2023-2024學(xué)年北京市人大附中朝陽學(xué)校八年級（上）期中數(shù)學(xué)試卷【含解析】

這是一份2023-2024學(xué)年北京市人大附中朝陽學(xué)校八年級（上）期中數(shù)學(xué)試卷【含解析】，共29頁。試卷主要包含了選擇題，填空題，解答題等內(nèi)容，歡迎下載使用。
1．（3分）下列標志是軸對稱圖形的是（ ）
A．B．
C．D．
2．（3分）若三角形的兩邊長分別為3和5，則第三邊m的值可能是（ ）
A．m＝2B．m＝4C．m＝8D．m＝9
3．（3分）下列圖形中，有穩(wěn)定性的是（ ）
A．長方形B．梯形
C．平行四邊形D．三角形
4．（3分）若如圖中的兩個三角形全等，圖中的字母表示三角形的邊長，則∠1的度數(shù)為（ ）
A．40°B．50°C．60°D．70°
5．（3分）如圖，已知直線PC是線段AB的垂直平分線，∠APC＝50°，則∠B＝（ ）
A．40°B．50°C．55°D．60°
6．（3分）如圖是3×3的正方形網(wǎng)格，其中已有2個小方格涂成了黑色．現(xiàn)在要從編號為①?④的小方格中選出1個也涂成黑色，使黑色部分依然是軸對稱圖形，不能選擇的是（ ）
A．①B．②C．③D．④
7．（3分）下列說法正確的是（ ）
A．全等三角形是指形狀相同的兩個三角形
B．如果兩個三角形全等，則它們必是關(guān)于某條直線成軸對稱的圖形
C．全等三角形的周長和面積分別相等
D．所有的等邊三角形都是全等三角形
8．（3分）數(shù)學(xué)課上，老師給出了如下問題：
如圖1，∠B＝∠C＝90°，E是BC的中點，DE平分∠ADC，求證：AB+CD＝AD．
小明是這樣想的：要證明AB+CD＝AD，只需要在AD上找到一點F，再試圖說明AF＝AB，DF＝CD即可．如圖2，經(jīng)過思考，小明給出了以下3種輔助線的添加方式．
①過點E作EF⊥AD交AD于點F；
②作EF＝EC，交AD于點F；
③在AD上取一點F，使得DF＝DC，連接EF；
上述3種輔助線的添加方式，可以證明“AB+CD＝AD”的有（ ）
A．①②B．①③C．②③D．①②③
二、填空題
9．（3分）如圖，圖中以BC為邊的三角形的個數(shù)為 ．
10．（3分）頤和園坐落在北京西郊，是第一批全國重點文物保護單位之一．小萬去頤和園參加實踐活動時發(fā)現(xiàn)有的窗戶造型是正八邊形，如圖所示，則∠1＝ °．
11．（3分）如圖，小明不小心將書上的一個三角形用墨跡污染了一部分，但他很快就根據(jù)所學(xué)知識畫出了一個和書上完全一樣的三角形，那么這兩個三角形完全一樣的依據(jù)可簡寫為 ．
12．（3分）如圖，△ABC的外角平分線AM與邊BC平行，則∠B ∠C（填“＞”，“＝”，或“＜”）．
13．（3分）三角形紙片ABC，AB＝AC，將其折疊，如圖，使點A與點B重合，折痕為ED，點E，D分別在AB，AC上，若AB＝6，BC＝4，那么△BDC的周長為 ．
14．（3分）如圖，△ABC是等邊三角形，AB＝6，AD是BC邊上的中線．點E在AC邊上，且∠EDA＝30°，則ED的長為 ．
15．（3分）如圖，在△ABC中，AC＝BC，點E是BC延長線上一點，∠ACE＝100°，則∠A＝ ．
16．（3分）如圖，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，點D沿CB自點C向點B運動（點D與點C，B不重合），作BE⊥AD于點E，CF⊥AD的延長線于點F，在點D的運動過程中，BE+CF的值逐漸 （填“增大”，“減小”或“不變”）．
三、解答題
17．計算：．
18．解方程組：；
19．解不等式組，并寫出其所有整數(shù)解．
20．下面是小東設(shè)計的“作△ABC中BC邊上的高線”的尺規(guī)作圖過程．
已知：△ABC．
求作：△ABC中BC邊上的高線AD．
作法：如圖，
①以點B為圓心，BA的長為半徑作弧，以點C為圓心，CA的長為半徑作弧，兩弧在BC下方交于點E；
②連接AE交BC于點D．
所以線段AD是△ABC中BC邊上的高線．
根據(jù)小東設(shè)計的尺規(guī)作圖過程，
（1）使用直尺和圓規(guī)，補全圖形；（保留作圖痕跡）
（2）完成下面的證明．
