專題15.2 分式的運(yùn)算【十大題型】（原卷版+解析版）--最新人教八年級(jí)上冊(cè)數(shù)學(xué)精講精練

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數(shù)學(xué) 新人教版初中數(shù)學(xué)學(xué)科教材分析 數(shù)學(xué)是一門研究數(shù)量關(guān)系和空間形式的科學(xué)，具有嚴(yán)密的符號(hào)體系，獨(dú)特的公式結(jié)構(gòu)，形象的圖像語言。它有三個(gè)顯著的特點(diǎn)：高度抽象，邏輯嚴(yán)密，廣泛應(yīng)用。? 1．高度抽象性：數(shù)學(xué)的抽象，在對(duì)象上、程度上都不同于其它學(xué)科的抽象，數(shù)學(xué)是借助于抽象建立起來并借助于抽象發(fā)展的。 2．嚴(yán)密邏輯性：?數(shù)學(xué)具有嚴(yán)密的邏輯性，任何數(shù)學(xué)結(jié)論都必須經(jīng)過邏輯推理的嚴(yán)格證明才能被承認(rèn)。任何一門科學(xué)，都要應(yīng)用邏輯工具，都有它嚴(yán)謹(jǐn)?shù)囊幻妗?3．廣泛應(yīng)用性：數(shù)學(xué)作為一種工具或手段，幾乎在任何一門科學(xué)技術(shù)及一切社會(huì)領(lǐng)域中都被運(yùn)用。各門科學(xué)的“數(shù)學(xué)化”，是現(xiàn)代科學(xué)發(fā)展的一大趨勢。? 專題15.2 分式的運(yùn)算【十大題型】 【人教版】 TOC \o "1-3" \h \u   HYPERLINK \l "_Toc844" 【題型1 已知分式恒等式確定分子或分母】  PAGEREF _Toc844 \h 2  HYPERLINK \l "_Toc31281" 【題型2 比較分式的大小】  PAGEREF _Toc31281 \h 4  HYPERLINK \l "_Toc26339" 【題型3 負(fù)整數(shù)指數(shù)冪】  PAGEREF _Toc26339 \h 10  HYPERLINK \l "_Toc19484" 【題型4 利用科學(xué)記數(shù)法表示小數(shù)】  PAGEREF _Toc19484 \h 12  HYPERLINK \l "_Toc31802" 【題型5 分式的混合運(yùn)算】  PAGEREF _Toc31802 \h 13  HYPERLINK \l "_Toc26480" 【題型6 分式的化簡求值】  PAGEREF _Toc26480 \h 17  HYPERLINK \l "_Toc8777" 【題型7 分式加減的應(yīng)用】  PAGEREF _Toc8777 \h 20  HYPERLINK \l "_Toc28353" 【題型8 分式運(yùn)算的規(guī)律探究】  PAGEREF _Toc28353 \h 24  HYPERLINK \l "_Toc31489" 【題型9 分式中的新定義問題】  PAGEREF _Toc31489 \h 28  HYPERLINK \l "_Toc1848" 【題型10 分式中的閱讀理解類問題】  PAGEREF _Toc1848 \h 33  【知識(shí)點(diǎn)1 分式的運(yùn)算】 分式的乘除法法則： 1）分式的乘法：分子的積為積的分子，分母的積為積的分母，能約分的約分。即：ab×cd=acbd 2）分式的除法：除式的分子、分母顛倒位置后，與被除數(shù)相乘。即：ab÷cd=ab×dc=adbc 3）分式的乘方：分子、分母分別乘方。（ab）n=anbn 4）運(yùn)算順序：先乘方，后乘除，最后加減。同級(jí)從左至右依次計(jì)算。有括號(hào)的，先算括號(hào)中的，在算括號(hào)外的。 注：上述所有計(jì)算中，結(jié)果中分子、分母可約分的，需進(jìn)行約分化為最簡分式. 分式的加減法則： 1）同分母分式：分母不變，分子相加減ac±bc=a±bc 2）異分母分式：先通分，變?yōu)橥帜阜质?，再加減ab±dc=acbc±bdbc=ac±bdbc 注： = 1 \* GB3 \* MERGEFORMAT ①計(jì)算結(jié)果中，分子、分母若能約分，要約分; = 2 \* GB3 \* MERGEFORMAT ②運(yùn)算順序中，加減運(yùn)算等級(jí)較低。若混合運(yùn)算種有乘除或乘方運(yùn)算，先算乘除、乘方運(yùn)算，最后算加減運(yùn)算。 【題型1 已知分式恒等式確定分子或分母】 【例1】（2023上·湖南長沙·八年級(jí)校聯(lián)考階段練習(xí)）已知6x3+10xx4+x2+1=Ax+Bx2+x+1+Cx+Dx2?x+1，其中A，B，C，D為常數(shù)，則A+B+C+D= ． 【答案】6 【分析】由于x4+x2+1=(x2+1)2?x2=x2+1+xx2+1?x，利用這個(gè)等式首先把已知等式右邊通分化簡，然后利用分母相同，分式的值相等即可得到分子相等，由此即可得到關(guān)于A、B、C、D的方程組，解方程組即可求解． 【詳解】解：∵6x3+10xx4+x2+1=Ax+Bx2+x+1+Cx+Dx2?x+1，且x4+x2+1=(x2+1)2?x2=x2+1+xx2+1?x， ∴6x3+10xx4+x2+1=Ax+Bx2+1?x+Cx+Dx2+1+xx4+x2+1 ∴6x3+10x=Ax+Bx2+1?x+Cx+Dx2+1+x ∴當(dāng)x=0時(shí)，B+D=0① 當(dāng)x=1時(shí)，A+B+3C+D=16②?? 