精品解析：2022年內(nèi)蒙古赤峰市中考數(shù)學(xué)真題（解析版）

這是一份精品解析：2022年內(nèi)蒙古赤峰市中考數(shù)學(xué)真題（解析版），共32頁。
?2022年赤峰市初中畢業(yè)、升學(xué)統(tǒng)一考試試卷
數(shù) 學(xué)
溫馨提示：
1．本試卷卷面分值150分，共8頁，考試時間120分鐘．
2．答題前，考生務(wù)必將姓名、座位號、考生號填寫在答題卡的對應(yīng)位置上，并仔細(xì)閱讀答題卡上的“注意事項(xiàng)”．
3．答題時，請將答案填涂在答題卡上，寫在本試卷上無效．
4．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回．
一、選擇題（每小題給出的選項(xiàng)中只有一個符合題意，請將符合題意的選項(xiàng)序號，在答題卡的對應(yīng)位置上按要求涂黑．每小題3分，共42分）
1. ﹣5的絕對值是（ ）
A. 5 B. ﹣5 C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根據(jù)負(fù)數(shù)的絕對值等于它的相反數(shù)可得答案．
【詳解】解：|﹣5|=5．
故選A．

2. 下列圖案中，不是軸對稱圖形的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根據(jù)軸對稱圖形的意義：如果一個圖形沿著一條直線對折后兩部分完全重合，這樣的圖形叫做軸對稱圖形，這條直線叫做對稱軸；據(jù)此判斷即可．
【詳解】A不是軸對稱圖形；
B、C、D都是軸對稱圖形；
故選：A．
【點(diǎn)睛】本題考查了軸對稱圖形，軸對稱圖形的關(guān)鍵是尋找對稱軸，圖形兩部分折疊后可重合．
3. 同種液體，壓強(qiáng)隨著深度增加而增大．深處海水的壓強(qiáng)為，數(shù)據(jù)72100000用科學(xué)記數(shù)法表示為（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】科學(xué)記數(shù)法的表示形式為a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n為整數(shù)．確定n的值時，要看把原數(shù)變成a時，小數(shù)點(diǎn)移動了多少位，n的絕對值與小數(shù)點(diǎn)移動的位數(shù)相同．當(dāng)原數(shù)絕對值≥10時，n是正整數(shù)；當(dāng)原數(shù)的絕對值＜1時，n是負(fù)整數(shù)．
【詳解】72100000=
故選：C．
【點(diǎn)睛】此題考查科學(xué)記數(shù)法的表示方法．科學(xué)記數(shù)法的表示形式為a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n為整數(shù)，表示時關(guān)鍵要確定a的值以及n的值．
4. 解不等式組時，不等式①、②的解集在同一數(shù)軸上表示正確的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根據(jù)不等式組確定出解集，表示在數(shù)軸上即可．
【詳解】解：不等式組的解集為，
表示在同一數(shù)軸如圖所示：
，
故選：B．
【點(diǎn)睛】此題考查了在數(shù)軸上表示不等式的解集，把每個不等式的解集在數(shù)軸上表示出來（＞，≥向右畫；＜，≤
向左畫），數(shù)軸上的點(diǎn)把數(shù)軸分成若干段，如果數(shù)軸的某一段上面表示解集的線的條數(shù)與不等式的個數(shù)一樣，那么這段就是不等式組的解集．有幾個就要幾個．在表示解集時“≥”，“≤”要用實(shí)心圓點(diǎn)表示；“＜”，“＞”要用空心圓點(diǎn)表示．
5. 下面幾何體的俯視圖是（ ）

A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】俯視圖是從物體的上面看得到的視圖．
【詳解】圓臺的俯視圖是一個同心圓環(huán)．
故選：B．
【點(diǎn)睛】本題考查幾何體的三視圖，主要考查學(xué)生空間想象能力及對立體圖形的認(rèn)知能力．
6. 如圖，點(diǎn)，將線段先向上平移2個單位長度，再向左平移3個單位長度，得到線段，則點(diǎn)的對應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)是（ ）

