2022-2023學(xué)年北京市朝陽(yáng)外國(guó)語(yǔ)學(xué)校八年級(jí)（上）期中數(shù)學(xué)試卷【含解析】

這是一份2022-2023學(xué)年北京市朝陽(yáng)外國(guó)語(yǔ)學(xué)校八年級(jí)（上）期中數(shù)學(xué)試卷【含解析】，共28頁(yè)。試卷主要包含了填空題，解答題等內(nèi)容，歡迎下載使用。
1．（3分）第24屆冬季奧林匹克運(yùn)動(dòng)會(huì)，將于2022年02月04日～2022年02月20日在中華人民共和國(guó)北京市和張家口市聯(lián)合舉行．在會(huì)徽的圖案設(shè)計(jì)中，設(shè)計(jì)者常常利用對(duì)稱性進(jìn)行設(shè)計(jì)，下列四個(gè)圖案是歷屆會(huì)徽?qǐng)D案上的一部分圖形，其中不是軸對(duì)稱圖形的是（ ）
A．B．
C．D．
2．（3分）用直角三角板，作△ABC的高，下列作法正確的是（ ）
A．B．
C．D．
3．（3分）空調(diào)安裝在墻上時(shí)，一般都會(huì)采用如圖的方法固定，這種方法應(yīng)用的幾何原理是（ ）
A．兩點(diǎn)確定一條直線B．兩點(diǎn)之間線段最短
C．三角形的穩(wěn)定性D．垂線段最短
4．（3分）下列長(zhǎng)度的三條線段中，能組成三角形的是（ ）
A．3cm，5cm，8cmB．8cm，8cm，18cm
C．3cm，3cm，5cmD．3cm，4cm，8cm
5．（3分）已知圖中的兩個(gè)三角形全等，則∠1等于（ ）
A．50°B．58°C．60°D．72°
6．（3分）如圖，已知AB＝DC，下列條件中，不能判定△ABC≌△DCB的是（ ）
A．AC＝DBB．∠ACB＝∠DBCC．∠ABC＝∠DCBD．∠A＝∠D＝90°
7．（3分）下列運(yùn)算正確的是（ ）
A．a(chǎn)3+a6＝a9B．a(chǎn)6?a2＝a12
C．（a3）2＝a5D．a(chǎn)4?a2+（a3）2＝2a6
8．（3分）如圖的4×4的正方形網(wǎng)格中，有A、B兩點(diǎn)，在直線a上求一點(diǎn)P，使PA+PB最短，則點(diǎn)P應(yīng)選在（ ）
A．C點(diǎn)B．D點(diǎn)C．E點(diǎn)D．F點(diǎn)
9．（3分）小聰在用直尺和圓規(guī)作一個(gè)角等于已知角時(shí)，具體過(guò)程是這樣的：
已知：∠AOB．
求作：∠A′O′B′，使∠A′O′B′＝∠AOB．
作法：（1）如圖，以點(diǎn)O為圓心，任意長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，分別交OA，OB于點(diǎn)C，D；
（2）畫(huà)一條射線O′A′，以點(diǎn)O′為圓心，OC長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，交O′A′于點(diǎn)C′；
（3）以點(diǎn)C'為圓心，CD長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，與第（2）步中所畫(huà)的弧相交于點(diǎn)D′；
（4）過(guò)點(diǎn)D'畫(huà)射線O′B′，則∠A′O′B′＝∠AOB．
小聰作法正確的理由是（ ）
A．由SSS可得△O′C′D′≌△OCD，進(jìn)而可證∠A′O′B′＝∠AOB
B．由SAS可得△O′C′D′≌△OCD，進(jìn)而可證∠A′O′B′＝∠AOB
C．由ASA可得△O′C′D′≌△OCD，進(jìn)而可證∠A′O′B′＝∠AOB
D．由“等邊對(duì)等角”可得∠A′O′B′＝∠AOB
10．（3分）“三等分角”大約是在公元前五世紀(jì)由古希臘人提出來(lái)的，借助如圖所示的“三等分角儀”能三等分任一角．這個(gè)三等分角儀由兩根有槽的棒OA，OB組成，兩根棒在O點(diǎn)相連并可繞O轉(zhuǎn)動(dòng)、C點(diǎn)固定，OC＝CD＝DE，點(diǎn)D、E可在槽中滑動(dòng)．若∠BDE＝75°，則∠CDE的度數(shù)是（ ）
A．60°B．65°C．75°D．80°
二、填空題（每小題3分，共24分）
11．（3分）六邊形是中國(guó)傳統(tǒng)形狀，象征六合、六順之意．比如首飾盒、古建的窗戶、古井的口、佛塔等等．化學(xué)上一些分子結(jié)構(gòu)、物理學(xué)上的螺母，也采用六邊形．正六邊形，從中心向各個(gè)頂點(diǎn)連線是等邊三角形，從工程角度，是最穩(wěn)定和對(duì)稱的．正六邊形外角和為 ．
12．（3分）已知點(diǎn)P（3，﹣2）與點(diǎn)Q關(guān)于x軸對(duì)稱，則Q點(diǎn)的坐標(biāo)為 ．
13．（3分）如圖，在一個(gè)池塘旁有一條筆直小路（B，C為小路端點(diǎn)）和一棵小樹(shù)（A為小樹(shù)位置），測(cè)得的相關(guān)數(shù)據(jù)為：∠ABC＝60°，∠ACB＝60°，BC＝58米，則AC＝ 米．
14．（3分）某地地震過(guò)后，小娜同學(xué)用下面的方法檢測(cè)教室的房梁是否處于水平：在等腰直角三角尺斜邊中點(diǎn)O處拴一條線繩，線繩的另一端掛一個(gè)鉛錘，把這塊三角尺的斜邊貼在房梁上，結(jié)果線繩經(jīng)過(guò)三角尺的直角頂點(diǎn)，由此得出房梁是水平的即掛鉛錘的線繩與房梁直），用到的數(shù)學(xué)原理是 ．
15．（3分）如圖，∠AOE＝∠BOE＝15°，EF∥OB，EC⊥OB，若EC＝2，則EF＝ ．
16．（3分）如圖，△ABC中，AB＝AC，AD平分∠BAC，點(diǎn)E是線段BC延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，連接AE，點(diǎn)C在AE的垂直平分線上，若DE＝12cm，則△ABC的周長(zhǎng)是 ．