當(dāng)x=?1時(shí)，3B?A+D?C=?16③ ∵6x3+10x=Ax3+Bx2+Ax+B1?x+Cx3+Dx2+Cx+D1+x, 即6x3+10x=A+Cx3+Bx2+Ax+B1?x+Dx2+Cx+D1+x ∴A+C=6④ 聯(lián)立①②③④解之得 A=C=3、B=?2、D=2， ∴A+B+C+D=6． 故答案為：6． 【點(diǎn)睛】此題主要考查了部分分式的計(jì)算，題目比較復(fù)雜，解題時(shí)首先正確理解題意，然后根據(jù)題意列出關(guān)于A、B、C、D的方程組即可解決問題． 【變式1-1】（2023·山東煙臺(tái)·八年級(jí)統(tǒng)考期末）若3x?4(x?1)(x?2)=Kx?1+2Kx?2，則K＝ ． 【答案】1 【分析】根據(jù)分式的加減和恒等關(guān)系即可求解． 【詳解】解：原式變形，得 3x?4(x?1)(x?2)＝3kx?4k(x?1)(x?2), ∴3K＝3，4K＝4， 解得K＝1． 故答案為1． 【點(diǎn)睛】本題考查了分式的加減，解決本題的關(guān)鍵是恒等關(guān)系變形． 【變式1-2】（2023上·上海黃浦·八年級(jí)上海市民辦立達(dá)中學(xué)?？计谥校┮讶?x2?7x+2x?1x+1=3+ax?1+bx+1是恒等式，請(qǐng)分別求的a、b的值． 【答案】a=?1b=?6 【分析】先把分式恒等式去分母可得3x2?7x+2=3x2+a+bx+a?b?3，再利用恒等建立方程組即可． 【詳解】解：3x2?7x+2x?1x+1=3+ax?1+bx+1， ∴去分母可得：3x2?7x+2=3x+1x?1+ax+1+bx?1， ∴3x2?7x+2=3x2+a+bx+a?b?3， 由恒等式可得： a+b=?7a?b?3=2， 解得：a=?1b=?6． 【點(diǎn)睛】本題考查的是分式的恒等，掌握“分式的恒等的含義”是解本題的關(guān)鍵． 【變式1-3】（2023上·云南昆明·八年級(jí)昆明市第三中學(xué)?？茧A段練習(xí)）閱讀下列材料： 若1?3xx2?1=Ax+1+Bx?1，試求A、B的值 解：等式右邊通分，得 Ax?1+Bx+1x+1x?1=A+Bx+?A+Bx2?1 根據(jù)題意，得A+B=?3?A+B=1，解之得A=?2B=?1． 仿照以上解法，解答下題． (1)已知x+6x+12x?3=Mx+1?N2x?3（其中M、N為常數(shù)）求M、N的值； (2)若12n?12n+1=a2n?1?b2n+1對(duì)任意自然數(shù)n都成立，則a=_________，b=_________． (3)計(jì)算：11×3+13×5+15×7+?+12019×2021=_________． 【答案】(1)M=?1N=?3 (2)12，12 (3)10102021 【分析】（1）根據(jù)閱讀材料中的方法計(jì)算即可求出M與N的值； （2）根據(jù)閱讀材料中的方法計(jì)算即可求出a與b的值； （3）由11×3=12×1?13，13×5=12×13?15，?，利用裂項(xiàng)相消，即可求解． 【詳解】（1）解：等式右邊通分，得 Mx+1?N2x?3=M2x?3?Nx+1x+12x?3=2M?Nx+?3M?Nx+12x?3， 根據(jù)題意，得2M?N=1?3M?N=6，解之得M=?1N=?3； （2）解：等式右邊通分，得 a2n?1?b2n+1=a2n+1?b2n?12n?12n+1=2a?2bn+a+b2n?12n+1， 根據(jù)題意，得2a?2b=0a+b=1，解之得a=b=12； 故答案為：12，12； （3）解：11×3+13×5+15×7+?+12019×2021 =12×1?13+12×13?15+12×15?17+?+12×12019?12021 =12×1?13+13?15+15?17+?+12019?12021 =12×1?12021 =12×20202021 =10102021 故答案為：10102021． 【點(diǎn)睛】此題考查了分式的加減法，熟練掌握運(yùn)算法則是解本題的關(guān)鍵． 【題型2 比較分式的大小】 【例2】（2023下·江蘇南京·八年級(jí)南師附中樹人學(xué)校?？计谥校┍容^兩個(gè)數(shù)的大小時(shí)，我們常常用到“作差法”： 如果a?b>0，那么a>b； 如果a?b=0，那么a=b； 如果a?b0，且A=xy，B=x+1y+2，試用“作差法”比較A、B的大小，并說明理由； （2）比較兩數(shù)1999199820212020和1999199920212022的大小； （3）對(duì)于正x，y，A=xy，B=x+1y+2，如果A=B，則x、y滿足的關(guān)系是______． 【答案】(1) A>B；(2) 1999199820212020>1999199920212022；(3) y=2x 【分析】用作差法求解． 【詳解】(1)A?B=xy?x+1y+2=2x?yyy+2， ∵y>0，∴y+2>0，∴yy+2>0． ∵2x>y，∴2x?y>0， ∴2x?yyy+2>0，即A>B． 故答案為：A>B． （2）令19991998=t，20212020=m， 1999199820212020?1999199920212022=tm?t+1m+2=tm+2t?tm+mmm+2=2t?mmm+2， ∵2t>m，∴2t?m>0， ∵m>0，則m+2>0，∴m(m+2)>0， ∴1999199820212020>1999199920212022． （3）A?B=0，xy?x+1y+2=0，2x?yyy+2=0， y為正數(shù)，所以分母不為0 ∴2x?y=0，y=2x． 故答案為：y=2x． 【點(diǎn)睛】本題考查了作差法比較大?。?如果A-B＞0，那么A＞B； 如果A-B=0，那么A=B； 如果A-B＜0，那么A＜B． 