廣東省惠州市惠東縣2023-2024學(xué)年八年級(jí)下學(xué)期期中數(shù)學(xué)試題（原卷版+解析版）

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共4頁(yè)．考試時(shí)間120分鐘，滿分120分．
一、選擇題（本大題共10小題，每小題3分，共30分，每小題有四個(gè)選項(xiàng)，其中只有一個(gè)是正確的）
1. 下列各式中，是最簡(jiǎn)二次根式的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根據(jù)最簡(jiǎn)二次根式的定義逐項(xiàng)分析即可．
【詳解】解：A、=，故不是最簡(jiǎn)二次根式；
B、=，故不是最簡(jiǎn)二次根式；
C、是最簡(jiǎn)二次根式；
D、，故不是最簡(jiǎn)二次根式；
故選C．
【點(diǎn)睛】本題考查了最簡(jiǎn)二次根式的知識(shí)，由題意根據(jù)最簡(jiǎn)二次根式必須滿足兩個(gè)條件：①被開(kāi)方數(shù)不含分母；②被開(kāi)方數(shù)不含能開(kāi)得盡方的因數(shù)或因式．
2. 下列各組數(shù)據(jù)中，不能作為直角三角形邊長(zhǎng)的是 （ ）
A. 3，4，5B. 5，， C. 3，5，7D. 1，2，
【答案】C
【解析】
【分析】根據(jù)勾股定理的逆定理，只要兩邊的平方和等于第三邊的平方即可構(gòu)成直角三角形．因此，只需要判斷兩個(gè)較小的數(shù)的平方和是否等于最大數(shù)的平方即可判斷．
【詳解】解：A、，根據(jù)勾股定理的逆定理可知是直角三角形，故本選項(xiàng)不符合題意；
B、，根據(jù)勾股定理的逆定理可知是直角三角形，故本選項(xiàng)不符合題意；
C、，根據(jù)勾股定理的逆定理可知不是直角三角形，故本選項(xiàng)符合題意；
D、，根據(jù)勾股定理的逆定理可知是直角三角形，故本選項(xiàng)不符合題意；
故選：C．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了勾股定理的逆定理，已知三條線段的長(zhǎng)，判斷是否能構(gòu)成直角三角形的三邊，判斷的方法是：計(jì)算兩個(gè)較小的數(shù)的平方和是否等于最大數(shù)的平方即可判斷．
