初中人教版（2024）軸對稱精品練習(xí)題

這是一份初中人教版（2024）軸對稱精品練習(xí)題，文件包含專題136軸對稱圖形中的最值問題八大考點(diǎn)人教版原卷版docx、專題136軸對稱圖形中的最值問題八大考點(diǎn)人教版解析版docx等2份試卷配套教學(xué)資源，其中試卷共49頁， 歡迎下載使用。
1．高度抽象性：數(shù)學(xué)的抽象，在對象上、程度上都不同于其它學(xué)科的抽象，數(shù)學(xué)是借助于抽象建立起來并借助于抽象發(fā)展的。
2．嚴(yán)密邏輯性： 數(shù)學(xué)具有嚴(yán)密的邏輯性，任何數(shù)學(xué)結(jié)論都必須經(jīng)過邏輯推理的嚴(yán)格證明才能被承認(rèn)。任何一門科學(xué)，都要應(yīng)用邏輯工具，都有它嚴(yán)謹(jǐn)?shù)囊幻妗?br>3．廣泛應(yīng)用性：數(shù)學(xué)作為一種工具或手段，幾乎在任何一門科學(xué)技術(shù)及一切社會領(lǐng)域中都被運(yùn)用。各門科學(xué)的“數(shù)學(xué)化”，是現(xiàn)代科學(xué)發(fā)展的一大趨勢。
專題13.6 軸對稱圖形中的最值問題八大考點(diǎn)
【人教版】
TOC \ "1-3" \h \u
\l "_Tc3516" 【題型1 兩點(diǎn)之間線段最短】 PAGEREF _Tc3516 \h 1
\l "_Tc13112" 【題型2 垂線段最短】 PAGEREF _Tc13112 \h 4
\l "_Tc4764" 【題型3 平行線之間的距離最短】 PAGEREF _Tc4764 \h 8
\l "_Tc25873" 【題型4 將軍飲馬（兩定一動）】 PAGEREF _Tc25873 \h 13
\l "_Tc15168" 【題型5 三點(diǎn)共線（兩定一動最大值）】 PAGEREF _Tc15168 \h 15
\l "_Tc12734" 【題型6 雙對稱周長最小】 PAGEREF _Tc12734 \h 20
\l "_Tc32276" 【題型7 兩定兩動】 PAGEREF _Tc32276 \h 24
\l "_Tc30925" 【題型8 兩動一定】 PAGEREF _Tc30925 \h 28
【題型1 兩點(diǎn)之間線段最短】
【例1】（2023春·福建寧德·八年級?？计谥校┤鐖D，平地上A，B兩點(diǎn)位分別位于一條排水溝的兩旁，其上用鋼梁覆蓋，位于A處的螞蟻從第 號鋼梁上通過到達(dá)B處，才能使得全程路程最短．

【答案】4
【分析】將點(diǎn)A向右移動兩個鋼梁之間的距離長度，得到點(diǎn)A′，再連接A′B，與哪個鋼梁相交，就從哪個鋼梁上通過．
【詳解】解：將點(diǎn)A向右移動兩個鋼梁之間的距離長度，得到點(diǎn)A′，再連接A′B，如下圖：