【變式2-1】（2023上·福建福州·八年級(jí)統(tǒng)考期末）已知：P=x+1，Q= 4xx+1． (1)當(dāng)x>0時(shí)，判斷P-Q與0的大小關(guān)系，并說明理由； (2)設(shè)y=3P?Q2，若x是整數(shù)，求y的整數(shù)值． 【答案】(1)P-Q≥0，理由見解析； (2)y的整數(shù)值為：-7，-3，-1，3． 【分析】（1）先求差，再比較差與0的大小關(guān)系； （2）先表示y，再求y的整數(shù)值． 【詳解】（1）解：P-Q≥0，理由如下： P-Q= x+1?4xx+1=(x+1)2x+1?4xx+1 =x2+2x+1?4xx+1 =(x?1)2x+1， ∵x＞0， ∴x+1＞0，（x-1）2≥0． ∴P-Q≥0； （2）解：y=3x+1?2xx+1=3?2xx+1=?2(x+1)+5x+1 =?2+5x+1， ∵x，y是整數(shù)， ∴x+1是5的因數(shù)． ∴x+1=±1，±5．對(duì)應(yīng)的y值為： ∴y=-2+5=3或y=-2+（-5）=-7或y=-2+1=-1或y=-2+（-1）=-3． ∴y的整數(shù)值為：-7，-3，-1，3． 【點(diǎn)睛】本題考查分式運(yùn)算和比較大小，正確進(jìn)行分式的加減運(yùn)算是求解本題的關(guān)鍵． 【變式2-2】（2023上·湖南常德·八年級(jí)常德市第七中學(xué)?？计谥校?1)若a、b為正數(shù)，且aab (3)②④ 【分析】（1）利用作差法判斷大小即可． （2）利用作差法比較大小即可． （3）利用作差法逐項(xiàng)進(jìn)行比較判斷即可． 【詳解】（1）解：a+1b+1?ab =b(a+1)?a(b+1)b(b+1) =b?ab(b+1)， ∵b>a>0， ∴b?a>0，b(b+1)>0， ∴ b?ab(b+1)>0， ∴ a+1b+1>ab， 即ab0，c>0， ∴c(b?a)>0，b(b+c)>0， ∴ c(b?a)b(b+c)>0， 即a+cb+c>ab； （3）①m+2n+2?mn =n(m+2)?m(n+2)n(n+2) =mn+2n?mn?2mn(n+2) =2(n?m)n(n+2)， ∵n>m>0， ∴2(n?m)>0，n(n+2)>0， ∴ 2(n?m)n(n+2)>0， 則m+2n+2>mn，故①錯(cuò)誤； ②m?2n?2?mn =n(m?2)?m(n?2)n(n?2) =mn?2n?mn+2mn(n?2) =2(m?n)n(n?2)， ∵n>m>2， ∴2(m?n)0， ∴ 2(m?n)n(n?2)2， ∴3(m?n)0， ∴ 3(m?n)(n?2)(n+1)2021， ∴4043(n?m)>0，(n+2022)(n?2021)>0， ∴ 4043(n?m)(n+2022)(n?2021)>0， 則m+2022n+2022>m?2021n?2021，故④正確． 故答案為：②④． 【點(diǎn)睛】本題考查分式的混合運(yùn)算，熟練掌握作差法以及分式混合運(yùn)算的運(yùn)算法則是解答本題的關(guān)鍵． 【知識(shí)點(diǎn)2 整數(shù)指數(shù)冪的運(yùn)算】 1.整數(shù)負(fù)指數(shù)冪：a?n=1an. 2.若am=an，且a≠0，則m=n；反之，若a≠0，且m=n，則am=an。據(jù)此，可解決某些條件求值問題. 【題型3 負(fù)整數(shù)指數(shù)冪】 【例3】（2023下·浙江寧波·八年級(jí)?？计谀┮阎獂=1+7n，y=1+7?n，則用x表示y的結(jié)果正確的是（????） A．x+1x?1 B．x+1x+1 C．xx?1 D．7?x 【答案】C 【分析】將y變形為y=1+17n，再將x=1+7n變形為7n=x?1，代入即可． 【詳解】解：y=1+7?n=1+17n， ∵x=1+7n， ∴7n=x?1， ∴y=1+17n=1+1x?1=xx?1， 故選：C． 【點(diǎn)睛】本題考查了負(fù)整數(shù)指數(shù)冪，以及分式的化簡，熟練掌握負(fù)整數(shù)指數(shù)冪的運(yùn)算是解題的關(guān)鍵． 【變式3-1】（2023下·遼寧阜新·八年級(jí)阜新實(shí)驗(yàn)中學(xué)?？计谥校┤鬭=0.32，b=?3?2，c=?13?2，則a，b，c的大小關(guān)系為 （用“＜”連接）． 【答案】b＜a＜c 【分析】根據(jù)a=0.32=0.09，b=?3?2=?132=?19，c=?13?2=1?132=9，比較即可． 【詳解】∵a=0.32=0.09，b=?3?2=?132=?19，c=?13?2=1?132=9， ∴?19＜0.09＜9， 故b＜a＜c， 故答案為：b＜a＜c． 【點(diǎn)睛】本題考查了冪的計(jì)算，負(fù)整數(shù)指數(shù)冪，實(shí)數(shù)大小比較，熟練掌握公式和大小比較的原則是解題的關(guān)鍵． 【變式3-2】（2023上·陜西·八年級(jí)?？茧A段練習(xí)）已知x=3?q，y?1=21?p，z=4p27?q，用x，y表示z的代數(shù)式為 ． 【答案】4x3y2． 【分析】由于z=4p?27-q=（22）p?（33）-q=（2p）2?（3-q）3，題目要求用x，y表示z，又x=3-q，那么關(guān)鍵是用y的代數(shù)式表示2p．由y-1=21-p，根據(jù)負(fù)整指數(shù)冪的意義，可知2p=2y． 【詳解】由y-1=21-p， 得y＝2p?1＝2p2， 所以2p=2y． z=4p?27-q=（22）p?（33）-q=（2p）2?（3-q）3=（2y）2?x3=4x3y2． 