專(zhuān)題11.6 三角形中的八大經(jīng)典模型（原卷版+解析版）--最新人教八年級(jí)上冊(cè)數(shù)學(xué)精講精練（原卷版+解析版）

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數(shù)學(xué) 新人教版初中數(shù)學(xué)學(xué)科教材分析 數(shù)學(xué)是一門(mén)研究數(shù)量關(guān)系和空間形式的科學(xué)，具有嚴(yán)密的符號(hào)體系，獨(dú)特的公式結(jié)構(gòu)，形象的圖像語(yǔ)言。它有三個(gè)顯著的特點(diǎn)：高度抽象，邏輯嚴(yán)密，廣泛應(yīng)用。? 1．高度抽象性：數(shù)學(xué)的抽象，在對(duì)象上、程度上都不同于其它學(xué)科的抽象，數(shù)學(xué)是借助于抽象建立起來(lái)并借助于抽象發(fā)展的。 2．嚴(yán)密邏輯性：?數(shù)學(xué)具有嚴(yán)密的邏輯性，任何數(shù)學(xué)結(jié)論都必須經(jīng)過(guò)邏輯推理的嚴(yán)格證明才能被承認(rèn)。任何一門(mén)科學(xué)，都要應(yīng)用邏輯工具，都有它嚴(yán)謹(jǐn)?shù)囊幻妗?3．廣泛應(yīng)用性：數(shù)學(xué)作為一種工具或手段，幾乎在任何一門(mén)科學(xué)技術(shù)及一切社會(huì)領(lǐng)域中都被運(yùn)用。各門(mén)科學(xué)的“數(shù)學(xué)化”，是現(xiàn)代科學(xué)發(fā)展的一大趨勢(shì)。? 專(zhuān)題11.6 三角形中的八大經(jīng)典模型【八大題型】 【人教版】 TOC \o "1-3" \h \u   HYPERLINK \l "_Toc27912" 【題型1 A字模型】  PAGEREF _Toc27912 \h 1  HYPERLINK \l "_Toc8458" 【題型2 8字模型】  PAGEREF _Toc8458 \h 3  HYPERLINK \l "_Toc20902" 【題型3 雙垂直模型】  PAGEREF _Toc20902 \h 4  HYPERLINK \l "_Toc2975" 【題型4 飛鏢模型】  PAGEREF _Toc2975 \h 6  HYPERLINK \l "_Toc9529" 【題型5 風(fēng)箏模型】  PAGEREF _Toc9529 \h 8  HYPERLINK \l "_Toc16648" 【題型6 兩內(nèi)角角平分線(xiàn)模型】  PAGEREF _Toc16648 \h 9  HYPERLINK \l "_Toc13875" 【題型7 兩外角角平分線(xiàn)模型】  PAGEREF _Toc13875 \h 11  HYPERLINK \l "_Toc13727" 【題型8 內(nèi)外角角平分線(xiàn)模型】  PAGEREF _Toc13727 \h 14  【知識(shí)點(diǎn)1 A字模型】 【條件】△ADE與△ABC. 【結(jié)論】∠AED+∠ADE=∠B+C. 【證明】根據(jù)三角形內(nèi)角和可得，∠AED+∠ADE=180°-∠A，∠B+C=180°-∠A， ∴∠AED+∠ADE=∠B+C，得證. 【題型1 A字模型】 【例1】（2023春·湖北荊門(mén)·八年級(jí)校聯(lián)考期末）如圖，在△ABC中，∠C＝70o，沿圖中虛線(xiàn)截去∠C，則∠1＋∠2＝（??） A．360o B．250o C．180o D．140o 【變式1-1】（2023春·八年級(jí)單元測(cè)試）如圖所示，∠DAE的兩邊上各有一點(diǎn)B,C，連接BC，求證∠DBC+∠ECB=180°+∠A． 【變式1-2】（2023春?