2021-2022學(xué)年北京市東北師大附中朝陽(yáng)學(xué)校八年級(jí)（上）期中數(shù)學(xué)試卷【含解析】

這是一份2021-2022學(xué)年北京市東北師大附中朝陽(yáng)學(xué)校八年級(jí)（上）期中數(shù)學(xué)試卷【含解析】，共24頁(yè)。試卷主要包含了選擇題，填空題，解答題等內(nèi)容，歡迎下載使用。
1．（3分）下列體育運(yùn)動(dòng)圖案中，屬于軸對(duì)稱圖形的是（ ）
A．B．
C．D．
2．（3分）如圖，在△ABC中，AC邊上的高線是（ ）
A．線段DAB．線段BAC．線段BCD．線段BD
3．（3分）下列計(jì)算正確的是（ ）
A．a(chǎn)2?a3＝a6B．（a2）3＝a6C．（2a）3＝2a3D．a(chǎn)10÷a2＝a5
4．（3分）下列各式由左到右是分解因式的是（ ）
A．x2+6x﹣9＝（x+3）（x﹣3）+6x
B．（x+2）（x﹣2）＝x2﹣4
C．x2﹣2xy﹣y2＝（x﹣y） 2
D．x2﹣8x+16＝（x﹣4） 2
5．（3分）如圖，要測(cè)量池塘兩岸相對(duì)的兩點(diǎn)A，B之間的距離，可以在池塘外取AB的垂線BF上兩點(diǎn)C，D，使BC＝CD，再畫出BF的垂線DE，使點(diǎn)E與A，C在同一條直線上，這時(shí)，可得△ABC≌△EDC，這時(shí)測(cè)得DE的長(zhǎng)就是AB的長(zhǎng)．判定△ABC≌△EDC最直接的依據(jù)是（ ）
A．HLB．SASC．ASAD．SSS
6．（3分）如圖，已知∠1＝58°，∠B＝60°，則∠2＝（ ）
A．108°B．62°C．118°D．128°
7．（3分）如圖所示，點(diǎn)O是△ABC內(nèi)一點(diǎn)，BO平分∠ABC，OD⊥BC于點(diǎn)D，連接OA，若OD＝5，AB＝20，則△AOB的面積是（ ）
A．20B．30C．50D．100
8．（3分）如圖，在△ABC中，AD，AE分別是△ABC的角平分線和高線，用等式表示∠DAE、∠B、∠C的關(guān)系正確的是（ ）
A．2∠DAE＝∠B﹣∠CB．2∠DAE＝∠B+∠C
C．∠DAE＝∠B﹣∠CD．3∠DAE＝∠B+∠C
二、填空題（每題3分，共24分）
9．（3分）計(jì)算：（3a2+2a）÷a＝ ．
10．（3分）分解因式：3x2﹣6xy+3y2＝ ．
11．（3分）a2?b3（ab）3＝ ．
12．（3分）如圖，在五邊形ABCDE中，∠1+∠2+∠3+∠4+∠5＝ ．
13．（3分）如圖，AB⊥BC，AD⊥DC，垂足分別為B，D．只需添加一個(gè)條件即可證明△ABC≌△ADC，這個(gè)條件可以是 ．（寫出一個(gè)即可）
14．（3分）如圖（1）是一個(gè)長(zhǎng)為2a，寬為2b（a＞b）的長(zhǎng)方形，用剪刀沿圖中虛線（對(duì)稱軸）剪開，得到四塊形狀和大小完全相同的小長(zhǎng)方形，然后按圖（2）所示拼成一個(gè)大正方形，則中間空白部分的面積是 ．（用含a，b的式子表示）
15．（3分）如圖，△ABC中，DE垂直平分邊AC，若BC＝8，AB＝10，則△EBC的周長(zhǎng)為 ．
16．（3分）如圖，三角形ABC的頂點(diǎn)坐標(biāo)如下：點(diǎn)A（2，2），B（1，1），C（5，1），若三角形DBC與三角形ABC全等，寫出符合條件的點(diǎn)D的坐標(biāo)： ．
三、解答題（17-24每題5分，25，26題6分）
17．（5分）分解因式：2x3﹣8x．
18．（5分）計(jì)算：（x+1）（3x3﹣2x）．
19．（5分）如圖，在△ABC和△ADE中，∠BAC＝∠DAE，AD＝AE．連接BD，CE，∠ABD＝∠ACE．
求證：△ABD≌△ACE．
20．（5分）如圖，點(diǎn)B、C、D、F在一條直線上，F(xiàn)D＝BC，DE＝CA，EF＝AB，求證：EF∥AB．
21．（5分）下面是小明同學(xué)設(shè)計(jì)的“過(guò)直線外一點(diǎn)作已知直線的平行線”的尺規(guī)作圖過(guò)程．
已知：如圖1，直線l和直線l外一點(diǎn)P．
求作：直線PQ，使直線PQ∥直線l．
作法：如圖2，
①在直線l上取一點(diǎn)A，連接PA；
②作PA的垂直平分線MN，分別交直線l，線段PA于點(diǎn)B，O；
③以O(shè)為圓心，OB長(zhǎng)為半徑作弧，交直線MN于另一點(diǎn)Q；
④作直線PQ，所以直線PQ為所求作的直線．
