專題12.6 全等三角形章末八大題型總結(jié)（培優(yōu)篇）（原卷版+解析版）--最新人教八年級(jí)上冊(cè)數(shù)學(xué)精講精練（原卷版+解析版）

這是一份專題12.6 全等三角形章末八大題型總結(jié)（培優(yōu)篇）（原卷版+解析版）--最新人教八年級(jí)上冊(cè)數(shù)學(xué)精講精練（原卷版+解析版），文件包含專題126全等三角形章末八大題型總結(jié)培優(yōu)篇人教版原卷版docx、專題126全等三角形章末八大題型總結(jié)培優(yōu)篇人教版解析版docx等2份試卷配套教學(xué)資源，其中試卷共51頁(yè)， 歡迎下載使用。
數(shù)學(xué) 新人教版初中數(shù)學(xué)學(xué)科教材分析 數(shù)學(xué)是一門研究數(shù)量關(guān)系和空間形式的科學(xué)，具有嚴(yán)密的符號(hào)體系，獨(dú)特的公式結(jié)構(gòu)，形象的圖像語(yǔ)言。它有三個(gè)顯著的特點(diǎn)：高度抽象，邏輯嚴(yán)密，廣泛應(yīng)用。? 1．高度抽象性：數(shù)學(xué)的抽象，在對(duì)象上、程度上都不同于其它學(xué)科的抽象，數(shù)學(xué)是借助于抽象建立起來(lái)并借助于抽象發(fā)展的。 2．嚴(yán)密邏輯性：?數(shù)學(xué)具有嚴(yán)密的邏輯性，任何數(shù)學(xué)結(jié)論都必須經(jīng)過(guò)邏輯推理的嚴(yán)格證明才能被承認(rèn)。任何一門科學(xué)，都要應(yīng)用邏輯工具，都有它嚴(yán)謹(jǐn)?shù)囊幻妗?3．廣泛應(yīng)用性：數(shù)學(xué)作為一種工具或手段，幾乎在任何一門科學(xué)技術(shù)及一切社會(huì)領(lǐng)域中都被運(yùn)用。各門科學(xué)的“數(shù)學(xué)化”，是現(xiàn)代科學(xué)發(fā)展的一大趨勢(shì)。? 專題12.6 全等三角形章末八大題型總結(jié)（培優(yōu)篇） 【人教版】 TOC \o "1-3" \h \u   HYPERLINK \l "_Toc21294" 【題型1 添加條件使成為全等三角形】  PAGEREF _Toc21294 \h 1  HYPERLINK \l "_Toc18330" 【題型2 判定全等三角形的依據(jù)】  PAGEREF _Toc18330 \h 3  HYPERLINK \l "_Toc23264" 【題型3 利用全等三角形的判定與性質(zhì)證明線段或角度相等】  PAGEREF _Toc23264 \h 6  HYPERLINK \l "_Toc8541" 【題型4 利用全等三角形的判定與性質(zhì)求線段長(zhǎng)度或角的度數(shù)】  PAGEREF _Toc8541 \h 12  HYPERLINK \l "_Toc5935" 【題型5 利用全等三角形的判定與性質(zhì)確定線段之間的位置關(guān)系】  PAGEREF _Toc5935 \h 16  HYPERLINK \l "_Toc15180" 【題型6 全等三角形在網(wǎng)格中的運(yùn)用】  PAGEREF _Toc15180 \h 21  HYPERLINK \l "_Toc23019" 【題型7 全等三角形在新定義中的運(yùn)用】  PAGEREF _Toc23019 \h 24  HYPERLINK \l "_Toc18969" 【題型8 全等三角形的實(shí)際應(yīng)用】  PAGEREF _Toc18969 \h 33  【題型1 添加條件使成為全等三角形】 【例1】（2023春·山東濟(jì)南·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，已知AB=CD，那么添加下列一個(gè)條件后，仍無(wú)法判定△ABC≌△CDA的是（???） ?? A．∠BCA=∠DCA B．∠BAC=∠DCA C．BC=AD D．∠B=∠D=90° 【答案】A 【分析】由已知我們可得到兩個(gè)三角形的兩邊相等（其中AC為公共邊），根據(jù)全等三角形的判定即可解答． 【詳解】解：∵AB=CD，AC=CA， ∴可以添加的條件是：BC=ADSSS，或∠BAC=∠DCASAS或∠B=∠D=90°HL， 故只有∠BCA=∠DCA仍無(wú)法判定△ABC≌△CDA； 故選：A． 【點(diǎn)睛】此題主要考查了全等三角形的判定，熟練掌握三角形的判定是解決問(wèn)題的關(guān)鍵． 【變式1-1】（2023春·山東煙臺(tái)·八年級(jí)統(tǒng)考期中）2022年冬季奧運(yùn)會(huì)在我國(guó)北京舉行，奧運(yùn)健兒們敢于拼搏、善于拼搏，在奧運(yùn)賽場(chǎng)上展現(xiàn)新時(shí)代中國(guó)運(yùn)動(dòng)員的精神風(fēng)貌和競(jìng)技水平，請(qǐng)你添加一個(gè)條件，為奧運(yùn)健兒設(shè)計(jì)一只與圖1一樣的鞋子，已知：AB=DF，∠ABC=∠DFE，寫出可添加的條件并標(biāo)明依據(jù) ．（三個(gè)字母簡(jiǎn)寫理由，寫出一種情況即可）． 【答案】∠ACB=∠DEFAAS（答案不唯一） 【分析】根據(jù)題意增加條件進(jìn)行判定即可． 【詳解】解：由題意得可以增加的條件為：∠ACB=∠DEF， 在△ABC和△DFE中， ∠ACB=∠DEF∠ABC=∠DFEAB=DF， ∴△ABC≌△DFEAAS， 故答案為：∠ACB=∠DEFAAS． 【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的判定，靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)求解是解決本題的關(guān)鍵． 【變式1-2】（2023春·福建寧德·八年級(jí)統(tǒng)考期末）具備下列條件的兩個(gè)三角形，可以證明它們?nèi)鹊氖?????). A．一邊和這一邊上的高對(duì)應(yīng)相等 B．兩邊和第三邊上的中線對(duì)應(yīng)相等 C．兩邊和其中一邊的對(duì)角對(duì)應(yīng)相等 D．直角三角形的斜邊對(duì)應(yīng)相等 【答案】B 【分析】根據(jù)判定兩個(gè)三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL分別進(jìn)行分析． 【詳解】解：A、一邊和這邊上的高對(duì)應(yīng)相等，無(wú)法得出它們?nèi)龋蚀诉x項(xiàng)錯(cuò)誤； B、兩邊和第三邊上的中線對(duì)應(yīng)相等，通過(guò)如圖所示方式（倍長(zhǎng)中線法）可以證明它們?nèi)龋ā鰽BC≌△A′B′C′），故此選項(xiàng)正確. ． C、兩邊和其中一邊的對(duì)角對(duì)應(yīng)相等，無(wú)法利用ASS得出它們?nèi)?，故此選項(xiàng)錯(cuò)誤； D、直角三角形的斜邊對(duì)應(yīng)相等,無(wú)法得出它們?nèi)?，故此選項(xiàng)錯(cuò)誤． 故選：B． 