2020-2021學年北京師大附中九年級（上）期中數(shù)學試卷 (原卷+解析)

這是一份2020-2021學年北京師大附中九年級（上）期中數(shù)學試卷 (原卷+解析)，共34頁。試卷主要包含了填空題，解答題，附加題等內容，歡迎下載使用。
?2020-2021學年北京師大附中九年級（上）期中數(shù)學試卷
一、選擇題（每小題3分，共30分）下面各題有四個選項，其中只有一個是符合題意的
1．（3分）拋物線y＝2（x+3）2+5的頂點坐標為（　?。?br /> A．（3，5） B．（﹣3，5） C．（﹣3，﹣5） D．（3，﹣5）
2．（3分）如果，那么的值是（　?。?br /> A． B．2 C． D．5
3．（3分）將拋物線y＝（x﹣1）2+3向左平移1個單位，再向下平移3個單位后所得拋物線的解析式為（　?。?br /> A．y＝（x﹣2）2 B．y＝（x﹣2）2+6 C．y＝x2+6 D．y＝x2
4．（3分）如圖，在Rt△ABC，∠C＝90°，AC＝8，BC＝6，則sinB的值等于（　?。?br />
A． B． C． D．
5．（3分）如圖，在△ABC中，DE∥BC，分別交AB，AC于點D，E．若AD＝1，DB＝2，則△ADE的面積與△ABC的面積的比等于（　?。?br />
A． B． C． D．
6．（3分）如圖，點A、B、C、D、E、F、G、H、K都是7×8方格紙中的格點，為使△DEM∽△ABC，則點M應是F、G、H、K四點中的（　?。?br />
A．F B．G C．H D．K
7．（3分）若函數(shù)y＝x2﹣4x+m的圖象上有兩點A（x1，y1），B（x2，y2），若x1＜x2＜2，則（　?。?br /> A．y1＞y2 B．y1＜y2
C．y1＝y(tǒng)2 D．y1，y2的大小不確定
8．（3分）如圖，點A（t，3）在第一象限，OA與x軸所夾的銳角為α，tanα＝，則t的值是（　　）

A．1 B．1.5 C．2 D．3
9．（3分）已知函數(shù)y＝（x﹣a）（x﹣b）（其中a＞b）的圖象如圖所示，則函數(shù)y＝ax+b的圖象可能正確的是（　　）

A． B．
C． D．
10．（3分）如圖，已知矩形ABCD的長AB為5，寬BC為4，E是BC邊上的一個動點，AE⊥EF，EF交CD于點F．設BE＝x，F(xiàn)C＝y(tǒng)，則點E從點B運動到點C時，能表示y關于x的函數(shù)關系的大致圖象是（　　）

A． B．
C． D．
二、填空題（每小題3分，共24分）
11．（3分）關于x的方程3x2﹣4x﹣k＝0有實數(shù)根，則k的取值范圍是　 　．
12．（3分）請寫出一個開口向上，且對稱軸為直線x＝3的二次函數(shù)解析式　 　．
13．（3分）在△ABC中，若sinA＝，tanB＝，則∠C＝　 　°．
14．（3分）△ABC頂點的坐標分別為A（1，﹣1），B（4，﹣1），C（3，﹣4）．以坐標原點O為位似中心，畫出放大的△A1B1C1，使得它與△ABC的位似比等于2：1．則點C的對應點C1坐標為　 ?。?br /> 15．（3分）廊橋是我國古老的文化遺產(chǎn)，如圖是某座拋物線形的廊橋示意圖．已知拋物線的函數(shù)表達式為y＝﹣x2+10，為保護廊橋的安全，在該拋物線上距水面AB高為8米的點E，F(xiàn)處要安裝兩盞警示燈，則這兩盞燈的水平距離EF是　 　米．

16．（3分）一個人由山腳爬到山頂，須先爬傾斜角為30度的山坡300米到達D，再爬傾斜角為60度的山坡200米，求這座山的高度　 　．（結果保留根號）

17．（3分）已知點A（0，2），B（2，0），點C在y＝x2的圖象上，若△ABC的面積為2，則這樣的C點有　 　個．
18．（3分）如圖，在△ACM中，△ABC、△BDE、△DFG是等邊三角形，點E、G在△ACM的邊CM上，設△ABC、△BDE、△DFG的面積分別為S1、S2、S3，若S1＝8，S3＝2，則S2＝　 ?。?br />
三、解答題（本題共46分）
19．（4分）計算：cos30°﹣sin45°﹣（﹣）0．
20．（4分）解方程：x2﹣4x﹣1＝0．
21．（6分）二次函數(shù)y＝﹣x2+（m﹣1）x+m的圖象與y軸交點坐標是（0，3）．
（1）求此二次函數(shù)解析式；
（2）在圖中畫出二次函數(shù)的圖象；
（3）當0＜x＜3時，直接寫出y的取值范圍．

