專題11.10 三角形章末八大題型總結(jié)（拔尖篇）（原卷版+解析版）--最新人教八年級上冊數(shù)學(xué)精講精練（原卷版+解析版）

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數(shù)學(xué) 新人教版初中數(shù)學(xué)學(xué)科教材分析 數(shù)學(xué)是一門研究數(shù)量關(guān)系和空間形式的科學(xué)，具有嚴(yán)密的符號體系，獨特的公式結(jié)構(gòu)，形象的圖像語言。它有三個顯著的特點：高度抽象，邏輯嚴(yán)密，廣泛應(yīng)用。? 1．高度抽象性：數(shù)學(xué)的抽象，在對象上、程度上都不同于其它學(xué)科的抽象，數(shù)學(xué)是借助于抽象建立起來并借助于抽象發(fā)展的。 2．嚴(yán)密邏輯性：?數(shù)學(xué)具有嚴(yán)密的邏輯性，任何數(shù)學(xué)結(jié)論都必須經(jīng)過邏輯推理的嚴(yán)格證明才能被承認(rèn)。任何一門科學(xué)，都要應(yīng)用邏輯工具，都有它嚴(yán)謹(jǐn)?shù)囊幻妗?3．廣泛應(yīng)用性：數(shù)學(xué)作為一種工具或手段，幾乎在任何一門科學(xué)技術(shù)及一切社會領(lǐng)域中都被運用。各門科學(xué)的“數(shù)學(xué)化”，是現(xiàn)代科學(xué)發(fā)展的一大趨勢。? 專題11.10 三角形章末八大題型總結(jié)（拔尖篇） 【人教版】 TOC \o "1-3" \h \u   HYPERLINK \l "_Toc25031" 【題型1 利用三角形的中線求面積】  PAGEREF _Toc25031 \h 1  HYPERLINK \l "_Toc25770" 【題型2 利用三角形的三邊關(guān)系求線段的最值或取值范圍】  PAGEREF _Toc25770 \h 7  HYPERLINK \l "_Toc22451" 【題型3 利用三角形的三邊關(guān)系化簡或證明】  PAGEREF _Toc22451 \h 10  HYPERLINK \l "_Toc25393" 【題型4 與角平分線有關(guān)的三角形角的計算問題】  PAGEREF _Toc25393 \h 14  HYPERLINK \l "_Toc19417" 【題型5 與平行線有關(guān)的三角形角的計算問題】  PAGEREF _Toc19417 \h 23  HYPERLINK \l "_Toc1446" 【題型6 與折疊有關(guān)的三角形角的計算問題】  PAGEREF _Toc1446 \h 35  HYPERLINK \l "_Toc32095" 【題型7 多邊形中的閱讀理解類問題】  PAGEREF _Toc32095 \h 45  HYPERLINK \l "_Toc25989" 【題型8 與多邊形內(nèi)角和有關(guān)的角度探究問題】  PAGEREF _Toc25989 \h 56  【題型1 利用三角形的中線求面積】 【例1】（2023春·貴州畢節(jié)·八年級統(tǒng)考期末）如圖，在△ABC中，AG=BG，BD=DE=EC，CF=4AF，若四邊形DEFG的面積為28，則△ABC的面積為（????） ?? A．60 B．56 C．70 D．48 【答案】A 【分析】連接CG、BF，過點F作FM⊥AB于點M，設(shè)S△AFG=a，根據(jù)同高的三角形的面積的比等于底邊的比，分別得到S△AFB=2a、SΔBCF=8a、S△ABC=10a、S△CFE=83a、SΔACG=SΔBCG=5a、S△BDG=53a，再根據(jù)四邊形DEFG的面積，求出a=6，即可得出△ABC的面積． 