廣東省廣州市天河區(qū)大華學(xué)校2023-2024學(xué)年九年級(jí)上學(xué)期期中數(shù)學(xué)試卷

這是一份廣東省廣州市天河區(qū)大華學(xué)校2023-2024學(xué)年九年級(jí)上學(xué)期期中數(shù)學(xué)試卷，共18頁(yè)。
A．x2+2x+1B．3x2﹣5x＝6C．6x+1＝0D．2x2+y2＝0
2．（3分）下列圖形中，是中心對(duì)稱圖形的是（ ）
A．B．C．D．
3．（3分）一個(gè)矩形的長(zhǎng)和寬恰好是方程x2﹣4x+3＝0的兩個(gè)根，則矩形的周長(zhǎng)和面積分別是（ ）
A．4；3B．4+2；1C．8；3D．8；1
4．（3分）將拋物線y＝（x﹣1）2向上平移3個(gè)單位長(zhǎng)度，再向右平移4個(gè)單位長(zhǎng)度，所得到的拋物線為（ ）
A．y＝（x+3）2+3B．y＝（x﹣3）2+5
C．y＝（x+5）2+3D．y＝（x﹣5）2+3
5．（3分）下列關(guān)于x的方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根的是（ ）
A．x2﹣2x+2＝0B．x（x﹣2）＝﹣1
C．（x﹣k）（x+k）＝2x+1D．x2+1＝0
6．（3分）如圖，將△AOB繞點(diǎn)O按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)40°后得到△COD，若∠AOB＝15°，則∠AOD的度數(shù)是（ ）
A．45°B．55°C．60°D．65°
7．（3分）二次函數(shù)y＝﹣2x2﹣12x﹣10，當(dāng)﹣4≤x≤0時(shí)，y的取值范圍是什么（ ）
A．﹣10≤y≤4B．﹣10≤y≤6C．﹣10≤y≤8D．﹣10≤y≤10
8．（3分）某機(jī)械長(zhǎng)今年生產(chǎn)零件50萬(wàn)個(gè)，計(jì)劃明后兩年共生產(chǎn)零件132萬(wàn)個(gè)，設(shè)該廠每年的平均增長(zhǎng)率為x，那么x滿足方程（ ）
A．50（1+x）2＝132
B．（50+x）2＝132
C．50（1+x）+50（1+x）2＝132
D．50（1+x）+50（1+2x）2＝132
9．（3分）一次函數(shù)y＝ax+b與二次函數(shù)y＝ax2+bx在同一平面直角坐標(biāo)系中的大致圖象可能是（ ）
A．B．
C．D．
10．（3分）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)A（2，0），∠OAB＝120°，AB＝AO，且點(diǎn)B在第一象限內(nèi)，將△AOB繞點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，每次旋轉(zhuǎn)60°，則第2024次旋轉(zhuǎn)后，點(diǎn)B的坐標(biāo)是（ ）
A．B．C．D．
二．填空題（共6小題，滿分18分，每小題3分）
11．（3分）函數(shù)的定義域是 ．
12．（3分）寫出二次項(xiàng)系數(shù)為5，以x1＝1，x2＝2為根的一元二次方程 ．
13．（3分）拋物線y＝x2﹣2x+c（c＞0）與x軸相交于點(diǎn)A（x1，0）、B（x2，0），點(diǎn)A在點(diǎn)B左側(cè)，若x1＜m＜x2，則當(dāng)x＝m+2時(shí)，y 0（填“＞”“＝”或“＜”號(hào)）
14．（3分）已知等腰三角形△ABC的兩邊AB，AC的長(zhǎng)是關(guān)于x的一元二次方程x2﹣（2k+1）x+k2+k＝0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，第三邊BC的長(zhǎng)為8，則△ABC的周長(zhǎng) ．
15．（3分）如圖，C為線段AB的中點(diǎn)，D為AB垂直平分線上一點(diǎn)，連接BD，將BD繞點(diǎn)D順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到線段DE，連接AE，若AB＝2，AE＝4，則CD的長(zhǎng)為 ．
