



2021-2022學(xué)年福建省福州市立志中學(xué)九年級(jí)(上)月考數(shù)學(xué)試卷(12月份)
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這是一份2021-2022學(xué)年福建省福州市立志中學(xué)九年級(jí)(上)月考數(shù)學(xué)試卷(12月份),共27頁(yè)。試卷主要包含了選擇題,解答題等內(nèi)容,歡迎下載使用。
?2021-2022學(xué)年福建省福州市鼓樓區(qū)立志中學(xué)九年級(jí)(上)月考數(shù)學(xué)試卷(12月份)(附答案詳細(xì)解析)
一、選擇題(共10小題,每小題4分,共40分)
1.(4分)以下事件中,必然發(fā)生的是( ?。?br />
A.打開電視機(jī),正在播放體育節(jié)目
B.正五邊形的外角和為180°
C.通常情況下,水加熱到100℃沸騰
D.?dāng)S一次骰子,向上一面是5點(diǎn)
2.(4分)如圖,反比例函數(shù)y=圖象過(guò)點(diǎn)A,則k的值為( )
A.k=1 B.k=2 C.k=﹣1 D.k=﹣2
3.(4分)如圖,在△ABC中,D、E分別是AB、AC的中點(diǎn),下列說(shuō)法中不正確的是( ?。?br />
A.DE=BC B.=
C.△ADE∽△ABC D.S△ADE:S△ABC=1:2
4.(4分)學(xué)校門口的欄桿如圖所示,欄桿從水平位置BD繞O點(diǎn)旋轉(zhuǎn)到AC位置,已知AB⊥BD,CD⊥BD,垂足分別為B,D,AO=4m,AB=1.6m,CO=1m,則欄桿C端應(yīng)下降的垂直距離CD為( )
A.0.2m B.0.3m C.0.4m D.0.5m
5.(4分)將拋物線y=2x2向右平移2個(gè)單位,再向上平移3個(gè)單位得到的拋物線是( ?。?br />
A.y=2(x﹣2)2+3 B.y=2(x﹣2)2﹣3
C.y=2(x+2)2﹣3 D.y=2(x+2)2+3
6.(4分)五張卡片分別寫著﹣3,﹣2,0,1,2數(shù)字,任意抽取一張是非負(fù)數(shù)的概率為( ?。?br />
A. B. C. D.
7.(4分)如圖所示,△ABC的內(nèi)切圓⊙O與AB、BC、AC分別相切于點(diǎn)D、E、F,若∠DEF=52°,則∠A的度數(shù)是( ?。?br />
A.52° B.76° C.26° D.128°
8.(4分)某廠一月份的總產(chǎn)量為500噸,三月份的總產(chǎn)量達(dá)到為720噸.若平均每月增長(zhǎng)率是x,則可以列方程( )
A.500(1+2x)=720 B.500(1+x)2=720
C.500(1+x2)=720 D.720(1+2x)2=500
9.(4分)已知:點(diǎn)A(x1,y1)、B(x2,y2)、C(x3,y3)是函數(shù)y=﹣圖象上的三點(diǎn),且x1<0<x2<x3則y1、y2、y3的大小關(guān)系是( )
A.y1<y2<y3 B.y2<y3<y1 C.y3<y2<y1 D.無(wú)法確定
10.(4分)已知A(3,n)、B(m,n+1)是拋物線y=ax2+4ax+c(a<0)上兩點(diǎn),則m的值不可能是( ?。?br />
A.2 B.0 C.﹣6 D.﹣9
二、選擇題(共6小題,每小題4分,共24分)
11.(4分)在平面直角坐標(biāo)系中,點(diǎn)(3,﹣2)關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)是: ?。?br />
12.(4分)已知x=1是一元二次方程x2﹣2x﹣a=0的一個(gè)根,則a= ?。?br />
13.(4分)已知圓錐的母線長(zhǎng)5,底面半徑為3,則圓錐的側(cè)面積為 ?。?br />
14.(4分)如圖,在正五邊形ABCDE中,連結(jié)AC,BD交于點(diǎn)F,則∠AFB的度數(shù)為 ?。?br />
15.(4分)如圖,在△ABC中,∠ACB=90°,AC=BC,D是AB邊上一點(diǎn),連接CD,將△ACD繞點(diǎn)C按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)90°得到△BCE,若AB=3,AD=1,則DE的長(zhǎng)是 .
16.(4分)如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,矩形ABCD的頂點(diǎn)A,C分別在x軸,y軸的正半軸上,點(diǎn)D(﹣2,3),AD=5,若反比例函數(shù)y=(k>0,x>0)的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)B,則k的值為 ?。?br />
三、解答題(共86分)
17.(6分)解方程(x﹣1)(x+2)=2(x+2).
18.(8分)一個(gè)不透明的盒子中有2枚黑棋,x枚白棋,這些棋子除顏色外無(wú)其他差別,現(xiàn)從盒中隨機(jī)摸出一枚棋子(不放回),再隨機(jī)摸出一枚棋子.
