2022-2023學(xué)年福建省福州八中九年級（下）期中數(shù)學(xué)試卷（含解析）

這是一份2022-2023學(xué)年福建省福州八中九年級（下）期中數(shù)學(xué)試卷（含解析），共22頁。試卷主要包含了選擇題，填空題，解答題等內(nèi)容，歡迎下載使用。
2022-2023學(xué)年福建省福州八中九年級（下）期中數(shù)學(xué)試卷一、選擇題（本大題共10小題，共40.0分。在每小題列出的選項(xiàng)中，選出符合題目的一項(xiàng)）1.  以下各數(shù)是無理數(shù)的是(    )A.  B.  C.  D. 2.  下列歷屆冬奧會會徽的部分圖案中，既是軸對稱圖形又是中心對稱圖形的是(    )A.  B.
C.  D. 3.  下列運(yùn)算中，結(jié)果可以為的是(    )A.  B.
C.  D. 4.  一個多邊形的每個內(nèi)角都等于，則這個多邊形的邊數(shù)是(    )A.  B.  C.  D. 5.  已知一個邊長為米的正方形，面積是平方米，則的取值范圍是(    )A.  B.  C.  D. 6.  如圖，在中，，，，則的長約為(    )
 A.  B.  C.  D. 7.  我國古代四元玉鑒中記載“二果問價(jià)”問題，其內(nèi)容如下：九十七文錢，甜果苦果買九十九個，甜果一個三文錢，苦果三個一文錢，試問甜苦果幾個，又問各該幾個錢？若設(shè)買甜果個，買苦果個，則下列關(guān)于、的二元一次方程組中符合題意的是(    )A.  B.
C.  D. 8.  甲、乙兩班的數(shù)學(xué)平均成績分別為分和分，現(xiàn)在，小明同學(xué)從乙班調(diào)到甲班，調(diào)動后再計(jì)算，結(jié)果兩班成績都有所上升，則小明同學(xué)此次數(shù)學(xué)成績可能是(    )A. 分 B. 分 C. 分 D. 分9.  如圖是某幾何體的三視圖，則該幾何體的側(cè)面積是(    )
A.  B.  C.  D. 10.  已知拋物線是實(shí)數(shù)，與直線交于，，則下面判斷正確的是(    )A. 若，，則 B. 若，，則
C. 若，，則 D. 若，，則二、填空題（本大題共6小題，共24.0分）11.  計(jì)算： ______ ．12.  分解因式：______．13.  能夠成為直角三角形三條邊長的三個正整數(shù)稱為勾股數(shù)．若從，，，中任取個數(shù)，則這個數(shù)能構(gòu)成一組勾股數(shù)的概率是______．14.  已知，則代數(shù)式 ______ ．15.  如圖，在扇形中，，將扇形沿過點(diǎn)的直線折疊，點(diǎn)恰好落在弧上的點(diǎn)處，折痕交于點(diǎn)，則弧的度數(shù)為______．
 16.  如圖，菱形的一邊在軸的負(fù)半軸上，是坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)坐標(biāo)為，對角線和相交于點(diǎn)且若反比例函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)，并與的延長線交于點(diǎn)，則        ．三、解答題（本大題共9小題，共86.0分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟）17.  本小題分
解方程組．18.  本小題分
如圖，已知點(diǎn)，，，在一條直線上，，，求證：．
19.  本小題分
先化簡，再從，，三個數(shù)中選一個合適的數(shù)作為的值代入求值．20.  本小題分
在正方形中，是邊上的點(diǎn)．
尺規(guī)作圖：在圖中求作，使得與、均相切；保留作圖痕跡，不寫作法
在的條件下，設(shè)與相切于點(diǎn)，連接，求的度數(shù)．
21.  本小題分
某書店準(zhǔn)備購進(jìn)，兩種課外讀物，已知課外讀物每本的進(jìn)價(jià)種比種多元，用元購進(jìn)種課外讀物和用元購進(jìn)種課外讀物的數(shù)量相同．
，兩種課外讀物每本進(jìn)價(jià)各是多少元？
該書店計(jì)劃用不超過元的資金購進(jìn)，兩種課外讀物共本，，兩種課外讀物的每本售價(jià)分別為元和元．若這兩種課外讀物全部售出，則該書店應(yīng)如何進(jìn)貨才能獲得最大利潤？最大利潤是多少？22.  本小題分
如圖，在平行四邊形中，平分，點(diǎn)為邊中點(diǎn)，過點(diǎn)作的垂線交于點(diǎn)，交延長線于點(diǎn)．
求證：平行四邊形是菱形；
若，，求的長．
23.  本小題分
共享單車近日成為市民新寵，越來越多的居民選擇共享單車作為出行的交通工具．為了解甲、乙兩個社區(qū)居民每周使用共享單車的時(shí)間情況，從這兩個社區(qū)選擇共享單車出行的居民中各隨機(jī)抽取了人進(jìn)行調(diào)研，獲得了他們每周使用共享單車時(shí)間單位：小時(shí)的數(shù)據(jù)并對數(shù)據(jù)進(jìn)行整理、描述和分析．下面給出了部分信息．
乙社區(qū)位居民每周使用共享單車的時(shí)間數(shù)據(jù)的頻數(shù)分布直方圖如圖．