根據(jù)上述作圖過(guò)程，回答問(wèn)題：
（1）用直尺和圓規(guī)，補(bǔ)全圖2中的圖形（保留作圖痕跡）；
（2）完成下面的證明：
證明：∵直線MN是PA的垂直平分線，
∴PO＝ ，∠POQ＝ ＝90°，
∵OQ＝ ，
∴△POQ≌△AOB．
∴ ＝ ．
∴PQ∥l（ ）（填推理的依據(jù)）．
22．（5分）如圖所示的坐標(biāo)系中，△ABC的頂點(diǎn)都在網(wǎng)格線的交點(diǎn)上，點(diǎn)B的坐標(biāo)為（﹣2，0），點(diǎn)C的坐標(biāo)為（﹣1，2）．
（1）寫出點(diǎn)A的坐標(biāo) ，點(diǎn)A關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)是 ；
（2）畫出△ABC關(guān)于y軸的對(duì)稱圖形△A1B1C1；
（3）△A1B1C1的面積是 ．
23．（5分）已知x2+x＝1，求代數(shù)式（2x﹣1）2+4x（x+3）的值．
24．（5分）已知a＝m2+n2，b＝m2，c＝mn，且m＞n＞0．
（1）比較a，b，c的大?。?br>（2）請(qǐng)說(shuō)明以a，b，c為邊長(zhǎng)的三角形一定存在．
25．（6分）如圖，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，直線l經(jīng)過(guò)頂點(diǎn)C，過(guò)A、B兩點(diǎn)分別作l的垂線AE、BF，E、F為垂足．
（1）當(dāng)直線l不與底邊AB相交時(shí)，
①求證：∠ACE＝∠CBF．
②猜想EF、AE、BF的數(shù)量關(guān)系并證明．
（2）將直線l繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，使l與底邊AB交于點(diǎn)D（D不與A、B點(diǎn)重合），請(qǐng)你探究直線l，EF、AE、BF之間的關(guān)系．（直接寫出）
26．（6分）如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，直線l經(jīng)過(guò)點(diǎn)M（3，0），且平行于y軸．給出如下定義：點(diǎn)P（x，y）先關(guān)于y軸對(duì)稱得點(diǎn)P1，再將點(diǎn)P1關(guān)于直線l對(duì)稱得點(diǎn)P′，則稱點(diǎn)P′是點(diǎn)P關(guān)于y軸和直線l的二次反射點(diǎn)．
（1）已知A（﹣4，0），B（﹣2，0），C（﹣3，1），則它們關(guān)于y軸和直線l的二次反射點(diǎn)A′，B′，C′的坐標(biāo)分別是 ；
（2）若點(diǎn)D的坐標(biāo)是（a，0），其中a＜0，點(diǎn)D關(guān)于y軸和直線l的二次反射點(diǎn)是點(diǎn)D′，求線段DD′的長(zhǎng)；
（3）已知點(diǎn)E（4，0），點(diǎn)F（6，0），以線段EF為邊在x軸上方作正方形EFGH，若點(diǎn)P（a，1），Q（a+1，1）關(guān)于y軸和直線l的二次反射點(diǎn)分別為P′，Q′，且線段P′Q′與正方形EFGH的邊有公共點(diǎn)，求a的取值范圍．
2021-2022學(xué)年北京市東北師大附中朝陽(yáng)學(xué)校八年級(jí)（上）期中數(shù)學(xué)試卷
參考答案與試題解析
一、選擇題（每題3分，共24分）
1．（3分）下列體育運(yùn)動(dòng)圖案中，屬于軸對(duì)稱圖形的是（ ）
A．B．
C．D．
【分析】根據(jù)軸對(duì)稱圖形的概念對(duì)各選項(xiàng)分析判斷即可得解．
【解答】解：A、不是軸對(duì)稱圖形，故本選項(xiàng)不合題意；
B、是軸對(duì)稱圖形，故本選項(xiàng)符合題意；
C、不是軸對(duì)稱圖形，故本選項(xiàng)不合題意；
D、不是軸對(duì)稱圖形，故本選項(xiàng)不合題意．
故選：B．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了軸對(duì)稱圖形的概念，軸對(duì)稱圖形的關(guān)鍵是尋找對(duì)稱軸，圖形兩部分折疊后可重合．
2．（3分）如圖，在△ABC中，AC邊上的高線是（ ）
A．線段DAB．線段BAC．線段BCD．線段BD
【分析】根據(jù)三角形的高的概念判斷即可．
