2023-2024學(xué)年北京市首都師大附中朝陽分校九年級（上）期中數(shù)學(xué)試卷【含解析】

這是一份2023-2024學(xué)年北京市首都師大附中朝陽分校九年級（上）期中數(shù)學(xué)試卷【含解析】，共33頁。試卷主要包含了填空題，解答題等內(nèi)容，歡迎下載使用。
1．（2分）中秋節(jié)是中國的傳統(tǒng)節(jié)日，有“團(tuán)圓”、“豐收”的寓意．月餅是首選傳統(tǒng)食品，不僅美味，而且設(shè)計多樣．下列月餅圖案中，為中心對稱圖形的是（ ）
A．B．
C．D．
2．（2分）一元二次方程x2﹣2＝4x化成一般形式后，二次項系數(shù)和一次項系數(shù)分別是（ ）
A．1，4B．1，0C．1，﹣4D．1，﹣2
3．（2分）關(guān)于函數(shù)y＝﹣（x+3）2﹣2的圖象敘述正確的是（ ）
A．開口向上B．圖象都在x軸下方
C．與y軸交點(diǎn)為（0，﹣2）D．頂點(diǎn)（3，﹣2）
4．（2分）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)B、C、E在y軸上，點(diǎn)C的坐標(biāo)為（0，1），AC＝2，Rt△ODE是Rt△ABC經(jīng)過某些變換得到的，則正確的變換是（ ）
A．△ABC繞點(diǎn)C逆時針旋轉(zhuǎn)90°，再向下平移1個單位
B．△ABC繞點(diǎn)C順時針旋轉(zhuǎn)90°，再向下平移1個單位
C．△ABC繞點(diǎn)C逆時針旋轉(zhuǎn)90°，再向下平移3個單位
D．△ABC繞點(diǎn)C順時針旋轉(zhuǎn)90°，再向下平移3個單位
5．（2分）隨著生產(chǎn)技術(shù)的進(jìn)步，某制藥廠生產(chǎn)成本逐年下降．兩年前生產(chǎn)一噸藥的成本是5000元，現(xiàn)在生產(chǎn)一噸藥的成本是4050元．設(shè)生產(chǎn)成本的年平均下降率為x，下面所列方程正確的是（ ）
A．5000（1+x）2＝4050B．4050（1+x）2＝5000
C．5000（1﹣x）2＝4050D．4050（1﹣x）2＝5000
6．（2分）A（﹣1，y1），B（1，y2），C（4，y3）三點(diǎn)都在二次函數(shù)y＝a（x﹣3）2+k（a＜0）的圖象上，則y1，y2，y3的大小關(guān)系為（ ）
A．y1＜y2＜y3B．y1＜y3＜y2C．y3＜y1＜y2D．y3＜y2＜y1
7．（2分）關(guān)于x的一元二次方程x2+mx+n＝0的兩個實數(shù)根分別為x1＝a，x2＝b（a＜b），則二次函數(shù)y＝x2+mx+n，當(dāng)y＞0時，x的取值范圍是（ ）
A．x＜aB．x＞bC．a(chǎn)＜x＜bD．x＜a或x＞b
8．（2分）如圖，二次函數(shù)y＝ax2+bx+c的圖象經(jīng)過點(diǎn)A（﹣1，0），點(diǎn)B（3，0），交y軸于點(diǎn)C，給出下列結(jié)論：①a：b：c＝﹣1：2：3；②若0＜x＜4，則5a＜y＜﹣3a；③對于任意實數(shù)m，一定有am2+bm+a≤0；④一元二次方程cx2+bx+a＝0的兩根為﹣1和，其中正確的結(jié)論是（ ）
A．①②③④B．①③C．①③④D．②③④
二、填空題（共16分，每題2分）
9．（2分）在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)（﹣3，4）關(guān)于原點(diǎn)對稱的點(diǎn)的坐標(biāo)是 ．
10．（2分）將二次函數(shù)y＝2x2﹣4x+5化為y＝a（x﹣h）2+k的形式，則y＝ ．
11．（2分）若關(guān)于x的方程x2+3x+a＝0的一個根為，則方程的另一根為 ．
12．（2分）如圖，在△ABC中，∠BAC＝108°，將△ABC繞點(diǎn)A按逆時針方向旋轉(zhuǎn)得到△AB′C′．若點(diǎn)B′恰好落在BC邊上，且AB′＝CB′，則∠C′的度數(shù)為 ．
13．（2分）若關(guān)于x的一元二次方程x2﹣6x+k＝7有兩個不相等的實數(shù)根，則符合條件的非負(fù)整數(shù)k的個數(shù)為 ．
14．（2分）如圖，⊙O的半徑為2，C1是函數(shù)的的圖象，C2是函數(shù)的的圖象，C3是函數(shù)的y＝x的圖象，則陰影部分的面積是 ．
15．（2分）如圖，點(diǎn)A在x軸上，OA＝4，將線段OA繞點(diǎn)O順時針旋轉(zhuǎn)120度至OB的位置，則經(jīng)過A、O、B三點(diǎn)的拋物線的解析式為 ．
16．（2分）距離地面有一定高度的某發(fā)射裝置豎直向上發(fā)射物體，物體離地面的高度h（米）與物體運(yùn)動的時間t（秒）之間滿足函數(shù)關(guān)系h＝﹣5t2+mt+n，其圖象如圖所示，物體運(yùn)動的最高點(diǎn)離地面20米，物體從發(fā)射到落地的運(yùn)動時間為3秒．設(shè)w表示0秒到t秒時h的值的“極差”（即0秒到t秒時h的最大值與最小值的差），則當(dāng)0≤t≤1時，w的取值范圍是 ；當(dāng)2≤t≤3時，w的取值范圍是 ．
三、解答題（共68分，第17題8分，18題4分，19-24題，每題5分，第25-26題，每題6分，第27-28題，每題7分）
17．（8分）解下列方程：
（1）4（x﹣1）2﹣9＝0；
（2）3x2﹣9x＝12．
18．（4分）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)B（3，4），BA⊥x軸于A．
（1）畫出將△OAB繞原點(diǎn)O逆時針旋轉(zhuǎn)90°后所得的△OA1B1，并寫出點(diǎn)B1的坐標(biāo)為 ；
（2）在（1）的條件下，OB上一點(diǎn)P（2，a），旋轉(zhuǎn)后的對應(yīng)點(diǎn)P1坐標(biāo)為 ，連接PP1，則線段PP1的長度為 ．
19．（5分）已知將拋物線y＝（x﹣4）2﹣1向左平移n（n＞0）個單位后得到的新拋物線y＝ax2+bx+c經(jīng)過點(diǎn)（0，3）．
（1）求平移后的拋物線y＝ax2+bx+c的解析式；
（2）利用以上信息圖象解答問題：若關(guān)于x的一元二次方程ax2+bx+c﹣t＝0在0＜x＜5的范圍內(nèi)有兩個實數(shù)解，則t的取值范圍是 ．
20．（5分）關(guān)于x的方程x2﹣ax+1＝0有兩個相等的實數(shù)根，求代數(shù)式﹣的值．
