廣東省廣州市天河區(qū)新都學校2023—2024學年上學期九年級期中數(shù)學試卷

這是一份廣東省廣州市天河區(qū)新都學校2023—2024學年上學期九年級期中數(shù)學試卷，共17頁。
1．（3分）下列方程是一元二次方程的是（ ）
A．x2+＝0B．3x2﹣2xy﹣5y2＝0
C．（x+1）（x+2）＝1D．（x﹣3）2+4＝x2
2．（3分）下列圖形中，是中心對稱圖形的是（ ）
A．B．C．D．
3．（3分）關于x的方程：x2＝3x的解是（ ）
A．x＝3B．x1＝3，x2＝﹣3
C．x1＝﹣3，x2＝0D．x1＝3，x2＝0
4．（3分）把函數(shù)y＝（x﹣1）2+2圖象向左平移3個單位長度，平移后圖象的函數(shù)解析式為（ ）
A．y＝x2+2B．y＝（x﹣1）2+1
C．y＝（x+2）2+2D．y＝（x﹣1）2﹣3
5．（3分）一元二次方程x2﹣4x+3＝0的根的情況是（ ）
A．有兩個相等的實數(shù)根
B．有兩個不相等的實數(shù)根
C．只有一個實數(shù)根
D．沒有實數(shù)根
6．（3分）如圖，△ODC是由△OAB繞點O順時針旋轉(zhuǎn)40°后得到的圖形，若點D恰好落在AB上，且∠AOC＝105°，則∠C的度數(shù)是（ ）
A．55°B．45°C．42°D．40°您看到的資料都源自我們平臺，20多萬份最新小初高試卷，家威鑫 MXSJ663 性價比最高 7．（3分）已知拋物線y＝﹣x2+2x+2，若點，都在該拋物線上，則y1，y2，y3大小關系為（ ）
A．y2＜y1＜y3B．y3＜y2＜y1C．y1＜y3＜y2D．y3＜y1＜y2
8．（3分）電影《孤注一擲》于2023年8月8日在中國大陸上映，某地第一天票房約3億元，以后每天票房按相同的增長率增長，三天后票房收入累計達13億元，若把每天的平均增長率記作x，則方程可以列為（ ）
A．3（1+x）＝13
B．3（1+x）2＝13
C．3+3（1+x）2＝13
D．3+3（1+x）+3（1+x）2＝13
9．（3分）二次函數(shù)y＝ax2+b的圖象如圖所示，則一次函數(shù)y＝ax+b的圖象可能是（ ）
A．B．C．D．
10．（3分）如圖，在平面直角坐標系中，已知點A（0，2），點B在第一象限內(nèi)，∠OAB＝120°，AO＝AB，將△AOB繞點O逆時針旋轉(zhuǎn)，每次旋轉(zhuǎn)60°，則第2023次旋轉(zhuǎn)后點B的坐標為（ ）
A．B．C．D．
二．填空題（共6小題，滿分18分，每小題3分）
11．（3分）若函數(shù)y＝在實數(shù)范圍內(nèi)有意義，則自變量x的取值范圍是 ．
12．（3分）關于x的方程x2﹣2（k﹣1）x+k2﹣1＝0的兩個實數(shù)根的平方和等于16，k的值為 ．
13．（3分）拋物線y＝x2﹣2x+c（c＞0）與x軸相交于點A（x1，0）、B（x2，0），點A在點B左側，若x1＜m＜x2，則當x＝m+2時，y 0（填“＞”“＝”或“＜”號）
14．（3分）若等腰三角形三邊的長分別是a，b，3，且a，b是關于x的一元二次方程x2﹣4x+m＝0的兩個根，則滿足上述條件的m的值為 ．
15．（3分）如圖，C為線段AB的中點，D為AB垂直平分線上一點，連接BD，將BD繞點D順時針旋轉(zhuǎn)60°得到線段DE，連接AE，若AB＝2，AE＝4，則CD的長為 ．
16．（3分）二次函數(shù)y＝ax2+bx+c（a≠0）的部分xy對應值如表：
若n＞0，下列正確的有 （填序號即可）．
①ac＜0；②；③n＜16a；④n＝10時，（ax﹣1）x+b+c＝（1﹣x）b﹣1的解為x1＝﹣1，x2＝4．
三．解答題（共9小題，滿分72分）
17．（6分）解下列一元二次方程：
（1）x2﹣2x﹣8＝0；
（2）x2+3x＝2（x+3）．