A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根據(jù)點(diǎn)向上平移a個單位，點(diǎn)向左平移b個單位，坐標(biāo)P（x，y）?P（x，y+a）?P（x+a，
y+b），進(jìn)行計算即可．
【詳解】解：∵點(diǎn)A坐標(biāo)為（2，1），
∴線段OA向上 平移2個單位長度，再向左平移3個單位長度，點(diǎn)A的對應(yīng)點(diǎn)A′的坐標(biāo)為（2-3，1+2），
即（-1，3），
故選C．
【點(diǎn)睛】此題主要考查了坐標(biāo)與圖形的變化--平移，關(guān)鍵是掌握橫坐標(biāo)，右移加，左移減；縱坐標(biāo)，上移加，下移減．
7. 下列運(yùn)算正確的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】由合并同類項(xiàng)、同底數(shù)冪相乘、冪的乘方、積的乘方的運(yùn)算法則分別進(jìn)行判斷，即可得到答案．
【詳解】解：A、a3和a2不是同類項(xiàng)，不能合并，該選項(xiàng)不符合題意；
B、a2?a3=a5原式計算錯誤，該選項(xiàng)不符合題意；
C、正確，該選項(xiàng)符合題意；
D、原式計算錯誤，該選項(xiàng)不符合題意；
故選：C．
【點(diǎn)睛】本題考查了合并同類項(xiàng)、同底數(shù)冪相乘、冪的乘方、積的乘方的運(yùn)算法則，解題的關(guān)鍵是熟練掌握運(yùn)算法則進(jìn)行判斷．
8. 下列說法正確是（ ）
A. 調(diào)查某班學(xué)生的視力情況適合采用隨機(jī)抽樣調(diào)查的方法
B. 聲音在真空中傳播的概率是100%
C. 甲、乙兩名射擊運(yùn)動員10次射擊成績的方差分別是，，則甲的射擊成績比乙的射擊成績穩(wěn)定
D. 8名同學(xué)每人定點(diǎn)投籃6次，投中次數(shù)統(tǒng)計如下：5，4，3，5，2，4，1，5，則這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)和眾數(shù)分別是4和5
【答案】D
【解析】
【分析】
根據(jù)普查、抽查、概率、方差、中位數(shù)和眾數(shù)的定義，分別對每個選項(xiàng)進(jìn)行判斷，即可得到答案．
【詳解】解：A、調(diào)查某班學(xué)生的視力情況適合采用普查的方法，故A不符合題意；
B、聲音在真空中傳播的概率是0，故B不符合題意；
C、甲、乙兩名射擊運(yùn)動員10次射擊成績的方差分別是，，則乙的射擊成績比甲的射擊成績穩(wěn)定；故C不符合題意；
D、8名同學(xué)每人定點(diǎn)投籃6次，投中次數(shù)統(tǒng)計如下：5，4，3，5，2，4，1，5，則這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)和眾數(shù)分別是4和5；故D符合題意；
故選：D
【點(diǎn)睛】本題考查了全面調(diào)查與抽樣調(diào)查，中位數(shù)、眾數(shù)、方差和概率的意義，理解各個概念的內(nèi)涵是正確判斷的前提．
9. 如圖，剪兩張對邊平行的紙條，隨意交叉疊放在一起，重合部分構(gòu)成一個四邊形，其中一張紙條在轉(zhuǎn)動過程中，下列結(jié)論一定成立的是（ ）


A 四邊形周長不變 B.
C. 四邊形面積不變 D.
【答案】D
【解析】
【分析】由平行四邊形的性質(zhì)進(jìn)行判斷，即可得到答案．
【詳解】解：由題意可知，
∵，，
∴四邊形是平行四邊形，
∴；故D符合題意；
隨著一張紙條在轉(zhuǎn)動過程中，不一定等于，四邊形周長、面積都會改變；故A、B、C不符合題意；
故選：D
【點(diǎn)睛】本題考查了平行四邊形的判定和性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是掌握平行四邊形對邊相等．
10. 某中學(xué)對學(xué)生最喜歡的課外活動進(jìn)行了隨機(jī)抽樣調(diào)查，要求每人只能選擇其中的一項(xiàng)．根據(jù)得到的數(shù)據(jù)，繪制的不完整統(tǒng)計圖如下，則下列說法中不正確的是（ ）