線段A′B與4號鋼梁相交，則從4號鋼梁上通過時，全程路程最短，
故答案為：4
【點(diǎn)睛】此題考查了兩點(diǎn)之間線段最短，解題的關(guān)鍵是熟練掌握相關(guān)基礎(chǔ)知識，先對A點(diǎn)進(jìn)行平移．
【變式1-1】（2023春·遼寧沈陽·八年級沈陽市第七中學(xué)?？计谀┰谕黄矫鎯?nèi)，線段AB=5cm，C為任意一點(diǎn)，則AC+BC的最小值為 ．
【答案】5cm
【分析】分三種情況討論∶ 當(dāng)點(diǎn)C在線段AB上時， 當(dāng)點(diǎn)C在線段AB的延長線或反向延長線上時， 點(diǎn)C在線段AB外時，結(jié)合兩點(diǎn)之間，線段最短，即可求解．
【詳解】解：當(dāng)點(diǎn)C在線段AB上時， AC+BC=AB=5cm，
當(dāng)點(diǎn)C在線段AB的延長線或反向延長線上時，
∴AC+BC>AB=5cm，
點(diǎn)C在線段AB外時，
∵兩點(diǎn)之間，線段最短，
∴AC+BC>AB=5cm，
綜上所述，AC+BC的最小值為5cm．
故答案為：5cm．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了線段之間的數(shù)量關(guān)系，熟練掌握兩點(diǎn)之間，線段最短是解題的關(guān)鍵．
【變式1-2】（2023春·山西運(yùn)城·八年級統(tǒng)考期末）小王準(zhǔn)備在紅旗街道旁建一個送奶站，向居民區(qū)A，B提供牛奶，要使A，B兩小區(qū)到送奶站的距離之和最小，則送奶站C的位置應(yīng)該在（ ）．
B．
C． D．
【答案】C
【分析】本題利用軸對稱的性質(zhì)，將折線最短問題轉(zhuǎn)化為兩點(diǎn)之間，線段最短問題，結(jié)合三角形的三邊關(guān)系解題即可．
【詳解】解：如圖：作點(diǎn)A關(guān)于街道的對稱點(diǎn)A′，連接A′B交街道所在直線于點(diǎn)C，
∴ A′C=AC，
∴ AC+BC=A′B，
在街道上任取除點(diǎn)C以外的一點(diǎn)C′，連接A′C′，BC′，AC′，
∴ AC′+BC′=A′C′+BC′，
在ΔA′C′B中，兩邊之和大于第三邊，
∴ A′C′+BC′>A′B，
∴ AC′+BC′>AC+BC，
∴點(diǎn)C到兩小區(qū)送奶站距離之和最?。?br>
故選：C．
【點(diǎn)睛】本題考查軸對稱-最短路線的問題，將折線最短問題轉(zhuǎn)化為兩點(diǎn)之間，線段最短問題．會作對稱點(diǎn)是解此類問題的基礎(chǔ)，要求學(xué)生能熟練掌握，并熟練應(yīng)用．另外本題的解決還應(yīng)用了三角形的三邊關(guān)系：三角形的兩邊之和大于第三邊．本題還會有變式：請你找出點(diǎn)C的位置．
【變式1-3】（2023春·全國·八年級課堂例題）[應(yīng)用意識]如圖，P，Q兩村之間隔著兩條河，需要架設(shè)兩座橋，橋與河岸垂直．設(shè)兩條河的寬度相同且保持不變，則橋建在何處才能使兩村之間的路程最短？（保留作圖痕跡，不寫作法）

【答案】見解析
【分析】根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短，利用平移思想進(jìn)行作圖即可．
【詳解】解：如圖所示：

（1）過點(diǎn)P作PA⊥l1，垂足為A，過點(diǎn)Q作QB⊥l4，垂足為B；
（2）分別在PA和QB上截取PC=QD=河的寬度；
（3）連接CD，分別交l2和l3于點(diǎn)E和M；
（4）過點(diǎn)E和M分別作l1和l4的垂線段，垂足分別為F和N；
（5）連接PF和QN．則橋建在FE和MN處才能使兩村之間的路程最短．
【點(diǎn)睛】本題考查最短路徑問題．解題的關(guān)鍵是掌握兩點(diǎn)之間線段最短，利用平移思想進(jìn)行轉(zhuǎn)化求解．
【題型2 垂線段最短】
【例2】（2023春·四川成都·八年級?？奸_學(xué)考試）如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6，BC=8，點(diǎn)D在線段BC上，CD=3.3，點(diǎn)E是AC邊上一動點(diǎn)，將線段DE繞點(diǎn)D順時針旋轉(zhuǎn)90°得到線段DF，連接BF，當(dāng)BF有最小值時，寫出AE的值為 .

【答案】1.3
【分析】過D作BD垂線且使得B′ D=BD，連接B′ E，構(gòu)造△ B′ DE≌△BDF得BF= B′ E，根據(jù)點(diǎn)到直線垂線段最短知B′ E⊥AC時，B′ E取最小值，求出此時AE即可．
【詳解】解：如圖，過D作BD垂線且使得B′ D=BD，連接B′ E，