(1)若“摸出兩枚棋子的顏色都是白色”是不可能事件,請(qǐng)寫出符合條件的一個(gè)x值 ?。?br />
(2)當(dāng)x=2時(shí),求“摸出兩枚棋子的顏色相同”的概率.
19.(8分)如圖,一次函數(shù)y1=x+b的圖象與反比例函數(shù)y2=(m≠0)的圖象交于點(diǎn)A(1,2),與y軸交于點(diǎn)M.
(1)求一次函數(shù)和反比例函數(shù)的解析式;
(2)在y軸上取一點(diǎn)N,當(dāng)△AMN的面積為3時(shí),求點(diǎn)N的坐標(biāo).
20.(8分)已知關(guān)于x的一元二次方程2x2+(2k+1)x+k=0.
(1)求證:方程總有兩個(gè)實(shí)數(shù)根;
(2)若該方程有一個(gè)根是正數(shù),求k的取值范圍.
21.(8分)如圖,已知矩形ABCD.
(1)在線段AD上作點(diǎn)E,使得∠BEC=90°(要求:只需作出滿足條件的一個(gè)點(diǎn)即可,尺規(guī)作圖,不寫作法,保留作圖痕跡);
(2)在(1)的條件下,求證:△ABE∽△DEC.
22.(10分)如圖,AB是⊙O的直徑,AD,BD是弦,點(diǎn)P在BA的延長(zhǎng)線上,且∠PDA=∠PBD,延長(zhǎng)PD交圓的切線BE于點(diǎn)E.
(1)求證:PD是⊙O的切線;
(2)若∠BED=60°,PD=,求PA的長(zhǎng).
23.(10分)如圖,在足夠大的空地上有一段長(zhǎng)為a米的舊墻MN,某人利用舊墻和木欄圍成一個(gè)矩形菜園ABCD,其中AD≤MN,已知矩形菜園的一邊靠墻,另三邊一共用了100米木欄.
(1)設(shè)BC長(zhǎng)為x米,矩形ABCD的面積為y平方米,求y與x的函數(shù)關(guān)系式;
(2)若a=40,求矩形菜園ABCD面積的最大值.
24.(14分)已知兩條線段AC和BC,連接AB,分別以AB,BC為底邊向上畫等腰△ABD和等腰△BCE,∠ADB=∠BEC=α.
(1)如圖1,當(dāng)α=60°時(shí),求證:△DBE≌△ABC;
(2)如圖2,當(dāng)α=90°時(shí),且BC=6,AC=2.
①求DE的長(zhǎng);
②如圖3,將線段CA繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn),點(diǎn)D也隨之運(yùn)動(dòng),請(qǐng)直接寫出C,D兩點(diǎn)之間距離的取值范圍.
25.(14分)如圖,拋物線y=﹣x2+bx+c過(guò)點(diǎn)A(3,2),且與直線y=﹣x+交于B、C兩點(diǎn),點(diǎn)B的坐標(biāo)為(4,m).
(1)求拋物線的解析式;
(2)點(diǎn)D為拋物線上位于直線BC上方的一點(diǎn),過(guò)點(diǎn)D作DE⊥x軸交直線BC于點(diǎn)E,點(diǎn)P為對(duì)稱軸上一動(dòng)點(diǎn),當(dāng)線段DE的長(zhǎng)度最大時(shí),求PD+PA的最小值;
(3)設(shè)點(diǎn)M為拋物線的頂點(diǎn),在y軸上是否存在點(diǎn)Q,使∠AQM=45°?若存在,求點(diǎn)Q的坐標(biāo);若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.
2021-2022學(xué)年福建省福州市鼓樓區(qū)立志中學(xué)九年級(jí)(上)月考數(shù)學(xué)試卷(12月份)
參考答案與試題解析
一、選擇題(共10小題,每小題4分,共40分)
1.(4分)以下事件中,必然發(fā)生的是( ?。?br />
A.打開電視機(jī),正在播放體育節(jié)目
B.正五邊形的外角和為180°
C.通常情況下,水加熱到100℃沸騰
D.?dāng)S一次骰子,向上一面是5點(diǎn)
【分析】根據(jù)必然事件、不可能事件、隨機(jī)事件的概念可區(qū)別各類事件.
【解答】解:A、打開電視機(jī),可能播放體育節(jié)目、也可能播放戲曲等其它節(jié)目,為隨機(jī)事件,故A選項(xiàng)錯(cuò)誤;
B、任何正多邊形的外角和是360°,故B選項(xiàng)錯(cuò)誤;
C、通常情況下,水加熱到100℃沸騰,符合物理學(xué)原理,故C選項(xiàng)正確;
D、擲一次骰子,向上一面可能是1,2,3,4,5,6,中的任何一個(gè),故D選項(xiàng)錯(cuò)誤.
故選:C.
