福建省福州市鼓樓區(qū)延安中學(xué)2021-2022學(xué)年九年級（下）月考數(shù)學(xué)試卷（4月份）（含解析）

這是一份福建省福州市鼓樓區(qū)延安中學(xué)2021-2022學(xué)年九年級（下）月考數(shù)學(xué)試卷（4月份）（含解析），共26頁。試卷主要包含了選擇題，填空題，解答題等內(nèi)容，歡迎下載使用。
福建省福州市鼓樓區(qū)延安中學(xué)2021-2022學(xué)年九年級（下）月考數(shù)學(xué)試卷（4月份） 一、選擇題（本大題共10小題，共40分）的倒數(shù)是A.  B.  C.  D. 如圖，直線，被直線所截，若，，則等于A.
B.
C.
D. 觀察如圖各圖案：其中既是軸對稱圖形，又是中心對稱圖形的有是A.  B.  C.  D. 如圖，是由四個相同的小正方體組合而成的幾何體，它的俯視圖是A.
B.
C.
D. 如圖，用剪刀沿直線將一片平整的樹葉剪掉一部分，則剩下的樹葉周長小于原樹葉的周長，能解釋這一現(xiàn)象的數(shù)學(xué)道理是A. 垂線段最短
B. 兩點之間線段最短
C. 兩點確定一條直線
D. 經(jīng)過一點有無數(shù)條直線
 一組數(shù)據(jù)：，，，，，若去掉一個數(shù)據(jù)，則下列統(tǒng)計量中發(fā)生變化的是A. 眾數(shù) B. 中位數(shù) C. 平均數(shù) D. 方差如圖，四邊形內(nèi)接于，平分，則下列結(jié)論正確的是A.
B.
C.
D.
 實數(shù)，，在數(shù)軸上對應(yīng)點的位置如圖所示，如果，那么下列結(jié)論正確的是A.  B.  C.  D. 如圖，在中，，的平分線交于，是的垂直平分線，垂足為若，則的長是A.
B.
C.
D. 當(dāng)時，二次函數(shù)有最大值，則的值A.  B. 或
C. 或 D. 或 二、填空題（本大題共6小題，共24分）年中國新冠疫苗產(chǎn)能有望達(dá)到劑，約占全球產(chǎn)能的一半，必將為全球抗疫作出重大貢獻(xiàn)．?dāng)?shù)據(jù)用科學(xué)記數(shù)法表示為______．在函數(shù)中，自變量的取值范圍是______．已知袋中有個紅球和若干白球，每個球除顏色外都相同，若摸到紅球概率為，則袋中白球的個數(shù)為______．若一個圓錐的底面圓半徑為，其側(cè)面展開圖的圓心角為，則圓錐的母線長是______．如圖，直線與雙曲線只有唯一的公共點，且與軸不平行，直線與軸交于點，雙曲線經(jīng)過線段的中點，則______．