【點(diǎn)睛】本題考查三角形全等的判定方法，注意：AAA、SSA不能判定兩個(gè)三角形全等，判定兩個(gè)三角形全等時(shí)，必須有邊的參與，若有兩邊一角對(duì)應(yīng)相等時(shí)，角必須是兩邊的夾角． 【變式1-3】（2023春·湖北武漢·八年級(jí)統(tǒng)考期中）在△ABC與△DEF中，下列各組條件，不能判定這兩個(gè)三角形全等的是（????） A．AB＝DE，∠B＝∠E，∠C＝∠F B．AC＝DE，∠B＝∠E，∠A＝∠F C．AC＝DF，BC＝DE，∠C＝∠D D．AB＝EF，∠A＝∠E，∠B＝∠F 【答案】B 【分析】 【詳解】利用全等三角形的判定定理，分析可得： A、AB=DE，∠B=∠E，∠C=∠F可利用AAS證明△ABC與△DEF全等； B、∠A=∠F，∠B=∠E，AC=DE，對(duì)應(yīng)邊不對(duì)應(yīng)，不能證明△ABC與△DEF全等； C、AC=DF，BC=DE，∠C=∠D可利用ASA證明△ABC與△DEF全等； D、AB=EF，∠A=∠E∠B=∠F可利用SAS證明△ABC與△DEF全等； 故選B 點(diǎn)睛：本題考查三角形全等的判定方法，判定兩個(gè)三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．注意：AAA、SSA不能判定兩個(gè)三角形全等，判定兩個(gè)三角形全等時(shí)，必須有邊的參與，若有兩邊一角對(duì)應(yīng)相等時(shí)，角必須是兩邊的夾角． 【題型2 判定全等三角形的依據(jù)】 【例2】（2023春·遼寧沈陽(yáng)·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，已知太陽(yáng)光線AC和DE是平行的，在同一時(shí)刻，如果將兩根高度相同的木桿豎直插在地面上，那么在太陽(yáng)光照射下，其影子一樣長(zhǎng)．這里判斷影長(zhǎng)相等利用了全等圖形的性質(zhì)，其中判斷△ABC≌△DFE的依據(jù)是(????) ?? A．SAS B．AAS C．SSS D．ASA 【答案】B 【分析】先根據(jù)題意得出AC∥ED，AH⊥GT，DT⊥GT，AH=DT，進(jìn)而得∠AGH=∠DKT，∠AHG=∠DTK=90°，據(jù)此即可判定△AGH和△DKT全等，從而得出答案． 【詳解】解：如圖， ??， 依題意得：AC∥ED，AH⊥GT，DT⊥GT，AH=DT， ∴∠AGH=∠DKT，∠AHG=∠DTK=90°， 在△AGH和△DKT中， ∠AGH=∠DKT∠AHG=∠DTK=90°AH=DT， ∴△AGH≌△DKTAAS， 故選：B． 【點(diǎn)睛】此題主要考查了全等三角形的判定，平行線的性質(zhì)，解答此題的關(guān)鍵是理解題意，找出AC∥ED，AH⊥GT，DT⊥GT，AH=DT，進(jìn)而找出判定三角形全等的判定條件． 【變式2-1】（2023春·福建福州·八年級(jí)?？计谥校┤鐖D，將兩根鋼條AA'，BB'的中點(diǎn)O釘在一起，使AA'，BB'能繞點(diǎn)O自由轉(zhuǎn)動(dòng)，就做成一個(gè)測(cè)量工具，測(cè)A'B'的長(zhǎng)即等于內(nèi)槽寬AB，那么判定△OAB≌△OA'B'的理由是（?????）． ?? A．邊角邊 B．角邊角 C．邊邊邊 D．斜邊直角邊 【答案】A 【分析】由O是AA'、BB'的中點(diǎn)， 可得：AO=A'O，BO=B'O，再由∠AOA'=∠BOB'，可以根據(jù)全等三角形的判定方法SAS，判定△OAB≌△OA'B'． 【詳解】∵O是AA' 、BB'的中點(diǎn)， ∴AO=A'O，BO=B'O， 在△OAB和 △OA'B'中， AO=A'O∠AOA'=∠BOB'BO=B'O， ∴△OAB≌△OA'B'SAS， 故選：A． 【點(diǎn)睛】此題考查了全等三角形判定方法的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是掌握全等三角形的判定方法： SSS、SAS、ASA、AAS、HL，要證明兩個(gè)三角形全等，必須有對(duì)應(yīng)邊相等這一條件． 【變式2-2】（2023春·福建福州·八年級(jí)?？计谥校┤鐖D所示，某同學(xué)將一塊三角形的玻璃打碎成了三塊，現(xiàn)在要到玻璃店去配一塊完全一樣的玻璃，那么最省事的辦法是帶第 塊去．（填序號(hào)） ?? 【答案】③ 【分析】已知三角形破損部分的邊角，得到原來(lái)三角形的邊角，根據(jù)三角形全等的判定方法，即可求解． 【詳解】第一塊和第二塊只保留了原三角形的一個(gè)角和部分邊，根據(jù)這兩塊中的任一塊均不能配一塊與原來(lái)完全一樣的;第三塊不僅保留了原來(lái)三角形的兩個(gè)角還保留了一邊，則可以根據(jù)ASA來(lái)配一塊一樣的玻璃.應(yīng)帶③去； 故答案為：③． 【點(diǎn)睛】此題考查了全等三角形的判定方法，解題的關(guān)鍵是熟練掌握常用的幾種方法的靈活運(yùn)用． 【變式2-3】（2023春·浙江臺(tái)州·八年級(jí)校考期中）為了測(cè)量池塘兩側(cè)A，B兩點(diǎn)間的距離，在地面上找一點(diǎn)C，連接AC，BC，使∠ACB=90°，然后在BC的延長(zhǎng)線上確定點(diǎn)D，使CD=BC，得到△ABC≌△ADC，通過(guò)測(cè)量AD的長(zhǎng)，得AB的長(zhǎng)．那么△ABC≌△ADC的理由是（???） A．SAS B．AAS C．ASA D．SSS 【答案】A 【分析】根據(jù)已知條件可找到兩邊對(duì)應(yīng)相等且?jiàn)A角相等，利用SAS即可證明△ACB≌△ACD,由此即可解決問(wèn)題． 【詳解】解：∵∠ACB=90° ∴∠ACB=∠ACD=90° 則在△ACB和△ACD中,AC＝AC∠ACD＝∠ACB＝90°CD＝BC ∴△ABC≌△ADC（SAS）, ∴AB=AD（全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等）． 故選：A． 【點(diǎn)睛】本題考查全等三角形的應(yīng)用,解題的關(guān)鍵是熟練掌握全等三角形的判定方法,屬于中考?？碱}型． 【題型3 利用全等三角形的判定與性質(zhì)證明線段或角度相等】 【例3】（2023春·四川達(dá)州·八年級(jí)校考期末）如圖，△ABC和△DCB中，AB=DC，∠ABC=∠DCB，AC和DB交于點(diǎn)M． ?? (1)△ABC與△DCB全等嗎？為什么？ (2)過(guò)點(diǎn)C作CE∥BD，過(guò)點(diǎn)B作BF∥AC，試判斷∠DCE和∠ABF的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明你判斷的理由 【答案】(1)△ABC≌△DCB，理由見(jiàn)解析 (2)∠DCE=∠ABF，理由見(jiàn)解析 【分析】（1）根據(jù)SAS，直接可得△ABC≌△DCB； （2）根據(jù)△ABC≌△DCB，可得∠A=∠D，根據(jù)平行線的性質(zhì)可得∠DCE=∠D,∠ABF=∠A，等量代換即可得出結(jié)論． 