專題15.9 分式章末八大題型總結(jié)（拔尖篇）（原卷版+解析版）--最新人教八年級(jí)上冊(cè)數(shù)學(xué)精講精練

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數(shù)學(xué) 新人教版初中數(shù)學(xué)學(xué)科教材分析 數(shù)學(xué)是一門研究數(shù)量關(guān)系和空間形式的科學(xué)，具有嚴(yán)密的符號(hào)體系，獨(dú)特的公式結(jié)構(gòu)，形象的圖像語言。它有三個(gè)顯著的特點(diǎn)：高度抽象，邏輯嚴(yán)密，廣泛應(yīng)用。? 1．高度抽象性：數(shù)學(xué)的抽象，在對(duì)象上、程度上都不同于其它學(xué)科的抽象，數(shù)學(xué)是借助于抽象建立起來并借助于抽象發(fā)展的。 2．嚴(yán)密邏輯性：?數(shù)學(xué)具有嚴(yán)密的邏輯性，任何數(shù)學(xué)結(jié)論都必須經(jīng)過邏輯推理的嚴(yán)格證明才能被承認(rèn)。任何一門科學(xué)，都要應(yīng)用邏輯工具，都有它嚴(yán)謹(jǐn)?shù)囊幻妗?3．廣泛應(yīng)用性：數(shù)學(xué)作為一種工具或手段，幾乎在任何一門科學(xué)技術(shù)及一切社會(huì)領(lǐng)域中都被運(yùn)用。各門科學(xué)的“數(shù)學(xué)化”，是現(xiàn)代科學(xué)發(fā)展的一大趨勢(shì)。? 專題15.9 分式章末八大題型總結(jié)（拔尖篇） 【人教版】 TOC \o "1-3" \h \u   HYPERLINK \l "_Toc1984" 【題型1 探究分式值為整數(shù)問題】  PAGEREF _Toc1984 \h 1  HYPERLINK \l "_Toc19516" 【題型2 探究利用分式性質(zhì)求值問題】  PAGEREF _Toc19516 \h 4  HYPERLINK \l "_Toc7245" 【題型3 探究分式的規(guī)律性問題】  PAGEREF _Toc7245 \h 7  HYPERLINK \l "_Toc19456" 【題型4 探究分式方程的正負(fù)解問題】  PAGEREF _Toc19456 \h 11  HYPERLINK \l "_Toc13285" 【題型5 探究分式方程的整數(shù)解問題】  PAGEREF _Toc13285 \h 14  HYPERLINK \l "_Toc21289" 【題型6 探究分式方程的無解問題】  PAGEREF _Toc21289 \h 17  HYPERLINK \l "_Toc31918" 【題型7 探究分式方程的增根問題】  PAGEREF _Toc31918 \h 20  HYPERLINK \l "_Toc1441" 【題型8 分式方程的應(yīng)用】  PAGEREF _Toc1441 \h 23  【題型1 探究分式值為整數(shù)問題】 【例1】（2023上·山東煙臺(tái)·八年級(jí)統(tǒng)考期中）請(qǐng)閱讀下面材料，然后解決問題：在分式中，對(duì)于只含有一個(gè)字母的分式，當(dāng)分子的次數(shù)大于或等于分母的次數(shù)時(shí)，我們稱之為“假分式”，例如：x+1x?1，x2x?1；當(dāng)分子的次數(shù)小于分母的次數(shù)時(shí)，我們稱之為“真分式”，例如：1x+1，2x+1x2?1．我們知道，假分?jǐn)?shù)可以化為帶分?jǐn)?shù)，例如：125=10+25=2+25．類似的，假分式也可以化為“帶分式”（整式與真分式和的形式），例如：x+1x?1=x?1+1+1x?1=1+2x?1． (1)將分式5x?1x?2化為帶分式； (2)在（1）問中，當(dāng)x取哪些數(shù)值時(shí)，分式5x?1x?2的值也是整數(shù)； (3)當(dāng)x的值變化時(shí)，分式3x2+17x2+3的最大值為 ． 【答案】(1)5+9x?2； (2)當(dāng)x取?7，?1，1，3，5，11時(shí)，分式5x+1x?2的值也是整數(shù)； (3)173． 