證明：∵ ＝BA， ＝CA，
∴點B，C分別在線段AE的垂直平分線上（ ）（填推理的依據(jù)）．
∴BC垂直平分線段AE．
∴線段AD是△ABC中BC邊上的高線．
21．如圖，AB，CD交于點O，AD∥BC．請你添加一個條件 ，
使得△AOD≌△BOC，并加以證明．
22．已知一個多邊形的內(nèi)角和是它的外角和的3倍，求這個多邊形的邊數(shù)．
23．如圖，在平面直角坐標系xOy中，點O（0，0），A（﹣1，2），B（2，1）．
（1）在圖中畫出△AOB關(guān)于x軸對稱的△A1OB1，并直接寫出點A1，B1的坐標；
（2）直接寫出△A1OB1的面積為 ．
24．如圖，在△ABC中，AB＝AC，D是三角形內(nèi)一點，連接AD，BD，CD，∠BDC＝90°，∠DBC＝45°．
（1）求證：∠BAD＝∠CAD；
（2）求∠ADB的度數(shù)．
25．我們學(xué)習(xí)過：“如果兩個圖形關(guān)于某條直線對稱，那么對稱軸是任何一對對應(yīng)點所連線段的垂直平分線”．請按要求完成下面三道小題：
（1）如圖1，AB＝AC．這兩條線段一定關(guān)于某條直線對稱，請作出對稱軸a（尺規(guī)作圖，保留作圖痕跡）；
（2）如圖2，已知線段AB和點C．求作線段CD（不要求尺規(guī)作圖），使它與AB成軸對稱．且A與C是對稱點，
請作出線段CD并標明對稱軸b；
（3）如圖3，任意位置的兩條線段AB，CD，AB＝CD．你能通過對其中一條線段作有限次的軸對稱使它們重合嗎？如果能，請描述操作方法；如果不能，請說明理由．
26．如圖，過等邊△ABC的頂點B在∠ABC內(nèi)部作射線BP，∠ABP＝α（0°＜α＜60°且α≠30°），點A關(guān)于射線BP的對稱點為點D，直線CD交BP于點E，連接BD，AE．
（1）依據(jù)題意，在圖1中補全圖形；
（2）在α（0°＜α＜60°且α≠30°）α≠30°）的變化過程中，∠AEB的度數(shù)是否會發(fā)生變化？若變化，請直接用含α的式子表示∠AEB的度數(shù)；若不變，請直接寫出∠AEB的度數(shù)；
（3）用等式表示線段AE，BE，CE之間的數(shù)量關(guān)系，并給予證明．
27．在平面直角坐標系xOy中，直線l為一、三象限角平分線．點P關(guān)于y軸的對稱點稱為P的一次反射點，記作P1，P1關(guān)于直線l的對稱點稱為點P的二次反射點，記作P2，例如，點P（﹣2，5）的一次反射點為P1（2，5），二次反射點為P2（5，2）．根據(jù)定義，回答下列問題：
（1）點（2，5）的一次反射點為 ，二次反射點為 ；
（2）若點A在第二象限，點A1，A2分別是點A的一次、二次反射點，∠A1OA2＝50°，求射線OA與x軸所夾銳角的度數(shù)．
（3）若點A在y軸左側(cè)，點A1，A2分別是點A的一次、二次反射點，△AA1A2是等腰直角三角形，請直接在平面直角坐標系中畫出由符合題意的點A所構(gòu)成的圖形．
2023-2024學(xué)年北京市人大附中朝陽學(xué)校八年級（上）期中數(shù)學(xué)試卷
參考答案與試題解析
一、選擇題（第1-8題均有四個選項，符合題意的選項只有一個.）
1．（3分）下列標志是軸對稱圖形的是（ ）
A．B．
C．D．
【分析】根據(jù)如果一個圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，這個圖形叫做軸對稱圖形，這條直線叫做對稱軸進行分析即可．
【解答】解：A．不是軸對稱圖形，故本選項不符合題意；
B．是軸對稱圖形，故本選項符合題意；
C．不是軸對稱圖形，故本選項不符合題意．
D．不是軸對稱圖形，故本選項不符合題意；
故選：B．
【點評】本題考查了軸對稱圖形的概念，軸對稱圖形的關(guān)鍵是尋找對稱軸，圖形兩部分折疊后可重合．
2．（3分）若三角形的兩邊長分別為3和5，則第三邊m的值可能是（ ）
A．m＝2B．m＝4C．m＝8D．m＝9
【分析】已知兩邊，則第三邊的長度應(yīng)是大于兩邊的差而小于兩邊的和，這樣就可求出第三邊長的范圍．
【解答】解：第三邊m的取值范圍是5﹣3＜m＜5+3，
即2＜m＜8．，只有m＝2適合，
故選：B．