【點(diǎn)睛】本題綜合考查了冪的運(yùn)算性質(zhì)、負(fù)整指數(shù)冪的意義及代數(shù)式的恒等變形．本題能夠由已知條件y-1=21-p，得出2p=2y是解題的關(guān)鍵． 【變式3-3】（2023上·浙江寧波·八年級(jí)統(tǒng)考期末）若x2?12x+1=0，則x4+1x4的個(gè)位數(shù)字是 ． 【答案】2 【分析】根據(jù)已知可得x+x?1=12，進(jìn)而根據(jù)完全平方公式的得出x2+x?2，x4+x?4，即可求解． 【詳解】解：?由題設(shè)知x≠0，于是有x+x?1=12． 于是x2+x?2=x+x?12?2=122?2=142， x4+x?4=x2+x?22?2=1422?2． 故x4+x?4的個(gè)位數(shù)字為2． 【點(diǎn)睛】本題考查了負(fù)整數(shù)指數(shù)冪，完全平方公式，將已知等式變形是解題的關(guān)鍵． 【題型4 利用科學(xué)記數(shù)法表示小數(shù)】 【例4】（2023·河北邯鄲·?？家荒＃┌?.00258寫成a×10n（1≤aQ；②P=Q；③P0， ∴?2nm+1m?120)，則糖水的濃度（即糖的質(zhì)量與糖水的質(zhì)量比）為ba． (1)糖水實(shí)驗(yàn)一：加入m克水，則糖水的濃度為_____________．生活經(jīng)驗(yàn)告訴我們，糖水加水后會(huì)變淡，由此可以寫出一個(gè)不等式_____________，我們?nèi)しQ為“糖水不等式”． (2)糖水實(shí)驗(yàn)二：將“糖水實(shí)驗(yàn)一”中的“加入m克水”改為“加入m克糖”，則糖水的濃度為____________．根據(jù)生活經(jīng)驗(yàn)，請(qǐng)你寫出一個(gè)新的“糖水不等式”____________． (3)請(qǐng)結(jié)合（2）探究得到的結(jié)論嘗試證明：設(shè)a、b、c為△ABC三邊的長，求證：ca+b+ab+c+ba+cab+c,b+ba+b+c>ba+c ∴c+ca+b+c+a+aa+b+c+b+ba+b+c>ca+b+ab+c+ba+c ∴2c+2a+2ba+b+c>ca+b+ab+c+ba+c ∵2c+2a+2ba+b+c=2 ∴ca+b+ab+c+ba+c5． (1)若該貨輪在水流速度為5km/h的航線上航行，用含v的式子表示貨輪順流航行和逆流航行的最大速度； (2)航運(yùn)公司計(jì)劃用該貨輪將一批貨物以最大航速從A港送往B港，再從B港返回A港．根據(jù)海流預(yù)報(bào)：航線1位于外灣，受潮汐影響，水流速度為5km/h，且從A港到B港為順流航行；航線2位于內(nèi)灣，水流速度忽略不計(jì)．為了使送貨的往返的總時(shí)間更短，請(qǐng)通過計(jì)算說明航運(yùn)公司應(yīng)當(dāng)選擇哪一條航線． 【答案】(1)順流航行的最大速度為v+5km/h，逆流航行的最大速度為v?5km/h； (2)航運(yùn)公司應(yīng)當(dāng)選擇航線2． 【分析】（1）根據(jù)v順=v靜+v水和v逆=v靜?v水即可得到代數(shù)式； （2）航線1：從A港到B港為順流航行，從B港返回A港為逆流航行，得到t總=300vv+5v?5；航線2：從A港到B港和從B港返回A港的速度相同，同為v，得到t總′=300v，比較即可得出結(jié)論． 【詳解】（1）解：∵貨輪在靜水中的最大航速為vv>5， ∴水流速度為5km/h， ∴順流航行的最大速度為v+5km/h， 逆流航行的最大速度為v?5km/h； （2）解：航線1： 從A港到B港為順流航行，從B港返回A港為逆流航行， 依題意得t總=150v+5+150v?5=300vv+5v?5； 航線2： 從A港到B港和從B港返回A港的速度相同，同為v， 依題意得t總′=150v+150v=300v； t總?t總′=300vv+5v?5?300v=300v2?300v2?25vv+5v?5=300×25vv+5v?5>0， ∴t總>t總′， ∴航運(yùn)公司應(yīng)當(dāng)選擇航線2． 【點(diǎn)睛】本題考查了分式加減的應(yīng)用、列代數(shù)式，要讀懂題目的意思，根據(jù)題目給出的條件，找出合適的等量關(guān)系列式再求解，解題關(guān)鍵是理解順?biāo)叫兴俣群湍嫠叫兴俣龋?【題型8 分式運(yùn)算的規(guī)律探究】 【例8】（2023上·遼寧大連·八年級(jí)期末）觀察下列式子： 11?3+55?3=2，44?3+22?3=2，?3?3?3+99?3=2，88?3+?2?2?3=2，…… 按照上面式子的規(guī)律，完成下列問題： (1)再寫出兩個(gè)（不同于上面算式）具有上述規(guī)律的式子：①　　，②　??； (2)設(shè)第一個(gè)數(shù)為x，則這個(gè)規(guī)律可用字母x表示為x()=()()＝（　?。ú槐貙懗鲎帜傅娜≈捣秶?； (3)驗(yàn)證這個(gè)規(guī)律． 【答案】(1)?1?1?3+77?3=2，1010?3+?4?4?3=2（答案不唯一） (2)x-3，6-x，6-x-3 (3)見解析 【分析】（1）根據(jù)所給式子，寫出符合條件的即可； （2）第一個(gè)數(shù)為x，第一個(gè)數(shù)的分母為x-3，第二個(gè)數(shù)的分子為6-x,分母為6-x-3，由此可得結(jié)論； （3）利用分式的運(yùn)算方法驗(yàn)證即可． 