專題13.9 軸對稱章末十大題型總結(jié)（培優(yōu)篇）（原卷版+解析版）--最新人教八年級上冊數(shù)學(xué)精講精練

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數(shù)學(xué) 新人教版初中數(shù)學(xué)學(xué)科教材分析 數(shù)學(xué)是一門研究數(shù)量關(guān)系和空間形式的科學(xué)，具有嚴(yán)密的符號體系，獨(dú)特的公式結(jié)構(gòu)，形象的圖像語言。它有三個顯著的特點(diǎn)：高度抽象，邏輯嚴(yán)密，廣泛應(yīng)用。? 1．高度抽象性：數(shù)學(xué)的抽象，在對象上、程度上都不同于其它學(xué)科的抽象，數(shù)學(xué)是借助于抽象建立起來并借助于抽象發(fā)展的。 2．嚴(yán)密邏輯性：?數(shù)學(xué)具有嚴(yán)密的邏輯性，任何數(shù)學(xué)結(jié)論都必須經(jīng)過邏輯推理的嚴(yán)格證明才能被承認(rèn)。任何一門科學(xué)，都要應(yīng)用邏輯工具，都有它嚴(yán)謹(jǐn)?shù)囊幻妗?3．廣泛應(yīng)用性：數(shù)學(xué)作為一種工具或手段，幾乎在任何一門科學(xué)技術(shù)及一切社會領(lǐng)域中都被運(yùn)用。各門科學(xué)的“數(shù)學(xué)化”，是現(xiàn)代科學(xué)發(fā)展的一大趨勢。? 專題13.9 軸對稱章末十大題型總結(jié)（培優(yōu)篇） 【人教版】 TOC \o "1-3" \h \u   HYPERLINK \l "_Toc24431" 【題型1 利用軸對稱的性質(zhì)求解】  PAGEREF _Toc24431 \h 1  HYPERLINK \l "_Toc29394" 【題型2 軸對稱中的光線反射】  PAGEREF _Toc29394 \h 2  HYPERLINK \l "_Toc18863" 【題型3 等腰三角形中分類討論】  PAGEREF _Toc18863 \h 4  HYPERLINK \l "_Toc8757" 【題型4 雙垂直平分線求角度與周長】  PAGEREF _Toc8757 \h 5  HYPERLINK \l "_Toc4284" 【題型5 角平分線與垂直平分線綜合運(yùn)用】  PAGEREF _Toc4284 \h 6  HYPERLINK \l "_Toc28302" 【題型6 軸對稱圖形中的面積問題】  PAGEREF _Toc28302 \h 7  HYPERLINK \l "_Toc25559" 【題型7 軸對稱中尺規(guī)作圖與證明、計算的綜合運(yùn)用】  PAGEREF _Toc25559 \h 8  HYPERLINK \l "_Toc30449" 【題型8 軸對稱中的旋轉(zhuǎn)】  PAGEREF _Toc30449 \h 10  HYPERLINK \l "_Toc18225" 【題型9 軸對稱中規(guī)律探究】  PAGEREF _Toc18225 \h 12  HYPERLINK \l "_Toc21111" 【題型10 等邊三角形的十字結(jié)合模型】  PAGEREF _Toc21111 \h 13  【題型1 利用軸對稱的性質(zhì)求解】 【例1】（2023春·山東青島·八年級統(tǒng)考期末）如圖，在△ABC中，點(diǎn)D，E分別在邊AB，BC上，點(diǎn)A與點(diǎn)E關(guān)于直線CD對稱．若AB=7cm，AC=9cm，BC=12cm，則△DBE的周長為 cm． ?? 【變式1-1】（2023春·江西九江·八年級統(tǒng)考期末）已知△ABC中∠B是鈍角，以AC所在直線為對稱軸作△ADC，若∠BAD+∠BCD=100°，則∠B的度數(shù)為 ． 【變式1-2】（2023春·山東濰坊·八年級統(tǒng)考期中）如圖，點(diǎn)P為∠AOB內(nèi)一點(diǎn)，分別作出P點(diǎn)關(guān)于OB、OA的對稱點(diǎn)P1，P2，連接P1P2交OB于M，交OA于N，若∠AOB=40°，則∠MPN的度數(shù)是 ． 