乙社區(qū)位居民每周使用共享單車的時(shí)間數(shù)據(jù)在這一組的是：，，，，，，，，，
甲、乙兩社區(qū)抽調(diào)居民每周使用共享單車的時(shí)間數(shù)據(jù)的平均數(shù)和中位數(shù)如下： 平均數(shù)中位數(shù)甲社區(qū)乙社區(qū)根據(jù)以上信息回答下列問題：
寫出表中的值；
在甲社區(qū)抽取的居民中，記每周使用共享單車的時(shí)間高于他們的平均時(shí)間的居民人數(shù)為在乙社區(qū)抽取的居民中，記每周使用共享單車的時(shí)間高于他們的平均時(shí)間的居民人數(shù)為比較和的大小并說明理由；
若甲社區(qū)共有位居民選擇使用共享單車出行，估計(jì)甲社區(qū)居民每周使用共享單車的總時(shí)長直接寫出結(jié)果．24.  本小題分
中，，將繞逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得，旋轉(zhuǎn)角為，連接，，，．
如圖，求證：∽；
如圖，若，，，求的長；
如圖，若，，的長為，的面積為，求與的函數(shù)關(guān)系．
 25.  本小題分
如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線與軸交于，兩點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)，連接是直線上方拋物線上一動點(diǎn)，連接，交于點(diǎn)其中，．
求拋物線的解析式；
求的最大值；
若函數(shù)在其中范圍內(nèi)的最大值為，最小值為，且，求的取值范圍．

