黃金卷04-備戰(zhàn)中考數(shù)學(xué)模擬卷（全國通用）

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（考試時間：120分鐘 試卷滿分：120分）
注意事項(xiàng)：
1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號填寫在答題卡上。
2．回答選擇題時，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑。如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號。寫在本試卷上無效。
3．回答填空題時，請將每小題的答案直接填寫在答題卡中對應(yīng)橫線上。寫在本試卷上無效。
4．回答解答題時，每題必須給出必要的演算過程或推理步驟，畫出必要的圖形（包括輔助線），請將解答過程書寫在答題卡中對應(yīng)的位置上。寫在本試卷上無效。
5．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。
一、選擇題（本大題共10小題，每小題3分，共30分．在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一個選項(xiàng)是符合題目要求的）
1．下列各數(shù)中，是負(fù)數(shù)的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】解：A、，是正數(shù)，不符合題意；
B、，是負(fù)數(shù)，符合題意；
C、，是正數(shù)，不符合題意；
D、，是正數(shù)，不符合題意；
故選：B．
2．打陀螺是北方人們比較喜愛的一種游戲，圖中是一款陀螺的示意圖，其俯視圖為（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】解：該幾何體的俯視圖如圖，
．
故選：C．
3．某校九年級1班10名同學(xué)在“二十大知識”競賽中的成績?nèi)绫硭荆?8，90，75，88，90，91，92，100，80，88則這個班學(xué)生成績的眾數(shù)、中位數(shù)分別是（ ）
A．88，90B．3，C．90，89D．88，89
【答案】D
【解析】這個班學(xué)生成績的眾數(shù)是：88，
中位數(shù)；75，80，88，88， 88，90，90，91，92，100，
，
故選：D．
4．如圖，點(diǎn)，，以為邊作正方形，點(diǎn)E是邊上一點(diǎn)，且，則點(diǎn)E的坐標(biāo)為（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】解：過點(diǎn)E作于點(diǎn)H，
∵點(diǎn)，，
∴，
∵四邊形是正方形，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴,
∴點(diǎn)E的坐標(biāo)為，
故選：A
5．如圖，某園林公司計(jì)劃將一塊長200m、寬80m的矩形荒地改造成綠色公園，公園內(nèi)部修建四條寬度相等的石板路，余下區(qū)域（陰影部分）種植植被．若要使種植植被區(qū)域的面積占整個公園總面積的90%，求小路的寬．設(shè)小路的寬為，則可列方程為（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【解析】解：設(shè)小路的寬為x米，則種植植被區(qū)域的面積相當(dāng)于長為米，寬為米的矩形面積，
∴，
故選：A．
6．拋物線的對稱軸為直線，給出下列結(jié)論：①；②；③；④；⑤．其中正確的個數(shù)有（ ）

A．2個B．3個C．4個D．5個
【答案】A
【解析】解：∵拋物線開口向下，與軸的交點(diǎn)在正半軸上，
∴，
∴；故①錯誤；
∵拋物線與軸由2個交點(diǎn)，
∴，故②正確；
∵對稱軸為，
∴，
∴，故③錯誤；
∵拋物線過點(diǎn)，關(guān)于對稱軸的對稱點(diǎn)為：，
∴；故④正確；
由圖象可知：當(dāng)時，函數(shù)值小于時的函數(shù)值0，
即：，故⑤錯誤；
綜上，正確的有2個，
故選A．