【解答】解：在△ABC中，AC邊上的高線是線段BD，
故選：D．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是三角形的高的概念，從三角形的一個(gè)頂點(diǎn)向它所對(duì)的邊所在的直線作垂線，垂足與頂點(diǎn)之間的線段叫做三角形的高．
3．（3分）下列計(jì)算正確的是（ ）
A．a(chǎn)2?a3＝a6B．（a2）3＝a6C．（2a）3＝2a3D．a(chǎn)10÷a2＝a5
【分析】分別根據(jù)同底數(shù)冪的乘法法則，冪的乘方運(yùn)算法則，積的乘方運(yùn)算法則以及同底數(shù)冪的除法法則逐一判斷即可．
【解答】解：A、a2?a3＝a5，故本選項(xiàng)不合題意；
B、（a2）3＝a6，故本選項(xiàng)符合題意；
C、（2a）3＝8a3，故本選項(xiàng)不合題意；
D、a10÷a2＝a8，故本選項(xiàng)不合題意；
故選：B．
【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了同底數(shù)冪的乘除法以及冪的乘方與積的乘方，熟記冪的運(yùn)算法則是解答本題的關(guān)鍵．
4．（3分）下列各式由左到右是分解因式的是（ ）
A．x2+6x﹣9＝（x+3）（x﹣3）+6x
B．（x+2）（x﹣2）＝x2﹣4
C．x2﹣2xy﹣y2＝（x﹣y） 2
D．x2﹣8x+16＝（x﹣4） 2
【分析】根據(jù)分解因式的定義逐個(gè)判斷即可．
【解答】解：A．等式由左到右的變形不屬于分解因式，故本選項(xiàng)不符合題意；
B．等式由左到右的變形屬于整式乘法，不屬于分解因式，故本選項(xiàng)不符合題意；
C．等式兩邊不相等，即等式由左到右的變形不屬于分解因式，故本選項(xiàng)不符合題意；
D．等式由左到右的變形屬于分解因式，故本選項(xiàng)符合題意；
故選：D．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了因式分解的定義，注意：把一個(gè)多項(xiàng)式化成幾個(gè)整式的積的形式，叫因式分解，也叫分解因式．
5．（3分）如圖，要測(cè)量池塘兩岸相對(duì)的兩點(diǎn)A，B之間的距離，可以在池塘外取AB的垂線BF上兩點(diǎn)C，D，使BC＝CD，再畫出BF的垂線DE，使點(diǎn)E與A，C在同一條直線上，這時(shí)，可得△ABC≌△EDC，這時(shí)測(cè)得DE的長(zhǎng)就是AB的長(zhǎng)．判定△ABC≌△EDC最直接的依據(jù)是（ ）
A．HLB．SASC．ASAD．SSS
【分析】根據(jù)全等三角形的判定進(jìn)行判斷，注意看題目中提供了哪些證明全等的要素，要根據(jù)已知選擇判斷方法．
【解答】解：因?yàn)樽C明在△ABC≌△EDC用到的條件是：BC＝CD，∠ABC＝∠EDC＝90°，∠ACB＝∠ECD（對(duì)頂角相等），
所以用到的是兩角及這兩角的夾邊對(duì)應(yīng)相等即ASA這一方法．
故選：C．
【點(diǎn)評(píng)】此題考查了三角形全等的判定方法，判定兩個(gè)三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL，做題時(shí)注意選擇．
注意：AAA、SSA不能判定兩個(gè)三角形全等，判定兩個(gè)三角形全等時(shí)，必須有邊的參與，若有兩邊一角對(duì)應(yīng)相等時(shí)，角必須是兩邊的夾角．
6．（3分）如圖，已知∠1＝58°，∠B＝60°，則∠2＝（ ）
A．108°B．62°C．118°D．128°
【分析】根據(jù)三角形外角的性質(zhì)可得∠2＝∠1+∠B，計(jì)算可求解．
【解答】解：∵∠1＝58°，∠B＝60°，
∴∠2＝∠1+∠B＝58°+60°＝118°，
故選：C．
【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查三角形外角的性質(zhì)，掌握三角形外角的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
7．（3分）如圖所示，點(diǎn)O是△ABC內(nèi)一點(diǎn)，BO平分∠ABC，OD⊥BC于點(diǎn)D，連接OA，若OD＝5，AB＝20，則△AOB的面積是（ ）
A．20B．30C．50D．100
【分析】根據(jù)角平分線的性質(zhì)求出OE，最后用三角形的面積公式即可解答．