  如圖，在正方形中，點，在上且，，延長交于點，延長交于點，連接下列結(jié)論：
點為的中點，
，
，
，
其中正確結(jié)論的序號是______寫出所有正確結(jié)論的序號 三、解答題（本大題共9小題，共86分）先化簡，再求值：，其中．如圖，點、、、在同一條直線上，，，，求證：．
如圖，，平分，且交于點．
作的角平分線交于點要求：尺規(guī)作圖，不寫作法和結(jié)論，保留作圖痕跡；
根據(jù)中作圖，連接，求證：四邊形是菱形．
某校數(shù)學(xué)興趣小組在校園內(nèi)利用三角尺測量教學(xué)樓的高度，如圖，小明同學(xué)站在點處，將含角三角尺的一條直角邊水平放置，此時三角尺的傾斜邊剛好落在視線上，沿教學(xué)樓向前走米到達(dá)點處，將含角三角尺的短直角邊水平放置，此時三角尺的斜邊也剛好落在視線上，已知小明眼睛到地面的距離為米，求教學(xué)樓的高度．點，，在同一水平線上，結(jié)果保留根號為了解全校學(xué)生參加環(huán)保類社團(tuán)的意愿，在全校隨機(jī)抽取了名學(xué)生進(jìn)行問卷調(diào)查．問卷給出了五個社團(tuán)供學(xué)生選擇學(xué)生可根據(jù)自己的愛好選擇一個社團(tuán)，也可以不選對選擇了社團(tuán)的學(xué)生的問卷情況進(jìn)行了統(tǒng)計，如表：社團(tuán)名稱酵素制作
社團(tuán)B.回收材料
社團(tuán)C.垃圾分類
社團(tuán)D.環(huán)保義工
社團(tuán)E.綠植養(yǎng)護(hù)
社團(tuán)人數(shù)
根據(jù)以上信息，補(bǔ)全扇形圖圖和條形圖圖；
該校有名學(xué)生，根據(jù)調(diào)查統(tǒng)計情況，請估計全校有多少學(xué)生愿意參加環(huán)保義工社團(tuán)；
若小詩和小雨兩名同學(xué)在酵素制作社團(tuán)或環(huán)保義工社團(tuán)中任意選擇一個參加，請用樹狀圖或列表法求出這兩名同學(xué)同時選擇酵素制作社團(tuán)的概率．甲商場代理銷售每臺進(jìn)價分別為元、元的、兩種型號的空氣凈化器，售價保持不變的前提下統(tǒng)計了最近兩周的銷售情況：銷售時段銷售數(shù)量銷售收入元種型號臺種型號臺第一周第二周求，兩種型號的空氣凈化器的銷售單價；
該商場計劃對型號空氣凈化器進(jìn)行降價元，型號銷售價格不變進(jìn)行銷售，計劃一次購進(jìn)兩種型號的空氣凈化器共臺，每種型號空氣凈化器都至少購買臺，其中型凈化器的進(jìn)貨量不超過型的倍，求銷售總利潤的最大值．如圖，在中，，將以點為旋轉(zhuǎn)中心，逆時針旋轉(zhuǎn)得到，且點落在上，，交于點，連接．
求證：．
若，，求的值．
如圖，在，，以為直徑的分別交于點，點在上，且．
求證：
若，，求的長．
拋物線與軸交于點，與軸交于點和點，點在點左側(cè)，連接，，若對稱軸為直線．求二次函數(shù)的解析式；
若點是拋物線上一動點，且滿足，求點坐標(biāo)；
直線交拋物線于點和點均不點重合，連接，，若始終為直角，求點到直線距離的最大值．
答案和解析 1.【答案】【解析】解：，
的倒數(shù)是．
故選：．
根據(jù)倒數(shù)的定義，若兩個數(shù)的乘積是，我們就稱這兩個數(shù)互為倒數(shù)．
本題主要考查倒數(shù)的概念．倒數(shù)的定義：若兩個數(shù)的乘積是，我們就稱這兩個數(shù)互為倒數(shù)，屬于基礎(chǔ)題．
 2.【答案】【解析】解：如圖，

，，
，
．
故選：．
由平行線的性質(zhì)可得，再利用平角的定義即可求的度數(shù)．
本題主要考查平行線的性質(zhì)，解答的關(guān)鍵是熟記平行線的性質(zhì)：兩直線平行，同位角相等．
 3.【答案】【解析】解：不是中心對稱圖形，是軸對稱圖形，故此選項不合題意；
B.是中心對稱圖形，不是軸對稱圖形，故此選項不合題意；
C.不是中心對稱圖形，是軸對稱圖形，故此選項不合題意；
D.既是中心對稱圖形，也是軸對稱圖形，故此選項符合題意；
故選：．
根據(jù)中心對稱圖形與軸對稱圖形的概念進(jìn)行判斷即可．
本題考查的是中心對稱圖形與軸對稱圖形的概念．軸對稱圖形的關(guān)鍵是尋找對稱軸，圖形兩部分折疊后可重合，中心對稱圖形是要尋找對稱中心，旋轉(zhuǎn)度后與自身重合．
 4.【答案】【解析】解：這個組合體的俯視圖為：

