2021-2022學(xué)年北京市海淀區(qū)師達(dá)中學(xué)八年級(jí)（下）期中數(shù)學(xué)試卷（含解析）

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2021-2022學(xué)年北京市海淀區(qū)師達(dá)中學(xué)八年級(jí)（下）期中數(shù)學(xué)試卷 題號(hào)一二三總分得分     一、選擇題（本大題共10小題，共20分）下列二次根式中，是最簡(jiǎn)二次根式的是A.  B.  C.  D. 計(jì)算的結(jié)果為A.  B.  C.  D. 以下列長(zhǎng)度的三條線段為邊，能組成直角三角形的是A. ，， B. ，， C. ，， D. ，，如圖，數(shù)軸上點(diǎn)表示的數(shù)為，，且，以原點(diǎn)為圓心，為半徑畫弧，交數(shù)軸正半軸于點(diǎn)，則點(diǎn)所表示的數(shù)為
A.  B.  C.  D. 在?中，：：，則的度數(shù)為A.  B.  C.  D. 如圖，等邊的邊長(zhǎng)為，于點(diǎn)，則的長(zhǎng)為A.
B.
C.
D. 如圖，長(zhǎng)方形內(nèi)，兩個(gè)小正方形的面積分別是，，則圖中陰影部分的面積為A.
B.
C.
D. 如圖，在?中，，，的平分線交于點(diǎn)，則的長(zhǎng)為A.
B.
C.
D. 如圖，四邊形中，、分別是，邊的中點(diǎn)，、分別是對(duì)角線，的中點(diǎn)，若，則線段的長(zhǎng)是A.
B.
C.
D. 如圖，中，，沿著中線將剪開得到兩個(gè)直角三角形，然后再將這兩個(gè)直角三角形拼成一個(gè)平行四邊形無縫隙不重疊，則所拼成的平行四邊形的周長(zhǎng)不可能是A.  B.  C.  D.  二、填空題（本大題共8小題，共24分）若在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)有意義，則實(shí)數(shù)的取值范圍是______．用一組，的值說明命題“如果，那么”是假命題，這組值可以是______，______．如圖，平面直角坐標(biāo)系中，?的頂點(diǎn)，，在坐標(biāo)軸上，，，點(diǎn)在第一象限，則點(diǎn)的坐標(biāo)是______．
圖中的直角三角形斜邊長(zhǎng)為，將四個(gè)圖中的直角三角形分別拼成如圖所示的正方形，其中陰影部分的面積分別記為，，則的值為______．
九章算術(shù)中有“折竹抵地”問題：“今有竹高一丈，末折抵地，去根三尺，問折者高幾何？”題意是：有一根竹子原來高丈丈尺，中部有一處折斷，竹梢觸地面處離竹根尺，試問折斷處離地面多高？
如圖，設(shè)折斷處距離地面尺，根據(jù)題意，可列方程為______．當(dāng)，代數(shù)式的值是______．如圖，?的對(duì)角線交于點(diǎn)，點(diǎn)，，，分別是?四條邊上不重合的點(diǎn)．下列條件能判定四邊形是平行四邊形的有______填序號(hào)．
，；
，均經(jīng)過點(diǎn)；
經(jīng)過點(diǎn)，．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)，，點(diǎn)是軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)．
用含的式子表示線段的長(zhǎng)是______；
結(jié)合圖形，判斷式子的最小值是______．
 三、解答題（本大題共9小題，共56分）計(jì)算：
；
 下面是小東設(shè)計(jì)的“過直線外一點(diǎn)作這條直線的平行線”的尺規(guī)作圖過程．
已知：直線及直線外一點(diǎn)．
求作：直線，使得．

作法：如圖，
在直線上取一點(diǎn)，作射線，以點(diǎn)為圓心，長(zhǎng)為半徑畫弧，交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)；
在直線上取一點(diǎn)不與點(diǎn)重合，作射線，以點(diǎn)為圓心，長(zhǎng)為半徑畫弧，交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)；
作直線所以直線就是所求作的直線．
根據(jù)小東設(shè)計(jì)的尺規(guī)作圖過程，
使用直尺和圓規(guī)，補(bǔ)全圖形；保留作圖痕跡
完成下面的證明．
證明：______，______，
______填推理的依據(jù)．如圖，四邊形是平行四邊形，點(diǎn)，分別是，邊上的點(diǎn)，且．
求證：．
  如圖，在正方形網(wǎng)格中，每個(gè)小方格的頂點(diǎn)叫做格點(diǎn)，設(shè)每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)為以格點(diǎn)為頂點(diǎn)分別按下列要求畫圖．