【詳解】（1）①?1?1?3+77?3=2； ②1010?3+?4?4?3=2； 故答案為：?1?1?3+77?3=2，1010?3+?4?4?3=2（答案不唯一） （2）通過觀察可得規(guī)律：xx?3+6?x6?x?3=2， 故答案為：x-3，6-x，6-x-3； （3）xx?3+6?x6?x?3 =xx?3+6?x3?x =x?6+xx?3 =2(x?3)x?3 =2， ∴xx?3+6?x6?x?3=2成立． 【點(diǎn)睛】本題考查數(shù)字的變化規(guī)律以及分式的加減運(yùn)算，通過觀察式子的特點(diǎn)，找到各式子分子、分母之間的聯(lián)系是解題的關(guān)鍵． 【變式8-1】（2023·安徽·校聯(lián)考三模）觀察以下等式： 第1個(gè)等式：232?4×2?1?41=21； 第2個(gè)等式：442?4×2?2?42=22； 第3個(gè)等式：652?4×2?3?43=23； 第4個(gè)等式：862?4×2?4?44=24； 第5個(gè)等式：1072?4×2?5?45=25；…… 按照以上規(guī)律，解決下列問題： (1)寫出第6個(gè)等式：___________； (2)寫出你猜想的第n個(gè)等式：__________（用含n的等式表示），并證明． 【答案】(1)1282?4×2?6?46=26 (2)2n(n+2)2?4×2?n?4n=2n，證明見解析 【分析】（1）根據(jù)題目中前5個(gè)等式，可以發(fā)現(xiàn)式子的變化特點(diǎn)，從而可以寫出第6個(gè)等式； （2）把上面發(fā)現(xiàn)的規(guī)律用字母n表示出來，并運(yùn)用分式的混合運(yùn)算法則計(jì)算等號(hào)的右邊的值，進(jìn)而得到左右相等便可． 【詳解】（1）解： 1282?4×2?6?46=26； （2）解：2n(n+2)2?4×2?n?4n=2n，理由如下： 左邊=2nn2+4n×n+4n=2n+4×n+4n=2n=右邊， ∴等式成立． 【點(diǎn)睛】本題考查數(shù)字的變化類，明確題意，發(fā)現(xiàn)式子的變化特點(diǎn)，寫出相應(yīng)的等式，并證明猜想的正確性是解答本題的關(guān)鍵． 【變式8-2】（2023下·湖南永州·八年級(jí)校考期中）閱讀理解：閱讀下列過程 因?yàn)?×21=4，2+21=4，所以2×21=2+21 因?yàn)?×32=92，3+32=92，所以3×32=3+32 因?yàn)?×43=163，4+43=163，所以4×43=4+43 因?yàn)?×54=254，5+54=254，所以5×54=5+54 …………………………………………………．． (1)根據(jù)上面規(guī)律填空， 8×87= ____ (2)根據(jù)你觀察的特點(diǎn)，用含n的公式表示上面的規(guī)律為______________ (3)證明你得到的公式是否正確． 【答案】(1)8+87 (2)(n+1)×n+1n=(n+1)+n+1n (3)見詳解 【分析】（1）由已知算式的規(guī)律直接把乘改為加即可； （2）利用以上規(guī)律得出答案即可； （3）利用分式的運(yùn)算方法得出答案即可． 【詳解】（1）解：8×87=8+87； （2）解：(n+1)×n+1n=(n+1)+n+1n； （3）證明：∵左邊=(n+1)2n，右邊=n(n+1)n+n+1n=(n+1)2n， ∴左邊=右邊， ∴(n+1)×n+1n=(n+1)+n+1n． 【點(diǎn)睛】此題考查數(shù)字的變化規(guī)律，找出數(shù)字之間的運(yùn)算規(guī)律，利用規(guī)律解決問題． 【變式8-3】（2023·安徽合肥·統(tǒng)考三模）觀察以下等式： 第1個(gè)等式：12+1=14?1×92， 第2－個(gè)等式：12+12=19?1×8， 第3個(gè)等式：12+13=116?1×252， 第4個(gè)等式：12+14=125?1×18， …… 按照以上規(guī)律，解決下列問題： (1)寫出第5個(gè)等式：__________________； (2)寫出你猜想的第n個(gè)等式（用含n的等式表示），并證明． 【答案】(1)12+15=136?1×492 (2)12+1n=1(n+1)2?1×(n+2)22，見解析 【分析】（1）根據(jù)前4個(gè)等式得出第五個(gè)等式即可； （2）通過觀察減號(hào)后面的數(shù)字規(guī)律，再結(jié)合每個(gè)式子找到規(guī)律，最后寫出即可． 【詳解】（1）解： 12+15=136?1×492 （2）12+1n=1(n+1)2?1×(n+2)22 左邊=12+1n=n+22n 右邊=1n2+2n?(n+2)22=n+22n ∴左邊=右邊． 【點(diǎn)睛】本題主要考查數(shù)字類變化規(guī)律，仔細(xì)觀察每個(gè)式子中對(duì)應(yīng)位置的數(shù)字，并找到相關(guān)系數(shù)關(guān)系是解題的關(guān)鍵． 【題型9 分式中的新定義問題】 【例9】（2023下·江蘇揚(yáng)州·八年級(jí)統(tǒng)考期末）定義：若分式A與分式B的差等于它們的積，即A?B=AB，則稱分式B是分式A“友好分式”． 如1x+1與1x+2，因?yàn)?x+1?1x+2=1x+1x+2，1x+1×1x+2=1x+1x+2， 所以1x+2是1x+1的“友好分式”． (1)分式22y+5______22y+3分式的“友好分式”（填“是”或“不是”）； (2)小明在求分式1x2+y2的“友好分式”時(shí)，用了以下方法： 設(shè)1x2+y2的“友好分式”為N，則1x2+y2?N=1x2+y2×N， ∴1x2+y2+1N=1x2+y2， ∴N=1x2+y2+1． 