【詳解】（1）△ABC≌△DCB，理由如下， 在△ABC和△DCB中， AB=DC∠ABC=∠DCBBC=CB， ∴△ABC≌△DCB （2）∵CE∥BD，BF∥AC， ∴∠DCE=∠D,∠ABF=∠A， ∵△ABC≌△DCB， ∴∠A=∠D， ∴∠DCE=∠ABF． 【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的性質(zhì)與判定，平行線的性質(zhì)，熟練掌握全等三角形的性質(zhì)與判定是解題的關(guān)鍵． 【變式3-1】（2023春·黑龍江哈爾濱·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，BD,CE都是△ABC的角平分線，BD交CE于點(diǎn)F，其中∠A=60°． (1)求∠BFC的度數(shù)； (2)求證：DF=EF. 【答案】(1)120° (2)見(jiàn)解析 【分析】1首先利用三角形內(nèi)角和定理求出∠ABC+∠ACB的度數(shù)，結(jié)合角平分線的定義得到∠DBC+∠ECB的度數(shù)；再次利用三角形內(nèi)角和定理可求出∠BFC的度數(shù)； 2結(jié)合1根據(jù)平角定義得到∠BFE=∠CFD=60°.在BC上截取BG=BE，連接GF，利用SAS可證得△BFE與△BFG全等，則EF=GF，∠BFE=∠BFG=60°；再利用ASA可證得△CFG與△CFD全等，則GF=DF，至此即可證得結(jié)論． 【詳解】（1）解：∵∠A=60°， ∴∠ABC+∠ACB=180°?60°=120°， ∵BD，CE分別是∠ABC和∠ACB的角平分線， ∴∠DBC+∠ECB=12∠ABC+∠ACB=60°， ∴∠BFC=180°?60°=120°； （2）證明：如圖，在BC上截取BG=BE，連接GF， ∵∠BFC=120°， ∴∠BFE=∠CFD=60°， ∵BF=BF，BE=BG，∠EBF=∠GBF， ∴△BFE ≌△BFGSAS， ∴∠BFE=∠BFG=60°，F(xiàn)E=FG， ∴∠CFG=60°， ∵∠CFG=∠CFD=60°，CF=CF，∠FCG=∠FCD， ∴△CFG ≌△CFDASA， ∴FG=FD， ∴DF=EF． 【點(diǎn)睛】本題考查的是全等三角形的判定和性質(zhì)，角平分線的定義，得到△BFE≌△BFG是解題的關(guān)鍵． 【變式3-2】（2023春·廣西北?！ぐ四昙?jí)統(tǒng)考期中）如圖，已知△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，點(diǎn)P是線段AB上一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)A作AE⊥CP交CP延長(zhǎng)線于點(diǎn)E，過(guò)點(diǎn)B作BF⊥CP于點(diǎn)F． ?? (1)求證：△ACE≌△CBF； (2)線段AE、BF、EF有怎樣的數(shù)量關(guān)系？請(qǐng)說(shuō)明理由． 【答案】(1)證明見(jiàn)解析； (2)BF=EF+AE，證明見(jiàn)解析 【分析】（1）利用垂線和余角，得出∠E=∠BFC=90°，∠CAE=∠BCF，再利用“AAS”，即可證明△ACE≌△CBF； （2）根據(jù)全等三角形的性質(zhì)可知，AE=CF，CE=BF，再利用CE=EF+CF，即可求出線段AE、BF、EF之間的數(shù)量關(guān)系． 【詳解】（1）證明：∵∠ACB=90°， ∴∠ACE+∠BCF=90°， ∵AE⊥CE，BF⊥CE， ∴∠E=∠BFC=90°， ∴∠ACE+∠CAE=90°， ∴∠CAE=∠BCF， 在△ACE和△CBF中， ∠AEC=∠BFC∠CAE=∠BCFAC=BC， ∴△ACE≌△CBFAAS； （2）解：BF=EF+AE，理由如下： 由（1）可知△ACE≌△CBF， ∴AE=CF，CE=BF， ∴CE=EF+CF=EF+AE=BF， 即BF=EF+AE． 【點(diǎn)睛】本題考查了垂線，余角，全等三角形的判定和性質(zhì)，熟練掌握全等三角形的判定和性質(zhì)是解題關(guān)鍵． 【變式3-3】（2023春·內(nèi)蒙古鄂爾多斯·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖1，AB∥CD，∠BAD，∠ADC的平分線AE，DE相交于點(diǎn)E． (1)證明：AE⊥DE； (2)如圖2，過(guò)點(diǎn)E作直線AB，AD，DC的垂線，垂足分別為F，G，H，證明：EF=EG=EH； (3)如圖3，過(guò)點(diǎn)E的直線與AB，DC分別相交于點(diǎn)B，C（B，C在AD的同側(cè)）求證：E為線段BC的中點(diǎn)； 【答案】(1)見(jiàn)詳解 (2)見(jiàn)詳解 (3)見(jiàn)詳解 【分析】（1）根據(jù)AE平分∠BAD，DE平分∠ADC，可得∠BAE=∠DAE=12∠BAD，∠ADE=∠CDE=12∠ADC，再根據(jù)AB∥CD，有∠BAD+∠ADC=180°，即有∠ADE+∠DAE=12∠ADC+12∠BAD=90°，問(wèn)題隨之得解； （2）先證明△AEF≌△AEG，即有EF=EG，同理可證：EH=EG，則問(wèn)題得解； （3）在AD上取一點(diǎn)M，使得AM=AB，連接ME，先證明△AME≌△ABE，即有ME=BE，∠AEM=∠AEB，在（1）中已證明∠AED=90°，即有∠AEM+∠DEM=∠AED=90°，∠BEA+∠CED=180°?∠AED=90°，即可得∠DEM=∠DEC，再證明△DME≌△DCE，即有ME=CE，問(wèn)題得解． 【詳解】（1）∵AE平分∠BAD，DE平分∠ADC， ∴∠BAE=∠DAE=12∠BAD，∠ADE=∠CDE=12∠ADC， ∵AB∥CD， ∴∠BAD+∠ADC=180°， ∴∠ADE+∠DAE=12∠ADC+12∠BAD=90°， ∴∠E=180°?∠ADE+∠DAE=90°， ∴AE⊥DE； （2）∵EF⊥AB，EG⊥AC，AE平分∠BAD， ∴∠EFA=∠EGA=90°，∠BAE=∠DAE=12∠BAD， ∵AE=AE， ∴△AEF≌△AEG， ∴EF=EG， 同理可證：EH=EG， ∴EF=EG=EH； （3）在AD上取一點(diǎn)M，使得AM=AB，連接ME，如圖， ∵AE平分∠BAD，DE平分∠ADC， ∴∠BAE=∠DAE=12∠BAD，∠ADE=∠CDE=12∠ADC， ∵AE=AE，AM=AB， ∴△AME≌△ABE， ∴ME=BE，∠AEM=∠AEB， 在（1）中已證明∠AED=90°， ∴∠AEM+∠DEM=∠AED=90°，∠BEA+∠CED=180°?∠AED=90°， ∴∠DEM=∠DEC， ∵∠ADE=∠CDE=12∠ADC，DE=DE， ∴△DME≌△DCE， ∴ME=CE， ∴ME=BE=CE， ∴ E為線段BC的中點(diǎn)． 【點(diǎn)睛】本題主要考查了角平分線的定義，平行線的性質(zhì)以及全等三角形的判定與性質(zhì)等知識(shí)，掌握全等三角形的判定與性質(zhì)是解答本題的關(guān)鍵． 