2022-2023學年福建省福州市鼓樓區(qū)屏東中學九年級（下）期中數(shù)學試卷（含解析）

這是一份2022-2023學年福建省福州市鼓樓區(qū)屏東中學九年級（下）期中數(shù)學試卷（含解析），共23頁。試卷主要包含了選擇題，填空題，解答題等內(nèi)容，歡迎下載使用。
2022-2023學年福建省福州市鼓樓區(qū)屏東中學九年級（下）期中數(shù)學試卷一、選擇題（本大題共10小題，共40.0分。在每小題列出的選項中，選出符合題目的一項）1.  下列幾個實數(shù)中，無理數(shù)的是(    )A.  B.  C.  D. 2.  國產(chǎn)飛機，全稱，是我國按照國際民航規(guī)章自行研制、具有自主知識產(chǎn)權(quán)的大型噴氣式民用飛機，座級座，最大航程達數(shù)據(jù)用科學記數(shù)法表示為(    )A.  B.  C.  D. 3.  魯班鎖，民間也稱作孔明鎖，八卦鎖，它起源于中國古代建筑中首創(chuàng)的榫卯結(jié)構(gòu)．如圖是魯班鎖的其中一個部件，它的左視圖是(    )
 A.  B.  C.  D. 4.  下列運算正確的是(    )A.  B.
C.  D. 5.  一副三角板如圖所示放置，斜邊平行，則的度數(shù)為(    )
 
 A.
B.
C.
D. 6.  若一次函數(shù)的圖象經(jīng)過點和點，當時，，則的取值范圍是(    )A.  B.  C.  D. 7.  已知，是關(guān)于的方程的兩根，下列結(jié)論一定正確的是(    )A.  B.  C.  D. 8.  我國古代孫子算經(jīng)中有記載“多人共車”問題：“今有三人共車，二車空；二人共車，九人步問人與車各幾何？”意思是“每人共乘一輛車，最終剩余輛車；每人共乘一輛車，最終有人無車可乘，問人和車的數(shù)量各是多少？”若設(shè)有個人，則可列方程是(    )A.  B.
C.  D. 9.  如圖，、、是的切線，切點分別為、、，點在上，若，則與的度數(shù)之和是(    )
 
 A.
B.
C.
D. 10.  已知點是二次函數(shù)的圖象上一個定點，而是二次函數(shù)圖象上動點，若對任意的實數(shù)，都有，則(    )A.  B.  C.  D. 二、填空題（本大題共6小題，共24.0分）11.  若一組數(shù)據(jù)、、、、的眾數(shù)為，則這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)為______．12.  如圖是某校參加各興趣小組的學生人數(shù)分布扇形統(tǒng)計圖，已知參加課程興趣小組的人數(shù)為人，則該校參加各興趣小組的學生共有______人．
 13.  扇形的圓心角為，半徑為，則扇形的面積為______ ．14.  若，則的最小值是______．15.  如圖，點，為反比例函數(shù)圖象上的兩點，過點作軸的垂線，垂足為，與交于點，若的面積為，則的值為______ ．
 16.  如圖，在中，，于點，為邊上的中點，連接交于，將沿著翻折到，恰好有，連接、，則下列結(jié)論：
四邊形為菱形；；；．
上述結(jié)論中正確的有______ 填正確的序號
三、解答題（本大題共9小題，共86.0分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟）17.  本小題分
計算：．18.  本小題分
先化簡，再求代數(shù)式的值，其中．19.  本小題分
如圖，在?中，，，，分別是，，，上的點，且，求證：．
20.  本小題分
小明家客廳里裝有一種三位單極開關(guān)，分別控制著樓梯、客廳、走廊三盞電燈，按下任意一個開關(guān)均可打開對應(yīng)的一盞電燈，因剛搬進新房不久，不熟悉情況．
若小明任意按下一個開關(guān)，則下列說法正確的是______．
A.小明打開的一定是樓梯燈
B.小明打開的可能是臥室燈
C.小明打開的不可能是客廳燈
D.小明打開走廊燈的概率是
若任意按下一個開關(guān)后，再按下另兩個開關(guān)中的一個，則正好客廳燈和走廊燈同時亮的概率是多少？請用樹狀圖法或列表法加以說明．
21.  本小題分
某興趣小組為了測量大樓的高度，先沿著斜坡走了米到達坡頂點處，然后在點處測得大樓頂點的仰角為，已知斜坡的坡度為：，點到大樓的距離為米，求大樓的高度．
參考數(shù)據(jù)：，，
 22.  本小題分
年“清明節(jié)”前夕，宜賓某花店用元購進若干菊花，很快售完，接著又用元購進第二批花，已知第二批所購花的數(shù)量是第一批所購花數(shù)的倍，且每朵花的進價比第一批的進價多元．
第一批花每束的進價是多少元．
若第一批菊花按元的售價銷售，要使總利潤不低于元不考慮其他因素，第二批每朵菊花的售價至少是多少元？23.  本小題分
如果三角形三邊的長、、滿足，那么我們就把這樣的三角形叫做“等差三角形”如：三邊長分別為、、或、、的三角形都是“等差三角形”．