17．（3分）已知a＝8131，b＝2741，c＝961，則a、b、c的大小關(guān)系是 ．
18．（3分）如圖，已知四邊形ABCD中，AB＝12厘米，BC＝8厘米，CD＝14厘米，∠B＝∠C，點(diǎn)E為線段AB的中點(diǎn)．如果點(diǎn)P在線段BC上以3厘米/秒的速度由B點(diǎn)向C點(diǎn)運(yùn)動(dòng)，同時(shí)，點(diǎn)Q在線段CD上由C點(diǎn)向D點(diǎn)運(yùn)動(dòng)．當(dāng)點(diǎn)Q的運(yùn)動(dòng)速度為 厘米/秒時(shí)，能夠使△BPE與以C、P、Q三點(diǎn)所構(gòu)成的三角形全等．
三、解答題（共46分）
19．（6分）（1）計(jì)算：（a4）3+a8?a4；
（2）計(jì)算：[（x+y）m+n]2；
（3）已知2x+3y﹣2＝0，求9x?27y的值．
20．（5分）點(diǎn)D為△ABC的邊BC的延長(zhǎng)線上的一點(diǎn)，DF⊥AB于點(diǎn)F，交AC于點(diǎn)E，∠A＝35°，∠D＝40°，求∠ACD的度數(shù)．
21．（5分）已知：如圖，C是線段AB的中點(diǎn)，CD＝CE，∠ACE＝∠BCD．求證：AD＝BE．
22．（6分）如圖，點(diǎn)B、F、C、E在直線l上（F、C之間不能直接測(cè)量），點(diǎn)A、D在l異側(cè)，測(cè)得AB＝DE，AB∥DE，∠A＝∠D．
（1）求證：△ABC≌△DEF；
（2）若BE＝10m，BF＝3m，求FC的長(zhǎng)度．
23．（5分）如圖，已知A（﹣2，3），B（﹣3，1），C（1，﹣2）．
（1）請(qǐng)畫(huà)出△ABC關(guān)于y軸對(duì)稱的△A'B'C'；（其中A'、B'、C'分別是A，B，C的對(duì)應(yīng)點(diǎn)，不寫(xiě)畫(huà)法）
（2）A'、B'、C'的坐標(biāo)分別為 ；
（3）△ABC的面積是 ．
24．（5分）如圖，在△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠CAB，DE⊥AB于點(diǎn)E，點(diǎn)F在AC上，BD＝DF．求證：BE＝FC．
25．（7分）已知：如圖1，AB∥CD，請(qǐng)用尺規(guī)作圖法，在射線CD上找一點(diǎn)P，使射線AP平分∠BAC．
小明的作圖方法如下：
①以點(diǎn)A為圓心，適當(dāng)長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，交AB于點(diǎn)M，交AC于點(diǎn)N；
②分別以點(diǎn)M，N為圓心，大于MN的長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，兩弧在∠CAB的內(nèi)部相交于點(diǎn)E；
③畫(huà)射線AE，交射線CD于點(diǎn)P，點(diǎn)P即為所求．
小剛說(shuō)：“我有不同的作法，如圖2所示，只需要以點(diǎn)C為圓心，CA為半徑畫(huà)弧，交射線CD于點(diǎn)P，畫(huà)射線AP，也能夠得到AP平分∠BAC．
請(qǐng)回答：
（1）請(qǐng)補(bǔ)全小明的作圖過(guò)程．小明在作圖的過(guò)程中，構(gòu)造出一組全等三角形，它們是 ≌ ，全等的依據(jù)是 ．因?yàn)槿热切蔚膶?duì)應(yīng)角相等，所以能夠得到∠CAB的角平分線AP；
（2）對(duì)于小剛的作圖方法證明如下：
∵CA＝CP
∴∠CAP＝∠CPA（等邊對(duì)等角）
∵AB∥CD
∴∠BAP＝∠ （ ）
∴∠CAP＝∠BAP
∴射線AP平分∠BAC．
（3）點(diǎn)P到直線AC和AB的距離相等，理由是 ．
26．（7分）課堂上，老師提出了這樣一個(gè)問(wèn)題：
如圖1，在△ABC中，AD平分∠BAC交BC于點(diǎn)D，且AB+BD＝AC．
求證：∠ABC＝2∠ACB．
小明的方法是：如圖2，在AC上截取AE，使AE＝AB，連接DE，構(gòu)造全等三角形來(lái)證明結(jié)論．
（1）小天提出，如果把小明的方法叫做“截長(zhǎng)法”，那么還可以用“補(bǔ)短法”通過(guò)延長(zhǎng)線段AB構(gòu)造全等三角形進(jìn)行證明．輔助線的畫(huà)法是：延長(zhǎng)AB至F，使BF＝ ，連接DF．
請(qǐng)補(bǔ)全小天提出的輔助線的畫(huà)法，并在圖1中畫(huà)出相應(yīng)的輔助線；
（2）小蕓通過(guò)探究，將老師所給的問(wèn)題做了進(jìn)一步的拓展，給同學(xué)們提出了如下的問(wèn)題：
如圖3，點(diǎn)D在△ABC的內(nèi)部，AD，BD，CD分別平分∠BAC，∠ABC，∠ACB，且AB+BD＝AC．求證：∠ABC＝2∠ACB．
請(qǐng)你解答小蕓提出的這個(gè)問(wèn)題；
（3）小東將老師所給問(wèn)題中的一個(gè)條件和結(jié)論進(jìn)行交換，得到的命題如下：
如果在△ABC中，∠ABC＝2∠ACB，點(diǎn)D在邊BC上，AB+BD＝AC，那么AD平分∠BAC．
小東判斷這個(gè)命題也是真命題，老師說(shuō)小東的判斷是正確的．請(qǐng)你利用圖4對(duì)這個(gè)命題進(jìn)行證明．
2022-2023學(xué)年北京市朝陽(yáng)外國(guó)語(yǔ)學(xué)校八年級(jí)（上）期中數(shù)學(xué)試卷
參考答案與試題解析
一、選擇題（每小題3分，共30分）第1～10題中，每道小題均有四個(gè)選項(xiàng)，符合題意的選項(xiàng)只有一個(gè)，請(qǐng)將其寫(xiě)在題號(hào)前．