答案和解析 1.【答案】 【解析】解：、是無理數(shù)，符合題意；
B、是有理數(shù)，不符合題意；
C、是有理數(shù)，不符合題意；
D、是有理數(shù)，不符合題意．
故選：．
根據(jù)無理數(shù)的定義解答即可．
本題考查的是無理數(shù)，熟知無限不循環(huán)小數(shù)叫做無理數(shù)是解題的關(guān)鍵．
 2.【答案】 【解析】解：不是中心對稱圖形，也不是軸對稱圖形，故此選項(xiàng)不合題意；
B.不是中心對稱圖形，也不是軸對稱圖形，故此選項(xiàng)不合題意；
C.不是中心對稱圖形，也不是軸對稱圖形，故此選項(xiàng)不合題意；
D.既是軸對稱圖形，又是中心對稱圖形，故此選項(xiàng)符合題意；
故選：．
根據(jù)中心對稱圖形與軸對稱圖形的概念，把一個圖形繞某一點(diǎn)旋轉(zhuǎn)，如果旋轉(zhuǎn)后的圖形能夠與原來的圖形重合，那么這個圖形就叫做中心對稱圖形；如果一個圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，這個圖形叫做軸對稱圖形，進(jìn)行判斷即可．
本題考查的是中心對稱圖形與軸對稱圖形的概念，正確掌握相關(guān)定義是解題關(guān)鍵．
 3.【答案】 【解析】解：，
，選項(xiàng)不符合題意；
，選項(xiàng)不符合題意；
，選項(xiàng)不符合題意；
，選項(xiàng)符合題意．
故選：．
根據(jù)有理數(shù)的乘方、有理數(shù)的乘法、有理數(shù)的除法運(yùn)算法則計(jì)算后判斷．
本題考查了有理數(shù)的乘方、有理數(shù)的乘法、有理數(shù)的除法運(yùn)算，解題的關(guān)鍵是掌握有理數(shù)的乘方、有理數(shù)的乘法、有理數(shù)的除法運(yùn)算法則．
 4.【答案】 【解析】【解答】解：由題意可得：，
解得，
故多邊形是九邊形．
故選：．
【分析】根據(jù)多邊形的內(nèi)角和定理：進(jìn)行求解即可．
本題主要考查了多邊形的內(nèi)角和定理．解題時(shí)注意：邊形的內(nèi)角和為：．  5.【答案】 【解析】解：個邊長為米的正方形，面積是平方米，
．
，
，即．
故選：．
先求出的值，再求出其取值范圍即可．
本題考查的是估算無理數(shù)的大小，估算無理數(shù)大小要用逼近法．
 6.【答案】 【解析】【分析】
本題考查的是正切的定義，掌握銳角的對邊與鄰邊的比叫做的正切是解題的關(guān)鍵．
根據(jù)正切的定義列式計(jì)算即可．
【解答】
解：在中，，
則，
故選：．  7.【答案】 【解析】解：由題意可得，
，
故選：．
根據(jù)甜果苦果買九十九個，可以得到方程想，再根據(jù)九十七文錢購買甜果苦果，甜果一個三文錢，苦果三個一文錢，即可得到方程，然后即可寫出相應(yīng)的方程組．
本題考查由實(shí)際問題抽象出二元一次方程組，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，找出等量關(guān)系，列出相應(yīng)的方程．
 8.【答案】 【解析】解：因?yàn)榧住⒁覂砂嗟臄?shù)學(xué)平均成績分別為分和分，現(xiàn)在，小明同學(xué)從乙班調(diào)到甲班，調(diào)動后再計(jì)算，結(jié)果兩班成績都有所上升，
所以小明同學(xué)此次數(shù)學(xué)成績比分多，比分少，
所以選項(xiàng)C符合題意．
故選：．
根據(jù)加權(quán)平均數(shù)的定義解答即可．
本題考查了加權(quán)平均數(shù)，掌握加權(quán)平均數(shù)的計(jì)算公式是解答本題的關(guān)鍵．
 9.【答案】 【解析】解：由三視圖知：幾何體是圓錐，
底面直徑為，高為，
圓錐的母線長為，
圓錐的側(cè)面積．
故選：．
幾何體是圓錐，根據(jù)三視圖判斷圓錐的母線長與底面半徑，把數(shù)據(jù)代入圓錐的側(cè)面積公式計(jì)算．
本題考查了由三視圖求幾何體的側(cè)面積，根據(jù)三視圖判斷幾何體的形狀是關(guān)鍵．
 10.【答案】 【解析】解：拋物線與直線交于點(diǎn)，，
，
，
得，即，
則當(dāng)，或，時(shí)，；
當(dāng)，或，時(shí)，．
故D正確，、、A錯誤，
故選：．
將兩點(diǎn)坐標(biāo)分別代入并聯(lián)立，從而得到，再根據(jù)有理數(shù)的乘法判斷符號
本題考查了二次函數(shù)與一次函數(shù)，解題的關(guān)鍵是根據(jù)交點(diǎn)得到關(guān)于，，，的等式
 11.【答案】 【解析】解：