【解答】解：過(guò)O作OE⊥AB于點(diǎn)E，
∵BO平分∠ABC，OD⊥BC于點(diǎn)D，
∴OE＝OD＝5，
∴△AOB的面積＝，
故選：C．
【點(diǎn)評(píng)】此題考查角平分線的性質(zhì)，關(guān)鍵是根據(jù)角平分線的性質(zhì)得出OE＝OD解答．
8．（3分）如圖，在△ABC中，AD，AE分別是△ABC的角平分線和高線，用等式表示∠DAE、∠B、∠C的關(guān)系正確的是（ ）
A．2∠DAE＝∠B﹣∠CB．2∠DAE＝∠B+∠C
C．∠DAE＝∠B﹣∠CD．3∠DAE＝∠B+∠C
【分析】根據(jù)三角形內(nèi)角和定理求出∠BAC，再根據(jù)角平分線的定義求出∠BAD，根據(jù)直角三角形兩銳角互余求出∠BAE，即可得到∠DAE、∠B、∠C之間的數(shù)量關(guān)系．
【解答】解：∵∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠C，AD是∠BAC的平分線，
∴∠BAD＝∠BAC＝（180°﹣∠B﹣∠C），
∵AE是高，
∴∠CAE＝90°﹣∠C，
∴∠DAE＝∠CAE﹣∠CAD
＝（90°﹣∠C）﹣（180°﹣∠B﹣∠C）
＝（∠B﹣∠C），
故選：A．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了三角形的內(nèi)角和定理，三角形的角平分線、高線的定義，直角三角形兩銳角互余的性質(zhì)，熟記定理并準(zhǔn)確識(shí)圖是解題的關(guān)鍵．
二、填空題（每題3分，共24分）
9．（3分）計(jì)算：（3a2+2a）÷a＝ 3a+2 ．
【分析】直接利用整式的除法運(yùn)算法則計(jì)算得出答案．
【解答】解：（3a2+2a）÷a
＝3a2÷a+2a÷a
＝3a+2．
故答案為：3a+2．
【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了整式的除法，正確掌握相關(guān)運(yùn)算法則是解題關(guān)鍵．
10．（3分）分解因式：3x2﹣6xy+3y2＝ 3（x﹣y）2 ．
【分析】先提取公因式3，再對(duì)余下的多項(xiàng)式利用完全平方公式繼續(xù)分解．
【解答】解：3x2﹣6xy+3y2，
＝3（x2﹣2xy+y2），
＝3（x﹣y）2．
故答案為：3（x﹣y）2．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了用提公因式法和公式法進(jìn)行因式分解，一個(gè)多項(xiàng)式有公因式首先提取公因式，然后再用其他方法進(jìn)行因式分解，同時(shí)因式分解要徹底，直到不能分解為止．
11．（3分）a2?b3（ab）3＝ a5b6 ．
【分析】根據(jù)積的乘方法則、單項(xiàng)式乘單項(xiàng)式的運(yùn)算法則計(jì)算．
【解答】解：a2?b3（ab）3
＝a2?b3?a3b3
＝a5b6，
故答案為：a5b6．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是單項(xiàng)式乘單項(xiàng)式、積的乘方，掌握它們的運(yùn)算法則是解題的關(guān)鍵．
12．（3分）如圖，在五邊形ABCDE中，∠1+∠2+∠3+∠4+∠5＝ 360° ．
【分析】根據(jù)多邊形的外角和定理即可求解．
【解答】解：根據(jù)多邊形外角和定理得到：∠1+∠2+∠3+∠4+∠5＝360°．
故答案為：360°．
【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了多邊形的外角和定理，熟記多邊形的外角和定理是解題的關(guān)鍵．
13．（3分）如圖，AB⊥BC，AD⊥DC，垂足分別為B，D．只需添加一個(gè)條件即可證明△ABC≌△ADC，這個(gè)條件可以是 AB＝AD或BC＝CD或∠BAC＝∠DAC或∠ACB＝∠ACD（答案不唯一） ．（寫出一個(gè)即可）
【分析】由全等三角形的判定定理可求解．
【解答】解：若添加AB＝AD，且AC＝AC，由“HL”可證Rt△ABC≌Rt△ADC；
若添加BC＝CD，且AC＝AC，由“HL”可證Rt△ABC≌Rt△ADC；
若添加∠BAC＝∠DAC，且AC＝AC，由“AAS”可證Rt△ABC≌Rt△ADC；
若添加∠BCA＝∠DCA，且AC＝AC，由“AAS”可證Rt△ABC≌Rt△ADC；
