2023-2024學(xué)年廣東省惠州市龍門縣八年級（下）期中數(shù)學(xué)試卷（含解析）

這是一份2023-2024學(xué)年廣東省惠州市龍門縣八年級（下）期中數(shù)學(xué)試卷（含解析），共23頁。試卷主要包含了選擇題，填空題，解答題等內(nèi)容，歡迎下載使用。
1．要使得式子有意義，則x的取值范圍是（ ）
A．x＞2B．x≥2C．x＜2D．x≤2
2．下列計算正確的是（ ）
A．B．C．D．
3．下列各式中，能與合并的是（ ）
A．B．C．D．
4．以下列各組數(shù)為邊長，能組成直角三角形的是（ ）
A．3，4，5B．2，3，4C．4，5，6D．8，9，10
5．下列說法中正確的是（ ）
A．有一個角是直角的四邊形是矩形
B．兩條對角線互相垂直的四邊形是菱形
C．兩條對角線互相垂直平分的四邊形是正方形
D．兩條對角線相等的菱形是正方形
6．如圖，平地上A、B兩點被池塘隔開，測量員在岸邊選一點C，并分別找到AC和BC的中點D、E，測量得DE＝16米，則A、B兩點間的距離為（ ）
A．30米B．32米C．36米D．48米
7．如圖，在四邊形ABCD中，對角線AC與BD相交于點O，下列條件中，不能判定四邊形ABCD是平行四邊形的是（ ）
A．AB＝CD，AD＝BCB．AB∥CD，AD＝BC
C．AB∥CD，AD∥BCD．OA＝OC，OB＝OD
8．在勾股定理的學(xué)習(xí)過程中，我們已經(jīng)學(xué)會了運用如圖所示的圖形驗證著名的勾股定理，這種根據(jù)圖形直觀推論或驗證數(shù)學(xué)規(guī)律和公式的方法，簡稱為“無字證明”．實際上它也可用于驗證數(shù)與代數(shù)、圖形與幾何等領(lǐng)域中的許多數(shù)學(xué)公式和規(guī)律，它體現(xiàn)的數(shù)學(xué)思想是（ ）
A．統(tǒng)計思想B．分類思想
C．?dāng)?shù)形結(jié)合思想D．方程思想
9．如圖，將長方形ABCD沿對角線BD折疊，使點C落在點C′處，BC′交AD于E，AD＝16，AB＝8，則重疊部分（即△BDE）的面積為（ ）
A．24B．30C．40D．80
10．如圖，已知菱形ABCD，AB＝4，∠BAD＝120°，E為BC的中點，P為對角線
BD上一點，則PE+PC的最小值等于（ ）
A．B．2C．D．8
二、填空題（本大題共5小題，每小題3分，共15分）
11．比較大?。? ．
12．化簡的結(jié)果為 ．
13．已知一個直角三角形的兩邊長分別為6和8，則另一條邊長為 ．
14．如圖，在平行四邊形ABCD中，DB＝DC，∠A＝65°，CE⊥BD于E，則∠BCE＝ 度．
15．如圖，點P是矩形ABCD的對角線BD上一點，過點P作EF∥BC，分別交AB，CD于點E，F(xiàn)，連接PA，PC．若BE＝2，PF＝6，則圖中陰影部分的面積為 ．
三、解答題（一）（16題10分，每小題10分，17、18題各7分，共24分）
16．計算題
（1）
（2）．
17．已知：如圖，四邊形ABCD中，∠ACB＝90°，AB＝15，BC＝9，AD＝5，DC＝13，求四邊形ABCD的面積．
18．已知：如圖，在?ABCD中，E、F是對角線AC上的兩點，且AE＝CF．求證：DE＝BF．
四、解答題（二）（本大題共3小題，每小題9分，共27分）
19．閱讀理解題，下面我們觀察：
．反之，所以，所以．
完成下列各題：
（1）把寫成（a+b）2的形式；
（2）化簡：；
（3）化簡：．
20．如圖，平行四邊形ABCD中，AC⊥BC，過點D作DE∥AC交BC的延長線于點E，點M為AB的中點，連接CM．
（1）求證：四邊形ADEC是矩形；
（2）若CM＝6.5，且AC＝12，求四邊形ADEB的面積．