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了隨機(jī)事件,解決本題需要正確理解必然事件、不可能事件、隨機(jī)事件的概念.必然事件指在一定條件下一定發(fā)生的事件.不可能事件是指在一定條件下,一定不發(fā)生的事件.不確定事件即隨機(jī)事件是指在一定條件下,可能發(fā)生也可能不發(fā)生的事件.
2.(4分)如圖,反比例函數(shù)y=圖象過(guò)點(diǎn)A,則k的值為( )
A.k=1 B.k=2 C.k=﹣1 D.k=﹣2
【分析】把點(diǎn)A(﹣2,1)代入反比例函數(shù)y=,即可求出k的值.
【解答】解:∵反比例函數(shù)y=圖象過(guò)點(diǎn)A(﹣2,1),
∴1=,即k=﹣2,
故選:D.
【點(diǎn)評(píng)】此題考查的是用待定系數(shù)法求反比例函數(shù)的解析式,一次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征,比較簡(jiǎn)單.
3.(4分)如圖,在△ABC中,D、E分別是AB、AC的中點(diǎn),下列說(shuō)法中不正確的是( ?。?br />
A.DE=BC B.=
C.△ADE∽△ABC D.S△ADE:S△ABC=1:2
【分析】根據(jù)中位線的性質(zhì)定理得到DE∥BC,DE=BC,再根據(jù)平行線分線段成比例定理和相似三角形的性質(zhì)即可判定.
【解答】解:∵D、E分別是AB、AC的中點(diǎn),
∴DE∥BC,DE=BC,
∴=,△ADE∽△ABC,
∴,
∴A,B,C正確,D錯(cuò)誤;
故選:D.
【點(diǎn)評(píng)】該題主要考查了平行線分線段成比例定理和相似三角形的性質(zhì)即可判定;解題的關(guān)鍵是正確找出對(duì)應(yīng)線段,準(zhǔn)確列出比例式求解、計(jì)算、判斷或證明.
4.(4分)學(xué)校門口的欄桿如圖所示,欄桿從水平位置BD繞O點(diǎn)旋轉(zhuǎn)到AC位置,已知AB⊥BD,CD⊥BD,垂足分別為B,D,AO=4m,AB=1.6m,CO=1m,則欄桿C端應(yīng)下降的垂直距離CD為( ?。?br />
A.0.2m B.0.3m C.0.4m D.0.5m
【分析】由∠ABO=∠CDO=90°、∠AOB=∠COD知△ABO∽△CDO,據(jù)此得=,將已知數(shù)據(jù)代入即可得.
【解答】解:∵AB⊥BD,CD⊥BD,
∴∠ABO=∠CDO=90°,
又∵∠AOB=∠COD,
∴△ABO∽△CDO,
則=,
∵AO=4m,AB=1.6m,CO=1m,
∴=,
解得:CD=0.4m,
故選:C.
【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查相似三角形的應(yīng)用,解題的關(guān)鍵是熟練掌握相似三角形的判定與性質(zhì).
5.(4分)將拋物線y=2x2向右平移2個(gè)單位,再向上平移3個(gè)單位得到的拋物線是( ?。?br />
A.y=2(x﹣2)2+3 B.y=2(x﹣2)2﹣3
C.y=2(x+2)2﹣3 D.y=2(x+2)2+3
【分析】根據(jù)函數(shù)圖象平移的法則進(jìn)行解答即可.
【解答】解:根據(jù)“左加右減,上加下減”的法則可知,將拋物線y=2x2先向右平移2個(gè)單位,再向下平移3個(gè)單位,那么所得到拋物線的函數(shù)關(guān)系式是y=2(x﹣2)2+3.
故選:A.
【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是二次函數(shù)的圖象與幾何變換,熟知二次函數(shù)圖象平移的法則是解答此題的關(guān)鍵.
6.(4分)五張卡片分別寫著﹣3,﹣2,0,1,2數(shù)字,任意抽取一張是非負(fù)數(shù)的概率為( )
A. B. C. D.
【分析】根據(jù)概率公式求解即可.
【解答】解:任意抽取一張有5種等可能結(jié)果,其中是非負(fù)數(shù)的有2種結(jié)果,
所以任意抽取一張是非負(fù)數(shù)的概率為,
故選:C.
【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查概率公式,解題的關(guān)鍵是掌握隨機(jī)事件A的概率P(A)=事件A可能出現(xiàn)的結(jié)果數(shù)÷所有可能出現(xiàn)的結(jié)果數(shù).
7.(4分)如圖所示,△ABC的內(nèi)切圓⊙O與AB、BC、AC分別相切于點(diǎn)D、E、F,若∠DEF=52°,則∠A的度數(shù)是( ?。?br />
A.52° B.76° C.26° D.128°
【分析】連接OD、OF;由圓周角定理可求得∠DOF的度數(shù);在四邊形ADOF中,∠ODA=∠OFA=90°,因此∠A和∠DOF互補(bǔ),由此可求出∠A的度數(shù).