【題型4 利用全等三角形的判定與性質(zhì)求線段長(zhǎng)度或角的度數(shù)】 【例4】（2023春·遼寧丹東·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，點(diǎn)B、F、C、E在直線l上（F、C之間不能直接測(cè)量），點(diǎn)A、D在l異側(cè)，測(cè)得AB=DE，AB∥DE，∠A=∠D． ?? (1)試說(shuō)明：△ABC≌△DEF； (2)若BE=10m，BF=3m，求FC的長(zhǎng)度． 【答案】(1)見(jiàn)解析 (2)4cm 【分析】（1）由AB∥DE，得∠ABC=∠DEF，而AB=DE，∠A=∠D，即可根據(jù)全等三角形的判定定理“ASA”證明△ABC≌△DEF； （2）根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得BC=EF，則BF=CE=3m，即可求得FC=BE?BF?CE=4m． 【詳解】（1）證明：∵AB∥DE， ∴∠ABC=∠DEF 在△ABC和△DEF中 ∠A=∠DAB=DE∠ABC=∠DEF ∴△ABC≌△DEFASA； （2）∵△ABC≌△DEF， ∴BC=EF ∴BC?FC=EF?FC， 即BF=CE ∵BE=10m，BF=3m ∴BF=CE=3cm， ∴FC=4cm 【點(diǎn)睛】此題重點(diǎn)考查全等三角形的判定與性質(zhì)、平行線的性質(zhì)等知識(shí)，根據(jù)平行線的性質(zhì)證明∠ABC=∠DEF是解題的關(guān)鍵． 【變式4-1】（2023春·江蘇淮安·八年級(jí)校聯(lián)考期末）在Rt△ABC中，∠C=90°，點(diǎn)D是斜邊AB的中點(diǎn)，若CD=3，則AB= ． 【答案】6 【分析】根據(jù)題意，作出圖形，數(shù)形結(jié)合，利用三角形全等的判定與性質(zhì)得到AB=2CD即可得到答案． 【詳解】解：根據(jù)題意，作出Rt△ABC，連接CD并延長(zhǎng)，使DE=CD，連接BE，如圖所示： ?? ∵點(diǎn)D是斜邊AB的中點(diǎn)， ∴AD=BD， 在△ADC和△BDE中， AD=BD∠ADC=∠EDBCD=ED, ∴△ADC≌△BDESAS， ∴AC=EB,∠A=∠ABE， ∴AC∥EB， ∵ ∠ACB=90°， ∴ ∠EBC=90°， 在△ACB和△EBC中， AC=BE∠ACB=∠EBC=90°CB=BC, ∴△ACB≌△EBCSAS， ∴AB=CE=2CD, ∵CD=3, ∴AB=2×3=6， 故答案為：6． 【點(diǎn)睛】本題考查利用三角形全等的判定與性質(zhì)求線段長(zhǎng)，涉及倍長(zhǎng)中線方法作輔助線、平行線的判定與性質(zhì)，熟練掌握三角形全等的判定與性質(zhì)是解決問(wèn)題的關(guān)鍵． 【變式4-2】（2023春·陜西延安·八年級(jí)陜西延安中學(xué)?？计谥校┤鐖D，CA=CB，CD=CE，∠ACB=∠DCE=50°，AD、BE交于點(diǎn)H，連接CH，則∠AHE的度數(shù)為 °． 【答案】130 【分析】先判斷出△ACD≌△BCE，可得∠DAC=∠EBC，從而利用三角形內(nèi)角定理可得出∠ACB=∠AHB=50°，再由平角可得∠AHE的度數(shù)． 【詳解】∵∠ACB=∠DCE， ∴∠ACB+∠BCD=∠DCE+∠BCD， 即∠ACD=∠BCE， 在△ACD和△BCE中，CA=CB∠ACD=∠BCECD=CE ∴△ACD≌△BCE（SAS） ∴∠DAC=∠EBC 由三角形內(nèi)角定理可得：∠DAC+∠ACB=∠EBC+∠AHB ∴∠ACB=∠AHB=50° ∴∠AHE=180°?∠AHB=130° 故答案為：130． 【點(diǎn)睛】本題考查了三角形的內(nèi)角和定理，全等三角形的性質(zhì)和判定等知識(shí)點(diǎn)，能求出△ACD≌△BCE是解此題的關(guān)鍵． 【變式4-3】（2023春·廣東梅州·八年級(jí)?？计谀┤鐖D，在四邊形ABCD中，E是邊BC的中點(diǎn)，AE平分∠BAD且∠AED=90°，若CD=2AB，AD=18，則AB= ． ???? 【答案】6 【分析】方法一：在AD上截取AF，使得AB=AF，證明△ABE≌△AFE，可得BE=EF，∠BEA=∠AEF，再證明△DEF≌△DEC，得CD=DF，進(jìn)而可求出AB的長(zhǎng)； 方法二：延長(zhǎng)DE、AB交于點(diǎn)G，證明△AEG≌△AED得AG=AD=18，ED=EG，再證明△BEG≌△CEDSAS得BG=CD=2AB，進(jìn)而可求出AB的長(zhǎng)． 【詳解】方法一：在AD上截取AF，使得AB=AF ???? ∵AE平分∠BAD， ∴∠BAE=∠FAE， ∵AE=AE， ∴△ABE≌△AFESAS ∴BE=EF，∠BEA=∠AEF 又∵∠BEA+∠DEC=90°，∠AEF+∠FED=90° ∴∠DEC=∠FED ∵E是邊BC的中點(diǎn)， ∴CE=BE=FE ∵ED=ED ∴△DEF≌△DECSAS ∴CD=DF AD=AB+CD=AB+2AB=3AB=18 ∴AB=6 方法二：延長(zhǎng)DE、AB交于點(diǎn)G ???? ∵AE平分∠BAD且∠AED=90° ∴∠GAE=∠DAE,∠GEA=∠DEA=90° ∵AE=AE ∴△AEG≌△AEDASA ∴AG=AD=18，ED=EG ∵BE=CE，∠BEG=∠DEC ∴△BEG≌△CEDSAS ∴BG=CD=2AB ∴AG=BG+AB=AB+2AB=3AB=18 ∴AB=6 【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，角平分線的定義，正確作出輔助線構(gòu)造全等三角形是解答本題的關(guān)鍵． 【題型5 利用全等三角形的判定與性質(zhì)確定線段之間的位置關(guān)系】 【例5】（2023春·河北石家莊·八年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，在ΔABC和ΔADE中，∠BAC=∠DAE=90°，AB=AC,AD=AE，點(diǎn)C、D、E三點(diǎn)在同一直線上，連接BD交AC于點(diǎn)F． ?? (1)求證：ΔBAD≌ΔCAE； (2)猜想BD,CE有何特殊位置關(guān)系，并說(shuō)明理由． 【答案】(1)證明見(jiàn)解析； (2)BD⊥CE，理由見(jiàn)解析． 【分析】（1）由“SAS”可證△BAD≌△CAE； （2）由全等三角形的性質(zhì)可得∠ACE=∠ABD，由三角形內(nèi)角和定理可求解． 【詳解】（1）∵∠BAC=∠DAE=90°， ∴∠BAC+∠CAD=∠EAD+∠CAD， ∴∠BAD=∠CAE， 在ΔBAD和ΔCAE中， AB=AC∠BAD=∠CAEAD=AE， ∴ΔBAD≌ΔCAESAS （2）猜想：BD⊥CE，理由如下： 由（1）知ΔBAD≌ΔCAE， ∴BD=CE,∠ABD=∠ACE， ∵AB=AC,∠BAC=90°， ∴∠ABC=∠ACB=45°， ∴∠ABD+∠DBC=∠ABC=45°， ∵∠ABD=∠ACE， ∴∠ACE+∠DBC=45°， ∴∠DBC+∠DCB=∠DBC+∠ACE+∠ACB=90°， ∴∠BDC=180°?∠DBC?∠DCB=180°?90°=90°， ∴BD⊥CE． 【點(diǎn)睛】此題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)，掌握全等三角形的判定是本題的關(guān)鍵． 