21．（5分）如圖，四邊形ABCD是正方形，點(diǎn)E為ABCD內(nèi)一點(diǎn)，將BE繞點(diǎn)B順時針旋轉(zhuǎn)90°得到BF，連接EF、AE、CF，EF與CB交于點(diǎn)G．
（1）求證：AE＝CF；
（2）若∠ABE＝55°，求∠EGC的大?。?br>22．（5分）如圖，已知二次函數(shù)y＝x2+bx+c圖象經(jīng)過點(diǎn)A（1，﹣2）和B（0，﹣5）．
（1）求該二次函數(shù)的表達(dá)式；
（2）當(dāng)y≤﹣2時，請根據(jù)圖象直接寫出x的取值范圍．
23．（5分）學(xué)校計劃利用一片空地建一個長方形電動車車棚，其中一面靠墻，墻的長度為8米，在與墻平行的一面開一個2米寬的門．已知現(xiàn)有的木板材料可新建的總長為26米，且全部用于除墻外其余三面外墻的修建．
（1）長方形車棚與墻垂直的一面至少為 米；
（2）為了方便學(xué)生通行，施工單位決定在車棚內(nèi)修建幾條等寬的小路（如圖中陰影），若車棚與墻垂直的一面長按（1）中的最小長度，則停放電動車的區(qū)域面積能否達(dá)到66.5平方米，若能，此時小路的寬度是多少米？若不能，請說明理由．
24．（5分）如圖，在△ABC中，AB＝6，AC＝10，BC邊上的中線AD＝4．
（1）以點(diǎn)D為對稱中心，作出△ABD的中心對稱圖形；
（2）求△ABC的面積的值．
25．（6分）我們常見的炒菜鍋和鍋蓋都是拋物線面，經(jīng)過鍋心和蓋心的縱斷面是兩段拋物線組合而成封閉圖形，不妨簡稱為“鍋線”，鍋口直徑為6dm，鍋深3dm，鍋蓋高1dm（鍋口直徑與鍋蓋直徑視為相同），建立直角坐標(biāo)系如圖①所示，如果把鍋縱斷面的拋物線記為C1，把鍋蓋縱斷面的拋物線記為C2．
（1）求C1和C2的解析式；
（2）如果炒菜時鍋的水位高度是1dm，求此時水面的直徑；
（3）如果將一個底面直徑為3dm，高度為3.2dm的圓柱形器皿放入炒菜鍋內(nèi)蒸食物，鍋蓋能否正常蓋上？請說明理由．
26．（6分）已知A（n，0），B（2，﹣3）兩點(diǎn)在一次函數(shù)y1＝﹣x+m與二次函數(shù)的圖象上．
（1）求m的值和二次函數(shù)的解析式；
（2）請直接寫出使y1＞y2時，自變量x的取值范圍為 ；
（3）直接寫出所求的拋物線關(guān)于x軸對稱的拋物線的解析式為 ．
27．（7分）問題背景：（1）如圖1，△ACB和△CEF都是等腰直角三角形，點(diǎn)E在AB上，連BF，求證：BF⊥AB；
遷移運(yùn)用：（2）如圖2，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，點(diǎn)P在△ABC外，PA＝2，PB＝6，∠BPA＝60°，求PC的長；
拓展提升：（3）如圖3，在等腰Rt△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝90°，點(diǎn)E、F在△ABC外，∠ECF＝135°，BE∥AF，直接寫出線段BE、AF、EF之間的關(guān)系．
28．（7分）我們規(guī)定，以二次函數(shù)y＝ax2+bx+c的二次項系數(shù)a的2倍為一次項系數(shù)，一次項系數(shù)b為常數(shù)項構(gòu)造的一次函數(shù)y＝2ax+b叫做二次函數(shù)y＝ax2+bx+c的“子函數(shù)”，反過來，二次函數(shù)y＝ax2+bx+c叫做一次函數(shù)y＝2ax+b的“母函數(shù)”．
（1）若一次函數(shù)y＝2x﹣4是二次函數(shù)y＝ax2+bx+c的“子函數(shù)”，且二次函數(shù)經(jīng)過點(diǎn)（3，0），求此二次函數(shù)的解析式及頂點(diǎn)坐標(biāo)．
（2）若“子函數(shù)”y＝x﹣6的“母函數(shù)”的最小值為1，求“母函數(shù)”的函數(shù)表達(dá)式．
（3）已知二次函數(shù)y＝﹣x2﹣4x+8的“子函數(shù)”圖象直線l與x軸、y軸交于C、D兩點(diǎn)，P點(diǎn)在直線l上方的拋物線上，求△PCD的面積的最大值．
2023-2024學(xué)年北京市首都師大附中朝陽分校九年級（上）期中數(shù)學(xué)試卷
參考答案與試題解析
一、選擇題(共16分，每題2分)第1-8題均有四個選項，符合題意的選項只有一個．
1．（2分）中秋節(jié)是中國的傳統(tǒng)節(jié)日，有“團(tuán)圓”、“豐收”的寓意．月餅是首選傳統(tǒng)食品，不僅美味，而且設(shè)計多樣．下列月餅圖案中，為中心對稱圖形的是（ ）
A．B．
C．D．
【分析】一個圖形繞某一點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180°，如果旋轉(zhuǎn)后的圖形能夠與原來的圖形重合，那么這個圖形就叫做中心對稱圖形．根據(jù)中心對稱圖形的概念對各選項分析判斷即可得解．
【解答】解：選項A、C、D不能找到這樣的一個點(diǎn)，使圖形繞某一點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180°后與原圖重合，所以不是中心對稱圖形；
選項C能找到這樣的一個點(diǎn)，使圖形繞某一點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180°后與原圖重合，所以是中心對稱圖形；
故選：B．
【點(diǎn)評】本題考查了中心對稱圖形的概念，中心對稱圖形是要尋找對稱中心，旋轉(zhuǎn)180度后與原圖重合．
2．（2分）一元二次方程x2﹣2＝4x化成一般形式后，二次項系數(shù)和一次項系數(shù)分別是（ ）
A．1，4B．1，0C．1，﹣4D．1，﹣2
【分析】先把方程化為一般形式，再根據(jù)一元二次方程的二次項系數(shù)和一次項系數(shù)的概念解答．
【解答】解：一元二次方程x2﹣2＝4x變形為x2﹣4x﹣2＝0，
則二次項系數(shù)和一次項系數(shù)分別是1、﹣4，
故選：C．
【點(diǎn)評】本題考查的是一元二次方程的一般形式，正確認(rèn)識一元二次方程的各項系數(shù)是解題的關(guān)鍵．
3．（2分）關(guān)于函數(shù)y＝﹣（x+3）2﹣2的圖象敘述正確的是（ ）
A．開口向上B．圖象都在x軸下方
C．與y軸交點(diǎn)為（0，﹣2）D．頂點(diǎn)（3，﹣2）
【分析】根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)，逐一進(jìn)行判斷即可．
