



2022屆廣東省東莞市石碣鎮(zhèn)市級(jí)名校中考四模數(shù)學(xué)試題含解析
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這是一份2022屆廣東省東莞市石碣鎮(zhèn)市級(jí)名校中考四模數(shù)學(xué)試題含解析,共20頁(yè)。試卷主要包含了cs30°=等內(nèi)容,歡迎下載使用。
?2021-2022中考數(shù)學(xué)模擬試卷
注意事項(xiàng):
1.答卷前,考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫(xiě)在答題卡上。
2.回答選擇題時(shí),選出每小題答案后,用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑,如需改動(dòng),用橡皮擦干凈后,再選涂其它答案標(biāo)號(hào)?;卮鸱沁x擇題時(shí),將答案寫(xiě)在答題卡上,寫(xiě)在本試卷上無(wú)效。
3.考試結(jié)束后,將本試卷和答題卡一并交回。
一、選擇題(每小題只有一個(gè)正確答案,每小題3分,滿分30分)
1.如圖,一場(chǎng)暴雨過(guò)后,垂直于地面的一棵樹(shù)在距地面1米處折斷,樹(shù)尖B恰好碰到地面,經(jīng)測(cè)量AB=2m,則樹(shù)高為( )米
A. B. C.+1 D.3
2.如圖,將RtABC繞直角項(xiàng)點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°,得到A' B'C,連接AA',若∠1=20°,則∠B的度數(shù)是( )
A.70° B.65° C.60° D.55°
3.下列運(yùn)算正確的是 ( )
A.2+a=3 B. =
C. D.=
4.cos30°=( )
A. B. C. D.
5.全球芯片制造已經(jīng)進(jìn)入10納米到7納米器件的量產(chǎn)時(shí)代.中國(guó)自主研發(fā)的第一臺(tái)7納米刻蝕機(jī),是芯片制造和微觀加工最核心的設(shè)備之一,7納米就是0.000000007米.?dāng)?shù)據(jù)0.000000007用科學(xué)記數(shù)法表示為( ?。?br />
A.0.7×10﹣8 B.7×10﹣8 C.7×10﹣9 D.7×10﹣10
6.如圖,在?ABCD中,對(duì)角線AC的垂直平分線分別交AD、BC于點(diǎn)E、F,連接CE,若△CED的周長(zhǎng)為6,則?ABCD的周長(zhǎng)為( ?。?br />
A.6 B.12 C.18 D.24
7.2017上半年,四川貨物貿(mào)易進(jìn)出口總值為2 098.7億元,較去年同期增長(zhǎng)59.5%,遠(yuǎn)高于同期全國(guó)19.6%的整體進(jìn)出口增幅.在“一帶一路”倡議下,四川同期對(duì)以色列、埃及、羅馬尼亞、伊拉克進(jìn)出口均實(shí)現(xiàn)數(shù)倍增長(zhǎng).將2098.7億元用科學(xué)記數(shù)法表示是( ?。?br />
A.2.098 7×103 B.2.098 7×1010 C.2.098 7×1011 D.2.098 7×1012
8.如圖,在正方形OABC中,點(diǎn)A的坐標(biāo)是(﹣3,1),點(diǎn)B的縱坐標(biāo)是4,則B,C兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別是( ?。?br />
A.(﹣2,4),(1,3) B.(﹣2,4),(2,3)
C.(﹣3,4),(1,4) D.(﹣3,4),(1,3)
9.如圖,有一些點(diǎn)組成形如四邊形的圖案,每條“邊”(包括頂點(diǎn))有n(n>1)個(gè)點(diǎn).當(dāng)n=2018時(shí),這個(gè)圖形總的點(diǎn)數(shù)S為( ?。?br />
A.8064 B.8067 C.8068 D.8072
10.如圖,已知第一象限內(nèi)的點(diǎn)A在反比例函數(shù)y=上,第二象限的點(diǎn)B在反比例函數(shù)上,且OA⊥OB,,則k的值為( ?。?br />
A.﹣2 B.4 C.﹣4 D.2
二、填空題(共7小題,每小題3分,滿分21分)
11.如圖,在矩形ABCD中,AD=5,AB=8,點(diǎn)E為射線DC上一個(gè)動(dòng)點(diǎn),把△ADE沿直線AE折疊,當(dāng)點(diǎn)D的對(duì)應(yīng)點(diǎn)F剛好落在線段AB的垂直平分線上時(shí),則DE的長(zhǎng)為_(kāi)____.