A. 這次調(diào)查的樣本容量是200
B. 全校1600名學(xué)生中，估計最喜歡體育課外活動的大約有500人
C. 扇形統(tǒng)計圖中，科技部分所對應(yīng)的圓心角是
D. 被調(diào)查的學(xué)生中，最喜歡藝術(shù)課外活動的有50人
【答案】B
【解析】
【分析】①由折線統(tǒng)計圖和扇形圖可知：喜歡播音的人數(shù)是10人，占調(diào)查人數(shù)的5%，可以計算出這次調(diào)查的樣本容量；②用全校1600名學(xué)生中的總?cè)藬?shù)，乘以喜歡體育課外活動的所占總?cè)藬?shù)的百分比估計最喜歡體育課外活動的人數(shù)；③先計算被調(diào)查的學(xué)生中，最喜歡藝術(shù)課外活動的人數(shù)，再用總?cè)藬?shù)減去各項(xiàng)人數(shù)就可以算出喜歡科技的人數(shù)，扇形統(tǒng)計圖中，從而可以計算出科技部分所對應(yīng)的圓心角；④被調(diào)查的學(xué)生中，最喜歡藝術(shù)課外活動的人數(shù)就是用200乘藝術(shù)課外活動占調(diào)查人數(shù)的百分比；
【詳解】①由折線統(tǒng)計圖和扇形圖可知：喜歡播音的人數(shù)是10人，占調(diào)查人數(shù)的5%，
這次調(diào)查的樣本容量是10÷5%=200（人），故A選項(xiàng)正確；
②全校1600名學(xué)生中，估計最喜歡體育課外活動的大約有：1600× =400（人）故B選項(xiàng)錯誤；
③被調(diào)查的學(xué)生中，最喜歡藝術(shù)課外活動的有200×25%=50（人）
可以算出喜歡科技的人數(shù)為：200-50-50-10-70=20人
∴扇形統(tǒng)計圖中，科技部分所對應(yīng)的圓心角是°，故C正確；
④被調(diào)查的學(xué)生中，最喜歡藝術(shù)課外活動的有200×25%=50（人）故D正確；
故選：B
【點(diǎn)睛】本題考查折線統(tǒng)計圖，扇形統(tǒng)計圖，理解兩個統(tǒng)計圖中的數(shù)量之間的關(guān)系是正確解答的前提．
11. 已知，則的值為（ ）
A. 13 B. 8 C. －3 D. 5
【答案】A
【解析】
【分析】先化簡已知的式子，再整體代入求值即可．
【詳解】∵
∴
∴
故選：A．
【點(diǎn)睛】本題考查平方差公式、代數(shù)式求值，利用整體思想是解題的關(guān)鍵．
12. 如圖所示，圓錐形煙囪帽的底面半徑為，側(cè)面展開圖為半圓形，則它的母線長為（ ）


A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根據(jù)扇形的弧長公式進(jìn)行計算，即可求出母線的長度．
詳解】解：根據(jù)題意，
圓錐形煙囪帽的底面周長為：；
∵圓錐的側(cè)面展開圖為半圓形，
∴，
∴；
∴它的母線長為；
故選：D
【點(diǎn)睛】本題考查了圓錐的側(cè)面展開圖，弧長公式，解題的關(guān)鍵是熟練掌握弧長公式進(jìn)行計算．
13. 如圖，菱形，點(diǎn)、、、均在坐標(biāo)軸上，，點(diǎn)，點(diǎn)是的中點(diǎn)，點(diǎn)是上的一動點(diǎn)，則的最小值是（ ）


A. 3 B. 5 C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】直線AC上的動點(diǎn)P到E、D兩定點(diǎn)距離之和最小屬“將軍飲馬”模型，由D關(guān)于直線AC的對稱點(diǎn)B，連接BE，則線段BE的長即是PD+PE的最小值．
【詳解】如圖：連接BE，
，
∵菱形ABCD，
∴B、D關(guān)于直線AC對稱，
∵直線AC上的動點(diǎn)P到E、D兩定點(diǎn)距離之和最小
∴根據(jù)“將軍飲馬”模型可知BE長度即是PD+PE的最小值．，
∵菱形ABCD，，點(diǎn)，
∴，，
∴
∴△CDB是等邊三角形
∴
∵點(diǎn)是的中點(diǎn)，
∴,且BE⊥CD，
∴
故選：A．
【點(diǎn)睛】本題考查菱形性質(zhì)及動點(diǎn)問題，解題的關(guān)鍵是構(gòu)造直角三角形用勾股定理求線段長．
14. 如圖，是的直徑，將弦繞點(diǎn)順時針旋轉(zhuǎn)得到，此時點(diǎn)的對應(yīng)點(diǎn)落在上，延長，交于點(diǎn)，若，則圖中陰影部分的面積為（ ）