22．（5分）已知：如圖，在△ABC中，點D、E分別在邊AB，AC上，且∠AED＝∠ABC，DE＝3，BC＝5，AC＝12．求AD的長．

23．（6分）如圖，在△ABC中，∠B為銳角，AB＝3，AC＝5，sinC＝，求BC的長．

24．（6分）有這樣一個問題：探究函數(shù)y＝（x﹣1）（x﹣2）（x﹣3）的圖象與性質．小東對函數(shù)y＝（x﹣1）（x﹣2）（x﹣3）的圖象與性質進行了探究．
下面是小東的探究過程，請補充完成：
（1）函數(shù)y＝（x﹣1）（x﹣2）（x﹣3）的自變量x的取值范圍是全體實數(shù)；
（2）下表是y與x的幾組對應值．
x
…
﹣2
﹣1
0
1
2
3
4
5
6
…
y
…
m
﹣24
﹣6
0
0
0
6
24
60
…
①m＝　 　；
②若M（﹣7，﹣720），N（n，720）為該函數(shù)圖象上的兩點，則n＝　 　；
（3）在平面直角坐標系xOy中，A（xA，yA），B（xB，﹣yA）為該函數(shù)圖象上的兩點，且A為2≤x≤3范圍內的最低點，A點的位置如圖所示．
①標出點B的位置；
②畫出函數(shù)y＝（x﹣1）（x﹣2）（x﹣3）（0≤x≤4）的圖象．

25．（8分）如圖，拋物線y＝ax2+bx+c與x軸交于點A與點B，與y軸交于點C（0，﹣3），且OB＝OC＝3OA．
（1）求拋物線的解析式；
（2）探究坐標軸上是否存在點P，使得以點P，A，C為頂點的三角形為直角三角形？若存在，求出P點坐標，若不存在，請說明理由．

26．（7分）定義：對于平面直角坐標系xOy中的線段PQ和點M，在△MPQ中，當PQ邊上的高為2時，稱M為PQ的“等高點”，稱此時MP+MQ為PQ的“等高距離”．
（1）若P（1，2），Q（4，2）．
①在點A（1，0），B（，4），C（0，3）中，PQ的“等高點”是　 　；
②若M（t，0）為PQ的“等高點”，求PQ的“等高距離”的最小值及此時t的值．
（2）若P（0，0），PQ＝2，當PQ的“等高點”在y軸正半軸上且“等高距離”最小時，直接寫出點Q的坐標．

四、附加題（共20分）
27．（6分）已知點P（x0，y0）和直線y＝kx+b（k≠0，k、b是常數(shù)），則點P到直線y＝kx+b的距離證明可用公式d＝計算．
例如：求點P（﹣1，2）到直線y＝3x+7的距離．
解：因為直線y＝3x+7，其中k＝3，b＝7．
所以點P（﹣1，2）到直線y＝3x+7的距離為：d＝＝＝＝．
根據(jù)以上材料，解答下列問題：
（1）求點P（1，﹣1）到直線y＝x﹣1的距離；
（2）已知直線y＝﹣2x+4與y＝﹣2x﹣6平行，求這兩條直線之間的距離．
28．（7分）如圖1，ABCD是邊長為1的正方形，O是對角線BD的中點，Q是邊CD上一個動點（點Q不與點C、D重合），直線AQ與BC的延長線交于點E，AE交BD于點P．設DQ＝x，
（1）填空：當x＝時，CE＝　 　；＝　 ??；
（2）如圖2，直線EO交AB于點G，若BG＝y(tǒng)，求y關于x之間的函數(shù)關系式；
（3）在第（2）小題的條件下，是否存在點Q，使得PG∥BC？若存在，求x的值；若不存在，說明理由．

29．（7分）如圖，已知二次函數(shù)y＝ax2+bx+3的圖象交x軸于點A（1，0），B（3，0），交y軸于點C．
（1）求這個二次函數(shù)的表達式；
（2）將直線BC向下移動n個單位（n＞0），若直線與拋物線有交點，求n的取值范圍；
（3）直線x＝m分別交直線BC和拋物線于點M，N，當△BMN是等腰三角形時，直接寫出m的值．


2020-2021學年北京師大附中九年級（上）期中數(shù)學試卷
參考答案與試題解析
一、選擇題（每小題3分，共30分）下面各題有四個選項，其中只有一個是符合題意的
1．（3分）拋物線y＝2（x+3）2+5的頂點坐標為（　?。?br /> A．（3，5） B．（﹣3，5） C．（﹣3，﹣5） D．（3，﹣5）
【分析】因為y＝2（x+3）2+5是二次函數(shù)的頂點式，根據(jù)頂點式可直接寫出頂點坐標．
【解答】解：∵拋物線解析式為y＝2（x+3）2+5，
∴二次函數(shù)圖象的頂點坐標是（﹣3，5）．
故選：B．
【點評】本題考查了二次函數(shù)的性質，根據(jù)拋物線的頂點式，可確定拋物線的開口方向，頂點坐標（對稱軸），最大（最小）值，增減性等．
2．（3分）如果，那么的值是（　　）
A． B．2 C． D．5
【分析】根據(jù)兩內項之積等于兩外項之積列式整理即可得解．
【解答】解：∵＝，
∴2a+4b＝5b，
∴2a＝b，
∴＝．
故選：A．
【點評】本題考查了比例的性質，主要利用了兩內項之積等于兩外項之積，需熟記．
3．（3分）將拋物線y＝（x﹣1）2+3向左平移1個單位，再向下平移3個單位后所得拋物線的解析式為（　?。?br /> A．y＝（x﹣2）2 B．y＝（x﹣2）2+6 C．y＝x2+6 D．y＝x2
【分析】根據(jù)“左加右減、上加下減”的原則進行解答即可．
【解答】解：將拋物線y＝（x﹣1）2+3向左平移1個單位所得直線解析式為：y＝（x﹣1+1）2+3，即y＝x2+3；
再向下平移3個單位為：y＝x2+3﹣3，即y＝x2．
故選：D．
【點評】本題考查的是二次函數(shù)的圖象與幾何變換，熟知函數(shù)圖象平移的法則是解答此題的關鍵．
4．（3分）如圖，在Rt△ABC，∠C＝90°，AC＝8，BC＝6，則sinB的值等于（　?。?br />
A． B． C． D．
【分析】先根據(jù)勾股定理求出AB的長，再運用銳角三角函數(shù)的定義解答．
【解答】解：∵Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，BC＝6，
∴AB＝＝10，
∴sinB＝＝＝．
故選：C．
【點評】本題考查了勾股定理和銳角三角函數(shù)的定義，比較簡單．掌握正弦函數(shù)的定義是解題的關鍵．
5．（3分）如圖，在△ABC中，DE∥BC，分別交AB，AC于點D，E．若AD＝1，DB＝2，則△ADE的面積與△ABC的面積的比等于（　?。?br />
A． B． C． D．
【分析】根據(jù)DE∥BC，即可證得△ADE∽△ABC，然后根據(jù)相似三角形的面積的比等于相似比的平方，即可求解．
【解答】解：∵AD＝1，DB＝2，
∴AB＝AD+DB＝3，
∵DE∥BC，
∴△ADE∽△ABC，
∴＝（）2＝（）2＝．
故選：D．