21．“為了安全，請勿超速”．如圖，一條公路建成通車，在某路段MN上限速60千米小時，為了檢測車輛是否超速，在公路MN旁設(shè)立了觀測點C，從觀測點C測得一小車從點A到達(dá)點B行駛了5秒，已知∠CBN＝60°，BC＝200米，米．
（1）請求出觀測點C到公路MN的距離；
（2）此車超速了嗎？請說明理由．（參考數(shù)據(jù)：）
五、解答題（三）（本大題共2小題，每小題12分，共24分）
22．綜合與實踐課上，老師帶領(lǐng)同學(xué)們以“矩形和平行四邊形的折疊”為主題開展數(shù)學(xué)活動．
（1）操作判斷：
如圖1，在矩形ABCD中，點E為邊AB的中點，沿DE折疊，使點A落在點F處，把紙片展平，延長DF與BC交于點G．請寫出線段FG與線段BG的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；
（2）遷移思考：
如圖1，若AB＝4，按照（1）中的操作進(jìn)行折疊和作圖，當(dāng)CG＝2時，求AD的值；
（3）拓展探索：
如圖2，四邊形ABCD為平行四邊形，其中∠A與∠C是對角，點E為邊AB的中點，沿DE折疊，使點A落在點F處，把紙片展平，延長DF與射線BC交于點G．若AD＝2，CG＝0.5，請直接寫出線段DG的值．
23．已知，如圖，O為坐標(biāo)原點，四邊形OABC為矩形，A（10，0），C（0，3），點D是OA的中點，動點P在線段BC上以每秒2個單位長的速度由點C向B運動．設(shè)動點P的運動時間為t秒．
（1）當(dāng)t為何值時，四邊形PODB是平行四邊形；
（2）在直線CB上是否存在一點Q，使得O、D、Q、P四點為頂點的四邊形是菱形？若存在，求t的值，并求出Q點的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由；
（3）在線段PB上有一點M且PM＝5，直接寫出四邊形OAMP的周長的最小值 ，并在圖上畫圖標(biāo)出點M的位置，
參考答案
一、選擇題（本大題3小題，每小題3分，共30分）
1．要使得式子有意義，則x的取值范圍是（ ）
A．x＞2B．x≥2C．x＜2D．x≤2
【分析】根據(jù)二次根式有意義，被開方數(shù)大于等于0，列不等式求解．
解：根據(jù)題意，得x﹣2≥0，
解得x≥2．
故選：B．
【點評】本題主要考查二次根式有意義的條件的知識點，代數(shù)式的意義一般從三個方面考慮：（1）當(dāng)代數(shù)式是整式時，字母可取全體實數(shù)；（2）當(dāng)代數(shù)式是分式時，分式的分母不能為0；（3）當(dāng)代數(shù)式是二次根式時，被開方數(shù)為非負(fù)數(shù)．
2．下列計算正確的是（ ）
A．B．C．D．
【分析】根據(jù)二次根式的運算法則將各式計算后進(jìn)行判斷即可．
解：與無法合并，則A不符合題意；
2﹣＝，則B不符合題意；
×＝＝，則C符合題意；
÷3＝＝，則D不符合題意；
故選：C．
【點評】本題考查二次根式的運算，熟練掌握相關(guān)運算法則是解題的關(guān)鍵．
3．下列各式中，能與合并的是（ ）
A．B．C．D．
【分析】將化為最簡，再將各選項的二次根式化為最簡即可得出答案．
解：＝2，＝2，＝2，＝3，＝4，
∴能和合并的是．
故選：C．
【點評】本題考查最簡二次根式的知識，難度不大，注意將各項化為最簡后再判斷．
4．以下列各組數(shù)為邊長，能組成直角三角形的是（ ）
A．3，4，5B．2，3，4C．4，5，6D．8，9，10
【分析】根據(jù)勾股定理的逆定理解答．
解：A、能，因為32+42＝52；
B、不能，因為22+32≠42；
C、不能，因為42+52≠62；
D、不能，因為82+92≠102．
故選：A．
【點評】解答此題要用到勾股定理的逆定理：已知三角形ABC的三邊滿足a2+b2＝c2，則三角形ABC是直角三角形．