【解答】解：A、a＝﹣1＜0，拋物線的開口向下，選項錯誤，不符合題意；
B、∵二次函數(shù)的開口向下，最大值為：﹣2，
∴圖象都在x軸下方，選項正確，符合題意．
C、當(dāng)x＝0時：y＝﹣（0+3）2﹣2＝﹣11，與y軸交點(diǎn)為（0，﹣11），選項錯誤，不符合題意；
B、二次函數(shù)的頂點(diǎn)坐標(biāo)為：（﹣3，﹣2），選項錯誤，不符合題意；
故選：B．
【點(diǎn)評】本題考查二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)．熟練掌握二次函數(shù)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
4．（2分）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)B、C、E在y軸上，點(diǎn)C的坐標(biāo)為（0，1），AC＝2，Rt△ODE是Rt△ABC經(jīng)過某些變換得到的，則正確的變換是（ ）
A．△ABC繞點(diǎn)C逆時針旋轉(zhuǎn)90°，再向下平移1個單位
B．△ABC繞點(diǎn)C順時針旋轉(zhuǎn)90°，再向下平移1個單位
C．△ABC繞點(diǎn)C逆時針旋轉(zhuǎn)90°，再向下平移3個單位
D．△ABC繞點(diǎn)C順時針旋轉(zhuǎn)90°，再向下平移3個單位
【分析】觀察圖形可以看出，Rt△ABC通過變換得到Rt△ODE，應(yīng)先旋轉(zhuǎn)然后平移即可．
【解答】解：根據(jù)圖形可以看出，△ABC繞點(diǎn)C順時針旋轉(zhuǎn)90°，再向下平移3個單位可以得到△ODE．
故選：D．
【點(diǎn)評】本題考查的是坐標(biāo)與圖形變化，旋轉(zhuǎn)和平移的知識，掌握旋轉(zhuǎn)和平移的概念和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
5．（2分）隨著生產(chǎn)技術(shù)的進(jìn)步，某制藥廠生產(chǎn)成本逐年下降．兩年前生產(chǎn)一噸藥的成本是5000元，現(xiàn)在生產(chǎn)一噸藥的成本是4050元．設(shè)生產(chǎn)成本的年平均下降率為x，下面所列方程正確的是（ ）
A．5000（1+x）2＝4050B．4050（1+x）2＝5000
C．5000（1﹣x）2＝4050D．4050（1﹣x）2＝5000
【分析】等量關(guān)系為：2年前的生產(chǎn)成本×（1﹣下降率）2＝現(xiàn)在的生產(chǎn)成本，把相關(guān)數(shù)值代入計算即可．
【解答】解：設(shè)這種藥品成本的年平均下降率是x，根據(jù)題意得：
5000（1﹣x）2＝4050，
故選：C．
【點(diǎn)評】此題考查了由實際問題抽象出一元二次方程，平均增長率問題，一般形式為a（1+x）2＝b，a為起始時間的有關(guān)數(shù)量，b為終止時間的有關(guān)數(shù)量．
6．（2分）A（﹣1，y1），B（1，y2），C（4，y3）三點(diǎn)都在二次函數(shù)y＝a（x﹣3）2+k（a＜0）的圖象上，則y1，y2，y3的大小關(guān)系為（ ）
A．y1＜y2＜y3B．y1＜y3＜y2C．y3＜y1＜y2D．y3＜y2＜y1
【分析】先求得拋物線開口向下，對稱軸是直線x＝3，從而根據(jù)拋物線上的點(diǎn)到對稱軸的距離可以判斷函數(shù)值的大小關(guān)系．
【解答】解：∵二次函數(shù)y＝a（x﹣3）2+k（a＜0），
∴圖象開口向下，對稱軸為直線x＝3，
∴當(dāng)x＜3時，y隨x的增大而增大，當(dāng)x＞3時，y隨x的增大而減小，
∵A（﹣1，y1），B（1，y2），C（4，y3）三點(diǎn)都在二次函數(shù)y＝a（x﹣3）2+k（a＜0）的圖象上，
∴A（﹣1，y1）到對稱軸的距離最遠(yuǎn)，點(diǎn)C（4，y3）到對稱軸的距離最近，
∴y1＜y2＜y3，
故選：A．
【點(diǎn)評】本題考查了二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征和二次函數(shù)的性質(zhì)，能熟記二次函數(shù)的性質(zhì)是解此題的關(guān)鍵．
7．（2分）關(guān)于x的一元二次方程x2+mx+n＝0的兩個實數(shù)根分別為x1＝a，x2＝b（a＜b），則二次函數(shù)y＝x2+mx+n，當(dāng)y＞0時，x的取值范圍是（ ）
A．x＜aB．x＞bC．a(chǎn)＜x＜bD．x＜a或x＞b
【分析】根據(jù)拋物線方程畫出該拋物線的大體圖象，根據(jù)圖象直接回答問題．
【解答】解：∵關(guān)于x的一元二次方程x2+mx+n＝0的兩個實數(shù)根分別為x1＝a，x2＝b（a＜b），
∴二次函數(shù)y＝x2+mx+n與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)分別是（a，0）、（b，0）（a＜b），且拋物線的開口方向向上，
∴該二次函數(shù)的圖象如圖所示：
根據(jù)圖示知，符合條件的x的取值范圍是：x＜a或x＞b；
故選：D．
【點(diǎn)評】本題考查了拋物線與x軸的交點(diǎn)問題．解題時，采用的是“數(shù)形結(jié)合”的數(shù)學(xué)思想．
8．（2分）如圖，二次函數(shù)y＝ax2+bx+c的圖象經(jīng)過點(diǎn)A（﹣1，0），點(diǎn)B（3，0），交y軸于點(diǎn)C，給出下列結(jié)論：①a：b：c＝﹣1：2：3；②若0＜x＜4，則5a＜y＜﹣3a；③對于任意實數(shù)m，一定有am2+bm+a≤0；④一元二次方程cx2+bx+a＝0的兩根為﹣1和，其中正確的結(jié)論是（ ）
A．①②③④B．①③C．①③④D．②③④
【分析】利用交點(diǎn)式寫出拋物線解析式為y＝ax2﹣2ax﹣3a，則可對①進(jìn)行判斷；配成頂點(diǎn)式得y＝a（x﹣1）2﹣4a，計算x＝4時，y＝a?5?1＝5a，則根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)可對②進(jìn)行判斷；根據(jù)頂點(diǎn)式，拋物線向下平移﹣4a個單位，解析式為：y′＝ax2+bx+c+4a＝ax2+bx﹣3a+4a＝ax2+bx+a≤0，可對③進(jìn)行判斷；由于b＝﹣2a，c＝﹣3a，則方程cx2+bx+a＝0化為﹣3ax2﹣2ax+a＝0，然后解方程可對④進(jìn)行判斷．