常州期中）如圖，△ABC中，∠B＝68°，∠A比∠C大28°，點(diǎn)D、E分別在A(yíng)B、BC上．連接DE，∠DEB＝42°． （1）求∠A的度數(shù)； （2）判斷DE與AC之間的位置關(guān)系，并說(shuō)明理由． 【變式1-3】（2023春·江蘇泰州·八年級(jí)校聯(lián)考期中）如圖，已知∠A=40°，則∠1+∠2+∠3+∠4的度數(shù)為 ． 【知識(shí)點(diǎn)2 8字模型】 【條件】AD、BC相交于點(diǎn)O. 【結(jié)論】∠A+∠B=∠C+∠D.(上面兩角之和等于下面兩角之和) 【證明】在△ABO中，由內(nèi)角和定理：∠A+∠B+∠BOA=180°，在△CDO中，∠C+∠D+∠COD=180°， ∴∠A+∠B+∠BOA=180°=∠C+∠D+∠COD，由對(duì)頂角相等：∠BOA=∠COD ∴∠A+∠B=∠C+∠D，得證. 【題型2 8字模型】 【例2】（2015-2016學(xué)年北京市懷柔區(qū)八年級(jí)上學(xué)期期末數(shù)學(xué)試卷（帶解析））如圖是由線(xiàn)段AB，CD，DF，BF，CA組成的平面圖形，∠D=28°，則∠A+∠B+∠C+∠F的度數(shù)為(　　) A．62° B．152° C．208° D．236° 【變式2-1】（2013-2014學(xué)年初中數(shù)學(xué)蘇教版八年級(jí)上冊(cè)第一章練習(xí)卷（帶解析））如圖，△ABC≌△ADE，且∠CAD=10°，∠B=∠D=25°，∠EAB=120°，求∠DFB和∠DGB的度數(shù)． 【變式2-2】（2023·河北·統(tǒng)考中考真題）下圖是可調(diào)躺椅示意圖（數(shù)據(jù)如圖），AE與BD的交點(diǎn)為C，且∠A，∠B，∠E保持不變．為了舒適，需調(diào)整∠D的大小，使∠EFD=110°，則圖中∠D應(yīng) （填“增加”或“減少”） 度． 【變式2-3】（2023春·八年級(jí)期末）（1）如圖①，求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F的度數(shù)； （2）如圖②，求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G+∠H的度數(shù)； （3）如圖③，求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G的度數(shù)． 【知識(shí)點(diǎn)3 雙垂直模型】 【條件】∠B=∠D=∠ACE=90°. 【結(jié)論】∠BAC=∠DCE，∠ACB=∠CED. 【證明】∵∠B=∠D=∠ACE=90°；∴∠BAC+∠ACB=90°；又∠ECD+∠ACB=90°；∴∠BAC=∠DCE 同理,∠ACB+∠DCE?=90°，且∠CED+∠DCE?=90°；∴∠ACB=∠CED，得證. 【題型3 雙垂直模型】 【例3】（2023春·廣東珠海·八年級(jí)校聯(lián)考期末）如圖1，線(xiàn)段AB⊥BC于點(diǎn)B，CD⊥BC于點(diǎn)C，點(diǎn)E在線(xiàn)段BC上，且AE⊥DE． （1）求證：∠EAB=∠CED； （2）如圖2，AF、DF分別平分∠BAE和∠CDE，EH平分∠DEC交CD于點(diǎn)H，EH的反向延長(zhǎng)線(xiàn)交AF于點(diǎn)G． ①求證EG⊥AF； ②求∠F的度數(shù)．【提示：三角形內(nèi)角和等于180度】 【變式3-1】（2023春·江蘇泰州·八年級(jí)?？计谥校┤鐖D，在△ABC中，∠ACB=90°，AE是角平分線(xiàn)，CD是高，AE、CD相交于點(diǎn)F， 求證：∠CFE=∠CEF??請(qǐng)?jiān)谝韵碌慕忸}過(guò)程中的括號(hào)里填推理的理由． 