5．下列說法中正確的是（ ）
A．有一個角是直角的四邊形是矩形
B．兩條對角線互相垂直的四邊形是菱形
C．兩條對角線互相垂直平分的四邊形是正方形
D．兩條對角線相等的菱形是正方形
【分析】依據(jù)矩形、菱形和正方形的判定方法，即可得到正確結(jié)論．
解：A．有一個角是直角的四邊形不一定是矩形，故本選項錯誤；
B．兩條對角線互相垂直的四邊形不一定是菱形，故本選項錯誤；
C．兩條對角線互相垂直平分的四邊形是菱形，故本選項錯誤；
D．兩條對角線相等的菱形是正方形，故本選項正確．
故選：D．
【點評】本題主要考查了矩形、菱形和正方形的判定，正方形的判定沒有固定的方法，只要判定既是矩形又是菱形就可以判定．
6．如圖，平地上A、B兩點被池塘隔開，測量員在岸邊選一點C，并分別找到AC和BC的中點D、E，測量得DE＝16米，則A、B兩點間的距離為（ ）
A．30米B．32米C．36米D．48米
【分析】由三角形中位線定理得到DE＝AB，而DE＝16米，即可求出AB＝32米．
解：∵D、E分別是AC、BC中點，
∴DE是△ABC的中位線，
∴DE＝AB，
∵DE＝16米，
∴AB＝32米，
∴A、B兩點間的距離為32米．
故選：B．
【點評】本題考查三角形中位線定理，關(guān)鍵是由三角形中位線定理得到DE＝AB．
7．如圖，在四邊形ABCD中，對角線AC與BD相交于點O，下列條件中，不能判定四邊形ABCD是平行四邊形的是（ ）
A．AB＝CD，AD＝BCB．AB∥CD，AD＝BC
C．AB∥CD，AD∥BCD．OA＝OC，OB＝OD
【分析】由平行四邊形的定義和判定定理，容易得出結(jié)論．
解：∵兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形，
∴A正確；
∵一組對邊平行，另一組對邊相等的四邊形不一定是平行四邊形，
∴B不正確；
∵兩組對邊分別平行的四邊形是平行四邊形，
∴C正確；
∵對角線互相平分的四邊形是平行四邊形，
∴D正確；
故選：B．
【點評】本題考查了平行四邊形的定義、平行四邊形的判定定理；熟練掌握平行四邊形的判定方法是解決問題的關(guān)鍵．
8．在勾股定理的學(xué)習(xí)過程中，我們已經(jīng)學(xué)會了運用如圖所示的圖形驗證著名的勾股定理，這種根據(jù)圖形直觀推論或驗證數(shù)學(xué)規(guī)律和公式的方法，簡稱為“無字證明”．實際上它也可用于驗證數(shù)與代數(shù)、圖形與幾何等領(lǐng)域中的許多數(shù)學(xué)公式和規(guī)律，它體現(xiàn)的數(shù)學(xué)思想是（ ）
A．統(tǒng)計思想B．分類思想
C．?dāng)?shù)形結(jié)合思想D．方程思想
【分析】根據(jù)圖形直觀推論或驗證數(shù)學(xué)規(guī)律和公式的方法體現(xiàn)的數(shù)學(xué)思想為數(shù)形結(jié)合思想．
解：這種根據(jù)圖形直觀推論或驗證數(shù)學(xué)規(guī)律和公式的方法，簡稱為“無字證明”，它體現(xiàn)的數(shù)學(xué)思想是數(shù)形結(jié)合思想，
故選：C．
【點評】本題考查了勾股定理的證明，掌握根據(jù)圖形直觀推論或驗證數(shù)學(xué)規(guī)律和公式的方法體現(xiàn)的數(shù)學(xué)思想為數(shù)形結(jié)合思想．
9．如圖，將長方形ABCD沿對角線BD折疊，使點C落在點C′處，BC′交AD于E，AD＝16，AB＝8，則重疊部分（即△BDE）的面積為（ ）
A．24B．30C．40D．80
【分析】由折疊的性質(zhì)和矩形的性質(zhì)可證BE＝DE，設(shè)AE＝x，則BE＝DE＝8﹣x，在直角△ABE中利用勾股定理即可列方程求得x的值，然后根據(jù)三角形面積公式求解．