A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】如圖，連接OE，OC，過點(diǎn)O作OF⊥CE于點(diǎn)F，由旋轉(zhuǎn)得AD=AC，可求出 ,由圓周角定理得得 ，由三角形外角的性質(zhì)得 由垂徑定理得EF=2，根據(jù)勾股定理得，根據(jù)求解即可．
【詳解】解：如圖，連接OE，OC，過點(diǎn)O作OF⊥CE于點(diǎn)F，

則，
由旋轉(zhuǎn)得，
∴∠，
∵∠
∴∠
∴∠
∴∠
又∠
∴∠
∴∠
∴
∴
∵
∴∠
∴∠
∴
故選：C．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了等腰三角形的判定與性質(zhì)，圓周角定理，勾股定理，扇形面積等知識，求出扇形的半徑和圓心角是解答本題的關(guān)鍵．
二、填空題（請把答案填寫在答題卡相應(yīng)的橫線上，每小題3分，共12分）
15. 分解因式：______．
【答案】
【解析】
【分析】先提取公因式，再利用完全平方公式進(jìn)行因式分解．
【詳解】解：，
，
，
故答案是：．
【點(diǎn)睛】本題考查了因式分解，解題的關(guān)鍵是掌握提取公因式及完全平方公式．
16. 已知王強(qiáng)家、體育場、學(xué)校在同一直線上，下面的圖像反映的過程是：某天早晨，王強(qiáng)從家跑步去體育場鍛煉，鍛煉結(jié)束后，步行回家吃早餐，飯后騎自行車到學(xué)校．圖中表示時間，表示王強(qiáng)離家的距離．則下列結(jié)論正確的是_________．（填寫所有正確結(jié)論的序號）
①體育場離王強(qiáng)家
②王強(qiáng)在體育場鍛煉了
③王強(qiáng)吃早餐用了
④王強(qiáng)騎自行車的平均速度是


【答案】①③④
【解析】
【分析】利用圖象信息解決問題即可．
【詳解】解：體育場離張強(qiáng)家，①正確；
王強(qiáng)在體育場鍛煉了，②錯誤；
王強(qiáng)吃早餐用了，③正確；
王強(qiáng)騎自行車的平均速度是，④正確．
故答案為：①③④．
【點(diǎn)睛】此題考查函數(shù)的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是讀懂圖象信息，靈活運(yùn)用所學(xué)知識解決問題．
17. 如圖，為了測量校園內(nèi)旗桿AB
的高度，九年級數(shù)學(xué)應(yīng)用實(shí)踐小組，根據(jù)光的反射定律，利用鏡子、皮尺和測角儀等工具，按以下方式進(jìn)行測量：把鏡子放在點(diǎn)O處，然后觀測者沿著水平直線BO后退到點(diǎn)D，這時恰好能在鏡子里看到旗桿頂點(diǎn)A，此時測得觀測者觀看鏡子的俯角α=60°，觀測者眼睛與地面距離CD=1.7m，BD=11m，則旗桿AB的高度約為_________m．（結(jié)果取整數(shù)，）


【答案】17
【解析】
【分析】如圖容易知道CD⊥BD，AB⊥BD，即∠CDO=∠ABO=90°．由光的反射原理可知∠COD=∠AOB=60°，這樣可以得到△COD∽△AOB，然后利用對應(yīng)邊成比例就可以求出AB．
【詳解】解：由題意知∠COD=∠AOB=60°，∠CDE=∠ABE=90°，
∵CD=1.7m，
∴OD=≈1(m)，
∴OB=11-1=10(m)，
∴△COD∽△AOB．
∴，即，
∴AB=17(m)，
答：旗桿AB的高度約為17m．
故答案為：17．
【點(diǎn)睛】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用，相似三角形的應(yīng)用，本題只要是把實(shí)際問題抽象到相似三角形中，利用相似三角形的性質(zhì)就可以求出結(jié)果．
18. 如圖，拋物線交軸于、兩點(diǎn)，交軸于點(diǎn)，點(diǎn)是拋物線上的點(diǎn)，則點(diǎn)關(guān)于直線的對稱點(diǎn)的坐標(biāo)為_________．


