數(shù)學八年級上冊三角形的內角精品課時訓練

這是一份數(shù)學八年級上冊三角形的內角精品課時訓練，文件包含專題113三角形的內角十大題型舉一反三人教版原卷版docx、專題113三角形的內角十大題型舉一反三人教版解析版docx等2份試卷配套教學資源，其中試卷共61頁， 歡迎下載使用。
1．高度抽象性：數(shù)學的抽象，在對象上、程度上都不同于其它學科的抽象，數(shù)學是借助于抽象建立起來并借助于抽象發(fā)展的。
2．嚴密邏輯性： 數(shù)學具有嚴密的邏輯性，任何數(shù)學結論都必須經過邏輯推理的嚴格證明才能被承認。任何一門科學，都要應用邏輯工具，都有它嚴謹?shù)囊幻妗?br>3．廣泛應用性：數(shù)學作為一種工具或手段，幾乎在任何一門科學技術及一切社會領域中都被運用。各門科學的“數(shù)學化”，是現(xiàn)代科學發(fā)展的一大趨勢。
專題11.3 三角形的內角【十大題型】
【人教版】
TOC \ "1-3" \h \u
\l "_Tc14209" 【題型1 三角形內角和定理的證明】 PAGEREF _Tc14209 \h 1
\l "_Tc15738" 【題型2 應用三角形內角和定理求角度】 PAGEREF _Tc15738 \h 3
\l "_Tc22182" 【題型3 三角形內角和與平行線的綜合應用】 PAGEREF _Tc22182 \h 3
\l "_Tc1031" 【題型4 三角形內角和與角平分線的綜合應用】 PAGEREF _Tc1031 \h 4
\l "_Tc25253" 【題型5 三角形折疊中的角度問題】 PAGEREF _Tc25253 \h 5
\l "_Tc24126" 【題型6 應用三角形內角和定理解決三角板問題】 PAGEREF _Tc24126 \h 7
\l "_Tc524" 【題型7 應用三角形內角和定理探究角的數(shù)量關系】 PAGEREF _Tc524 \h 8
\l "_Tc31752" 【題型8 三角形內角和定理與新定義問題綜合】 PAGEREF _Tc31752 \h 10
\l "_Tc8784" 【題型9 直角三角形的判定】 PAGEREF _Tc8784 \h 11
\l "_Tc25968" 【題型10 應用直角三角形的性質倒角】 PAGEREF _Tc25968 \h 12
【知識點1 三角形的內角及內角和定理】
（1）三角形內角的概念：三角形內角是三角形三邊的夾角．每個三角形都有三個內角，且每個內角均大于0°且小于180°．
（2）三角形內角和定理：三角形內角和是180°．
【題型1 三角形內角和定理的證明】
【例1】（2023·浙江·八年級假期作業(yè)）定理：三角形的內角和是180°．
已知：∠CED、∠C、∠D是△CED的三個內角．
求證：∠C+∠D+∠CED=180°．
有如下四個說法：①*表示內錯角相等，兩直線平行；②@表示∠BEC；③上述證明得到的結論，只有在銳角三角形中才適用；④上述證明得到的結論，適用于任何三角形．其中正確的是（ ）

A．①②B．②③C．②④D．①③
【變式1-1】（2023·浙江·八年級假期作業(yè)）如圖,將鉛筆放置在三角形 ABC 的邊 AB 上，筆尖方向為點 A 到點 B 的方向，把鉛筆依次繞點 A、點 C、點 B 按逆時針方向旋轉∠A、∠C、∠B 的度數(shù)，觀察筆尖方向的變化，該操作說明了 ．
【變式1-2】（2023春·全國·八年級專題練習）在探究證明“三角形的內角和是180°”時，綜合實踐小組的同學作了如圖所示的四種輔助線，其中能證明“△ABC的內角和是180°”的有（ ）
A．1個B．2個C．3個D．4個
【變式1-3】（2023春·福建南平·八年級福建省南平第一中學校考階段練習）在證明“三角形內角和等于180”這一命題時，小彬的思路如下．請寫出“求證”部分，補充第一步推理的依據(jù)并按他的思路完成后續(xù)證明．
已知：如圖，△ABC
求證：
證明：如圖，在BC邊上取點D，過點D作DE∥AB交AC于點E，過點D作DF∥AC交AB于點F．
∵DE∥AB，
∴∠A＝∠1，∠B＝∠2（依據(jù)：）．
∵DF∥AC，
∴∠1＝∠3
【題型2 應用三角形內角和定理求角度】
【例2】（2023春·江蘇·八年級專題練習）等腰三角形一腰上的高與另一腰的夾角為60°，那么這個等腰三角形的頂角的度數(shù)為 ．
【變式2-1】（2023·浙江·八年級假期作業(yè)）若△ABC的三個內角之比為1:3:5，那么△ABC中最大角的度數(shù)為 ．
【變式2-2】（2023春·廣東江門·八年級?？茧A段練習）在△ABC中，∠C=40°，且∠B:∠A=4:3，則∠B的度數(shù)為 ．
【變式2-3】（2023春·廣東梅州·八年級校考階段練習）如圖，∠A=51°，∠B=20°，∠C=30°，求∠BDC的度數(shù)．