3. 如圖，在矩形中，連接相交于點(diǎn)O，若，則的長(zhǎng)為（ ）
A. 5B. 10C. 20D. 不確定
【答案】B
【解析】
【分析】根據(jù)矩形的對(duì)角線相等可得，即可．
【詳解】解：∵四邊形是矩形，
∴，
又∵
∴，
故選B．
【點(diǎn)睛】本題考查矩形的對(duì)角線相等的性質(zhì)，屬于矩形的基本性質(zhì)，比較簡(jiǎn)單．
4. 如圖，四邊形ABCD的對(duì)角線交于點(diǎn)O，下列哪組條件不能判斷四邊形ABCD是平行四邊形（ ）
A. OA＝OC，OB＝ODB. AB＝CD，AO＝CO
C. AB＝CD，AD＝BCD. ∠BAD＝∠BCD，AB∥CD
【答案】B
【解析】
【詳解】解：A、∵OA=OC，
∴四邊形ABCD是平行四邊形，故選項(xiàng)A不符合題意；
B、由AB=CD，故選項(xiàng)B符合題意；
C、∵AB=CD，
∴四邊形ABCD是平行四邊形，故選項(xiàng)C不符合題意；
D、∵AB∥CD，
∴∠ABC+∠BCD=180°，
∵∠BAD=∠BCD，
∴∠ABC+∠BAD=180°，
∴AD∥BC，
∴四邊形ABCD是平行四邊形，故選項(xiàng)D不符合題意；
故選：B．
5. 點(diǎn)到原點(diǎn)的距離為（ ）
A. 5B. 4C. 3D.
【答案】A
【解析】
【分析】本題考查坐標(biāo)兩點(diǎn)的距離公式，根據(jù)勾股定理即可求得．
【詳解】解：∵，
∴由勾股定理可知，，
即點(diǎn)到原點(diǎn)的距離為5．
故選：A．
6. 如圖，小巷左右兩側(cè)是豎直的墻，一架梯子斜靠在左墻時(shí)，梯子底端到左墻角的距離為，梯子頂端到地面的距離為．如果保持梯子底端位置不動(dòng)，將梯子斜靠在右墻時(shí)，梯子頂端到地面的距離為，則小巷的寬為（ ）．
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】是直角三角形，根據(jù)勾股定理即可求解．
【詳解】解：根據(jù)題意可知，是直角三角形，
中，，，
∴，，
在中，，，則，
∴，
∴小巷的寬為，
故選：．
【點(diǎn)睛】本題主要考查勾股定理的運(yùn)用，掌握勾股定理的運(yùn)算方法是解題的關(guān)鍵．
7. 如圖，在數(shù)軸上，以單位長(zhǎng)度為邊長(zhǎng)畫(huà)正方形，以正方形對(duì)角線長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，與數(shù)軸交于點(diǎn)A，則點(diǎn)A表示的數(shù)為（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】先根據(jù)勾股定理的公式算出正方形的對(duì)角線的長(zhǎng)即可解答．
【詳解】解：數(shù)軸上正方形的邊長(zhǎng)為1，
則正方形的對(duì)角線長(zhǎng)為：，
則點(diǎn)A表示的數(shù)為．
故答案為B．
【點(diǎn)睛】本題主要考查勾股定理、在數(shù)軸上表示實(shí)數(shù)等知識(shí)點(diǎn)，熟記勾股定理的公式是解題的關(guān)鍵．
8. 如圖是一棵勾股樹(shù)，它是由正方形和直角三角形拼成，若正方形A、B、C、D的邊長(zhǎng)分別是3、4、2、3，則最大正方形E的面積是（ ）
A. 12B. 16C. 25D. 38
【答案】D
【解析】
【分析】本題考查了勾股定理，分別設(shè)中間兩個(gè)正方形和最大正方形的邊長(zhǎng)為x，y，z，由勾股定理得出，，，即最大正方形的面積為．
【詳解】解：設(shè)中間兩個(gè)正方形的邊長(zhǎng)分別為x、y，最大正方形E的邊長(zhǎng)為z，
由勾股定理得：，，
∴．
故最大正方形E的面積是．
故選：D．
9. 已知實(shí)數(shù)，滿足，則的值是（ ）
A. 1B. 2C. 3D. 4
【答案】C
【解析】
10. 如圖，在中，，，，P為邊上一動(dòng)點(diǎn)，于E，于F，動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)B出發(fā)，沿著勻速向終點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)，則線段的最小值是（ ）
A. 3B. 4C. 4.8D. 5
【答案】C
【解析】
【分析】本題主要考查了矩形的判定與性質(zhì)、垂線段最短的性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)，判斷出時(shí)，線段的值最小是解題的關(guān)鍵．
如圖：連接，先判斷出四邊形是矩形，根據(jù)矩形的對(duì)角線相等可得，再根據(jù)垂線段最短可得時(shí)，線段的值最小，即的值最小；再運(yùn)用勾股定理求出，然后運(yùn)用等面積法求得時(shí)的的值即可解答．
【詳解】解：如圖所示，連接．
∵，，
∴，
∵，
∴四邊形是矩形，
∴，
由垂線段最短可得當(dāng)時(shí)，線段的值最小，即的值最小，
∵，，，
∴，
∴,即，解得：
∴線段的最小值是．
故選：C．
二、填空題（本大題共5小題，每小題3分，共15分）
11. 若二次根式在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)有意義，則x的取值范圍是______．
【答案】##
【解析】
【分析】本題考查了二次根式有意義的條件．熟練掌握二次根式有意義的條件是解題的關(guān)鍵．
由題意知，，計(jì)算求解即可．
【詳解】解：由題意知，，
解得，，
故答案為：．
12. 計(jì)算：_______．
【答案】
【解析】
【分析】先把化簡(jiǎn)為2，再合并同類二次根式即可得解.
【詳解】2-=.
故答案為：.