故選：．
畫出這個組合體的俯視圖即可．
本題考查簡單組合體的三視圖，理解視圖的定義，掌握簡單組合體三視圖的畫法和形狀是正確判斷的前提．
 5.【答案】【解析】解：用剪刀沿直線將一片平整的樹葉剪掉一部分，發(fā)現(xiàn)剩下樹葉的周長比原樹葉的周長要小，
能正確解釋這一現(xiàn)象的數(shù)學(xué)知識是兩點之間，線段最短，
故選：．
根據(jù)線段的性質(zhì)解答即可．
此題主要考查了線段的性質(zhì)，關(guān)鍵是掌握兩點之間，線段最短．
 6.【答案】【解析】解：由題意得：原中位數(shù)為原眾數(shù)為，原平均數(shù)為，原方差為；
去掉一個數(shù)據(jù)后的中位數(shù)為，眾數(shù)為，平均數(shù)為，方差為；
故統(tǒng)計量發(fā)生變化的是方差，
故選：．
根據(jù)平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)、方差的定義和公式分別進(jìn)行求解即可．
本題主要考查平均數(shù)、眾數(shù)、眾數(shù)及方差，熟練掌握求一組數(shù)據(jù)的平均數(shù)、眾數(shù)及方差是解題的關(guān)鍵．
 7.【答案】【解析】【分析】
本題考查的是圓心角、弧、弦的關(guān)系，在同圓或等圓中，如果兩個圓心角、兩條弧、兩條弦中有一組量相等，那么它們所對應(yīng)的其余各組量都分別相等．根據(jù)圓心角、弧、弦的關(guān)系對各選項進(jìn)行逐一判斷即可．
【解答】
解： 與 的大小關(guān)系不確定， 與 不一定相等，故本選項錯誤；
B. 平分 ， ， ，故本選項正確；
C. 與 的大小關(guān)系不確定， 與 不一定相等，故本選項錯誤；
D. 與 的大小關(guān)系不確定，故本選項錯誤．
故選 B ．   8.【答案】【解析】解：，
，，，
A、，，，所以，此選項錯誤；
B、，，，所以，此選項錯誤；
C、，所以，此選項正確；
D、，，，所以，此選項錯誤．
故選：．
利用數(shù)軸上各數(shù)的位置，可知數(shù)的大小，判斷即可．
本題考查有理數(shù)的大小比較，關(guān)鍵是借助數(shù)軸進(jìn)行判斷．
 9.【答案】【解析】解：垂直平分，
，
，
平分，
，
，
，
，
，
平分，，，
，
，
，
故選：．
由角平分線和線段垂直平分線的性質(zhì)可求得．
本題主要考查含角的直角三角形的性質(zhì)、線段垂直平分線的性質(zhì)，掌握含角的直角三角形的性質(zhì)、線段垂直平分線上的點到線段兩端點的距離相等是解題的關(guān)鍵．
 10.【答案】【解析】解：二次函數(shù)，
拋物線開口向上，對稱軸為直線，
當(dāng)對稱軸時，，二次函數(shù)有最大值，此時，
代入得：，
化簡得：，
解得：，或舍去；
當(dāng)對稱軸時，，二次函數(shù)有最大值，此時，
代入得：，
化簡得：，
解得：，或舍去；
綜上所述，的值為：或．
故選：．
分類討論，對稱軸在左側(cè)，對稱軸在右側(cè)，求得的值，即可解題．
本題考查二次函數(shù)的性質(zhì)、二次函數(shù)的最值，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，利用二次函數(shù)的性質(zhì)解答．
 11.【答案】【解析】解：，
故答案為：．
科學(xué)記數(shù)法的表示形式為的形式，其中，為整數(shù)．確定的值時，要看把原數(shù)變成時，小數(shù)點移動了多少位，的絕對值與小數(shù)點移動的位數(shù)相同．當(dāng)原數(shù)絕對值時，是正數(shù)；當(dāng)原數(shù)的絕對值時，是負(fù)數(shù)．
此題考查科學(xué)記數(shù)法的表示方法．科學(xué)記數(shù)法的表示形式為的形式，其中，為整數(shù)，表示時關(guān)鍵要正確確定的值以及的值．
 12.【答案】【解析】解：根據(jù)題意得：，
解得：．
故答案為：．
因為當(dāng)函數(shù)表達(dá)式是二次根式時，被開方數(shù)為非負(fù)數(shù)，所以，解不等式可求的范圍．
此題主要考查函數(shù)自變量的取值范圍，解決本題的關(guān)鍵是當(dāng)函數(shù)表達(dá)式是二次根式時，被開方數(shù)為非負(fù)數(shù)．
 13.【答案】【解析】解：設(shè)袋中白球的個數(shù)為個，
根據(jù)題意得，
解得，
經(jīng)檢驗為原方程的解，
所以袋中白球的個數(shù)為個．
故答案為：．
設(shè)袋中白球的個數(shù)為個，利用概率公式得到，然后解方程求出即可．
本題考查了概率公式，用到的知識點為：概率所求情況數(shù)與總情況數(shù)之比．
 14.【答案】【解析】解：設(shè)圓錐的母線長是，
根據(jù)題意得，
解得，
即圓錐的母線長是．
故答案為：．
設(shè)圓錐的母線長是，由于圓錐的側(cè)面展開圖為一扇形，這個扇形的弧長等于圓錐底面的周長，扇形的半徑等于圓錐的母線長，則利用弧長公式得到，然后解方程即可．
本題考查了圓錐的計算：圓錐的側(cè)面展開圖為一扇形，這個扇形的弧長等于圓錐底面的周長，扇形的半徑等于圓錐的母線長．
 15.【答案】【解析】解：設(shè)點，：，聯(lián)立，
解得：，
由題意得，
，
，
，
線段的中點位，
，代入雙曲線，
得，，
故答案為：．
設(shè)，：，聯(lián)立，得到一元二次方程，由題意得，求解進(jìn)而得出，根據(jù)中點坐標(biāo)公式求出點的坐標(biāo)，即可求解．
本題考查了一元二次方程根的判別式，反比例函數(shù)及一次函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特征，中點坐標(biāo)公式等，熟練掌握知識點是解題的關(guān)鍵．
 16.【答案】【解析】解：，，
，，
四邊形為正方形，
，，，
，，，，
∽，∽，
則，，
設(shè)，
則，，
，，
故正確；
，
，
在中，
，
，
在中，
，
，
故錯誤；
延長，在的延長線上取，連接，

