專題15.8 分式章末八大題型總結(jié)（培優(yōu)篇）（原卷版+解析版）--最新人教八年級(jí)上冊(cè)數(shù)學(xué)精講精練

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數(shù)學(xué) 新人教版初中數(shù)學(xué)學(xué)科教材分析 數(shù)學(xué)是一門研究數(shù)量關(guān)系和空間形式的科學(xué)，具有嚴(yán)密的符號(hào)體系，獨(dú)特的公式結(jié)構(gòu)，形象的圖像語言。它有三個(gè)顯著的特點(diǎn)：高度抽象，邏輯嚴(yán)密，廣泛應(yīng)用。? 1．高度抽象性：數(shù)學(xué)的抽象，在對(duì)象上、程度上都不同于其它學(xué)科的抽象，數(shù)學(xué)是借助于抽象建立起來并借助于抽象發(fā)展的。 2．嚴(yán)密邏輯性：?數(shù)學(xué)具有嚴(yán)密的邏輯性，任何數(shù)學(xué)結(jié)論都必須經(jīng)過邏輯推理的嚴(yán)格證明才能被承認(rèn)。任何一門科學(xué)，都要應(yīng)用邏輯工具，都有它嚴(yán)謹(jǐn)?shù)囊幻妗?3．廣泛應(yīng)用性：數(shù)學(xué)作為一種工具或手段，幾乎在任何一門科學(xué)技術(shù)及一切社會(huì)領(lǐng)域中都被運(yùn)用。各門科學(xué)的“數(shù)學(xué)化”，是現(xiàn)代科學(xué)發(fā)展的一大趨勢(shì)。? 專題15.8 分式章末八大題型總結(jié)（培優(yōu)篇） 【人教版】 TOC \o "1-3" \h \u   HYPERLINK \l "_Toc29934" 【題型1 分式有意義的條件】  PAGEREF _Toc29934 \h 1  HYPERLINK \l "_Toc15720" 【題型2 利用分式的基本性質(zhì)解決問題】  PAGEREF _Toc15720 \h 2  HYPERLINK \l "_Toc14956" 【題型3 分式的化簡(jiǎn)求值】  PAGEREF _Toc14956 \h 4  HYPERLINK \l "_Toc18805" 【題型4 比較分式的大小】  PAGEREF _Toc18805 \h 6  HYPERLINK \l "_Toc11724" 【題型5 解分式方程的一般方法】  PAGEREF _Toc11724 \h 9  HYPERLINK \l "_Toc8548" 【題型6 裂項(xiàng)相消法解分式方程】  PAGEREF _Toc8548 \h 13  HYPERLINK \l "_Toc9713" 【題型7 利用通分或約分代入求分式的值】  PAGEREF _Toc9713 \h 16  HYPERLINK \l "_Toc30396" 【題型8 利用倒數(shù)法求分式的值】  PAGEREF _Toc30396 \h 18  【題型1 分式有意義的條件】 【例1】（2023下·河南南陽·八年級(jí)校聯(lián)考階段練習(xí)）下列各式中，無論x取何值，分式都有意義的是（????） A．1x2+5 B．53x+2 C．3x+1x2 D．x2x?1 【答案】A 【分析】根據(jù)分式有意義，分母不等于0對(duì)各選項(xiàng)分析判斷即可得解． 【詳解】解：A、無論x取何值，x2+5≥5，分式都有意義，故本選項(xiàng)符合題意； B、當(dāng)x=?23時(shí)，3x+2=0，分式無意義，故本選項(xiàng)不符合題意； C、當(dāng)x=0時(shí)，x2=0，分式無意義，故本選項(xiàng)不符合題意； D、當(dāng)x=12時(shí)，2x?1=0，分式無意義，故本選項(xiàng)不符合題意； 故選：A． 【點(diǎn)睛】本題考查了分式有意義的條件，從以下三個(gè)方面透徹理解分式的概念：（1）分式無意義?