16．（3分）已知拋物線的函數(shù)關(guān)系為y＝ax2﹣2ax﹣3a，則該拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為 （用含a的代數(shù)式表示）；若該拋物線與線段y＝2（0≤x≤4）有兩個(gè)公共點(diǎn)，則a的取值范圍為 ．
三．解答題（共9小題，滿分72分）
17．（6分）解方程：2（x﹣2）2＝6﹣3x．
18．（6分）如圖，在△ABC中，∠B＝70°，將△ABC繞點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)52°得到△A′B′C′，且AB⊥A'C于點(diǎn)D，求∠A′CB′的度數(shù)．
19．（6分）如圖，△ABC三個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別為A（1，1）、B（4，2）、C（3，4）．
（1）請(qǐng)畫出與△ABC關(guān)于原點(diǎn)O成中心對(duì)稱的圖形△A1B1C1；
（2）若△ABC以點(diǎn)A為旋轉(zhuǎn)中心逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°后得到的圖形為△AB2C2（B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為B2，C 的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為C2），在網(wǎng)格中畫出旋轉(zhuǎn)后的圖形．
20．（8分）已知關(guān)于x的一元二次方程x2﹣ax+a﹣1＝0．
（1）求證：方程總有兩個(gè)實(shí)數(shù)根；
（2）若該方程有一實(shí)數(shù)根大于2，求a的取值范圍．
21．（8分）有一批商品，原售價(jià)為每件40元，在甲、乙兩家公司銷售．甲公司用如下方法促銷：買一件單價(jià)為39元，買兩件每件都為38元，依此類推，即每多買一件，則所買各件單價(jià)均再減1元；乙公司一律按原售價(jià)的七五折促銷．某單位需購(gòu)買這批商品．
（1）若此單位需購(gòu)買5件商品，應(yīng)去哪家公司購(gòu)買花費(fèi)較少？
（2）若該單位計(jì)劃購(gòu)買a件商品，經(jīng)過(guò)對(duì)比發(fā)現(xiàn)，在兩家公司購(gòu)買相差24元，試求a的值．
22．（8分）已知二次函數(shù)y＝ax2+bx﹣1與一次函數(shù)y＝ax的圖象相交于點(diǎn)（﹣2，1）．
（1）求a和b的值；
（2）若點(diǎn)A（2，y1），B（b，y2），C（a﹣b，y3），是該拋物線上的點(diǎn)，請(qǐng)比較y1，y2與y3的大小，并說(shuō)明理由．
23．（8分）【閱讀材料1】
為解方程（x2）2﹣5x2+4＝0，我們可以將x2看作一個(gè)整體，然后設(shè)y＝x2，那么原方程可化為y2﹣5y+4＝0，經(jīng)過(guò)運(yùn)算，原方程的解是x1＝1，x2＝﹣1，x3＝2，x4＝﹣2．
們將上述解題的方法叫換元法．
【閱讀材料2】
已知實(shí)數(shù)m，n滿足m2﹣m﹣1＝0，n2﹣n﹣1＝0，且m≠n，顯然m，n是方程x2﹣x﹣1＝0兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，由韋達(dá)定理可知m+n＝1，mn＝﹣1．
根據(jù)上述材料，解決以下問(wèn)題：
（1）直接應(yīng)用：
為解方程x4﹣x2﹣6＝0，可設(shè)y＝ ，原方程可化為 ．
經(jīng)過(guò)運(yùn)算，原方程的解是 ．
（2）間接應(yīng)用：
已知實(shí)數(shù)a，b滿足a4﹣3a2+1＝0，b4﹣3b2+1＝0，且a≠b，求a4+b4的值．
24．（10分）正方形ABCD和等腰Rt△DEF共頂點(diǎn)D，∠DEF＝90°，DE＝EF，將△DEF繞點(diǎn)D逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)一周．
（1）如圖1，當(dāng)點(diǎn)F與點(diǎn)C重合時(shí)，若AD＝2，求AE的長(zhǎng)；
（2）如圖2，M為BF中點(diǎn)，連接AM、ME，探究AM、ME的關(guān)系，并說(shuō)明理由；