【點(diǎn)睛】本題考查了二次根式的運(yùn)算，正確對(duì)二次根式進(jìn)行化簡(jiǎn)是關(guān)鍵．
13. 如圖，在一個(gè)高為5m，長(zhǎng)為13m的樓梯表面鋪地毯，則地毯的長(zhǎng)度至少是_______．
【答案】17m
【解析】
【分析】在直角三角形ABC中，已知AB，BC，根據(jù)勾股定理即可求得AC的值，根據(jù)題意求地毯長(zhǎng)度即求得AC+BC即可．
【詳解】將水平地毯下移，豎直地毯右移即可發(fā)現(xiàn)：地毯長(zhǎng)度為直角三角形ABC的兩直角邊之和，即AC+BC，
在直角△ABC中，AB=13m，BC=5m，且AB為斜邊，
根據(jù)勾股定理可得AC==12m，
故地毯長(zhǎng)度為AC+BC=12+5=17m，
故答案為：17m．
【點(diǎn)睛】本題考查勾股定理的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是知道求地毯長(zhǎng)度即求AC+BC.
14. 如圖，在菱形ABCD中，∠C＝60o，E、F分別是AB、AD的中點(diǎn)，若EF＝5，則菱形ABCD的周長(zhǎng)為_(kāi)___________．

【答案】40
【解析】
【分析】先根據(jù)菱形的性質(zhì)可得，再根據(jù)線段中點(diǎn)的定義可得，然后根據(jù)等邊三角形的判定與性質(zhì)可得，從而可得，最后根據(jù)菱形的周長(zhǎng)公式即可得．
【詳解】四邊形ABCD是菱形，
點(diǎn)E、F分別是AB、AD的中點(diǎn)
又
是等邊三角形
則菱形ABCD的周長(zhǎng)為
故答案為：40．
【點(diǎn)睛】本題考查了菱形的性質(zhì)、等邊三角形的判定與性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)，熟練掌握菱形的性質(zhì)是解題關(guān)鍵．
15. 《九章算術(shù)》是我國(guó)古代重要的數(shù)學(xué)著作之一，其中記載了一道“折竹抵地”問(wèn)題：今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺，問(wèn)折者高幾何？譯為：如圖中，，與的和為10尺，為3尺，求的長(zhǎng)，______尺．
【答案】
【解析】
【分析】本題主要考查了勾股定理的實(shí)際應(yīng)用，設(shè)尺，則尺，在中，由勾股定理得，解方程即可得到答案．
【詳解】解：設(shè)尺，則尺，
在中，由勾股定理得，
∴，
解得，
∴尺，
故答案為：．
三、解答題（一）：（本大題共3小題，每小題8分，共24分）
16. 計(jì)算：．
【答案】7﹣4
【解析】
【分析】分別化簡(jiǎn)二次根式，然后先算乘方，再算乘法，最后合并同類二次根式．
【詳解】解：原式＝
＝
＝7﹣4．
【點(diǎn)睛】本題考查二次根式的混合運(yùn)算，掌握利用二次根式的性質(zhì)進(jìn)行化簡(jiǎn)及二次根式混合運(yùn)算的計(jì)算法則是解題關(guān)鍵．
17. 如圖，在四邊形中，．求證：四邊形是平行四邊形．

【答案】見(jiàn)解析
【解析】
【分析】根據(jù)分別得到，，根據(jù)平行四邊形的定義即可得到結(jié)論．
【詳解】證明：∵，
∴．
∵，
∴．
∴四邊形是平行四邊形．
【點(diǎn)睛】此題考查了平行四邊形的判定，熟練掌握平行四邊形的定義是解題的關(guān)鍵．
18. 如圖，池塘邊有兩點(diǎn)A，B，點(diǎn)C是與方向成直角的方向上一點(diǎn)，測(cè)得，．求A，B兩點(diǎn)間的距離？
【答案】
【解析】
【分析】本題主要考查了勾股定理的應(yīng)用，將實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化成勾股定理問(wèn)題成為解題的關(guān)鍵．
根據(jù)題意直接運(yùn)用勾股定理進(jìn)行解答即可．
【詳解】解：在中，.
