[數(shù)學(xué)]北京市平谷區(qū)2024年中考二模試題（解析版）

這是一份[數(shù)學(xué)]北京市平谷區(qū)2024年中考二模試題（解析版），共18頁。試卷主要包含了選擇題，填空題，解答題解答應(yīng)寫出文字說明等內(nèi)容，歡迎下載使用。
第1—8題均有四個(gè)選項(xiàng)，符合題意的選項(xiàng)只有一個(gè)．
1. 據(jù)國家能源網(wǎng)消息，截至2023年12月31日，國家能源集團(tuán)2023年度發(fā)電量首次突破1.2萬億千瓦時(shí)，其中1 200 000 000 000用科學(xué)記數(shù)法表示為（ ）
A B.
C. D.
【答案】C
【解析】，
故選：C．
2. 下列幾何體中，主視圖為三角形的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】A、主視圖為 ，是三角形，故此選項(xiàng)正確；
B、主視圖為 ，是矩形，故此選項(xiàng)錯(cuò)誤；
C、主視圖為 ，是圓，故此選項(xiàng)錯(cuò)誤；
D、主視圖為 ，是矩形，故此選項(xiàng)錯(cuò)誤；
故選A．
3. 一副三角板如圖所示擺放，直線，則的度數(shù)是（ ）

A. B. C. D.
【答案】C
【解析】∵，∴，

∴，
故選：C．
4. 若，則下列結(jié)論不正確的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】∵，
∴，，
∴A、C、D正確，故不符合要求；B錯(cuò)誤，故符合要求；
故選：B．
5. 如果正多邊形的每個(gè)外角都等于，則它的邊數(shù)為（ ）
A. 5B. 6C. 7D. 8
【答案】B
【解析】∵正多邊形的每個(gè)外角都等于，
∴它的邊數(shù)為，
故選：B．
6. 布袋中有三個(gè)除顏色外其余均相同的小球，小球顏色兩紅一白，從中隨機(jī)同時(shí)抽取兩個(gè)小球，則抽到的兩個(gè)小球顏色恰好相同的概率是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】列表把所有等可能結(jié)果表示出來，兩個(gè)紅球分別表示為紅1，紅2，
共有6種等可能結(jié)果，其中一個(gè)紅球一個(gè)黃球的結(jié)果有2種，
∴抽到的兩個(gè)小球顏色恰好相同的概率為，
故選：A ．
7. 若關(guān)于的一元二次方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，則的取值范圍為（ ）
A B. C. D.
【答案】D
【解析】關(guān)于的一元二次方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根
，，
故選：D．
8. 如圖，正方形中，點(diǎn)E為邊上的點(diǎn)（點(diǎn)E不與點(diǎn)C、D重合），以為邊作正方形，連接，設(shè)，，，給出下面三個(gè)結(jié)論：
①；②；③；
上述結(jié)論中，所有正確結(jié)論的序號(hào)是（ ）
A. ①②B. ①③C. ②③D. ①②③
【答案】D
【解析】如圖，延長交于點(diǎn)H，
∵點(diǎn)E為邊上的點(diǎn)（點(diǎn)E不與點(diǎn)C、D重合），以為邊作正方形，
∴，B，C，G三點(diǎn)共線，，
∴，
∴，，
∴，即，
∴，故③正確，符合題意；
∵，，
∴，故①正確，符合題意；
在中，
∵，
∴，
∴，故②正確，符合題意；
故選：D．
二、填空題（共16分，每題2分）
9. 若代數(shù)式有意義，則實(shí)數(shù)x的取值范圍是__________．
【答案】
【解析】∵代數(shù)式有意義，
∴，即，
故答案為：．
10 分解因式：______．
【答案】
【解析】
故答案為：．
11. 方程的解為________．
【答案】
【解析】，
方程兩邊都乘，得：，
移項(xiàng)，得：
合并得，，
解得，，
檢驗(yàn)：當(dāng)時(shí)，，
所以分式方程的解是．
故答案為：．
12. 如圖，點(diǎn)A、B分別是反比例函數(shù)的圖象上兩點(diǎn)，分別過點(diǎn)A、B向坐標(biāo)軸作垂線，四邊形的面積記作，四邊形的面積記作，則______（填、或）．

【答案】
【解析】∵A，B兩點(diǎn)在反比例函數(shù)的圖像上，
∴，
設(shè)，
∴，，
∴．
故答案為：．
13. 某中學(xué)共有1000名學(xué)生，為了解這1000名學(xué)生參加志愿者服務(wù)的時(shí)長情況，從中隨機(jī)抽取了100名學(xué)生進(jìn)行訪問，獲得了他們的志愿者服務(wù)時(shí)長（單位：小時(shí)），數(shù)據(jù)整理如下：
