（北京卷）中考數(shù)學(xué)第三次模擬考試（2份，原卷版+解析版）

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第一部分 選擇題
一、選擇題(共16分，每題2分)。
1．如圖是由8個(gè)相同的小立方體組成的幾何體的俯視圖，小正方形中的數(shù)字表示該位置上小立方體的個(gè)數(shù)，則這個(gè)幾何體的左視圖是
A． B．
C． D．
2．為阻斷新冠疫情傳播，我國(guó)政府積極開展新冠疫苗接種工作．截止到2022年3月5日，全國(guó)接種疫苗累計(jì)超過31億劑次．把3100000000用科學(xué)記數(shù)法表示為
A．B．C．D．
3．如圖所示，量角器的圓心在矩形的邊上，直徑經(jīng)過點(diǎn)，則的度數(shù)為
A．B．C．D．
4．一個(gè)十邊形的內(nèi)角和等于
A．B．C．D．
5．如圖，將一個(gè)棱長(zhǎng)為3的正方體表面涂上顏色，再把它分割成棱長(zhǎng)為1的小正方體，將它們?nèi)糠湃胍粋€(gè)不透明盒子中搖勻，隨機(jī)取出一個(gè)小正方體，有三個(gè)面被涂色的概率為
A．B．C．D．
6．實(shí)數(shù)在數(shù)軸上的對(duì)應(yīng)點(diǎn)位置如圖所示，若實(shí)數(shù)滿足：，則的值可以是
A．B．C．3D．4
7．?dāng)?shù)學(xué)上有很多著名的猜想，“奇偶?xì)w一猜想”就是其中之一，它至今未被證明，但研究發(fā)現(xiàn)，對(duì)于任意一個(gè)小于的正整數(shù)，如果是奇數(shù)，則乘3加1；如果是偶數(shù)，則除以2，得到的結(jié)果再按照上述規(guī)則重復(fù)處理，最終總能夠得到1．對(duì)任意正整數(shù)，按照上述規(guī)則，恰好實(shí)施5次運(yùn)算結(jié)果為1的所有可能取值的個(gè)數(shù)為
A．8B．6C．4D．2
8．在特定條件下，籃球賽中進(jìn)攻球員投球后，籃球的運(yùn)行軌跡是開口向下的拋物線的一部分．“蓋帽”是一種常見的防守手段，防守隊(duì)員在籃球上升階段將球攔截即為“蓋帽”，而防守隊(duì)員在籃球下降階段將球攔截則屬“違規(guī)”．對(duì)于某次投籃而言，如果忽略其他因素的影響，籃球處于上升階段的水平距離越長(zhǎng)，則被“蓋帽”的可能性越大，收集幾次籃球比賽的數(shù)據(jù)之后，某球員投籃可以簡(jiǎn)化為下述數(shù)學(xué)模型：如圖所示，該球員的投籃出手點(diǎn)為，籃框中心點(diǎn)為，他可以選擇讓籃球在運(yùn)行途中經(jīng)過，，，四個(gè)點(diǎn)中的某一點(diǎn)并命中，忽略其他因素的影響，那么被“蓋帽”的可能性最大的線路是
A．B．C．D．
第二部分 非選擇題
二、填空題（共8小題，滿分16分，每小題2分）
9．若分式有意義，則實(shí)數(shù)的取值范圍為 ．
10．分解因式： ．
11．若關(guān)于的一元二次方程有實(shí)數(shù)根，則的取值范圍為 ．
12．下列命題中，正確命題的個(gè)數(shù)為 ．
①所有的正方形都相似
②所有的菱形都相似
③邊長(zhǎng)相等的兩個(gè)菱形都相似
④對(duì)角線相等的兩個(gè)矩形都相似
13．如圖，四邊形是的內(nèi)接四邊形，，弦，則的半徑等于 ．
14．甲、乙、丙三名同學(xué)觀察完某個(gè)一次函數(shù)的圖象，各敘述如下：
甲：函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)；
乙：隨的增大而減??；
丙：函數(shù)的圖象不經(jīng)過第三象限．
根據(jù)他們的敘述，寫出滿足上述性質(zhì)的一個(gè)函數(shù)表達(dá)式為 ．