根據(jù)勾股定理得：．
答：A,B兩點(diǎn)間的距離為．
四、解答題（二）：（本大題共3小題，每小題9分，共27分）
19. 已知，，求下列代數(shù)式的值．
（1）；
（2）．
【答案】（1）20 （2）
【解析】
【分析】本題主要考查了代數(shù)式求值、二次根式的混合運(yùn)算、運(yùn)用乘法公式進(jìn)行因式分解等知識(shí)點(diǎn)，靈活掌握相關(guān)運(yùn)算法則成為解題的關(guān)鍵．
（1）先求出，然后對(duì)原式進(jìn)行因式分解后代入計(jì)算即可；
（2）先求出、，然后對(duì)原式進(jìn)行因式分解后代入計(jì)算即可．
【小問(wèn)1詳解】
解：∵，，
∴，
∴．
【小問(wèn)2詳解】
解：∵，，
∴，，
∴．
20. 如圖，在平行四邊形中，，，垂足分別為E，F(xiàn)，且．

（1）求證：平行四邊形是菱形；
（2）若，，求的長(zhǎng)．
【答案】（1）見(jiàn)解析 （2）
【解析】
【分析】（1）根據(jù)證明得，再由菱形的判定即可得出結(jié)論；
（2）由菱形的性質(zhì)得，設(shè)，則，然后在和中，由勾股定理得出方程，解得，即可解決問(wèn)題．
【小問(wèn)1詳解】
∵四邊形是平行四邊形，
∴，
∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴平行四邊形是菱形；
【小問(wèn)2詳解】
∵四邊形是菱形，
∴，
設(shè)，則，
∵，
∴，
在和中，
由勾股定理得：，
即，
解得：，
∴，
∴，
即的長(zhǎng)為．
【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，平行四邊形的性質(zhì)，菱形的判定與性質(zhì)，勾股定理等知識(shí)；熟練掌握菱形的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
21. 問(wèn)題情境：在綜合與實(shí)踐課上，同學(xué)們以“已知三角形三邊的長(zhǎng)度，求三角形面積”為主題開(kāi)展數(shù)學(xué)活動(dòng)，小明想到借助正方形網(wǎng)格解決問(wèn)愿．圖1，圖2都是的正方形網(wǎng)格，每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)均為1，每個(gè)小正方形的頂點(diǎn)稱為格點(diǎn)．

（1）操作發(fā)現(xiàn)：小明在圖1中兩出，其頂點(diǎn)，，都是格點(diǎn)，同時(shí)構(gòu)造正方形，使它的頂點(diǎn)都在格點(diǎn)上，且它的邊，分別經(jīng)過(guò)點(diǎn)，，他借助此圖求出了的面積．
在圖1中，小明所畫(huà)的的三邊長(zhǎng)分別是______，______，______；的面積為_(kāi)_____．
（2）解決問(wèn)題：已知中，，，，請(qǐng)你根據(jù)小明的思路，在圖2的正方形網(wǎng)格中畫(huà)出，并直接寫(xiě)出的面積．
【答案】（1）5，，，
（2）畫(huà)圖見(jiàn)解析，10
【解析】
【分析】（1）利用勾股定理求出的長(zhǎng)度，再根據(jù)進(jìn)行計(jì)算即可得到答案；
（2）結(jié)合勾股定理畫(huà)出，再用割補(bǔ)法求出面積即可．
【小問(wèn)1詳解】
解：由勾股定理得：
，，，
，
故答案：5，，，；
【小問(wèn)2詳解】
解：作如圖所示：
，
．
【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理，利用網(wǎng)格圖求三角形面積，熟練掌握勾股定理以及利用網(wǎng)格求三角形面積的求法是解題的關(guān)鍵．
五、解答題（二）：（本大題共2小題，每小題12分，共24分）
22. 著名的趙爽弦圖（如圖①，其中四個(gè)直角三角形較大的直角邊長(zhǎng)都為a，較小的直角邊長(zhǎng)都為b，斜邊長(zhǎng)都為c），大正方形的面積可以表示為，也可以表示為，由此推導(dǎo)出重要的勾股定理：如果直角三角形兩條直角邊長(zhǎng)為a，b，斜邊長(zhǎng)為c，則．
（1）圖②為美國(guó)第二十任總統(tǒng)伽菲爾德的“總統(tǒng)證法”，請(qǐng)你利用圖②推導(dǎo)勾股定理；
（2）如圖③，在一條東西走向河流的一側(cè)有一村莊C，河邊原有兩個(gè)取水點(diǎn)A、B，，由于某種原因，由C到A的路現(xiàn)在已經(jīng)不通，該村為方便村民取水決定在河邊新建一個(gè)取水點(diǎn)H（A、H、B在同一條直線上），并新修一條路，且．測(cè)得千米，千米，求新路比原路少多少千米？