1．（3分）第24屆冬季奧林匹克運(yùn)動(dòng)會(huì)，將于2022年02月04日～2022年02月20日在中華人民共和國(guó)北京市和張家口市聯(lián)合舉行．在會(huì)徽的圖案設(shè)計(jì)中，設(shè)計(jì)者常常利用對(duì)稱性進(jìn)行設(shè)計(jì)，下列四個(gè)圖案是歷屆會(huì)徽?qǐng)D案上的一部分圖形，其中不是軸對(duì)稱圖形的是（ ）
A．B．
C．D．
【分析】根據(jù)如果一個(gè)圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，這個(gè)圖形叫做軸對(duì)稱圖形，這條直線叫做對(duì)稱軸進(jìn)行分析即可．
【解答】解：A、是軸對(duì)稱圖形，故此選項(xiàng)錯(cuò)誤；
B、是軸對(duì)稱圖形，故此選項(xiàng)錯(cuò)誤；
C、是軸對(duì)稱圖形，故此選項(xiàng)錯(cuò)誤；
D、不是軸對(duì)稱圖形，故此選項(xiàng)正確；
故選：D．
【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了利用軸對(duì)稱設(shè)計(jì)圖案，關(guān)鍵是掌握軸對(duì)稱圖形的概念．
2．（3分）用直角三角板，作△ABC的高，下列作法正確的是（ ）
A．B．
C．D．
【分析】根據(jù)高線的定義即可得出結(jié)論．
【解答】解：A、B、C均不是高線．
故選：D．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是作圖﹣基本作圖，熟知三角形高線的定義是解答此題的關(guān)鍵．
3．（3分）空調(diào)安裝在墻上時(shí)，一般都會(huì)采用如圖的方法固定，這種方法應(yīng)用的幾何原理是（ ）
A．兩點(diǎn)確定一條直線B．兩點(diǎn)之間線段最短
C．三角形的穩(wěn)定性D．垂線段最短
【分析】釘在墻上的方法是構(gòu)造三角形支架，因而應(yīng)用了三角形的穩(wěn)定性．
【解答】解：這種方法應(yīng)用的數(shù)學(xué)知識(shí)是：三角形的穩(wěn)定性，
故選：C．
【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了三角形的穩(wěn)定性，正確掌握三角形的這一性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
4．（3分）下列長(zhǎng)度的三條線段中，能組成三角形的是（ ）
A．3cm，5cm，8cmB．8cm，8cm，18cm
C．3cm，3cm，5cmD．3cm，4cm，8cm
【分析】根據(jù)三角形的三邊關(guān)系“任意兩邊之和大于第三邊，任意兩邊之差小于第三邊”，進(jìn)行分析．
【解答】解：A.3+5＝8，不能構(gòu)成三角形，故不符合題意；
B.8+8＝16＜18，不能構(gòu)成三角形，故不符合題意；
C.3+3＝6＞5，能構(gòu)成三角形，故符合題意；
D.3+4＝7＜8，不能構(gòu)成三角形，故不符合題意．
故選：C．
【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了三角形三邊關(guān)系，根據(jù)第三邊的范圍是：大于已知的兩邊的差，而小于兩邊的和是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．
5．（3分）已知圖中的兩個(gè)三角形全等，則∠1等于（ ）
A．50°B．58°C．60°D．72°
【分析】根據(jù)已知數(shù)據(jù)找出對(duì)應(yīng)角，根據(jù)全等得出∠A＝∠D＝50°，∠F＝∠C＝72°，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理求出即可．
【解答】解：
∵△ABC和△DEF全等，AC＝DF＝b，DE＝AB＝a，
∴∠1＝∠B，∠A＝∠D＝50°，∠F＝∠C＝72°，
∴∠1＝180°﹣∠D﹣∠F＝58°，
故選：B．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了三角形內(nèi)角和定理，全等三角形的性質(zhì)的應(yīng)用，能根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得出∠A＝∠D＝50°，∠F＝∠C＝72°是解此題的關(guān)鍵，注意：全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等，對(duì)應(yīng)角相等．
6．（3分）如圖，已知AB＝DC，下列條件中，不能判定△ABC≌△DCB的是（ ）
A．AC＝DBB．∠ACB＝∠DBCC．∠ABC＝∠DCBD．∠A＝∠D＝90°
【分析】從圖中讀取公共邊BC＝CB的條件，結(jié)合每個(gè)選項(xiàng)給出的條件，只要能夠判定兩個(gè)三角形全等的都排除，從而找到不能判定兩個(gè)三角形全等的選項(xiàng)B．
【解答】解：由題知，AB＝DC，BC＝CB，
當(dāng)AC＝DB時(shí)，△ABC≌△DCB（SSS），故選項(xiàng)A能判定兩個(gè)三角形全等，所以不選A；
當(dāng)∠ACB＝∠DBC，不能判定，△ABC≌△DCB，故選B；
當(dāng)∠ABC＝∠DCB，△ABC≌△DCB（SAS），故選項(xiàng)C能判定兩個(gè)三角形全等，所以不選C；
當(dāng)∠A＝∠D＝90°，Rt△ABC≌Rt△DCB（HL），故選項(xiàng)D能判定兩個(gè)三角形全等，所以不選D．