根據(jù)以上數(shù)據(jù)，估計(jì)這1000名學(xué)生的志愿者服務(wù)時(shí)長不小于300小時(shí)的學(xué)生的人數(shù)為______名．
【答案】470
【解析】，
即這1000名學(xué)生的志愿者服務(wù)時(shí)長不小于300小時(shí)的學(xué)生的人數(shù)為470名，
故答案為：470．
14. 如圖，正方形的邊長為3，點(diǎn)E為邊的中點(diǎn)，連接，與相交于點(diǎn)F，則的長為______．
【答案】
【解析】∵正方形，
∴，，，，
∴，
∵，
∴，，
∴，
∴，即，
解得，，
故答案為：．
15. 如圖，PA，PB分別與⊙O相切于A，B兩點(diǎn)，C是優(yōu)弧AB上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，若∠P = 50°，則∠ACB ＝_____________°
【答案】
【解析】連接，如圖，
PA，PB分別與⊙O相切
故答案為：
16. 某校航模小組的同學(xué)正在為即將開始的航模比賽做最后的準(zhǔn)備．已知準(zhǔn)備工作共有A，B，C，D，E，F(xiàn)，G，H，M，N十項(xiàng)工序，準(zhǔn)備工作完成過程需要滿足以下要求：
（1）H只能在A、B、C工序均完成后才能完成；
（2）M只能在C、D、E工序均完成后才能完成；
（3）其余每項(xiàng)工序相互獨(dú)立，之間沒有干擾；
（4）一項(xiàng)工序只能由一名學(xué)生完成，此工序完成后該學(xué)生才能進(jìn)行其他工序．
各項(xiàng)工序所需時(shí)間如下表所示：
在不考慮其他因素的前提下，若由若干名學(xué)生合作完成準(zhǔn)備工作，則至少需要________分鐘才能全部完成；若要在最短的時(shí)間內(nèi)合作完成準(zhǔn)備工作，則最少需要________名學(xué)生共同參與．
【答案】21 4
【解析】由題意得：可知需要先完成A，再完成H，完成時(shí)長為（分鐘）；若要在最短的時(shí)間內(nèi)合作完成準(zhǔn)備工作，需要四名學(xué)生，具體安排如下
圖：
故答案為：21，4．
三、解答題（共68分，第17—19題，每題5分，第20題6分，第21題5分，第22—23題，每題6分，第24—25題，每題5分，第26題6分；第27—28題，每題7分）解答應(yīng)寫出文字說明、演算步驟或證明過程．
17. 計(jì)算：．
解：原式 ．
18. 解不等式組：．
解：，
解不等式①得，
解不等式②得，
．
19. 已知，求代數(shù)式的值．
解：，
∴，
．
20. 如圖，線段表示2米高的一扇窗戶，要在窗戶上方C點(diǎn)的位置安裝一頂遮陽蓬，若已知北京地區(qū)冬季太陽光線與水平線夾角的最小值為，夏季太陽光線與水平線夾角的最大值為，要讓冬季太陽光線與水平線夾角的最小時(shí)溫暖的陽光完全照進(jìn)房間，又能使夏季太陽光線與水平線夾角的最大的時(shí)候遮陽蓬能完全遮擋炎熱的陽光，設(shè)遮陽蓬的長度為x米，遮陽蓬的落空高度為y米，請你根據(jù)設(shè)計(jì)方案計(jì)算x與y的值約為多少．（）
解： 由圖1可知，，
由圖2可知， ，
解得：，
答：遮陽蓬的長度約為米，遮陽蓬的落空高度約為米．
21. 在平面直角坐標(biāo)系中，一次函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)和．
（1）求這個(gè)一次函數(shù)的解析式；
（2）當(dāng)時(shí)，對于x的每一個(gè)值，一次函數(shù)的值大于函數(shù)的值，直接寫出m的取值范圍．
解：（1）∵一次函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)和，
∴把和代入得，
一次函數(shù)的解析式為
（2）如圖，
當(dāng)時(shí)，兩直線相交于點(diǎn)，
當(dāng)時(shí)，兩直線平行，
所以，m的取值范圍為
22. 如圖，平分，點(diǎn)A是射線上一點(diǎn)，過點(diǎn)A作交于點(diǎn)D，過A作，過點(diǎn)D作．
（1）求證：四邊形是矩形；
（2）在上取點(diǎn)C使得，連接、．求證：．
解：（1）∵，，
∴，
∵，
∴四邊形是平行四邊形，
∵，
∴四邊形是矩形；
（2）如圖，
∵四邊形是矩形
∴，，
∵，
∴
∴，，
∴四邊形是平行四邊形，
∵平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴四邊形是菱形，
∴．
23. 如圖，點(diǎn)A、C是上兩點(diǎn)，過點(diǎn)A作的切線與的延長線交于點(diǎn)B，過點(diǎn)C作的平行線與交于點(diǎn)D，連接、．