【解答】解:連接OD,OF,則∠ADO=∠AFO=90°;
由圓周角定理知,∠DOF=2∠E=104°;
∴∠A=180°﹣∠DOF=76°.故選:B.
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了切線的性質(zhì)、圓周角定理、四邊形的內(nèi)角和等知識(shí).
8.(4分)某廠一月份的總產(chǎn)量為500噸,三月份的總產(chǎn)量達(dá)到為720噸.若平均每月增長(zhǎng)率是x,則可以列方程( ?。?br />
A.500(1+2x)=720 B.500(1+x)2=720
C.500(1+x2)=720 D.720(1+2x)2=500
【分析】主要考查增長(zhǎng)率問題,一般用增長(zhǎng)后的量=增長(zhǎng)前的量×(1+增長(zhǎng)率),如果設(shè)平均每月增率是x,那么根據(jù)三月份的產(chǎn)量可以列出方程.
【解答】解:設(shè)平均每月增率是x,
二月份的產(chǎn)量為:500×(1+x);
三月份的產(chǎn)量為:500(1+x)2=720;
故選:B.
【點(diǎn)評(píng)】考查了由實(shí)際問題抽象出一元二次方程的知識(shí),找到關(guān)鍵描述語(yǔ),找到等量關(guān)系是解決問題的關(guān)鍵;本題考查求平均變化率的方法.若設(shè)變化前的量為a,變化后的量為b,平均變化率為x,則經(jīng)過(guò)兩次變化后的數(shù)量關(guān)系為a(1±x)2=b(當(dāng)增長(zhǎng)時(shí)中間的“±”號(hào)選“+”,當(dāng)降低時(shí)中間的“±”號(hào)選“﹣”).
9.(4分)已知:點(diǎn)A(x1,y1)、B(x2,y2)、C(x3,y3)是函數(shù)y=﹣圖象上的三點(diǎn),且x1<0<x2<x3則y1、y2、y3的大小關(guān)系是( ?。?br />
A.y1<y2<y3 B.y2<y3<y1 C.y3<y2<y1 D.無(wú)法確定
【分析】對(duì)y=﹣,由x1<0<x2<x3知,A點(diǎn)位于第二象限,y1最大,第四象限,y隨x增大而增大,y2<y3,故y2<y3<y1.
【解答】解:∵y=﹣中k=﹣3<0,
∴此函數(shù)的圖象在二、四象限,
∵點(diǎn)A(x1,y1)、B(x2,y2)、C(x3,y3)是函數(shù)y=﹣圖象上的三點(diǎn),且x1<0<x2<x3,
∴A點(diǎn)位于第二象限,y1>0,B、C兩點(diǎn)位于第四象限,
∵0<x2<x3,
∴y2<y3,
∴y2<y3<y1.
故選:B.
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征,要學(xué)會(huì)比較圖象上點(diǎn)的坐標(biāo).
10.(4分)已知A(3,n)、B(m,n+1)是拋物線y=ax2+4ax+c(a<0)上兩點(diǎn),則m的值不可能是( ?。?br />
A.2 B.0 C.﹣6 D.﹣9
【分析】求得拋物線的對(duì)稱軸,開口向下,在對(duì)稱軸左邊函數(shù)y隨x的增大而減小,在對(duì)稱軸的右邊函數(shù)y隨x的增大而增大,即可判斷.
【解答】解:∵y=ax2+4ax+c(a<0)的對(duì)稱軸為x=﹣=﹣2,開口向下,
∴在對(duì)稱軸的右邊函數(shù)y隨x的增大而減小,
∵3>﹣2,
∴﹣2<m<3,
∵A(3,n)關(guān)于對(duì)稱軸的對(duì)稱點(diǎn)為(﹣7,n),
在對(duì)稱軸的左邊函數(shù)y隨x的增大而增大,
∴﹣7<m<﹣2,
故m不可能為﹣9,
故選:D.
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征,判斷函數(shù)的增減性;利用拋物線上點(diǎn)的橫坐標(biāo)大小比較縱坐標(biāo)的大?。?br />
二、選擇題(共6小題,每小題4分,共24分)
11.(4分)在平面直角坐標(biāo)系中,點(diǎn)(3,﹣2)關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)是: (﹣3,2)?。?br />
【分析】根據(jù)兩個(gè)點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱時(shí),它們的坐標(biāo)符號(hào)相反可直接得到答案.
【解答】解:點(diǎn)(3,﹣2)關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)是(﹣3,2),
故答案為:(﹣3,2).
【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo),關(guān)鍵是掌握點(diǎn)的坐標(biāo)的變化規(guī)律.
12.(4分)已知x=1是一元二次方程x2﹣2x﹣a=0的一個(gè)根,則a= ﹣1 .
【分析】根據(jù)一元二次方程的解的定義把x=1代入方程得到關(guān)于a的一次方程,然后解一次方程即可.