【點評】考查了三角形三邊關(guān)系，已知三角形的兩邊，則第三邊的范圍是：大于已知的兩邊的差，而小于兩邊的和．
3．（3分）下列圖形中，有穩(wěn)定性的是（ ）
A．長方形B．梯形
C．平行四邊形D．三角形
【分析】根據(jù)三角形具有穩(wěn)定性，四邊形具有不穩(wěn)定性進行判斷．
【解答】解：因為三角形具有穩(wěn)定性，所以下面圖形中穩(wěn)定性最好的是三角形．
故選：D．
【點評】此題考查了三角形的穩(wěn)定性，關(guān)鍵是根據(jù)三角形的穩(wěn)定性和四邊形的不穩(wěn)定性解答．
4．（3分）若如圖中的兩個三角形全等，圖中的字母表示三角形的邊長，則∠1的度數(shù)為（ ）
A．40°B．50°C．60°D．70°
【分析】在左圖中，先利用三角形內(nèi)角和計算出邊a所對的角為50°，然后根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到∠1的度數(shù)．
【解答】解：在左圖中，邊a所對的角為180°﹣60°﹣70°＝50°，
因為圖中的兩個三角形全等，
所以∠1的度數(shù)為50°．
故選：B．
【點評】本題考查了全等三角形的性質(zhì)：全等三角形的對應(yīng)邊相等；全等三角形的對應(yīng)角相等．
5．（3分）如圖，已知直線PC是線段AB的垂直平分線，∠APC＝50°，則∠B＝（ ）
A．40°B．50°C．55°D．60°
【分析】根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)得出PA＝PB，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)求出∠A＝∠B，再根據(jù)直角三角形的兩銳角互余求出即可．
【解答】解：∵直線PC是線段AB的垂直平分線，
∴PC⊥AB，PA＝PB，
∴∠B＝∠A，∠PCA＝90°，
∵∠APC＝50°，
∴∠B＝∠A＝90°﹣∠APC＝40°，
故選：A．
【點評】本題考查了線段垂直平分線的性質(zhì)和等腰三角形的性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)等知識點，能熟記線段垂直平分線上的點到線段兩個端點的距離相等是解此題的關(guān)鍵．
6．（3分）如圖是3×3的正方形網(wǎng)格，其中已有2個小方格涂成了黑色．現(xiàn)在要從編號為①?④的小方格中選出1個也涂成黑色，使黑色部分依然是軸對稱圖形，不能選擇的是（ ）
A．①B．②C．③D．④
【分析】利用軸對稱圖形的性質(zhì)分別得出符合題意的答案．
【解答】解：要從編號為①?④的小方格中選出1個也涂成黑色，使黑色部分依然是軸對稱圖形，不能選擇的是④，
故選：D．
【點評】此題主要考查了利用軸對稱設(shè)計圖案，正確把握軸對稱圖形的定義是解題關(guān)鍵．
7．（3分）下列說法正確的是（ ）
A．全等三角形是指形狀相同的兩個三角形
B．如果兩個三角形全等，則它們必是關(guān)于某條直線成軸對稱的圖形
C．全等三角形的周長和面積分別相等
D．所有的等邊三角形都是全等三角形
【分析】根據(jù)全等三角形的判定與性質(zhì)進行逐一判斷即可．
【解答】解：A、全等三角形是指形狀和大小完全相同的兩個三角形，原說法錯誤，不符合題意；
B、如果兩個三角形全等，它們不一定關(guān)于某條直線成軸對稱的圖形，原說法錯誤，不符合題意；
C、全等三角形的周長和面積分別相等，正確，符合題意；
D、只有邊長相等的等邊三角形是全等三角形，原說法錯誤，不符合題意．
故選：C．
【點評】本題主要考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，熟知全等三角形的相關(guān)知識是解題的關(guān)鍵．
8．（3分）數(shù)學(xué)課上，老師給出了如下問題：
如圖1，∠B＝∠C＝90°，E是BC的中點，DE平分∠ADC，求證：AB+CD＝AD．
小明是這樣想的：要證明AB+CD＝AD，只需要在AD上找到一點F，再試圖說明AF＝AB，DF＝CD即可．如圖2，經(jīng)過思考，小明給出了以下3種輔助線的添加方式．