【點評】本題考查了三角形的判定和性質，熟練掌握相似三角形的面積比等于相似比的平方是解題的關鍵．
6．（3分）如圖，點A、B、C、D、E、F、G、H、K都是7×8方格紙中的格點，為使△DEM∽△ABC，則點M應是F、G、H、K四點中的（　　）

A．F B．G C．H D．K
【分析】由圖形可知△ABC的邊AB＝4，AC＝6 DE＝2，當△DEM∽△ABC時，AB和DE是對應邊，相似比是1：2，則AC的對應邊是3，則點M的對應點是H．
【解答】解：根據(jù)題意，
△DEM∽△ABC，AB＝4，AC＝6 DE＝2
∴DE：AB＝DM：AC
∴DM＝3
∴M應是H
故選：C．
【點評】本題主要考查相似三角形的性質，相似三角形的對應邊的比相等．
7．（3分）若函數(shù)y＝x2﹣4x+m的圖象上有兩點A（x1，y1），B（x2，y2），若x1＜x2＜2，則（　?。?br /> A．y1＞y2 B．y1＜y2
C．y1＝y(tǒng)2 D．y1，y2的大小不確定
【分析】根據(jù)x1、x2與對稱軸的大小關系，判斷y1、y2的大小關系．
【解答】解：∵y＝x2﹣4x+m，
∴此函數(shù)的對稱軸為：x＝﹣＝﹣＝2，
∵x1＜x2＜2，兩點都在對稱軸左側，a＝1＞0，
∴對稱軸左側y隨x的增大而減小，
∴y1＞y2．
故選：A．
【點評】此題主要考查了函數(shù)的對稱軸求法和二次函數(shù)的性質，利用二次函數(shù)的增減性解題時，利用對稱軸得出是解題關鍵．
8．（3分）如圖，點A（t，3）在第一象限，OA與x軸所夾的銳角為α，tanα＝，則t的值是（　?。?br />
A．1 B．1.5 C．2 D．3
【分析】根據(jù)正切的定義即可求解．
【解答】解：∵點A（t，3）在第一象限，
∴AB＝3，OB＝t，
又∵tanα＝＝，
∴t＝2．
故選：C．

【點評】本題考查銳角三角函數(shù)的定義及運用：在直角三角形中，銳角的正弦為對邊比斜邊，余弦為鄰邊比斜邊，正切為對邊比鄰邊．
9．（3分）已知函數(shù)y＝（x﹣a）（x﹣b）（其中a＞b）的圖象如圖所示，則函數(shù)y＝ax+b的圖象可能正確的是（　　）