12.如圖,矩形ABCD中,AB=8,BC=6,P為AD上一點(diǎn),將△ABP沿BP翻折至△EBP,PE與CD相交于點(diǎn)O,BE與CD相交于點(diǎn)G,且OE=OD,則AP的長(zhǎng)為_(kāi)_________.
13.如圖,在x軸的正半軸上依次間隔相等的距離取點(diǎn)A1,A2,A3,A4,…,An,分別過(guò)這些點(diǎn)做x軸的垂線與反比例函數(shù)y=的圖象相交于點(diǎn)P1,P2,P3,P4,…Pn,再分別過(guò)P2,P3,P4,…Pn作P2B1⊥A1P1,P3B2⊥A2P2,P4B3⊥A3P3,…,PnBn﹣1⊥An﹣1Pn﹣1,垂足分別為B1,B2,B3,B4,…,Bn﹣1,連接P1P2,P2P3,P3P4,…,Pn﹣1Pn,得到一組Rt△P1B1P2,Rt△P2B2P3,Rt△P3B3P4,…,Rt△Pn﹣1Bn﹣1Pn,則Rt△Pn﹣1Bn﹣1Pn的面積為_(kāi)____.
14.如圖,在中,于點(diǎn),于點(diǎn),為邊的中點(diǎn),連接,則下列結(jié)論:①,②,③為等邊三角形,④當(dāng)時(shí),.請(qǐng)將正確結(jié)論的序號(hào)填在橫線上__.
15.如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,OB在x軸上,∠ABO=90°,點(diǎn)A的坐標(biāo)為(2,4),將△AOB繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°,點(diǎn)O的對(duì)應(yīng)點(diǎn)C恰好落在反比例函數(shù)y=的圖象上,則k的值為_(kāi)____.
16.如圖,在?ABCD中,E、F分別是AB、DC邊上的點(diǎn),AF與DE相交于點(diǎn)P,BF與CE相交于點(diǎn)Q,若S△APD=16cm1,S△BQC=15cm1,則圖中陰影部分的面積為_(kāi)____cm1.
17.如圖,AB是⊙O的直徑,弦CD⊥AB,垂足為E,如果AB=26,CD=24,那么sin∠OCE= ▲ .
三、解答題(共7小題,滿分69分)
18.(10分)(1)問(wèn)題:如圖1,在四邊形ABCD中,點(diǎn)P為AB上一點(diǎn),∠DPC=∠A=∠B=90°.求證:AD·BC=AP·BP.
(2)探究:如圖2,在四邊形ABCD中,點(diǎn)P為AB上一點(diǎn),當(dāng)∠DPC=∠A=∠B=θ時(shí),上述結(jié)論是否依然成立.說(shuō)明理由.
(3)應(yīng)用:請(qǐng)利用(1)(2)獲得的經(jīng)驗(yàn)解決問(wèn)題:
如圖3,在△ABD中,AB=6,AD=BD=1.點(diǎn)P以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度,由點(diǎn)A 出發(fā),沿邊AB向點(diǎn)B運(yùn)動(dòng),且滿足∠DPC=∠A.設(shè)點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t(秒),當(dāng)DC的長(zhǎng)與△ABD底邊上的高相等時(shí),求t的值.
19.(5分)許昌芙蓉湖位于許昌市水系建設(shè)總體規(guī)劃中部,上游接納清泥河來(lái)水,下游為鹿鳴湖等水系供水,承擔(dān)著承上啟下的重要作用,是利用有限的水資源、形成良好的水生態(tài)環(huán)境打造生態(tài)宜居城市的重要部分.某校課外興趣小組想測(cè)量位于芙蓉湖兩端的A,B兩點(diǎn)之間的距離他沿著與直線AB平行的道路EF行走,走到點(diǎn)C處,測(cè)得∠ACF=45°,再向前走300米到點(diǎn)D處,測(cè)得∠BDF=60°.若直線AB與EF之間的距離為200米,求A,B兩點(diǎn)之間的距離(結(jié)果保留一位小數(shù))
20.(8分)先化簡(jiǎn)(-a+1)÷,并從0,-1,2中選一個(gè)合適的數(shù)作為a的值代入求值.