分母為零；（2）分式有意義?分母不為零；（3）分式值為零?分子為零且分母不為零． 【變式1-1】（2023下·山西太原·八年級(jí)統(tǒng)考期末）下列x的值中，使分式x?2x?3無意義的是（　　） A．x=3 B．x=?3 C．x=2 D．x=?2 【答案】A 【分析】根據(jù)分式無意義的條件，即分母為0進(jìn)行解答即可． 【詳解】解：由于分式x?2x?3無意義， 所以x?3=0， 即x=3， 故選：A． 【點(diǎn)睛】本題考查分式有意義的條件，掌握分母為0分式無意義是正確解答的關(guān)鍵． 【變式1-2】（2023下·河南南陽·八年級(jí)統(tǒng)考期中）當(dāng)x=2時(shí)，分式x+3x+m沒有意義，則m的值等于（????） A．?2 B．?3 C．2 D．3 【答案】A 【分析】根據(jù)分式無意義，分母等于零可得2+m=0，解可得m的值． 【詳解】解：由題意得：2+m=0， 解得：m=?2， 故選：A． 【點(diǎn)睛】此題主要考查了分式無意義的條件，關(guān)鍵是掌握分式無意義的條件是分母等于零． 【變式1-3】（2023上·上海浦東新·八年級(jí)上海市民辦新竹園中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知y=1x2+2x?c，無論x取任何實(shí)數(shù)，這個(gè)式子都有意義，則c的取值范圍 . 【答案】c＜?1 【分析】將原式分母配方后，根據(jù)完全平方式的值為非負(fù)數(shù)，只需?c?1大于0，求出不等式的解集即可得到c的范圍． 【詳解】原式分母為：x2＋2x?c＝x2＋2x＋1?c?1＝（x＋1）2?c?1， ∵（x＋1）2≥0，無論x取任何實(shí)數(shù)，這個(gè)式子都有意義， ∴?c?1＞0， 解得：c＜?1． 故填：c＜?1 【點(diǎn)睛】此題考查了配方法的應(yīng)用，以及分式有意義的條件，靈活運(yùn)用配方法是解本題的關(guān)鍵． 【題型2 利用分式的基本性質(zhì)解決問題】 【例2】（2023下·河南南陽·八年級(jí)統(tǒng)考期中）下列代數(shù)式變形正確的是（????） A．2a+1b+1=2ab B．?x?yx+y=?x+yx+y C．0.2x0.1x+2y=2xx+2y D．a(chǎn)b=a2b2 【答案】B 【分析】利用分式的基本性質(zhì)逐個(gè)變形得結(jié)論． 【詳解】解：A、 2a+1b+1=2ab分式的分子分母都減去1，不符合分式的基本性質(zhì)，變形不正確； B、?x?yx+y=?x+yx+y，符合分式的基本性質(zhì)，變形正確； C、0.2x0.1x+2y分式的分子分母都乘以10得2xx+20y，變形錯(cuò)誤； D、 ab分式乘方得a2b2，不符合分式的基本性質(zhì)，變形錯(cuò)誤． 故選：B． 【點(diǎn)睛】本題主要考查了分式的性質(zhì)，掌握分式的基本性質(zhì)是解決本題的關(guān)鍵． 【變式2-1】（2023下·重慶萬州·八年級(jí)重慶市萬州第一中學(xué)校聯(lián)考期中）把分式2x+3yx2?y2的x、y均縮小為原來的10倍后，則分式的值（????） A．為原分式值的110 B．為原分式值的1100 C．為原分式值的10倍 D．不變 【答案】C 【分析】將所給分式里的x、y換成110x、110y，利用分式的基本性質(zhì)化簡(jiǎn)分式，與原分式比較即可求解． 【詳解】解：x、y均縮小為原來的10倍后， 2×110x+3×110y110x2?110y2 =1102x+3y1100x2?1100y2 =1102x+3y1100x2?y2 =10×2x+3yx2?y2， ∴分式的值為原分式值的10倍， 故選：C． 【點(diǎn)睛】本題考查分式的基本性質(zhì)，熟練運(yùn)用分式的基本性質(zhì)化簡(jiǎn)分式是解答的關(guān)鍵． 