A． B．
C． D．
【分析】由拋物線的開口方向判斷a的符號，由拋物線與y軸的交點判斷c的符號，然后根據(jù)對稱軸及拋物線中自變量x＝1及x＝﹣1的情況進行推理，進而對所得結論進行判斷．
【解答】解：∵y＝（x﹣a）（x﹣b）＝x2﹣（a+b）x+ab，
∵拋物線的開口向上知a＞0，與y軸的交點為在y軸負半軸上，∴ab＜0，
∵對稱軸在y軸的左側，二次項系數(shù)＞0，∴﹣（a+b）＞0．
∴a+b＜0，
∵a＞b，
∴a＞0，b＜0，
∴y＝ax+b的圖象是D選項，
故選：D．
【點評】本題考查的是二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關系，掌握二次函數(shù)的性質、靈活運用數(shù)形結合思想是解題的關鍵，解答時，要熟練運用拋物線上的點的坐標滿足拋物線的解析式．
10．（3分）如圖，已知矩形ABCD的長AB為5，寬BC為4，E是BC邊上的一個動點，AE⊥EF，EF交CD于點F．設BE＝x，F(xiàn)C＝y(tǒng)，則點E從點B運動到點C時，能表示y關于x的函數(shù)關系的大致圖象是（　?。?br />
A． B．
C． D．
【分析】利用三角形相似求出y關于x的函數(shù)關系式，根據(jù)函數(shù)關系式進行分析求解．
【解答】解：∵BC＝4，BE＝x，
∴CE＝4﹣x．
∵AE⊥EF，
∴∠AEB+∠CEF＝90°，
∵∠CEF+∠CFE＝90°，
∴∠AEB＝∠CFE．
又∵∠B＝∠C＝90°，
∴Rt△AEB∽Rt△EFC，
∴，
即，
整理得：y＝（4x﹣x2）＝﹣（x﹣2）2+
∴y與x的函數(shù)關系式為：y＝﹣（x﹣2）2+（0≤x≤4）
由關系式可知，函數(shù)圖象為一段拋物線，開口向下，頂點坐標為（2，），對稱軸為直線x＝2．
故選：A．
【點評】本題考查了動點問題的函數(shù)圖象問題，根據(jù)題意求出函數(shù)關系式是解題關鍵．
二、填空題（每小題3分，共24分）
11．（3分）關于x的方程3x2﹣4x﹣k＝0有實數(shù)根，則k的取值范圍是　k≥﹣　．
【分析】根據(jù)△的意義得到△＝（﹣4）2﹣4×3×（﹣k）≥0，然后解不等式得到k的取值范圍．
【解答】解：根據(jù)題意得△＝（﹣4）2﹣4×3×（﹣k）≥0，
解得k≥﹣．
所以k的取值范圍是k≥﹣．
故答案為k≥﹣．
【點評】本題考查了一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根的判別式△＝b2﹣4ac：當△＞0，方程有兩個不相等的實數(shù)根；當△＝0，方程有兩個相等的實數(shù)根；當△＜0，方程沒有實數(shù)根．
12．（3分）請寫出一個開口向上，且對稱軸為直線x＝3的二次函數(shù)解析式　y＝x2﹣6x+6?。?br /> 【分析】因為開口向上，所以a＞0；根據(jù)對稱軸為x32可知頂點的橫坐標為3，縱坐標可任意選擇一個數(shù)，由頂點式寫出二次函數(shù)解析式．
【解答】解：依題意取a＝1，頂點坐標（3，﹣3），
由頂點式得y＝（x﹣3）2﹣3．
即y＝x2﹣6x+6．
故答案為：y＝x2﹣6x+6（答案不唯一）．
【點評】此題考查了二次函數(shù)的性質，拋物線的對稱軸、開口方向與拋物線頂點式的關系：頂點式y(tǒng)＝a（x﹣h）2+k，頂點坐標是（h，k），對稱軸是x＝h．a(chǎn)＞0時，開口向上，a＜0時，開口向下．
13．（3分）在△ABC中，若sinA＝，tanB＝，則∠C＝　90　°．
【分析】根據(jù)特殊角的三角函數(shù)值求出∠A和∠B的度數(shù)，然后求出∠C的度數(shù)．
【解答】解：∵sinA＝，tanB＝，
∴∠A＝60°，∠B＝30°，
∴∠C＝180°﹣60°﹣30°＝90°．
故答案為：90．
【點評】本題考查了特殊角的三角函數(shù)值，解答本題的關鍵是掌握幾個特殊角的三角函數(shù)值．
14．（3分）△ABC頂點的坐標分別為A（1，﹣1），B（4，﹣1），C（3，﹣4）．以坐標原點O為位似中心，畫出放大的△A1B1C1，使得它與△ABC的位似比等于2：1．則點C的對應點C1坐標為?。?，﹣8）或（﹣6，8）?。?br /> 【分析】根據(jù)位似變換的性質計算即可．
【解答】解：以坐標原點O為位似中心，放大的△A1B1C1，它與△ABC的位似比等于2：1，點C的坐標為（3，﹣4），
∴點C的對應點C1坐標為（3×2，﹣4×2）或（﹣3×2，4×2），即（6，﹣8）或（﹣6，8），
故答案為：（6，﹣8）或（﹣6，8）．
【點評】本題考查的是位似變換的性質，在平面直角坐標系中，如果位似變換是以原點為位似中心，相似比為k，那么位似圖形對應點的坐標的比等于k或﹣k．
15．（3分）廊橋是我國古老的文化遺產(chǎn)，如圖是某座拋物線形的廊橋示意圖．已知拋物線的函數(shù)表達式為y＝﹣x2+10，為保護廊橋的安全，在該拋物線上距水面AB高為8米的點E，F(xiàn)處要安裝兩盞警示燈，則這兩盞燈的水平距離EF是　8　米．

【分析】令y＝8，即y＝﹣x2+10＝8，求出x值，進而求解．
【解答】解：令y＝8，即y＝﹣x2+10＝8，
解得：x＝±4，
∴則EF＝4﹣（﹣4）＝8．
【點評】本題考查的是二次函數(shù)在實際生活中的應用，解題的關鍵是弄懂題意，該題比較簡單．
16．（3分）一個人由山腳爬到山頂，須先爬傾斜角為30度的山坡300米到達D，再爬傾斜角為60度的山坡200米，求這座山的高度?。?50+100）　．（結果保留根號）

【分析】在RT△ADF中，利用30°角和AD，求出DF即CE；在RT△BDE中，利用60°角和BD，求出BE；最后求CE和BE的和即可．
【解答】解：過D作DF⊥AC．
在Rt△ADF中，易得：CE＝DF＝AD×sin30°＝150米，
在Rt△BDE中，易得：BE＝BD×sin60°＝100米，
故山高BC＝CE+BE＝（150+100）米．
故答案為：（150+100）．