21.(10分)如圖,在△ABC中,∠C=90°,以AB上一點(diǎn)O為圓心,OA長(zhǎng)為半徑的圓恰好與BC相切于點(diǎn)D,分別交AC,AB于點(diǎn)E,F(xiàn).
(1)若∠B=30°,求證:以A,O,D,E為頂點(diǎn)的四邊形是菱形;
(2)填空:若AC=6,AB=10,連接AD,則⊙O的半徑為 ,AD的長(zhǎng)為 ?。?br />
22.(10分)如圖,在△ABC中,點(diǎn)D是AB邊的中點(diǎn),點(diǎn)E是CD邊的中點(diǎn),過(guò)點(diǎn)C作CF∥AB交AE的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F,連接BF.
求證:DB=CF;(2)如果AC=BC,試判斷四邊形BDCF的形狀,并證明你的結(jié)論.
23.(12分)2017年10月31日,在廣州舉行的世界城市日全球主場(chǎng)活動(dòng)開(kāi)幕式上,住建部公布許昌成為“國(guó)家生態(tài)園林城市”在2018年植樹(shù)節(jié)到來(lái)之際,許昌某中學(xué)購(gòu)買(mǎi)了甲、乙兩種樹(shù)木用于綠化校園.若購(gòu)買(mǎi)7棵甲種樹(shù)和4棵乙種樹(shù)需510元;購(gòu)買(mǎi)3棵甲種樹(shù)和5棵乙種樹(shù)需350元.
(1)求甲種樹(shù)和乙種樹(shù)的單價(jià);
(2)按學(xué)校規(guī)劃,準(zhǔn)備購(gòu)買(mǎi)甲、乙兩種樹(shù)共200棵,且甲種樹(shù)的數(shù)量不少于乙種樹(shù)的數(shù)量的,請(qǐng)?jiān)O(shè)計(jì)出最省錢(qián)的購(gòu)買(mǎi)方案,并說(shuō)明理由.
24.(14分)如圖,已知,.求證.
參考答案
一、選擇題(每小題只有一個(gè)正確答案,每小題3分,滿分30分)
1、C
【解析】
由題意可知,AC=1,AB=2,∠CAB=90°
據(jù)勾股定理則BC=m;
∴AC+BC=(1+)m.
答:樹(shù)高為(1+)米.
故選C.
2、B
【解析】
根據(jù)圖形旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得AC=A′C,∠ACA′=90°,∠B=∠A′B′C,從而得∠AA′C=45°,結(jié)合∠1=20°,即可求解.
【詳解】
∵將RtABC繞直角項(xiàng)點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°,得到A' B'C,
∴AC=A′C,∠ACA′=90°,∠B=∠A′B′C,
∴∠AA′C=45°,
∵∠1=20°,
∴∠B′A′C=45°-20°=25°,
∴∠A′B′C=90°-25°=65°,
∴∠B=65°.
故選B.
【點(diǎn)睛】
本題主要考查旋轉(zhuǎn)的性質(zhì),等腰三角形和直角三角形的性質(zhì),掌握等腰三角形和直角三角形的性質(zhì)定理,是解題的關(guān)鍵.
3、D
【解析】
根據(jù)整式的混合運(yùn)算計(jì)算得到結(jié)果,即可作出判斷.
【詳解】
A、2與a 不是同類(lèi)項(xiàng),不能合并,不符合題意;
B、 =,不符合題意;
C、原式=,不符合題意;
D、=,符合題意,
故選D.
【點(diǎn)睛】
此題考查了整式的混合運(yùn)算,熟練掌握運(yùn)算法則是解本題的關(guān)鍵.