【分析】本題考查了新定義的理解，分式的變形及分式的值，掌握求解是分式的值為整數(shù)時(shí)字母的值是解本題的關(guān)鍵. （1）將分子5x?1x?2變?yōu)?x?10+10?1x?2，即可以把分式化為帶分式； （2）根據(jù)（1）的結(jié)果，要使5x?1x?2為整數(shù)，則9x?2必為整數(shù)，得到x?2為9的因數(shù)，分情況即可得到x的值； （3）分式3x2+17x2+3要取最大值，則x2+3取最小值，據(jù)此可求出x的值，從而求出3x2+17x2+3的最大值；熟練掌握分式運(yùn)算法則是解題的關(guān)鍵． 【詳解】（1）5x?1x?2=5x?10+10?1x?2=5x?2+9x?2=5+9x?2； （2）由（1）得：5x?1x?2=5+9x?2， 要使5x?1x?2為整數(shù)，則9x?2必為整數(shù)， ∴x?2為9的因數(shù)， ∴x?2=±1或x?2=±3或x?2=±9， 解得：x=3，x=1，x=5，x=?1，x=11，x=?7， ∴當(dāng)x取?7，?1，1，3，5，11時(shí)，分式5x+1x?2的值也是整數(shù)； （3）3x2+17x2+3=3x2+3+8x2+3=3+8x2+3， 分式3x2+17x2+3要取最大值，則x2+3取最小值， 故當(dāng)x=0時(shí)，x2+3取最小值， ∴最大值3x2+17x2+3=3+8x2+3=3+83=173． 【變式1-1】（2023下·江蘇南京·八年級(jí)校聯(lián)考期中）若分式4x?1的值為整數(shù)，x的值也為整數(shù)，則x的最小值為 ． 【答案】?3 【分析】根據(jù)分式4x?1的值為整數(shù)，x的值也為整數(shù)，可得x?1=±4或±2或±1，求出x的值，即可確定出x的最小值． 【詳解】解：∵分式4x?1的值為整數(shù)，x的值也為整數(shù)， ∴x?1=±4或±2或±1， ∴x=5或?3或3或?1或2或0， ∴x的最小值為?3， 故答案為：?3． 【點(diǎn)睛】本題考查了分式的值，正確理解題意是解答本題的關(guān)鍵． 【變式1-2】（2023上·重慶·八年級(jí)西南大學(xué)附中?？计谥校┤魓是整數(shù)，則使分式8x+22x?1的值為整數(shù)的x值有（????）個(gè)． A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【分析】先將假分式8x+22x?1分離可得出4+62x?1，根據(jù)題意只需2x?1是6的整數(shù)約數(shù)即可． 【詳解】解：8x+22x?1=4(2x?1)+62x?1=4+62x?1 由題意可知，2x?1是6的整數(shù)約數(shù)， ∴2x?1=1,2,3,6,?1,?2,?3,?6 解得： x=1,32,2,72,0,?12,?1,?52， 其中x的值為整數(shù)有：x=0,1,?1,2共4個(gè)． 故選：C． 【點(diǎn)睛】本題考查的知識(shí)點(diǎn)是分式的值是整數(shù)的條件，分離假分式是解此題的關(guān)鍵，通過分離假分式得到4+62x?1，從而使問題簡單． 【變式1-3】（2023下·河北保定·八年級(jí)統(tǒng)考期末）已知x為整數(shù)，且2x+3?2x?3+2x+18x2?9為正整數(shù)，則整數(shù)x= ． 【答案】4或5 【分析】根據(jù)異分母分式加減法計(jì)算得2x?3，利用x為整數(shù)，且2x+3?2x?3+2x+18x2?9為正整數(shù)，得到x-3=1或x-3=2，由此得到x的值． 【詳解】解：2x+3?2x?3+2x+18x2?9 =2x?3x2?9?2x+3x2?9+2x+18x2?9 =2x?3?2x+3+2x+18x2?9 =2x+6x2?9???? =2x?3 ∵x為整數(shù)，且2x+3?2x?3+2x+18x2?9為正整數(shù)， ∴x-3=1或x-3=2， ∴x=4或5， 故答案為4或5． 【點(diǎn)睛】此題考查了異分母分式的加減法，正確掌握異分母分式加減法計(jì)算法則并結(jié)合題意得到x-3=1或x-3=2是解題的關(guān)鍵． 【題型2 探究利用分式性質(zhì)求值問題】 【例2】（2023上·四川綿陽·八年級(jí)東辰國際學(xué)校?？