【答案】（0，1）
【解析】
【分析】先求出A、B、C、D的坐標(biāo)，根據(jù)CD∥x軸即可求出點(diǎn)關(guān)于直線的對稱點(diǎn)坐標(biāo)．
【詳解】∵拋物線交軸于、兩點(diǎn)，交軸于點(diǎn)，
∴當(dāng)時，；
當(dāng)時，
∴
∴OA=OC=5
∴
∵是拋物線上的點(diǎn)
∴，解得
當(dāng)時，與A重合；
當(dāng)時，；
∴CD∥x軸，
∴
設(shè)點(diǎn)關(guān)于直線的對稱點(diǎn)M，則


∴M在y軸上，且△DCM是等腰直角三角形
∴DC=CM=6
∴M點(diǎn)坐標(biāo)為（0，1）
故答案為：（0，1）．
【點(diǎn)睛】本題考查二次函數(shù)的性質(zhì)，等腰直角三角形的判定與性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是根據(jù)對稱得到△DCM是等腰直角三角形．
三、解答題（在答題卡上解答，答在本試卷上無效，解答時要寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟．共8題，滿分96分）
19. 先化簡，再求值：，其中．
【答案】；
【解析】
【分析】由分式的加減乘除運(yùn)算法則進(jìn)行化簡，然后求出a的值，再代入計算，即可得到答案．
【詳解】解：
=
=
=；
∵，
把代入，得
原式=．
【點(diǎn)睛】
本題考查了分式的加減乘除混合運(yùn)算，二次根式的性質(zhì)，負(fù)整數(shù)指數(shù)冪，特殊角的三角函數(shù)值等知識，解題的關(guān)鍵是熟練掌握運(yùn)算法則，正確的進(jìn)行解題．
20. 如圖，已知中，，，．

（1）作的垂直平分線，分別交、于點(diǎn)、；（要求：尺規(guī)作圖，不寫作法，保留作圖痕跡）
（2）在（1）的條件下，連接，求的周長．
【答案】（1）見解析 （2）13
【解析】
【分析】（1）利用基本作圖，作BC的垂直平分線分別交、于點(diǎn)、即可；
（2）由作圖可得CD=BD，繼而可得AD=CD，再結(jié)合三角形周長的求解方法進(jìn)行求解即可．
【小問1詳解】
如圖所示，點(diǎn)D、H即為所求
【小問2詳解】
∵DH垂直平分BC，
∴DC=DB，
∴∠B=∠DCB，
∵∠B+∠A=90°，∠DCB+∠DCA=∠ACB=90°，
∴∠A=∠DCA，
∴DC= DA，
∴△BCD的周長=DC+DB+BC=DA+DB+BC=AB+BC=8+5=13．
【點(diǎn)睛】
本題考查了作垂直平分線，垂直平分線的性質(zhì)，等腰三角形的判定與性質(zhì)等，解決此類題目的關(guān)鍵是熟悉基本幾何圖形的性質(zhì)，結(jié)合幾何圖形的基本性質(zhì)把復(fù)雜作圖拆解成基本作圖，逐步操作．
21. 為了解青少年健康狀況，某班對50名學(xué)生的體育達(dá)標(biāo)情況進(jìn)行了測試，滿分為50分．根據(jù)測試成績，繪制出不完整的頻數(shù)分布表和不完整的頻數(shù)分布直方圖如下：
組別
成績（分）
頻數(shù)（人數(shù)）
第一組