【變式1-3】（2023春·江蘇泰州·八年級?？计谥校┤鐖D，將△ABC紙片沿DM折疊，使點(diǎn)C落在點(diǎn)C′的位置，其中點(diǎn)D為AC邊上一定點(diǎn)，點(diǎn)M為BC邊上一動點(diǎn)，點(diǎn)M與B，C不重合． （1）若∠A＝84°，∠B＝61°，則∠C′＝ °； （2）如圖1，當(dāng)點(diǎn)C′落在四邊形ABMD內(nèi)時，設(shè)∠BMC′＝∠1，∠ADC′＝∠2，探索∠C′與∠1，∠2之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由； （3）在點(diǎn)M運(yùn)動過程中，折疊圖形，若∠C′＝35°，∠BMC′＝53°，求∠ADC′的度數(shù)． ?? 【題型2 軸對稱中的光線反射】 【例2】（2023春·全國·八年級專題練習(xí)）光線以如圖所示的角度α照射到平面鏡工上，然后在平面鏡I，Ⅱ之間來回反射．若∠α=50°，∠β=60°，則∠γ等于 (????) A．80° B．70° C．60° D．50° 【變式2-1】（2023·八年級單元測試）公元一世紀(jì)，正在亞歷山大城學(xué)習(xí)的古希臘數(shù)學(xué)家海倫發(fā)現(xiàn)：光在鏡面上反射時，反射角等于入射角．如圖1，法線NO垂直于反射面，入射光線與法線的夾角為入射角，反射光線與法線的夾角為反射角．臺球碰撞臺球桌邊后反彈與光線在鏡面上反射原理相同． 如圖2，長方型球桌ABCD上有兩個球P，Q．請你嘗試解決臺球碰撞問題： (1)請你設(shè)計一條路徑，使得球P撞擊臺球桌邊AB反射后，撞到球Q．在圖2中畫出，并說明做法的合理性． (2)請你設(shè)計一路徑，使得球P連續(xù)三次撞擊臺球桌邊反射后，撞到球Q，在圖3中畫出一種路徑即可． 【變式2-2】（2023春·廣東佛山·八年級?？茧A段練習(xí)）如圖1，直線l垂直BC于點(diǎn)B，∠ACB=90°，點(diǎn)D為BC中點(diǎn)，一條光線從點(diǎn)A射向D，反射后與直線l交于點(diǎn)E，且有∠EDB=∠ADC． ???????? (1)求證：BE=AC； (2)如圖2，連接AB交DE于點(diǎn)F，連接FC交AD于點(diǎn)H，AC=BC，求證：CF⊥AD； (3)如圖3，在（2）的條件下，點(diǎn)P是AB邊上的動點(diǎn)，連接PC，PD，SΔACD=5，CH=2，請問PC+PD是否存在最小值，若存在，請直接寫出最小值，無需證明；若不存在，請說明理由． 【變式2-3】（2023春·上?！ぐ四昙墝ｎ}練習(xí)）如圖所示，已知邊長為2的正三角形ABC中，P0是BC邊的中點(diǎn)，一束光線自P0發(fā)出射到AC上的P1后，依次反射到AB、BC上的點(diǎn)P2和P3，且1＜BP3＜32（反射角等于入射角），則P1C的取值范圍是 ． 【題型3 等腰三角形中分類討論】 【例3】（2023春·重慶南岸·八年級校考期末）如圖，△ABC中，∠ACB>120°，∠B=20°，D為AB邊上一點(diǎn)（不與A、B重合），將△BCD沿CD翻折得到△CDE，CE交AB于點(diǎn)F．若△DEF為等腰三角形，則∠BCD為（????） ?? A．30° B．30°或60° C．50° D．30°或50° 【變式3-1】（2023春·陜西渭南·八年級?？计谥校┤舻妊切我谎系母吲c另一腰的夾角為20°，則它的底角為（????） A．35° B．55° C．55°或35° D．70°或35° 【變式3-2】（2023春·廣東廣州·八年級?？计谥校┤鐖D，△ABC中∠ABC=40°，動點(diǎn)D在直線BC上，當(dāng)△ABD為等腰三角形，∠ADB= ． ?? 【變式3-3】（2023春·山西運(yùn)城·八年級統(tǒng)考期末）如圖，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=130°，△AFD和△ABD關(guān)于直線AD對稱，∠FAC的平分線交BC于點(diǎn)G，連接FG，當(dāng)△DFG為等腰三角形時，∠FDG的度數(shù)為 ． ?? 