證明：∵AE平分∠CAB（已知） ∴∠CAE=∠FAB（_____________________） ∵∠ACE=90°（已知） ∴∠CAE+∠CEF=90°（_____________________） ∵CD是△ABC的高（已知） ∴∠FDA=90°（三角形高的定義） ∴∠FAB+∠AFD=90°（直角三角形的兩銳角互余） ∴∠CEF=∠AFD（____________________________） ∵∠CFE=∠AFD（_____________________） ∴∠CFE=∠CEF（____________________） 【變式3-2】（2023春·山東青島·八年級(jí)山東省青島第五十九中學(xué)?？计谥校┤鐖D，在等腰Rt△ABC中，∠ACB=90°，D為BC的中點(diǎn)，DE⊥AB，垂足為E，過(guò)點(diǎn)B作BF∥AC交DE的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)F，連接CF交AD于點(diǎn)G． (1)判斷△DBF的形狀，并說(shuō)明理由． (2)求證：AD⊥CF． 【變式3-3】（2023春·山東濟(jì)南·八年級(jí)濟(jì)南育英中學(xué)校聯(lián)考期中）如圖，△ABC中，∠B=90°，點(diǎn)D在射線(xiàn)BC上運(yùn)動(dòng)，DE⊥AD交射線(xiàn)AC于點(diǎn)E． （1）如圖1，若∠BAC=60°，當(dāng)AD平分∠BAC時(shí)，求∠EDC的度數(shù)； （2）如圖2，當(dāng)點(diǎn)D在線(xiàn)段BC上時(shí)，①判斷∠EDC與∠BAD的數(shù)量關(guān)系并說(shuō)明理由； ②作EF⊥BC于F，∠BAD、∠DEF的角平分線(xiàn)相交于點(diǎn)G，隨著點(diǎn)D的運(yùn)動(dòng)，∠G的度數(shù)會(huì)變化嗎？如果不變，求出∠G的度數(shù)；如果變化，說(shuō)明理由； （3）如圖3，當(dāng)點(diǎn)D在BC的延長(zhǎng)線(xiàn)上時(shí)，作EF⊥BD于F，∠BAD的角平分線(xiàn)和∠DEF的角平分線(xiàn)的反向延長(zhǎng)線(xiàn)相交于點(diǎn)G，∠G的度數(shù)會(huì)變化嗎？如果不變，求出∠G的度數(shù)；如果變化，說(shuō)明理由． 【知識(shí)點(diǎn)4 飛鏢模型】 【條件】四邊形ABDC如上左圖所示. 【結(jié)論】∠D=∠A+∠B+∠C.(凹四邊形凹外角等于三個(gè)內(nèi)角和) 【證明】如上右圖，連接AD并延長(zhǎng)到E，則： ∠BDC=∠BDE+∠CDE=(∠B+∠1)+(∠2+∠C)=∠B+∠BAC+∠C.本質(zhì)為兩個(gè)三角形外角和定理證明. 【題型4 飛鏢模型】 【例4】（2023春·江蘇鎮(zhèn)江·八年級(jí)統(tǒng)考期中）在社會(huì)實(shí)踐手工課上，小茗同學(xué)設(shè)計(jì)了一個(gè)形狀如圖所示的零件，如果∠A=52°,∠B=25°，∠C=30°,∠D=35°,∠E=72°，那么∠F的度數(shù)是（????）． A．72° B．70° C．65° D．60° 【變式4-1】（2023春·八年級(jí)期末）如圖，已知在△ABC中，∠A=40°，現(xiàn)將一塊直角三角板放在△ABC上，使三角板的兩條直角邊分別經(jīng)過(guò)點(diǎn)B,C，直角頂點(diǎn)D落在△ABC的內(nèi)部，則∠ABD+∠ACD=（????）． A．90° B．60° C．50° D．40° 【變式4-2】（2023·全國(guó)·八年級(jí)假期作業(yè)）如圖所示，已知四邊形ABDC，求證∠BDC=∠A+∠B+∠C． 