2024年中考數(shù)學(xué)第二次模擬考試（北京卷）

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3、三?？荚嚧蟾旁谥锌记皟芍茏笥遥Ｊ侵锌记暗淖詈笠淮慰记皺z驗(yàn)。三模學(xué)校會有意降低難度，目的是增強(qiáng)考生信心，難度只能是中上水平，主要也是對初中三年的知識做一個系統(tǒng)的檢測，讓學(xué)生知道中考的一個大致體系和結(jié)構(gòu)。
2024年中考第二次模擬考試
數(shù)學(xué)·全解全析
第Ⅰ卷 選擇題
一、選擇題（共16分，每小題2分）第1~8題均有四個選項(xiàng)，符合題意的只有一個．
1．截至2023年6月11日17時，全國冬小麥?zhǔn)斋@2.39億畝，進(jìn)度過七成半，將239000000用科學(xué)記數(shù)法表示應(yīng)為（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】用科學(xué)記數(shù)法表示絕對值較大的數(shù)時，一般形式為，其中，為整數(shù)，且比原來的整數(shù)位數(shù)少1，據(jù)此判斷即可．
【詳解】解：，
故選：B．
【點(diǎn)睛】本題考查了科學(xué)記數(shù)法的表示方法，用科學(xué)記數(shù)法表示絕對值較大的數(shù)時，一般形式為，其中，為整數(shù)，且比原來的整數(shù)位數(shù)少1，解題的關(guān)鍵是要正確確定和的值．
2．下列圖形中，既是中心對稱圖形也是軸對稱圖形的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】根據(jù)軸對稱圖形與中心對稱圖形的概念求解即可．
【詳解】A.既不是軸對稱圖形，也不是中心對稱圖形，故此選項(xiàng)不合題意；
B.既不是軸對稱圖形，也不是中心對稱圖形，故此選項(xiàng)不合題意；
C.不是軸對稱圖形，是中心對稱圖形，故此項(xiàng)不合題意；
D.既是中心對稱圖形，又是軸對稱圖形，故此項(xiàng)符合題意．
故選：D．
【點(diǎn)睛】本題考查了中心對稱圖形與軸對稱圖形的概念：軸對稱圖形的關(guān)鍵是尋找對稱軸，圖形兩部分沿對稱軸折疊后可重合；中心對稱圖形是要尋找對稱中心，旋轉(zhuǎn)180度后與原圖重合．
3．如圖，已知，，則的度數(shù)為( )
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根據(jù)∠AOC和∠BOC的度數(shù)得出∠AOB的度數(shù)，從而得出答案．
【詳解】∵∠AOC=70°，∠BOC=30°，
∴∠AOB=70°－30°=40°，
∴∠AOD=∠AOB+∠BOD=40°+70°=110°．
故選：B．
【點(diǎn)睛】本題主要考查的是角度的計(jì)算問題，屬于基礎(chǔ)題型．理解各角之間的關(guān)系是解題的關(guān)鍵．
4．如圖，數(shù)軸上的點(diǎn)A和點(diǎn)B分別在原點(diǎn)的左側(cè)和右側(cè)，點(diǎn)A、B對應(yīng)的實(shí)數(shù)分別是a、b，下列結(jié)論一定成立的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】依據(jù)點(diǎn)在數(shù)軸上的位置，不等式的性質(zhì)，絕對值的意義，有理數(shù)大小的比較法則對每個選項(xiàng)進(jìn)行逐一判斷即可得出結(jié)論．
【詳解】解：由題意得：a＜0＜b，且＜，
∴，∴A選項(xiàng)的結(jié)論不成立；
，∴B選項(xiàng)的結(jié)論不成立；
，∴C選項(xiàng)的結(jié)論不成立；
，∴D選項(xiàng)的結(jié)論成立．
故選：D．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了不等式的性質(zhì)，有理數(shù)大小的比較法則，利用點(diǎn)在數(shù)軸上的位置確定出a，b的取值范圍是解題的關(guān)鍵．
5．若正多邊形的內(nèi)角和是，則該正多邊形的一個外角為（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根據(jù)多邊形的內(nèi)角和公式求出多邊形的邊數(shù)，再根據(jù)多邊形的外角和是固定的，依此可以求出多邊形的一個外角．
【詳解】正多邊形的內(nèi)角和是，
多邊形的邊數(shù)為
多邊形的外角和都是，
多邊形的每個外角
