專題12.7 全等三角形章末八大題型總結(jié)（拔尖篇）（原卷版+解析版）--最新人教八年級上冊數(shù)學精講精練（原卷版+解析版）

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數(shù)學 新人教版初中數(shù)學學科教材分析 數(shù)學是一門研究數(shù)量關(guān)系和空間形式的科學，具有嚴密的符號體系，獨特的公式結(jié)構(gòu)，形象的圖像語言。它有三個顯著的特點：高度抽象，邏輯嚴密，廣泛應(yīng)用。? 1．高度抽象性：數(shù)學的抽象，在對象上、程度上都不同于其它學科的抽象，數(shù)學是借助于抽象建立起來并借助于抽象發(fā)展的。 2．嚴密邏輯性：?數(shù)學具有嚴密的邏輯性，任何數(shù)學結(jié)論都必須經(jīng)過邏輯推理的嚴格證明才能被承認。任何一門科學，都要應(yīng)用邏輯工具，都有它嚴謹?shù)囊幻妗?3．廣泛應(yīng)用性：數(shù)學作為一種工具或手段，幾乎在任何一門科學技術(shù)及一切社會領(lǐng)域中都被運用。各門科學的“數(shù)學化”，是現(xiàn)代科學發(fā)展的一大趨勢。? 專題12.7 全等三角形章末八大題型總結(jié)（拔尖篇） 【人教版】 TOC \o "1-3" \h \u   HYPERLINK \l "_Toc19498" 【題型1 由全等三角形的判定與性質(zhì)求最值】  PAGEREF _Toc19498 \h 1  HYPERLINK \l "_Toc14609" 【題型2 由全等三角形的判定與性質(zhì)探究線段的和差關(guān)系】  PAGEREF _Toc14609 \h 2  HYPERLINK \l "_Toc25197" 【題型3 由全等三角形的判定與性質(zhì)求面積】  PAGEREF _Toc25197 \h 4  HYPERLINK \l "_Toc25426" 【題型4 尺規(guī)作圖與全等三角形的綜合】  PAGEREF _Toc25426 \h 5  HYPERLINK \l "_Toc16930" 【題型5 三角形的三邊關(guān)系與全等三角形的綜合】  PAGEREF _Toc16930 \h 8  HYPERLINK \l "_Toc14312" 【題型6 全等三角形的動態(tài)問題】  PAGEREF _Toc14312 \h 10  HYPERLINK \l "_Toc15333" 【題型7 全等三角形與坐標系的綜合運用】  PAGEREF _Toc15333 \h 12  HYPERLINK \l "_Toc27702" 【題型8 全等三角形中的多結(jié)論問題】  PAGEREF _Toc27702 \h 14  【題型1 由全等三角形的判定與性質(zhì)求最值】 【例1】（2023春·北京朝陽·八年級統(tǒng)考期末）如圖，Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠B=30°，D，E為AB邊上的兩個動點，且AD=BE，連接CD，CE，若AC=2，則CD+CE的最小值為 ． 【變式1-1】（2023春·八年級課時練習）如圖，在Rt△ABC中，∠A=90°，M為BC的中點，H為AB上一點，過點C作CG∥AB，交HM的延長線于點G，若AC=8，AB=6，則四邊形ACGH周長的最小值是 ． 【變式1-2】（2023春·江蘇鹽城·八年級統(tǒng)考期中）如圖，在四邊形ABCD中，∠A=90°，AD=3，連接BD，BD⊥CD，BD平分∠ABC．若P是BC邊上一動點，則DP長的最小值為 ． 