解：∵四邊形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，
∴∠EDB＝∠CBD，
由折疊的性質(zhì)得：∠C'BD＝∠CBD，
∴∠EDB＝∠C'BD，
∴BE＝DE，
設(shè)AE＝x，則BE＝DE＝16﹣x，
在Rt△ABE中，AB2+AE2＝BE2，
即82+x2＝（16﹣x）2，
解得：x＝6，
則AE＝6，DE＝16﹣6＝10，
則S△BDE＝DE?AB＝×10×8＝40，
故選：C．
【點評】本題考查了翻折變換（折疊問題）、矩形的性質(zhì)以及勾股定理，正確利用勾股定理求得AE的長是解決本題的關(guān)鍵．
10．如圖，已知菱形ABCD，AB＝4，∠BAD＝120°，E為BC的中點，P為對角線
BD上一點，則PE+PC的最小值等于（ ）
A．B．2C．D．8
【分析】菱形A與C關(guān)于BD對稱連接AE，即為PE+PC的最小值；在Rt△ABE中即可求解；
解：菱形A與C關(guān)于BD對稱，
連接AE，即為PE+PC的最小值；
∵AB＝4，∠BAD＝120°，E為BC的中點，
∴∠ABC＝60°，BE＝2，
在Rt△ABE中，AE＝2；
故選：B．
【點評】本題考查利用軸對稱求最短距離；通過菱形的軸對稱性確定點C的對稱點是解題的關(guān)鍵．
二、填空題（本大題共5小題，每小題3分，共15分）
11．比較大?。?＞ ．
【分析】先把兩個實數(shù)平方，然后根據(jù)實數(shù)的大小的比較方法即可求解．
解：∵（）2＝75＞（）2＝72，
而＞0，＞0，
∴＞．
故填空答案：＞．
【點評】此題主要考查了實數(shù)的大小的比較，實數(shù)大小比較法則：
（1）正數(shù)大于0，0大于負(fù)數(shù)，正數(shù)大于負(fù)數(shù)；
（2）兩個負(fù)數(shù)，絕對值大的反而?。?br>12．化簡的結(jié)果為 ．
【分析】先將原式化成，然后運用逆用積的乘方運算法則即可解答．
解：
＝
＝
＝
＝
＝．
故答案為：．
【點評】本題主要考查了逆用積的乘方、平方差公式等知識點，掌握ambm＝（ab）m成為解題的關(guān)鍵．
13．已知一個直角三角形的兩邊長分別為6和8，則另一條邊長為 10或 ．
【分析】分邊長8為直角邊和斜邊分別求解即可．
解：當(dāng)邊長8為直角邊時，則另一條邊長為；
當(dāng)邊長8為斜邊時，則另一邊長為，
故答案為：10或．
【點評】本題考查勾股定理，解題的關(guān)鍵是掌握勾股定理的運用．
14．如圖，在平行四邊形ABCD中，DB＝DC，∠A＝65°，CE⊥BD于E，則∠BCE＝ 25 度．
【分析】平行四邊形對角相等，所以可先求出∠BCD，在等腰三角形中，利用等邊對等角這一性質(zhì)，可以求出∠DBC，再利用直角三角形兩銳角互余即可求解．
解：∵A＝65°，
∴∠BCD＝65°；
∵DB＝DC，
∴∠BCD＝∠DBC＝65°，
∵CE⊥BD，
∴∠CEB＝90°，
∴∠BCE＝90°﹣∠DBC＝25°．
故答案為：25．
【點評】主要考查了平行四邊形的基本性質(zhì)，并利用性質(zhì)解題．平行四邊形基本性質(zhì)：①平行四邊形兩組對邊分別平行；②平行四邊形的兩組對邊分別相等；③平行四邊形的兩組對角分別相等；④平行四邊形的對角線互相平分．
15．如圖，點P是矩形ABCD的對角線BD上一點，過點P作EF∥BC，分別交AB，CD于點E，F(xiàn)，連接PA，PC．若BE＝2，PF＝6，則圖中陰影部分的面積為 12 ．
【分析】由矩形的性質(zhì)可證明S△PEA＝S△PFC，即可求解．
解：作PM⊥AD于M，交BC于N．如圖2：
則四邊形AEPM，四邊形DFPM，四邊形CFPN，四邊形BEPN都是矩形，
∴CF＝BE＝2，
∴S△AEP＝S△AMP，S△CFP＝S△CNP，