故選：．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了多邊形的內(nèi)角和與外角和之間的關(guān)系，關(guān)鍵是記住內(nèi)角和的公式與外角和的特征，難度適中．
6．已知關(guān)于x的一元二次方程有兩個相等的實(shí)數(shù)根，則實(shí)數(shù)a的值是（ ）
A．B．1C．2D．3
【答案】B
【分析】本題考查一元二次方程根與判別式的關(guān)系，根據(jù)方程有兩個相等的實(shí)數(shù)根，判別式等于0列式求解即可得到答案；
【詳解】解：∵一元二次方程有兩個相等的實(shí)數(shù)根，
∴，
解得：，
故選：B．
7．不透明的袋子中裝有2個紅球和3個黃球，兩種球除顏色外無其他差別，從中隨機(jī)摸出一個小球，摸到黃球的概率是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根據(jù)概率計(jì)算公式進(jìn)行求解即可．
【詳解】解：∵不透明的袋子里裝有2個紅球，3個黃球，
∴從袋子中隨機(jī)摸出一個，摸到黃球的概率為 ；
故選：D．
【點(diǎn)睛】本題考查的是概率公式，熟知隨機(jī)事件A的概率P（A）事件A可能出現(xiàn)的結(jié)果數(shù)與所有可能出現(xiàn)的結(jié)果數(shù)的商是解答此題的關(guān)鍵．
8．如圖，點(diǎn)A、B、C在同一條線上，點(diǎn)B在點(diǎn)A，C之間，點(diǎn)D，E在直線AC同側(cè)，，，，連接DE，設(shè)，，，給出下面三個結(jié)論：①；②；③；

上述結(jié)論中，所有正確結(jié)論的序號是（ ）
A．①②B．①③C．②③D．①②③
【答案】D
【分析】如圖，過作于，則四邊形是矩形，則，由，可得，進(jìn)而可判斷①的正誤；由，可得，，，，則，是等腰直角三角形，由勾股定理得，，由，可得，進(jìn)而可判斷②的正誤；由勾股定理得，即，則，進(jìn)而可判斷③的正誤．
【詳解】解：如圖，過作于，則四邊形是矩形，

∴，
∵，
∴，①正確，故符合要求；
∵，
∴，，，，
∵，
∴，，
∴是等腰直角三角形，
由勾股定理得，，
∵，
∴，②正確，故符合要求；
由勾股定理得，即，
∴，③正確，故符合要求；
故選：D．
【點(diǎn)睛】本題考查了矩形的判定與性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)，勾股定理，等腰三角形的判定，不等式的性質(zhì)，三角形的三邊關(guān)系等知識．解題的關(guān)鍵在于對知識的熟練掌握與靈活運(yùn)用．
第Ⅱ卷 非選擇題
二、填空題（共16分，每小題2分）
9．要使式子有意義，則x可取的一個數(shù)是 ．
【答案】如4等（答案不唯一，）
【分析】根據(jù)二次根式的開方數(shù)是非負(fù)數(shù)求解即可．
【詳解】解：∵式子有意義，
∴x﹣3≥0，
∴x≥3，
∴x可取x≥3的任意一個數(shù)，
故答案為：如4等（答案不唯一，．
【點(diǎn)睛】本題考查二次根式、解一元一次不等式，理解二次根式的開方數(shù)是非負(fù)數(shù)是解答的關(guān)鍵．
10．將因式分解為 ．
【答案】
【分析】先提公因式，再利用平方差公式可進(jìn)行因式分解．
【詳解】解：
=
=
故答案為：．
【點(diǎn)睛】本題考查了提公因式法、公式法分解因式，掌握平方差公式的結(jié)構(gòu)特征是正確應(yīng)用的前提．
11．方程的解為 ．
【答案】x＝3
【分析】根據(jù)分式方程的解法解方程即可；
【詳解】解：去分母得：3x﹣1＝2x+2，
解得：x＝3，
檢驗(yàn)：把x＝3代入得：(x+1)(3x﹣1)≠0，
∴分式方程的解為x＝3．
故答案為：x＝3．
【點(diǎn)睛】本題考查了解分式方程：先將方程兩邊乘最簡公分母將分式方程化為整式方程，再解整式方程，最后需要檢驗(yàn)整式方程的解是不是分式方程的解．
12．在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)，在反比例函數(shù)的圖象上，且，請你寫出一個符合要求的k的值 ．
【答案】（答案不唯一）
【分析】由題可知，在兩個象限，根據(jù)得到圖象位于二、四象限，即給出符合題意的k值即可．
【詳解】由題可知，在兩個象限，
∵，
∴反比例函數(shù)的圖象位于二、四象限，
∴，
即，
故答案為：．
【點(diǎn)睛】本題考查反比例函數(shù)的圖象和性質(zhì)，熟練掌握反比例函數(shù)的性質(zhì)是解題關(guān)鍵．
13．如圖，在中，是直徑，，＝，，那么的長等于 .