故答案為：AB＝AD或BC＝CD或∠BAC＝∠DAC或∠ACB＝∠ACD（答案不唯一）．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了全等三角形的判定，掌握全等三角形的判定定理是本題的關(guān)鍵．
14．（3分）如圖（1）是一個(gè)長(zhǎng)為2a，寬為2b（a＞b）的長(zhǎng)方形，用剪刀沿圖中虛線（對(duì)稱軸）剪開，得到四塊形狀和大小完全相同的小長(zhǎng)方形，然后按圖（2）所示拼成一個(gè)大正方形，則中間空白部分的面積是 （a﹣b）2 ．（用含a，b的式子表示）
【分析】由圖（1）得出小長(zhǎng)方形的長(zhǎng)與寬分別為a，b，然后根據(jù)圖（2）中大正方形的面積減去四個(gè)小長(zhǎng)方形的面積表示出中空部分面積即可．
【解答】解：中間空白部分的面積是：
（a+b）2﹣4ab
＝a2+2ab+b2﹣4ab
＝a2﹣2ab+b2
＝（a﹣b）2，
故答案為：（a﹣b）2．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了列代數(shù)式、完全平方公式的運(yùn)算，能正確列出代數(shù)式是解決問(wèn)題的前提，熟練掌握完全平方公式是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．
15．（3分）如圖，△ABC中，DE垂直平分邊AC，若BC＝8，AB＝10，則△EBC的周長(zhǎng)為 18 ．
【分析】根據(jù)線段的垂直平分線的性質(zhì)得到EA＝EC，根據(jù)三角形的周長(zhǎng)公式計(jì)算即可．
【解答】解：∵DE是△ABC中AC邊的垂直平分線，
∴EA＝EC，
∴△EBC的周長(zhǎng)＝BC+BE+EC＝BC+BE+EA＝BC+BA＝18，
故答案為：18．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是線段的垂直平分線的性質(zhì)，掌握線段的垂直平分線上的點(diǎn)到線段的兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等是解題的關(guān)鍵．
16．（3分）如圖，三角形ABC的頂點(diǎn)坐標(biāo)如下：點(diǎn)A（2，2），B（1，1），C（5，1），若三角形DBC與三角形ABC全等，寫出符合條件的點(diǎn)D的坐標(biāo)： （2，0）或（4，2）或（4，0） ．
【分析】根據(jù)全等三角形的判定方法畫出圖形，根據(jù)圖形可直接寫出所有符合條件的點(diǎn)D坐標(biāo)．
【解答】解：如圖所示，點(diǎn)D的坐標(biāo)為（2，0）或（4，2）或（4，0）．
故答案為：（2，0）或（4，2）或（4，0）．
【點(diǎn)評(píng)】此題考查了坐標(biāo)與圖形性質(zhì)以及全等三角形的判定，掌握全等三角形的判定定理是解題關(guān)鍵．
三、解答題（17-24每題5分，25，26題6分）
17．（5分）分解因式：2x3﹣8x．
【分析】首先提取公因式2x，進(jìn)而利用平方差公式分解因式得出答案．
【解答】解：原式＝2x（x2﹣4）
＝2x（x+2）（x﹣2）．
【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了提取公因式法以及公式法分解因式，正確運(yùn)用平方差公式是解題關(guān)鍵．
18．（5分）計(jì)算：（x+1）（3x3﹣2x）．
【分析】利用多項(xiàng)式乘多項(xiàng)式法則計(jì)算即可．
【解答】解：原式＝x?3x3﹣x?2x+3x3﹣2x
＝3x4﹣2x2+3x3﹣2x，
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了整式的乘法，掌握多項(xiàng)式乘多項(xiàng)式法則、單項(xiàng)式乘單項(xiàng)式法則是解決本題的關(guān)鍵．
19．（5分）如圖，在△ABC和△ADE中，∠BAC＝∠DAE，AD＝AE．連接BD，CE，∠ABD＝∠ACE．
求證：△ABD≌△ACE．
【分析】根據(jù)角的和差得到∠BAD＝∠CAE，根據(jù)全等三角形的判定定理推出△BAD≌△CAE．
【解答】證明：∵∠BAC＝∠DAE，
∴∠BAC﹣∠CAD＝∠DAE﹣∠CAD，
即∠BAD＝∠CAE，
在△BAD和△CAE中，