4、C
【解析】
直接根據(jù)特殊角的銳角三角函數(shù)值求解即可.
【詳解】
故選C.
【點(diǎn)睛】
考點(diǎn):特殊角的銳角三角函數(shù)
點(diǎn)評(píng):本題屬于基礎(chǔ)應(yīng)用題,只需學(xué)生熟練掌握特殊角的銳角三角函數(shù)值,即可完成.
5、C
【解析】
本題根據(jù)科學(xué)記數(shù)法進(jìn)行計(jì)算.
【詳解】
因?yàn)榭茖W(xué)記數(shù)法的標(biāo)準(zhǔn)形式為a×(1≤|a|≤10且n為整數(shù)),因此0.000000007用科學(xué)記數(shù)法法可表示為7×,
故選C.
【點(diǎn)睛】
本題主要考察了科學(xué)記數(shù)法,熟練掌握科學(xué)記數(shù)法是本題解題的關(guān)鍵.
6、B
【解析】
∵四邊形ABCD是平行四邊形,∴DC=AB,AD=BC,
∵AC的垂直平分線交AD于點(diǎn)E,∴AE=CE,
∴△CDE的周長(zhǎng)=DE+CE+DC=DE+AE+DC=AD+DC=6,∴?ABCD的周長(zhǎng)=2×6=12,
故選B.
7、C
【解析】
將2098.7億元用科學(xué)記數(shù)法表示是2.0987×1011,
故選:C.
點(diǎn)睛: 本題考查了正整數(shù)指數(shù)科學(xué)計(jì)數(shù)法,對(duì)于一個(gè)絕對(duì)值較大的數(shù),用科學(xué)記數(shù)法寫(xiě)成 的形式,其中,n是比原整數(shù)位數(shù)少1的數(shù).
8、A
【解析】
作CD⊥x軸于D,作AE⊥x軸于E,作BF⊥AE于F,由AAS證明△AOE≌△OCD,得出AE=OD,OE=CD,由點(diǎn)A的坐標(biāo)是(﹣3,1),得出OE=3,AE=1,∴OD=1,CD=3,得出C(1,3),同理:△AOE≌△BAF,得出AE=BF=1,OE﹣BF=3﹣1=2,得出B(﹣2,4)即可.
【詳解】
解:如圖所示:作CD⊥x軸于D,作AE⊥x軸于E,作BF⊥AE于F,則∠AEO=∠ODC=∠BFA=90°,∴∠OAE+∠AOE=90°.
∵四邊形OABC是正方形,∴OA=CO=BA,∠AOC=90°,∴∠AOE+∠COD=90°,∴∠OAE=∠COD.在△AOE和△OCD中,∵,∴△AOE≌△OCD(AAS),∴AE=OD,OE=CD.
∵點(diǎn)A的坐標(biāo)是(﹣3,1),∴OE=3,AE=1,∴OD=1,CD=3,∴C(1,3).
同理:△AOE≌△BAF,∴AE=BF=1,OE﹣BF=3﹣1=2,∴B(﹣2,4).
故選A.
【點(diǎn)睛】
本題考查了正方形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、坐標(biāo)與圖形性質(zhì);熟練掌握正方形的性質(zhì),證明三角形全等是解決問(wèn)題的關(guān)鍵.
9、C
【解析】
分析:本題重點(diǎn)注意各個(gè)頂點(diǎn)同時(shí)在兩條邊上,計(jì)算點(diǎn)的個(gè)數(shù)時(shí),不要把頂點(diǎn)重復(fù)計(jì)算了.
詳解:此題中要計(jì)算點(diǎn)的個(gè)數(shù),可以類(lèi)似周長(zhǎng)的計(jì)算方法進(jìn)行,但應(yīng)注意各個(gè)頂點(diǎn)重復(fù)了一次.
如當(dāng)n=2時(shí),共有S2=4×2﹣4=4;當(dāng)n=3時(shí),共有S3=4×3﹣4,…,依此類(lèi)推,即Sn=4n﹣4,當(dāng)n=2018時(shí),S2018=4×2018﹣4=1.
故選C.