15．“共和國(guó)勛章”獲得者、“雜交水稻之父”袁隆平為世界糧食安全作出了杰出貢獻(xiàn)．全球共有40多個(gè)國(guó)家引種雜交水稻，中國(guó)境外種植面積達(dá)800萬公頃．某村引進(jìn)了甲、乙兩種超級(jí)雜交水稻品種，在條件（肥力、日照、通風(fēng)不同的6塊試驗(yàn)田中同時(shí)播種并核定畝產(chǎn)，統(tǒng)計(jì)結(jié)果為：畝，，畝，，則 品種更適合在該村推廣．（填“甲”或“乙”
16．為了從2018枚外形相同的金蛋中找出唯一的有獎(jiǎng)金蛋，檢查員將這些金蛋按的順序進(jìn)行標(biāo)號(hào)．第一次先取出編號(hào)為單數(shù)的金蛋，發(fā)現(xiàn)其中沒有有獎(jiǎng)金蛋，他將剩下的金蛋在原來的位置上又按編了號(hào)（即原來的2號(hào)變?yōu)?號(hào)，原來的4號(hào)變?yōu)?號(hào)原來的2018號(hào)變?yōu)?009號(hào)），又從中取出新的編號(hào)為單數(shù)的金蛋進(jìn)行檢驗(yàn)，仍沒有發(fā)現(xiàn)有獎(jiǎng)金蛋如此下去，檢查到最后一枚金蛋才是有獎(jiǎng)金蛋，問這枚有獎(jiǎng)金蛋最初的編號(hào)是 ．
三、解答題（共68分，第17-20題，每題5分，第21-22題，每題6分，第23題5分，第24題6分，第25題5分，第26題6分，第27-28題，每題7分）解答應(yīng)寫出文字說明、演算步驟或證明過程。
17．（5分）計(jì)算：．
18．（5分）解不等式組：，在數(shù)軸上表示解集并列舉出非正整數(shù)解．
19．（5分）先化簡(jiǎn)，再求值：，其中．
20．（5分）如圖，已知．
求作：的內(nèi)接等邊．
小麗同學(xué)的作法及證明過程如下：
（1）在小麗同學(xué)的證明過程中，①、②兩處的推理依據(jù)分別是 ； ．
（2）請(qǐng)你再給出一種作圖方法．（尺規(guī)作圖，保留作圖痕跡）
21．（6分）已知關(guān)于的一元二次方程．
（1）求證：無論取何值，方程都有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根．
（2）如果方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根為，，且與都為整數(shù)，求所有可能的值．
22．（6分）如圖，點(diǎn)是的邊上的動(dòng)點(diǎn)，，連接，并將線段繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到線段．
（1）作，垂足在線段上，當(dāng)時(shí)，判斷點(diǎn)是否在直線上，并說明理由；
（2）若，，求以、為鄰邊的正方形的面積．
23．（5分）如圖，點(diǎn)、在反比例函數(shù)的圖象上，軸，軸，垂足分別為、，與相交于點(diǎn)．
（1）根據(jù)圖象直接寫出、的大小關(guān)系，并通過計(jì)算加以驗(yàn)證；
（2）結(jié)合以上信息，從①四邊形的面積為2，②這兩個(gè)條件中任選一個(gè)作為補(bǔ)充條件，求的值．
你選擇的條件是 （只填序號(hào)）．
24．（6分）為了防控新冠疫情，某地區(qū)積極推廣疫苗接種工作，衛(wèi)生防疫部門對(duì)該地區(qū)八周以來的相關(guān)數(shù)據(jù)進(jìn)行收集整理，繪制得到圖表：
該地區(qū)每周接種疫苗人數(shù)統(tǒng)計(jì)表
根據(jù)統(tǒng)計(jì)表中的數(shù)據(jù)，建立以周次為橫坐標(biāo)，接種人數(shù)為縱坐標(biāo)的平面直角坐標(biāo)系，并根據(jù)以上統(tǒng)計(jì)表中的數(shù)據(jù)描出對(duì)應(yīng)的點(diǎn)，發(fā)現(xiàn)從第3周開始這些點(diǎn)大致分布在一條直線附近，現(xiàn)過其中兩點(diǎn)、作一條直線（如圖所示，該直線的函數(shù)表達(dá)式為，那么這條直線可近似反映該地區(qū)接種人數(shù)的變化趨勢(shì)．
請(qǐng)根據(jù)以上信息，解答下列問題：
（1）這八周中每周接種人數(shù)的平均數(shù)為 萬人；該地區(qū)的總?cè)丝诩s為 萬人；