7．如圖，兩個反比例函數(shù)和（其中）在第一象限內(nèi)的圖象依次是和，設(shè)點(diǎn)在上，軸于點(diǎn)，交于點(diǎn)，軸于點(diǎn)，交于點(diǎn)，則四邊形的面積為（ ）

A．B．C．D．
【答案】B
【解析】根據(jù)題意可得四邊形PAOB的面積＝S矩形OCPD?S△OBD?S△OAC，
由反比例函數(shù)y＝中k的幾何意義，可知其面積為k1?k2．
故選B．
8．如圖，將邊長為4，銳角為的菱形沿折疊，使頂點(diǎn)恰好落在邊的中點(diǎn)處，記為，則的長度為（ ）
A．B．C．3D．
【答案】B
【解析】解：如圖，過作于點(diǎn)，
，
邊長為4，銳角為的菱形，
，，，
，
是的中點(diǎn)，
，
，
，
，，
點(diǎn)與重合，
，，
由折疊的性質(zhì)得：，
設(shè)，
則，
在中，由勾股定理得：，
即，
解得：，
，
故選：B．
9．如圖，扇形中，，點(diǎn)為的中點(diǎn)，將扇形繞點(diǎn)順時針旋轉(zhuǎn)，點(diǎn)的對應(yīng)點(diǎn)為，連接，當(dāng)時，陰影部分的面積為( )
A．B． C． D．
【答案】D
【解析】解：如圖，連接，
∵，
∴，
∵是的中點(diǎn)，
∴，
∴是等邊三角形，
∴，
∴，
∴三點(diǎn)共線，
∴陰影部分的面積為，
故選：D．
10．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線l：與坐標(biāo)軸分別交于A，B兩點(diǎn)，點(diǎn)C在x軸正半軸上，且．點(diǎn)P為線段（不含端點(diǎn)）上一動點(diǎn)，將線段繞點(diǎn)O順時針旋轉(zhuǎn)得線段，連接，則線段的最小值為（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】解：如圖，過點(diǎn)P作軸，過點(diǎn)Q作軸，
即，
直線l：與坐標(biāo)軸交于A、B兩點(diǎn)，
，，
由旋轉(zhuǎn)可知：，，
，
，
在和中，
，
，
，，
設(shè)，．
點(diǎn)中，．
，即，
點(diǎn)是直線上的點(diǎn)，
記直線與x軸交與點(diǎn)N，
則，，
，
根據(jù)垂線段最短可知當(dāng)時，的長最短，
，
，
，
，
，
，，
，
．
故選：A．
二、填空題（本大題共7小題，每小題4分，共28分）
11．代數(shù)式﹣9m2+4n2分解因式的結(jié)果是 ．
【答案】
【解析】解：﹣9m2+4n2，
＝（2n）2﹣（3m）2，
＝（2n+3m）（2n﹣3m）．
故答案為：．
12．分式方程的解為 ．
【答案】
【解析】解：去分母得：3x+6＝5x+5，
解得：x＝，
經(jīng)檢驗(yàn)x＝是分式方程的解．
故答案為．
13．現(xiàn)有四張形狀、大小、質(zhì)地均相同的卡片，上面分別標(biāo)有數(shù)字1，2，3，4．從中隨機(jī)抽取一張卡片，那么抽取的卡片上的數(shù)字不大于2的概率是 ．
【答案】/
【解析】解：共有4種情況，摸出的卡片的數(shù)字不大于2的有2種，
∴摸出的卡片的數(shù)字不大于2的概率為：，
故答案為：．
14．如圖，在平行四邊形中，點(diǎn)E在邊上，連接并延長至點(diǎn)F，使，連接并延長至點(diǎn)G，使，連接若，，則的度數(shù)為
【答案】
【解析】解：四邊形是平行四邊形，
，，
，，
，
，，
是是中位線，
，
故答案為：
15．如圖，我國古代數(shù)學(xué)家趙爽的“弦圖”是由四個全等的直角三角形和一個小正方形拼成的一個大正方形，若小正方形和大正方形的面積分別為49和289，則圖中直角三角形內(nèi)切圓的半徑為 ．
【答案】3
【解析】解：如圖，設(shè)內(nèi)切圓的圓心為O，連接、，
，
則四邊形為正方形，
設(shè)直角三角形內(nèi)切圓的半徑為r，
，
，
，
，
，
而，
①，
小正方形和大正方形的面積分別為49和289，
，，
②，負(fù)值舍去，
把代入①得，③，
把③代入②中，得：
，
，
負(fù)值舍去，
直角三角形內(nèi)切圓的半徑為3，
故答案為：
16．如圖，是的直徑，，，點(diǎn)為弧的中點(diǎn)，點(diǎn)是直徑上的一個動點(diǎn)，則的最小值為 ．

【答案】4