【解答】解:∵x=1是一元二次方程x2﹣2x﹣a=0的一個(gè)根,
∴1﹣2﹣a=0,
解得a=﹣1.
故答案為:﹣1.
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了一元二次方程的解:能使一元二次方程左右兩邊相等的未知數(shù)的值是一元二次方程的解.
13.(4分)已知圓錐的母線長(zhǎng)5,底面半徑為3,則圓錐的側(cè)面積為 15π .
【分析】圓錐的側(cè)面積=底面周長(zhǎng)×母線長(zhǎng)÷2,把相應(yīng)數(shù)值代入即可求解.
【解答】解:圓錐的側(cè)面積=2π×3×5÷2=15π.
【點(diǎn)評(píng)】本題考查圓錐的側(cè)面積的求法.
14.(4分)如圖,在正五邊形ABCDE中,連結(jié)AC,BD交于點(diǎn)F,則∠AFB的度數(shù)為 72°?。?br />
【分析】根據(jù)五邊形的內(nèi)角和公式求出∠ABC,根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)求出∠BCA和∠CBD,根據(jù)三角形的一個(gè)外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和進(jìn)行計(jì)算即可.
【解答】解:∵五邊形ABCDE是正五邊形,
∴∠BCD=∠ABC==108°,
∵BA=BC,
∴∠BAC=∠BCA=36°,
同理∠CBD=36°,
∴∠AFB=∠BCA+∠CBD=72°,
故答案為:72°.
【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是正多邊形的內(nèi)角,熟練掌握正多邊形的內(nèi)角的計(jì)算公式和等腰三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.
15.(4分)如圖,在△ABC中,∠ACB=90°,AC=BC,D是AB邊上一點(diǎn),連接CD,將△ACD繞點(diǎn)C按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)90°得到△BCE,若AB=3,AD=1,則DE的長(zhǎng)是 .
【分析】根據(jù)旋轉(zhuǎn)前后的圖形全等得出BE的長(zhǎng)度,再由題意得出DB的長(zhǎng)度,然后證明∠DBE=90°,用勾股定理即可求解.
【解答】解:∵∠ACB=90°,AC=BC,
∴∠A=∠ABC=45°,
∵AB=3,AD=1,
∴BD=2,
∵△ACD繞點(diǎn)C按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)90°得到△BCE,
∴△ACD≌△BCE,
∴AD=BE=1,∠CBE=∠CAD=45°,
∴∠DBE=90°,
∴DE=.
【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)和勾股定理,關(guān)鍵是要知道旋轉(zhuǎn)前后的圖形全等,然后根據(jù)對(duì)應(yīng)邊相等得出BE的長(zhǎng)度和∠DBE=90°,接著使用勾股定理求出DE.
16.(4分)如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,矩形ABCD的頂點(diǎn)A,C分別在x軸,y軸的正半軸上,點(diǎn)D(﹣2,3),AD=5,若反比例函數(shù)y=(k>0,x>0)的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)B,則k的值為 ?。?br />
【分析】過(guò)D作DE⊥x軸于E,過(guò)B作BF⊥x軸,BH⊥y軸,得到∠BHC=90°,根據(jù)勾股定理得到AE=4,根據(jù)矩形的性質(zhì)得到AD=BC,根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到BH=AE=4,求得AF=2,根據(jù)相似三角形的性質(zhì)即可得到結(jié)論.
【解答】解:過(guò)D作DE⊥x軸于E,過(guò)B作BF⊥x軸,BH⊥y軸,
∴∠BHC=90°,
∵點(diǎn)D(﹣2,3),AD=5,
∴DE=3,
∴AE==4,
∵四邊形ABCD是矩形,
∴AD=BC,
∴∠BCD=∠ADC=90°,
∴∠DCP+∠BCH=∠BCH+∠CBH=90°,
∴∠CBH=∠DCH,
∵∠DCP+∠CPD=∠APO+∠DAE=90°,
∠CPD=∠APO,
∴∠DCP=∠DAE,
∴∠CBH=∠DAE,
∵∠AED=∠BHC=90°,
∴△ADE≌△BCH(AAS),
∴BH=AE=4,
∵OE=2,
∴OA=2,
∴AF=2,
∵∠APO+∠PAO=∠BAF+∠PAO=90°,
∴∠APO=∠BAF,
∴△APO∽△BAF,
∴=,
∴=,
∴BF=,
∴B(4,),
∴k=,
故答案為:.
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征,全等三角形的判定和性質(zhì),相似三角形的判定和性質(zhì),正確的作出輔助線是解題的關(guān)鍵.
三、解答題(共86分)
17.(6分)解方程(x﹣1)(x+2)=2(x+2).
【分析】把右邊的項(xiàng)移到左邊,用提公因式法因式分解可以求出方程的根.
【解答】解:(x﹣1)(x+2)﹣2(x+2)=0,
(x+2)(x﹣1﹣2)=0,
(x+2)(x﹣3)=0,
∴x+2=0,x﹣3=0,
解得x1=﹣2,x2=3.
