廣東省惠州市惠城區(qū)惠州一中教育集團(tuán)2023-2024學(xué)年八年級(jí)下學(xué)期期中數(shù)學(xué)試題（原卷版+解析版）

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考試時(shí)間120分鐘 滿(mǎn)分120分
一、單選題：本大題共10小題，每小題3分，共30分．
1. 下列二次根式中，是最簡(jiǎn)二次根式的是（ ）
A. B. C. D.
2. 下列各組數(shù)中，不能作為直角三角形的三邊長(zhǎng)的是（ ）
A. 1，，2B. 7，24，25C. 3，4，5D. 6，8，12
3. 如圖，在平行四邊形中，，則的度數(shù)為（ ）
A. B. C. D.
4. 下列計(jì)算中正確的是（ ）
A B. C. D.
5. 若代數(shù)式有意義，則實(shí)數(shù)x的取值范圍是（ ）
A. B. C. D.
6. 如圖，矩形的邊的長(zhǎng)為3，邊的長(zhǎng)為1，在數(shù)軸上，以原點(diǎn)O為圓心，對(duì)角線的長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，交數(shù)軸正半軸于點(diǎn)D，則點(diǎn)D表示的實(shí)數(shù)是（ ）
A. 4B. C. D.
7. 下列說(shuō)法正確的是（ ）
A. 對(duì)角線互相垂直平分的四邊形的正方形
B. 對(duì)角線相等的四邊形是矩形
C. 對(duì)角線互相垂直的四邊形是菱形
D. 對(duì)角線互相平分的四邊形是平行四邊形
8. 如圖，菱形中，點(diǎn)E、F分別是的中點(diǎn)，若，則菱形的周長(zhǎng)為（ ）
A 10B. 20C. 30D. 40
9. 如圖，一根竹竿斜靠在豎直的墻上，P是的中點(diǎn)，在竹竿的頂端沿墻面下滑的過(guò)程中，長(zhǎng)度的變化情況是（ ）
A. 不斷增大B. 不斷減小
C. 先減小后增大D. 不變
10. 如圖，正方形中，，點(diǎn)E、F分別在邊上，，連接，下列結(jié)論：①；②平分；③的周長(zhǎng)為2；④，其中正確的是（ ）
A. ①②B. ①②③C. ①③④D. ②③④
二、填空題：本大題共6小題，每小題3分，共18分．
11. 如圖，矩形的對(duì)角線與相交于O，，，則的長(zhǎng)是______．
12. 如圖是我國(guó)漢代數(shù)學(xué)家趙爽在注解《周髀算經(jīng)》時(shí)給出的“勾股方圓圖”（又稱(chēng)趙爽弦圖），它是由四個(gè)全等的直角三角形與中間的一個(gè)小正方形拼成的一個(gè)大正方形．若圖中的直角三角形的兩條直角邊的長(zhǎng)分別為1和3，則中間小正方形的面積為_(kāi)_____．

13. 座鐘的擺針擺動(dòng)一個(gè)來(lái)回所需的時(shí)間稱(chēng)為一個(gè)周期，其計(jì)算公式為，其中T表示周期（單位：s），l表示擺長(zhǎng)（單位：m）．假若一臺(tái)座鐘的擺長(zhǎng)為，則它擺動(dòng)的周期為_(kāi)_____（參考數(shù)據(jù)：取3，）．
14. 若實(shí)數(shù)a在數(shù)軸上對(duì)應(yīng)點(diǎn)的位置如圖所示，則化簡(jiǎn)的結(jié)果是______．
15. 如圖，長(zhǎng)方體的長(zhǎng)為，寬為，高為，一只螞蟻沿著長(zhǎng)方體的表面從點(diǎn)A爬到點(diǎn)B，則它需要爬行的最短路程為_(kāi)_____．
16. 如圖，順次連接矩形四邊的中點(diǎn)得到四邊形，再順次連接四邊形四邊的中點(diǎn)得四邊形，…，按此規(guī)律得到四邊形，若矩形的面積為15，那么四邊形的面積為_(kāi)_____．

三、解答題：本大題共9小題，共72分．
17. 計(jì)算：．
18. 已知，，求代數(shù)式值．
19. 如圖，在平行四邊形ABCD中，點(diǎn)E、F在對(duì)角線BD上，且BE＝DF．求證：