則，，
≌，
，，
，
≌，
．
故正確；
在中，
，
，
則，
而，
，
故正確．
綜上所述，正確結(jié)論的序號為．
故答案為：．
由于，，可得，，根據(jù)四邊形為正方形，可得，，，進(jìn)而可證∽，∽，則，，設(shè)，則，，，，即可判斷；分別在和中，利用勾股定理求出，，進(jìn)而可判斷；延長，在的延長線上取，連接，可得≌，進(jìn)而可證≌，可得，即可判斷；在中，由勾股定理可得，進(jìn)而可得，則，而，即可判斷．
本題考查相似三角形的判定與性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)以及正方形的性質(zhì)，熟練掌握相似三角形和全等三角形的判定與性質(zhì)是解答本題的關(guān)鍵．
 17.【答案】解：原式

，
當(dāng)時，
原式
．【解析】根據(jù)分式的加減運(yùn)算法則進(jìn)行化簡，然后將的值代入即可求出答案．
本題考查分式的化簡求值，解題的關(guān)鍵是熟練運(yùn)用分式的加減運(yùn)算以及乘除運(yùn)算，本題屬于基礎(chǔ)題型．
 18.【答案】證明：，
，
，
，
在和中，
，
≌，
，
，即．【解析】根據(jù)平行線的性質(zhì)得到，，利用定理證明≌，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)證明結(jié)論．
本題考查的是三角形全等的判定和性質(zhì)，掌握全等三角形的判定定理是解題的關(guān)鍵．
 19.【答案】解：如圖，為所作；