【詳解】解：連接CG、BF，過點F作FM⊥AB于點M， 設(shè)S△AFG=a， ∵S△AFG=12?AG?FM，S△FGB=12?BG?FM，AG=BG， ∴S△AFG=S△FGB=a， ∴S△AFB=2a， ∵CF=4AF， 同理可得：S△BCF=4S△AFB， ∴S△BCF=8a， ∴S△ABC=S△AFB+S△BCF=2a+8a=10a， ∵BD=DE=EC， ∴BC=3EC， 同理可得：S△CFE=13S△BFC=83a， ∵G是AB的中點， 同理可得：S△ACG=S△BCG=5a， ∵BD=DE=EC， ∴BC=3BD， 同理可得：S△BDG=13S△BCG=53a， ∵四邊形DEFG的面積為28， ∴S四邊形DEFG=S△ABC?S△AFG?S△CFE?S△BDG=10a?a?83a?53a=143a=28， ∴a=6， ∴S△ABC=10a=10×6=60， 故選：A． ?? 【點睛】本題主要考查了三角形的中線的性質(zhì)，掌握三角形的中線的性質(zhì)是解題關(guān)鍵． 【變式1-1】（2023秋·黑龍江哈爾濱·八年級?？计谀┤鐖D，在△ABC中，BF=2FD，EF=FC，若△BEF的面積為4，則四邊形AEFD的面積為 ． 【答案】14 【分析】根據(jù)等底等高的三角形面積相等即可解決問題． 【詳解】解：如圖，連接AF， ∵EF=FC，△BEF的面積為4， ∴S△BFC=4， ∵BF=2FD， ∴S△DFC=12S△BFC=2， ∵EF=FC， ∴S△AEF=S△AFC=S△ADF+2， ∵BF=2FD， ∴S△ABF=2S△ADF， ∴S△AEF+S△BEF=2S△ADF， ∴S△ADF+2+4=2S△ADF，解得S△ADF=6， ∴S△AEF=6+2=8， ∴S四邊形AEFD=S△ADF+S△AEF=6+8=14． 故答案為：14． 【點睛】本題主要考查了根據(jù)三角形的中線求面積，解決本題的關(guān)鍵是掌握等底等高的三角形面積相等． 【變式1-2】（2023春·江蘇連云港·八年級統(tǒng)考期末）如圖，點C為直線AB外一動點，AB=6，連接CA、CB，點D、E分別是AB、BC的中點，連接AE、CD交于點F，當(dāng)四邊形BEFD的面積為5時，線段AC長度的最小值為 ． ?? 【答案】5 【分析】如圖：連接BF，過點C作CH⊥AB于點H，根據(jù)三角形中線的性質(zhì)求得S△ABC=15，從而求得CH=5，利用垂線段最短求解即可． 【詳解】解：如圖：連接BF，過點C作CH⊥AB于點H， ?? ∵點D、E分別是AB、BC的中點， ∴S△ABE=S△ACE=12S△ABC=S△ADC=S△BDC，S△AFD=S△BFD，S△CEF=S△BEF， ∴S△CEF+S四邊形BDFE=S△CEF+S△ACF，S△AFD+S△CEF=S△BEF+S△BFD=S四邊形BDFE=5， ∴S四邊形BDFE=S△ACF=5， ∴S△ABC=S△ACF+S四邊形BDFE+S△AFD+S△CEF=15， ∴12CH?AB=15， ∴CH=5， 又∵點到直線的距離垂線段最短， ∴AC≥CH=5， ∴AC的最小值為5． 故答案為：5． 【點睛】本題考查了三角形中線的性質(zhì)、垂線段最短等知識點，正確作出輔助線、利用中線分析三角形的面積關(guān)系是解題的關(guān)鍵． 【變式1-3】（2023春·江蘇鹽城·八年級統(tǒng)考期末）【問題情境】 蘇科版數(shù)學(xué)課本八年級下冊上有這樣一道題：如圖1，AD是△ABC的中線，△ABC與△ABD的面積有怎樣的數(shù)量關(guān)系？ 小旭同學(xué)在圖1中作BC邊上的高AE，根據(jù)中線的定義可知BD=CD．又因為高AE相同，所以S△ABD=S△ACD，于是S△ABC=2S△ABD．據(jù)此可得結(jié)論：三角形的一條中線平分該三角形的面積． ?? 【深入探究】 （1）如圖2，點D在△ABC的邊BC上，點P在AD上． ①若AD是△ABC的中線，求證：S△APB=S△APC； ②若BD=3DC，則S△APB:S△APC=______． 【拓展延伸】 （2）如圖3，分別延長四邊形ABCD的各邊，使得點A、B、C、D分別為DH、AE、BF、CG的中點，依次連結(jié)E、F、G、H得四邊形EFGH． ①求證：S△HDG+S△FBE=2S四邊形ABCD； ②若S四邊形ABCD=3，則S四邊形EFGH=______． 