【題型4 雙垂直平分線求角度與周長】 【例4】（2023春·廣西桂林·八年級統(tǒng)考期末）如圖所示，點(diǎn)E、F是∠BAC的邊AB上的兩點(diǎn)，線段EF的垂直平分線交AC于D，AD的垂直平分線恰好經(jīng)過E點(diǎn)，連接DE、DF，若∠CDF=α，則∠EDF的度數(shù)為（????） ?? A．α B．4α3 C．180°?2α3 D．180°?4α3 【變式4-1】（2023春·河北保定·八年級統(tǒng)考期中）如圖，在△ABC中，BC=8，AB的垂直平分線交BC于D，AC的垂直平分線交BC與E，則△ADE的周長等于（　?。? A．6 B．7 C．8 D．12 【變式4-2】（2023春·河北保定·八年級統(tǒng)考期中）如圖，在△ABC中，AI平分∠BAC，BI平分∠ABC，點(diǎn)O是AC、BC的垂直平分線的交點(diǎn)，連接AO、BO，若∠AOB=α，則∠AIB的大小為（???） ?? A．α B．14α+90° C．12α+90° D．180°?12α 【變式4-3】（2023春·遼寧丹東·八年級?？计谥校┤鐖D，在△ABC中，邊AB的垂直平分線OM與邊AC的垂直平分線ON交于點(diǎn)O，這兩條垂直平分線分別交BC于點(diǎn)D、E．已知△ADE的周長為11cm，分別連接OA、OB、OC，若△OBC的周長為23cm，則OA的長為 ． ?? 【題型5 角平分線與垂直平分線綜合運(yùn)用】 【例5】（2023春·湖南湘西·八年級統(tǒng)考期末）如圖，在△ABC中，∠BAC=60°，∠BAC的平分線AD與邊BC的垂直平分線相交于點(diǎn)D，DE⊥AB交AB的延長線于點(diǎn)E，DF⊥AC于點(diǎn)F，現(xiàn)有以下結(jié)論：①DE=DF；②DE+DF=AD；③DM平分∠ADF；④AB+AC=2AE；其中正確的有（????） ?? A．2個 B．3個 C．4個 D．1個 【變式5-1】（2023春·山東威海·八年級統(tǒng)考期末）如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°,∠CAB的平分線交BC于點(diǎn)D,DE恰好是AB的垂直平分線，垂足為E．若AD=6，則DE的長為 ． ?? 【變式5-2】（2023春·山東青島·八年級統(tǒng)考期末）如圖，在△ABC中，∠A=52°，∠ACB的角平分線CF與BC的垂直平分線DE交于點(diǎn)O，連接OB．若∠ABO=20°，則∠ACB= ． ?? 【變式5-3】（2023春·四川成都·八年級校考期中）如圖，△ABC中，∠ABC的角平分線BD和AC邊的中垂線DE交于點(diǎn)D，DM⊥BA的延長線于點(diǎn)M，DN⊥BC于點(diǎn)N．若AB=3，BC=7，則AM的長為 ． 【題型6 軸對稱圖形中的面積問題】 【例6】（2023春·陜西榆林·八年級?？计谥校┤鐖D，在△ABC中，DE垂直平分BC，BD平分∠ABC，DH⊥BA，交BA的延長線于點(diǎn)H． (1)若∠ADB=48°，求∠A的度數(shù)； (2)若AB=5cm，△ABC與△ABD的周長之差為8cm，且△ADB的面積為10cm2，求△BDC的面積． 【變式6-1】（2023春·廣東深圳·八年級?？计谥校┤鐖D，∠B=∠C=90°，點(diǎn)E是BC的中點(diǎn)，DE平分∠ADC． ?? (1)求證：AE是∠DAB的平分線； (2)已知AE=4，DE=3，求四邊形ABCD的面積． 【變式6-2】（2023春·重慶渝中·八年級重慶巴蜀中學(xué)校考期中）如圖，在△ABC中，∠BAC=90°，AC=AB，點(diǎn)D、E分別是邊AC、BC上的點(diǎn)，連接BD，AE交于點(diǎn)O． ?? (1)如圖1，BD⊥AE，過點(diǎn)C作CF⊥AE，交AE的延長線于點(diǎn)F，求證：AO=CF； (2)如圖2，點(diǎn)D是AC中點(diǎn)，連接DE，若∠ADB=∠CDE，求證：BD⊥AE； (3)如圖3，過點(diǎn)C作CF⊥AE于點(diǎn)F，延長FC至點(diǎn)G，使得∠GAC=∠FCE，點(diǎn)B、O、D、G在同一直線上，若CF=145，AF=465，直接寫出△AOG的面積． 