（3）如圖3，在（2）條件下，連接DM并延長(zhǎng)交BC于點(diǎn)Q，若AD＝2DE＝2，在旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，CQ的最小值為 ．
25．（12分）如圖，拋物線y＝ax2+bx+c（a≠0），經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（﹣1，0），B（3，0），C（0，﹣3）．
（1）求拋物線的解析式及頂點(diǎn)M的坐標(biāo)；
（2）連接AC、BC，N為拋物線上的點(diǎn)且在第一象限，當(dāng)S△NBC＝S△ABC時(shí)，求N點(diǎn)的坐標(biāo)；
（3）我們通常用（a，b）表示整數(shù)a，b的最大公約數(shù)，例如（8，12）＝4．若（a，b）＝1，則稱a、b互素，關(guān)于最大公約數(shù)有幾個(gè)簡(jiǎn)單的性質(zhì)：①（a，b）＝（a，ka+b），其中k為任意整數(shù)；②（a，b）＝（a，﹣b）；若點(diǎn)Q（a，b）滿足：a，b均為正整數(shù)，且（a，b）＝1，則稱Q點(diǎn)為“互素正整點(diǎn)”，當(dāng)0≤x≤100時(shí)，該拋物線上有多少個(gè)“互素正整點(diǎn)”？
廣東省廣州市天河區(qū)大華學(xué)校2023-2024學(xué)年九年級(jí)（上）期中數(shù)學(xué)試卷
參考答案與試題解析
一．選擇題（共10小題，滿分30分，每小題3分）
1． 解：A．是代數(shù)式，不是方程，不是一元二次方程，故本選項(xiàng)不符合題意；
B．方程是一元二次方程，故本選項(xiàng)符合題意；
C．方程是一元一次方程，不是一元二次方程，故本選項(xiàng)不符合題意；
D．方程是二元二次方程，不是一元二次方程，故本選項(xiàng)不符合題意；
故選：B．
2． 解：A、是中心對(duì)稱圖形，故此選項(xiàng)符合題意；
B、不是中心對(duì)稱圖形，故此選項(xiàng)不合題意；
C、不是中心對(duì)稱圖形，故此選項(xiàng)不合題意；
D、不是中心對(duì)稱圖形，故此選項(xiàng)不合題意．
故選：A．
3． 解：∵矩形的長(zhǎng)和寬是方程x2﹣4x+3＝0的兩個(gè)根，設(shè)長(zhǎng)為a，寬為b，
∴a+b＝4，ab＝3，
則該矩形的周長(zhǎng)為2（a+b）＝8，面積為ab＝3．
故選：C．
4． 解：將拋物線y＝（x﹣1）2向上平移3個(gè)單位長(zhǎng)度，再向右平移4個(gè)單位長(zhǎng)度，所得到的拋物線為：y＝（x﹣1﹣4）2+3，即y＝（x﹣5）2+3．
故選：D．
5． 解：A、∵Δ＝（﹣2）2﹣4×1×2＝﹣4＜0，
∴一元二次方程x2﹣2x+2＝0沒(méi)有實(shí)數(shù)根；
B、方程變形為x2﹣2x+1＝0，
∵Δ＝（﹣2）2﹣4×1×1＝0，
∴一元二次方程x（x﹣2）＝﹣1有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根；
C、方程變形為x2﹣2x﹣k2﹣1＝0，
∵Δ＝（﹣2）2﹣4×1×（﹣k2﹣1）＝8+4k2＞0，
∴一元二次方程（x﹣k）（x+k）＝2x+1有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；
D、∵Δ＝02﹣4×1×1＝﹣4＜0，
∴一元二次方程x2+1＝0沒(méi)有實(shí)數(shù)根．
故選：C．
6． 解：∵將△AOB繞點(diǎn)O按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)40°后得到△COD，
∴∠AOB＝∠COD＝15°，∠AOC＝∠BOD＝40°，
∴∠AOD＝∠AOB+∠BOD＝55°，
故選：B．
7． 解：∵y＝﹣2x2﹣12x﹣10
＝﹣2（x+3）2+8
∴當(dāng)x＝﹣3時(shí)，y最大＝8，
∵﹣4≤x≤0，
∴x＝﹣4時(shí)，y＝6，x＝0時(shí)，y＝﹣10，
∴當(dāng)﹣4≤x≤0時(shí)函數(shù)值y的取值范圍是：﹣10≤y≤8．
故選：C．