【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是用因式分解法解一元二次方程,根據(jù)方程的結(jié)構(gòu)特點(diǎn),把右邊的項(xiàng)移到左邊,用提公因式法因式分解,可以求出方程的兩個(gè)根.
18.(8分)一個(gè)不透明的盒子中有2枚黑棋,x枚白棋,這些棋子除顏色外無(wú)其他差別,現(xiàn)從盒中隨機(jī)摸出一枚棋子(不放回),再隨機(jī)摸出一枚棋子.
(1)若“摸出兩枚棋子的顏色都是白色”是不可能事件,請(qǐng)寫出符合條件的一個(gè)x值 1或0?。?br />
(2)當(dāng)x=2時(shí),求“摸出兩枚棋子的顏色相同”的概率.
【分析】(1)“摸出兩枚棋子的顏色都是白色”是不可能事件知白球的數(shù)量不足2個(gè),據(jù)此可得答案;
(2)畫樹狀圖得出所有等可能結(jié)果,從中找到符合條件的結(jié)果數(shù),再根據(jù)概率公式求解即可.
【解答】解:(1)若“摸出兩枚棋子的顏色都是白色”是不可能事件,請(qǐng)寫出符合條件的一個(gè)x值為1或0,
故答案為:1或0;
(2)畫樹狀圖如下:
由樹狀圖知,共有12種等可能結(jié)果,其中“摸出兩枚棋子的顏色相同”的有4種結(jié)果,
所以“摸出兩枚棋子的顏色相同”的概率為=.
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了列表法與樹狀圖法:利用列表法或樹狀圖法展示所有等可能的結(jié)果n,再?gòu)闹羞x出符合事件A或B的結(jié)果數(shù)目m,然后利用概率公式計(jì)算事件A或事件B的概率.
19.(8分)如圖,一次函數(shù)y1=x+b的圖象與反比例函數(shù)y2=(m≠0)的圖象交于點(diǎn)A(1,2),與y軸交于點(diǎn)M.
(1)求一次函數(shù)和反比例函數(shù)的解析式;
(2)在y軸上取一點(diǎn)N,當(dāng)△AMN的面積為3時(shí),求點(diǎn)N的坐標(biāo).
【分析】(1)把A的坐標(biāo)代入y2=,求出反比例函數(shù)的解析式,把A的坐標(biāo)代入y=x+b求出一次函數(shù)的解析式;
(2)由S△AMN=MN?|xA|=3且xA=1,即可求解.
【解答】解:(1)∵反比例函數(shù)y2=(m≠0)的圖象過(guò)點(diǎn)A(1,2),
∴m=1×2=2,
∴反比例函數(shù)的解析式為:y2=.
∵一次函數(shù)y1=x+b(k≠0)的圖象過(guò)點(diǎn)A(1,2),
∴2=1+b,解得b=1,
∴一次函數(shù)的解析式為:y1=x+1;
(2)當(dāng)x=0時(shí),代入y=x+1中得,y=1,即M(0,1),
∵S△AMN=?MN?|xA|=3且xA=1,
∴MN=6,
∴N(0,7)或(0,﹣5).
【點(diǎn)評(píng)】本題是反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點(diǎn)問題.考查了待定系數(shù)法求函數(shù)的解析式,一次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征,三角形的面積,熟練掌握待定系數(shù)法是解題的關(guān)鍵.
20.(8分)已知關(guān)于x的一元二次方程2x2+(2k+1)x+k=0.
(1)求證:方程總有兩個(gè)實(shí)數(shù)根;
(2)若該方程有一個(gè)根是正數(shù),求k的取值范圍.
【分析】(1)根據(jù)根的判別式即可求出答案.
(2)根據(jù)因式分解法求出方程的兩根,然后列出不等式即可求出答案.
【解答】解:(1)由題意,得Δ=(2k+1)2﹣8k
=(2k﹣1)2
∵(2k﹣1)2≥0,
∴方程總有兩個(gè)實(shí)數(shù)根.
(2)由求根公式,得,x2=﹣k.
∵方程有一個(gè)根是正數(shù),
∴﹣k>0.
∴k<0
【點(diǎn)評(píng)】本題考查一元二次方程,解題的關(guān)鍵是熟練運(yùn)用一元二次方程的解法,本題屬于基礎(chǔ)題型.
21.(8分)如圖,已知矩形ABCD.
(1)在線段AD上作點(diǎn)E,使得∠BEC=90°(要求:只需作出滿足條件的一個(gè)點(diǎn)即可,尺規(guī)作圖,不寫作法,保留作圖痕跡);
(2)在(1)的條件下,求證:△ABE∽△DEC.
【分析】(1)以BC為直徑作圓,交AD于點(diǎn)E,即可求解;
(2)由余角的性質(zhì)可證∠ABE=∠DEC,可得結(jié)論.