【變式1-3】（2023春·八年級課時練習）如圖，在直角△ABC中，∠ACB=90°，AC=4，BC=3，AB=5，AD平分∠BAC，N是AC上一動點（不與A,C重合），M是AD上一動點（不與A,D重合），則CM+MN的最小值為 ． 【題型2 由全等三角形的判定與性質(zhì)探究線段的和差關(guān)系】 【例2】（2023春·河南鄭州·七年級統(tǒng)考期末）回答問題 （1）【初步探索】如圖1，在四邊形ABCD中，AB=AD,∠B=∠ADC=90°，E、F分別是BC、CD上的點，且EF=BE+FD，探究圖中∠BAE、∠FAD、∠EAF之間的數(shù)量關(guān)系，小王同學探究此問題的方法是：延長FD到點G，使DG=BE，連接AG，先證明△ABE≌△ADG，再證明△AEF≌△AGF，可得出結(jié)論，他的結(jié)論是 　 ??； （2）【靈活運用】如圖2，若在四邊形ABCD中，AB=AD,∠B+∠D=180°，E、F分別是BC、CD上的點，且EF=BE+FD，上述結(jié)論是否仍然成立，并說明理由； （3）【拓展延伸】已知在四邊形ABCD中，∠ABC+∠ADC=180°,AB=AD，若點E在CB的延長線上，點F在CD的延長線上，如圖3，仍然滿足EF=BE+FD，請直接寫出∠EAF與∠DAB的數(shù)量關(guān)系． 【變式2-1】（2023春·上?！て吣昙壠谀┮阎旱冗叀鰽BC邊長為3，點D、點E分別在射線AB、射線BC上，且BD＝CE＝a（0＜a＜3），將直線DE繞點E順時針旋轉(zhuǎn)60°，得到直線EF交直線AC于點F． (1)如圖1，當點D在線段AB上，點E在線段BC上時，說明BD+CF＝3的理由． (2)如圖2，當點D在線段AB上，點E在線段BC的延長線上時，請判斷線段BD，CF之間的數(shù)量關(guān)系并說明理由． (3)當點D在線段AB延長線上時，線段BD，CF之間的數(shù)量關(guān)系又如何？請在備用圖中畫圖探究，并直接寫出線段BD，CF之間的數(shù)量關(guān)系． 【變式2-2】（2023春·陜西西安·八年級西安益新中學校考階段練習）（1）某學習小組在探究三角形全等時，發(fā)現(xiàn)了下面這種典型的基本圖形．如圖1，已知：在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，直線l經(jīng)過點A，BD⊥直線l，CE⊥直線l，垂足分別為點D、E．證明：DE=BD+CE． （2）組員小劉想，如果三個角不是直角，那結(jié)論是否會成立呢？如圖2，將（1）中的條件改為：在△ABC中，AB=AC，D、A、E三點都在直線l上，并且有∠BDA=∠AEC=∠BAC=α，其中α為任意銳角或鈍角．請問結(jié)論DE=BD+CE是否成立？如成立，請你給出證明；若不成立，請說明理由． （3）數(shù)學老師贊賞了他們的探索精神，并鼓勵他們運用這個知識來解決問題：如圖3，過△ABC的邊AB、AC向外作正方形ABDE和正方形ACFG，AH是BC邊上的高，延長HA交EG于點I，求證：I是EG的中點． 【變式2-3】（2023春·上海靜安·八年級校考期中）如圖，在△ABC中，∠BAC=10.5°，AD是∠BAC的平分線，過點A作DA的垂線交BC延長線于點M，若BM=BA+AC，則∠ABC的度數(shù)是 ?? 【題型3 由全等三角形的判定與性質(zhì)求面積】 【例3】（2023春·廣東深圳·八年級?？茧A段練習）如圖，△ABC中，BC=10，AC?AB=5，AD是∠BAC的角平分線，CD⊥AD，則S△BDC的最大值為 ． ?? 【變式3-1】（2023春·黑龍江哈爾濱·八年級統(tǒng)考期末）如圖，已知四邊形ABCD，連接AC、BD，∠BAC=∠ADC=90°，AB=AC，若AD=5，則△ABD的面積等于 ． ?? 