【答案】（1）①證明見解析；②3:1；（2）①證明見解析；②15 【分析】（1）①根據(jù)中線的性質(zhì)可得S△ADB=S△ADC，點D為BC的中點，推得PD是△PBC的中線，S△PDB=S△PDC，即可證明S△APB=S△APC； ②設(shè)△ABC邊BC上的高為?，根據(jù)三角形的面積公式可得S△ADB=12×BD×?，S△ADC=12×DC×?，即可推得S△ADB=3S△ADC，同理推得S△PDB=3S△PDC，即可求得S△APB=3S△APC，即可證明S△APB:S△APC=3:1； （2）①連接AG，AC，CE，根據(jù)中線的判定和性質(zhì)可得S△GAH=S△GAD=12S△GHD，S△CBA=S△CBE=12S△CAE，S△ECF=S△ECB=12S△EFB，S△ADC=S△ADG=12S△ACG，推得S△ADC=S△ADG=12S△GHD，S△CBA=S△CBE=12S△EFB，即可求得S四邊形ABCD=12S△GHD+S△EFB，即可證明S△HDG+S△FBE=2S四邊形ABCD， ②由①可得S△HDG+S△FBE=2S四邊形ABCD，同理可證得S△HEA+S△FGC=2S四邊形ABCD，根據(jù)S四邊形EFGH=S△HDG+S△FBE+S△HEA+S△FGC+S四邊形ABCD，即可推得S四邊形EFGH=5S四邊形ABCD，即可求解． 【詳解】（1）①證明：∵AD是△ABC的中線， ∴S△ADB=S△ADC，點D為BC的中點， ∴PD是△PBC的中線， ∴S△PDB=S△PDC， ∴S△ADB?S△PDB=S△ADC?S△PDC， 即S△APB=S△APC； ②S△APB:S△APC=3:1， 解：設(shè)△ABC邊BC上的高為?， 則S△ADB=12×BD×?，S△ADC=12×DC×?， ∵BD=3DC， ∴S△ADB=3S△ADC， 同理S△PDB=3S△PDC， 則S△ADB?S△PDB=3S△ADC?3S△PDC， 即S△APB=3S△APC， ∴S△APB:S△APC=3:1． （2）①證明：連接AG，AC，CE，如圖： ?? ∵點A、B、C、D分別為DH、AE、BF、CG的中點， ∴AG，BC，CE，DA分別為△GHD，△CAE，△EFB，△ACG的中位線， ∴S△GAH=S△GAD=12S△GHD，S△CBA=S△CBE=12S△CAE，S△ECF=S△ECB=12S△EFB，S△ADC=S△ADG=12S△ACG， ∴S△ADC=S△ADG=12S△GHD，S△CBA=S△CBE=12S△EFB ∵S四邊形ABCD=S△ADC+S△CBA=12S△GHD+12S△EFB=12S△GHD+S△EFB， 即S△HDG+S△FBE=2S四邊形ABCD； ②15， 解：由①可得S△HDG+S△FBE=2S四邊形ABCD，同理可證得S△HEA+S△FGC=2S四邊形ABCD， S四邊形EFGH=S△HDG+S△FBE+S△HEA+S△FGC+S四邊形ABCD， 即S四邊形EFGH=5S四邊形ABCD， ∵S四邊形ABCD=3， ∴S四邊形EFGH=5×3=15． 【點睛】本題考查了中位線的判定和性質(zhì)，三角形的面積公式，掌握三角形的一條中線把原三角形分成兩個等底同高的三角形是題的關(guān)鍵 ． 【題型2 利用三角形的三邊關(guān)系求線段的最值或取值范圍】 【例2】（2023春·河北保定·八年級統(tǒng)考期末）如圖，∠AOBa 【答案】A 【分析】根據(jù)△OMP的形狀，大小是唯一確定的，結(jié)合三角形的三邊關(guān)系進(jìn)行分析即可． 【詳解】解：過點M作MN⊥OA交OA于點N，作點O關(guān)于MN的對稱點D，如圖： ?? ∵點M到射線OA的距離為a， ∴MN=a， ∵M(jìn)N垂直平分OD， ∴MD=MO=6， 當(dāng)a5 B．xBC，三個式子相加即可證得要求 （2）AB+AC>OB+OC，AB+BC>OA+OC，AC+BC>OA+OB，三個式子相加即可證得要求 （3）由AB+AC+BC=10km，點O為ΔABC內(nèi)一點，及（1）（2）可知12AB+BC+ACAB+AC+BC. 故OA+OB+OC>12AB+BC+AC. （2）AB+AC>OB+OC，① 同理，AB+BC>OA+OC，② AC+BC>OA+OB.