（2）若從第9周開始，每周的接種人數(shù)仍符合上述變化趨勢(shì)．
①估計(jì)第9周的接種人數(shù)約為 萬人；
②專家表示：疫苗接種率至少達(dá)，才能實(shí)現(xiàn)全民免疫．那么，從推廣疫苗接種工作開始，最早到第幾周，該地區(qū)可達(dá)到實(shí)現(xiàn)全民免疫的標(biāo)準(zhǔn)？
（3）實(shí)際上，受疫苗供應(yīng)等客觀因素，從第9周開始接種人數(shù)將會(huì)逐周減少萬人，為了盡快提高接種率，一旦周接種人數(shù)低于20萬人時(shí)，衛(wèi)生防疫部門將會(huì)采取措施，使得之后每周的接種能力一直維持在20萬人．如果，那么該地區(qū)的建議接種人群最早將于第幾周全部完成接種？
25．（5分）如圖，在中，是直徑，弦，垂足為，為上一點(diǎn)，為弦延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，連接并延長(zhǎng)交直徑的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，連接交于點(diǎn)，若．
（1）求證：是的切線；
（2）若的半徑為8，，求的長(zhǎng)．
26．（6分）在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)和點(diǎn)在拋物線上．
（1）若，，求該拋物線的解析式以及它的對(duì)稱軸；
（2）若，點(diǎn)，，在該拋物線上．若，比較，，，0的大小，用小于號(hào)將他們連接，并說明理由．
27．（7分）在和中，，，且，，將繞點(diǎn)順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)，把點(diǎn)在邊上時(shí)的位置作為起始位置（此時(shí)點(diǎn)和點(diǎn)位于的兩側(cè)），設(shè)旋轉(zhuǎn)角為，連接，點(diǎn)是線段的中點(diǎn)，連接，．
（1）如圖1，當(dāng)在起始位置時(shí)，猜想：與的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系，并說明理由；
（2）如圖2，當(dāng)時(shí)，點(diǎn)落在邊上，請(qǐng)判斷與的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系，并證明你的結(jié)論；
（3）當(dāng)時(shí)，若，，請(qǐng)直接寫出的值．
28．（7分）在平面直角坐標(biāo)系中，對(duì)于點(diǎn)，，給出如下定義：若且，我們稱點(diǎn)是線段的“潛點(diǎn)”．
已知點(diǎn)，．
（1）在，，，中是線段的“潛點(diǎn)”是 ；
（2）若點(diǎn)在直線上，且為線段的“潛點(diǎn)”，求點(diǎn)橫坐標(biāo)的取值范圍；
（3）直線與軸交于點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)，當(dāng)線段上存在線段的“潛點(diǎn)”時(shí)，直接寫出的取值范圍為 ．
考
生
須
知
本試卷共兩部分，28道題。滿分100分。考試時(shí)間120分鐘。
在試卷和草稿紙上準(zhǔn)確填寫姓名、準(zhǔn)考證號(hào)、考場(chǎng)號(hào)和座位號(hào)。
試題一律填涂或書寫在答題卡上，在試卷上作答無效。
在答題卡上，選擇題、作圖題用2B鉛筆作答，其他試題用黑色字跡簽字筆作答。
考試結(jié)束，將本試卷、答題卡和草稿紙一并交回。
作法：①作直徑；
②作半徑的垂直平分線，垂足為，交于、兩點(diǎn)；
③連接，．
所以即為的內(nèi)接等邊三角形．
證明：連接，
在中，垂直平分
，
（①）
為等邊三角形
（②）
為的內(nèi)接等邊三角形．
周次
第1周
第2周
第3周
第4周
第5周
第6周
第7周
第8周
接種人數(shù)（萬人）
7
10
12
18
25
29
37
42