（3）小明繼續(xù)思考研究，發(fā)現(xiàn)了三角形已知三邊的長(zhǎng)，可求高的一種方法．他是這樣思考的，在第（2）問(wèn)中若時(shí)，，，，，設(shè)，可以求的值，請(qǐng)幫小明寫(xiě)出求的過(guò)程．
【答案】（1）見(jiàn)解析，
（2），
（3），過(guò)程見(jiàn)解析．
【解析】
【分析】此題主要考查了勾股定理的證明與應(yīng)用，一元一次方程，熟練掌握相關(guān)定理是解答此題的關(guān)鍵．
（1）梯形的面積可以由梯形的面積公式求出，也可利用三個(gè)直角三角形面積求出，兩次求出的面積相等列出關(guān)系式，化簡(jiǎn)即可得證；
（2）設(shè)，則，根據(jù)勾股定理列方程，解得即可得到結(jié)果；
（3）在和中，由勾股定理得求出，列出方程求解即可得到結(jié)果．
【小問(wèn)1詳解】
解：梯形的面積為，
也可以表示為，
∴，
即；
【小問(wèn)2詳解】
解：設(shè)，
∴，
在中，，
即，
解得，
即，
（千米），
答：新路比原路少千米；
【小問(wèn)3詳解】
設(shè)，則，
在中，，
在中，，
∴，
即，
解得：．
．
23. 如圖，在四邊形中，，，，動(dòng)點(diǎn)P從A開(kāi)始沿邊向D以的速度運(yùn)動(dòng)；Q從點(diǎn)C開(kāi)始沿邊向B以的速度運(yùn)動(dòng) P 、Q分別從點(diǎn)A 、C同時(shí)出發(fā)，當(dāng)其中一點(diǎn)到達(dá)端點(diǎn)時(shí)，另外一點(diǎn)也隨之停止運(yùn)動(dòng)．
（1）當(dāng)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒時(shí)，用含t的代數(shù)式表示以下線段的長(zhǎng)： ， ；
（2）當(dāng)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為多少秒時(shí)，四邊形為平行四邊形？
（3）四邊形有可能是正方形嗎？若可能，求出此時(shí)點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)時(shí)長(zhǎng)；若不可能，請(qǐng)說(shuō)明理由．
【答案】（1）t ；；
（2）當(dāng)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為6秒時(shí)，四邊形為平行四邊形；
（3）可能，當(dāng)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為8秒時(shí)，四邊形為正方形．
【解析】
【分析】此題考查了平行四邊形的判定與性質(zhì)以及正方形的判定與性質(zhì)．此題難度適中，注意掌握數(shù)形結(jié)合思想與方程思想的應(yīng)用．
（1）根據(jù)題意可直接得出；
（2）由在梯形中，，可得當(dāng)時(shí)，四邊形是平行四邊形，即可得方程：，解此方程即可求得答案；
（3）由在梯形中，，可得當(dāng)時(shí)，四邊形是矩形，即可得方程：，解此方程即可求得答案．
【小問(wèn)1詳解】
解：∵動(dòng)點(diǎn)P從A開(kāi)始沿邊向D 以的速度運(yùn)動(dòng)，
，
∵ Q從點(diǎn)C開(kāi)始沿邊向B以的速度運(yùn)動(dòng)，，
∴，
故答案為：t, ；
【小問(wèn)2詳解】
解：由題意可得：，
，
，
設(shè)當(dāng)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒時(shí),
，
此時(shí)四邊形為平行四邊形．
由得，，
解得，
∴當(dāng)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為6秒時(shí)，四邊形為平行四邊形．
【小問(wèn)3詳解】
解：四邊形有可能是正方形，
，
，
設(shè)當(dāng)運(yùn)動(dòng)時(shí)間t秒時(shí)，
四邊形平行四邊形．
由得：，
解得：，即，
，
∴平行四邊形為菱形，
∵，
∴平行四邊形為矩形，
∴平行四邊形為正方形，
∴當(dāng)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為8秒時(shí)，四邊形為正方形．