【答案】
【分析】此題考查了圓的垂徑定理，勾股定理，圓周角定理；根據(jù)垂徑定理得到，，，利用圓周角定理求出求出，得出，進(jìn)而根據(jù)含30度角的直角三角形的性質(zhì)，求得，勾股定理即可得，垂徑定理即可求得的長．
【詳解】解：如圖所示，設(shè)交于點(diǎn)，
是直徑，丄，
，，，
，
，
，
，
，
，
，
故答案為：．
14．如圖，《九章算術(shù)》是中國古代數(shù)學(xué)專著，是《算經(jīng)十書》（漢唐之間出現(xiàn)的十部古算書）中最重要的一種.該著作記載了“買椽多少”問題：“六貫二百一十錢，倩人去買幾株椽.每株腳錢三文足，無錢準(zhǔn)與一株椽”，大意是：現(xiàn)請人代買一批椽，這批椽的價(jià)錢為6210文.如果每株椽的運(yùn)費(fèi)是3文，那么少拿一株椽后，剩下的椽的運(yùn)費(fèi)恰好等于一株椽的價(jià)錢，試問6210文能買多少株椽？（椽，裝于屋頂以支持屋頂蓋材料的木桿）設(shè)這批椽有株，根據(jù)題意可列分式方程為 .
【答案】
【分析】根據(jù)實(shí)際問題列分式方程即可，關(guān)鍵是對“那么少拿一株椽后，剩下的椽的運(yùn)費(fèi)恰好等于一株椽的價(jià)錢”的理解．
【詳解】解：由題意可列方程：；
故答案為：．
【點(diǎn)睛】本題考查根據(jù)題意列分式方程，解題關(guān)鍵是熟練運(yùn)用單價(jià)計(jì)算公式：單價(jià)總價(jià)數(shù)量，結(jié)合題意即可得出分式方程．
15．如圖，在矩形中，，，E點(diǎn)為邊延長線一點(diǎn)，且．連接交邊于點(diǎn)F，過點(diǎn)D作于點(diǎn)H，則 ．
【答案】
【分析】
利用相似三角形的判定與性質(zhì)求得線段的長，進(jìn)而求得的長，利再用勾股定理求出的長，最后根據(jù)三角形的面積公式，即可求出的長．
【詳解】
解：四邊形為矩形，
，，，，
，
，
，
，
，
，
，
在中，，
，
，
，
，
故答案為：．
【點(diǎn)睛】
本題矩形的性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理，三角形面積公式，熟練掌握相似三角形的判定和性質(zhì)是解題關(guān)鍵．
16．有黑、白各6張卡片，分別寫有數(shù)字1至6把它們像撲克牌那樣洗過后，數(shù)字朝下，如圖排成兩行，排列規(guī)則如下：

①左至右，按數(shù)字從小到大的順序排列；
②黑、白卡片數(shù)字相同時，黑卡片放在左邊．
將第一行卡片用大寫英文字母按順序標(biāo)注，第二行卡片用小寫英文字母按順序標(biāo)注，則白卡片數(shù)字1擺在了標(biāo)注字母 的位置，標(biāo)注字母e的卡片寫有數(shù)字 ．
【答案】B；4
【分析】根據(jù)排列規(guī)則依次確定白1，白2，白3，白4的位置，即可得出答案．
【詳解】解：第一行中B與第二行中c肯定有一張為白1，若第二行中c為白1，則左邊不可能有2張黑卡片，
白卡片數(shù)字1擺在了標(biāo)注字母B的位置，
黑卡片數(shù)字1擺在了標(biāo)注字母A的位置，；
第一行中C與第二行中c肯定有一張為白2，若第二行中c為白2，則a，b只能是黑1，黑2，而A為黑1，矛盾，
第一行中C為白2；
第一行中F與第二行中c肯定有一張為白3，若第一行中F為白3，則D，E只能是黑2，黑3，此時黑2在白2右邊，與規(guī)則②矛盾，
第二行中c為白3，
第二行中a為黑2，b為黑3；
第一行中F與第二行中e肯定有一張為白4，若第一行中F為白4，則D，E只能是黑3，黑4，與b為黑3矛盾，
第二行中e為白4．
故答案為：①B，②4．
【點(diǎn)睛】本題考查圖形類規(guī)律探索，解題的關(guān)鍵是理解題意，根據(jù)所給規(guī)則依次確定出白1，白2，白3，白4的位置．