【點評】考查了解直角三角形的應用﹣坡度坡角問題，本題要求學生借助俯角關系構造直角三角形，并結合圖形利用三角函數(shù)解直角三角形．
17．（3分）已知點A（0，2），B（2，0），點C在y＝x2的圖象上，若△ABC的面積為2，則這樣的C點有　4　個．
【分析】根據(jù)三角形面積公式求得C到直線AB的距離為，即可求得C在直線AB沿直線y＝x的方向平移的單位得到的直線上，求得平移好的直線解析式，然后與y＝x2聯(lián)立，消去y得到關于x的一元二次方程，根據(jù)根的判別式即可判斷方程的根的情況，進一步得到C點的個數(shù)．
【解答】解：如圖，∵點A（0，2），B（2，0），
∴直線AB為y＝﹣x+2，AB＝＝2，
設C點到直線AB的距離為h，
∵△ABC的面積為2，
∴＝2，即＝2，
∴h＝，
∵直線y＝x與直線AB垂直，
∴直線AB沿直線y＝x向上或向下平移個單位得到直線y＝﹣x+4或y＝﹣x，
由消去y得到x2+x﹣4＝0，
∵△＝12﹣4×（﹣4）＝17＞0，
∴方程有兩個不相等的根，
由消去y得到x2+x＝0，
∵△＝1＞0，
∴方程有兩個不相等的根，
∴函數(shù)y＝x2的圖象上存在4個點（如上面圖中四個點C1，C2，C3，C4）使得△ABC的面積為2，
故答案為4．

【點評】本題考查了二次函數(shù)圖象上點的坐標特征，一次函數(shù)圖象與幾何變換，三角形的面積，數(shù)形結合是解題的關鍵．
18．（3分）如圖，在△ACM中，△ABC、△BDE、△DFG是等邊三角形，點E、G在△ACM的邊CM上，設△ABC、△BDE、△DFG的面積分別為S1、S2、S3，若S1＝8，S3＝2，則S2＝　4　．

【分析】先設△ABC、△BDE、△DGF的邊長分別是a、b、c，由于△ABC、△BDE是等邊三角形，易知∠ABC＝60°，∠EBD＝60°，結合平角定義可求∠CBE＝60°，同理可求∠EDG＝60°，那么∠CBE＝∠EDG，由于△BDE、△DGF是等邊三角形，那么∠EBD＝∠GDF＝60°，從而有BE∥DG，于是∠CEB＝∠EGD，利用兩角對應相等的兩個三角形相似可得△CBE∽△EDG，可得比例關系：a：b＝b：c，即b2＝ac，再根據(jù)S1：S3的值得a：c＝3：1，結合S1：S2的值進而可求S2．
【解答】解：△ABC、△BDE、△DGF的邊長分別是a、b、c，
∵△ABC、△BDE是等邊三角形，
∴∠CBA＝∠EBD＝60°，
∴∠CBE＝60°，
同理∠EDG＝60°，
∴∠CBE＝∠EDG，
∵△BDE、△DGF是等邊三角形，
∴∠EBD＝∠GDF＝60°，
∴BE∥DG，
∴∠CEB＝∠EGD，
∴△CBE∽△EDG，
∴a：b＝b：c，
∴b2＝ac，
∵S1：S3＝（a：c）2＝8：2＝4：1，
∴a：c＝2：1，
∵S1：S2＝（）2＝＝＝＝，
∴S2＝S1＝4．
故答案是4．
【點評】本題考查了相似三角形的判定和性質，解題的關鍵是證明△CBE∽△EDG，得出b2＝ac．
三、解答題（本題共46分）
19．（4分）計算：cos30°﹣sin45°﹣（﹣）0．
【分析】首先代入特殊角的三角函數(shù)值，然后再算乘法，后算加減即可．
【解答】解：原式＝×﹣×﹣1
＝﹣1﹣1
＝﹣．
【點評】此題主要考查了實數(shù)運算，關鍵是掌握30°、45°、60°角的各種三角函數(shù)值．
20．（4分）解方程：x2﹣4x﹣1＝0．
【分析】配方法的一般步驟：（1）把常數(shù)項移到等號的右邊；
（2）把二次項的系數(shù)化為1；
（3）等式兩邊同時加上一次項系數(shù)一半的平方．
【解答】解：∵x2﹣4x﹣1＝0，
∴x2﹣4x＝1，
∴x2﹣4x+4＝1+4，
∴（x﹣2）2＝5，
∴x＝2±，
∴x1＝2+，x2＝2﹣．
【點評】此題考查了配方法解一元二次方程，解題時要注意解題步驟的準確應用．選擇用配方法解一元二次方程時，最好使方程的二次項的系數(shù)為1，一次項的系數(shù)是2的倍數(shù)．
21．（6分）二次函數(shù)y＝﹣x2+（m﹣1）x+m的圖象與y軸交點坐標是（0，3）．
（1）求此二次函數(shù)解析式；
（2）在圖中畫出二次函數(shù)的圖象；
（3）當0＜x＜3時，直接寫出y的取值范圍．