如圖，已知兩條線段的長分別為、用直尺和圓規(guī)作一個最短邊、最長邊的長分別為、的“等差三角形”不寫作法，保留作圖痕跡．
如圖，中，，以為直徑的交于點，過點作的切線交延長線于點，交于點若，判斷是否為“等差三角形”？請說明理由．24.  本小題分
如圖，在和中，，，，將繞點旋轉(zhuǎn)一定角度，使得點在內(nèi)且點，，在同一條直線上，連接，．
求證：；
，
求證：；
求的值．
25.  本小題分
已知拋物線與軸有且只有一個交點，且與軸于交于點．
求與的關(guān)系式；
若時，點在拋物線的對稱軸上；若過點的直線：與拋物線只有一個交點；證明：直線平分；設(shè)過點的直線與拋物線交于，點，則是否為定值，若為定值請求出定值，若不是定值請說明理由．
答案和解析 1.【答案】 【解析】解：、是小數(shù)，屬于有理數(shù)，故該選項不符合題意；
B、是整數(shù)，屬于有理數(shù)，故該選項不符合題意；
C、是整數(shù)，屬于有理數(shù)，故該選項不符合題意；
D、是無理數(shù)，故該選項符合題意；
故選：．
根據(jù)無理數(shù)是無限不循環(huán)小數(shù)判斷即可．
本題考查了無理數(shù)，算術(shù)平方根，掌握無理數(shù)的定義：無限不循環(huán)小數(shù)是解題的關(guān)鍵．
 2.【答案】 【解析】解：．
故選：．
科學記數(shù)法的表示形式為的形式，其中，為整數(shù)．確定的值時，要看把原數(shù)變成時，小數(shù)點移動了多少位，的絕對值與小數(shù)點移動的位數(shù)相同．當原數(shù)絕對值時，是正整數(shù)；當原數(shù)的絕對值時，是負整數(shù)．
此題考查科學記數(shù)法的表示方法．科學記數(shù)法的表示形式為的形式，其中，為整數(shù)，表示時關(guān)鍵要確定的值以及的值．
 3.【答案】 【解析】解：從左邊看，是一個矩形，矩形的中間有一條橫向的虛線．
故選：．
根據(jù)從左邊看得到的圖形是左視圖，可得答案．
本題考查了簡單組合體的三視圖，從左邊看得到的圖形是左視圖．
 4.【答案】 【解析】解：、，故選項錯誤，不符合題意；
B、，故選項正確，符合題意；
C、，故選項錯誤，不符合題意；
D、，故選項錯誤，不符合題意，
故選：．
根據(jù)單項式乘單項式的法則、積的乘方的法則、單項式除以單項式的法則和乘法公式依次作出判斷即可．
本題考查了單項式乘單項式的法則、積的乘方的法則、單項式除以單項式的法則和乘法公式，正確利用運算法則計算是解題的關(guān)鍵．
 5.【答案】 【解析】【分析】
本題主要考查平行線的性質(zhì)，掌握平行線的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
由題意得：，，利用平行線的性質(zhì)可求，進而可求解．
【解答】
解：如圖，，，