计谀┮阎猘bc=1,a+b+c=2,a2+b2+c2=16，則1ab+3c+3+1bc+3a+3+1ca+3b+3的值是 【答案】?710 【分析】由a+b+c=2，a2+b2+c2=16，利用兩個(gè)等式之間的平方關(guān)系得出ab+ac+bc=?6；再根據(jù)已知條件將各分母因式分解，通分，代入已知條件即可． 【詳解】由a+b+c=2平方得：a+b+c2=a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc=4， 且a2+b2+c2=16，則：ab+ac+bc=?6， 由a+b+c=2得：c+1=3?a?b， ∴ab+3c+3=ab+33?a?b=a?3b?3 同理可得：bc+3a+3=b?3c?3，ca+3b+3=c?3a?3， ∴原式=1a?3b?3+1b?3c?3+1c?3a?3 =a?3+b?3+c?3a?3b?3c?3 =a+b+c?9abc?3ab+ac+bc+9a+b+c?27 =2?91?3×?6+9×2?27 =?710 故答案為：?710． 【點(diǎn)睛】本題主要考查了分式的化簡、求值問題；解題的關(guān)鍵是根據(jù)已知條件的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，靈活運(yùn)用有關(guān)公式將所給的代數(shù)式恒等變形，準(zhǔn)確化簡． 【變式2-1】（2023上·四川綿陽·八年級(jí)東辰國際學(xué)校?？计谀┮阎齻€(gè)數(shù)，x，y，z滿足xyx+y=?3,yzy+z=43,zxz+x=?43，則y的值是 【答案】127 【分析】將xyx+y=?3,yzy+z=43,zxz+x=?43變形為x+yxy=?13,y+zyz=34,z+xzx=?34，得到1y+1x=?13,1z+1y=34,1x+1z=?34，利用(1z+1y)?(1x+1z)=32，求出1x=1y?32，代入1y+1x=?13即可求出答案． 【詳解】∵xyx+y=?3,yzy+z=43,zxz+x=?43， ∴x+yxy=?13,y+zyz=34,z+xzx=?34， ∴1y+1x=?13,1z+1y=34,1x+1z=?34， ∴(1z+1y)?(1x+1z)=32， 得1y?1x=32， ∴1x=1y?32， 將1x=1y?32代入1y+1x=?13，得2y=76， ∴y=127， 故答案為：127． 【點(diǎn)睛】此題考查分式的性質(zhì)，分式的變形計(jì)算，根據(jù)分式的性質(zhì)得到1y+1x=?13,1z+1y=34,1x+1z=?34是解題的關(guān)鍵． 【變式2-2】（2023下·山東泰安·八年級(jí)統(tǒng)考期末）已知a+b+cd=a+b+dc=a+c+db=b+c+da=m，則m的值 ． 【答案】為-1或3 【分析】根據(jù)題設(shè)知a≠0，b≠0，c≠0，d≠0，得到a+b+c=dm，a+b+d=cm，a+c+d=bm，b+c+d=am，推出3(a+b+c+d)=m(a+b+c+d)，得到(a+b+c+d）(m-3)=0，當(dāng)a+b+c+d=0時(shí)，得到a+b+c=-d，a+b+d=-c，a+c+d=-b，b+c+d=-a，推出m=-1；當(dāng)a+b+c+d≠0時(shí)，推出m-3=0，得到m=3． 【詳解】∵a+b+cd=a+b+dc=a+c+db=b+c+da=m， ∴a≠0，b≠0，c≠0，d≠0， ∴a+b+c=dm，a+b+d=cm，a+c+d=bm，b+c+d=am， ∴3(a+b+c+d)=m(a+b+c+d)， ∴(a+b+c+d）(m-3)=0， 當(dāng)a+b+c+d=0時(shí)， a+b+c=-d，a+b+d=-c，a+c+d=-b，b+c+d=-a， ∴m=-1； 當(dāng)a+b+c+d≠0時(shí)， m-3=0，m=3， 綜上，m=-1或m=3． 故答案為：為-1或3． 【點(diǎn)睛】本題主要考查了分式的值，解決問題的關(guān)鍵是熟練掌握分式有意義的條件，等式的基本性質(zhì)，分式值的意義及滿足條件． 【變式2-3】（2023·全國·八年級(jí)假期作業(yè)）已知正實(shí)數(shù)x，y，z滿足：xy+yz+zx≠1，且(x2?1)(y2?1)xy+(y2?1)(z2?1)yz+(z2?1)(x2?1)zx=4．