∵∠EDF=∠ B′ DB=90°，
∴∠BDF+∠ B′ DF=∠ B′ DF+∠ B′ DE，
∴∠BDF=∠ B′ DE，
在△ B′ DE與△BDF中，
B′D=BD∠B′DE=∠BDFDE=DF，
∴△ B′ DE≌△BDFSAS，
∴BF= B′ E，
∵點(diǎn)到直線垂線段最短，
∴ B′ E⊥AC時，B′ E取最小值，
過點(diǎn)B′作B′ G⊥AC交AC于G，
∵∠C=∠CD B′ =∠CG B′ =90°，
∴ AC∥BD,B′G∥CD，
∴ B′ G=CD=3.3，CG= B′ D=BD=8?3.3=4.7，
∴BF取最小值時AE=AG=AC?CG=1.3，
故答案為：1.3．
【點(diǎn)睛】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，點(diǎn)到直線垂線段最短，平行線之間的距離相等，作出輔助線構(gòu)造△ B′ DE≌△BDF是本題的關(guān)鍵．
【變式2-1】（2023春·全國·八年級專題練習(xí)）如圖，邊長為4的等邊三角形ABC中，M是高CH所在直線上的一個動點(diǎn)，連接MB，將線段BM繞點(diǎn)B逆時針旋轉(zhuǎn)60°得到BN，連接HN．則在點(diǎn)M運(yùn)動過程中，線段HN長度的最小值是 ．

【答案】1
【分析】取CB的中點(diǎn)G，連接MG，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)可得BH=BG，再求出∠HBN=∠MBG，根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得MB=NB，然后利用“邊角邊”證明△MBG≌△NBH，再根據(jù)全等三角形對應(yīng)邊相等可得HN=MG，然后根據(jù)垂線段最短可得MG⊥CH時最短，再根據(jù)∠BCH=30°求解即可．
【詳解】解：取BC的中點(diǎn)G，連接MG，如圖所示：

∵旋轉(zhuǎn)角為60°，
∴∠MBH+∠HBN=60°，
又∵∠MBH+∠MBC=∠ABC=60°，
∴∠HBN=∠GBM，
∵CH是等邊△ABC的高線，
∴HB=12AB，
∴HB=BG，
又∵M(jìn)B旋轉(zhuǎn)到BN，
∴BM=BN，
在△MBG和△NBH中，
BG=BH∠MBG=∠NBHMB=NB，
∴△MBG≌△NBH(SAS)，
∴MG=NH，
根據(jù)垂線段最短，當(dāng)MG⊥CH時，MG最短，此時即HN最短，
∵∠BCH=12×60°=30°，CG=12AB=12×4=2，
在Rt△CGM中，∠MCG=30°，∠CMG=90°，MG=12CG=12×2=1，
∴HN=MG=1，
故答案為：1．
【點(diǎn)睛】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，垂線段最短的性質(zhì)，含30°的直角三角形等，作輔助線構(gòu)造出全等三角形是解題的關(guān)鍵，也是本題的難點(diǎn)．
【變式2-2】（2023春·全國·八年級課堂例題）如圖，OB平分∠MON,A為OB的中點(diǎn)，AE⊥ON，垂足為E,AE=3,D為OM上的一個動點(diǎn)，BC∥OM,C是DA的延長線與BC的交點(diǎn)，求線段CD的最小值．