點(diǎn)睛:本題考查了圖形的變化類(lèi)問(wèn)題,關(guān)鍵是通過(guò)歸納與總結(jié),得到其中的規(guī)律.
10、C
【解析】
試題分析:作AC⊥x軸于點(diǎn)C,作BD⊥x軸于點(diǎn)D.
則∠BDO=∠ACO=90°,則∠BOD+∠OBD=90°,
∵OA⊥OB,∴∠BOD+∠AOC=90°,∴∠BOD=∠AOC,∴△OBD∽△AOC,∴=(tanA)2=2,
又∵S△AOC=×2=1,∴S△OBD=2,∴k=-1.
故選C.
考點(diǎn):1.相似三角形的判定與性質(zhì);2.反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征.
二、填空題(共7小題,每小題3分,滿分21分)
11、或10
【解析】
試題分析:根據(jù)題意,可分為E點(diǎn)在DC上和E在DC的延長(zhǎng)線上,兩種情況求解即可:
如圖①,當(dāng)點(diǎn)E在DC上時(shí),點(diǎn)D的對(duì)應(yīng)點(diǎn)F剛好落在線段AB的垂直平分線QP上,易求FP=3,所以FQ=2,設(shè)FE=x,則FE=x,QE=4-x,在Rt△EQF中,(4-x)2+22=x2,所以x=.(2)如圖②,當(dāng),所以FQ=點(diǎn)E在DG的延長(zhǎng)線上時(shí),點(diǎn)D的對(duì)應(yīng)點(diǎn)F剛好落在線段AB的垂直平分線QP上,易求FP=3,所以FQ=8,設(shè)DE=x,則FE=x,QE=x-4,在Rt△EQF中,(x-4)2+82=x2,所以x=10,綜上所述,DE=或10.
12、4.1
【解析】
解:如圖所示:∵四邊形ABCD是矩形,
∴∠D=∠A=∠C=90°,AD=BC=6,CD=AB=1,
根據(jù)題意得:△ABP≌△EBP,
∴EP=AP,∠E=∠A=90°,BE=AB=1,
在△ODP和△OEG中,
,
∴△ODP≌△OEG(ASA),
∴OP=OG,PD=GE,
∴DG=EP,
設(shè)AP=EP=x,則PD=GE=6﹣x,DG=x,
∴CG=1﹣x,BG=1﹣(6﹣x)=2+x,
根據(jù)勾股定理得:BC2+CG2=BG2,
即62+(1﹣x)2=(x+2)2,
解得:x=4.1,
∴AP=4.1;
故答案為4.1.
13、
【解析】
解:設(shè)OA1=A1A2=A2A3=…=An-2An-1=An-1An=a,
∵當(dāng)x=a時(shí),,∴P1的坐標(biāo)為(a,),
當(dāng)x=2a時(shí),,∴P2的坐標(biāo)為(2a,),
……
∴Rt△P1B1P2的面積為,
Rt△P2B2P3的面積為,
Rt△P3B3P4的面積為,
……
∴Rt△Pn-1Bn-1Pn的面積為.
故答案為:
14、①③④
【解析】
①根據(jù)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半可判斷①;
②先證明△ABM∽△ACN,再根據(jù)相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例可判斷②;
③先根據(jù)直角三角形兩銳角互余的性質(zhì)求出∠ABM=∠ACN=30°,再根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理求出∠BCN+∠CBM=60°,然后根據(jù)三角形的一個(gè)外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和求出∠BPN+∠CPM=120°,從而得到∠MPN=60°,又由①得PM=PN,根據(jù)有一個(gè)角是60°的等腰三角形是等邊三角形可判斷③;
④當(dāng)∠ABC=45°時(shí),∠BCN=45°,進(jìn)而判斷④.