【變式5-1】（2023春·江西吉安·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，BD=BC，點(diǎn)E在BC上，且BE=AC，DE=AB． (1)求證：△ABC≌△EDB； (2)判斷AC和BD的位置關(guān)系，并說(shuō)明理由． 【答案】(1)見(jiàn)解析 (2)AC∥BD，理由見(jiàn)解析 【分析】（1）運(yùn)用SSS證明即可； （2）由（1）得∠DBE=∠BCA，根據(jù)內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行可得結(jié)論． 【詳解】（1）在ΔABC和ΔEDB中， BD=BCBE=ACDE=AB， ∴ΔABC?ΔEDB(SSS)； （2）AC和BD的位置關(guān)系是AC∥BD，理由如下： ∵ΔABC?ΔEDB ∴∠DBE=∠BCA， ∴AC∥BD． 【點(diǎn)睛】本題主要考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，熟練掌握全等三角形的判定定理是解答本題的關(guān)鍵． 【變式5-2】（2023春·江蘇南通·八年級(jí)校聯(lián)考期中）如圖，△ABC的兩條高線BD、CE，延長(zhǎng)CE到Q使CQ＝AB，在BD上截取BP＝AC，連接AP、AQ，請(qǐng)判斷AQ與AP的數(shù)量與位置關(guān)系？并證明你的結(jié)論． 【答案】AP＝AQ，AP⊥AQ，見(jiàn)解析 【分析】根據(jù)垂直的定義得到∠ADB＝∠AEC＝90°，得到∠ABD＝∠ACQ＝90°﹣∠BAC．推出△APB≌△QAC（SAS），根據(jù)全等三角形的性質(zhì)即可得到結(jié)論． 【詳解】解：AP＝AQ，AP⊥AQ，理由如下： ∵CF⊥AB，BE⊥AC， ∴∠ADB＝∠AEC＝90°， ∴∠ABD＝∠ACQ＝90°﹣∠BAC． ∵BP＝AC，CQ＝AB， 在△APB和△QAC中， BP=AC∠ABD=∠ACQCQ=AB， ∴△APB≌△QAC（SAS）， ∴AP＝AQ，∠BAP＝∠CQA， ∵∠CQA+∠QAE＝90°， ∴∠BAP+∠QAE＝90°． 即AP⊥AQ． 【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的性質(zhì)和判定，垂直定義，三角形內(nèi)角和定理的應(yīng)用，解此題的關(guān)鍵是推出△APB≌△QAC，注意：全等三角形的判定定理有SAS，ASA，AAS，SSS，全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等，對(duì)應(yīng)角相等． 【變式5-3】（2023春·甘肅隴南·八年級(jí)統(tǒng)考期末）在學(xué)習(xí)全等三角形的知識(shí)時(shí)，數(shù)學(xué)興趣小組拿了兩個(gè)大小不同的等腰直角三角板進(jìn)行拼擺，并探究擺放后所構(gòu)成的圖形之間的關(guān)系，如圖1，在△ABC和△DEF中，∠A=∠D=90°,AB=AC,DE=DF． (1)勤奮小組擺出如圖2所示的圖形，點(diǎn)A和點(diǎn)D重合，連接BE和CF，求證：BE=CF． (2)超越小組在勤奮小組的啟發(fā)下，把兩個(gè)三角形板按如圖3的方式擺放，點(diǎn)B，C，E在同一直線上，連接CF，他們發(fā)現(xiàn)了BE和CF之間的數(shù)量和位置關(guān)系，請(qǐng)寫出這些關(guān)系，并說(shuō)明理由． 【答案】(1)見(jiàn)解析； (2)BE=CF，BE⊥CF，理由見(jiàn)解析． 【分析】（1）證明△BAE≌△CAF，即可得證； （2）證明△BAE≌△CAF，得到∠ABE=∠ACF,BE=CF，進(jìn)而求出∠BCF=90°，得到BE⊥CF，即可得出結(jié)論． 【詳解】（1）證明：∵∠BAC=∠EAF=90°， ∴∠BAE=90°?∠EAC，∠CAF=90°?∠EAC， ∴∠BAE=∠CAF． 在△BAE和△CAF中，BA=CA∠BAE=CAFAE=AF， ∴△BAE≌△CAF(SAS)， ∴BE=CF． （2）BE=CF,BE⊥CF．理由如下： ∵∠BAC=∠EAF=90°， ∴∠BAE=90°+∠EAC,∠CAF=90°+∠EAC， ∴∠BAE=∠CAF， 在△BAE和△CAF中BA=CA∠BAE=∠CAFAE=AF， ∴△BAE≌△CAF(SAS)， ∴∠ABE=∠ACF,BE=CF． ∵∠ABE+∠ACB=90°， ∴∠ACF+∠ACB=90°， ∴∠BCF=90°， ∴BE⊥CF． 【點(diǎn)睛】本題考查全等三角形的判定和性質(zhì)．熟練掌握全等三角形的判定方法，證明三角形全等，是解題的關(guān)鍵． 【題型6 全等三角形在網(wǎng)格中的運(yùn)用】 【例6】（2023春·廣西崇左·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，是一個(gè)3×3的正方形網(wǎng)格，則∠1+∠2+∠3+∠4= ． ?? 【答案】180° 【分析】根據(jù)三角形全等求出∠1和∠4的數(shù)量關(guān)系以及∠2和∠3的數(shù)量關(guān)系，即可求出四個(gè)角之和． 【詳解】解：如圖所示， 在Rt△ABC中和Rt△BED中，AC=ED∠A=∠D=90°AB=BD， ∴△ABC≌△DBESAS． ∴∠4=∠BED， ∵∠1+∠BED=90°， ∴∠1+∠4=90°． 同理可證：∠2+∠3=90°． ∴∠1+∠2+∠3+∠4=90°+90°=180°． 故答案為：180°． 【點(diǎn)睛】本題考查了三角形全等的判定與性質(zhì)，解題的關(guān)鍵在于熟練掌握三角形全等的性質(zhì)以及觀察圖形分析出相等的邊長(zhǎng)和角度． 【變式6-1】（2023春·河南南陽(yáng)·八年級(jí)統(tǒng)考期中）在如圖所示的3×3網(wǎng)格中，△ABC是格點(diǎn)三角形（即頂點(diǎn)恰好是網(wǎng)格線的交點(diǎn)），則與△ABC有一條公共邊且全等（不含△ABC）的所有格點(diǎn)三角形的個(gè)數(shù)是（　　） A．3個(gè) B．4個(gè) C．5個(gè) D．6個(gè) 【答案】B 【分析】根據(jù)全等三角形的性質(zhì)找出全等三角形即可． 【詳解】解：如圖所示， 以BC為公共邊的全等三角形有三個(gè)分別為△A1BC，△A2BC，△A3BC， 以AB為公共邊的全等三角形有一個(gè)為△ABC1， ∴共有4個(gè)三角形與△ABC有一條公共邊且全等． 故選：B． 【點(diǎn)睛】本題主要考查全等三角形的判定與性質(zhì)，理解全等三角形的判定與性質(zhì)是解答本題的關(guān)鍵． 【變式6-2】（2023春·山東青島·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，圖形的各個(gè)頂點(diǎn)都在3×3正方形網(wǎng)格的格點(diǎn)上．則∠1+∠2= ． 【答案】45° 【分析】通過(guò)證明三角形全等得出∠1=∠3，再根據(jù)∠1+∠2=∠3+∠2 即可得出答案． 