【變式6-3】（2023春·江蘇泰州·八年級校考期中）如圖，∠AOB=45°，點(diǎn)M、N分別在射線OA、OB上，MN=6，△OMN的面積為12，點(diǎn)P是直線MN上的動點(diǎn)，點(diǎn)P關(guān)于OA對稱的點(diǎn)為P1，點(diǎn)P關(guān)于OB對稱的點(diǎn)為P2，當(dāng)點(diǎn)P在直線NM上運(yùn)動時，∠P1OP2= °，△OP1P2的面積最小值為 ． ?? 【題型7 軸對稱中尺規(guī)作圖與證明、計算的綜合運(yùn)用】 【例7】（2023春·河南鄭州·八年級統(tǒng)考期末）如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°． ?? (1)請用無刻度的直尺和圓規(guī)在BC邊上找一點(diǎn)P，使得點(diǎn)P到點(diǎn)A和點(diǎn)B的距離相等；（要求：不寫作法，保留作圖痕跡，使用2B鉛筆作圖） (2)在（1）的條件下，若AC=2，CB=5，則△CAP的周長是___________． 【變式7-1】（2023春·重慶巴南·八年級統(tǒng)考期末）如圖，在△ABC中，AB=AC，D為BC的中點(diǎn)，連接AD． (1)請用直尺和圓規(guī)完成基本作圖： 作AD的垂直平分線EF交AD于點(diǎn)O，交AB于點(diǎn)E，交AC于點(diǎn)F，連接DE、DF；（保留作圖痕跡，不寫作法，不下結(jié)論） (2)求證：AE=DF．（請補(bǔ)全下面的證明過程，不寫證明理由）． 證明：∵AB=AC，D為BC中點(diǎn)， ∴∠1=________． ∵EF為AD的垂直平分線， ∴∠AOE=∠AOF=90°，AF=DF 又∵∠1+∠AOE+∠AEF=180°， ∠2+∠AOF+∠AFE=180°， ∴∠AEF=________． ∴AE=________， ∴AE=DF． 【變式7-2】（2023春·河南許昌·八年級許昌市第一中學(xué)校聯(lián)考期末）如圖，△ABC是等邊三角形，BD是中線，延長BC至E，使CE=CD． ?? (1)求證：DB=DE； (2)請用無刻度的直尺和圓規(guī)作出線段BE的中點(diǎn)F（不寫作法，保留作圖痕跡）；若AB=4，求CF的長． 【變式7-3】（2023春·河北廊坊·八年級統(tǒng)考期末）（1）尺規(guī)作圖：過點(diǎn)A作直線l的垂線． 作法如下： ①以點(diǎn)A為圓心，a為半徑作弧交直線l于C、D兩點(diǎn)； ②分別以C、D為圓心，a長為半徑作弧，兩弧在l下方交于點(diǎn)E，連接AE（路徑最短）； i根據(jù)題意，利用直尺和圓規(guī)補(bǔ)全圖形； ii作圖依據(jù)為______________ （2）畫一畫，想一想：如圖，已知∠AOB．你能用手中的三角板作出∠AOB的角平分線嗎？寫出作法，并證明． 【題型8 軸對稱中的旋轉(zhuǎn)】 【例8】（2023春·山西太原·八年級?？计谀┤鐖D，在折線段A?B?C中，BC可繞點(diǎn)B旋轉(zhuǎn)，AB=6，BC=2，線段AB上有一動點(diǎn)P，將線段AB分成兩部分，旋轉(zhuǎn)BC，PA，當(dāng)三條線段BC，BP，PA首尾順次相連構(gòu)成等腰三角形時，BP的長為（????） ?? A．3 B．2或3 C．2或4 D．2或3或4 【變式8-1】（2023春·河南南陽·八年級統(tǒng)考期末）一副直角三角尺按如圖①所示疊放，現(xiàn)將含45°的三角尺ADE固定不動，將含30°的三角尺ABC繞頂點(diǎn)A順時針旋轉(zhuǎn).如圖②，當(dāng)∠CAE=15°時，此時BC∥DE.繼續(xù)旋轉(zhuǎn)三角尺ABC，使兩塊三角尺至少有一組邊互相平行，則∠CAE（0°