證明：平分，
，
，
，
，
，
同理可得，
，
而，
四邊形為平行四邊形，
，
四邊形是菱形．【解析】利用基本作圖作的平分線即可；
先證明得到，再證明，則，于是可判斷四邊形為平行四邊形，然后利用可判斷四邊形是菱形．
本題考查了作圖基本作圖：熟練掌握種基本作圖是解決此類問題的關(guān)鍵．也考查了菱形的判定．
 20.【答案】解：連接并延長交于點，根據(jù)題意可得

由題意得：
，，米，米，
設(shè)米，
在中，米，
米，
在中，，
，
經(jīng)檢驗，是原方程的根，
米，
米，
教學(xué)樓的高度為米．【解析】連接并延長交于點，，，米，米，然后設(shè)米，在中，利用銳角三角函數(shù)的定義求出的長，從而求出的長，進(jìn)而在在中，利用銳角三角函數(shù)的定義列出關(guān)于的方程，進(jìn)行計算即可解答．
本題考查了解直角三角形的應(yīng)用，等腰直角三角形，勾股定理的應(yīng)用，根據(jù)題目的已知條件并結(jié)合圖形添加適當(dāng)?shù)妮o助線是解題的關(guān)鍵．
 21.【答案】解：沒選擇的人數(shù)有：人，
所占的百分比是：，
補(bǔ)全統(tǒng)計圖如下：


根據(jù)題意得：
人，
答：估計全校有學(xué)生愿意參加環(huán)保義工社團(tuán)；

酵素制作社團(tuán)、環(huán)保義工社團(tuán)分別用、表示，畫樹狀圖如下：

由樹狀圖知共有種等可能結(jié)果，其中這兩名同學(xué)同時選擇酵素制作社團(tuán)的有一種情況，
則這兩名同學(xué)同時選擇酵素制作社團(tuán)的概率為．【解析】用總?cè)藬?shù)減去其他人數(shù)，求出沒選擇的人數(shù)，進(jìn)而求出百分比，從而補(bǔ)全統(tǒng)計圖；
用該校的總?cè)藬?shù)乘以愿意參加環(huán)保義工社團(tuán)的人數(shù)所占的百分比即可；
用樹狀圖表示所有可能出現(xiàn)的結(jié)果數(shù)，根據(jù)概率的意義求解即可．
此題考查條形統(tǒng)計圖、扇形統(tǒng)計圖的制作方法，從統(tǒng)計圖表中獲取有用的數(shù)據(jù)，理清統(tǒng)計圖表中各個數(shù)據(jù)之間的關(guān)系是正確解答的關(guān)鍵．
 22.【答案】解：設(shè)種型號的空氣凈化器的銷售單價為元，種型號的空氣凈化器的銷售單價為元，
依題意得：，
解得：．
答：種型號的空氣凈化器的銷售單價為元，種型號的空氣凈化器的銷售單價為元．
設(shè)銷售種型號的空氣凈化器臺，則銷售種型號的空氣凈化器臺，
依題意得：，
解得：．
設(shè)銷售總利潤為元，則．
當(dāng)，即時，隨的增大而減小，
此時銷售總利潤的最大值為元；
當(dāng)，即時，為定值；
當(dāng)，即時，隨的增大而增大，
此時銷售總利潤的最大值為元．
答：當(dāng)時，銷售總利潤的最大值為元；當(dāng)時，銷售總利潤為元；當(dāng)時，銷售總利潤的最大值為元．【解析】設(shè)種型號的空氣凈化器的銷售單價為元，種型號的空氣凈化器的銷售單價為元，利用總價單價數(shù)量，結(jié)合近兩周的銷售情況表格中的數(shù)據(jù)，即可得出關(guān)于，的二元一次方程組，解之即可得出結(jié)論；
設(shè)銷售種型號的空氣凈化器臺，則銷售種型號的空氣凈化器臺，根據(jù)每種型號空氣凈化器都至少購買臺且型凈化器的進(jìn)貨量不超過型的倍，即可得出關(guān)于的一元一次不等式組，解之即可得出的取值范圍，設(shè)銷售總利潤為元，利用總利潤每臺的利潤購進(jìn)數(shù)量，即可得出關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式，再利用一次函數(shù)的性質(zhì)，即可解決最值問題．
本題考查了二元一次方程組的應(yīng)用、一元一次不等式組的應(yīng)用以及一次函數(shù)的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是：找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出二元一次方程組；根據(jù)各數(shù)量之間的關(guān)系，找出關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式．
 23.【答案】證明：將繞點旋轉(zhuǎn)得到，
，，，，
，，
∽，
，
，
，
；
解：過作于，于，過作于，過作于，如圖：