三、解答題（共68分，17~22題，每題5分，23~26題，每題6分，27~28題，每題7分）解答應(yīng)寫出文字說明、演算步驟或證明過程．
17．（本題5分）計(jì)算：
【答案】
【分析】先計(jì)算特殊角三角函數(shù)值，再計(jì)算零指數(shù)冪，負(fù)整數(shù)指數(shù)冪和化簡二次根式，再根據(jù)二次根式的加減計(jì)算法則求解即可．
【詳解】解：原式
．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了求特殊角三角函數(shù)值，零指數(shù)冪，負(fù)整數(shù)指數(shù)冪，化簡二次根式等等，熟知相關(guān)計(jì)算法則是解題的關(guān)鍵．
18．（本題5分）解不等式組：．
【答案】
【分析】先求出每個不等式的解集，再根據(jù)夾逼原則求出不等式組的解集即可．
【詳解】解：，
解不等式①得：，
解不等式②得：，
∴不等式組的解集為．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了解一元一次不等式組，正確求出每個不等式的解集是解題的關(guān)鍵．
19．（本題5分）先化簡，再求值：，其中．
【答案】，．
【分析】根據(jù)分式的混合運(yùn)算法則進(jìn)行化簡，再代值計(jì)算即可．
【詳解】解：原式
，
當(dāng)時，原式．
【點(diǎn)睛】本題考查分式的化簡求值，二次根式的運(yùn)算．熟練掌握相關(guān)運(yùn)算法則，正確的進(jìn)行計(jì)算，是解題的關(guān)鍵．
20．（本題5分）如圖，在中，平分，過點(diǎn)D作于點(diǎn)于點(diǎn)F，點(diǎn)H是的中點(diǎn)，連接．
(1)判斷四邊形的形狀，并證明；
(2)連接，若，求的長．
【答案】(1)菱形，見解析；(2)
【分析】本題考查菱形的性質(zhì)和判定，關(guān)鍵是利用菱形的判定解答．
（1）根據(jù)角平分線的性質(zhì)得出，進(jìn)而利用直角三角形的性質(zhì)得出，進(jìn)而利用菱形的判定解答即可；
（2）根據(jù)菱形的性質(zhì)和含角的直角三角形的性質(zhì)得出，進(jìn)而解答即可．
【詳解】（1）解：四邊形是菱形，理由如下：
平分，過點(diǎn)作于點(diǎn)，于點(diǎn)，，
，，
點(diǎn)是的中點(diǎn)，
，，
，
，，
，
是等邊三角形，
，
，
四邊形是菱形；
（2）解：連接，交于點(diǎn)，
四邊形是菱形，
，，，
，
，
．
21．（本題5分）已知，圖①是一張可以緩解眼睛疲勞的視力遠(yuǎn)眺回形圖，它是由多個大小不等的正方形構(gòu)成的二維空間平面圖，利用心理學(xué)空間知覺原理，通過變化圖案可不斷改變眼睛晶狀體的焦距，強(qiáng)烈顯示出三維空間的向遠(yuǎn)延伸的立體圖形，調(diào)節(jié)人們的睫狀體放松而保護(hù)視力．其中陰影部分是由能夠緩解視疲勞的綠色構(gòu)成，陰影之間的部分是空白區(qū)域．某體檢中心想定做一張回形圖，圖②是選取的部分回形圖的示意圖，其中最大的正方形邊長為，且空白區(qū)域兩部分的面積相等，若空白區(qū)域需要三種不同的護(hù)眼淺色貼紙，鋪貼用紙費(fèi)用分別為：A區(qū)域10元，B區(qū)域15元，C區(qū)域20元，鋪貼三個區(qū)域共花費(fèi)150元，求C區(qū)域的面積．
【答案】
【分析】本題考查一元一次方程的應(yīng)用，設(shè)A區(qū)域的面積為，根據(jù)題意得出，解得，再求出C區(qū)域的面積即可．
【詳解】解：設(shè)A區(qū)域的面積為，
，
解得，
，
答：C區(qū)域的面積是．
22．（本題5分）在平面直角坐標(biāo)系中，一次函數(shù)（）的圖象經(jīng)過點(diǎn)，，與x軸交于點(diǎn)A．