在圖中，畫一個(gè)直角三角形，使它的斜邊長(zhǎng)為；
在圖中，畫一個(gè)等腰三角形，使它的底邊長(zhǎng)為，腰長(zhǎng)為；
在圖中，畫一個(gè)等腰直角三角形，使它斜邊長(zhǎng)為．如圖，四邊形中，，，，，求的度數(shù)．




  我們規(guī)定用表示一對(duì)數(shù)對(duì)，給出如下定義：記，其中，，將與稱為數(shù)對(duì)的一對(duì)“和諧數(shù)對(duì)”．
例如：的一對(duì)“和諧數(shù)對(duì)”為和
數(shù)對(duì)的一對(duì)“和諧數(shù)對(duì)”是______；
若數(shù)對(duì)的一對(duì)“和諧數(shù)對(duì)”相同，則的值為______；
若數(shù)對(duì)的一個(gè)“和諧數(shù)對(duì)”是，則的值為______．如圖，點(diǎn)，是?對(duì)角線上的兩點(diǎn)，且．
求證：四邊形是平行四邊形．
若，，，．
線段長(zhǎng)為______．
四邊形的面積為______．
閱讀下面材料：
小明遇到這樣一個(gè)問題：如圖，在中，分別交于，交于已知，，，求的值．
小明發(fā)現(xiàn)，過點(diǎn)作，交延長(zhǎng)線于點(diǎn)，構(gòu)造，經(jīng)過推理和計(jì)算能夠使問題得到解決如圖．

請(qǐng)回答：的值為______．
參考小明思考問題的方法，解決問題：如圖，已知?和矩形，與交于點(diǎn)，，求的度數(shù)．在中，為邊上的中線，點(diǎn)在邊上不與點(diǎn)重合，若，那么線段的中點(diǎn)稱為關(guān)于的“斜等點(diǎn)”如圖所示．