1
第二組

5
第三組

12
第四組


第五組

14

請結(jié)合圖表完成下列各題：
（1）求表中的值；
（2）請把頻數(shù)分布直方圖補(bǔ)充完整；
（3）若測試成績不低于35分為達(dá)標(biāo)，則本次測試的達(dá)標(biāo)率是多少？
（4）第三組12名學(xué)生中有、、、四名女生，現(xiàn)將這12名學(xué)生平均分成兩組進(jìn)行競賽練習(xí)，每組兩名女生，請用畫樹狀圖法或列表法求、兩名女生分在同一組的概率．
【答案】（1）18； （2）見解析；
（3）64%； （4）
【解析】
【分析】（1）用總?cè)藬?shù)減去第一、二、三、五組的人數(shù)，即可求出m的值；
（2）根據(jù)（1）得出的m的值，補(bǔ)全頻數(shù)分布直方圖；
（3）用測試成績不低于35分的頻數(shù)除以總數(shù)，即可得到本次測試的達(dá)標(biāo)率；
（4）畫出樹狀圖，再根據(jù)概率公式列式計算即可．
【小問1詳解】
解：表中 m的值是：
m＝50﹣1﹣5﹣12﹣14＝18；
【小問2詳解】
解：頻數(shù)分布直方圖補(bǔ)充完整如下：
【小問3詳解】
解：由題意得：，
答：本次測試的達(dá)標(biāo)率是64%；
【小問4詳解】
解：根據(jù)題意畫樹狀圖如下：

共有12種等可能情況，、兩名女生分在同一組的情況有4種，
則他們同一組的概率為．
【點(diǎn)睛】本題考查了頻數(shù)分布直方圖和概率，利用統(tǒng)計圖獲取信息時，必須認(rèn)真觀察、分析、研究統(tǒng)計圖，才能作出正確的判斷和解決問題，概率＝所求情況數(shù)與總情況數(shù)之比．
22. 某學(xué)校建立了勞動基地，計劃在基地上種植A、B兩種苗木共6000株，其中A種苗木的數(shù)量比B種苗木的數(shù)量的一半多600株．
（1）請問A、B兩種苗木各多少株？
（2）如果學(xué)校安排350人同時開始種植這兩種苗木，每人每天平均能種植A種苗木50株或B種苗木30株，應(yīng)分別安排多少人種植A種苗木和B種苗木，才能確保同時完成任務(wù)？
【答案】（1）A苗木的數(shù)量是2400棵，B苗木的數(shù)量是3600棵；
（2）安排100人種植A苗木，250人種植B苗木，才能確保同時完成任務(wù)．
【解析】
【分析】（1）根據(jù)在基地上種植A，B兩種苗木共6000株，A種苗木的數(shù)量比B種苗木的數(shù)量的一半多600株，可以列出相應(yīng)的二元一次方程組，從而可以解答本題；
（2）根據(jù)題意可以列出相應(yīng)的分式方程，從而可以解答本題，最后要檢驗(yàn)．
【小問1詳解】
解：設(shè)A苗木的數(shù)量是x棵，則B苗木的數(shù)量是y棵，
根據(jù)題意可得：，
解得：，
答：A苗木的數(shù)量是2400棵，B苗木的數(shù)量是3600棵；
【小問2詳解】
解：設(shè)安排a人種植A苗木，則安排（350-a）人種植B苗木，
根據(jù)題意可得：，
解得，a=100，
經(jīng)檢驗(yàn)，a=100是原方程的解，
∴350-a=250，
答：安排100人種植A苗木，250人種植B苗木，才能確保同時完成任務(wù)．
【點(diǎn)睛】本題考查二元一次方程組的應(yīng)用以及分式方程的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是明確題意，列出相應(yīng)的二元一次方程組．
23. 閱讀下列材料
定義運(yùn)算：，當(dāng)時，；當(dāng)時，．例如：；．
完成下列任務(wù)

（1）① _________；②_________
（2）如圖，已知反比例函數(shù)和一次函數(shù)的圖像交于、兩點(diǎn)．當(dāng)時，．求這兩個函數(shù)的解析式．
【答案】（1）①1；②
（2），
【解析】
【分析】（1）根據(jù)材料中的定義進(jìn)行計算，即可求出答案；
（2）由函數(shù)圖像可知當(dāng)時，，則，結(jié)合已知可得，即可求出b，得到一次函數(shù)解析式，求出點(diǎn)A的坐標(biāo)，再利用待定系數(shù)法求出反比例函數(shù)解析式．
【小問1詳解】
解：根據(jù)題意，
∵，當(dāng)時，；當(dāng)時，，
∴①；
∵，
∴②；
故答案為：①1；②；
【小問2詳解】
解：由函數(shù)圖像可知當(dāng)時，，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴一次函數(shù)，
當(dāng)x＝－2時，，
∴A（－2，1），
將A（－2，1）代入得，
∴反比例函數(shù)．
【點(diǎn)睛】本題考查了新定義的運(yùn)算法則，零次冪，反比例函數(shù)與一次函數(shù)的綜合問題，解題的關(guān)鍵是掌握題意，正確的運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的思想求解．
24. 如圖，已知為的直徑，點(diǎn)為外一點(diǎn)，，連接，是的垂直平分線，交于點(diǎn)，垂足為點(diǎn)，連接、，且．