，
故答案為：．
先化簡各式，然后再進(jìn)行計(jì)算即可解答．
本題考查了實(shí)數(shù)的運(yùn)算，特殊角的三角函數(shù)值，負(fù)整數(shù)指數(shù)冪，準(zhǔn)確熟練地進(jìn)行計(jì)算是解題的關(guān)鍵．
 12.【答案】 【解析】解：．
本題剛好是兩個數(shù)的平方差，所以利用平方差公式分解則可．平方差公式：．
本題考查了平方差公式因式分解．能用平方差公式進(jìn)行因式分解的式子的特點(diǎn)是：兩項(xiàng)平方項(xiàng)；符號相反．
 13.【答案】 【解析】解：從，，，中任取個不同的數(shù)，有，，，共種，
其中只有為勾股數(shù)，
所以這個數(shù)構(gòu)成一組勾股數(shù)的概率，
故答案為：．
一一列舉出所有的基本事件，再找到勾股數(shù)，根據(jù)概率公式計(jì)算即可．
此題考查的是用列表法或樹狀圖法求概率．列表法可以不重復(fù)不遺漏的列出所有可能的結(jié)果，適合于兩步完成的事件；樹狀圖法適合兩步或兩步以上完成的事件；解題時(shí)要注意此題是放回實(shí)驗(yàn)還是不放回實(shí)驗(yàn)．用到的知識點(diǎn)為：概率所求情況數(shù)與總情況數(shù)之比．
 14.【答案】 【解析】解：，




，
故答案為：．
先去括號，再變式，最后整體代入求解．
本題考查了多項(xiàng)式乘多項(xiàng)式，整體代入求解是解題的關(guān)鍵．
 15.【答案】 【解析】解：如圖，連接，
由翻折的性質(zhì)可知，，
，
，


，
即弧的度數(shù)為，
故答案為：．
連接，由翻折的性質(zhì)以及等腰三角形的判定可得是正三角形，進(jìn)而得出，求出即可．
本題考查軸對稱的性質(zhì)，等腰三角形的判定和性質(zhì)，判斷是正三角形是解決問題的關(guān)鍵．
 16.【答案】 【解析】解：如圖所示，過點(diǎn)作于，

，
，
，
，
，
，
，
在中，，，
，
，
四邊形是菱形，
，
為的中點(diǎn)，
，
又在反比例函數(shù)上，
，
，
的縱坐標(biāo)為，
又在反比例函數(shù)上，
的橫坐標(biāo)為，
，
，
，
故答案為：．
如圖所示，過點(diǎn)作于，根據(jù)菱形和三角形的面積公式可得，再由，求出，在中，根據(jù)勾股定理得，即，根據(jù)菱形的性質(zhì)和兩點(diǎn)中點(diǎn)坐標(biāo)公式求出，將代入反比例函數(shù)解析式可得，進(jìn)而求出點(diǎn)坐標(biāo)，最后根據(jù)三角形面積公式分別求得即可．
本題主要考查了反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征以及菱形性質(zhì)的運(yùn)用，解題時(shí)注意：菱形的對角線互相垂直平分．
 17.【答案】解：，
，得，
將代入，得，
方程組的解為． 【解析】利用加減消元法求解即可．
本題考查解二元一次方程組，解題的關(guān)鍵是掌握加減消元法解二元一次方程組的一般步驟．
 18.【答案】證明：，
，
，
．
即，
在和中
，
≌，
，
． 【解析】先根據(jù)平行線的性質(zhì)得到，再證明，則利用“”可判斷≌，所以，然后根據(jù)平行線的判定可得到結(jié)論．
本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)：全等三角形的判定是結(jié)合全等三角形的性質(zhì)證明線段和角相等的重要工具．在判定三角形全等時(shí)，關(guān)鍵是選擇恰當(dāng)?shù)呐卸l件．在應(yīng)用全等三角形的判定時(shí)，要注意三角形間的公共邊和公共角，必要時(shí)添加適當(dāng)輔助線構(gòu)造三角形．
 19.【答案】解：原式