8． 解：根據(jù)題意得：明年生產(chǎn)零件為50（1+x）（萬(wàn)個(gè)）；后年生產(chǎn)零件為50（1+x）2（萬(wàn)個(gè)），
則x滿足的方程是50（1+x）+50（1+x）2＝146，
故選：C．
9． 解：A、由拋物線可知，a＞0，x＝﹣＞0，得b＜0，由直線可知，a＞0，b＞0，故本選項(xiàng)不符合題意；
B、由拋物線可知，a＞0，x＝﹣＞0，得b＜0，由直線可知，a＞0，b＜0，故本選項(xiàng)符合題意；
C、由拋物線可知，a＜0，x＝﹣＞0，得b＞0，由直線可知，a＞0，b＞0，故本選項(xiàng)不符合題意；
D、由拋物線可知，a＜0，x＝﹣＞0，得b＞0，由直線可知，a＞0，b＜0，故本選項(xiàng)不符合題意．
故選：B．
10． 解：由題知，
過(guò)點(diǎn)B作x軸的垂線，垂足為H，
∵∠OAB＝120°，
∴∠BAH＝60°．
又∵A（2，0），且AB＝AO，
∴AB＝AO＝2．
在Rt△ABH中，
∵∠ABH＝90°﹣60°＝30°，
∴，
∴BH＝，
∴OB＝2BH＝，
∴點(diǎn)B的坐標(biāo)為（3，）．
將OB繞點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°，得線段OM，
∵∠BOA＝，
∴∠MOA＝60°﹣30°＝30°，
又∵OB＝OM，
∴點(diǎn)M和點(diǎn)B關(guān)于x軸對(duì)稱，
∴點(diǎn)M的坐標(biāo)為（3，﹣）．
依次類推，
再旋轉(zhuǎn)60°時(shí)，點(diǎn)N的坐標(biāo)為（0，）；
再旋轉(zhuǎn)60°時(shí)，點(diǎn)P與點(diǎn)B關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對(duì)稱，
∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為（﹣3，﹣）；
再旋轉(zhuǎn)60°，點(diǎn)B對(duì)應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)為（﹣3，）；
再旋轉(zhuǎn)60°，點(diǎn)B對(duì)應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)為（0，）；
再旋轉(zhuǎn)60°，點(diǎn)B對(duì)應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)為（3，）；
再旋轉(zhuǎn)60°，點(diǎn)B對(duì)應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)為（3，﹣）；
…，
由此可見(jiàn)，點(diǎn)B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)按（3，﹣），（0，﹣2），（﹣3，﹣），（﹣3，），（0，），（3，）循環(huán)出現(xiàn)，
又因?yàn)?024÷6＝337余2，
所以第2024次旋轉(zhuǎn)后點(diǎn)B對(duì)應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)為（0，）．
故選：B．
二．填空題（共6小題，滿分18分，每小題3分）
11． 解：由題意得：3x+4≥0，
解得：x≥﹣，
故答案為：x≥﹣．
12． 解：∵1+2＝3，1×2＝2，
∴以x1＝1，x2＝2為根的一元二次方程可為x2﹣3x+2＝0，
當(dāng)二次項(xiàng)系數(shù)為5，方程為5x2﹣15x+10＝0．
故答案為5x2﹣15x+10＝0．
13． 解：∵拋物線y＝x2﹣2x+c（c＞0）與x軸相交于點(diǎn)A（x1，0）、B（x2，0），
對(duì)稱軸為x＝1，
∴0＜x1＜1，1＜x2＜2，
∵x1＜m＜x2，
∴0＜m＜2，
∴2＜m+2＜4，
∴當(dāng)x＝m+2時(shí)，y＞0，
故答案為：＞．
14． 解：∵x2﹣（2k+1）x+k2+k＝0，
∴x＝k+1或x＝k，
∵△ABC是等腰三角形，
①k+1＝k，不成立；
②k+1＝8，∴k＝7，∴周長(zhǎng)為8+8+7＝23；