，
，
，
故選：．  6.【答案】 【解析】解：一次函數(shù)的圖象經(jīng)過點和點，當時，
一次函數(shù)的圖象是隨的增大而增大，
，
．
故選：．
由當時 可以知道，隨的增大而增大，則由一次函數(shù)性質(zhì)可以知道應(yīng)有：．
本題考查了一次函數(shù)圖象上點的坐標特征，準確理解一次函數(shù)圖象的性質(zhì)，確定隨的變化情況是解題的關(guān)鍵．
 7.【答案】 【解析】解：，
，結(jié)論A正確；
B、、是關(guān)于的方程的兩根，
，
的值不確定，
結(jié)論不一定正確；
C、、是關(guān)于的方程的兩根，
，結(jié)論C錯誤；
D、，
、異號，結(jié)論D錯誤．
故選：．
A、根據(jù)方程的系數(shù)結(jié)合根的判別式，可得出，由此即可得出，結(jié)論A正確；
B、根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系可得出，結(jié)合的值不確定，可得出結(jié)論不一定正確；
C、根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系可得出，結(jié)論C錯誤；
D、由，可得出、異號，結(jié)論D錯誤．
綜上即可得出結(jié)論．
本題考查了根的判別式以及根與系數(shù)的關(guān)系，牢記“當時，方程有兩個不相等的實數(shù)根”是解題的關(guān)鍵．
 8.【答案】 【解析】解：設(shè)有個人，則可列方程：．
故選：．
設(shè)有個人，由每三人共乘一輛車，最終剩余輛車；每人共乘一輛車，最終有人無車可乘，根據(jù)車的數(shù)量不變列出方程即可．
本題考查了由實際問題抽象出一元一次方程，正確表示車的數(shù)量是解題關(guān)鍵．
 9.【答案】 【解析】【分析】
此題主要考查了切線的性質(zhì)、圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)以及圓周角定理．求出是解題的關(guān)鍵．
根據(jù)圓周角定理，圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)推出，再根據(jù)切線的性質(zhì)，即可得出答案．
【解答】
解：連接，，，，，
，
，
，
，
、、是的切線，
，
，
故選：．  10.【答案】 【解析】解：對任的實數(shù)，有，
為二次數(shù)的頂點，
故，
故．
故選：．
根據(jù)二次數(shù)的對稱性可知為二次數(shù)的頂，點故可求解．
此主考二次數(shù)的對稱性，解題的關(guān)鍵是熟知二次函數(shù)的圖形與性質(zhì)．
 11.【答案】 【解析】解：數(shù)據(jù)、、、、的眾數(shù)為，
，
則數(shù)據(jù)重新排列為、、、、，
所以中位數(shù)為，
故答案為：．
根據(jù)眾數(shù)和中位數(shù)的概念求解．
本題考查了眾數(shù)和中位數(shù)的概念，一組數(shù)據(jù)中出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù)據(jù)叫做眾數(shù)；將一組數(shù)據(jù)按照從小到大或從大到小的順序排列，如果數(shù)據(jù)的個數(shù)是奇數(shù)，則處于中間位置的數(shù)就是這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)；如果這組數(shù)據(jù)的個數(shù)是偶數(shù)，則中間兩個數(shù)據(jù)的平均數(shù)就是這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)．
 12.【答案】 【解析】解：參加課程興趣小組的人數(shù)為人，百分比為，
參加各興趣小組的學生共有人，
故答案為：．
根據(jù)扇形統(tǒng)計圖中相應(yīng)的項目的百分比，結(jié)合參加課程興趣小組的人數(shù)為人，即可算出結(jié)果．
本題考查了扇形統(tǒng)計圖，讀懂統(tǒng)計圖，從統(tǒng)計圖中得到必要的信息是解決問題的關(guān)鍵．扇形統(tǒng)計圖直接反映部分占總體的百分比大小．
 13.【答案】 【解析】解：
故答案為：
扇形面積計算公式：設(shè)圓心角是，扇形所在圓的半徑為，扇形面積為，則，由此即可計算．
本題考查扇形面積的計算，關(guān)鍵是掌握扇形面積的計算公式．
 14.【答案】 【解析】解：，
，


，
的最小值是，
故答案為：．
根據(jù)，可以得到，然后代入所求式子，再將式子配方，即可得到所求式子的最小值．
本題考查二次函數(shù)的最值，解答本題的關(guān)鍵是將所求式子寫成二次函數(shù)頂點式的形式．
 15.【答案】 【解析】解：過點作軸于點，如圖，