①過點E作EF⊥AD交AD于點F；
②作EF＝EC，交AD于點F；
③在AD上取一點F，使得DF＝DC，連接EF；
上述3種輔助線的添加方式，可以證明“AB+CD＝AD”的有（ ）
A．①②B．①③C．②③D．①②③
【分析】①如圖1，過作EF⊥AD，垂足為點F，證明△DEF≌△DCE（AAS），由全等三角形的性質(zhì)得出CE＝EF，DC＝DF，∠CED＝∠FED，證明Rt△AFE≌Rt△ABE（HL），得出AF＝AB，則得出結(jié)論；②作EF＝EC，交AD于點F，不能證明結(jié)論；③在AD上取一點F，使得DF＝DC，連接EF，證明△DEF≌△DCE（SAS），得出CE＝EF，∠ECD＝∠EFD＝90°，證明Rt△AFE≌Rt△ABE（HL）得出AF＝AB．則可得出結(jié)論．
【解答】解：①如圖1，過作EF⊥AD，垂足為點F，
可得∠DFE＝90°，
則∠DFE＝∠C，
∵DE平分∠ADC，
∴∠FDE＝∠CDE，
在△DCE和△DFE中，
，
∴△DEF≌△DCE（AAS）；
∴CE＝EF，DC＝DF，∠CED＝∠FED，
∵E是BC的中點，
∴CE＝EB，
∴EF＝EB，
在Rt△ABE和Rt△AFE中，
，
∴Rt△AFE≌Rt△ABE（HL）；
∴AF＝AB，
∴AD＝AF+DF＝AB+CD．
②如圖2，作EF＝EC，交AD于點F；
∵EF＝EC，DE＝DE，∠FDE＝∠CDE，
∴根據(jù)SSA不能證明△DEF≌△DCE，
∴這種輔助線的添加方式不能證明結(jié)論AD＝AB+CD．
③如圖3，在AD上取一點F，使得DF＝DC，連接EF，
在△DCE和△DFE中，
，
∴△DEF≌△DCE（SAS）；
∴CE＝EF，∠ECD＝∠EFD＝90°，
∵E是BC的中點，
∴CE＝EB，
∴EF＝EB，
在Rt△ABE和Rt△AFE中，
，
∴Rt△AFE≌Rt△ABE（HL）；
∴AF＝AB，
∴AD＝AF+DF＝AB+CD．
故選：B．
【點評】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，角平分線的性質(zhì)，添加恰當輔助線構(gòu)造全等三角形是本題的關(guān)鍵．
二、填空題
9．（3分）如圖，圖中以BC為邊的三角形的個數(shù)為 4 ．
【分析】根據(jù)三角形的定義即可得到結(jié)論．
【解答】解：∵以BC為公共邊的三角形有△BCD，△BCE，△BCF，△ABC，
∴以BC為公共邊的三角形的個數(shù)是4個．
故答案為：4．
【點評】此題考查了學(xué)生對三角形的認識．注意要審清題意，按題目要求解題．
10．（3分）頤和園坐落在北京西郊，是第一批全國重點文物保護單位之一．小萬去頤和園參加實踐活動時發(fā)現(xiàn)有的窗戶造型是正八邊形，如圖所示，則∠1＝ 45 °．
【分析】利用正八邊形的外角和等于360度即可求出答案．
【解答】解：360°÷8＝45°，
故答案為：45．
【點評】本題主要考查了多邊形的外角和定理，明確任何一個多邊形的外角和都是360°是解題的關(guān)鍵．
11．（3分）如圖，小明不小心將書上的一個三角形用墨跡污染了一部分，但他很快就根據(jù)所學(xué)知識畫出了一個和書上完全一樣的三角形，那么這兩個三角形完全一樣的依據(jù)可簡寫為 ASA ．
【分析】根據(jù)圖象，三角形有兩角和它們的夾邊是完整的，所以可以根據(jù)“角邊角”畫出．
【解答】解：根據(jù)題意，三角形的兩角和它們的夾邊是完整的，所以可以利用“ASA”定理作出完全一樣的三角形．
故答案為：ASA．
【點評】本題考查了全等三角形判定的實際運用，熟練掌握判定定理并靈活運用是解題的關(guān)鍵．
12．（3分）如圖，△ABC的外角平分線AM與邊BC平行，則∠B ＝ ∠C（填“＞”，“＝”，或“＜”）．
【分析】依據(jù)AM∥BC，即可得到∠DAM＝∠B，∠CAM＝∠C，再根據(jù)AM平分∠DAC，即可得到∠DAM＝∠CAM，進而得出∠B＝∠C．
【解答】解：如圖，∵AM∥BC，
∴∠DAM＝∠B，∠CAM＝∠C，
∵AM平分∠DAC，
∴∠DAM＝∠CAM，
∴∠B＝∠C．
故答案為：＝．
【點評】本題主要考查了平行線的性質(zhì)，解題時注意：兩直線平行，同位角相等；兩直線平行，內(nèi)錯角相等．