∴S△AEP＝S△CFP＝×PF×CF＝×6×2＝6，
∴圖中陰影部分的面積S陰＝6+6＝12．
故答案為：12．
【點評】本題考查矩形的性質(zhì)、三角形的面積等知識，解題的關(guān)鍵是證明S△PEB＝S△PFD．
三、解答題（一）（16題10分，每小題10分，17、18題各7分，共24分）
16．計算題
（1）
（2）．
【分析】（1）先把各個二次根式進(jìn)行化簡，再合并同類二次根式即可；
（2）根據(jù)二次根式的乘除混合運算法則計算．
解：（1）＝3﹣2+﹣3＝﹣；
（2）＝4××＝．
【點評】本題考查的是二次根式的混合運算，掌握二次根式乘法、除法及加減法運算法則是解題的關(guān)鍵．
17．已知：如圖，四邊形ABCD中，∠ACB＝90°，AB＝15，BC＝9，AD＝5，DC＝13，求四邊形ABCD的面積．
【分析】先利用勾股定理求出AC＝12，再利用勾股定理的逆定理證明△ACD是直角三角形，然后根據(jù)三角形的面積公式列式計算得到△ACD的面積，然后求得△ABC的面積，相加即可得解．
解：在Rt△ACB中，∠ACB＝90°，AB＝15，BC＝9，
∴AC＝＝＝12．
∵AD＝5，CD＝13，AC＝12，
∴AD2+AC2＝52+122＝169，CD2＝132＝169，
∴CD2＝AD2+AC2，
∴△ACD是直角三角形，且∠CAD＝90°，
∴S△ACD＝AD?AC
＝×5×12
＝30；
S△ABC＝AC?BC
＝×12×9
＝54，
∴30+54＝84，
∴四邊形ABCD的面積為84．
【點評】本題考查了勾股定理，勾股定理的逆定理，三角形的面積等知識，解題的關(guān)鍵是熟練掌握勾股定理以及逆定理的應(yīng)用，屬于中考?？碱}型．
18．已知：如圖，在?ABCD中，E、F是對角線AC上的兩點，且AE＝CF．求證：DE＝BF．
【分析】首先利用平行四邊形的性質(zhì)，證出AD＝CB，AD∥CB，進(jìn)而證出∠DAE＝∠BCF，再結(jié)合已知證得△ADE≌△CBF，最后利用全等三角形的性質(zhì)證出結(jié)論．
【解答】證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴AD＝CB，AD∥CB，
∴∠DAE＝∠BCF，
∵AE＝CF，
∴△ADE≌△CBF（SAS），
∴DE＝BF．
【點評】本題考查的是平行四邊形的性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)與判定，找到圖中的全等三角形是解本題的關(guān)鍵．
四、解答題（二）（本大題共3小題，每小題9分，共27分）
19．閱讀理解題，下面我們觀察：
．反之，所以，所以．
完成下列各題：
（1）把寫成（a+b）2的形式；
（2）化簡：；
（3）化簡：．
【分析】（1）利用二次根式的性質(zhì)結(jié)合完全平方公示直接化簡得出即可；
（2）利用二次根式的性質(zhì)結(jié)合完全平方公示直接化簡得出即可；
（3）利用二次根式的性質(zhì)結(jié)合完全平方公示直接化簡得出即可．
解：（1）；
（2）；
（3）．
【點評】此題主要考查了二次根式的性質(zhì)與化簡，正確理解二次根式化簡的意義，以及完全平方公式是解題關(guān)鍵．
20．如圖，平行四邊形ABCD中，AC⊥BC，過點D作DE∥AC交BC的延長線于點E，點M為AB的中點，連接CM．
（1）求證：四邊形ADEC是矩形；
（2）若CM＝6.5，且AC＝12，求四邊形ADEB的面積．
【分析】（1）利用平行線的性質(zhì)分析可得∠DAC＝∠ACE＝∠E＝90°，從而求證四邊形ADEC是矩形；
（2）根據(jù)直角三角形斜邊中線等于斜邊的一半和勾股定理求得BC的長度，從而利用矩形和三角形的面積公式計算求解．
