2021-2022學年福建省福州市鼓樓區(qū)三牧中學九年級（下）月考數(shù)學試卷（4月份）（含解析）

這是一份2021-2022學年福建省福州市鼓樓區(qū)三牧中學九年級（下）月考數(shù)學試卷（4月份）（含解析），共24頁。試卷主要包含了選擇題，填空題，解答題等內(nèi)容，歡迎下載使用。
2021-2022學年福建省福州市鼓樓區(qū)三牧中學九年級（下）月考數(shù)學試卷（4月份）副標題題號一二三總分得分      一、選擇題（本大題共10小題，共40.0分）的絕對值是A.  B.  C.  D. 下列圖形中，是軸對稱圖形但不是中心對稱圖形的是A. 圓 B. 等腰三角形 C. 平行四邊形 D. 菱形方程組的解為A.  B.  C.  D. 李大伯前年在駐村扶貧工作隊的幫助下種了一片果林，今年收獲一批成熟的果子．他選取了棵果樹，采摘后分別稱重．每棵果樹果子總質(zhì)量單位：分別為：，，，，這五個數(shù)據(jù)的中位數(shù)是A.  B.  C.  D. 如圖，∽，若，，，則的長是A.
B.
C.
D. 如圖，點，，在正方形網(wǎng)格的格點上，則A.
B.
C.
D. 孫子算經(jīng)中有一道題，原文是：“今有木，不知長短．引繩度之，余繩四足五寸；屈繩量之，不足一尺．木長幾何？”意思是：用一根繩子去量一根長木，繩子還剩余尺．將繩子對折再量長木，長木還剩余尺，問木長多少尺，現(xiàn)設(shè)繩長尺，木長尺，則可列二元一次方程組為A.  B.  C.  D. 如圖，在中，，，，分別以、為直徑畫半圓，則圖中陰影部分的面積為A.
B.
C.
D. 若對于任意非零實數(shù)，拋物線總不經(jīng)過點，則符合條件的點A. 沒有 B. 有無窮多個 C. 有且只有個 D. 有且只有個如圖，中，，，，是線段上的一個動點，以為直徑畫圓分別交，于，，連接，則線段長度的最小值為A.
B.
C.
D.  二、填空題（本大題共6小題，共24.0分）已知，則的余角大小是______ ．一個多邊形的內(nèi)角和是外角和的倍，則這個多邊形的邊數(shù)為______．如圖，，是正方形的對角線上的兩點，，，則四邊形的周長是______．

  水務人員為考察水情，乘快艇以每秒米的速度沿平行于岸邊的航線由西向東行駛．如圖所示，在處測得岸邊一建筑物在北偏東方向上，繼續(xù)行駛秒到達點處，測得建筑物在北偏西方向上，則建筑物到航線的距離為______米．
對于不為零的兩個實數(shù)，，如果規(guī)定：，那么函數(shù)，當時，則的值為______．如圖，在矩形中，將繞點逆時針旋轉(zhuǎn)得到，使得、、三點恰好在同一直線上，與相交于點，連接，以下結(jié)論正確的是：______．
；∽；點是線段的黃金分割點；． 三、解答題（本大題共9小題，共86.0分）計算：．如圖，已知，點在邊上，過點作，且，連接交于點求證：．