(1)求該一次函數(shù)的表達(dá)式及點(diǎn)A的坐標(biāo)；
(2)當(dāng)時，對于x的每一個值，函數(shù)的值大于一次函數(shù)（）的值，直接寫出m的取值范圍．
【答案】(1)，；(2)
【分析】本題考查了待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式：掌握待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式一般步驟是解決問題的關(guān)鍵．也考查了一次函數(shù)的性質(zhì)．
（1）先利用待定系數(shù)法求出函數(shù)解析式為，然后計(jì)算自變量為0時對應(yīng)的函數(shù)值得到點(diǎn)坐標(biāo)；
（2）當(dāng)函數(shù)與軸的交點(diǎn)在點(diǎn)（含點(diǎn)）上方時，當(dāng)時，對于的每一個值，函數(shù)的值大于函數(shù)的值．
【詳解】（1）解：一次函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)，，
，
解得，
該一次函數(shù)的表達(dá)式為，
令，得，
，
；
（2）解：當(dāng)時，對于的每一個值，函數(shù)的值大于一次函數(shù)的值，
，
．
23．（本題6分）為進(jìn)一步增強(qiáng)中小學(xué)生“知危險(xiǎn)會避險(xiǎn)”的意識，某校初三年級開展了系列交通安全知識競賽，從中隨機(jī)抽取30名學(xué)生兩次知識競賽的成績（百分制），并對數(shù)據(jù)（成績）進(jìn)行收集、整理、描述和分析．下面給出了部分信息．
．這30名學(xué)生第一次競賽成績和第二次競賽成績得分統(tǒng)計(jì)圖：
．這30名學(xué)生兩次知識競賽獲獎情況相關(guān)統(tǒng)計(jì)表：
（規(guī)定：分?jǐn)?shù)，獲卓越獎；分?jǐn)?shù)，獲優(yōu)秀獎：分?jǐn)?shù)，獲參與獎）
．第二次競賽獲卓越獎的學(xué)生成績?nèi)缦拢?br>90 90 91 91 91 91 92 93 93 94 94 94 95 95 96 98
．兩次競賽成績樣本數(shù)據(jù)的平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)如下表：
根據(jù)以上信息，回答下列問題：
(1)小松同學(xué)第一次競賽成績是89分，第二次競賽成績是91分，在圖中用“○”圈出代表小松同學(xué)的點(diǎn)；
(2)直接寫出的值；
(3)哪一次競賽中初三年級全體學(xué)生的成績水平較高?請說明你的理由（至少兩個方面）．
【答案】(1)見詳解；(2)，；(3)第二次
【分析】（1）根據(jù)30名學(xué)生第一次競賽成績和第二次競賽成績得分情況統(tǒng)計(jì)圖可得橫坐標(biāo)為89，縱坐標(biāo)為91，即可獲得答案；
（2）根據(jù)平均數(shù)和中位數(shù)的定義求解即可；
（3）根據(jù)平均數(shù)、眾數(shù)和中位數(shù)的意義解答即可．
【詳解】（1）解：如圖所示；
（2），
∵第二次競賽獲卓越獎的學(xué)生有16人，成績從小到大排列為：
90，90，91，91，91，91，92，93，93，94，94，94，95，95，96，98，
其中第1個和第2個數(shù)是30名學(xué)生成績中第15和第16個數(shù)，
∴，
∴，；
（3）第二次競賽，學(xué)生成績的平均數(shù)、中位數(shù)和眾數(shù)均高于第一次競賽，