【解答】解：∵二次函數(shù)y＝ax2+bx+c的圖象經(jīng)過點(diǎn)A（﹣1，0），點(diǎn)B（3，0），
∴拋物線解析式為y＝a（x+1）（x﹣3），即y＝ax2﹣2ax﹣3a，
∴b＝﹣2a，c＝﹣3a，
∴a：b：c＝﹣1：2：3，故①正確；
當(dāng)x＝4時，y＝a（x+1）（x﹣3）＝a?5?1＝5a，y＝ax2﹣2ax﹣3a＝a[（x﹣1）2﹣4]＝a（x﹣1）2﹣4a，
∴當(dāng)0＜x＜4時，則5a＜y≤﹣4a，所以②錯誤；
∵y＝ax2﹣2ax﹣3a＝a[（x﹣1）2﹣4]＝a（x﹣1）2﹣4a，
∴頂點(diǎn)坐標(biāo)為（1，﹣4a），
∵拋物線開口向下，c＝﹣3a，
∴拋物線向下平移﹣4a個單位，則拋物線頂點(diǎn)為（1，0），
∴平移后的解析式為：y′＝ax2+bx+c+4a＝ax2+bx﹣3a+4a＝ax2+bx+a≤0，故③正確；
∵b＝﹣2a，c＝﹣3a，
∴方程cx2+bx+a＝0化為﹣3ax2﹣2ax+a＝0，
整理得3x2+2x﹣1＝0，解得x1＝﹣1，x2＝，所以④正確．
故選：C．
【點(diǎn)評】本題考查了拋物線與x軸的交點(diǎn)：把求二次函數(shù)y＝ax2+bx+c（a，b，c是常數(shù)，a≠0）與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)問題轉(zhuǎn)化為解關(guān)于x的一元二次方程．也考查了二次函數(shù)的性質(zhì)．
二、填空題（共16分，每題2分）
9．（2分）在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)（﹣3，4）關(guān)于原點(diǎn)對稱的點(diǎn)的坐標(biāo)是 （3，﹣4） ．
【分析】根據(jù)關(guān)于原點(diǎn)對稱的點(diǎn)，橫坐標(biāo)與縱坐標(biāo)都互為相反數(shù)解答．
【解答】解：點(diǎn)（﹣3，4）關(guān)于原點(diǎn)對稱的點(diǎn)的坐標(biāo)是（3，﹣4）．
故答案為：（3，﹣4）．
【點(diǎn)評】本題考查了關(guān)于原點(diǎn)對稱的點(diǎn)的坐標(biāo)，解決本題的關(guān)鍵是掌握好對稱點(diǎn)的坐標(biāo)規(guī)律：關(guān)于原點(diǎn)對稱的點(diǎn)，橫坐標(biāo)與縱坐標(biāo)都互為相反數(shù)．
10．（2分）將二次函數(shù)y＝2x2﹣4x+5化為y＝a（x﹣h）2+k的形式，則y＝ 2（x﹣1）2+3 ．
【分析】直接利用配方法整理即可解答．
【解答】解：y＝2x2﹣4x+5
＝2（x2﹣2x）+5
＝2（x2﹣2x+1）+5﹣2
＝2（x﹣1）2+3
故答案為：2（x﹣1）2+3．
【點(diǎn)評】本題主要考查了將二次函數(shù)的一般式轉(zhuǎn)為頂點(diǎn)式，熟練掌握配方法是解題的關(guān)鍵．
11．（2分）若關(guān)于x的方程x2+3x+a＝0的一個根為，則方程的另一根為 ﹣ ．
【分析】設(shè)方程的另一個根為x2，根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系得出﹣+x2＝﹣3，解之可得答案．
【解答】解：設(shè)方程的另一個根為x2，
根據(jù)題意，得：﹣+x2＝﹣3，
解得：x2＝﹣，
即方程的另一根為﹣．
故答案為：﹣．
【點(diǎn)評】本題主要考查根與系數(shù)的關(guān)系，解題的關(guān)鍵是掌握x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的兩根時，x1+x2＝﹣，x1x2＝．
12．（2分）如圖，在△ABC中，∠BAC＝108°，將△ABC繞點(diǎn)A按逆時針方向旋轉(zhuǎn)得到△AB′C′．若點(diǎn)B′恰好落在BC邊上，且AB′＝CB′，則∠C′的度數(shù)為 24° ．
【分析】由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得∠C＝∠C'，AB＝AB'，由等腰三角形的性質(zhì)可得∠C＝∠CAB'，∠B＝∠AB'B，由三角形的外角性質(zhì)和三角形內(nèi)角和定理可求解．
【解答】解：∵AB'＝CB'，
∴∠C＝∠CAB'，
∴∠AB'B＝∠C+∠CAB'＝2∠C，
∵將△ABC繞點(diǎn)A按逆時針方向旋轉(zhuǎn)得到△AB'C'，
∴∠C＝∠C'，AB＝AB'，
∴∠B＝∠AB'B＝2∠C，
∵∠B+∠C+∠CAB＝180°，
∴3∠C＝180°﹣108°，
∴∠C＝24°，
∴∠C'＝∠C＝24°，
故答案為：24°．
【點(diǎn)評】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，靈活運(yùn)用這些的性質(zhì)解決問題是本題的關(guān)鍵．
13．（2分）若關(guān)于x的一元二次方程x2﹣6x+k＝7有兩個不相等的實數(shù)根，則符合條件的非負(fù)整數(shù)k的個數(shù)為 16 ．
【分析】根據(jù)題意可得根的判別式Δ＞0，列出不等式，求出k的取值范圍，在此取值范圍內(nèi)找出符合條件的k的非負(fù)整數(shù)值即可．
【解答】解：∵關(guān)于x的一元二次方程x2﹣6x+k＝7有兩個不相等的實數(shù)根，
∴Δ＝（﹣6）2﹣4（k﹣7）＞0，
∴k＜16，
∴符合條件的非負(fù)整數(shù)k的個數(shù)為16個．
故答案為：16．
【點(diǎn)評】本題考查的是根的判別式，熟知一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根與Δ＝b2﹣4ac有如下關(guān)系：當(dāng)Δ＞0時，方程有兩個不相等的實數(shù)根；當(dāng)Δ＝0時，方程有兩個相等的實數(shù)根是解答此題的關(guān)鍵．
14．（2分）如圖，⊙O的半徑為2，C1是函數(shù)的的圖象，C2是函數(shù)的的圖象，C3是函數(shù)的y＝x的圖象，則陰影部分的面積是 ．
【分析】根據(jù)拋物線和圓的性質(zhì)可以知道，圖中陰影部分的面積就等于圓心角為120°，半徑為2的扇形的面積，然后用扇形面積公式可以求出陰影部分的面積．