  桌面上有四張正面分別標有數(shù)字，，，的不透明卡片，它們除數(shù)字外其余全部相同，現(xiàn)將它們背面朝上洗勻．
隨機翻開一張卡片，正面所標數(shù)字大于的概率為______；
隨機翻開一張卡片，從余下的三張卡片中再翻開一張，請你利用樹狀圖求翻開的兩張卡片正面所標數(shù)字之和是偶數(shù)的概率．如圖，在菱形中，點在對角線上，延長交于點．
求證：；
已知點在邊上，請以為邊，用尺規(guī)作一個與相似，并使得點在上．只需作出一個，保留作圖痕跡，不寫作法陳老師為學校購買了運動會的獎品后，回學校向后勤處王老師交賬說：“我買了兩種書共本，單價分別為元和元，買書前我領(lǐng)了元，現(xiàn)在還余元”王老師算了一下，說：“你肯定搞錯了”．
王老師為什么說他搞錯了？試用方程的知識給予解釋；
陳老師連忙拿出購物發(fā)票，發(fā)現(xiàn)的確弄錯了，因為他還買了一個筆記本，但筆記本的單價已經(jīng)模糊不清，只能辨認應為小于的整數(shù)，筆記本的單價可能為多少元？如圖，矩形的頂點，分別在菱形的邊，上，頂點，在菱形的對角線上．
求證：；
若為中點，，求菱形的周長．
如圖，在中，，點在上，作，使與相切于點，與交于點，過點作，交的延長線于點，且．
求證：是的切線；
若，，求的值．
【證明體驗】
如圖，為的角平分線，，點在上，求證：平分．
【思考探究】
如圖，在的條件下，為上一點，連結(jié)交于點若，，，求的長．
【拓展延伸】
如圖，在四邊形中，對角線平分，，點在上，若，，，求的長．
如圖，在平面直角坐標系中，直線與軸交于點，與軸交于點，拋物線經(jīng)過坐標原點和點，頂點為點．
求拋物線的關(guān)系式及點的坐標；
點是直線下方的拋物線上一動點，連接，，當的面積等于時，求點的坐標；
將直線向下平移，得到過點的直線，且與軸負半軸交于點，取點，連接，求證：．

答案和解析 1.【答案】【解析】解：的絕對值是．
故選：．
計算絕對值要根據(jù)絕對值的定義求解．第一步列出絕對值的表達式；第二步根據(jù)絕對值定義去掉這個絕對值的符號．
此題考查了絕對值的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題，解答本題的關(guān)鍵是掌握正數(shù)的絕對值是它本身．
 2.【答案】【解析】【分析】
此題主要考查了中心對稱圖形與軸對稱圖形的概念．軸對稱圖形的關(guān)鍵是尋找對稱軸，兩部分折疊后可重合；中心對稱圖形是要尋找對稱中心，旋轉(zhuǎn) 度后重合．
根據(jù)軸對稱圖形與中心對稱圖形的概念求解．
【解答】
解： 、圓既是中心對稱圖形，也是軸對稱圖形，故此選項不合題意；
B 、等腰三角形是軸對稱圖形但不是中心對稱圖形，故本選項符合題意；
C 、平行四邊形是中心對稱圖形但不是軸對稱圖形，故此選項不合題意；
D 、菱形是中心對稱圖形，也是軸對稱圖形，故此選項不合題意．   3.【答案】【解析】解：，
，得，
解得，
把代入，得，解得，
故方程組的解為．
故選：．
應用加減消元法，求出方程組的解是多少即可．
此題主要考查了解二元一次方程組的方法，要熟練掌握，注意代入消元法和加減消元法的應用．
 4.【答案】【解析】解：，，，，，從小到大排列為：，，，，，
則這五個數(shù)據(jù)的中位數(shù)是：．
故選：．
直接利用中位數(shù)的求法進而得出答案．
此題主要考查了中位數(shù)，正確把握中位數(shù)的定義是解題關(guān)鍵．
 5.【答案】【解析】【分析】
此題主要考查了相似三角形的性質(zhì)，正確得出對應邊之間關(guān)系是解題關(guān)鍵．
直接利用相似三角形的性質(zhì)得出對應邊之間的關(guān)系進而得出答案．
【解答】
解： ∽ ，
，
， ， ，
，
解得： ．   6.【答案】【解析】【分析】
本題考查了勾股定理，三角形的面積，銳角三角函數(shù)的定義等知識，根據(jù)網(wǎng)格構(gòu)造直角三角形和利用三角形的面積求出 是解決問題的關(guān)鍵．
作 于 ，根據(jù)勾股定理求出 、 ，利用三角形的面積求出 ，最后在直角 中根據(jù)三角函數(shù)的意義求解．
【解答】
解：如圖，作 于 ，
由勾股定理得， ， ，
，
，
．
故選 B ．   7.【答案】【解析】解：設(shè)繩長尺，長木為尺，
依題意得，
故選：．
本題的等量關(guān)系是：繩長木長；木長繩長，據(jù)此可列方程組求解．
此題考查二元一次方程組問題，關(guān)鍵是弄清題意，找準等量關(guān)系，列對方程組，求準解．
 8.【答案】【解析】解：設(shè)各個部分的面積為：、、、、，
如圖所示：
兩個半圓的面積和是：，的面積是，陰影部分的面積是：，
圖中陰影部分的面積為兩個半圓的面積減去三角形的面積．
即陰影部分的面積．
故選：．
觀察圖形發(fā)現(xiàn)：陰影部分的面積兩個半圓的面積直角三角形的面積．
本題考查了扇形面積的計算，解題的關(guān)鍵是看出圖中陰影部分的面積為兩個半圓的面積三角形的面積．
 9.【答案】【解析】解：對于任意非零實數(shù)，拋物線總不經(jīng)過點，
，
化簡得，
要滿足題意則有或或或，
點坐標為或或或，
所以點有且只有個，
故選：．
根據(jù)題意可以得到相應的不等式，然后根據(jù)對于任意非零實數(shù)，拋物線總不經(jīng)過點，即可求得點的坐標，從而可以解答本題．
本題考查二次函數(shù)圖象上點的坐標特征，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，利用二次函數(shù)的性質(zhì)解答．
 10.【答案】【解析】解：由垂線段的性質(zhì)可知，當為的邊上的高時，直徑最短，
如圖，連接，，過點作，垂足為，