【分析】（1）把已知點的坐標代入解析式求出m即可；
（2）先解方程﹣x2+2x+3＝0得拋物線與x軸的交點坐標為（﹣1，0），（3，0），再配方得到拋物線的頂點坐標，然后利用描點法畫函數(shù)圖象；
（3）結合函數(shù)圖象，利用二次函數(shù)的性質求解．
【解答】解：（1）把（0，3）代入y＝﹣x2+（m﹣1）x+m得m＝3，
∴拋物線解析式為y＝﹣x2+2x+3；
（2）當y＝0時，﹣x2+2x+3＝0，解得x1＝﹣1，x2＝3，
∴拋物線與x軸的交點坐標為（﹣1，0），（3，0），
∵y＝﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1）2+4，
∴拋物線的頂點坐標為（1，4），
如圖，

（3）當0＜x＜3時，y的取值范圍為0＜y≤4．
【點評】本題考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式：在利用待定系數(shù)法求二次函數(shù)關系式時，要根據(jù)題目給定的條件，選擇恰當?shù)姆椒ㄔO出關系式，也考查了二次函數(shù)的性質．
22．（5分）已知：如圖，在△ABC中，點D、E分別在邊AB，AC上，且∠AED＝∠ABC，DE＝3，BC＝5，AC＝12．求AD的長．

【分析】根據(jù)相似三角形的判定和性質即可得到結論．
【解答】解：∵∠AED＝∠ABC，∠A＝∠A，
∴△AED∽△ABC，
∴，
∵DE＝3，BC＝5，AC＝12，
∴．
∴AD＝．
【點評】本題考查了相似三角形的判定和性質，熟練掌握相似三角形的判定和性質是解題的關鍵．
23．（6分）如圖，在△ABC中，∠B為銳角，AB＝3，AC＝5，sinC＝，求BC的長．

【分析】作AD⊥BC，在△ACD中求得AD＝ACsinC＝3、，再在△ABD中根據(jù)AB＝3、AD＝3求得BD＝3，繼而根據(jù)BC＝BD+CD可得答案．
【解答】解：作AD⊥BC于點D，

∴∠ADB＝∠ADC＝90°．
∵AC＝5，，
∴AD＝AC?sinC＝3．
∴在Rt△ACD中，．
∵AB＝，
∴在Rt△ABD中，．
∴BC＝BD+CD＝7．
【點評】本題主要考查解直角三角形，解題的關鍵是根據(jù)題意構建合適的直角三角形及三角函數(shù)的定義．
24．（6分）有這樣一個問題：探究函數(shù)y＝（x﹣1）（x﹣2）（x﹣3）的圖象與性質．小東對函數(shù)y＝（x﹣1）（x﹣2）（x﹣3）的圖象與性質進行了探究．
下面是小東的探究過程，請補充完成：
（1）函數(shù)y＝（x﹣1）（x﹣2）（x﹣3）的自變量x的取值范圍是全體實數(shù)；
（2）下表是y與x的幾組對應值．
x
…
﹣2
﹣1
0
1
2
3
4
5
6
…
y
…
m
﹣24
﹣6
0
0
0
6
24
60
…
①m＝　﹣60??；
②若M（﹣7，﹣720），N（n，720）為該函數(shù)圖象上的兩點，則n＝　11??；
（3）在平面直角坐標系xOy中，A（xA，yA），B（xB，﹣yA）為該函數(shù)圖象上的兩點，且A為2≤x≤3范圍內的最低點，A點的位置如圖所示．
①標出點B的位置；
②畫出函數(shù)y＝（x﹣1）（x﹣2）（x﹣3）（0≤x≤4）的圖象．

【分析】（2）①把x＝﹣2代入函數(shù)解析式可求得m的值；
②觀察給定表格中的數(shù)據(jù)可發(fā)現(xiàn)函數(shù)圖象上的點關于點（2，0）對稱，再根據(jù)點M、N的坐標即可求出n值；
（3）①找出點A關于點（2，0）對稱的點B1，再找出與點B1縱坐標相等的B2點；
②根據(jù)表格描點、連線即可得出函數(shù)圖象．
【解答】解：（2）①當x＝﹣2時，y＝（x﹣1）（x﹣2）（x﹣3）＝﹣60．
故答案為：﹣60．
②觀察表格中的數(shù)據(jù)可得出函數(shù)圖象關于點（2，0）中心對稱，
∴﹣7+n＝2×2，解得：n＝11．
故答案為：11．
（3）①作點A關于點（2，0）的對稱點B1，再在函數(shù)圖象上找與點B1縱坐標相等的B2點．
②根據(jù)表格描點、連線，畫出圖形如圖所示．

【點評】本題考查了多次函數(shù)的圖象與性質，根據(jù)給定表格找出函數(shù)圖象關于點（2，0）中心對稱是解題的關鍵．
25．（8分）如圖，拋物線y＝ax2+bx+c與x軸交于點A與點B，與y軸交于點C（0，﹣3），且OB＝OC＝3OA．
（1）求拋物線的解析式；
（2）探究坐標軸上是否存在點P，使得以點P，A，C為頂點的三角形為直角三角形？若存在，求出P點坐標，若不存在，請說明理由．

【分析】（1）易得點C坐標，根據(jù)OB＝OC＝3OA可得點A，B坐標．代入二次函數(shù)解析式即可．
（2）點P，A，C為頂點的三角形為直角三角形，那么應分點P，A，C三個頂點為直角頂點三種情況進行探討．
【解答】解：（1）∴拋物線y＝ax2+bx+c與y軸交于點C（0，﹣3），則c＝﹣3，
∴OB＝OC＝3OA＝3，
∴A（﹣1，0），B（3，0），代入y＝ax2+bx﹣3，
得，解得，
∴y＝x2﹣2x﹣3；