【解答】解：拋物線y＝x2與拋物線y＝﹣x2的圖形關(guān)于x軸對稱，直線y＝x與x軸的正半軸的夾角為45°，根據(jù)圖形的對稱性，把左邊陰影部分的面積對折到右邊，可以得到陰影部分就是一個扇形，并且扇形的圓心角為135°，半徑為2，所以：
S陰影＝＝π．
故答案為：π．
【點(diǎn)評】本題考查的是二次函數(shù)的綜合題，題目中的兩條拋物線關(guān)于x軸對稱，圓也是一個對稱圖形，可以得到圖中陰影部分的面積等于圓心角為135°，半徑為2的扇形的面積，用扇形面積公式計算可以求出陰影部分的面積．
15．（2分）如圖，點(diǎn)A在x軸上，OA＝4，將線段OA繞點(diǎn)O順時針旋轉(zhuǎn)120度至OB的位置，則經(jīng)過A、O、B三點(diǎn)的拋物線的解析式為 y＝﹣x2+x ．
【分析】根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，可得OB＝OA＝4，∠BOC＝120°，根據(jù)直角三角形的性質(zhì)，可得BC，OC的長，根據(jù)拋物線與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)，可得拋物線的解析式，根據(jù)待定系數(shù)法，可得答案．
【解答】解：如圖，過B點(diǎn)作BC⊥x軸，垂足為C，則∠BCO＝90°，
∵∠AOB＝120°，
∴∠BOC＝60°，
又∵OA＝OB＝4，
∴OC＝OB＝×4＝2，BC＝OB?sin60°＝4×＝2，
∴點(diǎn)B的坐標(biāo)為（﹣2，﹣2）；
∵拋物線過原點(diǎn)O和點(diǎn)A、B，
∴可設(shè)拋物線解析式為y＝ax（x﹣4），
將B（﹣2．﹣2）代入得：﹣2＝12a，
解得a＝﹣，
∴此拋物線的解析式為y＝﹣x（x﹣4）＝﹣x2+x．
故答案為：y＝﹣x2+x．
【點(diǎn)評】此題考查了二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征、旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，解直角三角形，利用待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，關(guān)鍵是求得點(diǎn)B的坐標(biāo)．
16．（2分）距離地面有一定高度的某發(fā)射裝置豎直向上發(fā)射物體，物體離地面的高度h（米）與物體運(yùn)動的時間t（秒）之間滿足函數(shù)關(guān)系h＝﹣5t2+mt+n，其圖象如圖所示，物體運(yùn)動的最高點(diǎn)離地面20米，物體從發(fā)射到落地的運(yùn)動時間為3秒．設(shè)w表示0秒到t秒時h的值的“極差”（即0秒到t秒時h的最大值與最小值的差），則當(dāng)0≤t≤1時，w的取值范圍是 0≤w≤5 ；當(dāng)2≤t≤3時，w的取值范圍是 5≤w≤20 ．
【分析】利用待定系數(shù)法求得拋物線的解析式，再利用配方法求得拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)，結(jié)合函數(shù)圖象即可求解．
【解答】解：∵物體運(yùn)動的最高點(diǎn)離地面20米，物體從發(fā)射到落地的運(yùn)動時間為3秒，
∴拋物線h＝﹣5t2+mt+n的頂點(diǎn)的縱坐標(biāo)為20，且經(jīng)過（3，0）點(diǎn)，
∴，
解得：，（不合題意，舍去），
∴拋物線的解析式為h＝﹣5t2+10t+15，
∵h(yuǎn)＝﹣5t2+10t+15＝﹣5（t﹣1）2+20，
∴拋物線的最高點(diǎn)的坐標(biāo)為（1，20）．
∵20﹣15＝5，
∴當(dāng)0≤t≤1時，w的取值范圍是：0≤w≤5；
當(dāng)t＝2時，h＝15，當(dāng)t＝3時，h＝0，
∵20﹣15＝5，20﹣0＝20，
∴當(dāng)2≤t≤3時，w的取值范圍是：5≤w≤20．
故答案為：0≤w≤5；5≤w≤20．
【點(diǎn)評】本題主要考查了二次函數(shù)的應(yīng)用，待定系數(shù)法確定函數(shù)的解析式，二次函數(shù)的性質(zhì)，理解“極差”的意義是解題的關(guān)鍵．
三、解答題（共68分，第17題8分，18題4分，19-24題，每題5分，第25-26題，每題6分，第27-28題，每題7分）
17．（8分）解下列方程：
（1）4（x﹣1）2﹣9＝0；
（2）3x2﹣9x＝12．
【分析】（1）式子變形后，用直接開平方法解答即可；
（2）根據(jù)立方根的定義解答即可．
【解答】解：（1）4（x﹣1）2﹣9＝0，
4（x﹣1）2＝9，
（x﹣1）2＝，
x﹣1＝，
x＝1，
x1＝，x2＝；
（2）3x2﹣9x＝12，
3x2﹣9x﹣12＝0，
x2﹣3x﹣4＝0，
（x+1）（x﹣4）＝0，
x+1＝0或x﹣4＝0，
x1＝﹣1，x2＝4．
【點(diǎn)評】本題考查了一元二次方程的解法，常用的方法有直接開平方法、配方法、因式分解法、求根公式法，熟練掌握各種方法是解答本題的關(guān)鍵．
18．（4分）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)B（3，4），BA⊥x軸于A．
（1）畫出將△OAB繞原點(diǎn)O逆時針旋轉(zhuǎn)90°后所得的△OA1B1，并寫出點(diǎn)B1的坐標(biāo)為 （﹣4，3） ；
（2）在（1）的條件下，OB上一點(diǎn)P（2，a），旋轉(zhuǎn)后的對應(yīng)點(diǎn)P1坐標(biāo)為 （﹣a，2） ，連接PP1，則線段PP1的長度為 ．
【分析】（1）根據(jù)旋轉(zhuǎn)變換的性質(zhì)找出對應(yīng)點(diǎn)即可求解；
（2）根據(jù)平行線分線段成比例定理即可求解．
【解答】解：（1）如圖所示，△OA1B1，即為所求，B1（﹣4，3），
故答案為：（﹣4，3）；
（2）∵點(diǎn)P1的坐標(biāo)是由點(diǎn)P（2，a）通過繞原點(diǎn)逆時針旋轉(zhuǎn)90°所得，
∴P1（﹣a，2）；
由圖形可知，PQ∥AB，
∴，
由旋轉(zhuǎn)可知，PP1∥BB1，
∴，
∵，
∴PP1＝，
故答案為：（﹣a，2）；．
【點(diǎn)評】本題考查了作圖﹣旋轉(zhuǎn)變換，熟記旋轉(zhuǎn)變換的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