【變式2-2】（2023上·重慶北碚·八年級(jí)統(tǒng)考期末）將x0.2?0.5+0.01x0.03=1的分母化為整數(shù)，得（　　?。?A．x2?0.5+0.01x3=1 B．5x?50+x3=100 C．x20?0.5+0.01x3=100 D．5x?50+x3=1 【答案】D 【分析】根據(jù)分式的基本性質(zhì)求解．　　 【詳解】解：將x0.2?0.5+0.01x0.03=1的分母化為整數(shù)，可得5x?50+x3=1． 故選：D． 【點(diǎn)睛】本題考查一元一次方程的化簡(jiǎn)，熟練掌握分式的基本性質(zhì)解題關(guān)鍵． 【變式2-3】（2023下·江蘇南京·八年級(jí)校聯(lián)考期末）若分式2x2x?y的值為6，當(dāng)x、y都擴(kuò)大2倍后，所得分式的值是 ． 【答案】12 【分析】將原分式中的x、y用2x、2y代替，化簡(jiǎn)，再與原分式進(jìn)行比較即可． 【詳解】將分式2x2x?y中x、y都擴(kuò)大2倍后所得式子為 2(2x)22x?2y=8x22x?2y=4x2x?y=2?2x2x?y， 若分式2x2x?y的值為6， 則所得分式的值是6×2=12． 故答案為：12． 【點(diǎn)睛】本題考查了分式的基本性質(zhì)．解題的關(guān)鍵是抓住分子，分母變化的倍數(shù)．解此類題目首先把字母變化后的值帶入式子中，然后約分，再與原式比較最終得出結(jié)論． 【題型3 分式的化簡(jiǎn)求值】 【例3】（2023下·江蘇鹽城·八年級(jí)景山中學(xué)校考期中）先化簡(jiǎn)，再求值：x2x?3+93?x÷x?1x2?2x+1，其中x滿足x2+2x?2026=0 【答案】x2+2x?3，2023 【分析】根據(jù)分式的混合運(yùn)算法則把已知化簡(jiǎn)，整體代入計(jì)算即可． 【詳解】解：原式=x2x?3?9x?3?x?12x?1 =x+3x?3x?3?x?12x?1 =x+3x?1 =x2+2x?3， ∵x2+2x?2026=0， ∴x2+2x=2026， ∴原式=2026?3=2023． 【點(diǎn)睛】本題考查的是分式的化簡(jiǎn)求值，掌握分式的混合運(yùn)算法則是解題的關(guān)鍵． 【變式3-1】（2023上·湖南岳陽·八年級(jí)統(tǒng)考期中）先化簡(jiǎn)，再求值：x+1x2?1+xx?1÷x+1x2?2x+1，其中?1≤x1的負(fù)整數(shù)解． 【答案】x?2x；3 【分析】先將括號(hào)里面的通分后，將除法轉(zhuǎn)換成乘法，約分化簡(jiǎn)．然后解一元一次不等式求出負(fù)整數(shù)解，代x的值求值． 【詳解】解：原式=x2?4?x2+xxx?2÷x?4x?22=x?4xx?2?x?22x?4=x?2x 解3x+7>1得x>?2，負(fù)整數(shù)解為x=?1 將x=?1代入原式=?1?2?1=3 【變式3-3】（2023上·廣西柳州·八年級(jí)校考期中）已知x2?10x+25與y?3互為相反數(shù)，求y2x?y2?x2+y2?2xyy3÷x2?y2x+y的值． 【答案】32 【分析】先化簡(jiǎn)分式，再由x2?10x+25與y?3互為相反數(shù)得x、y的值，代入即可求解； 【詳解】解：原式=y4x?y2?x?y2y3?x+yx+yx?y =yx?y ∵x2?10x+25與y?3互為相反數(shù)， ∴x2?10x+25+y?3=0， ∴x?52+y?3=0， ∴x=5，y=3， ∴原式=35?3=32． 【點(diǎn)睛】本題主要考查分式的化簡(jiǎn)求值、相反數(shù)的應(yīng)用，掌握相關(guān)運(yùn)算法則是解本題的關(guān)鍵． 【題型4 比較分式的大小】 【例4】（2023·河北石家莊·統(tǒng)考二模）要比較A=2xx+1與B=x+12中的大?。▁是正數(shù)），知道A?B的正負(fù)就可以判斷，則下列說法正確的是（　?。?A．