【答案】6
【分析】根據(jù)BC∥OM，OA=AB，可以證明△OAD≌△BAC，得到AD=AC繼而得到CD=2AD，故線段CD的最小值轉(zhuǎn)化為線段DA得最小值，根據(jù)垂線段最短，結(jié)合角的平分線的性質(zhì)定理計算即可．
【詳解】∵BC∥OM，
∴∠DOA=∠CBA，
∵點(diǎn)A為OB的中點(diǎn)
∴OA=AB，
∵∠DOA=∠CBAOA=BA∠DAO=∠CAB，
∴△OAD≌△BACASA，
∴AD=AC，
∴CD=2AD，
∴線段CD的最小值轉(zhuǎn)化為線段DA得最小值，
根據(jù)垂線段最短，
∴DA⊥OM，
∵AE⊥ON，OB平分∠MON，
∴AE=AD，
∵AE=3，
∴AD=3，
∴CD=2AD=6，
故答案為：6．
【點(diǎn)睛】本題考查了角的平分線性質(zhì)定理，三角形全等的判定和性質(zhì)，垂線段最短原理，熟練掌握角的平分線性質(zhì)定理，三角形全等，垂線段最短是解題的關(guān)鍵．
【變式2-3】（2023春?碑林區(qū)校級期末）如圖，∠MON＝α，α＜30°，點(diǎn)A為ON上一定點(diǎn)，點(diǎn)C為ON上一動點(diǎn)，B，D為OM上兩動點(diǎn)，當(dāng)AB+BC+CD最小時，∠BCD+∠ABC＝（ ）
A．5αB．6αC．90°﹣αD．180°﹣α
【分析】利用軸對稱將AB，BC，CD變?yōu)樵谝粭l直線上，再利用垂線段最短構(gòu)造圖形，借助圖形利用四邊形和三角形外角的性質(zhì)解決即可．
【解答】解：作點(diǎn)C關(guān)于OM的對稱點(diǎn)C′，過點(diǎn)C′作射線OP，則∠MOP＝α，連接C′B，C′D，則C′B＝CB，C′D＝CD，作點(diǎn)D關(guān)于OP的對稱點(diǎn)D′，過點(diǎn)D′作射線OQ，則∠POQ＝α，連接C′D′，則C′D′＝C′D＝CD，
∴AB+BC+CD＝AB+BC′+C′D′，
要使AB+BC+CD最小，需點(diǎn)A，B，C′，D′在一條直線上，且AD′⊥OQ，
∵α＜30°，
∴∠NOQ＝3α＜90°，
∴可以過點(diǎn)A作AD′⊥OQ，
此時∠BCD＝BCD′＝∠MOQ＝2α，
∠ABC＝∠BCD+∠BC′D＝4α，
∴當(dāng)AB+BC+CD最小時，∠BCD+∠ABC＝2α+4α＝6α，
故選：B．
【題型3 平行線之間的距離最短】
【例3】如圖，直線，且a，b之間相距．點(diǎn)P是直線a上一定點(diǎn)，點(diǎn)Q在直線b上運(yùn)動，則在Q點(diǎn)的運(yùn)動過程中，線段的最小值是 ．

【答案】8
【分析】根據(jù)垂線段最短進(jìn)行求解即可
【詳解】解：∵直線，點(diǎn)P是直線a上一定點(diǎn)，點(diǎn)Q在直線b上運(yùn)動，
∴根據(jù)垂線段最短可知，在運(yùn)動過程中，當(dāng)時，線段有最小值，
∵a，b之間相距，
∴線段的最小值為，
故答案為：8．
【點(diǎn)睛】本題考查了平行線之間的距離的定義和垂線段最短，牢記平行線之間距離的定義和垂線段最短是本題的關(guān)鍵．
【變式3-1】如圖，，且相鄰兩條直線間的距離都是2，A，B，C分別為，，上的動點(diǎn)，連接AB、AC、BC，AC與交于點(diǎn)D，，則BD的最小值為（ ）
A．2B．3C．4D．5
【答案】A
【分析】求BD的最小值可以轉(zhuǎn)化為求點(diǎn)B到直線AC的距離，當(dāng)BD⊥AC時，BD有最小值，根據(jù)題意求解即可．
【詳解】解：由題意可知當(dāng)BD⊥AC時，BD有最小值，
此時，AD=CD，∠ABC=90°，
∴BD=AD=BD=AC=2，
∴BD的最小值為2．
故選：A．
【點(diǎn)睛】本題考查平行線的性質(zhì)，需結(jié)合圖形，根據(jù)平行線的性質(zhì)推出相關(guān)角的關(guān)系從而進(jìn)行求解．
【變式3-2】（2023春·北京海淀·八年級首都師范大學(xué)附屬中學(xué)?？奸_學(xué)考試）直線，對平面內(nèi)不在上，且不在上的任意一點(diǎn)，若到，的距離分別為，，則記．
(1)若，則線段與的公共點(diǎn)個數(shù)可能為______；
(2)若取最小值且，則的取值范圍是______．
【答案】(1)0或1
(2)
【分析】（1）分兩種情況進(jìn)行討論：當(dāng)點(diǎn)A和B均在直線上方且到的距離相等時；當(dāng)點(diǎn)A和B在直線，之間時，作出相應(yīng)圖形即可求解；
（2）根據(jù)題意得出，分兩種情況分析：當(dāng)點(diǎn)P在上方或下方時，當(dāng)點(diǎn)P在，之間時，結(jié)合圖形求解即可．
【詳解】（1）解：如圖所示，當(dāng)點(diǎn)A和B均在直線上方且到的距離相等時，
此時線段與的公共點(diǎn)個數(shù)為0；