故選：B．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查全等三角形的判定，注意一般三角形的“邊邊角”不能判定兩個(gè)三角形全等，以及直角三角形的“HL”可以判定兩個(gè)三角形全等．
7．（3分）下列運(yùn)算正確的是（ ）
A．a(chǎn)3+a6＝a9B．a(chǎn)6?a2＝a12
C．（a3）2＝a5D．a(chǎn)4?a2+（a3）2＝2a6
【分析】A．應(yīng)用合并同類項(xiàng)法則進(jìn)行計(jì)算即可得出答案；
B．應(yīng)用同底數(shù)冪乘法法則進(jìn)行計(jì)算即可得出答案；
C．應(yīng)用冪的乘方法則進(jìn)行計(jì)算即可得出答案；
D．應(yīng)用冪的乘方與積的乘方，合并同類項(xiàng)及同底數(shù)冪乘法進(jìn)行計(jì)算即可得出答案．
【解答】解：A．因?yàn)閍3與a6不是同類項(xiàng)，故A選項(xiàng)計(jì)算不正確，故A選項(xiàng)不符合題意；
B．因?yàn)閍6?a2＝a6+2＝a8，故B選項(xiàng)計(jì)算不正確，故B選項(xiàng)不符合題意；
C．因?yàn)椋╝3）2＝a3×2＝a6，故C選項(xiàng)計(jì)算不正確，故C選項(xiàng)不符合題意；
D．因?yàn)閍4?a2+（a3）2＝a6+a6＝2a6，故D選項(xiàng)計(jì)算正確，故D選項(xiàng)符合題意．
故選：D．
【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了冪的乘方與積的乘方，合并同類項(xiàng)及同底數(shù)冪乘法，熟練掌握冪的乘方與積的乘方，合并同類項(xiàng)及同底數(shù)冪乘法法則進(jìn)行求解是解決本題的關(guān)鍵．
8．（3分）如圖的4×4的正方形網(wǎng)格中，有A、B兩點(diǎn)，在直線a上求一點(diǎn)P，使PA+PB最短，則點(diǎn)P應(yīng)選在（ ）
A．C點(diǎn)B．D點(diǎn)C．E點(diǎn)D．F點(diǎn)
【分析】首先求得點(diǎn)A關(guān)于直線a的對(duì)稱點(diǎn)A′，連接A′B，即可求得答案．
【解答】解：如圖，點(diǎn)A′是點(diǎn)A關(guān)于直線a的對(duì)稱點(diǎn)，連接A′B，則A′B與直線a的交點(diǎn)，即為點(diǎn)P，此時(shí)PA+PB最短，
∵A′B與直線a交于點(diǎn)C，
∴點(diǎn)P應(yīng)選C點(diǎn)．
故選：A．
【點(diǎn)評(píng)】此題考查了最短路徑問(wèn)題．注意首先作出其中一點(diǎn)關(guān)于直線L的對(duì)稱點(diǎn)，對(duì)稱點(diǎn)與另一點(diǎn)的連線與直線L的交點(diǎn)就是所要找的點(diǎn)．
9．（3分）小聰在用直尺和圓規(guī)作一個(gè)角等于已知角時(shí)，具體過(guò)程是這樣的：
已知：∠AOB．
求作：∠A′O′B′，使∠A′O′B′＝∠AOB．
作法：（1）如圖，以點(diǎn)O為圓心，任意長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，分別交OA，OB于點(diǎn)C，D；
（2）畫(huà)一條射線O′A′，以點(diǎn)O′為圓心，OC長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，交O′A′于點(diǎn)C′；
（3）以點(diǎn)C'為圓心，CD長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，與第（2）步中所畫(huà)的弧相交于點(diǎn)D′；
（4）過(guò)點(diǎn)D'畫(huà)射線O′B′，則∠A′O′B′＝∠AOB．
小聰作法正確的理由是（ ）
A．由SSS可得△O′C′D′≌△OCD，進(jìn)而可證∠A′O′B′＝∠AOB
B．由SAS可得△O′C′D′≌△OCD，進(jìn)而可證∠A′O′B′＝∠AOB
C．由ASA可得△O′C′D′≌△OCD，進(jìn)而可證∠A′O′B′＝∠AOB
D．由“等邊對(duì)等角”可得∠A′O′B′＝∠AOB
【分析】先利用作法得到OD＝OC＝OD′＝OC′，CD＝C′D′，然后根據(jù)全等三角形的判定方法對(duì)各選項(xiàng)進(jìn)行判斷．
【解答】解：由作圖得OD＝OC＝OD′＝OC′，CD＝C′D′，
則根據(jù)“SSS”可判斷△C′O′D′≌△COD．
故選：A．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了作圖﹣基本作圖：基本作圖是在五種基本作圖的基礎(chǔ)上進(jìn)行作圖，一般是結(jié)合了幾何圖形的性質(zhì)和基本作圖方法．也考查了全等三角形的判定．
10．（3分）“三等分角”大約是在公元前五世紀(jì)由古希臘人提出來(lái)的，借助如圖所示的“三等分角儀”能三等分任一角．這個(gè)三等分角儀由兩根有槽的棒OA，OB組成，兩根棒在O點(diǎn)相連并可繞O轉(zhuǎn)動(dòng)、C點(diǎn)固定，OC＝CD＝DE，點(diǎn)D、E可在槽中滑動(dòng)．若∠BDE＝75°，則∠CDE的度數(shù)是（ ）
A．60°B．65°C．75°D．80°
【分析】根據(jù)OC＝CD＝DE，可得∠O＝∠ODC，∠DCE＝∠DEC，根據(jù)三角形的外角性質(zhì)可知∠DCE＝∠O+∠ODC＝2∠ODC，進(jìn)一步根據(jù)三角形的外角性質(zhì)可知∠BDE＝3∠ODC＝75°，即可求出∠ODC的度數(shù)，進(jìn)而求出∠CDE的度數(shù)．
【解答】解：∵OC＝CD＝DE，
∴∠O＝∠ODC，∠DCE＝∠DEC，
