題考查了根的判別式：一元二次方程的根與有如下關(guān)系：當時，方程有兩個不相等的實數(shù)根；當時，方程有兩個相等的實數(shù)根；當時，方程無實數(shù)根．
 5.【答案】 【解析】解：汽車從地勻速行駛到地，根據(jù)汽車的剩余路程隨行駛時間的增加而減小，故符合題意；
將水箱中的水勻速放出，直至放完，根據(jù)水箱中的剩余水量隨放水時間的增大而減小，故符合題意；
用長度一定的繩子圍成一個矩形，周長一定時，矩形面積是長的二次函數(shù)，故不符合題意；
所以變量與變量之間的函數(shù)關(guān)系可以用如圖所示的圖象表示的是．
故選：．
根據(jù)汽車的剩余路程隨行駛時間的增加而減小判斷即可；
根據(jù)水箱中的剩余水量隨放水時間的增大而減小判斷即可；
根據(jù)矩形的面積公式判斷即可．
本題考查了利用函數(shù)的圖象解決實際問題，正確理解函數(shù)圖象表示的意義，理解問題的過程，就能夠通過圖象得到函數(shù)問題的相應(yīng)解決．
 6.【答案】 【解析】解：四邊形是正方形．
證明：，
．
，
≌≌≌．
，．
四邊形是菱形．
，，
．
．
四邊形是正方形．
故選：．
通過證明三角形，，，全等，先得出四邊形是菱形，再證明四邊形中一個內(nèi)角為，從而得出四邊形是正方形．
本題主要考查了正方形的性質(zhì)和判定．解決本題的關(guān)鍵是得到≌≌≌．
 7.【答案】 【解析】【分析】
本題考查了二次函數(shù)圖象上點的坐標特征：二次函數(shù)圖象上點的坐標滿足其解析式．
由于，即自變量為時，函數(shù)值為，根據(jù)二次函數(shù)圖象上點的坐標特征可判斷點在拋物線上．
【解答】
解：，
當時，，
點在拋物線．
故選D．  8.【答案】 【解析】證明：延長到點，使，連接，，，
點，分別是的邊，的中點，
，，
四邊形是平行四邊形，
即，
四邊形是平行四邊形，
，
，且．
正確的證明順序是，
故選：．
證出四邊形是平行四邊形，得出即，則四邊形是平行四邊形，得出，即可得出結(jié)論．
本題考查了平行四邊形的判定與性質(zhì)、三角形中位線定理的證明；熟練掌握平行四邊形的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
 9.【答案】 【解析】解：把填入，，三處圈內(nèi)的三個數(shù)之和記為；
，，三處圈內(nèi)的三個數(shù)之和記為；
其余三個圈所填的數(shù)位之和為．
顯然有，
圖中六條邊，每條邊上三個圈中之數(shù)的和為，所以有，
，得，
把，，每一邊上三個圈中的數(shù)的和相加，則可得，
聯(lián)立，，解得，，
則．
故選：．
把填入，，三處圈內(nèi)的三個數(shù)之和記為；，，三處圈內(nèi)的三個數(shù)之和記為；其余三個圈所填的數(shù)位之和為結(jié)合圖形和已知條件得到方程組，進而求得即可．
此題考查了二元一次方程組的應(yīng)用，數(shù)字的變化類，解題要特別注意三角形的頂點的數(shù)字的重復(fù)使用，能夠根據(jù)各邊的數(shù)字之和列方程組求解．
 10.【答案】 【解析】解：二次函數(shù)的最大值為，
拋物線開口向下，對稱軸為，
A、若和不在該二次函數(shù)圖象上，則由題意知，，一定在圖象上，而時隨增大而減小，這與，矛盾，故A不符合題意；
B、若和不在該二次函數(shù)圖象上，則一定在圖象上，而拋物線與軸交點一定在圖象上，這樣拋物線對稱軸為，這與拋物線對稱軸為矛盾，故B不符合題意；
C、和可能不在該二次函數(shù)圖象上，故C符合題意；
D、若和不在該二次函數(shù)圖象上，則一定在圖象上，同理由，故D不符合題意；
故選：．
二次函數(shù)的最大值為，說明，對稱軸，假設(shè)選項成立，逐項判斷即可得到答案．
本題考查二次函數(shù)圖象上點坐標特征，解題的關(guān)鍵是假設(shè)選項成立，逐項判斷正誤．
 11.【答案】 【解析】解：由題意得：
把代入方程中，
則，
，
，
故答案為：．
直接把代入方程，即可求出的值．
本題考查了一元二次方程的解，解題的關(guān)鍵是掌握一元二次方程的解，正確求出的值．
 12.【答案】 【解析】解：四邊形是矩形，
，
設(shè)兩個陰影部分三角形的底為，，高分別為，，則，
矩形的面積；
故答案為：
根據(jù)三角形面積公式可知，圖中陰影部分面積等于矩形面積的一半；即可得出結(jié)果．
本題考查了矩形的性質(zhì)、三角形面積的計算；熟練掌握矩形的性質(zhì)，并能進行推理計算是解決問題的關(guān)鍵．
 13.【答案】 【解析】解：，四邊形為平行四邊形．
．
由折疊可知，
又，
，
，
為等腰三角形．
．
設(shè)，則，
，
在中，由三角形內(nèi)角和定理可知，，
解得：．
由三角形外角定理可得，
故為等腰三角形．
．
，
故平行四邊形的周長為．
故答案為：．
由，四邊形為平行四邊形，折疊的性質(zhì)可證明為等腰三角形．所以設(shè)，則，在中，由三角形內(nèi)角和定理可知，，解得，由外角定理可證明為等腰三角形．所以故平行四邊形的周長為．
本題考查了平行四邊形的性質(zhì)、三角形內(nèi)角和定理、外角定理、圖形的翻折變換，證明和為等腰三角形是解題關(guān)鍵．
 14.【答案】 【解析】解：前個數(shù)的和為，后個數(shù)的和為，個數(shù)的平均數(shù)為．
故選：．
先求前個數(shù)的和，再求后個數(shù)的和，然后利用平均數(shù)的定義求出個數(shù)的平均數(shù)．
本題考查了平均數(shù)的求法，正確理解算術(shù)平均數(shù)的概念是解題的關(guān)鍵．
 15.【答案】 【解析】解：以為邊作等邊，連接并延長至，使，連接、，如圖：