（2）如圖，

①當∠P1AC＝90°時，
∵∠P1AO+∠OAC＝90°，∠OAC+∠ACO＝90°，
∴∠P1AO＝∠AOC，
∵∠P1AC＝∠AOC＝90°，
∴△P1AO∽△ACO，
∴Rt△P1AO中，tan∠P1AO＝tan∠ACO＝，
∴P1（0，）．
②同理：如圖當∠P2CA＝90°時，P2（9，0），
③當∠CP3A＝90°時，此時點O與點P3重合，故點P3（0，0），
綜上，坐標軸上存在三個點P，使得以點P，A，C為頂點的三角形為直角三角形，分別是P1（0，），P2（9，0），P3（0，0）．
【點評】主要考查了二次函數(shù)的解析式的求法和與幾何圖形結合的綜合能力的培養(yǎng)．要會利用數(shù)形結合的思想把代數(shù)和幾何圖形結合起來，利用點的坐標的意義表示線段的長度，從而求出線段之間的關系．
26．（7分）定義：對于平面直角坐標系xOy中的線段PQ和點M，在△MPQ中，當PQ邊上的高為2時，稱M為PQ的“等高點”，稱此時MP+MQ為PQ的“等高距離”．
（1）若P（1，2），Q（4，2）．
①在點A（1，0），B（，4），C（0，3）中，PQ的“等高點”是　A，B?。?br /> ②若M（t，0）為PQ的“等高點”，求PQ的“等高距離”的最小值及此時t的值．
（2）若P（0，0），PQ＝2，當PQ的“等高點”在y軸正半軸上且“等高距離”最小時，直接寫出點Q的坐標．

【分析】（1）①根據(jù)“等高點”的概念解答即可；
②先確定出點P關于x軸的對稱點P′，再根據(jù)軸對稱的最短路徑的求法即可確定最小距離；
（2）先證明“等高距離”最小時△MPQ為等腰三角形，再利用勾股定理求出點Q坐標即可．
【解答】解：（1）①∵P（1，2），Q（4，2），
∴在點A（1，0），B（，4），C（0，3）中，點A（1，0），B（，4）到PQ的距離為2，
∴PQ的“等高點”是A，B；
故答案為：A，B；
②如圖1，作點P關于x軸的對稱點P′，連接P′Q，P′Q與x軸的交點即為“等高點”M，此時“等高距離”最小，最小值為線段P′Q的長，
∵P （1，2），
∴P′（1，﹣2），

設直線P′Q的表達式為y＝kx+b，
根據(jù)題意，有，解得：，
∴直線P′Q的表達式為y＝x﹣，
當y＝0時，解得x＝，
即t＝，
∵P'（1，﹣2），Q（4，2），
∴PQ＝＝5，
∴PQ的“等高距離”的最小值為5；
（2）如圖2，過PQ的“等高點”M作MN⊥PQ于點N，

∴PQ＝2，MN＝2．
設PN＝x，則NQ＝2﹣x，
在Rt△MNP和Rt△MNQ中，由勾股定理得：
MP2＝22+x2＝4+x2，MQ2＝22+（2﹣x）2＝x2﹣4x+8，
∴MP2+MQ2＝2x2﹣4x+12＝2（x﹣1）2+10，
∵MP2+MQ2≤（MP+MQ）2，
∴當MP2+MQ2最小時MP+MQ也最小，此時x＝1，
即PN＝NQ，
∴△MPQ為等腰三角形，
∴MP＝MQ＝＝，
如圖3，設Q坐標為（x，y），過點Q作QE⊥y軸于點E，

則在Rt△OEQ和Rt△MEQ中，由勾股定理得：
QE2＝QP2﹣OE2＝22﹣y2＝4﹣y2，EQ2＝MQ2﹣ME2＝＝﹣y2+2y，
∴4﹣y2＝﹣y2+2y，
解得y＝，
∴QE2＝4﹣y2＝4﹣＝，
當點Q在第一象限時，x＝，
當點Q在第二象限時，x＝﹣，
∴Q（，）或（﹣，）．
【點評】本題是二次函數(shù)的綜合題，考查了對新定義：“等高點”，“等高距離”的理解和運用，在（1）①中理解等高點和等高距離的概念即可，在②中確定出P關于x軸的對稱點P′的位置是解決本題的關鍵，在（2）中利用勾股定理和最短路徑問題是解題的關鍵，綜合性較強，難度適中．
四、附加題（共20分）
27．（6分）已知點P（x0，y0）和直線y＝kx+b（k≠0，k、b是常數(shù)），則點P到直線y＝kx+b的距離證明可用公式d＝計算．
例如：求點P（﹣1，2）到直線y＝3x+7的距離．
解：因為直線y＝3x+7，其中k＝3，b＝7．
所以點P（﹣1，2）到直線y＝3x+7的距離為：d＝＝＝＝．
根據(jù)以上材料，解答下列問題：
（1）求點P（1，﹣1）到直線y＝x﹣1的距離；
（2）已知直線y＝﹣2x+4與y＝﹣2x﹣6平行，求這兩條直線之間的距離．
【分析】（1）根據(jù)點到直線的距離公式計算即可；
（2）在直線y＝3x+3上取一點（0，3），根據(jù)點到直線的距離公式可知：點（0，3）到直線y＝3x+6的距離d，利用平行線的性質即可解決問題；
【解答】解：（1）∵直線y＝x﹣1，其中k＝1，b＝﹣1，
∴點P（1，﹣1）到直線y＝x﹣1的距離為d＝＝＝；
（2）當x＝0時，y＝﹣2x+4＝4，
∴點（0，4）在直線y＝﹣2x+4上，
∵點（0，4）到直線y＝﹣2x﹣6的距離為d＝＝＝2，
∵直線y＝﹣2x+4與y＝﹣2x﹣6平行，
∴這兩條直線之間的距離為2．
【點評】本題考查了一次函數(shù)的點與直線之間的距離公式的運用，由函數(shù)的解析式求點的坐標的運用，平行線的性質的運用，解答時掌握點到直線的距離公式是關鍵．
28．（7分）如圖1，ABCD是邊長為1的正方形，O是對角線BD的中點，Q是邊CD上一個動點（點Q不與點C、D重合），直線AQ與BC的延長線交于點E，AE交BD于點P．設DQ＝x，
（1）填空：當x＝時，CE＝　??；＝　??；
（2）如圖2，直線EO交AB于點G，若BG＝y(tǒng)，求y關于x之間的函數(shù)關系式；
（3）在第（2）小題的條件下，是否存在點Q，使得PG∥BC？若存在，求x的值；若不存在，說明理由．