【解析】解：作點(diǎn)B關(guān)于直徑的對稱點(diǎn)E，連接，根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短及軸對稱的性質(zhì)可得即為的最小值，如圖所示：

∴，
∵，
∴，
∵點(diǎn)為弧的中點(diǎn)，
∴與的度數(shù)為20°，
∴，
∴，
∵，
∴是等邊三角形，
∵，
∴，
即的最小值為4，
故答案為：4．
17．如圖，正方形ABCD中，，點(diǎn)E在CD邊上，且．將沿AE對折至，延長EF交邊BC于點(diǎn)G，連結(jié)AG、CF．則 ， ．
【答案】45°；
【解析】解：∵正方形ABCD
∴CD=BC =AB=6，∠D=∠B =∠BAD=∠BCD=90°，
∵CD=3DE，∴DE=2，EC=4，
∵將△ADE沿AE對折至△AFE，
∴AD=AF=AB，DE=EF=2，∠D=∠AFE=90°，∠DAE=∠FAE，
在Rt△ABG和Rt△AFG中，
，
∴Rt△ABG≌Rt△AFG（HL），
∴∠BAG=∠GAF，BG=GF，∠AGB=∠AGE，
∴∠GAF+∠FAE=∠BAG+∠DAE，即∠EAG=∠BAG+∠DAE，
∵∠EAG+∠BAG+∠DAE=∠BAD=90°，
∴∠EAG=45°，
∵GE2=EC2+GC2，
∴（BG+2）2=16+（6-BG）2，
∴BG=3，
∴CG=BC-BG=6-3=3，
∵S△GCE==×4×3=6，GF=BG=3，GE=GF+EF=3+2=5，
∴，即，
∴S△GFC=，
故答案為：45°；．
三、解答題（本大題共8小題，共62分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟）
18．（1）計(jì)算：；
（2）解不等式組：，并寫出它的所有整數(shù)解．
【解析】解：（1）原式＝
＝；
（2）
解不等式①得：，
解不等式②得：，
∴不等式組的解集為，
∴不等式組的整數(shù)解為1，2．
19．如圖，三個頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別為，，．
(1)請畫出關(guān)于原點(diǎn)的中心對稱圖形；
(2)在軸上找一點(diǎn)，使的值最小，請直接寫出點(diǎn)的坐標(biāo) ．
【解析】（1）解：如圖，即為所求；
（2）解：如圖，點(diǎn)即為所求，由圖可得，點(diǎn)的坐標(biāo)為．
理由：∵點(diǎn)與點(diǎn)關(guān)于軸對稱，
∴，
∴，
根據(jù)兩點(diǎn)之間，線段最短，可得此時的值最?。?br>故答案為：．
20．已知關(guān)于x的一元二次方程．
(1)若方程有實(shí)數(shù)根，求實(shí)數(shù)m的取值范圍；
(2)若方程的兩個根，滿足，求m的值．
【解析】（1）解：∵關(guān)于x的一元二次方程有實(shí)數(shù)根，
∴，
解得：；
（2）解：∵，是一元二次方程的兩個實(shí)數(shù)根，
∴，，
∵，
∴，
即，
解得：，．
又∵在（1）中求出，
∴，
故答案為．
21．某中學(xué)為營造書香校園，計(jì)劃購進(jìn)甲乙兩種規(guī)格的書柜放置新購置的圖書，調(diào)查發(fā)現(xiàn)，若購買甲種書柜5個，乙種書柜2個，共需要資金1380元；若購買甲種書柜4個，乙種書柜3個，共需資金1440元．
（1）甲乙兩種書柜每個的價格分別是多少元？
（2）若該校計(jì)劃購進(jìn)這兩種規(guī)格的書柜共24個，其中乙種書柜的數(shù)量不少于甲種書柜的數(shù)量，問：學(xué)校應(yīng)如何購買花費(fèi)資金最少，最少資金是多少？
【解析】解：（1）設(shè)甲種書柜單價為元，乙種書柜的單價為元，由題意得：
解得
答：甲種書柜單價為180元，乙種書柜的單價為240元．
（2）設(shè)購買甲種書柜個，則購買乙種書柜個，設(shè)所需資金為元．
由題意得：．
解得
∵，隨增大而減小
∴當(dāng)時，（元）．
答：當(dāng)購買12個甲種書柜，12個乙種書柜時，所需資金最少，最少資金為5040元．
22．如圖，在中，O為的中點(diǎn)，過點(diǎn)O作交于點(diǎn)，交于點(diǎn)F．
(1)求證：四邊形是菱形；
(2)若，求的長．
【解析】（1）∵四邊形為平行四邊形，
∴，
∴，