，，
是的垂直平分線，
，是中點，
，，，
≌，
，，
，
是等邊三角形，
，
是的平分線，
是的垂直平分線，
，
，
，
設(shè)，則，，
在中，，
解得或舍去，
，
．
故答案為：．
以為邊作等邊，連接并延長至，使，連接、，由，，得是的垂直平分線，即有，是中點，證明≌，可得，，可得是等邊三角形，根據(jù)，知是的垂直平分線，從而，設(shè)，則，，在中，，解得，用勾股定理即得．
本題考查四邊形綜合應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是作輔助線，構(gòu)造全等三角形，本題計算量較大，有一定難度．
 16.【答案】 【解析】解：設(shè)、分別是，的中點，
若直線將梯形分為面積相等的兩部分，則，
是一個定點
若要到的距離最大，則
此時點到動直線的距離的最大值就是的長
在中，，
．
設(shè)、分別是，的中點，若直線將梯形分為面積相等的兩部分，則根據(jù)梯形的面積公式就可以求出，由此可以得到，并且是一個定點，若要到的距離最大，則，此時點到動直線的距離的最大值就是的長．
此題首先要確定在什么位置時到的距離最大，然后利用勾股定理和梯形的面積公式就可以求出最大值．
 17.【答案】解：，
，
，
或，
，；
，
，
或，
，． 【解析】利用解一元二次方程直接開平方法，進行計算即可解答；
利用解一元二次方程因式分解法，進行計算即可解答．
本題考查了解一元二次方程直接開平方法，公式法，熟練掌握解一元二次方程的方法是解題的關(guān)鍵．
 18.【答案】解：如圖所示：

繞點順時針旋轉(zhuǎn)得到，
≌，，，
，
，
≌，
，
，
，
，
，
，
，
又，，
四邊形是平行四邊形． 【解析】根據(jù)題目要求作圖即可得；
先證，得，據(jù)此知，結(jié)合，可得．
本題主要考查作圖旋轉(zhuǎn)變換，解題的關(guān)鍵是掌握旋轉(zhuǎn)變換的定義和性質(zhì)、平行四邊形的判定及全等三角形的性質(zhì)等知識點．
 19.【答案】甲  丙 【解析】解：；