則，
在中，，，
，即此時圓的直徑為，
，
由圓周角定理可知，
在中，，
由垂徑定理可知．
故選：．
由垂線段的性質(zhì)可知，當為的邊上的高時，直徑最短，此時線段，因此當半徑最短時，最短，連接，，過點作，垂足為，在中，解直角三角形求直徑，由圓周角定理可知，在中，解直角三角形求，由垂徑定理可知．
本題考查了垂徑定理，圓周角定理，解直角三角形的綜合運用．關(guān)鍵是根據(jù)運動變化，找出滿足條件的最小圓，再解直角三角形．
 11.【答案】【解析】解：根據(jù)定義的余角度數(shù)是：．
故答案為：．
根據(jù)互為余角的兩個角的和為作答．
本題考查角互余的概念，熟記和為的兩個角互為余角．屬于基礎(chǔ)題，較簡單．
 12.【答案】【解析】解：多邊形的外角和是度，多邊形的內(nèi)角和是外角和的倍，
則內(nèi)角和是度，
，
這個多邊形是六邊形．
故答案為：．
利用多邊形的外角和以及多邊形的內(nèi)角和定理即可解決問題．
本題主要考查了多邊形的內(nèi)角和定理與外角和定理，熟練掌握定理是解題的關(guān)鍵．
 13.【答案】【解析】解：如圖，連接交于點，

四邊形為正方形，
，，
，
，即，
四邊形為平行四邊形，且，
四邊形為菱形，
，
，，
由勾股定理得：，
四邊形的周長，
故答案為：．
連接交于點，則可證得，，四邊形為平行四邊形，且，可證得四邊形為菱形；根據(jù)勾股定理計算的長，可得結(jié)論．
本題主要考查正方形的性質(zhì)、菱形的判定和性質(zhì)及勾股定理，掌握對角線互相垂直平分的四邊形為菱形是解題的關(guān)鍵．
 14.【答案】【解析】解：過點作于，由題意可知：，，