【變式3-2】（2023春·江蘇南京·八年級南京市科利華中學?？计谥校┤鐖D，Rt△ABC中，∠C=90°，分別以AB、AC、BC為邊在AB同側(cè)作正方形ABDE、ACPQ、BCMN，四塊陰影部分面積分別為S1、S2、S3、S4，若S1+S2+S3=12，則S4= ． 【變式3-3】（2023春·江蘇鹽城·八年級景山中學?？计谀┮阎骸鰽BC中，∠ACB=90°，AC=CB，D為射線CB上一動點，連接AD，在直線AC右側(cè)作AE⊥AD，且AE=AD．連接BE交直線AC于M，若2AC=7CM，則S△ADBS△AEM的值為 ． ?? 【題型4 尺規(guī)作圖與全等三角形的綜合】 【例4】（2023春·全國·八年級專題練習）如圖，點B在直線l上，分別以線段BA的端點為圓心，以BC（小于線段BA）長為半徑畫弧，分別交直線l，線段BA于點C，D，E，再以點E為圓心，以CD長為半徑畫弧交前面的弧于點F，畫射線AF．若∠BAF的平分線AH交直線l于點H，∠ABC=70°，則∠AHB的度數(shù)為 ． 【變式4-1】（2023·全國·八年級專題練習）我們通過“三角形全等的判定”的學習，可以知道“兩邊和它們的夾角分別相等的兩個三角形全等”是一個基本事實，用它可以判定兩個三角形全等；而滿足條件“兩邊和其中一邊所對的角分別相等”的兩個三角形卻不一定全等．下面請你來探究“兩邊和其中一邊所對的角分別相等的兩個三角形不一定全等”．探究：已知△ABC，求作一個△DEF，使EF=BC，∠F=∠C，DE=AB（即兩邊和其中一邊所對的角分別相等）． (1)動手畫圖：請依據(jù)下面的步驟，用尺規(guī)完成作圖過程（保留作圖痕跡）： ①畫EF=BC； ②在線段EF的上方畫∠F=∠C； ③畫DE=AB； ④順次連接相應(yīng)頂點得所求三角形． (2)觀察：觀察你畫的圖形，你會發(fā)現(xiàn)滿足條件的三角形有____個；其中三角形____（填三角形的名稱）與△ABC明顯不全等； (3)小結(jié)：經(jīng)歷以上探究過程，可得結(jié)論：______． 【變式4-2】（2023春·山西·八年級統(tǒng)考階段練習）綜合與實踐：在綜合實踐課上，老師讓同學們在已知三角形的基礎(chǔ)上，經(jīng)過畫圖，探究三角形邊之間存在的關(guān)系．如圖，已知點D在ΔABC的邊BC的延長線上，過點D作∠BDM=∠B且DM//AB，在DM上截取DE=AB，再作∠DEF=∠A交線段BC于點F． ?? 實踐操作 （1）尺規(guī)作圖：作出符合上述條件的圖形； 探究發(fā)現(xiàn) （2）勤奮小組在作出圖形后，發(fā)現(xiàn)AC//EF，AC=EF，請說明理由； 探究應(yīng)用 （3）縝密小組在勤奮小組探究的基礎(chǔ)上，測得DF=5，CF=1，求線段BD的長． 【變式4-3】（2023春·北京·八年級?？计谥校┏咭?guī)作圖之旅 下面是一副純手繪的畫作，其中用到的主要工具就是直尺和圓規(guī)，在數(shù)學中，我們也能通過尺規(guī)作圖創(chuàng)造出許多帶有美感的圖形． 尺規(guī)作圖起源于古希臘的數(shù)學課題，只允許使用圓規(guī)和直尺，來解決平面幾何作圖問題． 【作圖原理】在兩年的數(shù)學學習里中，我們認識了尺規(guī)作圖，并學會用尺規(guī)作圖完成一些作圖問題，請仔細思考回顧，判斷以下操作能否通過尺規(guī)作圖實現(xiàn)，可以實現(xiàn)的畫√，不能實現(xiàn)的 畫×． （1）過一點作一條直線．(　　　) （2）過兩點作一條直線．(　　　) （3）畫一條長為3㎝的線段．(　　　) （4）以一點為圓心，給定線段長為半徑作圓．(　　　) 【回顧思考】還記得我們用尺規(guī)作圖完成的第一個問題嗎？