【詳解】
①∵BM⊥AC于點(diǎn)M,CN⊥AB于點(diǎn)N,P為BC邊的中點(diǎn),
∴PM=BC,PN=BC,
∴PM=PN,正確;
②在△ABM與△ACN中,
∵∠A=∠A,∠AMB=∠ANC=90°,
∴△ABM∽△ACN,
∴,錯(cuò)誤;
③∵∠A=60°,BM⊥AC于點(diǎn)M,CN⊥AB于點(diǎn)N,
∴∠ABM=∠ACN=30°,
在△ABC中,∠BCN+∠CBM=180°-60°-30°×2=60°,
∵點(diǎn)P是BC的中點(diǎn),BM⊥AC,CN⊥AB,
∴PM=PN=PB=PC,
∴∠BPN=2∠BCN,∠CPM=2∠CBM,
∴∠BPN+∠CPM=2(∠BCN+∠CBM)=2×60°=120°,
∴∠MPN=60°,
∴△PMN是等邊三角形,正確;
④當(dāng)∠ABC=45°時(shí),∵CN⊥AB于點(diǎn)N,
∴∠BNC=90°,∠BCN=45°,
∵P為BC中點(diǎn),可得BC=PB=PC,故④正確.
所以正確的選項(xiàng)有:①③④
故答案為①③④
【點(diǎn)睛】
本題主要考查了直角三角形斜邊的中線等于斜邊的一半的性質(zhì),相似三角形、等邊三角形、等腰直角三角形的判定與性質(zhì),等腰三角形三線合一的性質(zhì),仔細(xì)分析圖形并熟練掌握性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.
15、1
【解析】
根據(jù)題意和旋轉(zhuǎn)的性質(zhì),可以得到點(diǎn)C的坐標(biāo),把點(diǎn)C坐標(biāo)代入反比例函數(shù)y=中,即可求出k的值.
【詳解】
∵OB在x軸上,∠ABO=90°,點(diǎn)A的坐標(biāo)為(2,4),∴OB=2,AB=4
∵將△AOB繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°,∴AD=4,CD=2,且AD//x軸
∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為(6,2),
∵點(diǎn)O的對(duì)應(yīng)點(diǎn)C恰好落在反比例函數(shù)y=的圖象上,
∴k=2,
故答案為1.
【點(diǎn)睛】
本題考查反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征、坐標(biāo)與圖形的變化-旋轉(zhuǎn),解答本題的關(guān)鍵是明確題意,利用數(shù)形結(jié)合的思想解答.
16、41
【解析】
試題分析:如圖,連接EF
∵△ADF與△DEF同底等高,
∴S△ADF=S△DEF,
即S△ADF-S△DPF=S△DEF-S△DPF,
即S△APD=S△EPF=16cm1,
同理可得S△BQC=S△EFQ=15cm1,、
∴陰影部分的面積為S△EPF+S△EFQ=16+15=41cm1.
考點(diǎn):1、三角形面積,1、平行四邊形
17、
【解析】垂徑定理,勾股定理,銳角三角函數(shù)的定義。
【分析】如圖,
設(shè)AB與CD相交于點(diǎn)E,則根據(jù)直徑AB=26,得出半徑OC=13;由CD=24,CD⊥AB,根據(jù)垂徑定理得出CE=12;在Rt△OCE中,利用勾股定理求出OE=5;再根據(jù)正弦函數(shù)的定義,求出sin∠OCE的度數(shù):
。
三、解答題(共7小題,滿分69分)
18、(2)證明見(jiàn)解析;(2)結(jié)論成立,理由見(jiàn)解析;(3)2秒或2秒.
【解析】
(2)由∠DPC=∠A=∠B=90°可得∠ADP=∠BPC,即可證到△ADP∽△BPC,然后運(yùn)用相似三角形的性質(zhì)即可解決問(wèn)題;
(2)由∠DPC=∠A=∠B=θ可得∠ADP=∠BPC,即可證到△ADP∽△BPC,然后運(yùn)用相似三角形的性質(zhì)即可解決問(wèn)題;
(3)過(guò)點(diǎn)D作DE⊥AB于點(diǎn)E,根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)可得AE=BE=3,根據(jù)勾股定理可得DE=4,由題可得DC=DE=4,則有BC=2-4=2.易證∠DPC=∠A=∠B.根據(jù)ADBC=APBP,就可求出t的值.