，
且，
，
則原式． 【解析】先根據(jù)分式的混合運(yùn)算順序和運(yùn)算法則化簡原式，再選取使分式有意義的的值代入計(jì)算即可．
本題主要考查分式的化簡求值，解題的關(guān)鍵是掌握分式的混合運(yùn)算順序和運(yùn)算法則及分式有意義的條件．
 20.【答案】解：如圖：即為所求；

在正方形中，平分，
，
與、均相切，
，
． 【解析】作的平分線與的交點(diǎn)即為點(diǎn)；
根據(jù)切線長定理及等邊對等角求解．
本題考查了復(fù)雜作圖，掌握角平分線的性質(zhì)及切線長定理是解題的關(guān)鍵．
 21.【答案】解：設(shè)種課外讀物每本的進(jìn)價(jià)是元，則種課外讀物每本的進(jìn)價(jià)是元，
由題意得，
解得：，
經(jīng)檢驗(yàn)，是原方程的解，且符合題意，
，
答：種課外讀物每本的進(jìn)價(jià)是元，種課外讀物每本的進(jìn)價(jià)是元；
設(shè)購買種課外讀物本，則購買種課外讀物本，
由題意得，
解得：，
設(shè)利潤為元，，
，即隨的增大而增大，
當(dāng)時(shí)，最大值為元，
答：書店購進(jìn)種課外讀物本，種課外讀物本時(shí)獲得利潤最大，最大利潤為元． 【解析】設(shè)種課外讀物每本的進(jìn)價(jià)是元，則種課外讀物每本的進(jìn)價(jià)是元，根據(jù)用元購進(jìn)種課外讀物和用元購進(jìn)種課外讀物的數(shù)量相同列分式方程，解出可得結(jié)論；
設(shè)購買種課外讀物本，則購買種課外讀物本，根據(jù)該書店計(jì)劃用不超過元的資金購進(jìn)，兩種課外讀物共本列出不等式求出的取值范圍；再設(shè)利潤為元，根據(jù)總利潤兩種讀物利潤之和列出函數(shù)解析式，再根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)求最值．
本題考查了一次函數(shù)、分式方程、一元一次不等式的應(yīng)用，解答本題的關(guān)鍵是讀懂題意，設(shè)出未知數(shù)，找出合適的數(shù)量關(guān)系，列函數(shù)解析式或方程，分式方程要注意檢驗(yàn)．
 22.【答案】證明：四邊形是平行四邊形，
，
，
平分，
，
，
，
平行四邊形是菱形；
解：連接，交于，如圖所示：