【詳解】解：如圖所示， 由題意得，在Rt△ABC和Rt△EFC中， ∵{AB=EF∠B=∠EFC=90°BC=FC ∴Rt△ABC≌Rt△EFC（SAS） ∴∠3=∠1 ∵∠2+∠3=90° ∴∠1+∠2=∠3+∠2=90° 故答案為：45° 【點(diǎn)睛】本題主要考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，由證明三角形全等得出∠1=∠3是解題的關(guān)鍵． 【變式6-3】（2023春·吉林長(zhǎng)春·八年級(jí)長(zhǎng)春市第八十七中學(xué)?？计谀┤鐖D所示的網(wǎng)格是正方形網(wǎng)格，點(diǎn)A，B，C，D均落在格點(diǎn)上，則∠BAD+∠ADC= ． 【答案】90° 【分析】證明△DCE≌△ABD（SAS），得∠CDE=∠DAB，根據(jù)同角的余角相等和三角形的內(nèi)角和可得結(jié)論． 【詳解】解：如圖，設(shè)AB與CD相交于點(diǎn)F， 在△DCE和△ABD中， ∵{CE=BD=1∠E=∠ADB=90°DE=AD=3， ∴△DCE≌△ABD（SAS）， ∴∠CDE=∠DAB， ∵∠CDE+∠ADC=∠ADC+∠DAB=90°， ∴∠AFD=90°， ∴∠BAC+∠ACD=90°， 故答案為：90度． 【點(diǎn)睛】本題網(wǎng)格型問(wèn)題，考查了三角形全等的性質(zhì)和判定及直角三角形各角的關(guān)系，本題構(gòu)建全等三角形是關(guān)鍵． 【題型7 全等三角形在新定義中的運(yùn)用】 【例7】（2023春·河北滄州·八年級(jí)統(tǒng)考期末）我們知道：有兩條邊相等的三角形叫做等腰三角形．類似地，我們定義：至少有一組對(duì)邊相等的四邊形叫做等對(duì)邊四邊形． （1）請(qǐng)寫出一個(gè)你學(xué)過(guò)的特殊四邊形中是等對(duì)邊四邊形的圖形的名稱； （2）如圖，在△ABC中，點(diǎn)D，E分別在AB，AC上，設(shè)CD，BE相交于點(diǎn)O，若∠A=60°，∠DCB=∠EBC=12∠A．請(qǐng)你寫出圖中一個(gè)與∠A相等的角，并猜想圖中哪個(gè)四邊形是等對(duì)邊四邊形； （3）在△ABC中，如果∠A是不等于60°的銳角，點(diǎn)D，E分別在AB，AC上，且∠DCB=∠EBC=12∠A．探究：滿足上述條件的圖形中是否存在等對(duì)邊四邊形，并證明你的結(jié)論． 【答案】（1）平行四邊形，等腰梯形，矩形等；（2）與∠A相等的角是∠DOB（或∠EOC）；猜想四邊形BDEC是等對(duì)邊四邊形；（3）存在等對(duì)邊四邊形，是四邊形BDEC，見(jiàn)解析． 【分析】（1）本題理解等對(duì)邊四邊形的圖形的定義，平行四邊形，等腰梯形，矩形就是； （2）與∠A相等的角是∠BOD（或∠COE），四邊形DBCE是等對(duì)邊四邊形； （3）作CG⊥BE于G點(diǎn)，作BF⊥CD交CD延長(zhǎng)線于F點(diǎn)，易證△BCF≌△CBG，進(jìn)而證明△BDF≌△CEG，所以BD＝CE，所以四邊形DBCE是等對(duì)邊四邊形． 【詳解】解：（1）如：平行四邊形，等腰梯形，矩形等． （2）與∠A相等的角是∠BOD（或∠COE）， ∵∠A＝60°，∠DCB=∠EBC=12∠A， ∴∠OBC＝∠OCB＝30°， ∴∠BOD＝∠EOC＝∠OBC＋∠OCB＝60°， ∴與∠A相等的角是∠BOD（或∠EOC）， 猜想：四邊形BDEC是等對(duì)邊四邊形， （3）存在等對(duì)邊四邊形，是四邊形BDEC， 證明：如圖作CG⊥BE于G，BF⊥CD交CD的延長(zhǎng)線于F， 在△BCF和△CBG中， ∠DCB=∠EBC∠BFC=∠CGBBC=BC ∴△BCF≌△CBG（AAS）， ∴BF＝CG， ∵∠BDF=∠ABE+∠EBC+∠DCB，∠BEC=∠ABE+∠A， ∴∠BDF=∠BEC， 在△BDF和△CEG中， ∠BDF＝∠CEB∠BFC＝∠CGE=90°BF＝CG ∴△BDF≌△CEG（AAS）， ∴BD＝CE ∴四邊形BDEC是等對(duì)邊四邊形． 【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的性質(zhì)和判定的應(yīng)用，解決本題的關(guān)鍵是理解等對(duì)邊四邊形的定義，把證明BD＝CE的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為證明三角形全等的問(wèn)題． 【變式7-1】（2023春·福建南平·八年級(jí)統(tǒng)考期中）定義： 如圖1，在△ABC和△ADE中，AB＝AC＝AD＝AE，當(dāng)∠BAC+∠DAE＝180°時(shí)，我們稱△ABC與△DAE互為“頂補(bǔ)等腰三角形”，△ABC的邊BC上的高線AM叫做△ADE的“頂心距”，點(diǎn)A叫做“旋補(bǔ)中心”． （1）特例感知：在圖2，圖3中，△ABC與△DAE互為“頂補(bǔ)等腰三角形”，AM是“頂心距”． ①如圖2，當(dāng)∠BAC＝90°時(shí)，AM與DE之間的數(shù)量關(guān)系為AM＝ DE； ②如圖3，當(dāng)∠BAC＝120°，ED＝6時(shí)，AM的長(zhǎng)為 ． （2）猜想論證： 在圖1中，當(dāng)∠BAC為任意角時(shí)，猜想AM與DE之間的數(shù)量關(guān)系，并給予證明． 【答案】（1）①AM＝12DE ；② 3；（2）AM＝12DE． 【分析】（1）①由等腰直角三角形的性質(zhì)可得AM=BM=CM=12BC，由全等三角形性質(zhì)可得BC=DE，即可求解； ②由等邊三角形的性質(zhì)和直角三角形的性質(zhì)可求解； （2）過(guò)點(diǎn)A作AN⊥ED于N，由等腰三角形的性質(zhì)可得∠DAN=12∠DAE，ND=12DE，由全等三角形的性質(zhì)可得ND=AM，則可得結(jié)論． 【詳解】（1）①∵∠BAC+∠DAE＝180°，∠BAC＝90°； ∴∠EAD=90° ∵AB=AC，∠BAC＝90° ∴△ABC為等腰直角三角形 ∵AM⊥BC ∴AM=12BC 在△ABC與△AED中， ∵{AB=AE∠BAC=∠EADAC=AD ∴△ABC≌△AED（SAS）， ∴BC=ED ∴AM＝12DE． ② ∵∠BAC+∠DAE＝180°，∠BAC＝120°； ∴∠EAD=60° ∵AD=AE ∴△AED為等邊三角形 即：ED=AE=6 ∴AB=AC=AE=6 ∵∠BAC＝120°，AB=AC，AM⊥BC ∴∠ABM=30° ∴AM＝12AB=3． （2）猜想：結(jié)論AM＝12DE． 理由如下：如圖，過(guò)點(diǎn)A作AN⊥ED于N ∵AE＝AD，AN⊥ED ∴∠DAN＝12∠DAE，ND＝12ED 同理可得：∠CAM＝12∠CAB， ∵∠DAE+∠CAB＝180°， ∴∠DAN+∠CAM＝90°， ∵∠CAM+∠C＝90° ∴∠DAN＝∠C， ∵AM⊥BC ∴∠AMC＝∠AND＝90° 在△AND與△AMC中， {∠DNA=∠AMC∠DAN=∠CAD=AC ∴△AND≌△AMC（AAS）， ∴ND＝AM ∴AM＝12DE 【點(diǎn)睛】本題是三角形綜合題，考查了等邊三角形的判定和性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，角平分線的性質(zhì)，理解題意，運(yùn)用“頂補(bǔ)等腰三角形”的定義解決問(wèn)題是本題的關(guān)鍵． 