【詳解】
解:(2)如圖2,
∵∠DPC=∠A=∠B=90°,
∴∠ADP+∠APD=90°,
∠BPC+∠APD=90°,
∴∠APD=∠BPC,
∴△ADP∽△BPC,
∴,
∴ADBC=APBP;
(2)結(jié)論ADBC=APBP仍成立;
證明:如圖2,∵∠BPD=∠DPC+∠BPC,
又∵∠BPD=∠A+∠APD,
∴∠DPC+∠BPC=∠A+∠APD,
∵∠DPC=∠A=θ,
∴∠BPC=∠APD,
又∵∠A=∠B=θ,
∴△ADP∽△BPC,
∴,
∴ADBC=APBP;
(3)如下圖,過(guò)點(diǎn)D作DE⊥AB于點(diǎn)E,
∵AD=BD=2,AB=6,
∴AE=BE=3
∴DE==4,
∵以D為圓心,以DC為半徑的圓與AB相切,
∴DC=DE=4,
∴BC=2-4=2,
∵AD=BD,
∴∠A=∠B,
又∵∠DPC=∠A,
∴∠DPC=∠A=∠B,
由(2)(2)的經(jīng)驗(yàn)得AD?BC=AP?BP,
又∵AP=t,BP=6-t,
∴t(6-t)=2×2,
∴t=2或t=2,
∴t的值為2秒或2秒.
【點(diǎn)睛】
本題考查圓的綜合題.
19、215.6米.
【解析】
過(guò)A點(diǎn)做EF的垂線,交EF于M點(diǎn),過(guò)B點(diǎn)做EF的垂線,交EF于N點(diǎn),
根據(jù)Rt△ACM和三角函數(shù)求出CM、DN,然后根據(jù)即可求出A、B兩點(diǎn)間的距離.
【詳解】
解:過(guò)A點(diǎn)做EF的垂線,交EF于M點(diǎn),過(guò)B點(diǎn)做EF的垂線,交EF于N點(diǎn)
在Rt△ACM中,∵,
∴AM=CM=200米,
又∵CD=300米,所以米,
在Rt△BDN中,∠BDF=60°,BN=200米
∴米,
∴米
即A,B兩點(diǎn)之間的距離約為215.6米.
【點(diǎn)睛】
本題主要考查三角函數(shù),正確做輔助線是解題的關(guān)鍵.
20、1.
【解析】
試題分析:首先把括號(hào)的分式通分化簡(jiǎn),后面的分式的分子分解因式,然后約分化簡(jiǎn),接著計(jì)算分式的乘法,最后代入數(shù)值計(jì)算即可求解.
試題解析:原式===;
當(dāng)a=0時(shí),原式=1.
考點(diǎn):分式的化簡(jiǎn)求值.
21、 (1) 見(jiàn)解析;(2)
【解析】
(1) 先通過(guò)證明△AOE為等邊三角形, 得出AE=OD, 再根據(jù)“同位角相等, 兩直線平行” 證明AE//OD, 從而證得四邊形AODE是平行四邊形, 再根據(jù) “一組鄰邊相等的平行四邊形為菱形” 即可得證.
(2) 利用在Rt△OBD中,sin∠B==可得出半徑長(zhǎng)度,在Rt△ODB中BD=,可求得BD的長(zhǎng),由CD=CB﹣BD可得CD的長(zhǎng),在RT△ACD中,AD=,即可求出AD長(zhǎng)度.
【詳解】
解:(1)證明:
連接OE、ED、OD,
在Rt△ABC中,∵∠B=30°,
∴∠A=60°,
∵OA=OE,∴△AEO是等邊三角形,
∴AE=OE=AO
∵OD=OA,
∴AE=OD
∵BC是圓O的切線,OD是半徑,
∴∠ODB=90°,又∵∠C=90°
∴AC∥OD,又∵AE=OD
∴四邊形AODE是平行四邊形,
∵OD=OA
∴四邊形AODE是菱形.
(2)
在Rt△ABC中,∵AC=6,AB=10,
∴sin∠B==,BC=8
∵BC是圓O的切線,OD是半徑,
∴∠ODB=90°,
在Rt△OBD中,sin∠B==,
∴OB=OD
∵AO+OB=AB=10,
∴OD+OD=10
∴OD=
∴OB=OD=
∴BD=
=5
∴CD=CB﹣BD=3
∴AD=
=
=3.