A≥B B．A＞B C．A≤B D．A＜B 【答案】C 【分析】將A?B進(jìn)行化簡(jiǎn)得到A?B=?x?122x+1，利用x是正數(shù)，可得出A?B≤0，即可判斷A和B的大小，進(jìn)而可得答案． 【詳解】解：由題意可知： A?B=4x?x+122x+1=?x?122x+1 ∵x＞0， ∴x+1＞0，x?12≥0， ∴A?B≤0，即A≤B， 故選：C． 【點(diǎn)睛】本題考查比較分式大小，完全平方公式，解題的關(guān)鍵在于正確的通分化簡(jiǎn)． 【變式4-1】（2023下·江蘇揚(yáng)州·八年級(jí)南海中學(xué)階段練習(xí)）已知：A=a+1a+2,B=a+3a+4 （1）若A=1?ma+2，求m的值； （2）當(dāng)a取哪些整數(shù)時(shí)，分式B的值為整數(shù)； （3）若a＞0，比較A與B的大小關(guān)系． 【答案】（1）m=1;（2）—3或—5;（3）A＜B. 【詳解】試題分析: （1）根據(jù)分式的值相等，可得關(guān)于m的方程，根據(jù)解方程，可得答案； （2）根據(jù)拆項(xiàng)法，可得1-1a+4，根據(jù)1a+4是整數(shù)，可得a的值； （3）根據(jù)作差法，可得答案． 試題解析: (1)由A=a+1a+2， 得a+1a+2=1?ma+2=a+2?ma+2 ， 2?m=1， 解得m=1； (2)B=a+4?1a+4=1?1a+4， ∴當(dāng)a+4=±1時(shí)B為整數(shù) a=?3，a=?5. (3)當(dāng)a>0時(shí),A?B=-2(a+2)(a+4)x1>2， ∴x2?2>x1?2>0， ∴b>a>0， ∵p=4(x1?2)+(x2?2)，q=1x1?2+1x2?2， ∴p=4a+b，q=1a+1b，即q=a+bab， 則有：p?q=4a+b?a+bab， 即p?q =4a+b?a+bab =4ab?(a+b)2(a+b)ab =4ab?a2?2ab?b2(a+b)ab =?a2+2ab?b2(a+b)ab =?(a?b)2(a+b)ab， ∵b>a>0， ∴(a+b)ab＞0，(a?b)2＞0 ∴?(a?b)2(a+b)ab＜0， ∴p?q＜0， ∴p＜q， 結(jié)論得證． 【點(diǎn)睛】本題主要考查了代數(shù)式的運(yùn)算以及求解二元一次方程的正整數(shù)解等知識(shí)，解答本題要注重?fù)Q元的思想． 【題型5 解分式方程的一般方法】 【例5】（2023上·湖北恩施·八年級(jí)統(tǒng)考期末）解下列方程： (1)2x?3=3x； (2)xx?1?1=3x?1x+2． 【答案】(1)x=9 (2)原方程無解 【分析】（1）先去分母，解方程，再進(jìn)行檢驗(yàn)即可解答； （2）先去分母，解方程，再進(jìn)行檢驗(yàn)即可解答． 【詳解】（1）解：原方程得：2x=3x?9， 解得x=9， 經(jīng)檢驗(yàn)x=9是原方程的解； （2）解：由原方程得：xx+2?x?1x+2=3， 整理得x2+2x?x2?x+2=3， 解得x=1， 經(jīng)檢驗(yàn)，當(dāng)x=1時(shí)，x?1x+2=0， ∴原方程無解． 【點(diǎn)睛】本題考查了解分式方程，記得檢驗(yàn)計(jì)算的結(jié)果對(duì)分式是否有意義是解題的關(guān)鍵． 【變式5-1】（2023下·浙江紹興·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖所示的解題過程中，第①步出現(xiàn)錯(cuò)誤，但最后所求得的值與原題的正確結(jié)果一樣．則圖中被污染掉的x的值是 ． ?? 【答案】4 【分析】先根據(jù)分式的加法運(yùn)算法則化簡(jiǎn)分式，再根據(jù)計(jì)算結(jié)果確定x值即可． 