，，，
，
，
，
，
將繞點旋轉(zhuǎn)得到，
，，
，
，
，
，即，
，
，，
，
由知∽，
，，即，
，
，
，
，，
∽，
，
由，
，
．【解析】根據(jù)將繞點旋轉(zhuǎn)得到，可得∽，即可得，又，即得；
過作于，于，過作于，過作于，在中，求出，，，根據(jù)將繞點旋轉(zhuǎn)得到，即得，，，根據(jù)可得，即可得，而，，得，，再由∽，得，可得，故．
本題考查直角三角形中的旋轉(zhuǎn)變換，涉及相似三角形判定與性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是掌握旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，作出適當(dāng)?shù)妮o助線．
 24.【答案】證明：設(shè)與交于點，連接，

是的直徑，
，
，，
，
，
，
，
，
，
，
≌，
；
連接，

，
，
在中，設(shè)，，
，
，，
，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
的長為．【解析】設(shè)與交于點，連接，根據(jù)直徑所對的圓周角是直角可得，從而可得，進(jìn)而利用同角的余角相等可得，然后根據(jù)已知，可得，從而利用證明≌，最后利用全等三角形的性質(zhì)即可解答；
連接，利用的結(jié)論可得，從而可設(shè)，，進(jìn)而利用勾股定理可得，然后利用等腰三角形的三線合一性質(zhì)可得，從而利用等腰三角形的性質(zhì)可得，進(jìn)而可得，求出的值，即可求出，的長，最后根據(jù)，進(jìn)而計算即可解答．
本題考查了解直角三角形，全等三角形的判定與性質(zhì)，圓周角定理，熟練掌握解直角三角形，以及全等三角形的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
 25.【答案】解：將點代入拋物線得：，解得，
拋物線的解析式為，
拋物線對稱軸為直線．
，解得，
二次函數(shù)的解析式為；

當(dāng)點在直線上方時，過點作軸交拋物線于，

點，拋物線對稱軸為直線．
點坐標(biāo)為，
由拋物線的對稱性得，，
過點作軸于，
，
四邊形是矩形，
，，
，
≌，
，
二次函數(shù)的解析式為，
令，則，解得，，
，，
，
，
，
，
，
，
點滿足條件；

當(dāng)點在直線下方時，設(shè)與交于點，

，
，
，
，
，
，，
≌，
，
，
，
直線的表達(dá)式為，
，
解得，與重合，舍去．
點的坐標(biāo)為，
綜上所述：點的坐標(biāo)為或；

分別過點，點向軸作垂線，垂足分別為點和點，設(shè)點在軸上方，則點在軸下方，

，
，，
，
，
，
設(shè)直線的表達(dá)式為，
設(shè)點，，
，，，，
，
拋物線表達(dá)式為，
，，
．
，
點，在拋物線上，
，
，
，
，
整理得：，
直線的表達(dá)式為，
，
直線過定點，
記該定點為點則有，
當(dāng)時，點倒直線有最大值為．【解析】根據(jù)拋物線與軸交于點可得，根據(jù)對稱軸為直線可得，即可求解；
分點在直線上方，可以確定坐標(biāo)，代入驗算即可；點在直線下方，可以確定的解析式，最后聯(lián)立拋物線解析式解方程組，即可得出結(jié)論；
分別過點，點向軸作垂線，垂足分別為點和點，設(shè)點在軸上方，則點在軸下方，可得，可得，于是，設(shè)出的表達(dá)式，、坐標(biāo)，并且根據(jù)二次函數(shù)即可求得直線恒過點，即可求得點倒直線距離的最大值．
本題是二次函數(shù)的綜合題，主要考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，待定系數(shù)法，三角形全等、解直角三角形等知識，解決本題的關(guān)鍵是理解題意，作出輔助線．