18．（6分）在△ABC中，∠CAB＝135°，AC＝2，△ABC順時針旋轉(zhuǎn)一定角度后與△AED重合，點E落在AB邊上，且點E是AB的中點．
（1）指出旋轉(zhuǎn)中心，并求出旋轉(zhuǎn)角的度數(shù)；
（2）連接DC，求出DC的長．
19．（6分）在平面直角坐標系中，△ABC的三個頂點都在邊長均為1個單位長度的正方形網(wǎng)格的格點上．
（1）畫出△ABC關于原點對稱的圖形△A1B1C1，并寫出點C1的坐標；
（2）畫出△ABC繞點O逆時針旋轉(zhuǎn)90°后的圖形△A2B2C2，并寫出點B2的坐標；
（3）寫出△A1B1C1經(jīng)過怎樣的旋轉(zhuǎn)可直接得到△A2B2C2．
20．（8分）已知關于x的一元二次方程x2﹣（m+3）x+m+2＝0，
（1）求證：無論實數(shù)m取得何值，方程總有兩個實數(shù)根；
（2）若方程有一個根的平方等于1，求m的值．
21．（8分）哈市某展覽館計劃將長60米，寬40米的矩形場館重新布置，展覽館的中間是個1500平方米的矩形展覽區(qū)，四周留有等寬的通道．
（1）求通道的寬為多少米？
（2）若展覽區(qū)用彩色地磚鋪設，鋪設每平方米需要80元，通道用白色地磚鋪設，鋪設每平方米需要60元，鋪設整個展館需要多少錢？
22．（8分）已知拋物線L：y＝ax2+bx+c（a＞0）的對稱軸是直線x＝2，交y軸于（0，4a）．
（1）求拋物線的頂點坐標；
（2）直線y＝kx﹣2k+4（k≠0）與拋物線L相交A，B兩點（A在B的左側），拋物線L的頂點記為點C；
①若點A的橫坐標為1，△ABC的面積為10，求a的值；
②過點A作AE⊥x軸，垂足為E，延長AE交直線BC于F，求線段EF的長．
23．（8分）已知一元二次方程x2﹣3x+1＝0的兩根為x1，x2．求值：
（1）；
（2）；
（3）|x1﹣x2|．
24．（10分）在菱形ABCD中，∠ABC＝60°，點P是對角線BD上一動點，將線段CP繞點C順時針旋轉(zhuǎn)120°到CQ，連接DQ．
（1）如圖1，求證：△BCP≌△DCQ；
（2）如圖2，連接QP并延長，分別交AB、CD于點M、N．
①求證：PM＝QN；
②若MN的最小值為2，直接寫出菱形ABCD的面積為 ．
25．（12分）如圖，拋物線y＝ax2+bx+c（a≠0），經(jīng)過點A（﹣1，0），B（3，0），C（0，﹣3）．
（1）求拋物線的解析式及頂點M的坐標；
（2）連接AC、BC，N為拋物線上的點且在第一象限，當S△NBC＝S△ABC時，求N點的坐標；
（3）我們通常用（a，b）表示整數(shù)a，b的最大公約數(shù)，例如（8，12）＝4．若（a，b）＝1，則稱a、b互素，關于最大公約數(shù)有幾個簡單的性質(zhì)：①（a，b）＝（a，ka+b），其中k為任意整數(shù)；②（a，b）＝（a，﹣b）；若點Q（a，b）滿足：a，b均為正整數(shù)，且（a，b）＝1，則稱Q點為“互素正整點”，當0≤x≤100時，該拋物線上有多少個“互素正整點”？
廣東省廣州市天河區(qū)新都學校2023-2024學年九年級（上）期中數(shù)學試卷
參考答案與試題解析
一．選擇題（共10小題，滿分30分，每小題3分）
1． 解：A．該方程是分式方程，該選項不符合題意；
B．方程含有兩個未知數(shù)，它不是一元二次方程，該選項不符合題意；
C．該方程是一元二次方程，該選項符合題意；
D．化簡后不是一元二次方程，該選項不符合題意；
故選：C．
2． 解：選項A、B、C中的圖形都不能找到一個點，使圖形繞某一點旋轉(zhuǎn)180°后與原來的圖形重合，所以不是中心對稱圖形．
選項D中的圖形能找到一個點，使圖形繞某一點旋轉(zhuǎn)180°后與原來的圖形重合，所以是中心對稱圖形．
故選：D．