13．（3分）三角形紙片ABC，AB＝AC，將其折疊，如圖，使點A與點B重合，折痕為ED，點E，D分別在AB，AC上，若AB＝6，BC＝4，那么△BDC的周長為 10 ．
【分析】由折疊得BD＝AD，所以BD+CD+BC＝AD+CD+BC＝AC+BC＝10，于是得到問題的答案．
【解答】解：由折疊得BD＝AD，
∴BD+CD+BC＝AD+CD+BC＝AC+BC，
∵AB＝AC＝6，BC＝4，
∴BD+CD+BC＝6+4＝10，
∴△BDC的周長為10，
故答案為：10．
【點評】此題重點考查三角形的周長、軸對稱的性質(zhì)等知識，證明BD+CD+BC＝AC+BC是解題的關(guān)鍵．
14．（3分）如圖，△ABC是等邊三角形，AB＝6，AD是BC邊上的中線．點E在AC邊上，且∠EDA＝30°，則ED的長為 3 ．
【分析】先根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)，求出BC和∠C＝90°，證明AD垂直平分BC，從而求出CD和∠ADC＝90°，然后根據(jù)已知條件中的角，求出∠EDC的度數(shù)，從而證明△DEC是等邊三角形，最后根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)解答即可．
【解答】解：∵△ABC是等邊三角形，AB＝6，
∴BC＝AB＝6，∠BAC＝∠C＝90°，
∵AD是等邊三角形BC邊上的中線，
∴AD⊥BC，BD＝DC＝，
∴∠ADC＝90°，
∵∠EDA＝30°，
∴∠EDC＝∠ADC﹣∠EDA＝90°﹣30°＝60°，
∴∠DEC＝180°﹣∠EDC﹣∠C＝180°﹣60°﹣60°＝60°，
∴∠EDC＝∠DEC＝∠C＝60°，
∴△DEC為等邊三角形，
∴ED＝CD＝3，
故答案為：3．
【點評】本題主要考查了等邊三角形的性質(zhì)，解題關(guān)鍵是熟練掌握和應(yīng)用等邊三角形的性質(zhì)．
15．（3分）如圖，在△ABC中，AC＝BC，點E是BC延長線上一點，∠ACE＝100°，則∠A＝ 50° ．
【分析】根據(jù)平角的定義可求∠ACB，再根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)即可求解．
【解答】解：∵∠ACE＝100°，
∴∠ACB＝80°，
在△ABC中，AC＝BC，
∴∠A＝∠B，
∴∠A＝（180°﹣∠ACB）÷2＝50°．
故答案為：50°．
【點評】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)，關(guān)鍵是熟悉等腰三角形的兩個底角相等的知識點．
16．（3分）如圖，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，點D沿CB自點C向點B運動（點D與點C，B不重合），作BE⊥AD于點E，CF⊥AD的延長線于點F，在點D的運動過程中，BE+CF的值逐漸 增大 （填“增大”，“減小”或“不變”）．
【分析】根據(jù)點D沿BC自點B向點C運動時，Rt△ABC的面積不變，但是AD會增大，由面積公式可得BE+CF的值逐漸減?。?br>【解答】解：∵BE⊥AD于點E，CF⊥AD的延長線于點F，
∴S△ABC＝S△ABD+SACD＝AD?BE+AD?CF＝AD（BE+CF），
∵Rt△ABC的面積不變，但是點D沿CB自點C向點B運動時，AD會減小，
∴BE+CF的值逐漸增大，
故答案為：增大．
【點評】本題考查了三角形的動點問題，利用三角形的面積轉(zhuǎn)換是解決問題的關(guān)鍵．
三、解答題
17．計算：．
【分析】利用立方根的定義及絕對值的性質(zhì)計算即可．
【解答】解：原式＝2+﹣1＝+1．
【點評】本題考查實數(shù)的運算，熟練掌握相關(guān)運算法則是解題的關(guān)鍵．
18．解方程組：；
【分析】方程組利用代入消元法求出解即可．
【解答】解：，
把①代入②得：5+y﹣2y＝2，
解得：y＝3，
把y＝3代入①得：x＝8，
則方程組的解為．
【點評】此題考查了解二元一次方程組，熟練掌握運算法則是解本題的關(guān)鍵．