【變式7-2】（2023春·四川遂寧·八年級(jí)統(tǒng)考期末）新定義：頂角相等且頂角頂點(diǎn)重合的兩個(gè)等腰三角形互為“兄弟三角形”． (1)如圖①中，若△ABC和△ADE互為“兄弟三角形”，AB=AC，AD=AE．則 ①∠BAD___________∠CAE（填>、＜或=） ②連接線段BD和CE，則BD___________CE（填>、＜或=） (2)如圖②，△ABC和△ADE互為“兄弟三角形”，AB=AC，AD=AE，若點(diǎn)D、點(diǎn)E均在△ABC外，連接BD、CE交于點(diǎn)M，連接AM，則線段BD、CE還滿足以上數(shù)量關(guān)系嗎？請(qǐng)說(shuō)明理由 【答案】(1)①=，②= (2)BD=CE，見(jiàn)解析 【分析】（1）根據(jù)“兄弟三角形”的定義可知兩個(gè)三角形的頂角相等，利用角的和差即可得到①的結(jié)論；再結(jié)合“SAS”即可得到△BAD≌△CAE，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)即可求解； （2）沿用（1）的思路，利用角的和差得到∠BAD=∠CAE，再結(jié)合“SAS”即可得到△BAD≌△CAESAS，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)即可求解． 【詳解】（1）①∠BAD=∠CAE； ∵△ABC和△ADE互為“兄弟三角形”，AB=AC，AD=AE， ∴∠BAC=∠DAE， ∴∠BAC?∠DAC=∠DAE?∠DAC， 即∠BAD=∠CAE； ②BD=CE； 在△BAD和△CAE中， AB=AC∠BAD=∠CAEAD=AE， ∴△BAD≌△CAESAS， ∴BD=CE． （2）滿足以上關(guān)系證明：如圖②， ∵△ABC和△ADE互為“兄弟三角形”， ∴∠BAC=∠DAE， ∴∠BAC+∠DAC=∠DAE+∠DAC，即∠CAE=∠BAD， 在△BAD和△CAE中， AB=AC∠BAD=∠CAEAD=AE， ∴△BAD≌△CAESAS， ∴BD=CE． 【點(diǎn)睛】本題考查全等三角形的性質(zhì)與判定，根據(jù)題目信息識(shí)別出來(lái)全等三角形是解題的關(guān)鍵． 【變式7-3】（2023春·山東淄博·八年級(jí)統(tǒng)考期中）根據(jù)全等圖形的定義，我們把能夠完全重合（即四個(gè)內(nèi)角、四條邊分別對(duì)應(yīng)相等）的四邊形叫做全等四邊形．請(qǐng)借助三角形全等的知識(shí)，解決有關(guān)四邊形全等的問(wèn)題．如圖，已知，四邊形ABCD和四邊形A?B?C?D? 中，AB = A?B?，BC = B?C?，?B =?B?，?C =?C?，現(xiàn)在只需補(bǔ)充一個(gè)條件，就可得四邊形ABCD ≌四邊形A?B?C?D?．下列四個(gè)條件：① ?A =?A?；②?D =?D?；③ AD=A?D?；④CD=C?D?； （1）其中，符合要求的條件是 ．（直接寫出編號(hào)） （2）選擇（1）中的一個(gè)條件，證明四邊形ABCD ≌四邊形A?B?C?D?． 【答案】（1）①②④；（2）選④，證明見(jiàn)解析 【分析】（1）連接AC、A′C′，根據(jù)全等三角形的判定和性質(zhì)定理即可得到結(jié)論； （2）連接AC、A′C′，根據(jù)全等三角形的判定和性質(zhì)定理即可得到結(jié)論． 【詳解】（1）符合要求的條件是①②④， 當(dāng)選擇①?A=?A?時(shí)， 證明：連接AC 、A?C?， 在△ABC與△ A?B?C?中， {AB=AB∠B=∠BBC=BC， ∴△ABC ≌△A?B?C?(SAS )， ∴ AC=A?C?，?ACB=?A?C?B?，?BAC=?B ' A 'C '， ∵?BCD=?B?C?D?， ∴?BCD ? ?ACB=?B?C?D???A?C?B?， ∴?ACD=?A?C?D?， ∵?BAD=?B?A?D?， ∴?BAD ? ?BAC=?B?A?D? ? ? B?A?C?， ∴?DAC=? D?A?C?， 在△ACD和△A?C?D 中， {∠DAC=∠DACAC=AC∠ACD=∠ACD， ∴△ACD ≌△A?C?D?(ASA ) ， ∴?D=?D '，DC=D?C?，DA=D?A?， ∴四邊形ABCD和四邊形A?B?C?D?中， AB=A?B?，BC=B?C?，AD=A?D?，DC=D?C?， ?B=?B?，?BCD=?B?C?D?，?D=?D?，?BAD=?B?A?D?， ∴四邊形ABCD ≌四邊形A?B?C?D?； 當(dāng)選擇②?D=?D?時(shí)， 證明：同理得到AC=A?C?，?ACD=?A?C?D?， ∵?D=?D?， 在△ACD和△A?C?D中， {∠D=∠D∠ACD=∠ACDAC=AC， ∴△ACD ≌△A?C?D?(AAS ) ， ∴?D=?D '，DC=D?C?，DA=D?A?， ∴四邊形ABCD和四邊形A?B?C?D?中， AB=A?B?，BC=B?C?，AD=A?D?，DC=D?C?， ?B=?B?，?BCD=?B?C?D?，?D=?D?，?BAD=?B?A?D?， ∴四邊形ABCD≌四邊形A?B?C?D?； 當(dāng)選擇③AD=A?D?時(shí)， 在△ACD和△A?C?D中， AC=A?C?，?ACD=?A?C?D?，AD=A?D?， 不符合全等的條件，不能得到△ACD ≌△A?C?D?； （2）選④CD = C?D?， 證明：連接 AC、A?C?， 在△ABC與△A?B?C?中， {AB=AB∠B=∠BBC=BC， ∴△ABC ≌△A?B?C?(SAS )， ∴ AC=A?C?， ?ACB=?A?C?B? ， ?BAC=?B ' A 'C '， ∵?BCD=?B?C?D?， ∴?BCD ? ?ACB=?B?C?D? ? ?A?C?B?， ∴?ACD=?A?C?D?， 在△ACD和△A?C?D中， {AC=AC∠ACD=∠ACDCD=CD， ∴△ACD ≌△A?C?D?(SAS ) ， ∴?D=?D '， ?DAC=?D?A?C?， DA=D?A?， ∴?BAC??DAC=?B? A?C???D?A?C?， 即?BAD=?B?A?D?， ∴四邊形ABCD和四邊形A?B?C?D? 中， AB=A?B?，BC=B?C?，AD=A?D?，DC=D?C?， ?B=?B?， ?BCD=?B?C?D?， ?D=?D?， ?BAD=?B?A?D?， ∴四邊形ABCD ≌四邊形A?B?C?D?． 【點(diǎn)睛】本題考查了多邊形的全等，全等三角形的判定和性質(zhì)，多邊形的全等可以通過(guò)作輔助線轉(zhuǎn)化為證明三角形全等問(wèn)題．關(guān)鍵是掌握判定兩個(gè)三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL． 