數(shù)學(xué)（內(nèi)蒙古卷）-2025年中考數(shù)學(xué)第三次模擬考試（考試卷+答題卷+解析+答案）

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第Ⅰ卷
選擇題（本大題共10個(gè)小題，每小題3分，共24分．在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)符合題目要求，請選出并在答題卡上將該項(xiàng)涂黑）
第Ⅱ卷
二、填空題（本大題共5小題，每小題3分，共12分）
9．2
10．
11．70
12．15
解答題（本大題共6個(gè)小題，共64分．解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟）
13．（1），；（2）．
【分析】（1）可利用配方法解一元二次方程；
（2）先求出每一個(gè)不等式的解集，再取它們的解集的公共部分即可得不等式組的解集．
本題主要考查了解一元二次方程和解不等式組，熟練掌握解一元二次方程的方法以及解不等式組的方法是解題的關(guān)鍵．
【詳解】（1）
，
，
，（4分）
，
，，（5分）
（2）
由①得：，（2分）
由②得：，（4分）
∴原不等式的解集為：．（5分）
14．(1)估計(jì)事件A的概率為
(2)見解析
【分析】本題考查了概率公式，平均數(shù)使用．
（1）根據(jù)概率公式求解即可；
（2）先求得每個(gè)共享單車停車區(qū)的平均使用次數(shù)，得到每天早高峰期間的共享單車總使用次數(shù)，據(jù)此求解即可．
【詳解】（1）解：由表格數(shù)據(jù)知，經(jīng)過1號區(qū)的行人有60人，使用共享單車有3人，
則估計(jì)事件A的概率為；（3分）
（2）解：估計(jì)5個(gè)共享單車停車區(qū)每天早高峰期間的共享單車平均使用次數(shù)分別為：
，，，，，
所以每天早高峰期間的共享單車總使用次數(shù)估算為次，（6分）
所以5個(gè)共享單車停車區(qū)180輛共享單車的投放方案為：
1號區(qū)投放共享單車輛；
2號區(qū)投放共享單車輛；
3號區(qū)投放共享單車輛；
4號區(qū)投放共享單車輛；
5號區(qū)投放共享單車輛．（10分）
15．任務(wù)1：甲部門原來每天生產(chǎn)120個(gè)壯錦手提包，乙部門原來每天生產(chǎn)60個(gè)壯錦手提包；任務(wù)2：①，；②甲部門工作9天，乙部門工作18天，才能使正好完成任務(wù)時(shí)該公司支付的總工資最少，最少需要97200元．
【分析】本題考查了分式方程的應(yīng)用以及一元一次不等式的應(yīng)用，一次函數(shù)的最大利潤問題，正確掌握相關(guān)性質(zhì)內(nèi)容是解題的關(guān)鍵．
（1）設(shè)乙部門每天能生成個(gè)壯錦手提包，依題意，列式得，注意經(jīng)檢驗(yàn)是方程的解，即可作答．
（2）設(shè)甲部門工作天，則乙部門的工作時(shí)間為（天）．再依題意，得出，解出，根據(jù)利潤公式得出，運(yùn)用一次函數(shù)的性質(zhì)，進(jìn)行分析作答即可．
【詳解】解：任務(wù)1：設(shè)乙部門原來每天生產(chǎn)x個(gè)壯錦手提包，則甲部門原來每天生產(chǎn)2x個(gè)壯錦手提包，
由題意得：，
解得：，
經(jīng)檢驗(yàn)，是原方程的解，且符合題意，
，
答：甲部門原來每天生產(chǎn)120個(gè)壯錦手提包，乙部門原來每天生產(chǎn)60個(gè)壯錦手提包；（3分）
任務(wù)2：①設(shè)甲部門工作m天，則甲部門完成壯錦手提包個(gè)，乙部門工作時(shí)間可表示為天，
故答案為：，；（5分）
②由題意得：，
解得：，
設(shè)該公司支付的總工資為y元，
由題意得：，
，
隨m的增大而減小，
當(dāng)時(shí)，y有最小值，
此時(shí)，，
答：甲部門工作9天，乙部門工作18天，才能使正好完成任務(wù)時(shí)該公司支付的總工資最少，最少需要97200元．（8分）
16．(1)詳見解析
(2)18
【分析】本題考查了切線的性質(zhì)，圓周角定理，相似三角形的判定和性質(zhì)，根據(jù)題目的已知條件并結(jié)合圖形添加適當(dāng)?shù)妮o助線是解題的關(guān)鍵．
（1）連接交于點(diǎn)G，根據(jù)切線的性質(zhì)可得，再根據(jù)直徑所對的圓周角是直角可得，然后利用等腰三角形的性質(zhì)可得，從而可得，進(jìn)而可得，即可解答；
（2）根據(jù)直徑所對的圓周角是直角可得，再利用等腰三角形的性質(zhì)和角平分線的定義可得，從而可得，進(jìn)而可得，然后證明，即可得到，再利用線段的和差關(guān)系可得，然后利用平行線分線段成比例可得，解題即可．
【詳解】（1）證明：連接，交于點(diǎn)G，