③ 由①+②+③，得2AB+AC+BC>2OA+OB+OC， 即AB+AC+BC>OA+OB+OC. （3）由AB+AC+BC=10km，點O為ΔABC內(nèi)一點，及（1）（2）知12AB+BC+AC2BD，理由為： ∵AB+AD>BD，BC+CD>BD， ∴AB+AD+BC+CD>BD+BD 即：AB+BC+CA>2BD （2）AB+AC>PB+PC，理由為： 在△ABD中，AB+AD>BP+PD， 在△PDC中，PD+DC>PC， 兩式相加得：AB+AD+PD+DC>BP+PD+PC 即：AB+AC>PB+PC （3）AB+AC>BD+DE+CE，理由為： 如圖，延長BD交CE的延長線于G，交AC于點F， 在△ABF中，AB+AF>BD+DG+GF，① 在△GFC中，GF+AC?AF>GE+EC，② △DEG中，DG+GE>DE，③ ①+②+③得：AB+AC>BD+DE+CE 【點睛】本題考查三角形的三邊關(guān)系，熟練掌握三角形的三遍之間的關(guān)系是解題的關(guān)鍵． 【變式3-3】（2023春·六年級單元測試）如圖，草原上有四口油井，位于四邊形ABCD的四個頂點上，現(xiàn)在要建立一個維修站H，試問H建在何處，才能使它到四口油井的距離之和HA+HB+HC+HD最小，說明理由 【答案】H建在AC、BD的交點處，理由見解析． 【分析】連接AC、BD相交于點H，任取一點H'，連接H'A、H'B、H'C、H'D，根據(jù)三角形三邊關(guān)系得到H'A+H'C>AC，H'B+H'D>BD，進(jìn)而得到H'A+H'B+H'C+H'D>HA+HB+HC+HD，即可推出結(jié)論． 【詳解】解：H建在AC、BD的交點處，理由如下： 連接AC、BD相交于點H，任取一點H'，連接H'A、H'B、H'C、H'D， 在△AH'C中，H'A+H'C>AC， 在△BH'D中，H'B+H'D>BD， ∴H'A+H'B+H'C+H'D>AC+BD， ∵AC+BD=HA+HB+HC+HD， ∴H'A+H'B+H'C+H'D>HA+HB+HC+HD， ∴HA+HB+HC+HD最小， 即維修站H建在AC、BD的交點處，才能使它到四口油井的距離之和HA+HB+HC+HD最?。? 【點睛】本題考查了線段最短，三角形的三邊關(guān)系，作輔助線構(gòu)造三角形，靈活運用三角形三邊關(guān)系是解題關(guān)鍵． 【題型4 與角平分線有關(guān)的三角形角的計算問題】 【例4】（2023春·江蘇蘇州·八年級太倉市第一中學(xué)?？计谥校┤鐖D1，在△ABC中，BD平分∠ABC，CD平分∠ACB． (1)若∠A=60°，則∠BDC的度數(shù)為_________； (2)若∠A=α，直線MN經(jīng)過點D． ①如圖2，若MN∥AB，求∠NDC?∠MDB的度數(shù)（用含α的代數(shù)式表示）； ②如圖3，若MN繞點D旋轉(zhuǎn)，分別交線段BC,AC于點M,N，試問旋轉(zhuǎn)過程中∠NDC?∠MDB的度數(shù)是否會發(fā)生改變？若不變，求出∠NDC?∠MDB的度數(shù)（用含α的代數(shù)式表示），若改變，請說明理由； ③如圖4，繼續(xù)旋轉(zhuǎn)直線MN，與線段AC交于點N，與CB的延長線交于點M，請直接寫出∠NDC與∠MDB的關(guān)系（用含α的代數(shù)式表示）． 【答案】(1)120° (2)①90°-α2 ②不變，90°-α2 ③∠NDC與∠MDB的關(guān)系是∠NDC+∠MDB=90°?α2． 【分析】（1）利用角平分線的定義，三角形內(nèi)角和定理，分步計算即可． （2）①利用平角的定義，變形代入計算，注意與第（1）的結(jié)合． ②與 ①結(jié)合起來求解即可． ③根據(jù)平角的定義，變形后結(jié)合前面的計算，求解即可． 【詳解】（1）∵ BD平分∠ABC，CD平分∠ACB， ∴∠CBD=12∠ABC，∠BCD=12∠ACB， ∴∠CBD+∠BCD=12∠ACB+12∠ABC=12(∠ABC+∠ACB)， ∵∠CBD+∠BCD+∠BDC=180°，∠ABC+∠ACB+∠A=180°， ∴180°-∠BDC=12(180°?