【變式4-3】（2023春·福建南平·八年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，若∠EOC=115°，則∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F= ． 【知識(shí)點(diǎn)5 風(fēng)箏模型】 【條件】四邊形ABPC，分別延長(zhǎng)AB、AC于點(diǎn)D、E，如上左圖所示. 【結(jié)論】∠PBD+∠PCE=∠A+∠P. 【證明】如上右圖，連接AP，則：∠PBD=∠PAB+∠APB，∠PCE=∠PAC+∠APC， ∴∠PBD+∠PCE=∠PAB+∠APB+∠PAC+∠APC=∠BAC+∠BPC，得證. 【題型5 風(fēng)箏模型】 【例5】（2023春·重慶渝北·八年級(jí)?？计谥校┤鐖D,將△ABC沿著DE翻折,使B點(diǎn)與B'點(diǎn)重合,若∠1+∠2=80°,則∠B的度數(shù)為（??） A．20° B．30° C．40° D．50° 【變式5-1】（2023春·八年級(jí)期末）如圖，把△ABC沿EF對(duì)折，疊合后的圖形如圖所示．若∠A＝55°，∠1＝95°，則∠2的度數(shù)為（????）． A．14° B．15° C．28° D．30° 【變式5-2】（2023春·八年級(jí)期末）如圖，三角形紙片ABC中，∠A=65°,∠B=75°，將∠C沿DE翻折，使點(diǎn)C落在△ABC外的點(diǎn)C'處．若∠1=20°，則∠2的度數(shù)為 ． 【變式5-3】（2023春·全國(guó)·八年級(jí)專(zhuān)題練習(xí)）如圖，將△ABC紙片沿DE折疊，使點(diǎn)A落在點(diǎn)A'處，且A'B平分∠ABC，A'C平分∠ACB，若∠BA'C＝120°，則∠1+∠2的度數(shù)為（　?。? A．90° B．100° C．110° D．120° 【知識(shí)點(diǎn)6 兩內(nèi)角角平分線(xiàn)模型】 【條件】△ABC中，BI、CI分別是∠ABC和∠ACB的角平分線(xiàn)，且相交于點(diǎn)I. 【結(jié)論】 【證明】∵BI是∠ABC平分線(xiàn)，∴∵CI是∠ACB平分線(xiàn)，∴ 由A→B→I→C→A的飛鏢模型可知： ∠I=∠A+∠2+∠3=∠A++=∠A+=. 【題型6 兩內(nèi)角角平分線(xiàn)模型】 【例6】（2023春·江蘇蘇州·八年級(jí)期中）直線(xiàn)MN與直線(xiàn)PQ垂直相交于點(diǎn)O，點(diǎn)A在直線(xiàn)PQ上運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)B在直線(xiàn)MN上運(yùn)動(dòng)． （1）如圖1，已知AE、BE分別是∠BAO和∠ABO角的平分線(xiàn)，點(diǎn)A、B在運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中，∠AEB的大小是否會(huì)發(fā)生變化？若發(fā)生變化，請(qǐng)說(shuō)明變化的情況；若不發(fā)生變化，試求出∠AEB的大?。?（2）如圖2，已知AB不平行CD，AD、BC分別是∠BAP和∠ABM的角平分線(xiàn)，又DE、CE分別是∠ADC和∠BCD的角平分線(xiàn)，點(diǎn)A、B在運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中，∠CED的大小是否會(huì)發(fā)生變化？若發(fā)生變化，請(qǐng)說(shuō)明理由；若不發(fā)生變化，試求出∠CED的度數(shù)． （3）如圖3，延長(zhǎng)BA至G，已知∠BAO、∠OAG的角平分線(xiàn)與∠BOQ的角平分線(xiàn)及反向延長(zhǎng)線(xiàn)相交于E、F，在△AEF中，如果有一個(gè)角是另一個(gè)角的3倍，則∠ABO的度數(shù)為_(kāi)___（直接寫(xiě)答案） 【變式6-1】（2023春·全國(guó)·八年級(jí)專(zhuān)題練習(xí)）如圖，BE平分∠ABD，CF平分∠ACD，BE與CF交于點(diǎn)G，若∠BDC=140°，∠BGC=100°，則∠A=（????） A．