【題型3 三角形內角和與平行線的綜合應用】
【例3】（2023春·四川成都·八年級統(tǒng)考期末）如圖，△ABC經過平移得到△DEF，DE分別交BC，AC于點G，H，若∠B=97°，∠C=40°，則∠GHC的度數(shù)為（ ）

A．147°B．40°C．97°D．43°
【變式3-1】（2023春·山東濟寧·八年級統(tǒng)考期中）如圖是A、B、C三島的平面圖，C島在A島的北偏東50°方向，B島在A島的北偏東80°方向，C島在B島的北偏西40°方向．從C島看A、B島的視角∠ACB為多少？
【變式3-3】（2023春·全國·八年級專題練習）已知：如圖，點B、C在線段AD的異側，點E、F分別是線段AB、CD上的點，∠AEG＝∠AGE，∠C＝∠DGC．
（1）求證：AB//CD；
（2）若∠AGE+∠AHF=180°，求證：∠B=∠C；
（3）在（2）的條件下，若∠BFC=4∠C，求∠D的度數(shù)．
【題型4 三角形內角和與角平分線的綜合應用】
【例4】（2023春·廣東惠州·八年級惠州一中?？计谥校┤鐖D，∠A=70°，P是△ABC內一點，BP平分∠ABC，CP平分∠ACB，則∠BPC的度數(shù)為（ ）

A．105°B．115°C．125°D．135°
【變式4-1】（2023春·廣東東莞·八年級統(tǒng)考期中）如圖，△ABC中，AD是BC邊上的高，AE是∠BAC的平分線，∠EAD=5°，∠C=50°，求∠B的度數(shù)．

【變式4-2】（2023春·黑龍江大慶·八年級?？计谀┤鐖D，點E在AC上，點F在CB的延長線上，AB與EF交于點G，∠AGE=∠CED，ED平分∠CEF．
(1)求證：AB∥DE；
(2)若∠F=30°，∠AGE=50°，求∠C的度數(shù)．
【變式4-3】（2023春·八年級課時練習）如圖，在△ABC中，點D在AB上，過點D作DE∥BC，交AC于點E，DP平分∠ADE，交∠ACB的平分線于點P，CP與DE相交于點G，∠ACF的平分線CQ與DP相交于點Q．
(1)若∠A=50°，∠B=60°，則∠DPC=____________°，∠Q=____________°；
(2)若∠A=50°，當∠B的度數(shù)發(fā)生變化時，∠DPC、∠Q的度數(shù)是否發(fā)生變化？并說明理由；
(3)若∠A=x°，則∠DPC=____________°，∠Q=____________°；（用含x的代數(shù)式表示）；
(4)若△PCQ中存在一個內角等于另一個內角的三倍，請直接寫出所有符合條件的∠A的度數(shù)．
【題型5 三角形折疊中的角度問題】
【例5】（2023·浙江·八年級假期作業(yè)）如圖，在△ABC中，∠A=20°，點D在邊AC上（如圖1），先將△ABD沿著BD翻折，使點A落在點A'處，A'B交AC于點E（如圖2），再將△BCE沿著BE翻折，點C恰好落在BD上的點C'處，此時∠C'EB=66°（如圖3），則∠ABC的度數(shù)為（ ）
A．66°B．23°C．46°D．69°
【變式5-1】（2023春·河南南陽·八年級統(tǒng)考期中）如圖，在△ABC中， ∠A=60°，將△ABC沿DE翻折后，點A落在BC邊上的點A'處．若∠A'EC=70°，則∠A'DE的度數(shù)為（ ）
A．55°B．60°C．65°D．70°
【變式5-2】（2023春·甘肅定西·八年級統(tǒng)考期中）如圖，在△ABC中，∠A＝20°，∠B＝60°，將點A與點B分別沿MN和EF折疊，使點A、B與點C重合，則∠NCF的度數(shù)為（ ）
A．22°B．21°C．20°D．19°
【變式5-3】（2023·全國·八年級假期作業(yè)）已知，在△ABC中，點E在邊AB上，點D是BC上一個動點，將∠B沿E、D所在直線進行翻折得到∠EFD．
(1)如圖，若∠B=50°，則∠AEF+∠FDC=______；
(2)在圖中細心的小明發(fā)現(xiàn)了∠AEF，∠FDC，∠B之間的關系，請您替小明寫出這個數(shù)量關系并證明．
【題型6 應用三角形內角和定理解決三角板問題】
【例6】（2023春·全國·八年級專題練習）如圖，a∥b，一塊含45°的直角三角板的一個頂點落在直線b上，若∠1=58°54'，則∠2的度數(shù)為（ ）
A．103°6'B．104°6'C．103°54'D．104°54'
【變式6-1】（2023春·八年級單元測試）如圖所示，有一塊直角三角板DEF（足夠大），其中∠EDF=90°，把直角三角板DEF放置在銳角△ABC上，三角板DEF的兩邊DE、DF恰好分別經過B、C．
(1)若∠A=40°，則∠ABC+∠ACB= °，∠DBC+∠DCB= °，∠ABD+∠ACD= °．
(2)若∠A=55°，則∠ABD+∠ACD= °．
(3)請你猜想一下∠ABD+∠ACD與∠A所滿足的數(shù)量關系．
【變式6-2】（2023春·八年級課時練習）將一副三角板的直角頂點重合按如圖放置，∠C=45°，∠D=30°，小明得到下列結論：
①如果∠2=30°，則AC∥DE；
②∠BAE+∠CAD=180°；
③如果BC∥AD，則∠2=30°；
④如果∠CAD=150°，則∠4=∠C．
其中正確的結論有（ ）
A．1個B．2個C．3個D．4個
【變式6-3】（2023春·八年級課時練習）小宋對三角板在平行線間的擺放進行了探究
(1)如圖（1），已知a∥b，小宋把三角板的直角頂點放在直線b上．若∠1=40°，直接寫出∠2的度數(shù)；若∠1=m°，直接寫出∠2的度數(shù)（用含m的式子表示）．
(2)如圖（2），將一副三角板和一張對邊平行的紙條按下列方式擺放，兩個三角板的一直角邊重合，含30°角的直角三角板的直角頂點與45°角的頂點重合于點A，含30°角的直角三角板的斜邊與紙條一邊b重合，含45°角的三角板的另一個頂點在紙條的另一邊a上，求∠1的度數(shù)．
【題型7 應用三角形內角和定理探究角的數(shù)量關系】
【例7】（2023春·廣東潮州·八年級統(tǒng)考期中）在△ABC中，∠C>∠B，AE平分∠BAC，F(xiàn)為射線AE上一點（不與點E重合），且FD⊥BC于D；