請(qǐng)你仿照小明的方法求分式xx?3的“友好分式”． (3)①觀察（1）（2）的結(jié)果，尋找規(guī)律，直接寫出分式bax+b的“友好分式”：______． ②若n+2mx+m2+n是m?1mx+n2的“友好分式”，則m+n的值為______． 【答案】(1)是 (2)x2x?3 (3)①bax+2b；②23 【分析】（1）根據(jù)友好分式的定義進(jìn)行判斷； （2）仿照題目中給到的方法進(jìn)行求解； （3）①根據(jù)（1）（2）找規(guī)律求解； ②由①推出的結(jié)論，類比形式求解即可. 【詳解】（1）解：∵22y+3?22y+5=42y+32y+5,22y+3×22y+5=42y+32y+5 ∴22y+3與22y+5是“友好分式” 故答案為：是 （2）解：設(shè)xx?3的“關(guān)聯(lián)分式”為N，則xx?3?N=xx?3×N， ∴xx?3+1N=xx?3， ∴N=x2x?3． （3）解：①設(shè)bax+b的“關(guān)聯(lián)分式”為N，則bax+b?N=bax+b×N， ∴bax+b+1N=bax+b， ∴N=bax+2b． 規(guī)律是：將原分式的分母加上分子,分子保持不變,則所新得的分式是原分式的“友好分式”. 故答案為：bax+2b； ②將原分式的分母加上分子,分子保持不變,則所新得的分式是原分式的“友好分式”. 據(jù)此可得n+2=m?1mx+m2+n=mx+n2+n+2， 整理得m?n=3m2?n2=2 ∴m+n=m2?n2m?n=23． 故答案為：23 【點(diǎn)睛】本題是創(chuàng)新探究類題目，讀懂題目中的新定義并熟練地掌握分式的混合運(yùn)算是解決本題的關(guān)鍵. 【變式9-1】（2023下·浙江湖州·八年級(jí)?？计谀┬露x：若兩個(gè)分式A與B的差為n（n為正整數(shù)），則稱A是B的“n分式”．例如：xx?1?1x?1=1，則稱分式xx?1是分式1x?1的“1分式”．根據(jù)以上定義，下列選項(xiàng)中說法錯(cuò)誤的是（????） A．4x+3x+2是x?3x+2的“3分式” B．若a的值為?3，則12+x3+2x是ax+63+2x的“2分式” C．若2aba2?4b2是aa?2b的“1分式”，則a2=3b2 D．若a與b互為倒數(shù)，則5aa+b2是?5ba2+b的“5分式” 【答案】C 【分析】根據(jù)新定義運(yùn)算逐個(gè)驗(yàn)證正確與否即可． 【詳解】A、4x+3x+2?x?3x+2=3x+6x+2=3，A說法正確； B、12+x3+2x?ax+63+2x=12+x3+2x??3x+63+2x=4x+63+2x=2，B說法正確； C、由已知條件得：2aba2?4b2?aa?2b=1，化簡得：a2=2b2，C說法錯(cuò)誤； D、由已知得：ab=1，5aa+b2??5ba2+b=5abab+b3??5aba3+ab=51+b3+5a3+1=51+1a3+5a3+1=5a3+1a3+1=5，D說法正確． 故選：C． 【點(diǎn)睛】本題考查了新定義運(yùn)算，解題的關(guān)鍵是正確運(yùn)用新定義的運(yùn)算規(guī)則． 【變式9-2】（2023下·浙江紹興·八年級(jí)統(tǒng)考期末）定義：若分式M與分式N的差等于它們的積，即M?N=MN，則稱分式N是分式M的“互聯(lián)分式”．如1x+1與1x+2，因?yàn)?x+1?1x+2=1(x+1)(x+2)，1x+1×1x+2=1(x+1)(x+2)，所以1x+2是1x+1的“互聯(lián)分式”． (1)判斷分式3x+2與分式3x+5是否是“互聯(lián)分式”，請(qǐng)說明理由； (2)小紅在求分式1x2+y2的“互聯(lián)分式”時(shí)，用了以下方法： 設(shè)1x2+y2的“互聯(lián)分式”為N，則1x2+y2?N=1x2+y2×N， ∴1x2+y2+1N=1x2+y2，∴N=1x2+y2+1． 請(qǐng)你仿照小紅的方法求分式x+2x+5的“互聯(lián)分式”． (3)解決問題： 仔細(xì)觀察第（1）（2）小題的規(guī)律，請(qǐng)直接寫出實(shí)數(shù)a，b的值，使4a?2bx+b是4b+2bx+a的“互聯(lián)分式”． 【答案】(1)是，理由見解析； (2)x+22x+7 (3)a=14，b=?34 【分析】（1）根據(jù)關(guān)聯(lián)分式的定義進(jìn)行判斷； （2）仿照題目中給到的方法進(jìn)行求解； （3）仿照題目中給到的方法進(jìn)行求解． 【詳解】（1）分式3x+2與分式3x+5是“互聯(lián)分式”，理由如下： ∵3x+2?3x+5=3x+5?3x+2x+2x+5=9x+2x+5，3x+2×3x+5=9x+2x+5， ∴分式3x+2是分式3x+5的“互聯(lián)分式”， （2）解：設(shè)x+2x+5的“互聯(lián)分式”為N，則x+2x+5?N=x+2x+5×N， ∴x+2x+5+1N=x+2x+5， ∴N=x+22x+7． （3）解：由（1）（2）可得，yx的“互聯(lián)分式”是yx+y， ∵4a?2bx+b是4b+2bx+a的“互聯(lián)分式” ∴4b+2=4a?2bx+b=bx+a+4b+2， 整理得a?b=1a+3b=?2 解得a=14b=?34． 【點(diǎn)睛】本題考查了分式的混合運(yùn)算，分式有意義的條件，理解新定義是解題的關(guān)鍵． 【變式9-3】（2023下·江蘇南京·八年級(jí)南京五十中校聯(lián)考期中）定義：若兩個(gè)分式A與B滿足：A?B=3，則稱A與B這兩個(gè)分式互為“美妙分式”． (1)下列三組分式：①1a+1與4a+1；②4aa+1與a?3a+1；③a2a?1與7a?32a?1．