3． 解：∵x2＝3x，
∴x2﹣3x＝0，
則x（x﹣3）＝0，
∴x＝0或x﹣3＝0，
解得x1＝0，x2＝3，
故選：D．
4． 解：∵原拋物線的頂點為（1，2），
∴向左平移3個單位后，得到的頂點為（﹣2，2），
∴平移后圖象的函數(shù)解析式為y＝（x+2）2+2．
故選：C．
5． 解：∵Δ＝（﹣4）2﹣4×1×3＝4＞0，
∴方程有兩個不相等的實數(shù)根．
故選：B．
6． 解：∵△ODC是由△OAB繞點O順時針旋轉(zhuǎn)40°后得到的圖形，
∴∠AOD＝∠BOC＝40°，OA＝OD，∠B＝∠C，
∴∠A＝70°，
∵∠AOC＝105°，
∴∠AOB＝65°，
∴∠B＝180°﹣∠A﹣∠AOB＝180°70°﹣65°＝45°，
∴∠C＝45°，
故選：B．
7． 解：∵y＝﹣x2+2x+2，
∴a＝﹣1，b＝2，c＝2，
∴拋物線的對稱軸為：x＝﹣＝﹣＝1，
∵，
∵且二次函數(shù)圖象開口方向向下自變量距離對稱軸越近函數(shù)值越大，
∴y1＜y3＜y2．
故選：C．
8． 解：若把每天的平均增長率記作x，則第二天票房約為3（1+x）億元，第三天票房約為3（1+x）2億元，
依題意得：3+3（1+x）+3（1+x）2＝13．
故選：D．
9． 解：如圖所示：拋物線開口向下，交y軸的正半軸，則a＜0，b＞0，
故一次函數(shù)y＝ax+b的圖象經(jīng)過第一、二、四象限．
故選：C．
10． 解：過點B作BH⊥y軸于H．
在Rt△ABH中，∠AHB＝90°，∠BAH＝180°﹣120°＝60°，AB＝OA＝2，
∴AH＝AB?cs60°＝1，BH＝AH＝，
∵∠BOH＝30°，
∴OB＝2BH＝2，B（，3），
由題意B1（﹣，3），B2（﹣2，0），B3（﹣，﹣3），B4（，﹣3），B5（2，0），…，6次一個循環(huán)，
∵2023÷6＝337…1，
∴B2023（﹣，3），
故選：C．
二．填空題（共6小題，滿分18分，每小題3分）
11． 解：由題意得：3﹣2x≥0，
解得：x≤，
故答案為：x≤．
12． 解：∵關于x的方程x2﹣2（k﹣1）x+k2﹣1＝0有兩個實數(shù)根，
∴Δ＝4（k﹣1）2﹣4（k2﹣1）≥0，
解得，k≤1．
設方程x2﹣2（k﹣1）x+k2﹣1＝0兩個實數(shù)根為x1、x2．則
x1+x2＝2（k﹣1），x1?x2＝k2﹣1，
∴+＝（x1+x2）2﹣2x1x2＝4（k﹣1）2﹣2（k2﹣1）＝16，即k2﹣4k﹣5＝0，
解得，k1＝﹣1，k2＝5（不合題意，舍去），
故答案為：﹣1．
13． 解：∵拋物線y＝x2﹣2x+c（c＞0）與x軸相交于點A（x1，0）、B（x2，0），
對稱軸為x＝1，
∴0＜x1＜1，1＜x2＜2，
∵x1＜m＜x2，
∴0＜m＜2，
∴2＜m+2＜4，
∴當x＝m+2時，y＞0，
故答案為：＞．
14． 解：當a＝b時，關于x的一元二次方程x2﹣4x+m＝0有兩個相等的實數(shù)根，
∴Δ＝（﹣4）2﹣4×1×m＝0，
∴m＝4，
將m＝4代入原方程得x2﹣4x+4＝0，
解得：a＝b＝2，
∵2+2＝4，4＞3，
∴2，2，3能組成三角形，
∴m＝4符合題意；
當a≠b時，x＝3是關于x的一元二次方程x2﹣4x+m＝0的一個實數(shù)根，
∴32﹣4×3+m＝0，
∴m＝3，
將m＝3代入原方程得x2﹣4x+3＝0，
解得：a＝1，b＝3，
∵1+3＝4，4＞3，
∴1，3，3能組成三角形，
∴m＝3符合題意．
綜上，m的值為4或3，
故答案為：4或3．
15． 解：連接AD，過D作DF⊥AE于F，延長BA交DF的延長線于H，
∵D為AB垂直平分線上一點，AB＝2，
∴BD＝AD，AC＝AB＝，
∴∠ADC＝ADB，
∵將BD繞點D順時針旋轉(zhuǎn)60°得到線段DE，
∴DE＝BD，