在平面直角坐標(biāo)系中，的頂點(diǎn)與原點(diǎn)重合，點(diǎn)的坐標(biāo)為，點(diǎn)在軸上方．
當(dāng)時(shí)，若存在關(guān)于的“斜等點(diǎn)”點(diǎn)，
下列各點(diǎn)中，符合題意的點(diǎn)可能是______不必寫出坐標(biāo)．
，，，．
設(shè)關(guān)于的“斜等點(diǎn)”的坐標(biāo)為，若，則的取值范圍是______，的取值范圍是______．
若關(guān)于的“斜等點(diǎn)”為定點(diǎn)，直接寫出的取值范圍．
答案和解析 1.【答案】【解析】解：、原式，不符合題意；
B、原式，不符合題意；
C、原式，不符合題意；
D、原式為最簡(jiǎn)二次根式，符合題意．
故選：．
利用最簡(jiǎn)二次根式：分母中不含根號(hào)，根號(hào)中不含分母，被開方數(shù)不含能開方的因數(shù)，判斷即可．
此題考查了最簡(jiǎn)二次根式，熟練掌握最簡(jiǎn)二次根式的定義是解本題的關(guān)鍵．
 2.【答案】【解析】解：原式，
故選：．
根據(jù)二次根式的性質(zhì)即可求出答案．
本題考查二次根式的性質(zhì)與化簡(jiǎn)，解題的關(guān)鍵是熟練運(yùn)用二次根式的性質(zhì)，本題屬于基礎(chǔ)題型．
 3.【答案】【解析】解：、，，
，
以三條線段，，為邊不能組成直角三角形，
故A不符合題意；
B、，，
，
以三條線段，，為邊不能組成直角三角形，
故B不符合題意；
C、，，
，
以三條線段，，為邊能組成直角三角形，
故C符合題意；
D、，，
，
以三條線段，，為邊不能組成直角三角形，
故D不符合題意；
故選：．
根據(jù)勾股定理的逆定理，進(jìn)行計(jì)算即可解答．
本題考查了勾股定理的逆定理，熟練掌握勾股定理的逆定理是解題的關(guān)鍵．
 4.【答案】【解析】解：如圖，在中，，則．
以為圓心，以為半徑畫弧，交數(shù)軸的正半軸于點(diǎn)，
，
點(diǎn)表示的實(shí)數(shù)是．
故選：．
根據(jù)勾股定理，結(jié)合數(shù)軸即可得出結(jié)論．
本題考查的是勾股定理，實(shí)數(shù)與數(shù)軸以及復(fù)雜作圖，熟知實(shí)數(shù)與數(shù)軸上各點(diǎn)是一一對(duì)應(yīng)關(guān)系是解答此題的關(guān)鍵．
 5.【答案】【解析】解：四邊形是平行四邊形，
，．
：：
．
．
解得：，．
．
故選：．
由平行四邊形的性質(zhì)可得，，即可求的度數(shù)．
本題主要考查的是平行四邊形的性質(zhì)，掌握平行四邊形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
 6.【答案】【解析】解：在等邊中，
，
為的中點(diǎn)，
等邊三角形的邊長(zhǎng)為，
，，
根據(jù)勾股定理，得，
故選：．
根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)可知是的中點(diǎn)，再根據(jù)勾股定理，即可求出的長(zhǎng)．
本題考查了等邊三角形的性質(zhì)，熟練掌握等邊三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
 7.【答案】【解析】解：兩個(gè)小正方形的面積分別是，，
，，
陰影部分的長(zhǎng)為：，寬為：，
圖中陰影部分的面積為：，
故選：．
根據(jù)兩個(gè)小正方形的面積分別是，，可以得到和的長(zhǎng)，然后即可表示出陰影部分的長(zhǎng)和寬，然后即可計(jì)算出圖中陰影部分的面積．
本題考查二次根式的應(yīng)用，解答本題的關(guān)鍵是表示出陰影部分的長(zhǎng)和寬．
 8.【答案】【解析】解：四邊形是平行四邊形，
，，，
，
平分，
，
，
，
．
故選：．
由四邊形是平行四邊形，可得，，，得，又由平分，可得，根據(jù)等角對(duì)等邊，可得，所以求得．
此題考查了平行四邊形的性質(zhì)、角平分線的定義與等腰三角形的判定定理．解決本題的關(guān)鍵是注意當(dāng)有平行線和角平分線出現(xiàn)時(shí)，會(huì)出現(xiàn)等腰三角形．
 9.【答案】【解析】解：、分別是，邊的中點(diǎn)，
，
、分別是，邊的中點(diǎn)，
，
故選：．
根據(jù)三角形中位線定理解答即可．
本題考查的是三角形中位線定理，掌握三角形的中位線平行于第三邊，且等于第三邊的一半是解題的關(guān)鍵．
 10.【答案】【解析】解：過點(diǎn)作于點(diǎn)，
，，
，故AD，
如圖所示：，，
則平行四邊形的周長(zhǎng)為：；
如圖所示：，，
則平行四邊形的周長(zhǎng)為：；
如圖所示：，，
則平行四邊形的周長(zhǎng)為：；
綜上所述：用這兩個(gè)三角形拼成平行四邊形，則其周長(zhǎng)為：或或．
故選：．
根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)以及平行四邊形的判定，可以動(dòng)手拼湊，得出答案．
此題主要考查了平行四邊形的判定以及等腰三角形的性質(zhì)，通過動(dòng)手操作得出答案是解決問題的關(guān)鍵．
 11.【答案】【解析】解：在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)有意義，
，
解得：．
故答案為：．
直接利用二次根式的定義得出答案．
此題主要考查了二次根式有意義的條件，正確得出的值是解題關(guān)鍵．
 12.【答案】  【解析】解：若，，則，
但，
故命題“如果，那么”是假命題，
故答案為：，．
當(dāng)，時(shí)，，滿足，但，由此即可說明命題“如果，那么”是假命題．
本題考查的是命題的真假判斷、有理數(shù)的乘方，任何一個(gè)命題非真即假．要說明一個(gè)命題的正確性，一般需要推理、論證，而判斷一個(gè)命題是假命題，只需舉出一個(gè)反例即可．
 13.【答案】【解析】解：，，
，
，，
四邊形是平行四邊形，
，
點(diǎn)的坐標(biāo)為，
故答案為：．
根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得出，再利用平行四邊形的對(duì)邊相等解答即可．
本題考查了平行四邊形的性質(zhì)，同時(shí)考查了坐標(biāo)與圖形特點(diǎn)，關(guān)鍵是根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得出解答．
 14.【答案】【解析】解：如圖，是直角三角形，
，
故答案為：．
根據(jù)勾股定理即可得到結(jié)論．
本題考查了勾股定理，熟練掌握勾股定理是解題的關(guān)鍵．
 15.【答案】【解析】解：竹子原高一丈丈尺，折斷處離地面的高度為尺，
竹梢到折斷處的長(zhǎng)度為尺．
依題意得：．
故答案為：．
由竹子的原高可得出竹梢到折斷處的長(zhǎng)度為尺，利用勾股定理，即可得出關(guān)于的一元二次方程，此題得解．
本題考查了由實(shí)際問題抽象出一元二次方程，找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出一元二次方程是解題的關(guān)鍵．
 16.【答案】【解析】解：，
，
，
故答案為．
將所求式子進(jìn)行配方處理，再將已知條件代入即可．
本題考查二次根式求值；能夠?qū)⑺笫阶舆M(jìn)行配方處理是解題的關(guān)鍵．
 17.【答案】【解析】解：四邊形是平行四邊形，
，，，，，，，，
，，
，，
≌，≌，
，，
則四邊形是平行四邊形；
故能判定四邊形是平行四邊形；
?的對(duì)角線交于點(diǎn)，，均經(jīng)過點(diǎn)，
，，
則四邊形是平行四邊形；
故能判定四邊形是平行四邊形；
經(jīng)過點(diǎn)，，的位置未知，
故不能判定四邊形是平行四邊形；
綜上所述：能判定四邊形是平行四邊形的有．
故答案為：．
若是四邊形的對(duì)角線互相平分，可證明這個(gè)四邊形是平行四邊形，不能證明對(duì)角線互相平分，只有可以，即可得出結(jié)論．
本題考查了平行四邊形的判定與性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、平行線的性質(zhì)等知識(shí)；熟練掌握平行四邊形的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
 18.【答案】  【解析】解：，
故答案為：；
由圖形可得式子表示，
如圖，作點(diǎn)關(guān)于軸的對(duì)稱點(diǎn)，連接，