19．解不等式組，并寫出其所有整數(shù)解．
【分析】先求出其中各不等式的解集，再求出這些解集的公共部分，即可求出不等式組的解集，再寫出其所有整數(shù)解．
【解答】解：
由①得：x＜2，
由②得：x≥﹣，
故不等式組的解集是﹣≤x＜2，
它的所有整數(shù)解有x＝﹣2，﹣1，0，1．
【點評】本題主要考查對解一元一次不等式組，一元一次不等式組的整數(shù)解等知識點的理解和掌握，能根據(jù)找不等式組解集的規(guī)律找出不等式組的解集是解此題的關(guān)鍵．
20．下面是小東設(shè)計的“作△ABC中BC邊上的高線”的尺規(guī)作圖過程．
已知：△ABC．
求作：△ABC中BC邊上的高線AD．
作法：如圖，
①以點B為圓心，BA的長為半徑作弧，以點C為圓心，CA的長為半徑作弧，兩弧在BC下方交于點E；
②連接AE交BC于點D．
所以線段AD是△ABC中BC邊上的高線．
根據(jù)小東設(shè)計的尺規(guī)作圖過程，
（1）使用直尺和圓規(guī)，補全圖形；（保留作圖痕跡）
（2）完成下面的證明．
證明：∵ BE ＝BA， EC ＝CA，
∴點B，C分別在線段AE的垂直平分線上（ 到線段兩個端點距離相等的點在線段的垂直平分線上 ）（填推理的依據(jù)）．
∴BC垂直平分線段AE．
∴線段AD是△ABC中BC邊上的高線．
【分析】（1）根據(jù)要求畫出圖形即可；
（2）根據(jù)線段的垂直平分線的判定即可解決問題；
【解答】解：（1）圖形如圖所示：
（2）理由：連接BE，EC．
∵AB＝BE，EC＝CA，
∴點B，點C分別在線段AE的垂直平分線上（到線段兩個端點距離相等的點在線段的垂直平分線上），
∴直線BC垂直平分線段AE，
∴線段AD是△ABC中BC邊上的高線．
故答案為：BE，EC，到線段兩個端點距離相等的點在線段的垂直平分線上．
【點評】本題考查線段的垂直平分線的判定，解題的關(guān)鍵是熟練掌握基本知識，屬于中考常考題型．
21．如圖，AB，CD交于點O，AD∥BC．請你添加一個條件 OA＝OB或OD＝OC或AD＝BC ，
使得△AOD≌△BOC，并加以證明．
【分析】根據(jù)全等三角形的判定方法即可判斷．
【解答】解：添加條件：OA＝OB或OD＝OC或AD＝BC．
理由：當添加OA＝OB時，
∵AD∥BC，
∴∠A＝∠B，
在△AOD和△BOC中，
，
∴△AOD≌△BOC（ASA）．
添加OD＝OC或AD＝BC同法可證．
故答案為OA＝OB或OD＝OC或AD＝BC．
【點評】本題考查全等三角形的判定和性質(zhì)，平行線的性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是靈活運用所學(xué)知識解決問題，屬于中考?？碱}型．
22．已知一個多邊形的內(nèi)角和是它的外角和的3倍，求這個多邊形的邊數(shù)．
【分析】多邊形的外角和是360°，內(nèi)角和是它的外角和的3倍，則內(nèi)角和是3×360＝1080度．n邊形的內(nèi)角和可以表示成（n﹣2）?180°，設(shè)這個多邊形的邊數(shù)是n，就得到方程，從而求出邊數(shù)．
【解答】解：設(shè)這個多邊形的邊數(shù)為n，
∵n邊形的內(nèi)角和為（n﹣2）?180°，多邊形的外角和為360°，
∴（n﹣2）?180°＝360°×3，
解得n＝8．
∴此多邊形的邊數(shù)為8．
【點評】根據(jù)正多邊形的外角和求多邊形的邊數(shù)是常用的一種方法，需要熟記．
23．如圖，在平面直角坐標系xOy中，點O（0，0），A（﹣1，2），B（2，1）．
（1）在圖中畫出△AOB關(guān)于x軸對稱的△A1OB1，并直接寫出點A1，B1的坐標；
（2）直接寫出△A1OB1的面積為 ．
【分析】（1）根據(jù)軸對稱的性質(zhì)作圖，即可得出答案．
（2）利用割補法求三角形的面積即可．
【解答】解：（1）如圖，△A1OB1即為所求．
由圖可得，點A1（﹣1，﹣2），B1（2，﹣1）．
（2）△A1OB1的面積為＝．
故答案為：．
【點評】本題考查作圖﹣軸對稱變換，熟練掌握軸對稱的性質(zhì)是解答本題的關(guān)鍵．