【詳解】解：x?45?x+1 =x?45?x+5?x5?x =15?x， 由題意，15?x=1， ∴5?x=1， 解得x=4， 經(jīng)檢驗(yàn)，x=4是所列方程的根，且符合題意， 故答案為：4． 【點(diǎn)睛】本題考查分式的加法、解分式方程，熟練掌握分式的加法運(yùn)算法則，正確得到化簡(jiǎn)結(jié)果是解答的關(guān)鍵． 【變式5-2】（2023上·湖南懷化·八年級(jí)?？计谥校┙庀铝蟹质椒匠?(1)40x+5=20； (2)xx?2+1x2?4=1． 【答案】(1)x=?3； (2)x=?52． 【分析】（1）方程兩邊同時(shí)乘以x+5化為一元一次方程，求解檢驗(yàn)即可； （2）方程兩邊同時(shí)乘以x+2x?2化為一元一次方程，求解檢驗(yàn)即可． 【詳解】（1）解：左右兩邊同時(shí)乘以(x+5)得： 40=20(x+5)， 40=20x+100， ?20x=60， x=?3， 檢驗(yàn)：把x=?3代入最簡(jiǎn)公分母得x+5≠0， ∴x=?3是原分式方程的解； （2）原方程可化為： xx?2+1(x+2)(x?2)=1， 左右兩邊同時(shí)乘以(x+2)(x?2)得： x(x+2)+1=(x+2)(x?2)， x2+2x+1=x2?4， 2x=?5， ∴x=?52， 經(jīng)檢驗(yàn)，x=?52是原方程的解． 【點(diǎn)睛】此題考查了解分式方程，熟練掌握分式方程的解法是解題的關(guān)鍵． 【變式5-3】（2023上·河南省直轄縣級(jí)單位·八年級(jí)校聯(lián)考期末）同學(xué)們，在學(xué)習(xí)路上，我們犯各種各樣的錯(cuò)誤是在所難免的．其實(shí)，這些錯(cuò)誤并不是我們學(xué)習(xí)路上的絆腳石．相反，如果我們能夠聚焦錯(cuò)誤、分析錯(cuò)誤、發(fā)散錯(cuò)誤以及歸類錯(cuò)誤，那么我們就能夠以錯(cuò)誤為梯，補(bǔ)齊短板，進(jìn)而大幅提升學(xué)習(xí)效益．小王在復(fù)習(xí)時(shí)發(fā)現(xiàn)一道這樣的錯(cuò)題： 解方程：1?x+32x?2=2x1?x 解：1?x+32x?1=?2xx?1① 1?x+3=?4x② 1?x?3=?4x③ ?x+4x=?1+3④ 3x=2⑤ x=23⑥ (1)請(qǐng)你幫他找出這道題從第_______步開始出錯(cuò)； (2)請(qǐng)完整地解答此分式方程； (3)通過解分式方程，你獲得了哪些活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)？（至少要寫出兩條） 【答案】(1)② (2)見解析 (3)見解析 【分析】（1）根據(jù)去分母，兩邊同時(shí)乘2x?1，即可確定； （2）先去分母，再解一元一次方程，最后檢驗(yàn)； （3）從求解的每一步分析，得出需要注意的地方． 【詳解】（1）解：這道題從第②步開始出錯(cuò)； （2）1?x+32x?2=2x1?x， 去分母得：2x?1?x+3=?4x， 2x?2?x?3=?4x， 2x?x+4x=2+3， 5x=5， 解得：x=1， 檢驗(yàn)：當(dāng)x=1時(shí)，x?1=0， ∴x=1是原方程的增根，故無解． （3）解分式方程去分母時(shí)，每一項(xiàng)都要乘以最簡(jiǎn)公分母； 解分式方程要檢驗(yàn)． 【點(diǎn)睛】本題考查了解分式方程，熟練掌握解分式方程的步驟是解題的關(guān)鍵． 【題型6 裂項(xiàng)相消法解分式方程】 【例6】（2023上·廣東珠?！ぐ四昙?jí)統(tǒng)考期末）李華在計(jì)算時(shí)，探究出了一個(gè)“裂項(xiàng)”的方法，如：11×2+12×3+13×4=1?12+12?13+13?14=1?14=34，利用上面這個(gè)運(yùn)算規(guī)律解決以下問題： (1)求15×6+16×7+17×8的值； (2)證明：11×2+12×3+13×4+?+1(n?1)n+1n(n+1)