【解答】(1)解:以BC為直徑作圓,交AD于點(diǎn)E,則點(diǎn)E為所求點(diǎn).
(2)證明:∵四邊形ABCD是矩形,
∴∠A+∠D=90°,
∴∠AEB+∠ABE=90°,
∵∠BEC=90°,
∴∠AEB+∠DEC=90°,
∴∠ABE=∠DEC,
∴△ABE∽△DEC.
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了相似三角形的判定,矩形的性質(zhì),掌握相似三角形的判定方法是解題的關(guān)鍵.
22.(10分)如圖,AB是⊙O的直徑,AD,BD是弦,點(diǎn)P在BA的延長(zhǎng)線上,且∠PDA=∠PBD,延長(zhǎng)PD交圓的切線BE于點(diǎn)E.
(1)求證:PD是⊙O的切線;
(2)若∠BED=60°,PD=,求PA的長(zhǎng).
【分析】(1)連接OD,根據(jù)直徑所對(duì)圓周角是直角推得∠PDO=90°,根據(jù)切線的判定定理即可證明;
(2)易證∠P=30°,根據(jù)30度角所對(duì)直角邊等于斜邊的一半,再根據(jù)勾股定理即可求得半徑的長(zhǎng),進(jìn)而利用線段的和差即可求解.
【解答】(1)證明:連接OD
∵AB是⊙O的直徑
∴∠ADB=90°
∴∠ADO+∠BDO=90°
∵DO=BO
∴∠BDO=∠PBD
∵∠PDA=∠PBD
∴∠BDO=∠PDA
∴∠ADO+∠PDA=90°
即PD⊥OD
∴直線PD為⊙O的切線;
(2)解:∵BE是⊙O的切線
∴∠EBA=90°
∵∠BED=60°
∴∠P=30°
∵PD為⊙O的切線
∴∠PDO=90°
設(shè)⊙O的半徑為R
在Rt△PDO中,∠P=30°,則PO=2OD=2R
∵PO2﹣OD2=PD2
∴
解得R=1
∴PO=2,AO=1
∴PA=PO﹣AO=2﹣1=1.
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了切線的判定與性質(zhì),解決本題的關(guān)鍵是作輔助線,
常見的輔助線:①判定切線時(shí)“連圓心和直線與圓的公共點(diǎn)”或“過(guò)圓心作這條直線的垂線”;
②有切線時(shí),常?!坝龅角悬c(diǎn)連圓心得半徑”.
23.(10分)如圖,在足夠大的空地上有一段長(zhǎng)為a米的舊墻MN,某人利用舊墻和木欄圍成一個(gè)矩形菜園ABCD,其中AD≤MN,已知矩形菜園的一邊靠墻,另三邊一共用了100米木欄.
(1)設(shè)BC長(zhǎng)為x米,矩形ABCD的面積為y平方米,求y與x的函數(shù)關(guān)系式;
(2)若a=40,求矩形菜園ABCD面積的最大值.
【分析】(1)由矩形的面積公式寫出函數(shù)解析式即可;
(2)利用第(1)問的函數(shù)解析式,由二次函數(shù)的性質(zhì)即可解決問題.
【解答】解:(1)由矩形的面積公式得:y=AB?BC=(100﹣x)x=﹣x2+50x,
∴y與x的函數(shù)關(guān)系式為y=﹣x2+50x;
(2)由(1)得;y=﹣x2+50x=﹣(x﹣50)2+1250,
∵﹣<0,拋物線開口向下,對(duì)稱軸為直線x=50,
∴當(dāng)x<50時(shí),y隨x的增大而增大,
∵AD≤MN,
∴x≤a=40,
∴當(dāng)x=40時(shí),y有最大值,最大值為1200,
∴若a=40矩形菜園ABCD面積的最大值為1200平方米.
【點(diǎn)評(píng)】本題考查二次函數(shù)的應(yīng)用,關(guān)鍵是根據(jù)數(shù)量關(guān)系寫出函數(shù)解析式.
24.(14分)已知兩條線段AC和BC,連接AB,分別以AB,BC為底邊向上畫等腰△ABD和等腰△BCE,∠ADB=∠BEC=α.
(1)如圖1,當(dāng)α=60°時(shí),求證:△DBE≌△ABC;
(2)如圖2,當(dāng)α=90°時(shí),且BC=6,AC=2.
①求DE的長(zhǎng);
②如圖3,將線段CA繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn),點(diǎn)D也隨之運(yùn)動(dòng),請(qǐng)直接寫出C,D兩點(diǎn)之間距離的取值范圍.
【分析】(1)只要證明△DBA,△EBC都是等邊三角形即可解決問題;
(2)①只要證明△DBE∽△ABC,推出=,即可解決問題;
②在△DEC中,根據(jù)三邊關(guān)系即可解決問題.
