北京市昌平區(qū)2024年九年級中考二模數(shù)學(xué)試卷（解析版）

這是一份北京市昌平區(qū)2024年九年級中考二模數(shù)學(xué)試卷（解析版），共19頁。試卷主要包含了填空題等內(nèi)容，歡迎下載使用。
1. 2024年2月5日至25日，人民網(wǎng)連續(xù)第23次開展全國兩會調(diào)查，調(diào)查圍繞10個領(lǐng)域設(shè)置49個候選熱詞．本次調(diào)查廣納民情民意，吸引約6 150 000人次參與，其中6 150 000用科學(xué)記數(shù)法可以表示為（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】，
故選：B．
2. 下列圖形中是軸對稱圖形，但不是中心對稱圖形的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】A．該圖既是軸對稱圖形，也是中心對稱圖形，故不符合題意；
B．該圖不是軸對稱圖形，是中心對稱圖形，故不符合題意；
C．該圖既是軸對稱圖形，也是中心對稱圖形，故不符合題意；
D．該圖是軸對稱圖形，但不是中心對稱圖形，故符合題意；
故選D．
3. 光線在不同介質(zhì)中的傳播速度是不同的，因此光線從水中射向空氣時，要發(fā)生折射．由于折射率相同，所以在水中平行的光線，在空氣中也是平行的．如圖，，則（ ）

A. B. C. D.
【答案】C
【解析】如圖所示，，光線在空氣中也平行，

，.
，
，.
.
故選：C.
4. 實數(shù)a，b在數(shù)軸上的對應(yīng)點的位置如圖所示，則下列結(jié)論中正確的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】由數(shù)軸可知，，，
A、，，故本選項不符合題意；
B、，，，，故本選項不符合題意；
C、，，，，，故本選項不符合題意；
D、，，，故本選項符合題意；
故選：D．
5. 正多邊形的一個外角是，那么這個正多邊形是（ ）
A. 正四邊形B. 正六邊形C. 正八邊形D. 正十邊形
【答案】B
【解析】∵正多邊形的一個外角是，
∴這個正多邊形的邊數(shù)為，
∴這個正多邊形為正六邊形．
故選：B．
6. 已知關(guān)于x的一元二次方程有兩個實數(shù)根，則m的取值范圍是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】根據(jù)題意，得：，
解得，
故選：C．
7. 在不透明的袋子里有三個除顏色外其它都相同的小球，兩個紅球，一個黃球，從中隨機同時取出兩個小球，其中取到一個紅球一個黃球的概率為（ ）
A. B. C. D. 1
【答案】A
【解析】列表把所有等可能結(jié)果表示出來，兩個紅球分別表示為紅1，紅2，
共有6種等可能結(jié)果，其中一個紅球一個黃球的結(jié)果有4種，
∴取到一個紅球一個黃球的概率為，
故選：A ．
8. 如圖，為半圓O的直徑，C，D是直徑上兩點，且，過點D作的垂線交半圓于點E，．設(shè)，，，給出下面三個結(jié)論：①；②；③．所有正確結(jié)論的序號是（ ）
A. ①②B. ①③C. ②③D. ①②③
【答案】D
【解析】由題意知，，，
∵，
∴，①正確，故符合要求；
如圖，連接，
∵為半圓O的直徑，
∴，
∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，即，②正確，故符合要求；
∴，
∴，
∴，③正確，故不符合要求；
故選：D．
二、填空題（本題共16分，每小題2分）
9. 使代數(shù)式有意義的x的取值范圍是_______．
【答案】
【解析】代數(shù)式有意義，


故答案為：.