(1)如圖1，當點F與點A重合，且∠C=50°，∠B=30°時，求∠EFD的度數(shù)；
(2)如果點F在線段AE上（不與點A重合）時，如圖2，直接寫出∠EFD、∠C、∠B的數(shù)量關系．
【變式7-1】（2023春·全國·八年級專題練習）如圖，AB∥CD，E為線段CD上一點，∠BAD＝n°，n＝15xy，且x?1+y?32=0．
(1)求n的值．
(2)求證：∠PEC﹣∠APE＝135°．
(3)若P點在射線DA上運動，直接寫出∠APE與∠PEC之間的數(shù)量關系．（不考慮P與A、D重合的情況）
【變式7-2】（2023春·河南漯河·八年級?？计谀┮阎鰽BC．
（1）如圖（1），∠C>∠B，若 AD⊥BC 于點 D，AE 平分∠BAC，你能找出∠EAD 與∠B，∠C 之間的數(shù)量關系嗎？并說明理由．
（2）如圖（2），AE 平分∠BAC，F(xiàn) 為 AE 上一點，F(xiàn)M⊥BC 于點 M，∠EFM 與∠B，∠C之間有何數(shù)量關系？并說明理由．
【變式7-3】（2023春·浙江·八年級專題練習）如圖，AB∥CD，點E是AB上一點，連結CE．
(1)如圖1，若CE平分∠ACD，過點E作EM⊥CE交CD于點M，試說明∠A＝2∠CME；
(2)如圖2，若AF平分∠CAB，CF平分∠DCE，且∠F＝70°，求∠ACE的度數(shù)．
(3)如圖3，過點E作EM⊥CE交∠DCE的平分線于點M，MN⊥CM交AB于點N，CH⊥AB，垂足為H．若∠ACH＝12∠ECH請直接寫出∠MNB與∠A之間的數(shù)量關系．
【題型8 三角形內角和定理與新定義問題綜合】
【例8】（2023春·福建廈門·八年級廈門一中?？计谥校┬露x：在△ABC中，若存在最大內角是最小內角度數(shù)的n倍(n為大于1的正整數(shù))，則稱△ABC為“n倍角三角形”. 例如，在△ABC中，若∠A＝90°，∠B＝60°，則∠C＝30°，因為∠A最大，∠C最小，且∠A＝3∠C，所以△ABC為“3倍角三角形”.
(1)在△DEF中，若∠E＝40°，∠F＝60°，則△DEF為“_______倍角三角形”.
(2)如圖，在△ABC中，∠C＝36°，∠BAC、∠ABC的角平分線相交于點D，若△ABD為“6倍角三角形”，請求出∠ABD的度數(shù).
【變式8-1】（2023春·安徽六安·八年級?？计谥校┒x：當三角形中一個內角α是另一個內角的兩倍時，我們稱此三角形為“倍角三角形”，其中α稱為“倍角”，如果一個“倍角三角形”的一個內角為99°，那么倍角α的度數(shù)是（ ）
A．99°B．99°或49.5°C．99°或54°D．99°或49.5°或54°
【變式8-2】（2023·全國·八年級專題練習）我們定義：
【概念理解】
在一個三角形中，如果一個角的度數(shù)是另一個角度數(shù)的 4 倍，那么這樣的三角形我們稱之為“完美三角形”．如：三個內角分別為 130°，40°，10°的三角形是“完美三角形”.
【簡單應用】
如圖 1，∠MON=72°，在射線OM上找一點A，過點A作AB⊥OM 交ON于點B，以A為端點作射線AD，交線段OB 于點C（點 C不與 O，B重合）
（1）∠ABO＝ ，△AOB__________（填“是”或“不是”）“完美三角形”；