其中互為“美妙分式”的有 　　（只填序號(hào)）； (2)求分式a2a+1的“美妙分式”； (3)若分式4a2a2?b2與aa+b互為“美妙分式”，且a、b均為不等于0的實(shí)數(shù)，求分式2a2?b2ab的值． 【答案】(1)②③ (2)7a+32a+1或?5a+32a+1 (3)?173或?13 【分析】（1）根據(jù)給出的“美妙分式”定義把每一組的分式相減求絕對(duì)值看結(jié)果來判斷； （2）根據(jù)給出的“美妙分式”定義求分式a2a+1的“美妙分式”即可； （3）根據(jù)分式4a2a2?b2與aa+b互為“美妙分式”，得到4a2a2?b2?aa+b=3，求出①a=?3b，②ab=3b2?6a2，分別把①②代入分式2a2?b2ab中求出結(jié)果即可． 【詳解】（1）解：①1a+1?4a+1=?3a+1≠3， ②4aa+1?a?3a+1=3a+3a+1=3， ③a2a?1?7a?32a?1=?6a+32a?1=?6a?32a?1=3， 故答案為：②③； （2）設(shè)分式a2a+1的“美妙分式”為A， 則A?a2a+1=3 ， ∴A?a2a+1=3或A?a2a+1=?3， ①當(dāng)A?a2a+1=3時(shí)， A=a2a+1+3=a2a+1+6a+32a+1=7a+32a+1， ②當(dāng)A?a2a+1=?3時(shí)， A=a2a+1?3=a2a+1?6a+32a+1=?5a?32a+1=?5a+32a+1 ， 綜上：分式a2a+1的“美妙分式”為7a+32a+1或?5a+32a+1； （3）∵4a2a2?b2與aa+b互為“美妙分式”， ∴4a2a2?b2?aa+b=3， ∵4a2a2?b2?aa+b=4a2a+ba?b?aa?ba+ba?b=3a2+aba+ba?b=3， ∴3a2+aba+ba?b=3或3a2+aba+ba?b=?3， ∴3a2+ab=3a2?b2或3a2+ab=?3a2?b2， ∵a、b均為不等于0的實(shí)數(shù)， ∴①a=?3b，②ab=3b2?6a2， 把①代入2a2?b2ab=2?3b2?b2?3b2=17b2?3b2=?173， 把②代入2a2?b2ab=2a2?b23b2?6a2=2a2?b2?32a2?b2=?13， 綜上：分式2a2?b2ab的值為?173或?13． 【點(diǎn)睛】本題考查了分式的加減法和實(shí)數(shù)的性質(zhì)，絕對(duì)值的意義，熟練掌握分式加減法的法則，對(duì)新定義的理解是解題關(guān)鍵． 【題型10 分式中的閱讀理解類問題】 【例10】（2023下·江蘇徐州·八年級(jí)統(tǒng)考期中）【閱讀】在處理分式問題時(shí)，由于分子的次數(shù)不低于分母的次數(shù)，在實(shí)際運(yùn)算時(shí)往往難度比較大，這時(shí)我們可以將分式拆分成一個(gè)整式與一個(gè)分式的和（差）的形式，通過對(duì)簡單式子的分析來解決問題，我們稱之為分離整式法． 例：將分式x2?3x?1x+2拆分成一個(gè)整式與一個(gè)分式（分子為整數(shù)）的和的形式． 解：設(shè)x+2=t，則x=t?2． 原式=(t?2)2?3(t?2)?1t=t2?7t+9t=t?7+9t ∴x2?3x?1x+2=x?5+9x+2． 這樣，分式x2?3x?1x+2就拆分成一個(gè)整式(x?5)與一個(gè)分式9x+2的和的形式． 【應(yīng)用】 (1)使用分離整式法將分式2x+4x+1拆分成一個(gè)整式與一個(gè)分式（分子為整數(shù)）的和的形式，則結(jié)果為______； (2)將分式x2?2x+4x?1拆分成一個(gè)整式與一個(gè)分式（分子為整數(shù)）的和的形式，則結(jié)果為______； 【拓展】 (3)已知分式x2?x+7x?3的值為整數(shù)，求正整數(shù)x的值． 【答案】(1)2+2x+1 (2)x?1+3x?1 (3)4或2或16 【分析】（1）根據(jù)題意將2x+4x+1化簡為一個(gè)整式與一個(gè)分式和的形式即可； （2）設(shè)x?1=t，則x=t+1，根據(jù)例題將分式轉(zhuǎn)化為一個(gè)整式和一個(gè)分式的和的形式； （3）設(shè)x?3=t，則x=t+3，先將分式轉(zhuǎn)化為一個(gè)整式和一個(gè)分式的和的形式，然后再根據(jù)結(jié)果是整數(shù)進(jìn)行分析即可求解． 【詳解】（1）解： 2x+4x+1=2x+1+2x+1=2+2x+1， 故答案為：2+2x+1； （2）設(shè)x?1=t，則x=t+1， ∴x2?2x+4x?1=t+12?2t+1+4t =t2+2t+1?2t?2+4t =t2+3t =t+3t ∴x2?2x+4x?1=x?1+3x?1， 故答案為：x?1+3x?1； （3）設(shè)x?3=t，則x=t+3， x2?x+7x?3=(3+t)2?(3+t)+7t =9+6t+t2?3?t+7t=5t+t2+13t=5+t+13t ∴x2?x+7x?3=5+(x?3)+13x?3=x+2+13x?3 ∵分式x2?x+4x?1的值為整數(shù)，且x是正整數(shù)，∴x?3=±1，x?3=±13， 由x?3=±1，得x=4或x=2 由x?3=±13，得x=16或x=?10（舍） ∴正整數(shù)x的值為4或2或16． 【點(diǎn)睛】本題考查了分式的化簡，解題的關(guān)鍵是正確理解題目給出的方法，熟練掌握運(yùn)算法則． 【變式10-1】（2023上·山東泰安·八年級(jí)統(tǒng)考期中）閱讀下面的解題過程： 已知：xx2+1=13，求x2x4+1的值． 