由得：四邊形是菱形，
，，，
，
，
，
四邊形是平行四邊形，
，，
，
點(diǎn)為邊中點(diǎn)，
，
在中，，
，
，
． 【解析】證，得出，即可得出結(jié)論；
連接，交于，由菱形的性質(zhì)得，，，再證，則四邊形是平行四邊形，得出，，求出，然后由銳角三角函數(shù)求出，即可得出結(jié)果．
本題考查了平行四邊形的判定與性質(zhì)、菱形的判定與性質(zhì)、平行線的性質(zhì)、角平分線定義、銳角三角函數(shù)的定義等知識；熟練掌握菱形的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
 23.【答案】解：將乙社區(qū)位居民每周使用共享單車的時(shí)間數(shù)據(jù)按從小到大排序，
可知第個數(shù)據(jù)落在這一組，
，
乙社區(qū)抽調(diào)居民每周使用共享單車的時(shí)間數(shù)據(jù)的中位數(shù)為．
．
．
理由：甲社區(qū)抽調(diào)居民每周使用共享單車的時(shí)間數(shù)據(jù)的平均數(shù)為小時(shí)，中位數(shù)為小時(shí)，平均數(shù)低于中位數(shù)，
在甲社區(qū)抽調(diào)的居民中，每周使用共享單車的時(shí)間高于他們的平均時(shí)間的居民人數(shù)為，
乙社區(qū)抽調(diào)居民每周使用共享單車的時(shí)間數(shù)據(jù)的平均數(shù)為小時(shí)，中位數(shù)為小時(shí)，平均數(shù)高于中位數(shù)，
在乙社區(qū)抽調(diào)的居民中，每周使用共享單車的時(shí)間高于他們的平均時(shí)間的居民人數(shù)為，
．
根據(jù)題意可得，
估計(jì)甲社區(qū)居民每周使用共享單車的總時(shí)長為小時(shí)．
答：估計(jì)甲社區(qū)居民每周使用共享單車的總時(shí)長為小時(shí)． 【解析】根據(jù)中位數(shù)的定義，將乙社區(qū)位居民每周使用共享單車的時(shí)間數(shù)據(jù)按從小到大排序，找出處在第位的數(shù)據(jù)即可．
根據(jù)和表示的意義，結(jié)合甲、乙兩個社區(qū)抽調(diào)居民每周使用共享單車的時(shí)間數(shù)據(jù)的平均數(shù)和中位數(shù)，可得出答案．
根據(jù)甲社區(qū)抽調(diào)居民每周使用共享單車的時(shí)間數(shù)據(jù)的平均數(shù)以及社區(qū)居民總數(shù)進(jìn)行計(jì)算即可．
本題考查頻數(shù)分布直方圖、平均數(shù)、中位數(shù)，掌握平均數(shù)和中位數(shù)的意義是解答本題的關(guān)鍵．
 24.【答案】證明：如圖，
由旋轉(zhuǎn)得，，，
：：，
，
∽．
如圖，在上截取點(diǎn)，讓，
作于，
，
，
，
，
，
，
設(shè)，
，，
，
，
，
，
，
，
，
，
．
延長，作于，
設(shè)，
，
，，
，
，
，
整理得，，
，，
，
的長為，
，
，
的面積為，
． 【解析】根據(jù)旋轉(zhuǎn)得到，，由因?yàn)樾D(zhuǎn)角相等，所以兩邊成比例且夾角相等，所以相似．
將分割成等腰三角形、等腰直角三角形、含直角三角形即可解題．
延長，作于，利用，在等腰三角形和等腰三角形中證明出，再用表示出即可表示出．
本題考查了相似三角形綜合應(yīng)用、等腰三角形的性質(zhì)等知識點(diǎn)，三角形內(nèi)角和及三角函數(shù)的運(yùn)用是本題的解題關(guān)鍵．
 25.【答案】解：在中，令得，
，
，
又，，
，
，
，
，
把，代入得：
，
解得，
拋物線的解析式為；

過作交拋物線于，如圖：

由，得直線解析式為，
設(shè)，
在中，令得：
，
解得，
，
，
，
∽，
，
，
當(dāng)時(shí)，取最大值，最大值為，
的最大值為；

，
拋物線的對稱軸為直線，
當(dāng)時(shí)，中，隨的增大而增大，
，
，
在其中范圍內(nèi)，
當(dāng)時(shí)，取最大值，即
當(dāng)時(shí)，取最小值．即

，
，
解得，
，
的取值范圍是． 【解析】在中，可得，，，故A，再用待定系數(shù)法得拋物線的解析式為；
過作交拋物線于，由，得直線解析式為，設(shè)，可得，根據(jù)∽，有，由二次函數(shù)性質(zhì)即得的最大值為；
求出拋物線的對稱軸為直線，由，知，故，可得，根據(jù)，得，即可解得答案．
本題考查二次函數(shù)的綜合應(yīng)用，涉及待定系數(shù)法，相似三角形的判定與性質(zhì)，銳角三角函數(shù)等知識，解題的關(guān)鍵是用含字母的代數(shù)式表示相關(guān)點(diǎn)坐標(biāo)和相關(guān)線段的長度．