∴DE＝AD，
∴∠ADF＝ADE，AF＝AE＝2，
∴∠HDC＝∠ADF+∠ADC＝BDE＝30°，
∵∠HCD＝∠AFH＝90°，
∴∠H＝60°，
∴∠CDH＝30°，AH＝，
∴CH＝AH+AC＝，
∴CD＝CH＝7，
故答案為：7．
16． 解：①函數(shù)的對稱軸為直線x＝（0+2）＝1，即＝﹣1，則b＝﹣2a，
∵n＞0，故在對稱軸的左側，y隨x的增大而減小，故拋物線開口向上，則a＞0，
而c＝﹣5，故ac＜0，所以①正確；
②∵對稱軸在y軸的右側，a＞0，
∴b＜0，
∵x＝1時，y＜﹣5，
∴a+b+c＜0，
∴a+c＜﹣b，
∴﹣＜1，故②錯誤；
③當x＝﹣3時，n＝y(tǒng)＝9a﹣3b+c＝15a+c，
∴c＝n﹣15a，
∵a＞c，
∴a＞n﹣15a，
∴16a＞n，故③正確；
④當n＝10時，即：x＝﹣3時，y＝10，
∵拋物線經(jīng)過點（﹣3，10），（0，﹣5），（2，﹣5），
∴，解得，
（ax﹣1）x+b+c＝（1﹣x）b﹣1可以變形為ax2+bx+c＝x﹣1，即探討一次函數(shù)y＝x﹣1與二次函數(shù)為y＝x2﹣2x﹣5圖象的交點情況，
∵（﹣1，﹣2）和（4，3）是上述兩個圖象的交點，
∴關于x的一元二次方程，（ax﹣1）x+b+c＝（1﹣x）b﹣1的解為x1＝﹣1，x2＝4，④正確，
故答案為：①③④．
三．解答題（共9小題，滿分72分）
17． 解：（1）x2﹣2x﹣8＝0，
∴（x﹣4）（x+2）＝0，
∴x﹣4＝0，x+2＝0，
∴x1＝4，x2＝﹣2；
（2）x2+3x＝2（x+3），
∴x（x+3）﹣2（x+3）＝0，
∴（x﹣2）（x+3）＝0，
∴x﹣2＝0，x+3＝0，
∴x1＝2，x2＝﹣3．
18． 解：（1））∵△ABC順時針旋轉(zhuǎn)一定角度后與△AED重合，
∴旋轉(zhuǎn)中心是點A，旋轉(zhuǎn)角的度數(shù)∠BAD＝∠CAB＝135°；
（2）連接DC，
∵△ABC順時針旋轉(zhuǎn)一定角度后與△AED重合，
∴△ABC≌△AED，
∴AC＝AE＝2，AB＝AD，
∵點E是AB的中點，
∴AD＝2AE＝4，
∵∠DAC＝360°﹣2×135°＝90°，
∴DC＝＝2．
19． 解：（1）如圖，△A1B1C1即為所求；點C1的坐標（4，1）；
（2）如圖，△A2B2C2即為所求；點B2的坐標（﹣3，﹣3）；
（3）△A1B1C1繞點O順時針旋轉(zhuǎn)90°后得到△A2B2C2．
20． （1）證明：x2﹣（m+3）x+m+2＝0，
Δ＝[﹣（m+3）]2﹣4（m+2）＝（m+1）2≥0，
所以無論實數(shù)m取得何值，方程總有兩個實數(shù)根；
（2）解：∵方程有一個根的平方等于1，
∴此根是±1，
當根是1時，代入得：1﹣（m+3）+m+2＝0，
即0＝0，此時m為任何數(shù)；
當根是﹣1時，1+（m+3）+m+2＝0，
解得：m＝﹣3，
綜上所述，m為任意實數(shù)．
21． 解：（1）設通道的寬為x米，則中間的矩形展覽區(qū)的長為（60﹣2x）米，寬為（40﹣2x）米，
根據(jù)題意得：（60﹣2x）（40﹣2x）＝1500，
整理得：x2﹣50x+225＝0，
解得：x1＝5，x2＝45（不符合題意，舍去）．
答：通道的寬為5米．
（2）80×1500+60×（60×40﹣1500）
＝80×1500+60×（2400﹣1500）
＝80×1500+60×900
＝120000+54000
＝174000（元）．
答：鋪設整個展館需要174000元錢．
22． 解：（1）∵拋物線L：y＝ax2+bx+c（a＞0）的對稱軸是直線x＝2，交y軸于（0，4a），
∴﹣＝2，c＝4a，
∴b＝﹣4a，
∴y＝ax2﹣4ax+4a＝a（x﹣2）2，
∴拋物線的頂點為（2，0）；