根據(jù)對(duì)稱性可得的最小值即線段的長(zhǎng)，
由兩點(diǎn)間的距離公式可得．
故答案為：．
由兩點(diǎn)間的距離公式可得答案；
作點(diǎn)關(guān)于軸的對(duì)稱點(diǎn)，連接，由圖形可得式子表示，再根據(jù)的最小值即線段的長(zhǎng)可得答案．
本題考查軸對(duì)稱最短路線問題，凡是涉及最短距離的問題，一般要考慮線段的性質(zhì)定理，結(jié)合本節(jié)所學(xué)軸對(duì)稱變換來解決，多數(shù)情況要作點(diǎn)關(guān)于某直線的對(duì)稱點(diǎn)．
 19.【答案】解：

；



．【解析】先把每一個(gè)二次根式化成最簡(jiǎn)二次根式，然后再進(jìn)行計(jì)算即可解答；
利用平方差公式，進(jìn)行計(jì)算即可解答．
本題考查了二次根式的混合運(yùn)算，準(zhǔn)確熟練地把每一個(gè)二次根式化成最簡(jiǎn)二次根式是解題的關(guān)鍵．
 20.【答案】解：直線如圖所示；

，，三角形中位線定理．【解析】解： 見答案；
證明： ， ，
三角形中位線定理 ．
故答案為： ， ，三角形中位線定理．
【分析】
根據(jù)題目要求作出圖形即可；
利用三角形中位線定理證明即可；
本題考查作圖 復(fù)雜作圖，平行線的判定和性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決問題，屬于中考?？碱}型．   21.【答案】證明：四邊形是平行四邊形，
，且，
又，
，且，
四邊形是平行四邊形，
．【解析】由平行四邊形，則可得，且，又有，則可得，且，即可得四邊形是平行四邊形，進(jìn)而可得出．
本題考查了平行四邊形的判定與性質(zhì)，熟練掌握性質(zhì)定理和判定定理是解題的關(guān)鍵．
 22.【答案】解：如圖中，即為所求；
如圖中，即為所求；
如圖中，即為所求．
 【解析】根據(jù)直角三角形的定義以及題目要求畫出圖形即可；
根據(jù)等腰三角形的定義以及題目要求畫出圖形即可；
根據(jù)等腰直角三角形的定義以及題目要求畫出圖形即可；
本題考查作圖應(yīng)用與設(shè)計(jì)作圖，等腰三角形的判定和性質(zhì)，等腰直角三角形的判定和性質(zhì)等知識(shí)，解題關(guān)鍵是學(xué)會(huì)利用數(shù)形結(jié)合的思想解決問題，屬于中考?？碱}型．
 23.【答案】解：連接，

，，
，
，
，，
，，
，
是直角三角形，
，
，
的度數(shù)為．【解析】連接，根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)可得，，然后再利用勾股定理的逆定理證明是直角三角形，從而可得，然后進(jìn)行計(jì)算即可解答．
本題考查了勾股定理的逆定理，勾股定理，熟練掌握勾股定理的逆定理是解題的關(guān)鍵．
 24.【答案】和  或【解析】解：，，
數(shù)對(duì)的一對(duì)“和諧數(shù)對(duì)”是和，
故答案為：和；
數(shù)對(duì)的一對(duì)“和諧數(shù)對(duì)”相同，