24．如圖，在△ABC中，AB＝AC，D是三角形內(nèi)一點，連接AD，BD，CD，∠BDC＝90°，∠DBC＝45°．
（1）求證：∠BAD＝∠CAD；
（2）求∠ADB的度數(shù)．
【分析】（1）先根據(jù)三角形內(nèi)角和定理求出∠BCD＝180°﹣∠BDC﹣∠DBC＝45°，利用等角對等邊得出DB＝DC．再根據(jù)SSS證明△ABD≌△ACD，那么∠BAD＝∠CAD；
（2）根據(jù)全等三角形的對應(yīng)角相等得出∠ADB＝∠ADC，再利用周角的定義即可求出∠ADB的度數(shù)．
【解答】（1）證明：∵∠BDC＝90°，∠DBC＝45°，
∴∠BCD＝180°﹣∠BDC﹣∠DBC＝45°，
∴∠DBC＝∠BCD，
∴DB＝DC．
在△ABD與△ACD中，
，
∴△ABD≌△ACD（SSS），
∴∠BAD＝∠CAD；
（2）解：∵△ABD≌△ACD（SSS），
∴∠ADB＝∠ADC，
∵∠ADB+∠ADC+∠BDC＝360°，∠BDC＝90°，
∴∠ADB＝（360°﹣90°）＝135°．
【點評】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理，等腰三角形的判定，周角的定義．證明出△ABD≌△ACD是解題的關(guān)鍵．
25．我們學(xué)習(xí)過：“如果兩個圖形關(guān)于某條直線對稱，那么對稱軸是任何一對對應(yīng)點所連線段的垂直平分線”．請按要求完成下面三道小題：
（1）如圖1，AB＝AC．這兩條線段一定關(guān)于某條直線對稱，請作出對稱軸a（尺規(guī)作圖，保留作圖痕跡）；
（2）如圖2，已知線段AB和點C．求作線段CD（不要求尺規(guī)作圖），使它與AB成軸對稱．且A與C是對稱點，
請作出線段CD并標明對稱軸b；
（3）如圖3，任意位置的兩條線段AB，CD，AB＝CD．你能通過對其中一條線段作有限次的軸對稱使它們重合嗎？如果能，請描述操作方法；如果不能，請說明理由．
【分析】（1）作∠ABC的平分線所在直線即可；
（2）先連接AC；作線段AC的垂直平分線，即為對稱軸b；作點B關(guān)于直線b的對稱點D；連接CD即為所求．
（3）先類比（2）的步驟畫圖，通過一次軸對稱，把問題轉(zhuǎn)化為（1）的情況，再做一次軸對稱即可滿足條件．
【解答】解：（1）如圖1，作∠ABC的平分線所在直線a．（答案不唯一）
（2）如圖2所示：
①連接AC；
②作線段AC的垂直平分線，即為對稱軸b；
③作點B關(guān)于直線b的對稱點D；
④連接CD即為所求．
（3）如圖3所示，連接BD；作線段BD的垂直平分線，即為對稱軸c；作點C關(guān)于直線c的對稱點E；連接BE；作∠ABE的角平分線所在直線d即為對稱軸，
故其中一條線段作2次的軸對稱即可使它們重合．
【點評】本題主要考查了利用軸對稱變換進行作圖，軸對稱的性質(zhì)，線段垂直平分線的性質(zhì)，熟練掌握以上知識是解題的關(guān)鍵．
26．如圖，過等邊△ABC的頂點B在∠ABC內(nèi)部作射線BP，∠ABP＝α（0°＜α＜60°且α≠30°），點A關(guān)于射線BP的對稱點為點D，直線CD交BP于點E，連接BD，AE．
（1）依據(jù)題意，在圖1中補全圖形；
（2）在α（0°＜α＜60°且α≠30°）α≠30°）的變化過程中，∠AEB的度數(shù)是否會發(fā)生變化？若變化，請直接用含α的式子表示∠AEB的度數(shù)；若不變，請直接寫出∠AEB的度數(shù)；
（3）用等式表示線段AE，BE，CE之間的數(shù)量關(guān)系，并給予證明．
【分析】（1）根據(jù)題意補全圖形，即可得出結(jié)論；
（2）先判斷出∠ABP＝∠DBP＝α，BD＝BA，在判斷出AB＝AC＝BC，∠ABC＝∠ACB＝60°，進而得出BD＝BC，∠CBD＝60°+2α，∠BDC＝∠BCD＝60°+α，即可得出結(jié)論；
（3）先判斷出△AME是等邊三角形，得出AE＝AM＝EM，∠EAM＝60°，在判斷出∠BAM＝∠CAE，進而判斷出△ABM≌△ACE（SAS），得出BM＝CE，則可得出結(jié)論．
【解答】解：（1）補全圖形如圖1所示，
（2）∠AEB不發(fā)生變化，∠AEB＝60°；