∴∠DCE＝∠O+∠ODC＝2∠ODC，
∵∠O+∠OED＝3∠ODC＝∠BDE＝75°，
∴∠ODC＝25°，
∵∠CDE+∠ODC＝180°﹣∠BDE＝105°，
∴∠CDE＝105°﹣∠ODC＝80°．
故選：D．
【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了等腰三角形的性質(zhì)以及三角形的外角性質(zhì)，理清各個(gè)角之間的關(guān)系是解答本題的關(guān)鍵．
二、填空題（每小題3分，共24分）
11．（3分）六邊形是中國(guó)傳統(tǒng)形狀，象征六合、六順之意．比如首飾盒、古建的窗戶、古井的口、佛塔等等．化學(xué)上一些分子結(jié)構(gòu)、物理學(xué)上的螺母，也采用六邊形．正六邊形，從中心向各個(gè)頂點(diǎn)連線是等邊三角形，從工程角度，是最穩(wěn)定和對(duì)稱的．正六邊形外角和為 360° ．
【分析】根據(jù)任何多邊形的外角和是360度即可求出答案．
【解答】解：正六邊形的外角和是360°．
故選：360°．
【點(diǎn)評(píng)】本題正多邊形和圓，考查了多邊形的外角和定理，關(guān)鍵是掌握任何多邊形的外角和是360度，外角和與多邊形的邊數(shù)無(wú)關(guān)．
12．（3分）已知點(diǎn)P（3，﹣2）與點(diǎn)Q關(guān)于x軸對(duì)稱，則Q點(diǎn)的坐標(biāo)為 （3，2） ．
【分析】根據(jù)關(guān)于x軸對(duì)稱的點(diǎn)，橫坐標(biāo)相同，縱坐標(biāo)互為相反數(shù)．
【解答】解：根據(jù)關(guān)于x軸對(duì)稱的點(diǎn)，橫坐標(biāo)相同，縱坐標(biāo)互為相反數(shù)，
∴點(diǎn)P（3，﹣2）關(guān)于x軸對(duì)稱的點(diǎn)Q為（3，2）．
故答案為：（3，2）．
【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了平面直角坐標(biāo)系內(nèi)關(guān)于x軸對(duì)稱的點(diǎn)，橫坐標(biāo)相同，縱坐標(biāo)互為相反數(shù)，需要牢記，難度較小．
13．（3分）如圖，在一個(gè)池塘旁有一條筆直小路（B，C為小路端點(diǎn)）和一棵小樹(shù)（A為小樹(shù)位置），測(cè)得的相關(guān)數(shù)據(jù)為：∠ABC＝60°，∠ACB＝60°，BC＝58米，則AC＝ 58 米．
【分析】根據(jù)等邊三角形的判定與性質(zhì)即可求解．
【解答】解：∵∠ABC＝60°，∠ACB＝60°，
∴∠BAC＝60°，
∴△ABC是等邊三角形，
∵BC＝58米，
∴AC＝58米．
故答案為：58．
【點(diǎn)評(píng)】考查了等邊三角形的判定與性質(zhì)，關(guān)鍵是得到△ABC是等邊三角形．
14．（3分）某地地震過(guò)后，小娜同學(xué)用下面的方法檢測(cè)教室的房梁是否處于水平：在等腰直角三角尺斜邊中點(diǎn)O處拴一條線繩，線繩的另一端掛一個(gè)鉛錘，把這塊三角尺的斜邊貼在房梁上，結(jié)果線繩經(jīng)過(guò)三角尺的直角頂點(diǎn)，由此得出房梁是水平的即掛鉛錘的線繩與房梁直），用到的數(shù)學(xué)原理是 等腰三角形的底邊上的中線、底邊上的高重合 ．
【分析】根據(jù)△ABC是個(gè)等腰三角形可得AC＝BC，再根據(jù)點(diǎn)O是AB的中點(diǎn)，即可得出OC⊥AB，然后即可得出結(jié)論．
【解答】解：∵△ABC是個(gè)等腰三角形，
∴AC＝BC，
∵點(diǎn)O是AB的中點(diǎn)，
∴AO＝BO，
∴OC⊥AB．
故答案為：等腰三角形的底邊上的中線、底邊上的高重合．
【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了學(xué)生對(duì)等腰三角形的性質(zhì)的理解和掌握，此題與實(shí)際生活聯(lián)系密切，體現(xiàn)了從數(shù)學(xué)走向生活的指導(dǎo)思想，從而達(dá)到學(xué)以致用的目的．
15．（3分）如圖，∠AOE＝∠BOE＝15°，EF∥OB，EC⊥OB，若EC＝2，則EF＝ 4 ．
【分析】作EG⊥OA于F，根據(jù)角平分線的性質(zhì)得到EG的長(zhǎng)度，再根據(jù)平行線的性質(zhì)得到∠OEF＝∠COE＝15°，然后利用三角形的外角和內(nèi)角的關(guān)系求出∠EFG＝30°，利用30°角所對(duì)的直角邊是斜邊的一半解題．
【解答】解：作EG⊥OA于G，如圖所示：
∵EF∥OB，∠AOE＝∠BOE＝15°
∴∠OEF＝∠COE＝15°，EG＝CE＝2，
∵∠AOE＝15°，
∴∠EFG＝15°+15°＝30°，
∴EF＝2EG＝4．
故答案為：4．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了角平分線的性質(zhì)、平行線的性質(zhì)、含30°角的直角三角形的性質(zhì)；熟練掌握角平分線的性質(zhì)，證出∠EFG＝30°是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．
16．（3分）如圖，△ABC中，AB＝AC，AD平分∠BAC，點(diǎn)E是線段BC延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，連接AE，點(diǎn)C在AE的垂直平分線上，若DE＝12cm，則△ABC的周長(zhǎng)是 24cm ．
【分析】根據(jù)線段垂直平分線上的點(diǎn)到線段兩端點(diǎn)的距離相等可得AC＝CE，根據(jù)等腰三角形三線合一的性質(zhì)可得BD＝CD，然后求出AD+BD＝DE．