（2）若∠ACB＝90°，求證：△AOC是“完美三角形”．
【應用拓展】
如圖 2，點D在△ABC 的邊AB上，連接DC，作∠ADC的平分線交AC于點E，在DC上取點F，使∠EFC+∠BDC=180°，∠DEF=∠B．若△BCD是“完美三角形”， 求∠B的度數(shù)．
【變式8-3】（2023春·江蘇·八年級期末）定義：如果一個三角形的兩個內角α與β滿足2α+β=90°，那么我們稱這樣的三角形為“準互余三角形”．
(1)若△ABC是“準互余三角形”，∠C>90°，∠A=56°，則∠B=_____°；
(2)若△ABC是直角三角形，∠ACB=90°．
①如圖，若AD是∠BAC的角平分線，請你判斷△ABD是否為“準互余三角形”？并說明理由．
②點E是邊BC上一點，△ABE是“準互余三角形”，若∠B=28°，求∠AEB的度數(shù)．
【知識點2 直角三角形的判定】
有兩個角互余的三角形是直角三角形．
【題型9 直角三角形的判定】
【例9】（2023春·內蒙古呼倫貝爾·八年級?？茧A段練習）如圖，∠C=90°，∠1=∠2，求證△ADE是直角三角形．
【變式9-1】（2023·浙江·八年級假期作業(yè)）若一個三角形三個內角度數(shù)的比為2:3:5，那么這個三角形是（ ）
A．銳角三角形B．直角三角形C．鈍角三角形D．等邊三角形
【變式9-2】（2023春·山東濱州·八年級統(tǒng)考期末）在下列條件：① ∠A+∠B+∠C=180°；② ∠A:∠B:∠C=1:2:3；③ ∠A=∠B=2∠C；④ ∠A=12∠B=13∠C；⑤ ∠A=∠B=12∠C中，能確定△ABC為直角三角形的條件有（ ）
A．5個B．4個C．3個D．2個
【變式9-3】（2023春·八年級課時練習）如圖AB∥CD，AC平分∠BAD，BD平分∠ADC，AC和BD交于點E．寫出圖中所有的直角三角形（不要求證明）．
【知識點3 直角三角形的性質】
直角三角形兩個內角互余．
【題型10 應用直角三角形的性質倒角】
【例10】（2023春·全國·八年級專題練習）如圖，AD為△ABC的高，AE、BF為△ABC的角平分線，∠CBF=30°，∠AFB=70°．
(1)∠BAD= 度．
(2)求∠DAE的度數(shù)．
(3)若點M為線段BC上任意一點，當△MFC為直角三角形時，直接寫出∠BFM的度數(shù)．
【變式10-1】（2023春·全國·八年級專題練習）如圖，已知Rt△ABC和Rt△DEF，∠BAC=∠EDF=90°，點F、A、D、C共線，AB、EF相交于點M，且EF⊥BC，則圖中與∠E相等的角有（ ）個．
A．5B．4C．3D．2
【變式10-2】（2023春·八年級單元測試）如圖，已知∠BAC=90°，AD⊥BC，垂足是D，則圖中與∠B互余的角有（ ）
A．1個B．2個C．3個D．4個
【變式10-3】（2023春·八年級課時練習）已知，在直角三角形ABC中，∠ACB=90°，D是AB上一點，且∠ACD=∠B．
（1）如圖1，求證：CD⊥AB；
（2）將△ADC沿CD所在直線翻折，A點落在BD邊所在直線上，記為A′點．
①如圖2，若∠B=34°，求∠A′CB的度數(shù)；
②若∠B=n°，請直接寫出∠A′CB的度數(shù)（用含n的代數(shù)式表示）．