當(dāng)點(diǎn)A和B在直線，之間時，如圖所示：
此時線段與的公共點(diǎn)個數(shù)為1；

故答案為：0或1；
（2）當(dāng)取最小值且時，如圖所示：
此時點(diǎn)A恰好在，的中間直線上，
∴，之間的距離為2，即，

當(dāng)點(diǎn)P在上方或下方時，如圖所示：

此時即為，之間的距離為2；
當(dāng)點(diǎn)P在，之間時，如圖所示：

∵，
∴當(dāng)點(diǎn)P在，的中間直線上時，，
當(dāng)點(diǎn)P不在，的中間直線上時，；
綜上可得：，
故答案為：．
【點(diǎn)睛】題目主要考查垂線的定義及點(diǎn)到直線的距離，理解題意，作出相應(yīng)圖形求解是解題關(guān)鍵．
【變式3-3】（2023春·八年級課時練習(xí)）如圖，直線，點(diǎn)A，D在直線b上，射線AB交直線a于點(diǎn)B，于點(diǎn)C，交射線AB于點(diǎn)E，，，P為射線AB上一動點(diǎn)，P從A點(diǎn)出發(fā)沿射線AB方向運(yùn)動，速度為1cm/s，設(shè)點(diǎn)P運(yùn)動時間為t，M為直線a上一定點(diǎn)，連接PC，PD．
（1）當(dāng)時，有最小值，求m的值；
（2）當(dāng)（m為（1）中的取值）時，探究、與的關(guān)系，并說明理由；
（3）當(dāng)（m為（1）中的取值）時，直接寫出、與的關(guān)系．
【答案】（1）10；（2），見解析；（3）或
【分析】（1）根據(jù)P、C、D三點(diǎn)共線時，即點(diǎn)P與點(diǎn)E重合時PC+PD的值最小，解答即可；
（2）當(dāng)t＜m時，過P在AE上，過點(diǎn)P作PH∥a∥b，根據(jù)平行線的性質(zhì)可得結(jié)論；
（3）分兩種情況討論，當(dāng)點(diǎn)P在線段BE上時，當(dāng)點(diǎn)P在線段AB的延長線上時，然后仿照第（2）問的證明方法，作出輔助線，根據(jù)平行線的性質(zhì)可得結(jié)論．
【詳解】解：（1）當(dāng)點(diǎn)P與E不重合時，在中，，
當(dāng)點(diǎn)P與E重合時，此時最小，
∴．
∵，，
∴．
∴．
故時，值最??；
（2），理由如下：
如圖，當(dāng)即時，點(diǎn)P在AE上，過點(diǎn)P作，
∵，
∴．
∴，，
∴．
∵，
∴；
（3）當(dāng)m＜t≤15即10＜t≤15時，點(diǎn)P在線段BE上，過點(diǎn)P作PHa，如圖：
又∵ab，
∴PHab，
∴∠PCM+∠CPH＝180°，∠PDA+∠DPH＝180°，
∴∠PCM+∠CPH+∠PDA+∠DPH＝360°，
又∵∠CPD＝∠CPH+∠DPH，
∴∠PCM+∠CPD+∠PDA＝360°，
即當(dāng)10＜t≤15時，∠PCM+∠CPD+∠PDA＝360°；
當(dāng)t＞15時，點(diǎn)P在線段AB的延長線上，過點(diǎn)P作PGa，如圖：
又∵ab，
∴PGab，
∴∠PCM+∠CPG＝180°，∠PDA+∠DPG＝180°，
∴∠CPG＝180°－∠PCM， ∠DPG＝180°－∠PDA，
又∵∠CPD＝∠DPG－∠CPG，
∴∠CPD＝（180°－∠PDA）－（180°－∠PCM）
＝180°－∠PDA－180°＋∠PCM
＝∠PCM－∠PDA，
∴∠PCM＝∠CPD+∠PDA．
綜上所述，當(dāng)t＞10時，∠PCM+∠CPD+∠PDA＝360°或∠PCM＝∠CPD+∠PDA．
【點(diǎn)睛】本題主要考查平行線的性質(zhì)及平行公理的推論，熟練掌握平行線的性質(zhì)及正確作出輔助線是解題的關(guān)鍵．
【題型4 將軍飲馬（兩定一動）】