10. 分解因式：3x2+6xy+3y2＝_____．
【答案】3（x+y）2．
【解析】3x2+6xy+3y2=3（x2+2xy+y2）=3（x+y）2．
故答案為3（x+y）2．
11. 分式方程的解是__________．
【答案】
【解析】去分母得：，
解得：，
當(dāng)時，．
所以原方程的解為．
故答案為：．
12. 在平面直角坐標系xOy中，若點和在反比例函數(shù)圖象上，則__________．
【答案】8
【解析】點和在反比例函數(shù)圖象上，
，
解得，
故答案為：8．
13. 如圖，點P為外一點，過點P作的兩條切線，切點分別為A，B，點C為優(yōu)弧上一點，若，則__________°．
【答案】50
【解析】連接，，
，分別切圓于、，
半徑，半徑，
，
，
，
．
故答案為：50．
14. 年3月日，是我國的第個植樹節(jié)，今年植樹節(jié)的主題是“共同呵護地球家園，筑造美麗未來”．下表是某地區(qū)在植樹節(jié)期間，不同批次種植楊樹的成活率的統(tǒng)計結(jié)果，請你估計植樹節(jié)期間，種植楊樹的成活率大約為 __________（結(jié)果保留兩位小數(shù)）．
【答案】
【解析】由題意知，種植楊樹的成活率大約為，
故答案為：．
15. 圖1是裝滿紅酒的高腳杯示意圖，裝酒的杯體可看作一個三角形，液面寬度為6cm，其它數(shù)據(jù)如圖所示，喝掉一部分后的數(shù)據(jù)如圖2所示，此時液面寬度為__________cm．
【答案】3
【解析】如圖，過點作，垂足為，過點作，垂足為，
∵，
，
，
，，
，
解得：，
故答案為：3．
16. 某學(xué)校為豐富學(xué)生的課余生活，組織校園籃球賽，初三年級6個班進行單循環(huán)比賽（即每班都與其他班比賽一場），每天同時在三個場地各進行一場比賽．已知第一天（2）班與（4）班比賽，第二天（3）班與（5）班比賽，第三天（4）班與（6）班比賽，第四天（2）班與（3）班比賽，那么第三天與（3）班比賽的是__________班，第五天與（1）班比賽的是__________班．
【答案】（1） （2）
【解析】（3）班已知的比賽：第二天（3）班與（5）班比賽，第四天（2）班與（3）班比賽，而第三天已知進行的是（4）班與（6）班比賽，故第三天只有（1）班與（3）班比賽，
（4）班與（2）班比賽在第一天，（4）班與（6）班比賽在第三天，第二天已知（3）班與（5）班比賽，故第二天（4）班與（1）班比賽，（2）班與（6）班比賽，同理可得：第四天（1）班與（6）班比賽，（4）班與（5）班比賽，第一天（3）班與（6）班比賽，（1）班與（5）班比賽，故最后一天為（1）班與（2）班比賽，（3）班與（4）班比賽，（5）班與（6）班比賽，如表1
同一天場地上的比賽可交換進行．
故答案為：（1），（2）.
三、解答題（本題共68分，第17-22題，每小題5分，第23-26題，每小題6分，27-28題，每小題7分）解答應(yīng)寫出文字說明，演算步驟或證明過程.
17. 計算：.
解：原式
．
18. 解不等式組：．
解：．
解不等式①得，；
解不等式②得，，
所以這個不等式的解集為．
19. 已知，求代數(shù)式的值．
解：原式
，
，
原式.
20. 如圖，在四邊形中，，，對角線交于O，平分．
（1）求證：四邊形是菱形；
（2）過點C作的垂線交其延長線于點E，若，，求的長．
（1）證明：平分，
，
，
，
，
，
，
，
，
四邊形是平行四邊形，
，
四邊形是菱形；
（2）解：四邊形是菱形，
，，，
中，，
，，
，，
過點C作的垂線交其延長線于點E，
，
中，，
．
21. 如圖，初三年級準備制作一個長的橫幅，橫幅內(nèi)容定為16個字，對橫幅的有關(guān)數(shù)據(jù)作如下規(guī)定：每個字的字寬是相同的，每兩個字之間的字距均相等，邊空寬：字寬：字距，試求橫幅字距是多少？
解：因為邊空寬：字寬：字距，
所以設(shè)邊空寬為，字寬為，字距為.
由題意可得：，
解得.
答：橫幅字距為．
22. 在平面直角坐標系xOy中，一次函數(shù)y＝kx＋b（k≠0）的圖象是由函數(shù)y＝2x的圖象平移得到，且經(jīng)過點（1，3）．
（1）求這個一次函數(shù)的表達式；
（2）當(dāng)x＞1時，對于x的每一個值，函數(shù)y＝mx（m≠0）的值大于一次函數(shù)y＝kx＋b（k≠0）的值，直接寫出m的取值范圍．
解：（1）∵一次函數(shù)y=kx+b（k≠0）的圖象由函數(shù)y=2x的圖象平移得到，
∴k=2．
∵一次函數(shù)y=2x+b的圖象過點（1，3），
∴3=2×1+b．
∴b=1．
∴這個一次函數(shù)的表達式為y=2x+1．
（2）把點（1，3）代入y=mx，求得m=3，
∵當(dāng)x＞1時，對于x的每一個值，函數(shù)y=mx（m≠0）的值大于一次函數(shù)y=2x+1的值，
∴m≥3．
23. 4月24日是中國航天日，某校初中部舉辦了“航天知識”競賽，每個年級各隨機抽取10名學(xué)生，統(tǒng)計這部分學(xué)生的競賽成績，并對成績進行了收集、整理，分析．下面給出了部分信息．
a.初一、初二年級學(xué)生得分的折線圖
b.初三年級學(xué)生得分：
10，9，6，10，8，7，10，7，3，10
c.初一、初二、初三，三個年級學(xué)生得分的平均數(shù)和中位數(shù)如下
根據(jù)以上信息，回答下列問題：
（1）由折線圖可知，初一、初二兩個年級學(xué)生“航天知識”競賽，成績更穩(wěn)定的是__________（填“初一”或“初二”）；
（2）統(tǒng)計表中__________，__________；
（3）由于數(shù)據(jù)統(tǒng)計出現(xiàn)失誤，初三年級所調(diào)查的10名學(xué)生中有一名學(xué)生被記錄為6分，實際得分為9分，將數(shù)據(jù)修正后，初三年級所調(diào)查的10名學(xué)生中以下統(tǒng)計數(shù)據(jù)發(fā)生變化的：__________（寫出符合題意的序號）.