80° B．75° C．60° D．45° 【變式6-2】（2023春·全國(guó)·八年級(jí)專(zhuān)題練習(xí)）如圖，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的角平分線(xiàn)交于點(diǎn)O，延長(zhǎng)BO與∠ACB的外角平分線(xiàn)交于點(diǎn)D，若∠BOC＝130°，則∠D＝ 【變式6-3】（2023春·黑龍江哈爾濱·八年級(jí)校聯(lián)考期末）如圖1，點(diǎn)A、B分別在射線(xiàn)OM、ON上運(yùn)動(dòng)（不與點(diǎn)O重合），AC、BC分別是∠BAO和∠ABO的角平分線(xiàn)，BC延長(zhǎng)線(xiàn)交OM于點(diǎn)G． （1）若∠MON=60°，則∠ACG= ；（直接寫(xiě)出答案） （2）若∠MON=n°，求出∠ACG的度數(shù)；（用含n的代數(shù)式表示） （3）如圖2，若∠MON=80°，過(guò)點(diǎn)C作CF∥OA交AB于點(diǎn)F，求∠BGO與∠ACF的數(shù)量關(guān)系． 【知識(shí)點(diǎn)7 兩外角角平分線(xiàn)模型】 【條件】△ABC中，BI、CI分別是△ABC的外角的角平分線(xiàn)，且相交于點(diǎn)O. 【結(jié)論】. 【證明】∵BO是∠EBC平分線(xiàn)，∴，∵CO是∠FCB平分線(xiàn)，∴ 由△BCO中內(nèi)角和定理可知： ∠O=180°-∠2-∠5=180°--=180°--=== 【題型7 兩外角角平分線(xiàn)模型】 【例7】（2023春·江蘇·八年級(jí)專(zhuān)題練習(xí)）【問(wèn)題背景】 （1）如圖1的圖形我們把它稱(chēng)為“8字形”，請(qǐng)說(shuō)明∠A+∠B=∠C+∠D； 【簡(jiǎn)單應(yīng)用】 （2）如圖2， AP、CP分別平分∠BAD． ∠BCD，若∠ABC=46°，∠ADC=26°，求∠P的度數(shù)； 【問(wèn)題探究】 （3）如圖3，直線(xiàn)AP平分∠BAD的外角∠FAD，CP平分∠BCD的外角∠BCE，若∠ABC=36°，∠ADC=16°，請(qǐng)猜想∠P的度數(shù)，并說(shuō)明理由． 【拓展延伸】 （4） ①在圖4中，若設(shè)∠C=α，∠B=β，∠CAP=13∠CAB，∠CDP=13∠CDB，試問(wèn)∠P與∠C、∠B之間的數(shù)量關(guān)系為： （用α、β表示∠P）； ②在圖5中，AP平分∠BAD，CP平分∠BCD的外角∠BCE， 猜想∠P與∠B、∠D的關(guān)系，直接寫(xiě)出結(jié)論．?????????????????? 【變式7-1】（2023春·全國(guó)·八年級(jí)專(zhuān)題練習(xí)）如圖，五邊形ABCDE在∠BCD,∠EDC處的外角分別是∠FCD,∠GDC,CP,DP分別平分∠FCD和∠GDC且相交于點(diǎn)P．若∠A=160°,∠B=80°,∠E=90°，則∠CPD= ． 【變式7-2】（2023春·全國(guó)·八年級(jí)專(zhuān)題練習(xí)）如圖，點(diǎn)P是ΔABC的外角∠BCE和∠CBF的角平分線(xiàn)交點(diǎn)，延長(zhǎng)BP交AC于G，請(qǐng)寫(xiě)出∠A和∠CPG的數(shù)量關(guān)系. 【變式7-3】（2023春·八年級(jí)期末）如圖1，△ABC的外角平分線(xiàn)交于點(diǎn)F． （1）若∠A＝40°，則∠F的度數(shù)為　 ??