故第二次競賽中初三年級全體學(xué)生的成績水平較高．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了眾數(shù)、平均數(shù)、中位數(shù)等知識，理解題意，熟練掌握相關(guān)知識是解題關(guān)鍵．
24．（本題6分）如圖，圓內(nèi)接四邊形的對角線，交于點(diǎn)，平分，．

(1)求證平分，并求的大?。?br>(2)過點(diǎn)作交的延長線于點(diǎn)．若，，求此圓半徑的長．
【答案】(1)見解析，；(2)
【分析】（1）根據(jù)已知得出，則，即可證明平分，進(jìn)而根據(jù)平分，得出，推出，得出是直徑，進(jìn)而可得；
（2）根據(jù)（1）的結(jié)論結(jié)合已知條件得出，，是等邊三角形，進(jìn)而得出，由是直徑，根據(jù)含度角的直角三角形的性質(zhì)可得，在中，根據(jù)含度角的直角三角形的性質(zhì)求得的長，進(jìn)而即可求解．
【詳解】（1）解：∵
∴，
∴，即平分．
∵平分，
∴，
∴，
∴，即，
∴是直徑，
∴；
（2）解：∵，，
∴，則．
∵，
∴．
∵，
∴，
∴是等邊三角形，則．
∵平分，
∴．
∵是直徑，
∴，則．
∵四邊形是圓內(nèi)接四邊形，
∴，則，
∴，
∴，
∴．
∵，
∴，
∴．
∵是直徑，
∴此圓半徑的長為．
【點(diǎn)睛】本題考查了弧與圓周角的關(guān)系，等弧所對的圓周角相等，直徑所對的圓周角是直角，含度角的直角三角形的性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)與判定，圓內(nèi)接四邊形對角互補(bǔ)，熟練掌握以上知識是解題的關(guān)鍵．
25．（本題6分）興壽鎮(zhèn)草莓園是北京最大的草莓基地，通過一顆顆小草莓，促進(jìn)了農(nóng)民增收致富，也促進(jìn)了農(nóng)旅融合高質(zhì)量發(fā)展．小梅家有一個草莓大棚，大棚的一端固定在離地面高的墻體處，另一端固定在離地面高的墻體處，記大棚的截面頂端某處離的水平距離為，離地面的高度為，測量得到如下數(shù)值：

小梅根據(jù)學(xué)習(xí)函數(shù)的經(jīng)驗(yàn)，發(fā)現(xiàn)是的函數(shù)，并對隨的變化而變化的規(guī)律進(jìn)行了探究．
下面是小梅的探究過程，請補(bǔ)充完整：
(1)在下邊網(wǎng)格中建立適當(dāng)?shù)钠矫嬷苯亲鴺?biāo)系，描出表中各組數(shù)值所對應(yīng)的點(diǎn)，并畫出函數(shù)的圖象；

解決問題：
(2)結(jié)合圖表回答，大棚截面頂端最高處到地面的距離高度為___________；此時距離的水平距離為___________；
(3)為了草莓更好的生長需要在大棚內(nèi)安裝補(bǔ)光燈，補(bǔ)光燈采用吊裝模式懸掛在頂部，已知補(bǔ)光燈在距離地面時補(bǔ)光效果最好，若在距離處水平距離的地方掛補(bǔ)光燈，為使補(bǔ)光效果最好補(bǔ)光燈懸掛部分的長度應(yīng)是多少？（燈的大小忽略不計(jì)）
【答案】(1)見解析；(2)4；3；(3)為使補(bǔ)光效果最好補(bǔ)光燈懸掛部分的長度應(yīng)是．
【分析】（1）描點(diǎn)，連線，即可畫出函數(shù)的圖象；
（2）結(jié)合圖表回答，即可解答；
（3）利用待定系數(shù)法求得拋物線的解析式，令，求得函數(shù)值，即可解答．
【詳解】（1）解：描點(diǎn)，連線，函數(shù)的圖象如圖所示，
；
（2）解：根據(jù)圖表知，大棚截面頂端最高處到地面的距離高度為；此時距離的水平距離為；
故答案為：4；3；
（3）解：設(shè)拋物線的解析式為，
把，，，代入得，，
解得，
∴拋物線的解析式為，
令，則，
，
答：為使補(bǔ)光效果最好補(bǔ)光燈懸掛部分的長度應(yīng)是．