（1）△ABE≌△CDF；
（2）四邊形AECF是平行四邊形．
20. 為了測(cè)量學(xué)校旗桿的高度，八（1）班的兩個(gè)數(shù)學(xué)研究小組設(shè)計(jì)了不同的方案，請(qǐng)結(jié)合下面表格的信息，完成任務(wù)問(wèn)題．
21. 在春天來(lái)臨之際，八（1）班和八（2）班的同學(xué)計(jì)劃在學(xué)校勞動(dòng)實(shí)踐基地種植蔬菜；如圖，點(diǎn)是自來(lái)水管的位置，點(diǎn)和點(diǎn)分別表示八（1）班和八（2）班實(shí)踐基地的位置，、兩處相距6米，兩處相距8米，兩處相距10米；為了更好的使用自來(lái)水灌溉，八（1）班和八（2）班在圖紙上設(shè)計(jì)了兩種水管鋪設(shè)方案：
八（1）班方案：沿線段鋪設(shè)2段水管；
八（2）班方案：過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，沿線段鋪設(shè)3段水管；
（1）求證：；
（2）從節(jié)約水管的角度考慮，你會(huì)選擇哪個(gè)班的鋪設(shè)方案？為什么？
22. 如圖，菱形的對(duì)角線相交于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作，且，連接．
（1）求證：四邊形為矩形：
（2）連接．若，求菱形的面積．
23. 如圖，在正方形中，F(xiàn)為的中點(diǎn)，連接，將沿對(duì)折得到，延長(zhǎng)交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)Q．
（1）求證：是等腰三角形；
（2）若正方形邊長(zhǎng)為2，求的長(zhǎng)．
24. 閱讀理解：
[材料一]兩個(gè)含有二次根式的非零代數(shù)式相乘，如果它們的積不含二次根式，那么這兩個(gè)代數(shù)式互為有理化因式，例如：，，我們稱(chēng)的一個(gè)有理化因式是，的一個(gè)有理化因式是．如果一個(gè)代數(shù)式的分母中含有二次根式，通?？蓪⒎肿?、分母同乘分母的有理化因式，使分母中不含根號(hào)，這種變形叫做分母有理化．例如：，．
[材料二]小明在學(xué)習(xí)了上述材料后，結(jié)合所學(xué)知識(shí)，靈活解決問(wèn)題：已知，求的值．他是這樣分析與解答的：
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
請(qǐng)你根據(jù)材料中的方法，探索并解決下列問(wèn)題：
（1）的一個(gè)有理化因式是______，分母有理化：______；
（2）計(jì)算：；
（3）若，求值．
25. 如圖，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，四邊形是矩形，，，點(diǎn)D是的中點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)P在線段上以每秒2個(gè)單位長(zhǎng)度的速度由點(diǎn)C向點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒．
（1）點(diǎn)B的坐標(biāo)為_(kāi)_____，當(dāng)______時(shí)，四邊形是平行四邊形；
（2）在直線上是否存在一點(diǎn)Q，使得以O(shè)、D、Q、P四點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形是菱形？若存在，求t的值，并寫(xiě)出點(diǎn)Q的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；
（3）若點(diǎn)M在線段上且，試求四邊形周長(zhǎng)的最小值．測(cè)量旗桿的高度
測(cè)量工具
測(cè)量角度的儀器、皮尺等
測(cè)量小組
第一小組
第二小組
測(cè)量方案示意圖

設(shè)計(jì)方案及測(cè)量數(shù)據(jù)
在地面確定點(diǎn)C，并測(cè)得旗桿頂端A的仰角，即．
如圖1，繩子垂直掛下來(lái)時(shí)，相比旗桿，測(cè)量多出的繩子長(zhǎng)度為2米．
如圖2，繩子斜拉直后至末端點(diǎn)P位置，測(cè)量點(diǎn)P到地面的距離為1米，以及點(diǎn)P到旗桿的距離為9米．
任務(wù)一
判斷分析
第一小組要測(cè)旗桿的高度，只需要測(cè)量的長(zhǎng)度為線段______，并說(shuō)明理由．
任務(wù)二
推理計(jì)算
利用第二小組獲得的數(shù)據(jù)，求旗桿的高度．