【分析】（1）先根據(jù)平行線分相等成比例定理得出，，然后根據(jù)已知條件求得CE＝，進而求得QE＝AE，進而求解；
（2）過O作OM⊥AB，ON⊥BC，根據(jù)平行線分相等成比例定理得出CE＝，進而求得BE＝，進而求解；
（3）根據(jù)PG∥BC求得，根據(jù)對應邊成比例得出y＝，再根據(jù)（2）中求得的解析式解方程組，即可求得．
【解答】解：（1）∵ABCD是邊長為1的正方形，
∴AD∥BE，
∴，，
∵AD＝BC＝DC＝1，DQ＝，
∴QC＝，即，
∴CE＝，，
∴BE＝，QE＝AE，
∴，即＝，
∴AP＝AE，
∴＝，
故答案為，；

（2）過O作OM⊥AB于點M，作ON⊥BC于點N，

∵O是正方形的中心，
∴OM＝MB＝BN＝ON＝，
∵，即，
∴CE＝，
∴BE＝BC+EC＝，
∵OM∥BE，
∴△GMO∽△GBE，
∴，即，
∴y＝①；

（3）存在，理由：
∵PG∥BC，
，
∵AG＝1﹣y，GB＝y(tǒng)，AD＝1，BE＝，
∴，整理得：y＝②，
聯(lián)立①②并解得x＝，
所以當x＝時，使得PG∥BC．
【點評】本題為四邊形綜合題，主要考查了三角形相似的判定和性質、平行線分相等定理的應用、正方形的性質等，找出對應線段之間的關系是本題的關鍵．
29．（7分）如圖，已知二次函數(shù)y＝ax2+bx+3的圖象交x軸于點A（1，0），B（3，0），交y軸于點C．
（1）求這個二次函數(shù)的表達式；
（2）將直線BC向下移動n個單位（n＞0），若直線與拋物線有交點，求n的取值范圍；
（3）直線x＝m分別交直線BC和拋物線于點M，N，當△BMN是等腰三角形時，直接寫出m的值．

【分析】（1）根據(jù)待定系數(shù)法，可得函數(shù)解析式；
（2）求出直線BC平移后的表達式為y＝﹣x+3﹣n，聯(lián)立①②并整理得：x2﹣3x+n＝0，由△＝9﹣4n≥0，解得n≤，即可求解；
（3）根據(jù)等腰三角形的定義，可得關于m的方程，根據(jù)解方程，可得答案．
【解答】解：（1）將A（1，0），B（3，0）代入函數(shù)解析式，得，
解得，
∴這個二次函數(shù)的表達式是y＝x2﹣4x+3①；

（2）由拋物線的表達式知，點C（0，3），
設直線BC的表達式為y＝mx+t，則，解得，
故直線BC的表達式為y＝﹣x+3，
直線BC平移后的表達式為y＝﹣x+3﹣n②，
聯(lián)立①②并整理得：x2﹣3x+n＝0，
則△＝9﹣4n≥0，解得n≤，
故0＜n≤；

（3）設：M（m，﹣m+3），N（m，m2﹣4m+3），點B（3，0），

則MN＝|m2﹣4m+3+m﹣3|＝|m2﹣3m|，BM＝＝|m﹣3|，
當MN＝BM時，①m2﹣3m＝（m﹣3），
解得m＝或3（舍去3），
②m2﹣3m＝﹣（m﹣3），
解得m＝﹣或3（舍去3），
當BN＝MN時，∠NBM＝∠BMN＝45°，
m2﹣4m+3＝0，
解得m＝1或m＝3（舍），
當BM＝BN時，∠BMN＝∠BNM＝45°，
則﹣（m2﹣4m+3）＝﹣m+3，
解得m＝2或m＝3（舍），
當△BMN是等腰三角形時，m的值為，﹣，1，2．
【點評】本題是二次函數(shù)綜合題，主要考查了一次函數(shù)的性質、直角三角形的性質、圖形的平移、根的判別式的運用等，其中（3），要注意分類求解，避免遺漏．