∴△BAD≌△CAE（AAS）．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了全等三角形的判定，熟練掌握全等三角形的判定定理是解題的關(guān)鍵．
20．（5分）如圖，點(diǎn)B、C、D、F在一條直線上，F(xiàn)D＝BC，DE＝CA，EF＝AB，求證：EF∥AB．
【分析】利用SSS證明△FDE≌△BCA，得∠F＝∠B，即可證明．
【解答】證明：在△FDE與△BCA中，
，
∴△FDE≌△BCA（SSS），
∴∠F＝∠B，
∴EF∥AB．
【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，平行線的判定等知識(shí)，證明△FDE≌△BCA是解題的關(guān)鍵．
21．（5分）下面是小明同學(xué)設(shè)計(jì)的“過(guò)直線外一點(diǎn)作已知直線的平行線”的尺規(guī)作圖過(guò)程．
已知：如圖1，直線l和直線l外一點(diǎn)P．
求作：直線PQ，使直線PQ∥直線l．
作法：如圖2，
①在直線l上取一點(diǎn)A，連接PA；
②作PA的垂直平分線MN，分別交直線l，線段PA于點(diǎn)B，O；
③以O(shè)為圓心，OB長(zhǎng)為半徑作弧，交直線MN于另一點(diǎn)Q；
④作直線PQ，所以直線PQ為所求作的直線．
根據(jù)上述作圖過(guò)程，回答問(wèn)題：
（1）用直尺和圓規(guī)，補(bǔ)全圖2中的圖形（保留作圖痕跡）；
（2）完成下面的證明：
證明：∵直線MN是PA的垂直平分線，
∴PO＝ AO ，∠POQ＝ ∠AOB ＝90°，
∵OQ＝ OB ，
∴△POQ≌△AOB．
∴ ∠QPO ＝ ∠BAO ．
∴PQ∥l（ 內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行 ）（填推理的依據(jù)）．
【分析】（1）直接用作法，作出圖形，即可得出結(jié)論；
（2）利用SAS判斷出△POQ≌△AOB，得出∠QPO＝∠BAO，即可得出結(jié)論．
【解答】解：（1）用直尺和圓規(guī)，補(bǔ)全圖形如圖2所示：
（2）證明：∵直線MN是PA的垂直平分線，
∴PO＝AO，∠POQ＝∠AOB＝90°，
∵OQ＝OB，
∴△POQ≌△AOB（SAS），
∴∠QPO＝∠BAO（或∠PQO＝∠ABO），
∴PQ∥l（內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行），
故答案為：AO，∠AOB，OB，∠QPO，∠BAO，內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行．
【點(diǎn)評(píng)】此題是三角形綜合題，主要考查了基本作圖，全等三角形的判定和性質(zhì)，平行線的判定，掌握基本作圖是解本題的關(guān)鍵．
22．（5分）如圖所示的坐標(biāo)系中，△ABC的頂點(diǎn)都在網(wǎng)格線的交點(diǎn)上，點(diǎn)B的坐標(biāo)為（﹣2，0），點(diǎn)C的坐標(biāo)為（﹣1，2）．
（1）寫出點(diǎn)A的坐標(biāo) （﹣4，4） ，點(diǎn)A關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)是 （4，4） ；
（2）畫出△ABC關(guān)于y軸的對(duì)稱圖形△A1B1C1；
（3）△A1B1C1的面積是 4 ．
【分析】（1）根據(jù)點(diǎn)A的位置寫出坐標(biāo)，再根據(jù)軸對(duì)稱的性質(zhì)寫出點(diǎn)A關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)；
（2）利用軸對(duì)稱變換的性質(zhì)分別作出A，B，C的對(duì)應(yīng)點(diǎn)A1，B1，C1即可；
（3）把三角形的面積看成矩形面積減去周圍三個(gè)三角形面積即可．
【解答】解：（1）由題意，A（﹣4，4），點(diǎn)A關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)是（4，4）；
故動(dòng)物：（﹣4，4），（4，4）；
（2）如圖，△A1B1C1即為所求；
（3）＝3×4﹣×1×2﹣×2×3﹣×2×4＝4．