【題型8 全等三角形的實(shí)際應(yīng)用】 【例8】（2023春·遼寧丹東·八年級(jí)統(tǒng)考期末）小明沿一段筆直的人行道行走，邊走邊欣賞風(fēng)景，在由C走到D的過(guò)程中，通過(guò)隔離帶的空隙P，剛好瀏覽完對(duì)面人行道宣傳墻上的一條標(biāo)語(yǔ)，具體信息如下：如圖，AB∥PM∥CD，相鄰兩平行線間的距離相等，AC，BD相交于P，PD⊥CD垂足為D．已知CD=165米．請(qǐng)根據(jù)上述信息求標(biāo)語(yǔ)AB的長(zhǎng)度為 米． ?? 【答案】165 【分析】由AB∥CD，利用平行線的性質(zhì)可得∠ABP=∠CDP，利用ASA定理可得，△ABP≌△CDP，由全等三角形的性質(zhì)可得結(jié)果． 【詳解】解：∵AB∥PM∥CD，PD⊥CD， ∴PB⊥AB， ∴∠ABP=∠CDP=90°， 根據(jù)題意可知：相鄰兩平行線間的距離相等， ∴BP=DP， 在△ABP和△CDP中， ∠ABP=∠CDP=90°BP=DP∠APB=∠CPD， ∴△ABP≌△CDPASA， ∴AB=CD=165米． 故答案為：165． 【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，平行線之間的距離，解決本題的關(guān)鍵是得到△ABP≌△CDP． 【變式8-1】（2023春·福建南平·八年級(jí)統(tǒng)考期中）1805年，法軍在拿破侖的率領(lǐng)下與德軍在萊茵河畔激戰(zhàn).德軍在萊茵河北岸點(diǎn)Q處，如圖所示，因不知河寬，法軍大炮很難瞄準(zhǔn)敵營(yíng).聰明的拿破侖站在南岸的點(diǎn)O處，調(diào)整好自己的帽子，使視線恰好擦著帽舌邊緣看到對(duì)面德國(guó)軍營(yíng)Q處，然后他保持原來(lái)的觀察姿態(tài)，一步一步后退，一直退到點(diǎn)B處，發(fā)現(xiàn)自己的視線恰好落在他剛剛站立的點(diǎn)O處，讓士兵丈量他所站立的位置B點(diǎn)與O點(diǎn)之間的距離，并下令按照這個(gè)距離炮轟德軍.試問(wèn)：法軍能命中目標(biāo)嗎？請(qǐng)說(shuō)明理由.(注：AB⊥BQ，PO⊥BO，AB=PO，點(diǎn)B、O、Q在一條直線上) 【答案】解：法軍能命中目標(biāo)．理由：由題意可得：AB=PO，∠A=∠P，又∵AB⊥BO，PO⊥BQ，∴∠ABO=∠POQ=90°．∵在△ABO和△POQ中，∠A=∠PAB=PO∠ABO=∠POQ，∴△ABO≌△POQ(?ASA)，∴BO=OQ，因此，按照BO的距離炮轟德軍時(shí)，炮彈恰好落入德軍Q處．? 【解析】由題意可得：AB=PO，∠A=∠P，再結(jié)合AB⊥BO，PO⊥BQ，證明△ABO≌△POQ(?ASA)，利用全等三角形的性質(zhì)可得出結(jié)論．本題考查的是全等三角形的判定與性質(zhì)的應(yīng)用，理解題意，利用構(gòu)建的全等三角形解決問(wèn)題是解題的關(guān)鍵． 【變式8-2】（2023春·河北邢臺(tái)·八年級(jí)校聯(lián)考期末）如圖，小明和小華住在同一個(gè)小區(qū)的不同單元樓，他們想要測(cè)量小華家所在單元樓AB的高度，首先他們?cè)趦蓷潌卧獦侵g選定一點(diǎn)E，然后小明在自己家陽(yáng)臺(tái)C處看點(diǎn)E的視角為∠HCE．小華站在E處眼睛F看AB樓端點(diǎn)A的視角為∠AFG．發(fā)現(xiàn)∠HCE與∠AFG互余，已知CH∥BD∥GF，BG=EF=1.5米，BE=GF=CD=20米，BD=50米．求單元樓AB的高度． ???? 【答案】單元樓AB的高為31.5米． 【分析】根據(jù)已知條件，證明△AGF與△EDC全等，結(jié)合全等三角形的性質(zhì)再進(jìn)行計(jì)算即可得出． 【詳解】由題意得：∠AGF=∠EDC=90°， ∴∠CED+∠ECD=90°， ∵CH∥BD， ∴∠HCE=∠CED， ∵∠HCE+∠AFG=90°， ∴∠ECD=∠AFG， ∵BE=GF=CD=20（米）， ∴FG=CD=20（米）， ∴△AGF≌△EDCASA， ∴AG=ED=BD?BE=50?20=30（米）， ∴AB=AG+BG=31.5（米）， ∴單元樓AB的高為31.5米． 【點(diǎn)睛】本題主要考查了全等三角形的判定和性質(zhì)及俯角仰角的知識(shí)，證明兩個(gè)三角形全等是解題的關(guān)鍵． 【變式8-3】（2023春·湖南長(zhǎng)沙·八年級(jí)湖南師大附中統(tǒng)考期末）（1）如圖1，在四邊形ABCD中，AB=AD，∠BAD=120°，∠B=∠ADC=90°，E，F(xiàn)分別是BC，CD上的點(diǎn)，且∠EAF=60°，請(qǐng)猜想圖中線段BE，EF，F(xiàn)D之間的數(shù)量關(guān)系，并證明你的猜想． （2）如圖2，在新修的小區(qū)中，有塊四邊形綠化ABCD，四周修有步行小徑，且AB=AD，∠B+∠D=180°，在小徑BC，CD上各修一涼亭E，F(xiàn)，在涼亭E與F之間有一池塘，不能直接到達(dá)經(jīng)測(cè)量得到∠EAF=12∠BAD，BE=10米，DF=15米，試求兩涼亭之間的距離EF． 【答案】（1）EF=BE+FD，證明見(jiàn)解析；（2）25米 【分析】（1）延長(zhǎng)FD到點(diǎn)G，使DG=BE，連接AG，利用SAS證明△ABE≌△ADG，推出AE=AG，∠BAE=∠DAG，再證明△AEF≌△AGFSAS，據(jù)此即可得到EF=BE+FD； （2）延長(zhǎng)CD至H，使DH=BE，連接AH，利用SAS證明△ADH≌△ABE，推出AE=AH，∠BAE=∠DAH，再證明△AEF≌△AGFSAS，據(jù)此計(jì)算即可求解． 【詳解】解：（1）猜想：EF=BE+FD， 證明：如圖1，延長(zhǎng)FD到點(diǎn)G，使DG=BE，連接AG， ∵∠ADC=90°，∠ADC+∠ADG=180°， ∴∠ADG=90°， 在△ABE和△ADG中，BE=DG∠B=∠ADGAB=AD， ∴△ABE≌△ADGSAS， ∴AE=AG，∠BAE=∠DAG， ∵∠EAF=60°，∠BAD=120°， ∴∠BAE+∠DAF=120°?60°=60°， ∴∠GAF=∠DAG+∠DAF=∠BAE+∠DAF=60°=∠EAF， 在△AEF和△AGF中，AE=AG∠EAF=∠GAFAF=AF， ∴△AEF≌△AGFSAS， ∴EF=FG， ∵FG=DG+DF=BE+DF， ∴EF=BE+DF； （2）如圖2，延長(zhǎng)CD至H，使DH=BE，連接AH， ∵∠B+∠ADC=180°,∠ADH+∠ADC=180°， ∴∠ADH=∠B， 在△ADH和△ABE中，AD=AB∠ADH=∠BDH=BE， ∴△ADH≌△ABESAS， ∴AE=AH，∠BAE=∠DAH， ∵∠EAF=12∠BAD， ∴∠HAF=∠DAH+∠DAF=∠BAE+∠DAF=∠BAD?∠EAF=∠EAF， 在△AEF和△AHF中，AE=AH∠EAF=∠HAFAF=AF， ∴△AEF≌△AGFSAS， ∴EF=FH， ∵FH=DH+DF=BE+DF， ∴EF=BE+DF， ∵BE=10米，DF=15米， ∴EF=10+15=25（米）． 【點(diǎn)睛】本題考查的是全等三角形的判定與性質(zhì)，根據(jù)題意作出輔助線，構(gòu)造出全等三角形是解題的關(guān)鍵．