∵O為的中點(diǎn)，
∴
在與中，
，
∴，
∴
又，
∴四邊形為平行四邊形
又，
∴四邊形為菱形．
（2）過點(diǎn)B作交的延長線于點(diǎn)G．
∵，
∴，
又∵，
∴，
設(shè)，則，
∵四邊形為菱形，
∴
在中，，
∴
∴，即的長為2.8．
23．【問題提出】小慧同學(xué)遇到這樣一道問題，如圖①，在中，點(diǎn)D為邊的中點(diǎn)，以點(diǎn)D為圓心，為直徑作圓，的平分線交此圓于點(diǎn)P，點(diǎn)P在內(nèi)部，連接．
求證，的面積等于面積的一半．
【問題解決】小慧的做法是連接并延長，交于點(diǎn)Q，利用形狀的特殊性解決問題，請你利用小慧的做法完成【問題提出】中的證明；
【問題拓展】如圖②，在四邊形中平分．，若，則面積的最大值為 ．
【解析】問題解決：解：如圖，連接并延長，交邊于點(diǎn)．
∵為的直徑，
∴．
∴．
∵平分，
∴．
∵，
∴．
∴．
∵．
∴點(diǎn)為的中點(diǎn)．
，
，
∴的面積等于面積的一半．
問題拓展：延長交于點(diǎn)，
∵平分且，
∴為等腰三角形，點(diǎn)為中點(diǎn)，
∴，
當(dāng)?shù)拿娣e最大時，面積最大，
即滿足題意，
∵，
∴面積的最大值為．
故答案為：6．
24．如圖，在矩形中，點(diǎn)為邊上一點(diǎn)，連接，過點(diǎn)作于點(diǎn)，交于點(diǎn)．
(1)如圖1，當(dāng)時，求證：；
(2)若，，連接，求的最小值；
(3)如圖2，矩形對角線與相交于點(diǎn)，交于點(diǎn)，若平分．
①判斷與的數(shù)量關(guān)系，并證明；
②連接，當(dāng)?shù)拿娣e是矩形的時，求的值．
【解析】（1）證明：四邊形是矩形，
，，
，
，
，
在和中，
，
；
（2）解：，
點(diǎn)在以為直徑的圓上運(yùn)動，
如圖，取的中點(diǎn)，連接，當(dāng)點(diǎn)在線段上時，取得最小值，
，
，
，
，
，即的最小值為2；
（3）解：①，
證明如下：如圖，過點(diǎn)作交于點(diǎn)，
是的中點(diǎn)，
，
平分且，
是等腰三角形，，
，，
，
，
；
②如圖2，連接，設(shè)，，
由①可知：，，
，，
在中，，
，，
，，
，
，即，
解得：，
的面積是矩形的，
，
，
，
，
．
25．下面是某數(shù)學(xué)興趣小組探究問題的片段，請仔細(xì)閱讀，并完成任務(wù)．
【問題提出】
如圖1，在中，，，點(diǎn)D在上，請用尺規(guī)作圖：在外側(cè)，以為邊作．
【問題探究】
小明：如圖2，分別以B、C為圓心，以、為半徑畫弧，兩弧交于點(diǎn)E，連接、則即為所求作的三角形．
小亮：如圖3，過點(diǎn)B作于點(diǎn)B，過點(diǎn)C作于點(diǎn)C，、相交于點(diǎn)E，則即為所求作的三角形．
（1）小明得出的依據(jù)是______ ，小亮得出的依據(jù)是______ ．（橫線上填序號：①；② ；③；④ ）
【問題再探】
（2）在（1）中的條件下，連接興趣小組的同學(xué)們用幾何畫板測量發(fā)現(xiàn)和的面積相等．為了證明這個發(fā)現(xiàn)，A組同學(xué)會試延長線段至F點(diǎn)，使，連接，從而得以證明如圖；B組同學(xué)過點(diǎn)D作于點(diǎn)M，過點(diǎn)E作于點(diǎn)N，從而得以證明如圖，請你選取A組或B組中的一種方法完成證明過程．
【問題解決】
（3）如圖6，已知，，點(diǎn)D在AB上，，，若在射線上存在點(diǎn)E，使，請求出相應(yīng)的的長．
【解析】（1）解：由小明的作圖可知，，，
在和中，
，
∴由小亮的作圖可知，，
，
，，
，
，
，
，
在和中，
，
；
故答案為：①，③；
（2）選A組同學(xué)證明如下：延長線段至F點(diǎn)，使，連接，則是的中線，
，
，
，
，
，，，
即
在和中，
，
∴，
，
；
選B組同學(xué)的則證明如下：過點(diǎn)D作于點(diǎn)M，過點(diǎn)E作于點(diǎn)N，
，
≌，
，，
，
即，
在和中，
，
，
，
，，
又，
；
（3）解：過點(diǎn)C作交于E，于H，連接并延長交于F，
由（2）可知：，
，，
，
，
，
，
，
，
，
當(dāng)時，，
，
此時，，
，
綜上所述，的長為或