故答案為：4．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查作圖﹣軸對(duì)稱變換，軸對(duì)稱最短問(wèn)題，三角形的面積等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是掌握軸對(duì)稱變換的性質(zhì)，屬于中考?？碱}型．
23．（5分）已知x2+x＝1，求代數(shù)式（2x﹣1）2+4x（x+3）的值．
【分析】先根據(jù)完全平方公式和單項(xiàng)式乘多項(xiàng)式進(jìn)行計(jì)算，再合并同類項(xiàng)，最后代入求出答案即可．
【解答】解：（2x﹣1）2+4x（x+3）
＝4x2﹣4x+1+4x2+12x
＝8x2+8x+1，
當(dāng)x2+x＝1時(shí)，原式＝8（x2+x）+1＝8×1+1＝9．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了整式的化簡(jiǎn)與求值，能正確根據(jù)整式的運(yùn)算法則進(jìn)行化簡(jiǎn)是解此題的關(guān)鍵，注意運(yùn)算順序．
24．（5分）已知a＝m2+n2，b＝m2，c＝mn，且m＞n＞0．
（1）比較a，b，c的大??；
（2）請(qǐng)說(shuō)明以a，b，c為邊長(zhǎng)的三角形一定存在．
【分析】（1）根據(jù)代數(shù)式大小比較的方法進(jìn)行比較即可求解；
（2）根據(jù)三角形兩條較短的線段長(zhǎng)度之和大于第三條線段的長(zhǎng)度即可求解．
【解答】解：（1）∵a＝m2+n2，b＝m2，c＝mn，且m＞n＞0，
∴m2+n2＞m2＞mn，
∴a＞b＞c；
（2）∵m＞n＞0，
∴mn＞n2，
∴m2+mn＞m2+n2，
∴a，b，c為邊長(zhǎng)的三角形一定存在．
【點(diǎn)評(píng)】考查了三角形三邊關(guān)系，在運(yùn)用三角形三邊關(guān)系判定三條線段能否構(gòu)成三角形時(shí)并不一定要列出三個(gè)不等式，只要兩條較短的線段長(zhǎng)度之和大于第三條線段的長(zhǎng)度即可判定這三條線段能構(gòu)成一個(gè)三角形．
25．（6分）如圖，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，直線l經(jīng)過(guò)頂點(diǎn)C，過(guò)A、B兩點(diǎn)分別作l的垂線AE、BF，E、F為垂足．
（1）當(dāng)直線l不與底邊AB相交時(shí)，
①求證：∠ACE＝∠CBF．
②猜想EF、AE、BF的數(shù)量關(guān)系并證明．
（2）將直線l繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，使l與底邊AB交于點(diǎn)D（D不與A、B點(diǎn)重合），請(qǐng)你探究直線l，EF、AE、BF之間的關(guān)系．（直接寫出）
【分析】（1）①根據(jù)同角的余角相等證明即可；
②利用AAS定理證明△AEC≌△CFB，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到CF＝AE，BF＝CE，結(jié)合圖形證明結(jié)論；
（2）分AD＞BD、AD＜BD兩種情況，根據(jù)全等三角形的判定定理和性質(zhì)定理證明即可．
【解答】（1）①證明：∵∠ACB＝90°，
∴∠ACE+∠BCF＝90°，
∵BF⊥直線l，
∴∠CBF+∠BCF＝90°，
∴∠ACE＝∠CBF；
②解：EF＝AE+BF．
理由如下：在△AEC和△CFB中，
，
∴△AEC≌△CFB（AAS），
∴CF＝AE，BF＝CE，
∴EF＝CF+CE＝AE+BF；
（2）當(dāng)AD＞BD時(shí)，如圖2②，
∵∠ACB＝90°，AE⊥直線l，
∴∠BCF＝∠CAE，
∵AC＝BC，BF⊥l直線，
∴∠BFC＝∠AEC＝90°，
∴△ACE≌△CBF（AAS），
∴CF＝AE，CE＝BF，
∵CF＝CE+EF＝BF+EF，
∴AE＝BF+EF；
②當(dāng)AD＜BD時(shí)，如圖2②，
∵∠ACB＝90°，BF⊥l直線，
∴∠CBF＝∠ACE，
∵AC＝BC，BE⊥l直線，
∴∠AEC＝∠BFC＝90°．
∴△ACE≌△CBF（AAS），
∴CF＝AE，BF＝CE，
∵CE＝CF+EF＝AE+EF，