在中，，
，
在中，，
，
，
米，
故答案為：．
作于，構(gòu)造出與，求出的長度，利用特殊角的三角函數(shù)值求出即可．
此題考查的是解直角三角形的應用方向角問題，解答此題的關(guān)鍵是構(gòu)造出兩個特殊角度的直角三角形，再利用特殊角的三角函數(shù)值解答．
 15.【答案】或【解析】解：，，
，
或，
或，
經(jīng)檢驗：是方程的根，
的值為：或，
故答案為：或．
根據(jù)題意可得，從而列出或，進行計算即可解答．
本題考查了解一元一次方程，解分式方程，實數(shù)的運算，分兩種情況進行計算是解題的關(guān)鍵．
 16.【答案】【解析】解：四邊形是矩形，
，，，
，
由旋轉(zhuǎn)得：
≌，
，，，，
，
，
，
故正確；
，
，
是直角三角形，是銳角三角形，
與不相似，
故不正確；
，
，
點、、三點共線，
，
，，
∽，
，
，，
，
，
，
，
點是線段的黃金分割點，
故正確；
在上截取，連接，
，，
≌，
，，
，
，
，
是等腰直角三角形，
，
，
，
故正確；
所以，以上結(jié)論正確的是：，
故答案為：．
根據(jù)矩形的性質(zhì)可得，，，從而可得，根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得≌，從而可得，，，，進而可得，然后利用三角形的內(nèi)角和定理進行計算即可判斷；根據(jù)已知易證為直角三角形，為銳角三角形，即可判斷；根據(jù)，可證明∽，然后利用相似三角形的性質(zhì)可得，再根據(jù)，，從而可得，即可判斷；在上截取，連接，然后利用證明≌，從而可得即可得，，進而可得，即可得出
是等腰直角三角形，從而可得，即可判斷．
本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，黃金分割，矩形的性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，熟練掌握相似三角形的判定與性質(zhì)，以及全等三角形的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
 17.【答案】解：原式

．【解析】根據(jù)負整數(shù)指數(shù)冪，零指數(shù)冪，絕對值，特殊角的三角函數(shù)值計算即可．
本題考查了負整數(shù)指數(shù)冪，零指數(shù)冪，絕對值，特殊角的三角函數(shù)值，考核學生的計算能力，解題時注意．
 18.【答案】證明：，
，
在和中，
，
≌，
．【解析】由“”可證≌，可得．
本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，掌握全等三角形的判定方法是本題的關(guān)鍵．
 19.【答案】【解析】解：四張正面分別標有數(shù)字，，，的不透明卡片，
隨機抽取一張卡片，求抽到數(shù)字大于“”的概率，
故答案為：；
畫樹狀圖為：

由樹形圖可知：所有可能結(jié)果有種，兩張卡片正面所標數(shù)字之和是偶數(shù)的數(shù)目為種，
所以翻開的兩張卡片正面所標數(shù)字之和是偶數(shù)的概率．
根據(jù)概率公式直接解答；
畫出樹狀圖，找到所有可能的結(jié)果，再找到兩張卡片正面所標數(shù)字之和是偶數(shù)的數(shù)目，由概率公式求出其概率即可．
此題考查的是用列表法或樹狀圖法求概率．列表法可以不重復不遺漏的列出所有可能的結(jié)果，適合于兩步完成的事件；樹狀圖法適合兩步或兩步以上完成的事件；解題時要注意此題是放回實驗還是不放回實驗．用到的知識點為：概率所求情況數(shù)與總情況數(shù)之比．
 20.【答案】證明：四邊形是菱形，
，
，
又，
∽，
；

解：如圖，就是所求作的三角形答案不唯一．
 【解析】證明∽，可得結(jié)論；
作即可．
本題考查作圖相似變換，解題的關(guān)鍵是掌握相似三角形的判定方法，屬于中考?？碱}型．
 21.【答案】解：設(shè)王老師購買單價為元的圖書本，購買單價為元的圖書本，
根據(jù)題意得：，
解得：，
，均為正整數(shù)，
陳老師搞錯了．

設(shè)王老師購買單價為元的圖書本，則購買單價為元的圖書本，
根據(jù)題意得：，
解得：．
為正整數(shù)，
，
．
答：筆記本的單價為元．【解析】設(shè)王老師購買單價為元的圖書本，購買單價為元的圖書本，根據(jù)陳老師花了元購買了兩種書共本，即可得出關(guān)于，的二元一次方程組，解之可得出，的值，由該值不為正整數(shù)可得出陳老師搞錯了；
設(shè)王老師購買單價為元的圖書本，則購買單價為元的圖書本，根據(jù)總價單價數(shù)量，即可得出關(guān)于的一元一次不等式，解之即可得出的取值范圍，取其中的正整數(shù)，將其代入中即可求出結(jié)論．
本題考查了二元一次方程組的應用以及一元一次不等式組的應用，解題的關(guān)鍵是：找準等量關(guān)系，正確列出二元一次方程組；根據(jù)各數(shù)量之間的關(guān)系，正確列出一元一次不等式組．
 22.【答案】解：四邊形是矩形，
，，
，
，，
，
四邊形是菱形，
，
，
在和中，