甲同學(xué)的方差，
乙同學(xué)的方差，
，
評委對甲同學(xué)演唱的評價更一致．
故答案為：甲；

甲同學(xué)的最后得分為；
乙同學(xué)的最后得分為；
丙同學(xué)的最后得分為，
在甲、乙、丙三位同學(xué)中，表現(xiàn)最優(yōu)秀的是丙．
故答案為：丙．
根據(jù)平均數(shù)的定義即可求解；
計算甲、乙兩位同學(xué)的方差，即可求解；
根據(jù)題意，分別求出甲、乙、丙三位同學(xué)的最后得分，即可得出結(jié)論．
本題考查折線統(tǒng)計圖，平均數(shù)、方差，理解平均數(shù)、方差的意義和計算方法是正確解答的前提．
 20.【答案】證明：在?中，，，
．
，
四邊形是平行四邊形；
四邊形是平行四邊形，
，
，
，
，
，
，
，
平行四邊形是菱形． 【解析】根據(jù)對角線互相平分的四邊形是平行四邊形即可證明；
根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)可得，然后利用等腰三角形的性質(zhì)可得，進而可以證明四邊形是菱形．
本題考查平行四邊形的性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)、菱形的判定等知識，解題的關(guān)鍵是熟練掌握基本知識，屬于中考?？碱}型．
 21.【答案】解：如圖中，點即為所求；
如圖，線段即為所求．
 【解析】連接，，，交于點，連接，延長交于點，點即為所求；
作，，交于點，連接，延長交于點，線段即為所求．
本題考查作圖應(yīng)用與設(shè)計作圖，三角形的重心，線段的垂直平分線的性質(zhì)，平行四邊形的性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是理解題意，靈活運用所學(xué)知識解決問題．
 22.【答案】解：將點，代入拋物線解析式，
，
，
，整理得，，
拋物線的對稱軸為直線；
，
，
拋物線與軸交點的坐標為．
，
，
解得，
，
，即．
當時，；
當時，．
的取值范圍． 【解析】將點，代入拋物線解析式，再根據(jù)得出，再求對稱軸即可；
再根據(jù)，可確定出對稱軸的取值范圍，進而可確定的取值范圍．
本題考查二次函數(shù)的性質(zhì)，解題關(guān)鍵是根據(jù)數(shù)形結(jié)合求解．
 23.【答案】解：設(shè)原料單價為元，則原料單價為元，
根據(jù)題意，得，
解得，
，
每盒產(chǎn)品的成本是：元，
答：每盒產(chǎn)品的成本為元；
根據(jù)題意，得，
關(guān)于的函數(shù)解析式為：；
由知，
當時，每天最大利潤為元，
當時，每天的最大利潤為元． 【解析】根據(jù)題意列方程先求出兩種原料的單價，再根據(jù)成本原料費其他成本計算每盒產(chǎn)品的成本即可；
根據(jù)利潤等于售價減去成本列出函數(shù)關(guān)系式即可；
根據(jù)中的函數(shù)關(guān)系式，利用函數(shù)的性質(zhì)求最值即可．
本題主要考查二次函數(shù)的性質(zhì)和分式方程，熟練應(yīng)用二次函數(shù)求最值是解題的關(guān)鍵．
 24.【答案】證明：如圖，連接，
點是的中點，
，
，
，
在和中，
，
≌，
，
同理可證：≌，
，
；

如圖，
過點作于，
，
，，
，
，
四邊形是矩形，
，，
在中，，
根據(jù)勾股定理得，，
由知，，
，
，
，
點是的中點，，
，
根據(jù)勾股定理得，，
延長，相交于點，
，
≌，
，，
，，
，
∽，
，
，
． 【解析】由“”可證≌，≌，可得，，可得結(jié)論；
過點作于，判斷出四邊形是矩形，得出，，進而求出，結(jié)合的結(jié)論求出，進而求出，延長，相交于點，得出≌，求出，，再判斷出∽，即可求出答案．
此題主要考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，矩形的判定和性質(zhì)，作出輔助線構(gòu)造出相似三角形是解本題的關(guān)鍵．
 25.【答案】解：，
拋物線開口向上，拋物線對稱軸為直線，
函數(shù)圖象有各點到軸的距離為，
拋物線頂點縱坐標為，即拋物線頂點為，
將代入得，
．
拋物線經(jīng)過，
，
，即，
函數(shù)解析式為，
拋物線對稱軸為直線，，，
函數(shù)最小值為，
，
當時，將代入得為最大值，
即，
解得，符合題意．
當時，將代入得為最大值，
解得或舍．
，或．
當時，，
，
，
解得．
當時，，整理得，
拋物線與軸有交點，且時，，
即，
解得，
綜上所述，． 【解析】由拋物線解析式可得拋物線對稱軸，由圖象上恰好只有三個點到軸的距離為可得頂點坐標，進而求解．
由拋物線經(jīng)過可得拋物線解析式，從而可得拋物線頂點坐標，由，可得函數(shù)最小值，分類討論，時最大值為，進而求解．
分類討論，，用含代數(shù)式表示的取值范圍，進而求解．
本題考查二次函數(shù)的綜合應(yīng)用，解題關(guān)鍵是掌握二次函數(shù)與方程及不等式的關(guān)系．