【解答】解：∵點(diǎn)C在AE的垂直平分線上，
∴AC＝CE，
∵AB＝AC，AD平分∠BAC，
∴BD＝CD，
∴AB+BD＝AC+CD＝CE+CD＝DE，
∵DE＝12cm，
∴AB+BC+AC＝AB+BD+AC+CD＝2×12＝24cm．
故答案為：24cm．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了線段垂直平分線上的點(diǎn)到線段兩端點(diǎn)的距離相等的性質(zhì)，等腰三角形三線合一的性質(zhì)，熟記性質(zhì)并準(zhǔn)確識(shí)圖是解題的關(guān)鍵．
17．（3分）已知a＝8131，b＝2741，c＝961，則a、b、c的大小關(guān)系是 a＞b＞c ．
【分析】根據(jù)冪的乘方和積的乘方的運(yùn)算法則求解．
【解答】解：a＝8131＝3124，
b＝2741＝3123，
c＝961＝3122，
∵a、b、c的底數(shù)相同，
∴a＞b＞c．
故答案為：a＞b＞c．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了冪的乘方，解答本題的關(guān)鍵是掌握冪的乘方和積的乘方的運(yùn)算法則．
18．（3分）如圖，已知四邊形ABCD中，AB＝12厘米，BC＝8厘米，CD＝14厘米，∠B＝∠C，點(diǎn)E為線段AB的中點(diǎn)．如果點(diǎn)P在線段BC上以3厘米/秒的速度由B點(diǎn)向C點(diǎn)運(yùn)動(dòng)，同時(shí)，點(diǎn)Q在線段CD上由C點(diǎn)向D點(diǎn)運(yùn)動(dòng)．當(dāng)點(diǎn)Q的運(yùn)動(dòng)速度為 3或 厘米/秒時(shí)，能夠使△BPE與以C、P、Q三點(diǎn)所構(gòu)成的三角形全等．
【分析】分兩種情況討論，依據(jù)全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等，即可得到點(diǎn)Q的運(yùn)動(dòng)速度．
【解答】解：設(shè)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t秒，則BP＝3t，CP＝8﹣3t，
∵∠B＝∠C，
∴①當(dāng)BE＝CP＝6，BP＝CQ時(shí)，△BPE與△CQP全等，
此時(shí)，6＝8﹣3t，
解得t＝，
∴BP＝CQ＝2，
此時(shí)，點(diǎn)Q的運(yùn)動(dòng)速度為2÷＝3厘米/秒；
②當(dāng)BE＝CQ＝6，BP＝CP時(shí)，△BPE與△CQP全等，
此時(shí)，3t＝8﹣3t，
解得t＝，
∴點(diǎn)Q的運(yùn)動(dòng)速度為6÷＝厘米/秒；
故答案為：3或．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了全等三角形的性質(zhì)和判定的應(yīng)用，解決問(wèn)題的關(guān)鍵是掌握全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等．
三、解答題（共46分）
19．（6分）（1）計(jì)算：（a4）3+a8?a4；
（2）計(jì)算：[（x+y）m+n]2；
（3）已知2x+3y﹣2＝0，求9x?27y的值．
【分析】（1）應(yīng)用冪的乘方與積的乘方及同底數(shù)冪乘法法則進(jìn)行計(jì)算即可得出答案；
（2）應(yīng)用冪的乘方法則進(jìn)行計(jì)算即可得出答案；
（3）應(yīng)用冪的乘法法則可得（32）x?（33）y，即可得出32x+3y，再由已知可得2x+3y＝2，代入計(jì)算即可得出答案．
【解答】解：（1）原式＝a4×3+a8+4
＝a12+a12
＝2a12；
（2）原式＝（x+y）2（m+n）；
（3）9x?27y＝（32）x?（33）y＝32x?33y＝32x+3y，
由2x+3y﹣2＝0，
可得2x+3y＝2，
原式＝32＝9．
【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了冪的乘方與積的乘方及同底數(shù)冪乘法，熟練掌握冪的乘方與積的乘方及同底數(shù)冪乘法法則進(jìn)行求解是解決本題的關(guān)鍵．
20．（5分）點(diǎn)D為△ABC的邊BC的延長(zhǎng)線上的一點(diǎn)，DF⊥AB于點(diǎn)F，交AC于點(diǎn)E，∠A＝35°，∠D＝40°，求∠ACD的度數(shù)．
【分析】根據(jù)三角形外角的性質(zhì)，得∠ACD＝∠B+∠A．欲求∠ACD，需求∠B．由DF⊥AB，得∠AFD＝90°．由∠AFD＝∠B+∠D，得∠B＝∠AFD﹣∠D＝50°．
【解答】解：∵DF⊥AB，
∴∠AFD＝90°．
∵∠AFD＝∠B+∠D，
∴∠B＝∠AFD﹣∠D＝90°﹣40°＝50°．
∴∠ACD＝∠B+∠A＝50°+35°＝85°．
【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查三角形外角的性質(zhì)、垂直，熟練掌握三角形外角的性質(zhì)、垂直的定義是解決本題的關(guān)鍵．
21．（5分）已知：如圖，C是線段AB的中點(diǎn)，CD＝CE，∠ACE＝∠BCD．求證：AD＝BE．
【分析】根據(jù)題意得出∠ACD＝∠BCE，AC＝BC，進(jìn)而得出△ADC≌△BEC（SAS），根據(jù)全等三角形的性質(zhì)即可得出答案．
【解答】證明：∵C是線段AB的中點(diǎn)，
∴AC＝BC，
∵∠ACE＝∠BCD，
∴∠ACD＝∠BCE，
在△ADC和△BEC中，
，
∴△ADC≌△BEC（SAS）．
∴AD＝BE．