（1）求證：；
（2）若，，求的長．
（1）證明：連接交于E，
∵AB是的切線，
，
，
，，
，
，
，
；
（2）解：，，
，
，
，
，
設(shè)，
，
，
，
，
解得，
，，
，
，
，
，
解得．
24. 為了了解本年級(jí)的學(xué)生的身高情況，數(shù)學(xué)小組的同學(xué)從校醫(yī)務(wù)室隨機(jī)調(diào)取了一個(gè)班39人的身高數(shù)據(jù)，（單位：），以下是甲、乙、丙三個(gè)小組對數(shù)據(jù)整理的結(jié)果：
甲：39名學(xué)生的身高頻數(shù)分布圖（數(shù)據(jù)分成4組：，，，）：

其中，身高的數(shù)值在這一組的是：
161，161，162，162，162，163，163，163，163，
164，165，166，167，167，168，168，168，170．
乙：該班有20名女生和19名男生，女生和男生的身高數(shù)據(jù)的折線圖：
丙：39名學(xué)生的身高的平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)：
（1）寫出表中和的值；
（2）在男女兩組學(xué)生中，身高數(shù)據(jù)更均勻的是________（填“男生”或“女生”）；
（3）現(xiàn)需要從該班男、女生中各抽調(diào)6名學(xué)生參加該校運(yùn)動(dòng)會(huì)開幕式儀仗隊(duì)，已知抽調(diào)的女生身高分別為166，168，168，171，172，173．男生已經(jīng)確定的四名成員的身高數(shù)據(jù)為168，170，171，173，為了使被抽調(diào)的男生身高比女生身高的平均值略大，且儀仗隊(duì)身高整體比較均勻，則選出的另外兩名男生的身高分別為________和________．
解：（1）因?yàn)闃颖緮?shù)量是39，將這39人身高從低到高排列，中位數(shù)是第20位學(xué)生的身高，
根據(jù)甲的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)，可以知道，第20位學(xué)生的身高落在組，
因有6個(gè)人，
所以第20位學(xué)生位于的第14個(gè)，
其中，身高的數(shù)值在這一組的是：
161，161，162，162，162，163，163，163，163，
164，165，166，167，167，168，168，168，170．
所以中位數(shù)為167；
根據(jù)乙的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)，可以知道174出現(xiàn)的次數(shù)最多，
所以眾數(shù)為174；
故答案為：，
（2）根據(jù)乙的折線統(tǒng)計(jì)圖，可知女生的數(shù)據(jù)波動(dòng)小一些，
所以女生的數(shù)據(jù)更均勻一些；
故答案為：女生．
（3）已知抽調(diào)的女生身高分別為166，168，168，171，172，173．
此時(shí)，女生的平均身高為：
男生已經(jīng)確定的四名成員的身高數(shù)據(jù)為168，170，171，173，
那么這四個(gè)男生的平均身高為
為了使被抽調(diào)的男生身高比女生身高的平均值略大，且儀仗隊(duì)身高整體比較均勻，
那么另外兩個(gè)男生的身高應(yīng)選擇和；
故答案為：167，174．
25. 商品的價(jià)格會(huì)影響消費(fèi)者的購買的欲望，設(shè)商品價(jià)格減少，商品的銷售量上升，商品的銷售量上升，以下是某商場銷售部統(tǒng)計(jì)的兩種商品隨著價(jià)格的變化銷售量變化的百分比數(shù)據(jù)：
（1）通過分析表格中的數(shù)據(jù)，發(fā)現(xiàn)，都可近似看作的函數(shù)，在平面直角坐標(biāo)系中，已經(jīng)描出表中各組數(shù)值所對應(yīng)的點(diǎn)，補(bǔ)全其余各點(diǎn)，并用平滑曲線連接這些點(diǎn)；
（2）據(jù)悉對于百姓生活的必需品往往隨著價(jià)格的漲幅變化不大，但奢侈品會(huì)因價(jià)格的漲幅呈現(xiàn)明顯的變化，若中恰好有一件商品是奢侈品另一件商品為必需品，觀察圖中的兩條曲線的變化情況推測兩件商品中是必需品的是_______；（填或）
（3）結(jié)合函數(shù)圖象，若商場在母親節(jié)那天對商品八折促銷，若要使商品的銷售增加百分?jǐn)?shù)與商品接近相同，則商品打幾折？（打幾折就是按照商品價(jià)格的百分之幾十銷售）
解：（1）畫圖如下：
（2）由圖可知，隨的增大漲幅變化很大，隨的增大漲幅比較平緩，
∴商品是必需品，