【解答】（1）證明：平行四邊形ABCD中，AD∥BC，
∵AC⊥BC，
∴∠ACE＝∠ACB＝90°
∴∠DAC＝∠ACE＝90°，
∵DE∥AC，
∴∠ACE＝∠E＝90°，
∴∠DAC＝∠ACE＝∠E＝90°，
∴四邊形ADEC是矩形；
（2）解：∵AC⊥BC，點M為AB的中點，CM＝6.5，
∴AB＝2CM＝13，
在Rt△ACB中，，
平行四邊形ABCD中，AD＝BC＝5，
在矩形ADEC中，AD＝CE＝5，
∴四邊形ADEB的面積＝S矩形ADEC+S△ACB
＝
＝
＝
＝90．
【點評】本題考查平行四邊形的性質(zhì)，矩形的判定，理解直角三角形斜邊中線等于斜邊的一半，掌握平行四邊形的性質(zhì)及矩形的判定方法是解題關(guān)鍵．
21．“為了安全，請勿超速”．如圖，一條公路建成通車，在某路段MN上限速60千米小時，為了檢測車輛是否超速，在公路MN旁設(shè)立了觀測點C，從觀測點C測得一小車從點A到達(dá)點B行駛了5秒，已知∠CBN＝60°，BC＝200米，米．
（1）請求出觀測點C到公路MN的距離；
（2）此車超速了嗎？請說明理由．（參考數(shù)據(jù)：）
【分析】（1）過點C作CH⊥MN于H，先求出BH的長，再用勾股定理求解即可；
（2）先求出AH的長，再求出AB的長，進(jìn)而求出汽車的速度，即可得出答案．
解：（1）過點C作CH⊥MN于H，
在Rt△BCH中，
∵∠CBN＝60°，
∴∠BCH＝30°．
∵BC＝200米
∴米，
∴米，
即觀測點C到公路MN的距離為米．
（2）∵米，∠CHA＝90°，
∴米，
∴（米），
∴車速為（米/秒），
∵60千米/小時＝米秒，，
∴此車沒有超速．
【點評】此題主要考查了勾股定理的應(yīng)用；熟練掌握勾股定理是解決問題的關(guān)鍵．
五、解答題（三）（本大題共2小題，每小題12分，共24分）
22．綜合與實踐課上，老師帶領(lǐng)同學(xué)們以“矩形和平行四邊形的折疊”為主題開展數(shù)學(xué)活動．
（1）操作判斷：
如圖1，在矩形ABCD中，點E為邊AB的中點，沿DE折疊，使點A落在點F處，把紙片展平，延長DF與BC交于點G．請寫出線段FG與線段BG的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；
（2）遷移思考：
如圖1，若AB＝4，按照（1）中的操作進(jìn)行折疊和作圖，當(dāng)CG＝2時，求AD的值；
（3）拓展探索：
如圖2，四邊形ABCD為平行四邊形，其中∠A與∠C是對角，點E為邊AB的中點，沿DE折疊，使點A落在點F處，把紙片展平，延長DF與射線BC交于點G．若AD＝2，CG＝0.5，請直接寫出線段DG的值．
【分析】（1）由“HL”可證Rt△EFG≌Rt△EBG，可得FG＝BG；
（2）由勾股定理可求解；
（3）分兩種情況討論，由折疊的性質(zhì)可得AD＝DF＝2，∠A＝∠DFE，EF＝AE，由等腰三角形的性質(zhì)可求FG的長，即可求解．
解：（1）FG＝BG，
理由如下：如圖，連接EG，
∵四邊形ABCD是矩形，
∴∠A＝∠B＝90°．
∵點E是AB的中點，
∴AB＝BE．
由折疊可知AE＝EF，
∴EF＝EB．
在Rt△EFG和Rt△EBG中，
∴Rt△EFG≌Rt△EBG（HL），
∴FG＝BG；
（2）∵四邊形ABCD是矩形，AB＝4，
∴CD＝AB＝4．
∴．
令A(yù)D＝x，則DF＝AD＝x，
由（1）知FG＝BG＝x﹣2，
∴．
解得，
即AD的長為．
（3）當(dāng)點F在DC的下方時，如圖2，連接BF，
∵折疊，
∴AD＝DF＝2，∠A＝∠DFE，EF＝AE，
∵∠A+∠ABC＝180°，∠DFE+∠EFG＝180°，
∴∠EFG＝∠ABC，
∵點E為邊AB的中點，
∴AE＝BE，
∴EF＝BE，
∴∠EFB＝∠EBF，
∴∠GFB＝∠GBF，