【例4】（2023秋?天心區(qū)校級月考）在△ABC中，AB＝AC＝10，AD是△ABC的角平分線，E在AB的垂直平分線上，AE：EC＝3：2，F(xiàn)為AD上的動點(diǎn)，則EF+CF的最小值為（ ）
A．5B．6C．7D．8
【分析】畫出圖形，連接BE，BF．首先證明EF+CF的最小值為AE的長，求出AE的最小值即可解決問題．
【解答】解：如圖，畫出圖形如下，連接BE，BF．
∵AB＝AC，AD平分∠BAC，
∴AD⊥BC，BD＝CD，
∴FC＝FB，
∵E在AB的垂直平分線上，
∴EA＝EB，
∴EF+CF＝EF+BF≥BE，
∴EF+CF的最小值為AE的長，
∵AE：EC＝3：2，
∴可以假設(shè)AE＝3k，EC＝2k，
∵AE+EC≥AC，
∴5k≥10，
∴k≥2，
∴AE的最小值為6，
∴EF+CF的值的最小值為6，
故選：B．
【變式4-1】（2022秋?東港區(qū)校級期末）如圖，邊長為6的等邊△ABC，F(xiàn)是邊AC的中點(diǎn)，點(diǎn)D是線段BF上的動點(diǎn)，連接AD，在AD的右側(cè)作等邊△ADE，連接CD、CE、EF，下列說法正確的有（ ）個．
①BF⊥AC；②∠DEC＝∠DCE；③AE＝CD；④△ADE的周長最小值為9；⑤當(dāng)△AEF周長最小時，∠AFE＝60°；⑥∠ACE的大小隨著點(diǎn)D的移動而變化．
A．3B．4C．5D．6
【分析】根據(jù)三線合一定理即可判斷①；證明BF是線段AC的垂直平分線，得到AD＝CD，再由等邊三角形的性質(zhì)證明AE＝ED＝CD，即可判斷②③；根據(jù)點(diǎn)到直線的距離垂線段最短可知當(dāng)AD⊥BF即D與F重合時，AD最小，即此時△ADE的周長最小，即可判斷④；證明△BAD≌△CAE，得到∠ACE＝∠ABD＝30°即可判斷⑥；則即點(diǎn)E在射線CE（射線CE⊥BC）上運(yùn)動，如圖所示，作點(diǎn)A關(guān)于直線CE的對稱點(diǎn)M，連接ME，MC，推出當(dāng)E、F、M三點(diǎn)共線，即點(diǎn)E與點(diǎn)E'重合 時，EF+EM最小，即△AEF的周長最小，證明△ACM是等邊三角形，推出∠AFE'＝90°，即可判斷⑤．
【解答】解：∵△ABC是等邊三角形，F(xiàn)是邊AC的中點(diǎn)，
∴BF⊥AC，故①正確；
∴BF是線段AC的垂直平分線，
∴AD＝CD，
∵△ADE是等邊三角形，
∴AD＝ED＝AE，
∴AE＝ED＝CD，故③正確；
∴∠DEC＝∠DCE，故②正確；
∵D在線段BF上，
∴當(dāng)AD⊥BF即D與F重合時，AD最小，即此時△ADE的周長最小，
∵等邊三角形△ABC的邊長為6，F(xiàn)是邊AC的中點(diǎn)，
∴AD最?。紸F＝3，
∴△ADE的周長的最小值為AD+DE+AE＝3AD＝9，故④正確；
∵△ABC、△ADE都是等邊三角形，
∴AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE＝60°，
∴∠BAD＝∠CAE，
∴△BAD≌△CAE（SAS），
∴∠ACE＝∠ABD＝30°，故⑥錯誤；
∴∠BCE＝∠BCA+∠ACE＝90°，即點(diǎn)E在射線CE（射線CE⊥BC）上運(yùn)動，
如圖所示，作點(diǎn)A關(guān)于直線CE的對稱點(diǎn)M，連接ME，MC，
∴AE＝ME，
∴△AEF的周長＝AF+AE+EF＝AM+AF+EF，
∴當(dāng)E、F、M三點(diǎn)共線，即點(diǎn)E與點(diǎn)E'重合 時，EF+EM最小，即△AEF的周長最小，
∵點(diǎn)A與點(diǎn)M關(guān)于CE對稱，
∴AC＝MC，∠ACE＝∠MCE＝30°，
∴∠ACM＝60°，
∴△ACM是等邊三角形，
又∵F是邊AC的中點(diǎn)，
∴AF⊥MF，
∴∠AFE'＝90°，故⑤錯誤；
∴正確的一共有4個，
故選：B．