∵點A關(guān)于射線CP的對稱點為點D，
∴∠ABP＝∠DBP＝α，BD＝BA，
∵△ABC是等邊三角形，
∴AB＝AC＝BC，∠ABC＝∠ACB＝60°，
∴BD＝BC，∠CBD＝∠ABC﹣∠ABD＝60°﹣2α，
∴∠BDC＝∠BCD＝60°+α，
∵∠BDC＝∠BEC+∠DBE＝∠BEC+α＝60°+α，
∴∠BEC＝60°，
∴∠AEB＝∠BEC＝60°，
∴∠AEB不發(fā)生變化，∠AEB＝60°；
（3）BE＝CE+AE．
證明：如圖2，在BE上取一點M，使EM＝AE，連接AM，
∵∠AEB＝60°，
∴△AME是等邊三角形，
∴AE＝AM＝EM，∠EAM＝60°，
∵∠BAM+∠CAM＝∠CAM+∠CAE＝60°，
∴∠BAM＝∠CAE，
∵AB＝AC，
∴△ABM≌△ACE（SAS），
∴BM＝CE，
∴BE＝BM+ME＝CE+AE．
【點評】此題是幾何變換綜合題，主要考查了等邊三角形的性質(zhì)和判定，全等三角形的判定和性質(zhì)，軸對稱的性質(zhì)，構(gòu)造出全等三角形是解本題的關(guān)鍵．
27．在平面直角坐標系xOy中，直線l為一、三象限角平分線．點P關(guān)于y軸的對稱點稱為P的一次反射點，記作P1，P1關(guān)于直線l的對稱點稱為點P的二次反射點，記作P2，例如，點P（﹣2，5）的一次反射點為P1（2，5），二次反射點為P2（5，2）．根據(jù)定義，回答下列問題：
（1）點（2，5）的一次反射點為 （﹣2，5） ，二次反射點為 （5，﹣2） ；
（2）若點A在第二象限，點A1，A2分別是點A的一次、二次反射點，∠A1OA2＝50°，求射線OA與x軸所夾銳角的度數(shù)．
（3）若點A在y軸左側(cè)，點A1，A2分別是點A的一次、二次反射點，△AA1A2是等腰直角三角形，請直接在平面直角坐標系中畫出由符合題意的點A所構(gòu)成的圖形．
【分析】（1）根據(jù)一次反射點，二次反射點的定義求解；
（2）分兩種情況：當點A靠近y軸在第二象限時，當 點A靠近x軸在第二象限時，作出相應(yīng)圖形，然后利 用各角之間的關(guān)系及軸對稱的性質(zhì)求解即可；
（3）分三種情況進行討論：①當AA1⊥AA2 時，②當AA1⊥A1A2 時，③當AA2⊥A1A2 時；分別利用等腰直角三角形的性質(zhì)及軸對稱的性質(zhì)求解即可．
【解答】（1）∵點 （2，5）關(guān)于y軸的對稱點為（﹣2，5），
∴一次反射點為 （﹣2，5），（﹣2，5）關(guān)于直線l的對稱點為 （5，﹣2），
∴二次反射點為（5，﹣2）；
故答案為：（﹣2，5），（5，﹣2）；
（2）如圖1中，當點A靠近y軸在第二象限時，如圖所示：
A1，A2 關(guān)于直線l對稱，點A、A1 關(guān)于y軸對稱，
∴∠AOE＝∠A1OE，∠A1OG＝∠A2OG，∠A1OE＝∠A2OF，∠A1OA2＝50°，
∴，
∴∠AOE＝∠A1OE＝20°，
∴∠AOF＝90°+20°＝110°，
∴OA與x軸所夾銳角的度數(shù)為 180°﹣110°＝70°；
同理當點A靠近x軸在第二象限時，OA與x軸所夾銳角的度數(shù)為 20°，
綜上可得：OA與x軸所夾銳角的度數(shù)為20°或70°；
（3）設(shè)點A（x，y），則 A1（﹣x，y），A2（y，﹣x），
∵ΔAA1A2 是等腰直角三角形，
∴分三種情況：
①當AA1⊥AA2時，x﹣y＝0，即x＝y(tǒng)，且 AA1＝AA2，即，
解得：x＝y(tǒng)，即y＝x（x＜0）上的點均滿足，
如圖所示：
②當 AA1⊥A1A2時，不存在；
③當 AA2⊥A1A2時，
∠A2AA1＝45°，且AA2＝A1A2，即 ，
解得y＝0，即在x軸的負半軸上，
如圖所示：
綜上所述，點A在x軸的負半軸上或直線y＝x（x＜0）上．
【點評】本題考查坐標與圖形變化——對稱，等腰直角三角形的判定和性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是理解一次反射點、二次反射點的定義，學(xué)會利用圖象法解決問題，同時進行分類討論．
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