19．（5分）已知將拋物線y＝（x﹣4）2﹣1向左平移n（n＞0）個單位后得到的新拋物線y＝ax2+bx+c經(jīng)過點(diǎn)（0，3）．
（1）求平移后的拋物線y＝ax2+bx+c的解析式；
（2）利用以上信息圖象解答問題：若關(guān)于x的一元二次方程ax2+bx+c﹣t＝0在0＜x＜5的范圍內(nèi)有兩個實數(shù)解，則t的取值范圍是 ﹣1＜t＜3 ．
【分析】（1）按照平移規(guī)律求出拋物線解析式，再把（0，3）代入解析式求出n即可；
（2）分兩種情況畫出函數(shù)圖象，把方程ax2+bx+c﹣t＝0的解轉(zhuǎn)化為拋物線y＝ax2+bx+c與直線y＝t的交點(diǎn)，結(jié)合圖象求t的取值范圍．
【解答】解：（1）將拋物線y＝（x﹣4）2﹣1向左平移n（n＞0）個單位后得到的新拋物線為y＝（x﹣4+n）2﹣1，
∵新拋物線經(jīng)過點(diǎn)（0，3），
∴3＝（﹣4+n）2﹣1，
解得n＝6或n＝2，
當(dāng)n＝6時，y＝（x+2）2﹣1＝x2+4x+3；
當(dāng)n＝2時，y＝（x﹣2）2﹣1＝x2﹣4x+3；
∴平移后的拋物線y＝ax2+bx+c的解析式為y＝x2+4x+3或y＝x2﹣4x+3；
（2）當(dāng)y＝x2﹣4x+3時，如圖所示：
有圖象得，關(guān)于x的一元二次方程x2+4x+3﹣t＝0在0＜x＜5的范圍內(nèi)有兩個實數(shù)解，則t的取值范圍是﹣1＜t＜3；
當(dāng)y＝x2+4x+3時，如圖所示：
從圖象可得，關(guān)于x的一元二次方程x2﹣4x+3﹣t＝0在0＜x＜5的范圍內(nèi)沒有兩個實數(shù)解．
綜上所述，t的取值范圍是﹣1＜t＜3．
故答案為：﹣1＜t＜3．
【點(diǎn)評】本題考查二次函數(shù)圖象與幾何變換，直線與拋物線的交點(diǎn)，關(guān)鍵是求出拋物線解析式．
20．（5分）關(guān)于x的方程x2﹣ax+1＝0有兩個相等的實數(shù)根，求代數(shù)式﹣的值．
【分析】根據(jù)當(dāng)Δ＝0時，方程有兩個相等的兩個實數(shù)根求出a，代入計算即可．
【解答】解：Δ＝a2﹣4，
∵方程x2﹣ax+1＝0有兩個相等的實數(shù)根，
∴a2﹣4＝0，
解得，a＝±2，
∵a+2≠0，
∴a≠﹣2，
當(dāng)a＝2時，﹣＝﹣＝．
【點(diǎn)評】本題考查的是一元二次方程根的判別式，求代數(shù)式的值，掌握當(dāng)Δ＝0時，方程有兩個相等的兩個實數(shù)根是解題的關(guān)鍵．
21．（5分）如圖，四邊形ABCD是正方形，點(diǎn)E為ABCD內(nèi)一點(diǎn)，將BE繞點(diǎn)B順時針旋轉(zhuǎn)90°得到BF，連接EF、AE、CF，EF與CB交于點(diǎn)G．
（1）求證：AE＝CF；
（2）若∠ABE＝55°，求∠EGC的大小．
【分析】（1）根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，可得BE與BF的關(guān)系，根據(jù)余角的性質(zhì)，可得∠ABE與∠CBF的關(guān)系，根據(jù)全等三角形的判定與性質(zhì)，可得答案；
（2）根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，可得BE與BF的關(guān)系，根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)，可得∠BEG根據(jù)三角形外角的性質(zhì)，可得答案．
【解答】（1）證明：∵四邊形ABCD是正方形，
∴AB＝BC，∠ABC＝90°．
∵BE繞點(diǎn)B順時針旋轉(zhuǎn)90°得到BF，
∴BE＝BF，∠EBF＝90°．
∵∠ABE+∠EBG＝90°，∠CBF+∠EBG＝90°，
∴∠ABE＝∠CBF．
在△ABE和△CBF中，
，
∴△ABE≌△CBF （SAS），
∴AE＝CF；
（2）解：∵四邊形ABCD是正方形，
∴∠ABC＝90°．
∵∠ABE＝55°，
∴∠EBG＝90°﹣55°＝35°
∵BE繞點(diǎn)B順時針旋轉(zhuǎn)90°得到BF，
∴BE＝BF，∠EBF＝90°，
∴∠BEG＝∠BFG＝45°．
∵∠EGC是△BEG的外角，
∴∠EGC＝∠EBG+∠BEG＝35°+45°＝80°．
【點(diǎn)評】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，（1）利用余角的性質(zhì)得出∠ABE＝∠CBF是解題關(guān)鍵；（2）利用三角形外角的性質(zhì)是解題關(guān)鍵．
22．（5分）如圖，已知二次函數(shù)y＝x2+bx+c圖象經(jīng)過點(diǎn)A（1，﹣2）和B（0，﹣5）．
（1）求該二次函數(shù)的表達(dá)式；
（2）當(dāng)y≤﹣2時，請根據(jù)圖象直接寫出x的取值范圍．
【分析】（1）把A（1，﹣2）和B（0，﹣5）代入y＝x2+bx+c，建立方程組求解解析式即可；
（2）求出A關(guān)于對稱軸的對稱點(diǎn)坐標(biāo)，由圖象直接可得答案．
【解答】解：（1）∵二次函數(shù)y＝x2+bx+c圖象經(jīng)過點(diǎn)A（1，﹣2）和B（0，﹣5）．
∴，
解得：，
∴拋物線解析式為y＝x2+2x﹣5；
（2）如圖：
∵點(diǎn)A（1，﹣2）關(guān)于對稱軸直線x＝﹣1的對稱點(diǎn)C（﹣3，﹣2），
∴當(dāng)y≤﹣2時，x的范圍是﹣3≤x≤1．
【點(diǎn)評】本題考查的是利用待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式，利用圖象法解不等式，熟練的運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的方法解題是關(guān)鍵．
23．（5分）學(xué)校計劃利用一片空地建一個長方形電動車車棚，其中一面靠墻，墻的長度為8米，在與墻平行的一面開一個2米寬的門．已知現(xiàn)有的木板材料可新建的總長為26米，且全部用于除墻外其余三面外墻的修建．
（1）長方形車棚與墻垂直的一面至少為 10 米；
（2）為了方便學(xué)生通行，施工單位決定在車棚內(nèi)修建幾條等寬的小路（如圖中陰影），若車棚與墻垂直的一面長按（1）中的最小長度，則停放電動車的區(qū)域面積能否達(dá)到66.5平方米，若能，此時小路的寬度是多少米？若不能，請說明理由．