【變式4-2】（2023春·全國·八年級專題練習(xí)）如圖，正△ABC的邊長為2，過點(diǎn)B的直線l⊥AB，且△ABC與△A′BC′關(guān)于直線l對稱，D為線段BC′上一動點(diǎn)，則AD+CD的最小值是 ．
【答案】4
【分析】根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)及軸對稱的性質(zhì)得到∠ABC=∠A′BC′=60°，A′B=AB=BC=2，證明△CBD≌△A′BD，得到CD=A′D，推出當(dāng)A、D、A′三點(diǎn)共線時，AD+CD最小，此時AD+CD=A′B+AB=4．
【詳解】解：如圖，連接A′D，
∵正△ABC的邊長為2，△ABC與△A′BC′關(guān)于直線l對稱，
∴∠ABC=∠A′BC′=60°，A′B=AB=BC=2，
∴∠CBC′=60°，
∴∠CBC′=∠A′BC′，
∵BD=BD，
∴△CBD≌△A′BD，
∴CD=A′D，
∴AD+CD=A′D+CD，
∴當(dāng)A、D、A′三點(diǎn)共線時，AD+CD最小，此時AD+CD=A′B+AB=4，
故答案為：4．
．
【點(diǎn)睛】此題考查了等邊三角形的性質(zhì)，軸對稱的性質(zhì)，全等三角形的判定及性質(zhì)，最短路徑問題，正確掌握全等三角形的判定是解題的關(guān)鍵．
【變式4-3】（2023·江蘇·八年級假期作業(yè)）如圖，在△ABC中，AB=AC,∠BAC=120°,AB邊的垂直平分線DE交AB于點(diǎn)D，若AE=3，
(1)求BC的長；
(2)若點(diǎn)P是直線DE上的動點(diǎn)，直接寫出PA+PC的最小值為_________．
【答案】(1)9
(2)9
【分析】（1）根據(jù)垂直平分線的性質(zhì)可證△ABE為等腰三角形，由角度可證△ACE為30°直角三角形，再由線段之間的關(guān)系即可求出BC的長；
（2）根據(jù)將軍飲馬原理即可得出PA+PC的最小值為BC的長度．
【詳解】（1）解：∵AB=AC，∠BAC=120°
∴∠B=∠C=12(180°?∠BAC)=30°
∵AB邊的垂直平分線交AB于點(diǎn)D，
∴BE=AE=3，
∴∠BAE=∠B=30°
∴∠CAE=∠BAC?∠BAE=120°?30°=90°
在Rt△CAE中，∠C=30°
∴CE=2AE=6
∴BC=BE+CE=3+6=9
（2）解：如圖，
取點(diǎn)A關(guān)于直線DE的對稱點(diǎn)，即點(diǎn)B；連接B,C兩點(diǎn)，與直線DE交于點(diǎn)P(E)，
∵ PA=PB
∴ PA+PC=PB+PC
根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短
則BC即為PA+PC的最小值，最小值為9
【點(diǎn)睛】本題考查了圖形的軸對稱，相關(guān)知識點(diǎn)有：垂直平分線的性質(zhì)、將軍飲馬等，軸對稱性質(zhì)的充分利用是解題關(guān)鍵．
【題型5 三點(diǎn)共線（兩定一動最大值）】
【例5】（2023春·廣東廣州·八年級?？茧A段練習(xí)）如圖，在△ABC中，AB=AC，AC的垂直平分線交AC于點(diǎn)N，交AB于點(diǎn)M，AB=12cm，△BMC的周長是20cm，若點(diǎn)P在直線MN上，則PA?PB的最大值為 .
【答案】8cm
【分析】根據(jù)垂直平分線的性質(zhì)得到MA=MC，再利用三角形兩邊之差小于第三邊解答即可．
【詳解】解：∵M(jìn)N垂直平分AC，
∴MA=MC，
又∵C△BMC=BM+MC+BC=20cm，BM+MA=AB=12cm，
∴BC=20?12=8cm，
在MN上取點(diǎn)P，連接PA、PB、PC，
∵M(jìn)N垂直平分AC，
∴PA=PC，
∴PA?PB=PC?PB，
在△PBC中PC?PB