①平均數(shù)；②中位數(shù)；③眾數(shù)；④方差.
解：（1）由折線圖可知，初一學(xué)生得分的波動比初二的小，所以成績更穩(wěn)定的是初一．
故答案為：初一；
（2）由題意得，，
把初三年級學(xué)生得分從小到大排列，排在中間的兩個數(shù)分別是8、9，
故中位數(shù)，
故答案為：8，8.5；
（3）將其中的數(shù)據(jù)6改為9，則數(shù)據(jù)變?yōu)椋?0，9，9，10，8，7，10，7，3，10
數(shù)據(jù)變化，
平均數(shù)、方差改變，
中位數(shù)為：，
中位數(shù)改變，
眾數(shù)依然是10，
眾數(shù)不變．
故答案為：①②④．
24. 如圖，是的直徑，點C在上，若弦平分，交于點E，過點C作的切線，交的延長線于點F．
（1）求證：；
（2）連接，若，，求半徑的長．
（1）證明：連接.
平分，
，
∴，
是直徑，，
，
在中，，
是切線，
，
，
，
，
，
.
（2）解：連接，
直徑，
∴，
，
，
，
，
為等邊三角形，
，
中，，
設(shè)，則，，∴，
經(jīng)檢驗，是分式方程的解且符合題意，
即半徑的長為2．
25. 通常把臟衣服用洗衣液清洗后會進行擰干，但由于不可能擰凈衣服上的全部污水，所以還需要用清水進行多次漂洗，不斷降低衣服中污水的含量．如：把一件存留1斤污水的衣服用10斤清水漂洗后，擰干到仍然存留1斤污水，則漂洗后衣服中存有的污物是原來的．某小組決定使用20斤清水，對某件存留1斤污水衣服分別進行漂洗，且每次擰干后的衣服上都存留約1斤的污水．
（1）該小組設(shè)計了如下兩個方案，請你完善方案內(nèi)容：
方案一：采用一次漂洗的方式.
將20斤清水一次用掉，漂洗后該衣服中存有的污物是原來的__________；
方案二：采用兩次漂洗的方式.
若第一次用14斤清水，第二次用6斤清水，漂洗后該衣服中存有的污物是原來的__________；若在第一次用斤清水，第二次用斤清水，漂洗后該衣服中存有的污物是原來的__________（用含有x的代數(shù)式表示）；
通過計算分析，方案__________（“一”或“二”）的漂洗效果更好.