【點(diǎn)評(píng)】此題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，熟記全等三角形的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
22．（6分）如圖，點(diǎn)B、F、C、E在直線l上（F、C之間不能直接測(cè)量），點(diǎn)A、D在l異側(cè)，測(cè)得AB＝DE，AB∥DE，∠A＝∠D．
（1）求證：△ABC≌△DEF；
（2）若BE＝10m，BF＝3m，求FC的長(zhǎng)度．
【分析】（1）先證明∠ABC＝∠DEF，再根據(jù)ASA即可證明．
（2）根據(jù)全等三角形的性質(zhì)即可解答．
【解答】（1）證明：∵AB∥DE，
∴∠ABC＝∠DEF，
在△ABC與△DEF中
∴△ABC≌△DEF（ASA）；
（2）∵△ABC≌△DEF，
∴BC＝EF，
∴BF+FC＝EC+FC，
∴BF＝EC，
∵BE＝10m，BF＝3m，
∴FC＝10﹣3﹣3＝4m．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查全等三角形的判定和性質(zhì)、平行線的判定等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是正確尋找全等三角形的條件，記住平行線的判定方法，屬于基礎(chǔ)題，中考常考題型．
23．（5分）如圖，已知A（﹣2，3），B（﹣3，1），C（1，﹣2）．
（1）請(qǐng)畫(huà)出△ABC關(guān)于y軸對(duì)稱的△A'B'C'；（其中A'、B'、C'分別是A，B，C的對(duì)應(yīng)點(diǎn)，不寫(xiě)畫(huà)法）
（2）A'、B'、C'的坐標(biāo)分別為 （2，3），（3，1），（﹣1，﹣2）． ；
（3）△ABC的面積是 5.5 ．
【分析】（1）利用軸對(duì)稱變換的性質(zhì)分別作出A，B，C的對(duì)應(yīng)點(diǎn)A′，B′，C′即可．
（2）根據(jù)A′，B′，C′的位置寫(xiě)出坐標(biāo)即可．
（3）利用分割法把三角形面積看成矩形面積減去周圍三個(gè)三角形面積即可．
【解答】解：（1）如圖，△A'B'C'即為所求；
（2）A'、B'、C'的坐標(biāo)分別為（2，3），（3，1），（﹣1，﹣2）．
故答案為：（2，3），（3，1），（﹣1，﹣2）．
（3）S△ABC＝4×5﹣×1×2﹣×3×4﹣×3×5＝5.5，
故答案為：5.5．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查作圖﹣復(fù)雜作圖，三角形的面積等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是掌握軸對(duì)稱變換，學(xué)會(huì)用分割法求三角形面積．
24．（5分）如圖，在△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠CAB，DE⊥AB于點(diǎn)E，點(diǎn)F在AC上，BD＝DF．求證：BE＝FC．
【分析】根據(jù)角平分線的性質(zhì)和全等三角形的判定方法可以證明△DCF和△DEB全等，從而可以證明結(jié)論成立．
【解答】證明：∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，∠C＝90°，
∴DC＝DE，∠C＝∠DEA＝90°，
在Rt△DCF和Rt△DEB中，
，
∴Rt△DCF≌Rt△DEB（HL），
∴FC＝BE，
即BE＝FC．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查全等三角形的判定與性質(zhì)、角平分線的性質(zhì)，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，利用數(shù)形結(jié)合的思想解答．
25．（7分）已知：如圖1，AB∥CD，請(qǐng)用尺規(guī)作圖法，在射線CD上找一點(diǎn)P，使射線AP平分∠BAC．
小明的作圖方法如下：
①以點(diǎn)A為圓心，適當(dāng)長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，交AB于點(diǎn)M，交AC于點(diǎn)N；
②分別以點(diǎn)M，N為圓心，大于MN的長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，兩弧在∠CAB的內(nèi)部相交于點(diǎn)E；
③畫(huà)射線AE，交射線CD于點(diǎn)P，點(diǎn)P即為所求．
小剛說(shuō)：“我有不同的作法，如圖2所示，只需要以點(diǎn)C為圓心，CA為半徑畫(huà)弧，交射線CD于點(diǎn)P，畫(huà)射線AP，也能夠得到AP平分∠BAC．
請(qǐng)回答：
（1）請(qǐng)補(bǔ)全小明的作圖過(guò)程．小明在作圖的過(guò)程中，構(gòu)造出一組全等三角形，它們是 △AME ≌ △ANE ，全等的依據(jù)是 SSS ．因?yàn)槿热切蔚膶?duì)應(yīng)角相等，所以能夠得到∠CAB的角平分線AP；
（2）對(duì)于小剛的作圖方法證明如下：
∵CA＝CP
∴∠CAP＝∠CPA（等邊對(duì)等角）
∵AB∥CD
∴∠BAP＝∠ CPA （ 兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等 ）
∴∠CAP＝∠BAP
∴射線AP平分∠BAC．
（3）點(diǎn)P到直線AC和AB的距離相等，理由是 角平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等 ．