（1）求證：是的切線；
（2）若，，求值．
【答案】（1）見解析 （2）
【解析】
【分析】（1）由等腰三角形的性質(zhì)可得由線段垂直平分線的性質(zhì)可得由可得證明AD//OC，從而可得結(jié)論；
（2）連接AF，由線段垂直平分線的性質(zhì)可得再由勾股定理求出相關(guān)線段長即可．
【小問1詳解】
∵O為圓心，
∴OA=OB，
∵AC=BC，
∴即∠
∵DF是AC的垂直平分線，
∴
∴∠
∵∠
∴∠
∴
∴∠，即
又AB是圓O的直徑，
∴是的切線；
【小問2詳解】
連接AF，如圖，

由（1）知，
∵∠
∴
∴
在中，
∴
在中，

∴
∴
∴
【點(diǎn)睛】本題主要考查了線段垂直平分線的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，切線的判定，勾股定理以及求銳角余弦值，熟練運(yùn)用相關(guān)知識解答本題的關(guān)鍵
25. 【生活情境】
為美化校園環(huán)境，某學(xué)校根據(jù)地形情況，要對景觀帶中一個長，寬的長方形水池進(jìn)行加長改造（如圖①，改造后的水池仍為長方形，以下簡稱水池1），同時，再建造一個周長為的矩形水池（如圖②，以下簡稱水池2）．

【建立模型】
如果設(shè)水池的邊加長長度為，加長后水池1的總面積為，則關(guān)于的函數(shù)解析式為：；設(shè)水池2的邊的長為，面積為
，則關(guān)于的函數(shù)解析式為：，上述兩個函數(shù)在同一平面直角坐標(biāo)系中的圖像如圖③．

【問題解決】
（1）若水池2的面積隨長度的增加而減小，則長度的取值范圍是_________（可省略單位），水池2面積的最大值是_________；
（2）在圖③字母標(biāo)注的點(diǎn)中，表示兩個水池面積相等的點(diǎn)是_________，此時的值是_________；
（3）當(dāng)水池1的面積大于水池2的面積時，的取值范圍是_________；
（4）在范圍內(nèi)，求兩個水池面積差的最大值和此時的值；
（5）假設(shè)水池的邊的長度為，其他條件不變（這個加長改造后的新水池簡稱水池3），則水池3的總面積關(guān)于的函數(shù)解析式為：．若水池3與水池2的面積相等時，有唯一值，求的值．
【答案】（1）；9
（2）C，E；1，4；
（3）或
（4）
（5）
【解析】
【分析】（1）將函數(shù)解析式化為頂點(diǎn)式即可解決問題；
（2）交點(diǎn)即為面積相等的點(diǎn)，聯(lián)立方程組，求出交點(diǎn)坐標(biāo)即可；
（3）觀察函數(shù)圖象，結(jié)合點(diǎn)C，點(diǎn)E的坐標(biāo)可得結(jié)論；
（4）求出面積差的函數(shù)關(guān)系式，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)求解即可；
（5）根據(jù)面積相等列出一元二次方程，依據(jù)，求出b的值即可．
【小問1詳解】
∵
∴拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（3，9），對稱軸為x=3，
∵水池2的面積隨長度的增加而減小，
∴長度的取值范圍是；水池2面積的最大值是9；
故答案為：；9；
【小問2詳解】
由圖象得，兩函數(shù)交于點(diǎn)C，E，
所以，表示兩個水池面積相等的點(diǎn)是C，E；
聯(lián)立方程組
解得，
∴x的值為1或4，
故答案為：C，E；1或4
【小問3詳解】
由（2）知，C（1，5），E（4，8），
又直線在拋物線上方時，或，
所以，水池1面積大于水池2的面積時，的取值范圍是或，
故答案為或；
【小問4詳解】
在范圍內(nèi)，兩個水池面積差，
∵
∴函數(shù)有最大值，
∵
∴當(dāng)時，函數(shù)有最大值，為
即，當(dāng)時，面積差的最大值為
【小問5詳解】
∵水池3與水池2的面積相等，
∴，
整理得，
∵有唯一值，
∴
解得，
【點(diǎn)睛】本題主要考查了二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，熟練掌握二次函數(shù)圖象與性質(zhì)是解答本題的關(guān)鍵．
26. 同學(xué)們還記得嗎？圖①、圖②是人教版八年級下冊教材“實(shí)驗(yàn)與探究”中我們研究過的兩個圖形．受這兩個圖形的啟發(fā)，數(shù)學(xué)興趣小組提出了以下三個問題，請你回答：