【分析】（1）設(shè)與墻垂直的一面為x米，另一面則為（26﹣2x+2）米，然后利用這堵墻的長度為不超過8米，列出不等式求解即可；
（2）設(shè)小路的寬為a米，兩邊的長分別為（8﹣2a）米，（10﹣a）米，列出方程求解即可求解．
【解答】解：（1）設(shè)與墻垂直的一面為x米，另一面則為（26﹣2x+2）米，
根據(jù)題意得：26﹣2x+2≤8．
解得：x≥10，
答：長方形車棚與墻垂直的一面至少10米；
故答案為：10．
（2）設(shè)小路的寬為a米，根據(jù)題意得，
（8﹣2a）（10﹣a）＝66.5，
整理得：4a2﹣56a+27＝0，
解得：（舍去），，
答：小路的寬為米．
【點(diǎn)評】本題考查了一元一次不等式的應(yīng)用，一元二次方程的應(yīng)用，找出不等關(guān)系式和等量關(guān)系式是解題的關(guān)鍵．
24．（5分）如圖，在△ABC中，AB＝6，AC＝10，BC邊上的中線AD＝4．
（1）以點(diǎn)D為對稱中心，作出△ABD的中心對稱圖形；
（2）求△ABC的面積的值．
【分析】（1）延長AD至點(diǎn)M，使DM＝AD，連接CM，由中心對稱的性質(zhì)可知，△MCD即為所求．
（2）由中心對稱的性質(zhì)可得S△ABD＝S△MCD，CM＝AB＝6，DM＝AD＝4，進(jìn)而可得S△ABC＝S△ACM，∠AMC＝90°，利用三角形的面積公式求出△ACM的面積，即可得出答案．
【解答】解：（1）如圖，延長AD至點(diǎn)M，使DM＝AD，連接CM，
則△MCD即為所求．
（2）∵△ABD與△MCD關(guān)于點(diǎn)D成中心對稱，
∴△ABD≌△MCD，
∴S△ABD＝S△MCD，CM＝AB＝6，DM＝AD＝4，
∴S△ABC＝S△ABD+S△ACD＝S△MCD+S△ACD＝S△ACM，
在△ACM中，AM＝8，CM＝6，AC＝10，
即AC2＝AM2+CM2，
∴∠AMC＝90°，
∴S△ACM＝＝＝24，
∴△ABC的面積為24．
【點(diǎn)評】本題考查中心對稱、全等三角形的判定與性質(zhì)，熟練掌握中心對稱的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)是解答本題的關(guān)鍵．
25．（6分）我們常見的炒菜鍋和鍋蓋都是拋物線面，經(jīng)過鍋心和蓋心的縱斷面是兩段拋物線組合而成封閉圖形，不妨簡稱為“鍋線”，鍋口直徑為6dm，鍋深3dm，鍋蓋高1dm（鍋口直徑與鍋蓋直徑視為相同），建立直角坐標(biāo)系如圖①所示，如果把鍋縱斷面的拋物線記為C1，把鍋蓋縱斷面的拋物線記為C2．
（1）求C1和C2的解析式；
（2）如果炒菜時鍋的水位高度是1dm，求此時水面的直徑；
（3）如果將一個底面直徑為3dm，高度為3.2dm的圓柱形器皿放入炒菜鍋內(nèi)蒸食物，鍋蓋能否正常蓋上？請說明理由．
【分析】（1）已知A、B、C、D四點(diǎn)坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法即可確定兩函數(shù)的解析式；
（2）炒菜鍋里的水位高度為1dm即y＝﹣2，列方程求得x的值，即可得答案；
（3）底面直徑為3dm、高度為3dm圓柱形器皿能否放入鍋內(nèi)，需判斷當(dāng)x＝時，C1和C2中的y值的差與3比較大小，從而可得答案．
【解答】解：（1）由于拋物線C1、C2都過點(diǎn)A（﹣3，0）、B（3，0），可設(shè)它們的解析式為：y＝a（x﹣3）（x+3）；
拋物線C1還經(jīng)過D（0，﹣3），
則有：﹣3＝a（0﹣3）（0+3），解得：a＝，
即：拋物線C1：y＝x2﹣3（﹣3≤x≤3）；
拋物線C2還經(jīng)過C（0，1），
則有：1＝a（0﹣3）（0+3），解得：a＝﹣，
即：拋物線C2：y＝﹣x2+1（﹣3≤x≤3）．
（2）當(dāng)炒菜鍋里的水位高度為1dm時，y＝﹣2，即x2﹣3＝﹣2，
解得：x＝±，
∴此時水面的直徑為2dm．
（3）鍋蓋不能正常蓋上，理由如下：
當(dāng)x＝時，拋物線C1：y＝×（）2﹣3＝﹣，拋物線C2：y＝﹣×（）2+1＝，
而﹣（﹣）＝3，
∴鍋蓋不能正常蓋上．
【點(diǎn)評】本題主要考查待定系數(shù)求函數(shù)解析式與二次函數(shù)的實際應(yīng)用，解題的關(guān)鍵在于將實際問題轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)問題求解．
26．（6分）已知A（n，0），B（2，﹣3）兩點(diǎn)在一次函數(shù)y1＝﹣x+m與二次函數(shù)的圖象上．
（1）求m的值和二次函數(shù)的解析式；
（2）請直接寫出使y1＞y2時，自變量x的取值范圍為 ﹣1＜x＜2 ；
（3）直接寫出所求的拋物線關(guān)于x軸對稱的拋物線的解析式為 y＝﹣x2+2x+3 ．
【分析】（1）將點(diǎn)B的坐標(biāo)代入一次函數(shù)解析式y(tǒng)1＝﹣x+m中，可求出m的值，進(jìn)而可求出n的值，再利用待定系數(shù)法求出二次函數(shù)的解析式；
（2）根據(jù)圖象和兩函數(shù)的交點(diǎn)可寫出使y1＞y2時，自變量x的取值范圍；
（3）根據(jù)兩拋物線對稱時頂點(diǎn)和開口間的關(guān)系，可寫出關(guān)于x軸對稱的拋物線的解析式．
【解答】解：（1）∵B（2，﹣3）在一次函數(shù)y1＝﹣x+m的圖象上，
∴﹣3＝﹣2+m，
解得m＝﹣1，
∴y1＝﹣x﹣1，
∵A（n，0）在一次函數(shù)y1＝﹣x﹣1的圖象上，
∴0＝﹣n﹣1，
解得n＝﹣1，
∴點(diǎn)A的坐標(biāo)為（﹣1，0），
∵已知A（﹣1，0），B（2，﹣3）兩點(diǎn)在二次函數(shù)的圖象上．
∴，
解得，
∴二次函數(shù)的解析式為y2＝x2﹣2x﹣3；
（2）畫出圖象如下：
由圖象可知使y1＞y2時，自變量x的取值范圍為﹣1＜x＜2，
故答案為：﹣1＜x＜2；
（3）∵y2＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4，
∴其頂點(diǎn)坐標(biāo)為（1，﹣4），
∴拋物線y2＝x2﹣2x﹣3關(guān)于x軸對稱的拋物線的頂點(diǎn)為（1，4），
∴拋物線y2＝x2﹣2x﹣3關(guān)于x軸對稱的拋物線的解析式為：y＝﹣（x﹣1）2+4＝﹣x2+2x+3，
故答案為：y＝﹣x2+2x+3．
【點(diǎn)評】本題考查待定系數(shù)法求一次函數(shù)和二次函數(shù)解析式，利用圖象比較函數(shù)值的大小，關(guān)于x軸對稱的拋物線解析式的確定，掌握待定系數(shù)法，以及合理利用數(shù)形結(jié)合思想是解題的關(guān)鍵．