；
故答案為：；
數(shù)對(duì)的一個(gè)“和諧數(shù)對(duì)”是，
或，
解得或，
或．
故答案為：或．
根據(jù)新定義即可得出結(jié)論；
根據(jù)新定義，列等式，解方程進(jìn)而得出結(jié)論；
根據(jù)新定義，列方程組，解出進(jìn)而得出結(jié)論．
此題主要考查了新定義，解方程組，解方程，理解和應(yīng)用新定義是解本題的關(guān)鍵．
 25.【答案】 【解析】證明：連接交于．

四邊形是平行四邊形，
，，
，
，
，
四邊形是平行四邊形；

解：在中，，
，
，
，
，
故答案為：；
過點(diǎn)作于，

，，，，
，
，解得，
四邊形是平行四邊形，
，，
在和中，
，
≌，
，
．
故答案為：．
連接交于只要證明，即可．
在中，，由推出，即可得；
過點(diǎn)作于，利用面積法得，根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)得，，證明≌，則，由此即可解決問題．
本題考查平行四邊形的判定和性質(zhì)、勾股定理，全等三角形的判定和性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握平行四邊形的判定和性質(zhì)，靈活運(yùn)用勾股定理解決問題嗎，屬于中考?？碱}型．
 26.【答案】【解析】解：，，
四邊形是平行四邊形，
，，
，
，
；
故答案為：；

解決問題：連接，，如圖．
四邊形是平行四邊形，
．
四邊形是矩形，
，．
．
四邊形是平行四邊形．
．
，
．
是等邊三角形． 
．
，
．
由，，可證得四邊形是平行四邊形，即可得，，即可得，然后利用勾股定理，求得的值；
首先連接，，由四邊形是平行四邊形，四邊形是矩形，易證得四邊形是平行四邊形，繼而證得是等邊三角形，則可求得答案．
此題考查了平行四邊形的判定與性質(zhì)、矩形的性質(zhì)、等邊三角形的判定與性質(zhì)以及勾股定理．注意掌握輔助線的作法．
 27.【答案】、  且 【解析】解：當(dāng)時(shí)，，
為邊上的中線，
，
當(dāng)時(shí)，
，
，此時(shí)點(diǎn)不在邊上，故不存在關(guān)于的“斜等點(diǎn)“，點(diǎn)，
當(dāng)時(shí)，
，
，此時(shí)點(diǎn)與點(diǎn)重合，此時(shí)存在關(guān)于的“斜等點(diǎn)“，點(diǎn)，
當(dāng)時(shí)，
，
，此時(shí)點(diǎn)與點(diǎn)重合，此時(shí)不存在關(guān)于的“斜等點(diǎn)“，點(diǎn)，
當(dāng)時(shí)，
，
，此時(shí)點(diǎn)與點(diǎn)重合，此時(shí)存在關(guān)于的“斜等點(diǎn)“，點(diǎn)，
綜上，符合題意的點(diǎn)可能是、；
故答案為：、；
設(shè)點(diǎn)，由斜等點(diǎn)的定義可知，當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)的橫坐標(biāo)的取值范圍為且，
，，若，則，即，即點(diǎn)的縱坐標(biāo)的取值范圍為，
點(diǎn)是的中點(diǎn)，
，，
且，即且，
，即，
故答案為：且，；
由定義可知，，設(shè)，且，
關(guān)于的“斜等點(diǎn)”為定點(diǎn)，
，
，
且，
解得且．
首先可知，然后根據(jù)點(diǎn)的坐標(biāo)，分別得出點(diǎn)的坐標(biāo)，進(jìn)而進(jìn)行判斷；
設(shè)點(diǎn)，由斜等點(diǎn)的定義可知，當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)的橫坐標(biāo)的取值范圍為且，從而得出點(diǎn)的縱坐標(biāo)的取值范圍為，再根據(jù)中點(diǎn)坐標(biāo)公式可得答案；
由定義可知，，設(shè)，且，再利用中點(diǎn)坐標(biāo)公式得，從而解決問題．
本題主要考查了坐標(biāo)與圖形的性質(zhì)，中點(diǎn)坐標(biāo)公式，解題的關(guān)鍵是理解“斜等點(diǎn)”的定義，根據(jù)中點(diǎn)坐標(biāo)公式列不等式求解集．