∠A)， ∴∠BDC=90°+∠A2， ∵∠A=60°， ∴∠BDC=90°+30°=120°， 故答案為：120°． （2）①∵∠NDC=180°-∠MDC， ∴∠NDC?∠MDB=180°-∠MDC-∠MDB =180°-（∠MDC+∠MDB） =180°-∠BDC =180°-（90°+∠A2） =90°?α2． ②∠NDC?∠MDB保持不變，恒等于90°-α2．理由如下： ∵∠NDC=180°-∠MDC， ∴∠NDC?∠MDB=180°-∠MDC-∠MDB =180°-（∠MDC+∠MDB） =180°-∠BDC =180°-（90°+∠A2） =90°?α2． 故保持不變，且為90°?α2． ③∠NDC與∠MDB的關(guān)系是∠NDC+∠MDB=90°?α2．理由如下： ∵∠NDC+∠MDB+∠BDC=180°， ∴∠NDC+∠MDB=180°-∠BDC， ∵∠BDC=90°+α2， ∴∠NDC+∠MDB=180°-（90°+α2）=90°?α2． 【點睛】本題考查了角的平分線的定義，三角形內(nèi)角和定理，平角的定義，熟練掌握三角形內(nèi)角和定理，平角的定義是解題的關(guān)鍵． 【變式4-1】（2023秋·河南漯河·八年級?？计谥校?）在圖1中，請直接寫出∠A、∠B、∠C、∠D之間的數(shù)量關(guān)系； （2）如果圖2中，∠D=40°,∠B=36°，AP與CP分別是∠DAB和∠DCB的角平分線，試求∠P的度數(shù)； （3）如果圖2中∠D和∠B為任意角，其他條件不變，試問∠P與∠D，∠B之間存在著怎樣的數(shù)量關(guān)系（直接寫出結(jié)論即可）． 【答案】（1）∠A+∠D =∠C+∠B （2）∠P=38° （3）∠D+∠B=2∠P 【分析】（1）根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理和對頂角相等就可以得出∠A，∠D，∠C，∠B的數(shù)量關(guān)系； （2）由（1）可得∠DAP＋∠D＝∠P＋∠DCP ，∠PCB＋∠B＝∠PAB＋∠P ，再兩式相加，結(jié)合角平分線的定義可得∠D+∠B=2∠P，再把∠D=40°，∠B=36°代入計算即可得到答案； （3）由（1）可得∠DAP＋∠D＝∠P＋∠DCP ，∠PCB＋∠B＝∠PAB＋∠P ，再兩式相加，結(jié)合角平分線的定義可得∠D+∠B=2∠P. 【詳解】解：（1）∵∠A+∠D+∠AOD=∠C+∠B+∠BOC=180°， 且∠AOD=∠BOC， ∴∠A+∠D =∠C+∠B； （2）由（1）可得∠DAP+∠D =∠P+∠DCP ①，∠PCB+∠B =∠PAB+∠P ②， ∵∠DAB和∠DCB的角平分線AP與CP相交于點P， ∴∠DAP=∠PAB，∠DCP=∠PCB， ①+②得：∠DAP+∠D+∠PCB+∠B=∠P+∠DCP+∠PAB+∠P， ∴∠D+∠B=2∠P， 又∵∠D=40°，∠B=36°， ∴40°+36°=2∠P， ∴∠P=38°； （3）存在的數(shù)量關(guān)系為：∠D+∠B=2∠P， 由（1）可得∠DAP+∠D =∠P+∠DCP ①，∠PCB+∠B =∠PAB+∠P ②， ∵∠DAB和∠DCB的角平分線AP與CP相交于點P， ∴∠DAP=∠PAB，∠DCP=∠PCB， ①+②得：∠DAP+∠D+∠PCB+∠B=∠P+∠DCP+∠PAB+∠P， ∴∠D+∠B=2∠P. 【點睛】本題主要考查了三角形的內(nèi)角和定理以及角平分線的定義等知識點，熟練掌握三角形的內(nèi)角和定理以及角平分線的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵. 【變式4-2】（2023春·江蘇揚州·八年級校聯(lián)考期中）∠MON=90°，點A，B分別在OM、ON上運動(不與點O重合)． (1)如圖①，AE、BE分別是∠BAO和∠ABO的平分線，隨著點A、點B的運動，當(dāng)AO=BO時∠AEB= °； (2)如圖②，若BC是∠ABN的平分線，BC的反向延長線與∠OAB的平分線交于點D，隨著點A，B的運動∠D的大小會變嗎？如果不會，求∠D的度數(shù)；如果會，請說明理由； (3)如圖③，延長MO至Q，延長BA至G，已知∠BAO，∠OAG的平分線與∠BOQ的平分線及其延長線相交于點E、F，在△AEF中，如果有一個角是另一個角的3倍，求∠ABO的度數(shù)． 