； （2）如圖2，過(guò)點(diǎn)F作直線(xiàn)MN∥BC，交AB，AC延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)M，N，若設(shè)∠MFB＝α，∠NFC＝β，則∠A與α+β的數(shù)量關(guān)系是　 ??； （3）在（2）的條件下，將直線(xiàn)MN繞點(diǎn)F轉(zhuǎn)動(dòng)． ①如圖3，當(dāng)直線(xiàn)MN與線(xiàn)段BC沒(méi)有交點(diǎn)時(shí)，試探索∠A與α，β之間的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由； ②當(dāng)直線(xiàn)MN與線(xiàn)段BC有交點(diǎn)時(shí)，試問(wèn)①中∠A與α，β之間的數(shù)量關(guān)系是否仍然成立？若成立，請(qǐng)說(shuō)明理由；若不成立，請(qǐng)給出三者之間的數(shù)量關(guān)系． 【知識(shí)點(diǎn)8 內(nèi)外角角平分線(xiàn)模型】 【條件】△ABC中，BP、CP分別是△ABC的內(nèi)角和外角的角平分線(xiàn)，且相交于點(diǎn)P. 【結(jié)論】 【證明】 ∵BP是∠ABC平分線(xiàn)，∴ ∵CP是∠ACE平分線(xiàn)，∴ 由△ABC外角定理可知：∠ACE=∠ABC+∠A即：2∠1=2∠3+∠A ……① 對(duì)①式兩邊同時(shí)除以2，得：∠1=∠3+ ……②又在△BPC中由外角定理可知：∠1=∠3+∠P ……③ 比較②③式子可知：.==. 【題型8 內(nèi)外角角平分線(xiàn)模型】 【例8】（2023春·八年級(jí)期末）如圖，BA1和CA1分別是△ABC的內(nèi)角平分線(xiàn)和外角平分線(xiàn)，BA2是∠A1BD的平分線(xiàn)，CA2是∠A1CD的平分線(xiàn)，BA3是∠A2BD的平分線(xiàn)，CA3是∠A2CD的平分線(xiàn)，……以此類(lèi)推，若∠A=α，則∠A2020= ． 【變式8-1】（2023春·八年級(jí)期末）如圖，已知△ABC的兩條高BD、CE交于點(diǎn)F，∠ABC的平分線(xiàn)與△ABC外角∠ACM的平分線(xiàn)交于點(diǎn)G，若∠BFC=8∠G，則∠A= °． 【變式8-2】（2023春·八年級(jí)期末）如圖，在△ABC中，∠A=60°，BD、CD分別平分∠ABC、∠ACB，M、N、Q分別在DB、DC、BC的延長(zhǎng)線(xiàn)上，BE、CE分別平分∠MBC、∠BCN，BF、CF分別平分∠EBC、∠ECQ，則∠F= ． 【變式8-3】（2023春·江蘇南通·八年級(jí)南通田家炳中學(xué)?？计谀┰凇鰽BC中，若存在一個(gè)內(nèi)角角度是另外一個(gè)內(nèi)角角度的n倍（n為大于1的正整數(shù)），則稱(chēng)△ABC為n倍角三角形．例如，在△ABC中，∠A＝80°，∠B＝75°，∠C＝25°，可知∠B＝3∠C，所以△ABC為3倍角三角形． （1）在△ABC中，∠A＝80°，∠B＝60°，則△ABC為　 　倍角三角形； （2）若銳角三角形MNP是3倍角三角形，且最小內(nèi)角為α，請(qǐng)直接寫(xiě)出α的取值范圍為　 ?。?（3）如圖，直線(xiàn)MN與直線(xiàn)PQ垂直相交于點(diǎn)O，點(diǎn)A在射線(xiàn)OP上運(yùn)動(dòng)（點(diǎn)A不與點(diǎn)O重合），點(diǎn)B在射線(xiàn)OM上運(yùn)動(dòng)（點(diǎn)B不與點(diǎn)O重合）．延長(zhǎng)BA至G，已知∠BAO、∠OAG的角平分線(xiàn)與∠BOQ的角平分線(xiàn)所在的直線(xiàn)分別相交于E、F，若△AEF為4倍角三角形，求∠ABO的度數(shù)．