∴GF＝BG＝BC﹣CG＝2﹣0.5＝1.5，
∴DG＝3.5；
當(dāng)點F在DC的上方時，如圖3，連接BF，
同理可求：FG＝BG＝BC+CG＝2+0.5＝2.5，
∴DG＝4.5，
綜上所述：DG的長為3.5或4.5．
【點評】本題是四邊形綜合題，考查了矩形的性質(zhì)，平行四邊形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，靈活運用這些性質(zhì)解決問題是解題的關(guān)鍵．
23．已知，如圖，O為坐標(biāo)原點，四邊形OABC為矩形，A（10，0），C（0，3），點D是OA的中點，動點P在線段BC上以每秒2個單位長的速度由點C向B運動．設(shè)動點P的運動時間為t秒．
（1）當(dāng)t為何值時，四邊形PODB是平行四邊形；
（2）在直線CB上是否存在一點Q，使得O、D、Q、P四點為頂點的四邊形是菱形？若存在，求t的值，并求出Q點的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由；
（3）在線段PB上有一點M且PM＝5，直接寫出四邊形OAMP的周長的最小值 ，并在圖上畫圖標(biāo)出點M的位置，
【分析】（1）先求出OA，進(jìn)而求出OD＝5，再由運動知BP＝10﹣2t，進(jìn)而由平行四邊形的性質(zhì)建立方程10﹣2t＝5即可得出結(jié)論；
（2）分三種情況討論，利用菱形的性質(zhì)和勾股定理即可得出結(jié)論；
（3）先判斷出四邊形OAMP周長最小，得出AM+DM最小，即可確定出點M的位置，再用三角形的中位線得出BM，進(jìn)而求出PC，即可得出結(jié)論．
解：（1）∵四邊形OABC為矩形，A（10，0），C（0，3），
∴BC＝OA＝10，AB＝OC＝3，
∵點D是OA的中點，
∴，
由運動知，PC＝2t，
∴BP＝BC﹣PC＝10﹣2t，
∵四邊形PODB是平行四邊形，
∴PB＝OD＝5，
∴10﹣2t＝5，
∴t＝2.5；
（2）①當(dāng)Q點在P的右邊時，如圖1，
∵四邊形ODQP為菱形，
∴OD＝OP＝PQ＝5，
∴在Rt△OPC中，由勾股定理得：，
∴2t＝4，
∴t＝2，
∵CQ＝CP+PQ＝4+5＝9，
∴Q（9，3）；
②當(dāng)Q點在P的左邊且在BC線段上時，如圖2，
∵四邊形ODQP為菱形，
∴OD＝OQ＝PQ＝5，
∴在Rt△OCQ中，由勾股定理得：，
∴CP＝CQ+PQ＝4+5＝9，
∴2t＝9，
∴t＝4.5，
∵CQ＝4，
∴Q（4，3）；
③當(dāng)Q點在P的左邊且在BC的延長線上時，如圖3，
∵四邊形ODQP為菱形，
∴OD＝PQ＝OQ＝5，
∴在Rt△OCQ中，由勾股定理得：，
∴CP＝PQ﹣CQ＝5﹣4＝1，
∴2t＝1，
∴t＝0.5，
∵CQ＝4，
∴Q（﹣4，3）；
綜上所述，t＝2時，Q（9，3）；t＝4.5時，Q（4，3）；t＝0.5時，Q（﹣4，3）；
（3）如圖4，由（1）知，OD＝5，
∵PM＝5，
∴OD＝PM，
∵BC∥OA，
∴四邊形OPMD是平行四邊形，
∴OP＝DM，
∵四邊形OAMP的周長為OA+AM+PM+OP
＝10+AM+5+DM
＝15+AM+DM，
∴AM+DM最小時，四邊形OAMP的周長最小，
∴作點A關(guān)于BC的對稱點E，連接DE交PB于M，
∴AM＝EM，
∴AM+DM＝DM+EM，
∵兩點之間線段最短，
∴此時DM+EM最小，即AM+DM最小，
∵AE＝AB+BE＝3+3＝6，
∴AM+DM的最小值為，
∴四邊形OAMP的周長最小值為．
故答案為：．
【點評】本題考查了矩形的性質(zhì)，平行四邊形的性質(zhì)與判定，菱形的性質(zhì)，軸對稱的性質(zhì)，坐標(biāo)與圖形，勾股定理，分類討論是解題的關(guān)鍵．