（2）若采用方案二，第一次用__________斤清水，漂洗效果最好，二次漂洗后該衣服中存有的污物是原來的__________．
解：（1）方案一：采用一次漂洗的方式．
將20斤清水一次用掉，漂洗后該衣服中存有的污物是原來的；
方案二：采用兩次漂洗的方式．
若第一次用14斤清水，第二次用6斤清水，漂洗后該衣服中存有的污物是原來的，
若在第一次用斤清水，第二次用斤清水，漂洗后該衣服中存有的污物是原來的
，方案二效果更好；
故答案為：，，；二；
（2），
當(dāng)時有最大值，分母越大，分數(shù)值最小，漂洗效果最好，
第一次用 10斤清水，漂洗效果最好，
二次漂洗后該衣服中存有污物是原來的
故答案為：二，．
26. 在平面直角坐標系中，，是拋物線上任意兩點，其中．
（1）若拋物線經(jīng)過點，
①求拋物線的對稱軸；
②當(dāng)時，比較，的大小，并說明理由；
（2）設(shè)拋物線的對稱軸為直線，若存在實數(shù)m，當(dāng)時，，，都有，直接寫出a的取值范圍．
解：（1）①∵拋物線經(jīng)過點和點，
∴拋物線的對稱軸是：直線，
②，理由如下：
∵，
∴離對稱軸越近，函數(shù)值越小，
∵，，
∴，
∴，
當(dāng)時，，
即點比點離對稱軸更近，
∴，
當(dāng)時，
∵
∴，
即點比點離對稱軸更近，
∴，
綜上所述：．
（2）∵即，開口向上，
∴，
∴
，
∵，
∴隨著m的增大而增大，
要使得存在實數(shù)，當(dāng)時，都有，
只需保證，
即當(dāng)時，，
∴的取值范圍是．
27. 如圖，在中，，點D是平面內(nèi)任意一點（不與點A，B，C重合），將線段繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)得到線段，連接，G為的中點，連接，．
（1）如圖1，當(dāng)點D在邊上時，
①根據(jù)題意，補全圖1；
②直接寫出：__________；
（2）如圖2，當(dāng)點D在內(nèi)部時，（1）問中的比值還成立嗎？如果成立，請證明你的結(jié)論，如果不成立，請說明理由．
解：（1）①根據(jù)題意補全圖形如下：
②設(shè)，，
，，
，
，
；
（2）成立，
延長，取，連接，
，，
，
，，
，
，
點為的中點，點為的中點，
，，，．
28. 對于平面直角坐標系中的點P和圖形M，給出如下定義：將圖形M繞P順時針旋轉(zhuǎn)得到圖形N，當(dāng)圖形M與圖形N有公共點時，我們稱點P是圖形M的“關(guān)聯(lián)點”．已知，．
（1）如圖1，點P是線段的“關(guān)聯(lián)點”，在點，，中，則滿足條件的點是__________；
（2）若直線上存在點P，使點P為線段的“關(guān)聯(lián)點”，直接寫出b的取值范圍；
（3）以為圓心，1為半徑的，若線段上存在點P，使點P為的“關(guān)聯(lián)點”，直接寫出t的取值范圍．
解：（1）連接和，過點B作軸于點H，如圖，
∵，，，
∴，
∴
∴
∴點A饒點順時針旋轉(zhuǎn)得到點B，
則點是線段的“關(guān)聯(lián)點”；
∵，，，
∴
設(shè)點A、點B饒點順時針旋轉(zhuǎn)得到點、點，則
∴點、點，
∵點的縱坐標小于點B縱坐標
∴線段與線段無交點，
則點不是線段的“關(guān)聯(lián)點”；
∵，，，
∴，
∴
∴點B饒點順時針旋轉(zhuǎn)得到點A，
則點是線段的“關(guān)聯(lián)點”；
故答案為：，；
（2）設(shè)線段饒點P順時針旋轉(zhuǎn)得，過點P作軸，與過點作交于點H，過點A作交于點G，如圖，
則，，
∵，，
∴，
∴，
∴
由題意可設(shè)點，
∵，，
∴
∴點的縱坐標為，
同理，可得點的縱坐標為，
∵點P為線段的“關(guān)聯(lián)點”，
∴線段的A點和線段的重合，或者線段的B點和線段的重合，
①當(dāng)線段的A點和線段的重合，
∵，點的縱坐標為，
∴，解得；
②當(dāng)線段的B點和線段的重合，
∵，點的縱坐標為，
∴；
綜上所述，；
（3）假設(shè)饒點P順時針旋轉(zhuǎn)得，則為等腰直角三角形，
∵點P為的“關(guān)聯(lián)點”，
∴與由公共點，如圖，
∴，
即線段上存在點P使得，
①當(dāng)點P與點B重合時，點T可以取得最大值，此時過點P作軸，
∵，，，∴
即t的最大值為4；
②當(dāng)點T到線段的距離為時，如圖，
則，
設(shè)直線的解析式為，則，解得，
∴直線的解析式為，
設(shè)點C為直線與x軸的交點，則點，
∵，，∴，
∴，即，解得，
∴，即．
紅1
紅2
黃
紅1
--------
紅1，紅2
紅1，黃
紅2
紅2，紅1
----------
紅2，黃
黃
黃，紅1
黃，紅2
---------
第一批次
第二批次
第三批次
第四批次
第五批次
種植數(shù)量
成活數(shù)量
成活頻率
第一天
第二天
第三天
第四天
第五天
場地1
場地2
場地3
年級
初一
初二
初三
平均數(shù)
8
8
m
中位數(shù)
8
8.5
n