【點(diǎn)睛】本題考查二次函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用，根據(jù)點(diǎn)的坐標(biāo)畫出函數(shù)圖象是解題關(guān)鍵．
26．（本題6分）在平面直角坐標(biāo)系中，已知拋物線．
(1)求該拋物線的對稱軸（用含a的式子表示）；
(2)若，當(dāng)時，求y的取值范圍；
(3)已知，，為該拋物線上的點(diǎn)，若，求a的取值范圍．
【答案】(1)直線；(2)；(3)或
【分析】（1）根據(jù)對稱軸為直線代入求解即可；
（2）根據(jù)，比距離對稱軸遠(yuǎn)，分別求得時的函數(shù)值即可求解；
（3）分兩種情況討論和時．
【詳解】（1）解：∵拋物線解析式為，
∴對稱軸為直線；
（2）解：當(dāng)時，拋物線解析式為，
∴對稱軸，拋物線開口向上，
∴當(dāng)時，取得最小值，即最小值為，
∵離對稱軸更遠(yuǎn)，
∴時取得最大值，即最大值為，
∴當(dāng)時，y的取值范圍是；
（3）解：∵，
∴，，即；或，，即，
∵拋物線對稱軸，
∴是拋物線頂點(diǎn)坐標(biāo)，
若，則拋物線開口向上，，
在對稱軸的右側(cè)，
當(dāng)在對稱軸右側(cè)時，，解得：；
當(dāng)在對稱軸左側(cè)時，，解得：，不符合題意；
∴a的取值范圍是；
若，則拋物線開口向下，，
在對稱軸的右側(cè)，
當(dāng)在對稱軸右側(cè)時，，解得：，不符合題意，
當(dāng)在對稱軸左側(cè)時，，解得：；
∴a的取值范圍是；
綜上所述：a的取值范圍是或.
【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，熟練掌握二次函數(shù)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
27．（本題7分）如圖，在中，，，是的中點(diǎn)，是的中點(diǎn)，連接．將射線繞點(diǎn)逆時針旋轉(zhuǎn)得到射線，過點(diǎn)作交射線于點(diǎn)．

(1)①依題意補(bǔ)全圖形；
②求證：；
(2)連接，，用等式表示線段，之間的數(shù)量關(guān)系，并證明．
【答案】(1)①見解析；②見解析；(2)
【分析】（1）①根據(jù)題意畫出圖形即可求解；
②連接，則于點(diǎn)，平分，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)以及三角形內(nèi)角和定理得出，，根據(jù)，得出，則；
（2）延長至點(diǎn)，使得，連接，，倍長中線法證明，進(jìn)而證明，即可得證．
【詳解】（1）解：①如圖所示，

②連接，

∵，是的中點(diǎn)，
∴于點(diǎn)，平分，
∵
∴，，
∵，
∴，，
∴；
（2）；證明如下，
延長至點(diǎn)，使得，連接，，

∵為的中點(diǎn)，為的中點(diǎn)
∴，
又，
∴，
∴，
∵，，
∴是等腰三角形，則，，，
∵，
∴，
即，
∴，
∴，
∴．
【點(diǎn)睛】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)與判定，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)與判定，熟練掌握全等三角形的性質(zhì)與判定是解題的關(guān)鍵．
28．（本題7分）在平面直角坐標(biāo)系中，的半徑為1，對于直線l和線段，給出如下定義：若將線段關(guān)于直線l對稱，可以得到的弦（，分別為A，B的對應(yīng)點(diǎn)），則稱線段是的關(guān)于直線l對稱的“關(guān)聯(lián)線段”．例如：在圖1中，線段是的關(guān)于直線l對稱的“關(guān)聯(lián)線段”．
(1)如圖2，點(diǎn)，，，，，的橫、縱坐標(biāo)都是整數(shù)．