則∽，
，
的面積為，
，
由反比例函數(shù)比例系數(shù)的幾何意義得：，
由題意知：，
；
故答案為：．
過點作軸于點，利用相似三角形的性質(zhì)可求得的面積，由反比例函數(shù)比例系數(shù)的幾何意義即可求和的值．
本題考查了反比例函數(shù)比例系數(shù)的幾何意義，相似三角形的判定與性質(zhì)，由相似三角形的性質(zhì)求得三角形的面積是解題的關(guān)鍵．
 16.【答案】 【解析】解：將沿著翻折到，
≌，
，，，
，
，
，
，
，
四邊形為菱形；
符合題意；
，
，
，
∽，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
∽，
，
，
為邊上的中點，
，
，
符合題意；
，
，
，
，
，
；
符合題意；
如圖，過點作，交的延長線于，

設(shè)，則，
，
，

，
，
四邊形為菱形，
，，
，
，
∽，
，
，
，
，
，
不符合題意；
故答案為：．
根據(jù)折疊的性質(zhì)得，，，再根據(jù)平行線的性質(zhì)得出，等量代換后得出，推出，，證明四邊形為菱形；
證明∽，得，，證∽，得，，為邊上的中點得，等量代換得
根據(jù)為邊上的中點，得，，，，等量代換得；
過點作，交的延長線于，設(shè)，則，得到，，根據(jù)菱形的性質(zhì)得到，，證∽，得出，進而得出．
本題主要考查了相似三角形的判定與性質(zhì)、菱形的判定與性質(zhì)、翻折變換折疊問題、解直角三角形，掌握這些知識點的應(yīng)用是解題關(guān)鍵．
 17.【答案】解：原式

． 【解析】先計算負整數(shù)指數(shù)冪和零指數(shù)冪，再化簡二次根式，最后加減．
本題主要考查了實數(shù)的運算，掌握實數(shù)的運算法則是解決本題的關(guān)鍵．
 18.【答案】解：原式，
當時，原式． 【解析】原式括號中兩項通分并利用同分母分式的加法法則計算，同時利用除法法則變形，約分得到最簡結(jié)果，把的值代入計算即可求出值．
此題考查了分式的化簡求值，熟練掌握運算法則是解本題的關(guān)鍵．
 19.【答案】證明：四邊形是平行四邊形，
，，
，
，
即，
在和中，
，
≌，
． 【解析】由平行四邊形的性質(zhì)得出，，證明≌，由全等三角形的性質(zhì)可得出結(jié)論．
本題考查了平行四邊形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，證明≌是解題的關(guān)鍵．
 20.【答案】 【解析】解：小明家客廳里裝有一種三位單極開關(guān)，分別控制著樓梯、客廳、走廊三盞電燈，
小明任意按下一個開關(guān)，打開走廊燈的概率是，
故選：．

畫樹狀圖得：

共有種等可能的結(jié)果，正好客廳燈和走廊燈同時亮的有種情況，
正好客廳燈和走廊燈同時亮的概率是．
由小明家客廳里裝有一種三位單極開關(guān)，分別控制著樓梯、客廳、走廊三盞電燈，直接利用概率公式求解即可求得答案；
首先根據(jù)題意畫出樹狀圖，然后由樹狀圖求得所有等可能的結(jié)果與正好客廳燈和走廊燈同時亮的情況，再利用概率公式即可求得答案．
本題考查的是用列表法或畫樹狀圖法求概率，用到的知識點為：概率所求情況數(shù)與總情況數(shù)之比．熟記求隨機事件的概率公式是解題的關(guān)鍵．
 21.【答案】解：如圖，過點作于點，于點，