故答案為：；
（3）由圖象可知商品八折時(shí)，即時(shí)的值約為，而當(dāng)?shù)闹导s為時(shí)，值約為，所以商品打六五折．
26. 在平面直角坐標(biāo)系中，，是拋物線上任意兩點(diǎn)．
（1）求拋物線的對稱軸（用含的式子表示）；
（2）若，點(diǎn)中至少有一個(gè)點(diǎn)位于軸的上方，直接寫出的范圍；
（3）若對于時(shí)，都有，求的取值范圍．
解：（1），
拋物線的對稱軸為，
（2）由（1）可得，拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為，
令，得到或，
∴拋物線與軸的兩個(gè)交點(diǎn)為，
，
若點(diǎn)中至少有一個(gè)點(diǎn)位于軸的上方
只需；
（3）∵拋物線的對稱軸為，
∴點(diǎn)一定位于對稱軸的右側(cè)，
它的對稱點(diǎn)為，
又∵對于時(shí)，都有，
∴，
解得．
27. 如圖，在中，，點(diǎn)D為平面上一點(diǎn)，連接，將繞著點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到線段，連接，取的中點(diǎn)F，取的中點(diǎn)G，連接，取的中點(diǎn)M，連接．
（1）依題意補(bǔ)全圖形；
（2）猜想的度數(shù)（用含α的式子表示），并證明．
解：（1）補(bǔ)全圖形如下：
（2），
證明：連接，
過M作于點(diǎn)H，
在中，，F(xiàn)為中點(diǎn)，
∴，
在中，，G為中點(diǎn)，
∴，
∴，
，
∵，
∴，
，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵點(diǎn)F為中點(diǎn)，M為中點(diǎn)，
，
∵點(diǎn)G為中點(diǎn)，M為中點(diǎn)，
，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
，
，
，
，
．
28. 平面直角坐標(biāo)系中，已知線段，為線段上一點(diǎn)不與點(diǎn)、重合，以為圓心，長為半徑畫，以為頂點(diǎn)作，，若角的兩邊一邊與相切，另一邊與相交，則稱線段與關(guān)于點(diǎn)關(guān)聯(lián)．
（1）若點(diǎn)為線段的中點(diǎn)，線段與關(guān)于點(diǎn)關(guān)聯(lián)，則滿足條件的值可以是________①②③④．
（2）半徑為，是上一點(diǎn)，，是軸上一點(diǎn)，線段與關(guān)于點(diǎn)關(guān)聯(lián)，直接寫出的取值范圍；
（3）半徑為，點(diǎn)是上一點(diǎn)，點(diǎn)，，線段與關(guān)于點(diǎn)關(guān)聯(lián)，若在直線上存在滿足條件的點(diǎn)，直接寫出的取值范圍．
解：（1）如圖，
由新定義知與相切，
∴.
∵點(diǎn)P為線段的中點(diǎn)，
∴,
∴,
∴,
∵與相交，
∴,
∴①②符合題意.
故答案為：①②；
（2）如圖，當(dāng)點(diǎn)在軸的正半軸時(shí)，
線段與關(guān)于點(diǎn)關(guān)聯(lián)，
，
當(dāng)與相切與點(diǎn)時(shí)，連接，則
，
四邊形是矩形，
，
四邊形是正方形，
，
當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)重合時(shí)，，
；
當(dāng)點(diǎn)在軸的負(fù)半軸時(shí)，如圖，
同理可求.
綜上可知，或
（3）在上任取一點(diǎn)，在上任取一點(diǎn)，以為圓心，為半徑作，過點(diǎn)分別作的切線，
∵要使線段與關(guān)于點(diǎn)關(guān)聯(lián)，
∴
即
∴
取 中點(diǎn)則點(diǎn)在線段上不包括端點(diǎn) 、.
隨著 在 上運(yùn)動(dòng)取 中點(diǎn) ,
∴中點(diǎn)始終在以 為圓心,半徑為的上運(yùn)動(dòng)，
∴始終在線段 掃得區(qū)域,
∴當(dāng)與相切時(shí),
如圖所示，取點(diǎn)，則
∴是等腰直角三角形，
∴，∴，
∵b過點(diǎn),代入解得：
當(dāng)過點(diǎn)時(shí),∴.紅1
紅2
白
紅1
--------
紅1，紅2
紅1，白
紅2
紅2，紅1
----------
紅2，白
白
白，紅1
白，紅2
---------
志愿者服務(wù)時(shí)長
學(xué)生人數(shù)
10
20
23
20
15
12
工序
A
B
C
D
E
F
G
H
M
N
所需時(shí)間/分鐘
18
15
16
6
7
5
8
3
2
3
平均數(shù)
中位數(shù)
眾數(shù)
167