【解答】(1)證明:如圖1,
∵DB=DA,EB=EC,∠BDA=∠BEC=60°,
∴△ABD,△EBC都是等邊三角形,
∴BD=BA,BE=BC,∠DBA=∠EBC=60°,
∴∠DBE=∠ABC,
∴△DBE≌△ABC(SAS);
(2)解:①如圖,
∵△ABD,△BEC都是等腰直角三角形,
∴=,∠DBA=∠EBC=45°,
∴∠DBE=∠ABC,
∴△DBE∽△ABC,
∴=,
∵AC=2,
∴DE=.
②如圖3中,連接CD.
由①可知DE=,
在Rt△BCE中,EC=BC=3,
∵EC﹣DE≤DC≤EC+DE,
∴2≤DC≤4.
【點(diǎn)評(píng)】本題是幾何變換綜合題,等腰直角三角形的性質(zhì),全等三角形的判定和性質(zhì),相似三角形的判定和性質(zhì),三角形的三邊關(guān)系等知識(shí),解題的關(guān)鍵是正確尋找全等三角形或相似三角形解決問題,屬于中考?jí)狠S題.
25.(14分)如圖,拋物線y=﹣x2+bx+c過(guò)點(diǎn)A(3,2),且與直線y=﹣x+交于B、C兩點(diǎn),點(diǎn)B的坐標(biāo)為(4,m).
(1)求拋物線的解析式;
(2)點(diǎn)D為拋物線上位于直線BC上方的一點(diǎn),過(guò)點(diǎn)D作DE⊥x軸交直線BC于點(diǎn)E,點(diǎn)P為對(duì)稱軸上一動(dòng)點(diǎn),當(dāng)線段DE的長(zhǎng)度最大時(shí),求PD+PA的最小值;
(3)設(shè)點(diǎn)M為拋物線的頂點(diǎn),在y軸上是否存在點(diǎn)Q,使∠AQM=45°?若存在,求點(diǎn)Q的坐標(biāo);若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.
【分析】(1)將點(diǎn)B的坐標(biāo)為(4,m)代入y=﹣x+,m=﹣4+=﹣,B的坐標(biāo)為(4,﹣),將A(3,2),B(4,﹣)代入y=﹣x2+bx+c,解得b=1,c=,因此拋物線的解析式y(tǒng)=;
(2)設(shè)D(m,),則E(m,﹣m+),DE=()﹣(﹣m+)==﹣(m﹣2)2+2,當(dāng)m=2時(shí),DE有最大值為2,此時(shí)D(2,),作點(diǎn)A關(guān)于對(duì)稱軸的對(duì)稱點(diǎn)A',連接A'D,與對(duì)稱軸交于點(diǎn)P.PD+PA=PD+PA'=A'D,此時(shí)PD+PA最?。?br />
(3)作AH⊥對(duì)稱軸于點(diǎn)H,連接AM、AQ、MQ、HA、HQ,由M(1,4),A(3,2),可得AH=MH=2,H(1,2)因?yàn)椤螦QM=45°,∠AHM=90°,所以∠AQM=∠AHM,可知△AQM外接圓的圓心為H,于是QH=HA=HM=2設(shè)Q(0,t),則=2,t=2+或2﹣,求得符合題意的點(diǎn)Q的坐標(biāo):Q1(0,2﹣)、Q2(0,2).
【解答】解:(1)將點(diǎn)B的坐標(biāo)為(4,m)代入y=﹣x+,
m=﹣4+=﹣,
∴B的坐標(biāo)為(4,﹣),
將A(3,2),B(4,﹣)代入y=﹣x2+bx+c,
解得b=1,c=,
∴拋物線的解析式y(tǒng)=;
(2)設(shè)D(m,),則E(m,﹣m+),
DE=()﹣(﹣m+)==﹣(m﹣2)2+2,
∴當(dāng)m=2時(shí),DE有最大值為2,
此時(shí)D(2,),
作點(diǎn)A關(guān)于對(duì)稱軸的對(duì)稱點(diǎn)A',連接A'D,與對(duì)稱軸交于點(diǎn)P.
PD+PA=PD+PA'=A'D,此時(shí)PD+PA最小,
∵A(3,2),
∴A'(﹣1,2),
A'D==,
即PD+PA的最小值為;
(3)作AH⊥對(duì)稱軸于點(diǎn)H,連接AM、AQ、MQ、HA、HQ,
∵拋物線的解析式y(tǒng)=,
∴M(1,4),
∵A(3,2),
∴AH=MH=2,H(1,2)
∵∠AQM=45°,
∠AHM=90°,
∴∠AQM=∠AHM,
可知△AQM外接圓的圓心為H,
∴QH=HA=HM=2
設(shè)Q(0,t),
則=2,
t=2+或2﹣
∴符合題意的點(diǎn)Q的坐標(biāo):Q1(0,2﹣)或Q2(0,2).
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了二次函數(shù),熟練運(yùn)用二次函數(shù)的圖象的性質(zhì)與一次函數(shù)的性質(zhì)以及圓周角定理是解題的關(guān)鍵.
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