求1xy+1yz+1zx的值為 ． 【答案】1 【分析】先把(x2?1)(y2?1)xy+(y2?1)(z2?1)yz+(z2?1)(x2?1)zx=4去分母、移項(xiàng)，根據(jù)因式分解法變形為[xyz﹣（x+y+z）]（xy+yz+zx﹣1）=0，由題意得xy+yz+zx﹣1≠0，可推出xyz=x+y+z，化簡1xy+1yz+1zx即可得出答案． 【詳解】解：∵(x2?1)(y2?1)xy+(y2?1)(z2?1)yz+(z2?1)(x2?1)zx=4， ∴z（x2﹣1）（y2﹣1）+x（y2﹣1）（z2﹣1）+y（z2﹣1）（x2﹣1）=4xyz， ∴x2y2z﹣x2z﹣y2z+z+xy2z2﹣xy2﹣xz2+x+x2yz2﹣yz2﹣x2y+y=4xyz， 整理，得 xyz（xy+yz+xz﹣1）﹣（x+y+z）（xy+yz+zx）+（x+y+z）=0， ∴xyz（xy+yz+xz﹣1）﹣（x+y+z）（xy+yz+zx﹣1）=0， ∴[xyz﹣（x+y+z）]（xy+yz+zx﹣1）=0． ∵xy+yz+zx≠1， ∴xy+yz+zx﹣1≠0， ∴xyz﹣（x+y+z）=0， ∴xyz=x+y+z， ∴1yz+1xz+1xy=x+y+zxyz=xyzxyz=1， 即1xy+1yz+1zx的值為1． 故答案為：1． 【點(diǎn)睛】本題考查了分式化簡求值，熟練掌握因式分解的方法是解題關(guān)鍵． 【題型3 探究分式的規(guī)律性問題】 【例3】（2023上·山東德州·八年級(jí)階段練習(xí)）給定下面一列分式：x3y，-x5y2，x7y3，-x9y4，．．．，（其中x≠0） （1）把任意一個(gè)分式除以前面一個(gè)分式，你發(fā)現(xiàn)了什么規(guī)律？ （2）根據(jù)你發(fā)現(xiàn)的規(guī)律，試寫出給定的那列分式中的第7個(gè)分式． 【答案】（1）規(guī)律是任意一個(gè)分式除以前面一個(gè)分式恒等于?x2y；（2）第7個(gè)分式應(yīng)該是x15y7 【分析】（1）將任意一個(gè)分式除以前面一個(gè)分式，可得出規(guī)律． （2）由（1）可知任意一個(gè)分式除以前面一個(gè)分式恒等于一個(gè)代數(shù)式，由此可得出第7個(gè)分式． 【詳解】解：（1）第二個(gè)分式除以第一個(gè)分式得-x2y，第三個(gè)分式除以第二個(gè)分式得-x2y， 同理，第四個(gè)分式除以第三個(gè)分式也是-x2y．故規(guī)律是任意一個(gè)分式除以前面一個(gè)分式恒等于 -x2y； （2）由（1）可知該第7個(gè)分式應(yīng)該是 x3y×(-x2y)6=x15y7． 【點(diǎn)睛】本題考查了數(shù)字的變化類的相關(guān)知識(shí)，根據(jù)題干的規(guī)律找到一般表達(dá)式是解題的關(guān)鍵，難度中等． 【變式3-1】（2023下·廣東佛山·八年級(jí)?？茧A段練習(xí)）已知S1=a+1（a不取0和-1），S2=11?S1，S3=11?S2，S4=11?S3，… 按此規(guī)律，請(qǐng)用含a的代數(shù)式表示S2022= ． 【答案】a+1 【分析】根據(jù)題意可得S2=11?S1=?1a，S3=11?S2=aa+1，S4=11?S3=a+1，…，可以發(fā)現(xiàn)數(shù)據(jù)的變化規(guī)律，從而可以求得S2020的值． 【詳解】解：∵S1=a+1（a不取0和-1）， ∴S2=11?S1=?1a， S3=11?S2=aa+1， S4=11?S3=a+1， …， ∴3個(gè)一循環(huán)， ∵2020÷3=673…1， ∴S2020=a+1． 故答案為：a+1． 【點(diǎn)睛】本題考查數(shù)字的變化類、分式的混合運(yùn)算，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，發(fā)現(xiàn)數(shù)字的變化規(guī)律． 