那就是“作一條線段等于已知線段”，接著，我們學習了使用尺規(guī)作圖作線段的垂直平分線，作角平分線，過直線外一點作垂線……而這些尺規(guī)作圖的背后都與我們學習的數(shù)學原理密切相關(guān)，下面是用尺規(guī)作一個角等于已知角的方法及說理，請補全過程． 已知：∠AOB． 求作：∠A'O'B'使∠A'O'B'=∠AOB 作法：（1）如圖，以O(shè)為圓心，任意長為半徑畫弧，分別交OA，OB于點C，D； （2）畫一條射線O'A'，以點O'為圓心，OC長為半徑畫弧，交O'A'于點C'； （3）以點C'為圓心，____________________； （4）過點D'畫射線O'B'，則∠A'O'B'=∠AOB． 說理：由作法得已知：OC=O'C',OD=O'D',CD=C'D' 求證：∠A'O'B'=∠AOB 證明：∵OC=O'C'OD=O'D'CD=C'D' ∴ΔOCD?ΔO'C'D'(　　　) 所以∠A'O'B'=∠AOB(　　　) 【小試牛刀】請按照上面的范例，完成尺規(guī)作圖并說理：過直線外一點作已知直線的平行線． 已知：直線l與直線外一點A． 求作：過點A的直線l'，使得l//l'． 【創(chuàng)新應(yīng)用】現(xiàn)實生活中許多圖案設(shè)計都蘊含著數(shù)學原理，下面是一個常見商標的設(shè)計示意圖．假設(shè)你擁有一家書店，請利用你手中的刻度尺和圓規(guī)，為你的書店設(shè)計一個圖案．要求保留作圖痕跡，并寫出你的設(shè)計意圖． 【題型5 三角形的三邊關(guān)系與全等三角形的綜合】 【例5】（2023春·廣東廣州·八年級統(tǒng)考期中）Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝BC，過點A作AE⊥AB．連接BE，CE，M為平面內(nèi)一動點． (1)如圖1，若BC＝4，則S△EBC＝　 ?。?(2)如圖2，點M在BE上，且CM⊥BE于M，過點A作AF⊥BE于F，D為AC中點，連接FD并延長，交CM于點H．求證：MF＝MH； (3)如圖3，連接BM，EM，過點B作BM'⊥BM于點B，且滿足BM'＝BM，連接AM'，MM'，過點B作BG⊥CE于點G，若S△ABC＝18，EM＝3，BG＝4，求線段AM'的長度的取值范圍． 【變式5-1】（2023春·四川樂山·八年級統(tǒng)考期末）如圖，在△ABC中，BC=12，AD平分∠BAC，點E為AC中點，AD與BE相交于點F． (1)若∠ABC=40°，∠C=80°，求∠ADB的度數(shù)； (2)如圖1，若AB=10，求線段BE的長的取值范圍； (3)如圖2，過點B作BH⊥AD交AD延長線于點H，設(shè)△BFH，△AEF的面積分別為S1，S2，若AB?AC=4，試求S1?S2的最大值． 【變式5-2】（2023春·廣東深圳·八年級統(tǒng)考期末）定理：三角形任意兩邊之和大于第三邊． (1)如圖1，線段AD，BC交于點E，連接AB，CD，判斷AD+BC與AB+CD的大小關(guān)系，并說明理由； (2)如圖2，OC平分∠AOB，P為OC上任意一點，在OA，OB上截取OE=OF，連接PE，PF．求證：PE=PF； (3)如圖3，在△ABC中，AB>AC，P為角平分線AD上異于端點的一動點，求證：PB?PC>BD?CD． 【變式5-3】（2023春·湖南長沙·八年級統(tǒng)考期中）閱讀理解：課外興趣小組活動時，老師提出了如下問題:在△ABC中，AB=7，AC=3，求BC邊上的中線AD的取值范圍． (1)小明在組內(nèi)經(jīng)過合作交流，得到了如下的解決方法（如圖1）:①延長AD到Q使得DQ=AD； ②再連接BQ，把AB、AC、2AD集中在△ABQ中；③利用三角形的三邊關(guān)系可得4