∵與相切于點(diǎn)E，
∴，
∴，
∵是的直徑，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴平分；（5分）
（2）解：∵是的直徑，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴是的中位線，（7分）
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，（9分）
∵，
∴，
∴，
∴，
解得：，
∴，
∴的長為18．（11分）
17．（1）1；（2）；（3）見解析；（4）．
【分析】本題主要考查了正方形的性質(zhì)、矩形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)、折疊的性質(zhì)、解直角三角形等知識，解題關(guān)鍵是熟練掌握相關(guān)知識并靈活運(yùn)用．
（1）證明，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到，得到答案；
（2）證明，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)計(jì)算即可；
（3）過點(diǎn)作交的延長線于點(diǎn)，證明，列出比例式，證明結(jié)論；
（4）過點(diǎn)作于點(diǎn)，連接交于點(diǎn)，與相交于點(diǎn)，根據(jù)正切的定義得到，根據(jù)勾股定理分別求出、，根據(jù)三角形的面積公式求出，計(jì)算即可．
【詳解】（1）解：設(shè)與交于點(diǎn)，如圖所示：
四邊形是正方形，
，，
，
，
，
又∵，
，
在和中，
，
，
∴，即，（3分）
（2）設(shè)與交于點(diǎn)，如圖所示：
四邊形是矩形，
，，，
∴，
，
，
，
，
又∵，
，
，
，
，（6分）
（3）證明：過點(diǎn)作交的延長線于點(diǎn)，如圖所示：
，
，
四邊形為矩形，
，，
又∵，
，
，
，
，
，
；（9分）
（4）∵將沿翻折，點(diǎn)落在點(diǎn)處得，
∴，
∴垂直平分，
過點(diǎn)作于點(diǎn)，連接交于點(diǎn)，如圖所示：
，，
，
，
，
，
，
在中，，
，即，設(shè)，則，
，
，
或（線段長的負(fù)值舍去），
，，
，
，
，
，
．（12分）
18．(1)，，
(2)
(3)存在，或
【分析】本題考查二次函數(shù)的綜合應(yīng)用，正確的求出函數(shù)解析式，利用數(shù)形結(jié)合和分類討論的思想進(jìn)行求解，是解題的關(guān)鍵：
（1）待定系數(shù)法求出函數(shù)解析式，令，求出不動點(diǎn)即可；
（2）當(dāng)直線和折疊的部分拋物線只有一個(gè)交點(diǎn)時(shí)，滿足題設(shè)要求，相當(dāng)于折疊前拋物線和直線只有一個(gè)交點(diǎn)，則直線、關(guān)于直線設(shè)該直線和軸的交點(diǎn)為對稱，則是的中點(diǎn)，即可求解；
（3）分當(dāng)點(diǎn)在拋物線內(nèi)部和點(diǎn)在拋物線外部，兩種進(jìn)行討論求解即可．
【詳解】（1）解：∵拋物線與軸交于，兩點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)，
∴，把代入，得：，
∴，
∴，
當(dāng)時(shí)，，
解得：或，
∴拋物線上“不動點(diǎn)”的坐標(biāo)為：，；（4分）
（2）由題意，設(shè)“不動點(diǎn)”所在的直線表達(dá)式為：，如圖直線，
當(dāng)直線和折疊的部分拋物線只有一個(gè)交點(diǎn)時(shí)，滿足題設(shè)要求，相當(dāng)于折疊前拋物線和直線只有一個(gè)交點(diǎn)，
則直線、關(guān)于直線設(shè)該直線和軸的交點(diǎn)為對稱，則是的中點(diǎn)，
聯(lián)立和原拋物線得：，
則，則，
∴直線，當(dāng)時(shí)，，
∴，
∵是的中點(diǎn)，
∴，
把代入，得：；（8分）
（3）存在，理由：
∵，，，
∴，，，
則，即為直角三角形，且，
，
∴，，
∴，
設(shè)點(diǎn)，
①當(dāng)點(diǎn)在拋物線內(nèi)部時(shí)，過點(diǎn)作軸，交軸于點(diǎn)，作于點(diǎn)，
則：，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，即：，
∵在拋物線上，
∴，
解得：或（舍去），
∴點(diǎn)． （11分）
②當(dāng)點(diǎn)在拋物線外部時(shí)，
同法可得：，
∴，解得：或（舍去）；
∴；
綜上：或．（13分）
題號
1
2
3
4
5
6
7
8


答案
C
C
C
A
C
A
B
B