∴BF＝AE+EF．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是全等三角形的判定和性質(zhì)、旋轉(zhuǎn)變換的性質(zhì)，掌握全等三角形的判定定理和性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵．
26．（6分）如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，直線l經(jīng)過(guò)點(diǎn)M（3，0），且平行于y軸．給出如下定義：點(diǎn)P（x，y）先關(guān)于y軸對(duì)稱得點(diǎn)P1，再將點(diǎn)P1關(guān)于直線l對(duì)稱得點(diǎn)P′，則稱點(diǎn)P′是點(diǎn)P關(guān)于y軸和直線l的二次反射點(diǎn)．
（1）已知A（﹣4，0），B（﹣2，0），C（﹣3，1），則它們關(guān)于y軸和直線l的二次反射點(diǎn)A′，B′，C′的坐標(biāo)分別是 A′（2，0），B′（4，0），C′（3，1） ；
（2）若點(diǎn)D的坐標(biāo)是（a，0），其中a＜0，點(diǎn)D關(guān)于y軸和直線l的二次反射點(diǎn)是點(diǎn)D′，求線段DD′的長(zhǎng)；
（3）已知點(diǎn)E（4，0），點(diǎn)F（6，0），以線段EF為邊在x軸上方作正方形EFGH，若點(diǎn)P（a，1），Q（a+1，1）關(guān)于y軸和直線l的二次反射點(diǎn)分別為P′，Q′，且線段P′Q′與正方形EFGH的邊有公共點(diǎn)，求a的取值范圍．
【分析】（1）根據(jù)二次反射點(diǎn)的定義直接得出答案；
（2）根據(jù)二次反射點(diǎn)的定義得出D′（6+a，0），則可得出答案
（3）根據(jù)二次反射點(diǎn)的定義得出P′（6+a，1），Q′（7+a，1），由題意分兩種情況列出不等式組，解不等式組可得出答案．
【解答】解：（1）∵A（﹣4，0），
∴點(diǎn)A關(guān)于y軸點(diǎn)的對(duì)稱的坐標(biāo)為（4，0），
∵（4，0）關(guān)于直線l對(duì)稱得點(diǎn)A′（2，0），
∴點(diǎn)A（﹣4，0）關(guān)于y軸和直線l的二次反射點(diǎn)A′（2，0）；
∵B（﹣2，0），
∴點(diǎn)B關(guān)于y軸點(diǎn)的對(duì)稱的坐標(biāo)為（2，0），
∵（2，0）關(guān)于直線l對(duì)稱得點(diǎn)B′（4，0），
∴點(diǎn)B（﹣2，0）關(guān)于y軸和直線l的二次反射點(diǎn)B′（4，0）；
∵C（﹣3，1），
∴點(diǎn)C關(guān)于y軸點(diǎn)的對(duì)稱的坐標(biāo)為（3，1），
∵（3，1）關(guān)于直線l對(duì)稱得點(diǎn)C′（3，1），
∴點(diǎn)C（﹣3，1）關(guān)于y軸和直線l的二次反射點(diǎn)C′（3，1）；
故答案為：A′（2，0），B′（4，0），C′（3，1）；
（2）∵點(diǎn)D的坐標(biāo)是（a，0），a＜0，
∴點(diǎn)D關(guān)于y軸對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)為（﹣a，0），
∴（﹣a，0）關(guān)于直線l對(duì)稱得點(diǎn)D′（6+a，0），
∴DD'＝6+a﹣a＝6．
（3）∵點(diǎn)P（a，1），
∴點(diǎn)P（a，1）關(guān)于y軸和直線l的二次反射點(diǎn)為P′（6+a，1），
∵Q（a+1，1），
∴Q（a+1，1）關(guān)于y軸和直線l的二次反射點(diǎn)為Q′（7+a，1），
當(dāng)P'Q'與EH有公共點(diǎn)時(shí)，
，
∴﹣3≤a≤﹣2，
當(dāng)P'Q'與FG有公共點(diǎn)時(shí)，
，
∴﹣1≤a≤0，
∴﹣3≤a≤﹣2或﹣1≤a≤0，
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了正方形的性質(zhì)，軸對(duì)稱性質(zhì)，動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題，新定義二次反射點(diǎn)的理解和運(yùn)用；解題關(guān)鍵是對(duì)新定義二次反射點(diǎn)的正確理解．
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