≌，
；
連接，

四邊形是菱形，
，，
為中點，
，
，
，，
四邊形是平行四邊形，
，
四邊形是矩形，
，
，
菱形的周長．【解析】根據(jù)矩形的性質(zhì)得到，，得到，求得，根據(jù)菱形的性質(zhì)得到，得到，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)即可得到結(jié)論；
連接，根據(jù)菱形的性質(zhì)得到，，求得，，得到四邊形是平行四邊形，得到，于是得到結(jié)論．
本題考查了菱形的性質(zhì)，矩形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，正確利用好各個幾何性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
 23.【答案】證明：，
，
，
，
是的角平分線，
與相切于點，
是的半徑，，
，
，
，
點在上，
，
是的切線；
解：由知：，是的半徑，
是的直徑，
，
，，
在中，由勾股定理得：，
，，
∽，
，
，
，
．【解析】由平行線的性質(zhì)得，證，則是的角平分線，再由切線的性質(zhì)得，然后由角平分線的性質(zhì)得，即可得出結(jié)論；
由知是的直徑，求出，，再由勾股定理得，然后證∽，求出，然后由銳角三角函數(shù)定義求解即可．
本題考查了切線的判定與性質(zhì)、平行線的性質(zhì)、勾股定理、相似三角形的判定與性質(zhì)、銳角三角函數(shù)的定義等知識，熟練掌握切線的判定與性質(zhì)，證明∽是解題的關(guān)鍵．
 24.【答案】證明：如圖，

平分，
，
，，
≌，
，
，
，
平分．
如圖，

，
；
，
∽，
；
≌，
，
，
．
如圖，在上取一點，使，連結(jié)．
平分，
，
，
≌，
，，，
，
，
即，
，即，
∽，
，，
，，
；
，，
，
公共角，
∽，
，
，，
．【解析】由≌得，因而，所以平分；
先證明∽，其中，再由相似三角形的對應邊成比例求出的長；
根據(jù)角平分線的特點，在上截取，連結(jié)，構(gòu)造全等三角形和相似三角形，由相似三角形的性質(zhì)求出的長．
此題重點考查全等三角形的判定與性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)等知識，解第題時，應注意探究題中的隱含條件，通過適當添加輔助線構(gòu)造全等三角形和相似三角形；此題難度較大，屬于考試壓軸題．
 25.【答案】解：對于，令，解得；令，則，
故點、的坐標分別為、，
拋物線經(jīng)過坐標原點，故，
將點的坐標代入拋物線表達式得：，解得，
故拋物線的表達式為；
，
則拋物線的對稱軸為，點的坐標為；

如圖，過點作軸交于點，

設(shè)點的坐標為，則點，
則的面積，
即，
解得或，
故點的坐標為或；
由平移，可得直線的表達式為，
直線向下平移后過點，
得到，解得
得直線的表達式為，
令，解得，
故點；
過點作于點，過點作軸于點，

可得，，，
則，，
在和中，
，，
∽，
，
，，
，
在中，，
故，
利用三角形的外角性質(zhì)，可得，
．【解析】本題是二次函數(shù)綜合題，主要考查了一次函數(shù)的性質(zhì)、相似三角形的判定和性質(zhì)、面積的計算、三角形的外角性質(zhì)等，其中，利用是本題解題的關(guān)鍵．
先求出點、的坐標，用待定系數(shù)法即可求解；
由的面積，即可求解；
利用平移和待定系數(shù)法求出直線的表達式，過點作于點，過點作軸于點，求出、、、，證明∽，進而求出、、的長，然后在中，求出，知，再利用三角形的外角性質(zhì)，可得結(jié)論．