（1）【問題一】如圖①，正方形的對角線相交于點(diǎn)，點(diǎn)又是正方形的一個頂點(diǎn)，交于點(diǎn)，交于點(diǎn)，則與的數(shù)量關(guān)系為_________；
（2）【問題二】受圖①啟發(fā)，興趣小組畫出了圖③：直線、經(jīng)過正方形的對稱中心，直線分別與、交于點(diǎn)、，直線分別與、交于點(diǎn)、，且，若正方形邊長為8，求四邊形的面積；


（3）【問題三】受圖②啟發(fā)，興趣小組畫出了圖④：正方形的頂點(diǎn)在正方形的邊上，頂點(diǎn)在的延長線上，且，．在直線上是否存在點(diǎn)，使為直角三角形？若存在，求出的長度；若不存在，說明理由．


【答案】（1）
（2）16 （3）BP的長度為2或3或6或7．
【解析】
【分析】（1）由正方形的性質(zhì)可得，，根據(jù)ASA可證，由全等三角形的性質(zhì)可得結(jié)論；
（2） 過點(diǎn)O作交AD于點(diǎn)M，交BC于點(diǎn)N，作交AB于點(diǎn)T，交CD于點(diǎn)R，證明△進(jìn)而證明；
（3）分三種情況：利用三垂線構(gòu)造出相似三角形，得出比例式求解，即可求出答案．
【小問1詳解】
∵四邊形ABCD是正方形，
∴∠
∵是對角線，
∴∠，
∴∠，
∵四邊形是正方形，
∴∠，
∴∠
又∠
∴，
∴
∴
故答案為:
【小問2詳解】
過點(diǎn)O作交AD于點(diǎn)M，交BC于點(diǎn)N，作交AB于點(diǎn)T，交CD于點(diǎn)R，如圖，


∵點(diǎn)O是正方形ABCD的中心，
∴
又∠A=90°
∴四邊形ATOM是正方形，
∴
同（1）可證△
∴
【小問3詳解】
解：在直線BE上存在點(diǎn)P，使△APF為直角三角形，
①當(dāng)∠AFP=90°時，如圖④，延長EF，AD相交于點(diǎn)Q，

∵四邊形ABCD和四邊形CEFG是正方形，
∴EQ=AB=6，∠BAD=∠B=∠E=90°，
∴四邊形ABEQ是矩形，
∴AQ=BE=BC+CE=8，EQ=AB=6，∠Q=90°=∠E，
∴∠EFP+∠EPF=90，
∵∠AFP=90°，
∴∠EFP+∠AFQ=90°，
∴△EFP∽△QAF，
∴，
∵QF=EQ-EF=4，
∴，
∴EP=1，
∴BP=BE-EP=7；
②當(dāng)∠APF=90°時，如圖⑤，

同①的方法得，△ABP∽△PEF，
∴，
∵PE=BE-BP=8-BP，
∴，
∴BP=2或BP=6；
③當(dāng)∠PAF=90°時，如圖⑥，

過點(diǎn)P作AB的平行線交DA的延長線于M，延長EF，AD相交于N，
同①的方法得，四邊形ABPM是矩形，
∴PM=AB=6，AM=BP，∠M=90°，
同①的方法得，四邊形ABEN是矩形，
∴AN=BE=8，EN=AB=6，
∴FN=EN-EF=4，
同①的方法得，△AMP∽△FNA，
∴，
∴，
∴AM=3，
∴BP=3，
即BP的長度為2或3或6或7．
【點(diǎn)睛】此題是幾何變換綜合題，主要考查了正方形的性質(zhì)，矩形的判定和性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，作出輔助線構(gòu)造出相似三角形和全等三角形是解本題的關(guān)鍵．