解：由xx2+1=13知x≠0，所以x2+1x=3，即x+1x=3． 所以x4+1x2=x2+1x2=x+1x2?2=32?2=7． 故x2x4+1的值為17． (1)上題得解法叫做“倒數(shù)法”，請(qǐng)你利用“倒數(shù)法”解決下面的題目：xx2?5x+1=?1，求x2x4?7x2+1的值． (2)已知aba+b=6，bcb+c=9，aca+c=15，求abcab+bc+ac的值． 【答案】(1)17； (2)18031． 【分析】本題主要考查運(yùn)用“倒數(shù)法”求分式的值以及分式的混合運(yùn)算， （1）根據(jù)材料提示的“倒數(shù)法”將x2x4?7x2+1變形為x2+1x2?7，由此即可求解； （2）將aba+b=6，bcb+c=9，aca+c=15利用“倒數(shù)法”變形為1a+1b=16，1b+1c=19，1a+1c=115，將abcab+bc+ac利用“倒數(shù)法”變形為1a+1b+1c，由此即可求解． 【詳解】（1）解：∵xx2?5x+1=?1， ∴x2?5x+1x=x+1x?5=?1， ∴x+1x=4 ∴x+1x2=x2+1x2+2=16，即x2+1x2=14， ∵x2x4?7x2+1的倒數(shù)為x4?7x2+1x2， ∴x4?7x2+1x2=x2+1x2?7， ∴x2+1x2?7=14?7=7， ∴x2x4?7x2+1=17； （2）解：∵aba+b=6，bcb+c=9，aca+c=15， ∴1a+1b=16，1b+1c=19，1a+1c=115， ∴21a+1b+1c=16+19+115=3190 ∴1a+1b+1c=31180， ∵abcab+bc+ac， ∴ababc+bcabc+acabc=1a+1b+1c， ∴abcab+bc+ac=18031， 故答案為：18031． 【變式10-2】（2023上·湖南益陽·八年級(jí)統(tǒng)考期末）閱讀下列材料： 【材料一】 我們定義：在分式中對(duì)于只含有一個(gè)字母的分式當(dāng)分子的次數(shù)大于或等于分母的次數(shù)時(shí)我們稱之為“假分式”：當(dāng)分子的次數(shù)小于分母的次數(shù)時(shí)我們稱之為“真分式”． 如x?1x+2,x2x+1這樣的分式就是假分式：再如1x?1,2x?1x2+1這樣的分式就是真分式． 類似的假分式也可以化為帶分式．如：x?1x+2=(x+2)?3x+2=1?3x+2． 【材料二】 問題：用配方法求代數(shù)式x2+x+1的最值． 解：∵x2+x+1=x+122+34，而x+122≥0， ∴x2+x+1=x+122+34≥34， 故當(dāng)x=?12時(shí)，x2+x+1的最小值為34． 解答下列問題： (1)分式1x是_________（填“真分式”或“假分式”）；假分式x?1x+1可以化為帶分式_________的形式； (2)如果分式x+4x?1的值為整數(shù)，求滿足條件的整數(shù)x的值． (3)求分式6x2+6x+1x2+x+1的最值． 【答案】(1)真分式；1?2x+1 (2)?4,0,2,6 (3)?23 【分析】（1）根據(jù)材料一的定義與例題判斷化簡即可； （2）將x+4x?1化為真分式，然后對(duì)分母進(jìn)行賦值即可； （3）先將6x2+6x+1x2+x+1根據(jù)材料一化為真分式，然后根據(jù)材料二對(duì)分母轉(zhuǎn)化求最值即可． 【詳解】（1）解：∵1為0次，x為1次， 故分式1x是真分式； x?1x+1=x+1?2x+1=1?2x+1； 故答案為：真分式，1?2x+1 （2）解：x+4x?1=x?1+5x?1=1+5x?1， x?1=?5，解得x=?4； x?1=?1，解得x=0； x?1=1，解得x=2； x?1=5，解得x=6． 故滿足條件的整數(shù)x的值為?4,0,2,6 （3）解：6x2+6x+1x2+x+1=6x2+6x+6?5x2+x+1 =6?5x+122+34， 故當(dāng)x=?12時(shí)，分式6x2+6x+1x2+x+1的最小值為6?534=?23． 【點(diǎn)睛】本題考查了新定義，相關(guān)知識(shí)點(diǎn)有：分式加法的逆用，多項(xiàng)式的配方等知識(shí)點(diǎn)，充分理解題意是解題關(guān)鍵． 【變式10-3】（2023下·河南南陽·八年級(jí)統(tǒng)考期中）閱讀與理解： 閱讀下列材料，完成后面的任務(wù)： 在解決某些分式問題時(shí)，倒數(shù)法是常用的變形技巧之一，所謂倒數(shù)法，即把式子變成其倒數(shù)形式，從而運(yùn)用約分化簡，以達(dá)到計(jì)算目的． 例：若xx2+1=14 ，求代數(shù)式x+1x 的值． 解：∵xx2+1=14， ∴x2+1x=4，即x2x+1x=4， ∴x+1x=4. 任務(wù)：已知xx2?3x+1=13 ． (1)求x+1x的值． (2)求x2x4+2x2+1的值． 【答案】(1)x+1x=6 (2)136 【分析】（1）利用倒數(shù)法進(jìn)行約分化簡解題； （2）先求出倒數(shù)的值，然后代入求值即可． 【詳解】（1）解：∵xx2?3x+1=13， ∴x2?3x+1x=3， ∴x2x?3xx+1x=3，即x+1x=6； （2）解：設(shè)x2x4+2x2+1=m，則x4+2x2+1x2=1m， ∴x4x2+2x2x2+1x2=1m， ∴x2+2+1x2=1m， ∴x+1x2=1m， 由(1)可知x+1x=6， ∴1m=62=36， ∴m=136， 故x2x4+2x2+1的值為136． 【點(diǎn)睛】本題考查分式的有關(guān)運(yùn)算，理解材料中的計(jì)算方法，掌握分式的運(yùn)算法則是解題的關(guān)鍵．