【點(diǎn)睛】
本題主要考查圓中的計(jì)算問(wèn)題、 菱形以及相似三角形的判定與性質(zhì)
22、 (1)證明見(jiàn)解析;(2)四邊形BDCF是矩形,理由見(jiàn)解析.
【解析】
(1)證明:∵CF∥AB,
∴∠DAE=∠CFE.又∵DE=CE,∠AED=∠FEC,
∴△ADE≌△FCE,∴AD=CF.∵AD=DB,∴DB=CF.
(2)四邊形BDCF是矩形.
證明:由(1)知DB=CF,又DB∥CF,
∴四邊形BDCF為平行四邊形.
∵AC=BC,AD=DB,∴CD⊥AB.
∴四邊形BDCF是矩形.
23、(1)甲種樹(shù)的單價(jià)為50元/棵,乙種樹(shù)的單價(jià)為40元/棵.(2)當(dāng)購(gòu)買(mǎi)1棵甲種樹(shù)、133棵乙種樹(shù)時(shí),購(gòu)買(mǎi)費(fèi)用最低,理由見(jiàn)解析.
【解析】
(1)設(shè)甲種樹(shù)的單價(jià)為x元/棵,乙種樹(shù)的單價(jià)為y元/棵,根據(jù)“購(gòu)買(mǎi)7棵甲種樹(shù)和4棵乙種樹(shù)需510元;購(gòu)買(mǎi)3棵甲種樹(shù)和5棵乙種樹(shù)需350元”,即可得出關(guān)于x、y的二元一次方程組,解之即可得出結(jié)論;
(2)設(shè)購(gòu)買(mǎi)甲種樹(shù)a棵,則購(gòu)買(mǎi)乙種樹(shù)(200-a)棵,根據(jù)甲種樹(shù)的數(shù)量不少于乙種樹(shù)的數(shù)量的可得出關(guān)于a的一元一次不等式,解之即可得出a的取值范圍,再由甲種樹(shù)的單價(jià)比乙種樹(shù)的單價(jià)貴,即可找出最省錢(qián)的購(gòu)買(mǎi)方案.
【詳解】
解:(1)設(shè)甲種樹(shù)的單價(jià)為x元/棵,乙種樹(shù)的單價(jià)為y元/棵,
根據(jù)題意得:
,
解得:
答:甲種樹(shù)的單價(jià)為50元/棵,乙種樹(shù)的單價(jià)為40元/棵.
(2)設(shè)購(gòu)買(mǎi)甲種樹(shù)a棵,則購(gòu)買(mǎi)乙種樹(shù)(200﹣a)棵,
根據(jù)題意得:
解得:
∵a為整數(shù),
∴a≥1.
∵甲種樹(shù)的單價(jià)比乙種樹(shù)的單價(jià)貴,
∴當(dāng)購(gòu)買(mǎi)1棵甲種樹(shù)、133棵乙種樹(shù)時(shí),購(gòu)買(mǎi)費(fèi)用最低.
【點(diǎn)睛】
一元一次不等式的應(yīng)用,二元一次方程組的應(yīng)用,讀懂題目,是解題的關(guān)鍵.
24、見(jiàn)解析
【解析】
根據(jù)∠ABD=∠DCA,∠ACB=∠DBC,求證∠ABC=∠DCB,然后利用AAS可證明△ABC≌△DCB,即可證明結(jié)論.
【詳解】
證明:∵∠ABD=∠DCA,∠DBC=∠ACB
∴∠ABD+∠DBC=∠DCA+∠ACB
即∠ABC=∠DCB
在△ABC和△DCB中
∴△ABC≌△DCB(ASA)
∴AB=DC
【點(diǎn)睛】
本題主要考查學(xué)生對(duì)全等三角形的判定與性質(zhì)的理解和掌握,證明此題的關(guān)鍵是求證△ABC≌△DCB.難度不大,屬于基礎(chǔ)題.
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