【變式3-2】（2023上·湖南永州·八年級(jí)統(tǒng)考期中）探究題：觀察下列各式的變化規(guī)律，然后解答下列問題：11×2=1?12，12×3=12?13，13×4=13?14，14×5=14?15，…… (1)計(jì)算：若n為正整數(shù)，猜想1nn+1=______； (2)1x+2023+1x(x+1)+1(x+1)(x+2)+??+1(x+2022)(x+2023)； (3)若ab?2+b?1=0，求1ab+1(a+1)(b+1)+1(a+2)(b+2)+1(a+3)(b+3)+?+1(a+21)(b+21)的值． 【答案】(1)1n?1n+1 (2)1x (3)2223 【分析】此題考查了分式的加減法，有理數(shù)的混合運(yùn)算，以及非負(fù)數(shù)的性質(zhì)． （1）根據(jù)已知等式得到一般性規(guī)律，寫出即可； （2）原式利用拆項(xiàng)法變形后，計(jì)算即可求出值； （3）利用非負(fù)數(shù)的性質(zhì)求出a與b的值，代入原式計(jì)算即可求出值． 【詳解】（1）解：根據(jù)題意得： 1nn+1=1n?1n+1； 故答案為：1n?1n+1； （2）解：原式=1x+2023+1xx+1+1x+1x+2+??+1x+2022x+2023 =1x+2023+1x?1x+1+1x+1?1x+2+??+1x+2022?1x+2023 =1x+2023+1x?1x+2023 =1x； （3）解：∵ab?2+b?1=0， ∴ab?2=0，b?1=0， ∴a=2，b=1， ∴1ab+1a+1b+1+1a+2b+2+1a+3b+3+?+1a+21b+21 =11×2+12×3+13×4+?+122×23 =1?12+12?13+13?14+?+122?123 =1?123 =2223． 【變式3-3】（2023下·江蘇揚(yáng)州·八年級(jí)統(tǒng)考期末）定義：若分式A與分式B的差等于它們的積，即A?B=AB，則稱分式B是分式A“友好分式”． 如1x+1與1x+2，因?yàn)?x+1?1x+2=1x+1x+2，1x+1×1x+2=1x+1x+2， 所以1x+2是1x+1的“友好分式”． (1)分式22y+5______22y+3分式的“友好分式”（填“是”或“不是”）； (2)小明在求分式1x2+y2的“友好分式”時(shí)，用了以下方法： 設(shè)1x2+y2的“友好分式”為N，則1x2+y2?N=1x2+y2×N， ∴1x2+y2+1N=1x2+y2， ∴N=1x2+y2+1． 請(qǐng)你仿照小明的方法求分式xx?3的“友好分式”． (3)①觀察（1）（2）的結(jié)果，尋找規(guī)律，直接寫出分式bax+b的“友好分式”：______． ②若n+2mx+m2+n是m?1mx+n2的“友好分式”，則m+n的值為______． 【答案】(1)是 (2)x2x?3 (3)①bax+2b；②23 【分析】（1）根據(jù)友好分式的定義進(jìn)行判斷； （2）仿照題目中給到的方法進(jìn)行求解； （3）①根據(jù)（1）（2）找規(guī)律求解； ②由①推出的結(jié)論，類比形式求解即可. 【詳解】（1）解：∵22y+3?22y+5=42y+32y+5,22y+3×22y+5=42y+32y+5 ∴22y+3與22y+5是“友好分式” 故答案為：是 （2）解：設(shè)xx?3的“關(guān)聯(lián)分式”為N，則xx?3?N=xx?3×N， ∴xx?3+1N=xx?3， ∴N=x2x?3． （3）解：①設(shè)bax+b的“關(guān)聯(lián)分式”為N，則bax+b?N=bax+b×N， ∴bax+b+1N=bax+b， ∴N=bax+2b． 規(guī)律是：將原分式的分母加上分子,分子保持不變,則所新得的分式是原分式的“友好分式”. 故答案為：bax+2b； ②將原分式的分母加上分子,分子保持不變,則所新得的分式是原分式的“友好分式”. 據(jù)此可得n+2=m?1mx+m2+n=mx+n2+n+2， 整理得m?n=3m2?n2=2 ∴m+n=m2?n2m?n=23． 故答案為：23 【點(diǎn)睛】本題是創(chuàng)新探究類題目，讀懂題目中的新定義并熟練地掌握分式的混合運(yùn)算是解決本題的關(guān)鍵. 【題型4 探究分式方程的正負(fù)解問題】 【例4】（2023上·重慶·八年級(jí)重慶一中?？计谥校┤絷P(guān)于x的不等式組3x