③k＝8，∴k+1＝9，周長(zhǎng)為9+8+8＝25．
故答案為：23或25．
15． 解：連接AD，過(guò)D作DF⊥AE于F，延長(zhǎng)BA交DF的延長(zhǎng)線于H，
∵D為AB垂直平分線上一點(diǎn)，AB＝2，
∴BD＝AD，AC＝AB＝，
∴∠ADC＝ADB，
∵將BD繞點(diǎn)D順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到線段DE，
∴DE＝BD，
∴DE＝AD，
∴∠ADF＝ADE，AF＝AE＝2，
∴∠HDC＝∠ADF+∠ADC＝BDE＝30°，
∵∠HCD＝∠AFH＝90°，
∴∠H＝60°，
∴∠CDH＝30°，AH＝，
∴CH＝AH+AC＝，
∴CD＝CH＝7，
故答案為：7．
16． 解：∵y＝ax2﹣2ax﹣3a＝a（x﹣1）2﹣4a，
∴頂點(diǎn)坐標(biāo)為：（1，﹣4a）；
令y＝0，則ax2﹣2ax﹣3a＝0，
解得：x1＝﹣1，x2＝3，
函數(shù)與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)分別為：（﹣1，0），（3，0），
令x＝0，則y＝﹣3a，
∴拋物線與y軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為：（0，﹣3a），
當(dāng)a＞0時(shí)，如圖，
∴函數(shù)圖象與直線y＝2在0≤x≤4只有1個(gè)交點(diǎn)或沒(méi)有交點(diǎn)，不符合題意，
當(dāng)a＜0時(shí)，如圖，
∵函數(shù)圖象與直線y＝2在0≤x≤4有2個(gè)交點(diǎn)，
∴，
解得：；
故答案為：（1，﹣4a），．
三．解答題（共9小題，滿分72分）
17． 解：2（x﹣2）2＝6﹣3x，
2（x﹣2）2＝﹣3（x﹣2），
2（x﹣2）2+3（x﹣2）＝0，
（x﹣2）[2（x﹣2）+3]＝0，
即（x﹣2）（2x﹣1）＝0，
x﹣2＝0或2x﹣1＝0，
所以x1＝2，x2＝．
18． 解：由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知：∠B＝∠B′＝70°，∠ACA′＝52°，
∵AB⊥A'C，
∴∠BDC＝90°，
∴∠BCD＝90°﹣70°＝20°．
∴∠B′CA′＝∠DCB′+∠ACA′＝72°，
故∠A'CB'的度數(shù)為72°．
19． 解：（1）如圖所示，△A1B1C1即為所求；
（2）如圖所示，△AB2C2即為所求．
20． （1）證明：∵Δ＝（﹣a）2﹣4×（a﹣1）＝（a﹣2）2≥0，
∴無(wú)論a為何值，方程總有兩個(gè)實(shí)數(shù)根；
（2）設(shè)方程的兩個(gè)根分別是x1，x2，
解方程得x＝，
∴x1＝a﹣1，x2＝1．
由題意可知a﹣1＞2，即a＞3．
∴a的取值范圍為a＞3．
21． 解：（1）去甲公司購(gòu)買所需費(fèi)用為（40﹣5）×5＝175（元）；
去乙公司購(gòu)買所需費(fèi)用為40×0.75×5＝150（元）．
∵175＞150，
∴去乙公司購(gòu)買花費(fèi)較少．
（2）去甲公司購(gòu)買所需費(fèi)用為（40﹣a）a元，去乙公司購(gòu)買所需費(fèi)用為40×0.75a＝30a（元）．
依題意得：（40﹣a）a﹣30a＝24或30a﹣（40﹣a）a＝24，
整理得：a2﹣10a+24＝0或a2﹣10a﹣24＝0，
解得：a1＝4，a2＝6，a3＝12，a4＝﹣2（不符合題意，舍去）．
答：a的值為4或6或12．
22． 解：（1）將點(diǎn)（﹣2，1）代入：y＝ax得：得：﹣2a＝1，
解得a＝﹣，
將（﹣2，1）代入：y＝ax2+bx﹣1得：1＝4a﹣2b﹣1，
解得：b＝﹣2；
故答案為：a＝﹣，b＝﹣2；
（2）由（1）可知二次函數(shù)為y＝﹣x2﹣2x﹣1，
∴拋物線開(kāi)口向下，對(duì)稱軸為直線x＝﹣＝﹣2，
∵點(diǎn)A（2，y1），B（b，y2），C（a﹣b，y3）是該拋物線上的點(diǎn)，
∴點(diǎn)A（2，y1），B（﹣2，y2），C（，y3）是該拋物線上的點(diǎn)，
∵﹣2＜＜2，
∴y1＜y3＜y2．
23． 解：（1）為解方程x4﹣x2﹣6＝0，可設(shè)y＝x2，原方程可化為y2﹣y﹣6＝0，