（2）①過點D作DM∥y軸，交直線AB于M，
∵D（2，0），
∴M的橫坐標為2，
把x＝2代入y＝kx﹣2k+4得，y＝4，
∴DM＝4，
∵△ABC的面積為10，
∴×4?（xB﹣xA）＝10，
∴xB﹣xA＝5，
∵點A的橫坐標為1，
∴點B的橫坐標為6，
∴A（1，﹣k+4），B（6，4k+4），
把A、B的坐標代入y＝a（x﹣2）2，得，
解得a＝1；
②聯(lián)立直線AB和拋物線的解析式成方程組，得：，
解得：，，
∴點A的坐標為（，），點B的坐標為（，+4）．
∵點C的坐標為（2，0）．
∴直線BC的解析式為y＝x﹣k﹣．
∵過點A作AE⊥x軸，垂足為E，與直線BD交于點F，
∴點E的坐標為（，0），點F的坐標為（，﹣4），
∴EF＝4．
23． 解：∵一元二次方程x2﹣3x+1＝0的兩根為x1，x2，
∴x1+x2＝3，x1x2＝1，
（1）＝＝＝7；
（2）＝x1x2（x1+x2）＝1×3＝3；
（3））|x1﹣x2|＝＝＝．
24． （1）證明：四邊形ABCD是菱形，
∴BC＝DC，AB∥CD，
∴∠PBM＝∠PBC＝∠ABC＝30°，∠ABC+∠BCD＝180°，
∴∠BCD＝180°﹣∠ABC＝120°，
由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得：PC＝QC，∠PCQ＝120°，
∴∠BCD＝∠PCQ，
∴∠BCP＝∠DCQ，
在△BCP和△DCQ中，，
∴△BCP≌△DCQ（SAS）；
（2）①證明：由（1）得：△BCP≌△DCQ，
∴BP＝DQ，
∠QDC＝∠PBC＝∠PBM＝30°．
在CD上取點E，使QE＝QN，如圖2所示：
則∠QEN＝∠QNE，
∴∠QED＝∠QNC＝∠PMB，
在△PBM和△QDE中，，
∴△PBM≌△QDE （AAS），
∴PM＝QE＝QN．
②解：由①知PM＝QN，
∴MN＝PQ＝PC，
∴當PC⊥BD時，PC最小，此時MN最小，
則PC＝2，BC＝2PC＝4，
∴菱形ABCD的面積＝2S△ABC＝2××42＝8；
故答案為：8．
25． 解：（1）∵拋物線經(jīng)過點A（﹣1，0），B（3，0），C（0，﹣3），
∴，解得：，
∴y＝x2﹣2x﹣3，
∴y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4，
∴拋物線的頂點M坐標為（1，﹣4）；
（2）∵N是拋物線上第一象限的點，
∴設N（t，t2﹣2t﹣3）（t＞0），又點C（0，﹣3），
設直線NC的解析式為y＝kx﹣3，N在直線NC上，解得k＝t﹣2，
∴直線NC的解析式為y＝（t﹣2）x﹣3，
設直線CN與x軸交于點D，
當y＝0時，x＝，
∴D（，0），BD＝3﹣，
∵S△NBC＝S△ABC，
∴S△CDB+S△BDN＝AB?OC，即BD?|yC﹣yN|＝[3﹣（﹣1）]×3，
即×（3﹣）[3﹣（﹣t2+2t+3）]＝6，
整理，得：t2﹣3t﹣4＝0，
解得：t1＝4，t2＝﹣1（舍去），
當t＝4時，t2﹣2t﹣3＝5，
∴N（4，5）；
（3）拋物線上的任意正整點R（橫縱坐標為正整數(shù)的點）可以表示為R（t，t2﹣2t﹣3），t為正整數(shù)，且t≥4，
由性質(zhì)①②，t與t2﹣2t﹣3的最大公約數(shù)（t，t2﹣2t﹣3）＝（t，（t﹣2）t﹣3）＝（t，﹣3）＝（t，3），
即只需滿足（t，3）＝1即可，又因為3是素數(shù)，當且僅當t不是3的倍數(shù)時，t與3互素，
在4到100共97個數(shù)中，總共有32個數(shù)是3的倍數(shù)，
故共有65個數(shù)不是3的倍數(shù)，滿足（t，t2﹣2t﹣3）＝1，
即在0≤x≤100時，該拋物線上有65個“互素正整點”．
x
﹣3
0
2
y
n
﹣5
﹣5