【答案】(1)135° (2)∠D的度數(shù)不隨A、B的移動而發(fā)生變化，值為45° (3)60°或45° 【分析】（1）利用三角形內(nèi)角和定理、兩角互余、角平分線性質(zhì)即可求解； （2）利用對頂角相等、兩角互余、兩角互補(bǔ)、角平分線性質(zhì)即可求解； （3）根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理及角平分線的性質(zhì)不難得出∠EAF=90°，如果有一個角是另一個角的3倍，所以不確定是哪個角是哪個角的三倍，所以需要分情況討論；值得注意的是，∠MON=90°，所以求解出的∠ABO一定要小于90°，注意解得取舍． 【詳解】（1）解：∵AE、BE分別是∠BAO和∠ABO的平分線， ∴∠EBA=12∠OBA，∠BAE=12∠BAO， ∵∠MON=90°， ∴∠EAB+EBA=90°， ∵∠AEB+∠EAB+∠EBA=180°， ∴∠AEB=180°?∠EBA?∠BAE， =180°?12∠OBA+∠BAO， =180°?12×90°， =180°?45°， =135°； （2）解： ∠D的度數(shù)不隨A、B的移動而發(fā)生變化，設(shè)∠BAD=α， ∵AD平分∠BAO， ∴∠BAO=2α， ∵∠AOB=90°， ∴∠ABN=180°-∠ABO=∠AOB+∠BAO=90+2α， ∵BC平分∠ABN， ∴∠ABC=45°+α， ∵∠ABC=180°-∠ABD=∠D+∠BAD， ∴∠D=∠ABC-∠BAD=45°+α-α=45°； （3）解：∵∠BAO與∠BOQ的平分線交于點E， ∴∠AOE=135°， ∴∠E=180°?∠EAO?∠AOE， =45°?∠EAO， =45°?12∠BAO， =45°?12(180°?90°?∠ABO)， =12∠ABO ∵AE、AF分別是∠BAO和∠OAG的平分線， ∴∠EAF=12∠BAO+12∠GAO=12×180°=90°， 在△AEF中，若有一個角是另一個角的3倍， 則①當(dāng)∠EAF=3∠E時，得∠E=30°，此時∠ABO=60°； ②當(dāng)∠EAF=3∠F時，得∠E=60°， 此時∠ABO=120°＞90°，舍去； ③當(dāng)∠F=3∠E時，得∠E=14×90°=22.5°， 此時∠ABO=45°；． ④當(dāng)∠E=3∠F時，得∠E=34×90°=67.5°， 此時∠ABO=135°＞90°，舍去． 綜上可知，∠ABO的度數(shù)為60°或45°． 【點睛】前兩問熟練運用三角形內(nèi)角和定理、直角三角形的兩銳角互余、對頂角相等、角平分線性質(zhì)等角的關(guān)系即可求解；第三問需先證明∠EAF=90°，再分情況進(jìn)行討論，熟練運用三角形的內(nèi)角和定理及角平分線的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵． 【變式4-3】（2023秋·安徽宣城·八年級?？计谥校┤鐖D1，∠MON=90°，點A、B分別在OM、ON上運動（不與點O重合）． (1)若BC是∠ABN的平分線，BC的反方向延長線與∠BAO的平分線交于點D． ①若∠BAO=60°，則∠D=______°； ②猜想：∠D的度數(shù)是否隨A，B的移動發(fā)生變化？并說明理由． (2)如圖2，若∠OAD=35∠OAB，∠NBC=35∠NBA，則∠D=______°； (3)若將∠MON=90°改為∠MON=120°（如圖3），∠OAD=mn∠OAB，∠NBC=mn∠NBA，其余條件不變，則∠D=______（用含m，n的代數(shù)式表示，其中m”“180°，∠DAB和∠CBE的平分線交于點F，則∠AFB=______；（用α、β表示） （3）如圖3，∠ADC=α，∠BCD=β，當(dāng)∠DAB和∠CBE的平分線AG、BH平行時，α、β應(yīng)該滿足怎樣的數(shù)量關(guān)系？請證明你的結(jié)論． 【挑戰(zhàn)】 （4）如果將（2）中的條件α+β>180°改為α+β