分解因式得：（y﹣3）（y+2）＝0，
解得：y＝3或y＝﹣2，
當(dāng)y＝3時(shí)，x2＝3，解得：x＝±；
當(dāng)y＝﹣3時(shí)，x2＝﹣3，無(wú)解，舍去，
經(jīng)過(guò)運(yùn)算，原方程的解是x＝±；
故答案為：x2，y2﹣y﹣6＝0，x＝±；
（2）實(shí)數(shù)a，b滿足a4﹣3a2+1＝0，b4﹣3b2+1＝0，且a≠b，顯然a2，b2是方程x2﹣3x+1＝0兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，
由韋達(dá)定理可知a2+b2＝3，a2?b2＝1，
則a4+b4＝（a2+b2）2﹣2a2b2＝9﹣2＝7．
24． 解：（1）連接AC，
∵四邊形ABCD為正方形，
∴CD＝AD＝2，∠ADC＝90°，∠ACD＝45°，AC＝2，
∵∠DEF＝90°，DE＝EF，
∴∠DCE＝45°，DE＝，
∴∠ACE＝90°，
∴AE＝＝；
（2）如圖2，延長(zhǎng)EM至Q，使EM＝MQ，連接AE、AQ，QB，
∵BM＝MF，∠BMQ＝∠FME
∴△BMQ≌△FME （SAS），
∴BQ＝EF＝DE，∠BQM＝∠FEM，
∴BQ∥EF，
延長(zhǎng)QB，ED交于點(diǎn)N
∴∠QND＝90°，
∴∠1＝∠2，
∴∠ABQ＝∠ADE，
∴△ABQ≌△ADE（SAS），
∴AQ＝AE，∠QAE＝90°，
∴AM＝ME，AM⊥ME；
（3）連接BD，取BD的中點(diǎn)O，連接OM．
∵四邊形ABCD是正方形，AD＝2DE＝2，
∴AB＝AD＝BC＝CD＝2，BD＝2，DE＝EF＝1，DF＝，
∵BO＝OD，BM＝MF，
∴OM＝DF＝，
∴點(diǎn)M的運(yùn)動(dòng)軌跡是O為圓心，為半徑的圓，當(dāng)DQ與⊙O相切時(shí)，CQ的值最小，
∵OD＝OB＝，
∴OD＝2OM，
∵∠OMD＝90°，
∴∠ODM＝30°，
∵∠BDC＝45°，
∴∠CDQ＝15°，
在CD上取一點(diǎn)T，使得DT＝TQ，連接QT，
∵DT＝TQ，
∴∠TDQ＝∠TQD＝15°，
∴∠QTC＝30°，
∴TQ＝DT＝2CQ，CT＝CQ，
∴2CQ+CQ＝2，
∴CQ最?。?﹣2．
故答案為：4﹣2．
25． 解：（1）∵拋物線經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（﹣1，0），B（3，0），C（0，﹣3），
∴，解得：，
∴y＝x2﹣2x﹣3，
∴y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4，
∴拋物線的頂點(diǎn)M坐標(biāo)為（1，﹣4）；
（2）∵N是拋物線上第一象限的點(diǎn)，
∴設(shè)N（t，t2﹣2t﹣3）（t＞0），又點(diǎn)C（0，﹣3），
設(shè)直線NC的解析式為y＝kx﹣3，N在直線NC上，解得k＝t﹣2，
∴直線NC的解析式為y＝（t﹣2）x﹣3，
設(shè)直線CN與x軸交于點(diǎn)D，
當(dāng)y＝0時(shí)，x＝，
∴D（，0），BD＝3﹣，
∵S△NBC＝S△ABC，
∴S△CDB+S△BDN＝AB?OC，即BD?|yC﹣yN|＝[3﹣（﹣1）]×3，
即×（3﹣）[3﹣（﹣t2+2t+3）]＝6，
整理，得：t2﹣3t﹣4＝0，
解得：t1＝4，t2＝﹣1（舍去），
當(dāng)t＝4時(shí)，t2﹣2t﹣3＝5，
∴N（4，5）；
（3）拋物線上的任意正整點(diǎn)R（橫縱坐標(biāo)為正整數(shù)的點(diǎn)）可以表示為R（t，t2﹣2t﹣3），t為正整數(shù)，且t≥4，
由性質(zhì)①②，t與t2﹣2t﹣3的最大公約數(shù)（t，t2﹣2t﹣3）＝（t，（t﹣2）t﹣3）＝（t，﹣3）＝（t，3），
即只需滿足（t，3）＝1即可，又因?yàn)?是素?cái)?shù)，當(dāng)且僅當(dāng)t不是3的倍數(shù)時(shí)，t與3互素，
在4到100共97個(gè)數(shù)中，總共有32個(gè)數(shù)是3的倍數(shù)，
故共有65個(gè)數(shù)不是3的倍數(shù)，滿足（t，t2﹣2t﹣3）＝1，
即在0≤x≤100時(shí)，該拋物線上有65個(gè)“互素正整點(diǎn)”．