27．（7分）問題背景：（1）如圖1，△ACB和△CEF都是等腰直角三角形，點(diǎn)E在AB上，連BF，求證：BF⊥AB；
遷移運(yùn)用：（2）如圖2，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，點(diǎn)P在△ABC外，PA＝2，PB＝6，∠BPA＝60°，求PC的長；
拓展提升：（3）如圖3，在等腰Rt△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝90°，點(diǎn)E、F在△ABC外，∠ECF＝135°，BE∥AF，直接寫出線段BE、AF、EF之間的關(guān)系．
【分析】（1）由“SAS”可證△ACE≌△BCF，可得∠CAE＝∠CBF＝45°，可得結(jié)論；
（2）由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得∠PAH＝120°，PB＝CH＝6，∠BPA＝∠AHC＝60°，PA＝AH＝2，由勾股定理可求解；
（3）由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得AH＝BE，CE＝CH，∠CBE＝∠CAH，∠ACH＝∠BCE，可求∠FAH＝90°，由“SAS”可證△FCH≌△FCE，可得EF＝FH，由勾股定理可求解．
【解答】（1）證明：∵△ACB和△CEF都是等腰直角三角形，
∴AC＝BC，CE＝CF，∠ACB＝∠ECF＝90°，∠CAB＝∠CBA＝45°，
∴∠ACE＝∠BCF，
∴△ACE≌△BCF（SAS），
∴∠CAE＝∠CBF＝45°，
∴∠ABF＝90°，
∴BF⊥AB；
（2）解：如圖2，將△ABP繞點(diǎn)A逆時針旋轉(zhuǎn)120°得到△ACH，連接PH，過點(diǎn)A作AE⊥PH于E，
∵將△ABP繞點(diǎn)A逆時針旋轉(zhuǎn)120°得到△ACH，
∴△ABP≌△ACH，∠PAH＝120°，
∴PB＝CH＝6，∠BPA＝∠AHC＝60°，PA＝AH＝2，
∴∠APH+∠AHP＝30°，
∵AE⊥PH，
∴AE＝PA＝1，PE＝EH＝AE＝，
∴PH＝2，
∵∠PHA+∠AHC＝90°，
∴PC＝＝＝4；
（3）如圖3，將△CEB繞點(diǎn)C順時針旋轉(zhuǎn)90°，得到△CHA，連接FH，
∵AC＝BC，∠ACB＝90°，
∴∠ABC＝∠CAB＝45°，
∵BE∥AF，
∴∠FAB+∠ABE＝180°，
∴∠FAC+∠CBE＝90°，
∵將△CEB繞點(diǎn)C順時針旋轉(zhuǎn)90°，得到△CHA，
∴△CBE≌△CAH，
∴AH＝BE，CE＝CH，∠CBE＝∠CAH，∠ACH＝∠BCE，
∴∠FAH＝∠FAC+∠CAH＝90°，
∴FH2＝FA2+AH2＝FA2+BE2，
∵∠ECF＝135°，∠ACB＝90°，
∴∠ACF+∠BCE＝135°，
∴∠ACF+∠ACH＝135°＝∠FCH，
∴∠FCH＝∠FCE，
又∵FC＝FC，CE＝CH，
∴△FCH≌△FCE（SAS），
∴EF＝FH，
∴EF2＝FA2+BE2．
【點(diǎn)評】本題是三角形綜合題，考查了等腰直角三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，勾股定理等知識，利用旋轉(zhuǎn)構(gòu)造全等三角形是解題的關(guān)鍵．
28．（7分）我們規(guī)定，以二次函數(shù)y＝ax2+bx+c的二次項系數(shù)a的2倍為一次項系數(shù)，一次項系數(shù)b為常數(shù)項構(gòu)造的一次函數(shù)y＝2ax+b叫做二次函數(shù)y＝ax2+bx+c的“子函數(shù)”，反過來，二次函數(shù)y＝ax2+bx+c叫做一次函數(shù)y＝2ax+b的“母函數(shù)”．
（1）若一次函數(shù)y＝2x﹣4是二次函數(shù)y＝ax2+bx+c的“子函數(shù)”，且二次函數(shù)經(jīng)過點(diǎn)（3，0），求此二次函數(shù)的解析式及頂點(diǎn)坐標(biāo)．
（2）若“子函數(shù)”y＝x﹣6的“母函數(shù)”的最小值為1，求“母函數(shù)”的函數(shù)表達(dá)式．
（3）已知二次函數(shù)y＝﹣x2﹣4x+8的“子函數(shù)”圖象直線l與x軸、y軸交于C、D兩點(diǎn)，P點(diǎn)在直線l上方的拋物線上，求△PCD的面積的最大值．
【分析】（1）由題意得：a＝1，b＝﹣4，故拋物線的表達(dá)式為：y＝x2﹣4x+c，將點(diǎn)C的坐標(biāo)代入得：c＝3，即可求解；
（2）“子函數(shù)”y＝x﹣6的“母函數(shù)”為：y＝x2﹣6x+c，則y＝（x2﹣12x）+x＝（x﹣6）2﹣18+c，故﹣18+c＝1，即可求解；
（3）由S△PCD＝S△PHC﹣S△PHD＝×PH×（xH﹣xC﹣xH+xD），即可求解．
【解答】解：（1）由題意得：a＝1，b＝﹣4，
故拋物線的表達(dá)式為：y＝x2﹣4x+c，將點(diǎn)C的坐標(biāo)代入得：c＝3，
故拋物線的表達(dá)式為：y＝x2﹣4x+3＝（x﹣2）2﹣1，
故拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（2，﹣1）；
（2）“子函數(shù)”y＝x﹣6的“母函數(shù)”為：y＝x2﹣6x+c，
∵y＝（x2﹣12x）+c＝（x﹣6）2﹣18+c，
故﹣18+c＝1，解得：c＝19，
故“母函數(shù)”的表達(dá)式為：y＝x2﹣6x+19；
（3）如圖所示，連接DP，設(shè)點(diǎn)P（m，﹣m2﹣4m+8），過點(diǎn)P作y軸的平行線交CD于點(diǎn)H，
由題意得：直線l的表達(dá)式為：y＝﹣2x﹣4，則點(diǎn)H（m，﹣2m﹣4），
故點(diǎn)C、D的坐標(biāo)分別為（﹣2，0）、（0，﹣4），
∴S△PCD＝S△PHC﹣S△PHD＝×PH×（xH﹣xC﹣xH+xD）＝×（﹣m2﹣4m+8+2m+4）（0+2）＝﹣m2﹣2m+12＝﹣（m+1）2+13，
∵﹣1＜0，∴S△PCD＝有最大值，
當(dāng)m＝﹣1時，其最大值為13．
【點(diǎn)評】本題考查的是二次函數(shù)綜合運(yùn)用，涉及到一次函數(shù)、三角形面積計算，此類閱讀型題目通常按照題設(shè)條件順次求解，難度一般不大．