①在線段，，中，的關(guān)于直線對稱的“關(guān)聯(lián)線段”是______；
②若線段，，中，存在的關(guān)于直線對稱的“關(guān)聯(lián)線段”，則______；
(2)已知交x軸于點(diǎn)C，在中，，．若線段是的關(guān)于直線對稱的“關(guān)聯(lián)線段”，直接寫出b的最大值和最小值，以及相應(yīng)的長．
【答案】(1)①；②3或2；(2)b的最大值為，；最小值為，
【分析】（1）①分別畫出線段，，關(guān)于直線對稱線段，運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想，即可求解；
②從圖象性質(zhì)可知，直線與x軸的夾角為45°，而線段⊥直線，線段關(guān)于直線對稱線段還在直線上，顯然不可能是的弦；線段，的最長的弦為2，得線段的對稱線段不可能是的弦，而線段∥直線，線段，所以線段的對稱線段，且線段，平移這條線段，使其在上，有兩種可能，畫出對應(yīng)圖形即可求解；
（2）先表示出，b最大時就是最大，b最小時就是長最小，根據(jù)線段關(guān)于直線對稱線段在上，得，再由三角形三邊關(guān)系得，得當(dāng)為時，如圖3，最小，此時C點(diǎn)坐標(biāo)為；當(dāng)為時，如圖3，最大，此時C點(diǎn)坐標(biāo)為，分兩種情形分別求解．
【詳解】（1）解：①分別畫出線段，，關(guān)于直線對稱線段，如圖，
發(fā)現(xiàn)線段的對稱線段是⊙O的弦，
∴線段，，中，⊙O的關(guān)于直線對稱的“關(guān)聯(lián)線段”是，
故答案為：；
②從圖象性質(zhì)可知，直線與x軸的夾角為45°，
∴線段⊥直線，
∴線段關(guān)于直線對稱線段還在直線上，顯然不可能是的弦；
∵線段，的最長的弦為2，
∴線段的對稱線段不可能是的弦，
線段是⊙O的關(guān)于直線對稱的“關(guān)聯(lián)線段”，
而線段∥直線，線段，
∴線段的對稱線段，且線段，平移這條線段，使其在上，有兩種可能，
第一種情況的坐標(biāo)分別為，
此時；
第二種情況的坐標(biāo)分別為
此時，
故答案為：3或2；
（2）已知交x軸于點(diǎn)C，在中，，．若線段是的關(guān)于直線對稱的“關(guān)聯(lián)線段”，直接寫出b的最大值和最小值，以及相應(yīng)的長．
解：∵直線交x軸于點(diǎn)C，
當(dāng)時，，
解得：
∴
即b最大時就是最大，b最小時就是最小，
∵線段是的關(guān)于直線對稱的“關(guān)聯(lián)線段”，
∴線段關(guān)于直線對稱線段在⊙O上，
∴
在中，
∴當(dāng)為時，如圖，最小，此時C點(diǎn)坐標(biāo)為，
將點(diǎn)C代入直線中，得
解得：，
∵點(diǎn)關(guān)于對稱
∴，
∴當(dāng)為時，如圖，最大，此時C點(diǎn)坐標(biāo)為，
將點(diǎn)C代入直線中，得
解得：，
∵點(diǎn)關(guān)于對稱
∴，
綜上b的最大值為，；最小值為，．
【點(diǎn)睛】本題考查了以圓為背景的閱讀理解題，對稱軸的性質(zhì)、一次函數(shù)與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)問題，勾股定理，三角形三邊關(guān)系，解決問題的關(guān)鍵是找出不同情境下的“關(guān)聯(lián)線段”和閱讀理解能力．參與獎
優(yōu)秀獎
卓越獎
第一次競賽
人數(shù)
10
10
10
平均數(shù)
82
87
95
第二次競賽
人數(shù)
2
12
16
平均數(shù)
84
87
93
平均數(shù)
中位數(shù)
眾數(shù)
第一次競賽
87.5
88
第二次競賽
90
91
0
1
2
4
5
1