，
易得四邊形是矩形，
，，
在中，：：：，
設(shè)，，
根據(jù)勾股定理，得，
，
解得，
米，
米，
米，
在中，米，
米．
答：大樓的高度約為米． 【解析】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用仰角俯角問題和坡度坡角問題，解決本題的關(guān)鍵是掌握仰角俯角和坡度坡角定義．
過點作于點，于點，可得四邊形是矩形，根據(jù)斜坡的坡度為：，設(shè)，，利用勾股定理可得的值，再根據(jù)銳角三角函數(shù)即可進一步求大樓的高度．
 22.【答案】解：設(shè)第一批花每束的進價是元，則第二批花每束的進價是元，
根據(jù)題意得：，
解得：，
經(jīng)檢驗：是原方程的解，且符合題意．
答：第一批花每束的進價是元．
由可知第二批菊花的進價為元．
設(shè)第二批菊花的售價為元，
根據(jù)題意得：，
解得：．
答：第二批花的售價至少為元． 【解析】設(shè)第一批花每束的進價是元，則第二批花每束的進價是元，根據(jù)數(shù)量總價單價結(jié)合第二批所購花的數(shù)量是第一批所購花數(shù)的倍，即可得出關(guān)于的分式方程，解之經(jīng)檢驗后即可得出結(jié)論；
由第二批花的進價比第一批的進價多元可求出第二批花的進價，設(shè)第二批菊花的售價為元，根據(jù)利潤每束花的利潤數(shù)量結(jié)合總利潤不低于元，即可得出關(guān)于的一元一次不等式，解之即可得出結(jié)論．
本題考查了分式方程的應(yīng)用以及一元一次不等式的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是：找準等量關(guān)系，正確列出分式方程；根據(jù)各數(shù)量之間的關(guān)系，正確列出一元一次不等式．
 23.【答案】解：所求圖形，如右圖所示，
是“勻稱三角形”，
理由：連接、，如右圖所示，
是的直徑，
，
，
點是的中點，
點為的中點，
，
切于點，
，
，
過點作于點，
，，，
≌，
，
，
，
，
，
在中，設(shè)，，由勾股定理得，，
，
是“等差三角形”． 【解析】在射線上截取，作線段的垂直平分線，垂足為，分別以，為圓心，，為半徑作弧，兩弧交于點，連接，，即為所求；
根據(jù)“等差勻稱三角形”的定義，由題目中信息的，利用切線的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，三角形的全等以及勾股定理可以判斷是否為“等差三角形”．
本題考查作圖復(fù)雜作圖，全等三角形的判定和性質(zhì)，切線的性質(zhì)，圓周角定理等知識，解題的關(guān)鍵是明確題意，找出所求問題需要的條件，利用數(shù)形結(jié)合的思想解答．
 24.【答案】證明：，，
，，
，
，
∽，
，
，
，
，
∽，
；
證明：如圖，過點作于點，設(shè)，交于點，

由得，，

，
，
，
，
，
，，
，
，
，
又
≌，
，即；

解：如圖，過點作于點，過點作交的延長線于點，
，，，
，
，
≌，
，
，
≌，
，
由得，
，
，
． 【解析】根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)可得，可證明∽，從而得到，從而證得∽，即可；
過點作于點，設(shè)，交于點，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理可得，從而得到，進而得到，再由等腰三角形的性質(zhì)可得，從而得到，再證明≌，即可；過點作于點，過點作交的延長線于點，根據(jù)角平分線的性質(zhì)可得，可證得≌，從而得到，再證得≌，可得，從而得到，即可．
本題主要考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，角平分線的性質(zhì)，熟練掌握相似三角形的判定和性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，角平分線的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
 25.【答案】解：由題意可知：
，
令，，
；
當時，，
，
過點的直線：與拋物線只有一個交點，
直線：，
過點的直線：與拋物線只有一個交點，
，
即，
整理得，
，
解得，
直線：交對稱軸于，
，，
，
，即，
直線平分；
為定值，理由如下，
設(shè)過點的直線：，
聯(lián)立，
化簡，
設(shè)，，，
則，，



． 【解析】由題意可設(shè)函數(shù)解析式，令，即可得；
當時，，由題意可得過點的直線：與拋物線只有一個交點，即，即，解得，根據(jù)點的坐標計算可得，進而得出結(jié)論即可；
設(shè)過點的直線：，聯(lián)立，設(shè)，，，則，，代入即可得出答案．
本題主要考查了二次函數(shù)綜合題，根據(jù)題意設(shè)函數(shù)關(guān)系式以及點的坐標是解題的關(guān)鍵．