【分析】（1）根據(jù)作法畫(huà)出對(duì)應(yīng)的幾何圖形，利用畫(huà)法得到AM＝AN，ME＝NE，加上AE公共，則可根據(jù)“SSS”判斷△AME≌△ANE，從而得到∠MAE＝∠NAE；
（2）利用等腰三角形的性質(zhì)和平行線的性質(zhì)證明∠CAP＝∠BAP；
（3）根據(jù)角平分線的性質(zhì)求解．
【解答】解：（1）如圖1，AP為所作，
在作圖的過(guò)程中，構(gòu)造出一組全等三角形，它們是△AME≌△ANE，全等的依據(jù)是SSS．因?yàn)槿热切蔚膶?duì)應(yīng)角相等，所以能夠得到∠CAB的角平分線AP；
（2）對(duì)于小剛的作圖方法證明如下：
∵CA＝CP，
∴∠CAP＝∠CPA（等邊對(duì)等角），
∵AB∥CD
∴∠BAP＝∠CPA（兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等），
∴∠CAP＝∠BAP，
∴射線AP平分∠BAC．
（3）點(diǎn)P到直線AC和AB的距離相等，理由是角平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等．
故答案為△AME，△ANE，SSS；CPA，兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等；角平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了作圖﹣復(fù)雜作圖：解決此類題目的關(guān)鍵是熟悉基本幾何圖形的性質(zhì)，結(jié)合幾何圖形的基本性質(zhì)把復(fù)雜作圖拆解成基本作圖，逐步操作．也考查了角平分線的性質(zhì)和全等三角形的判定與性質(zhì)．
26．（7分）課堂上，老師提出了這樣一個(gè)問(wèn)題：
如圖1，在△ABC中，AD平分∠BAC交BC于點(diǎn)D，且AB+BD＝AC．
求證：∠ABC＝2∠ACB．
小明的方法是：如圖2，在AC上截取AE，使AE＝AB，連接DE，構(gòu)造全等三角形來(lái)證明結(jié)論．
（1）小天提出，如果把小明的方法叫做“截長(zhǎng)法”，那么還可以用“補(bǔ)短法”通過(guò)延長(zhǎng)線段AB構(gòu)造全等三角形進(jìn)行證明．輔助線的畫(huà)法是：延長(zhǎng)AB至F，使BF＝ BD ，連接DF．
請(qǐng)補(bǔ)全小天提出的輔助線的畫(huà)法，并在圖1中畫(huà)出相應(yīng)的輔助線；
（2）小蕓通過(guò)探究，將老師所給的問(wèn)題做了進(jìn)一步的拓展，給同學(xué)們提出了如下的問(wèn)題：
如圖3，點(diǎn)D在△ABC的內(nèi)部，AD，BD，CD分別平分∠BAC，∠ABC，∠ACB，且AB+BD＝AC．求證：∠ABC＝2∠ACB．
請(qǐng)你解答小蕓提出的這個(gè)問(wèn)題；
（3）小東將老師所給問(wèn)題中的一個(gè)條件和結(jié)論進(jìn)行交換，得到的命題如下：
如果在△ABC中，∠ABC＝2∠ACB，點(diǎn)D在邊BC上，AB+BD＝AC，那么AD平分∠BAC．
小東判斷這個(gè)命題也是真命題，老師說(shuō)小東的判斷是正確的．請(qǐng)你利用圖4對(duì)這個(gè)命題進(jìn)行證明．
【分析】（1）延長(zhǎng)AB至F，使BF＝BD，連接DF，根據(jù)三角形的外角性質(zhì)得到∠ABC＝2∠F，證明△ADF≌△ADC，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)證明結(jié)論；
（2）在AC上截取AE，使AE＝AB，連接DE，證明△ADB≌△ADE，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)證明結(jié)論；
（3）延長(zhǎng)AB至G，使BG＝BD，連接DG，證明△ADG≌△ADC，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)、角平分線的定義證明．
【解答】證明：（1）延長(zhǎng)AB至F，使BF＝BD，連接DF，
則∠BDF＝∠F，
∴∠ABC＝∠BDF+∠F＝2∠F，
∵AD平分∠BAC
∴∠BAD＝∠CAD，
∵AB+BD＝AC，BF＝BD，
∴AF＝AC，
在△ADF和△ADC中，
，
∴△ADF≌△ADC（SAS），
∴∠ACB＝∠F，
∴∠ABC＝2∠ACB；
（2）如圖3，在AC上截取AE，使AE＝AB，連接DE，
∵AD，BD，CD分別平分∠BAC，∠ABC，∠ACB，
∴∠DAB＝∠DAE，∠DBA＝∠DBC，∠DCA＝∠DCB，
∵AB+BD＝AC，AE＝AB，
∴DB＝CE，
在△ADB和△ADE中，
，
∴△ADB≌△ADE（SAS），
∴BD＝DE，∠ABD＝∠AED，
∴DE＝CE，
∴∠EDC＝∠ECD，
∴∠AED＝2∠ECD，
∴∠ABD＝2∠ECD，
∴∠ABC＝2∠ACB；
（3）如圖4，延長(zhǎng)AB至G，使BG＝BD，連接DG，
則∠BDG＝∠AGD，
∴∠ABC＝∠BDG+∠G＝2∠AGD，
∵∠ABC＝2∠ACB，
∴∠AGD＝∠ACB，
∵AB+BD＝AC，BG＝BD，
∴AG＝AC，
∴∠AGC＝∠ACG，
∴∠DGC＝∠DCG，
∴DG＝DC，
在△ADG和△ADC中，
，
∴△ADG≌△ADC（SSS），
∴∠DAG＝∠DAC，即AD平分∠BAC．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是三角形全等的判定和性質(zhì)、角平分線的定義，掌握全等三角形的判定定理和性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵．
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